勾股定理练习题
推荐第1篇：勾股定理
勾股定理
1、勾股定理：直角三角形__________的平方和等于__________的平方。对于任
意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么有____________________。
2、在△ABC中，∠A=90º，则下列各式中不成立的是（）
A、BC²=AB²+AC²B、AB²=AC²+BC²
C、AB²=BC²-AC²D、AC²=BC²-AB²
3、如图，正方形A的面积是__________，正方形B的面积是__________。
4、若等腰直角三角形的斜边长为2cm，则它的直角边的长为（）
A、1cmB、2cmC、22cmD、2cm
5、小强量得家里新购置的彩电荧光屏的长为58cm，宽为46cm，请你计算一下他家这台电视机的尺寸大约是（）
A、23cmB、54cmC、74cmD、87cm
6、如图，等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，则高AD=__________
7、如图，一个长方形花坛的长AD为8m，一条对角线AC的长为10m，求这个花坛的周长。
推荐第2篇：勾股定理
勾股定理又叫商高定理、毕氏定理，或称毕达哥拉斯定理．
在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。如果直角三角形
+b²=c²两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a²，即α*α+b*b=c*c
推荐第3篇：勾股定理
勾股定理
一、教材分析
勾股定理在初中数学中扮演着很重要的角色。在以后的学习中会经常用到有关勾股定理的知识，本节课我们主要来探究勾股定理的由来。
二、教学目标
1．经历探究勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合的思想。 2．能说出勾股定理并能运用勾股定理解决简单的问题。
3．经历多种拼图方法验证勾股定理的过程，发展用数学的眼光观察现实世界和有条理地思考与表达的能力，感受勾股定理的文化价值。
4.掌握勾股定理，能够熟练地运用勾股定理由直角三角形的任意两边求得第三边．能根据一已知边和另两未知边的数量关系通过方程求未知两边。
三、教学重点难点
教学重点：勾股定理的推导的过程内容勾股定理的具体内容 教学难点：勾股定理的内容以及应用
四、教学方法
本节的教学分为五步：情境引入——定理探索——定理应用——巩固练习——课堂拓展的模式展开。教师引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题并与学生共同探索、讨论。让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解勾股定理的意义。
五、教具学具
小黑板
正方形和直角三角形的模型若干
六、教学过程
（一）创设情境，设疑激思 如图，由4个边长为a,b,c的直角三角形拼成一个正方形，中间有一个正方形的开口（图中阴影部分），试用不同的方法计算这个阴影部分的面积，你发现了什么？
看到这个题目，学
生感到十分的熟悉，这是
七年级下册学习因式分
解的时候见过的题目。学
生们分组讨论，课堂气氛十分的活跃，不久得出了
答案。
分析：因为整个图形是一个边长为c 的正方形
所以
S全＝c2 也可以分割求这个图形的面积
S全＝4S直角△+S阴
＝4×ab+（a-b）2
＝2ab+a2-2ab+b2
= a2+b2
于是有a2+b2＝c2
得到了以上一个结论，此时不急于总结结论从而引出勾股定理，因为仅仅一个题目不足以说明问题。
于是提出“类似于上面的拼图问题，你们还记得多少。同学们于是分组讨论，另一个类似的拼图问题。 如图，游4个边长分别a,b,c的直角三角形拼成一个正方形用不同的方法，计算这个正方形的面积，你发现了什么？
S2ab+ c2
所以a+2ab+b＝2ab+ c2
所以a2+b2＝c2
【设计意图】本段采用小组合作学习方式进行，学生按教师事先分好的小组以小组为单位进行合作学习，每个小组选择一种证法进行研究。每个小组有4名成员，位置相邻，便于所有的人都能参与到明确的集体任务中。小组成员之间相互依赖、相互沟通、相互合作，共同负责，从而达到共同的目标。在集体学习的基础上，每组推选一位同学代表本组进行学习交流，主要时将本组证法的思路讲清，同时同组同学可以补充或纠错。其他小组此时则通过聆听对他组的证法进行学习。
（二）自己总结，得出结论
引导学生思考问题：是否一般的直角三角形都具有上述特征呢？
于是我们得到结论：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如图：我们有 a2+b2＝c2
2
2分析：因为S全＝（a+b）2＝a2+2ab+b2
全
＝4×ab+ c2＝ 教师在此基础上介绍“勾，股，弦”的含义，进行点题，结合直角三角形，让学生从中体验勾股定理蕴含的深刻的数形结合思想。
【设计意图】八年级学生能独立思考，有强烈的探究愿望，并能在探索的过程中形成自己的观点，能在交流意见的过程中逐渐完善自己的观点。故本段设计遵循“构建主义”的学习理念，以学生为中心，强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识意义的主动建构。教师只是给学生提供一定的学习“情景”，在此“情景”中，学生通过“协作”、“会话”和“意义建构”进行有效学习。
(三)勾股定理简单的应用
1、例题精讲
如图Rt△ABC
∠ACB＝90。以三角形三边向外作三个正方形。面积分别为S1,S2,S3,试探索S1,S2,S
3三者之间的关系
分析：因为Rt△ABC中，∠ACB=900 所以a2+b2=c2 (勾股定理) 因为S1=b2,S2=a2,S3=c2 所以S1＋S2＝S3
2、巩固练习（1）求下列直角三角形中未知边的长
（2）求下列图中未知数x,y,z的值
3、拓展与延伸
（1）一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，则另一
条
边
是
（2）一个直角三角形的两条边分别为3和4，则另一条边是
（3）一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？
（4）将梯子AC斜靠在墙上，BC长为2.16米，梯子的长为5.41米。求梯子上端A到墙的底端B的距离.（精确到0.01米）
【设计意图】课堂从广义上讲是开放的，教师在授课时，不仅要传授学生必要的知识，更要打开学生的思路，给学生提供更为广阔的空间，引领学生课后去探索，从而让学生真正成为学习的主人。在当今的网络社会，学生尤其要善于在网上“淘金”，满足自己学习的需要。网上学习必将成为未来的最为重要的学习方式。
七、课堂小结 这节课你有哪些收获？你能谈谈你对这节课的感受吗？
【设计意图】一个好的小结，不只是对课堂内容的简单回顾，还是对所用数学思想、方法的总结，学生通过自己的总结，不仅促进了对知识的理解，培养了数学表达能力和概括能力，而且通过归纳反思，能有效地把握知识的脉搏，找到知识之间的内在联系，这对于学生主动构建良好的认知结构大有裨益，也让学生从中学会感悟数学。
八、课堂作业
书上第47页习题2.
1 1，2，3 【设计意图】巩固勾股定理，进一步体会定理与实际生活的联系。促进学生学知识，用知识的意识。新课程标准提倡课题学习（研究性学习），通过课题学习与研究更多地把数学与社会生活和其他学科知识联系起来，使学生进一步体会不同的数学知识以及数学与外界之间的联系，初步学习研究问题的方法，提高学生的实践能力和创新意识。
九、教学反思
我认为，本节课较为成功之处在于以下几个转变：
1、教的转变
本节课教师的角色从知识的传授者转变为学生学习的组织者、引导者、合作者与共同研究者，在引导学生探索、发现结论后，利用习题加以巩固，激发学生自觉探究数学问题，体验发现的乐趣。
2、学的转变
学生的角色从学会转变为会学。本节课学生不是停留在学会课本知识层 面，而是站在研究者的角度深入其境。
3、课堂氛围的转变
整节课以“流畅、开放、合作、‘隐’导”为基本特征，教师对学生的 思维减少干预，教学过程呈现一种比较流畅的特征。整节课学生与学生， 学生与教师之间以“对话”、“讨论”为出发点，以互助合作为手段， 解决问题为目的，让学生在宽松的环境中自主探索，获得成功！
推荐第4篇：勾股定理
勾股定理
一、教学背景
勾股定理又叫商高定理、毕氏定理，或称毕达哥拉斯定理，英文译法：Pythagoras\' Theorem。勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单又实用，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。（※关于勾股定理的详细证明，由于证明过程较为繁杂，不予收录。） 人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。
欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。 从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。
勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。 若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。 如此等等。
用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形得到两条直角边，用弦（c）来表示斜边，则可得：勾+股 =弦，亦即：a+b=c
2
22
2
2
2
二、教学课题 勾股定理
三、教学目标
1．了解勾股定理的证明，掌握勾股定理的内容，初步会用它进行有关的计算、作图和证明． 2．通过勾股定理的应用，培养方程的思想和逻辑推理能力．
3．对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，对学生进行爱国主义教育．
四、教学重点与难点
重点是勾股定理的应用；难点是勾股定理的证明及应用．
五、教学过程设计
（一）激发兴趣引入课题 （利用互联网）
通过介绍我国数学家华罗庚的建议——向宇宙发射勾股定理的图形与外星人联系，并说明勾股定理是我国古代数学家于2000年前就发现了的，激发学生对勾股定理的兴趣和自豪感，引入课题． (二)勾股定理的探索，证明过程及命名
1．猜想结论
勾股定理叙述的内容是什么呢？请同学们也体验一下数学家发现新知识的乐趣.让学生观察三个数之间有何数量关系，得出猜想．对比显示锐角三角形、钝角三角形的三边的平方不存在这种关系，因此它是直角三角形所特有的性质．让学生用语言来叙述他的猜想，画图及写出已知、求证． 2．证明猜想
目前世界上可以查到的证明勾股定理的方法有几百种，连美国第20届总统加菲尔德于1881年也提供了一面积证法（见课本第109页图（4）），而我国古代数学家利用割补、拼接图形计算面积的思路提供了很多种证明方法，下面咱们采纳其中一种（教师制作教具演示，见如图3－151）来进行证明． 3．勾股定理的命名
我国称这个结论为“勾股定理”，西方称它为“毕达哥拉斯定理”，为什么呢？
（1）介绍《周髀算经》中对勾股定理的记载；
（2）介绍西方毕达哥拉斯于公元前582～493时期发现了勾股定理； （3）对比以上事实对学生进行爱国主义教育，激励他们奋发向上． ( 三)勾股定理的应用
1．已知直角三角形任两边求第三边．
例 1：在 Rt△ABC中，∠C＝ 90°，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c．
（1）a＝ 6，b＝8求c及斜边上的高；
（2）a＝40，c＝41,求 b； （3）b＝15 ，＝25求 a； (4)a:b＝3:4,c＝15,求b．
说明：对于（1），让学生总结基本图形（图3－153）中利用面积求斜边上高的基本方法；对于（4），引导学生利用方程的思想来解决问题．
教师板书（1），（4）的规范过程，让学生练习（2），（3）．
例2：求图3－152所示（单位mm）矩形零件上两孔中心A和B的距离（精确到0．lmm）．
教师就如何根据图纸上尺寸寻找直角三角形ABC中的已知条件，出示投影．
说明：（1）学会利用方程的思想来解决问题．
（2）通过此题让学生总结并熟悉几个基本图形中的常用结论：
例 3： 如图 3－154， AB＝AC＝20， BC＝32，∠DAC＝ 90°．求 BD的长．
分析：（1）分解基本图形，图中有等腰△ABC和Rt△ADC；
（2）添辅助线——等腰△ABC底边上的高AE，同时它也是Rt△ADC斜边上的高； （3）设BD为X．利用图3－153中的基本关系， 通过列方程来解决．教师板书详细过程．
解： 作AE⊥BC于E．设BD为x,则DE=16-x,AE2=AC2-EC2.又AD2=DE2+AE2=DC2-AC2，将上式代入，得DE2+AC2-EC2=DC2-AC2，即2AC2=DC2+EC2-DE2． ∴2×202=（32-x）2+162-(16-x)2,解得x=7.2．利用勾股定理作图． 例4 ：作长为
的线段．
说明：按课本第101页分析作图即可，强调构造直角三角形的方法以及自己规定单位长．
3．利用勾股定理证明．
例5： 如图3-155，△ABC中，CD⊥AB于D，AC>BC.求证：AC2-BC2=AD2-BD2=AB（AD-BD）． 分析：（1）分解出直角三角形使用勾股定理． Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2；Rt△BCD中，BC2=CD2+BD2． （2）利用代数中的恒等变形技巧进行整理： AC2-BC2=（AD2+CD2）-（CD2+BD2）
=AD2-BD2＝（AD+BD）（AD-BD）＝AB（AD-BD）．
（4）已知：3-160（a）,矩形ABCD．（四个角是直角）
①Ｐ为矩形内一点，求证PA２＋ PC2＝ PB2＋ PD2
②探索P运动到AD边上（图3－160（b））、矩形ABCD外(图3－160（C））时，结论是否仍然成立．
分析：（1）添加辅助线——过P作EF⊥BC交AD干E，交BC于F．在四个直角三角形中分别使用勾股定理．
（2）可将三个题归纳成一个命题如下：
矩形所在平面上任一点到不相邻顶点的距离的平方和相等． (四)师生共同回忆小结
1．勾股定理的内容及证明方法．
2．勾股定理的作用：它能把三角形的形的特征（一角为90°）转化为数量关系，即三边满足a2+b2=c2. 3．利用勾股定理进行有关计算和证明时，要注意利用方程的思想求直角三角形有关线段
长；利用添加辅助线的方法构造直角三角形使用勾股定理． (五)作业
课本第106页第2～8题．
六、教学反思：
1．勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是直角三角形的一个重要性质．本教学设计利用计算机（几何画板软件动态显示）的优越条件，提供足够充分的典型材料——形状大小、位置发生变化的各种直角三角形，让学生观察分析，归纳概括，探索出直角三角形三边之间的关系式，并通过与锐角、钝角三角形的对比，强调直角三角形的这个特有性质，体现了启发学生独立分析问题、发现问题、总结规律的教学方法．
2． 各学校根据自己的教学条件还可以采纳以下类比联想的探索方式来引入新课．
（1）复习三角形三边的关系，总结出规律：较小两边的和大于第三边． （2）引导学生类比联想：较小两边的平方和与第三边的平方有何大小关系呢？ （3）举出三个事例（见图3－161（a）（b）（ c））．
对比发现锐角、钝角三角形中两较小边的平方和分别大于或小于第三边的平方，直角三角形中较小两边的平方和等于第三边的平方． （4）用教具演示图3－151，验证对直角三角形所做的猜想．
推荐第5篇：勾股定理
勾股定理
勾股定理又叫毕氏定理：在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。 据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过 4000 年！又据记载，现时世上共有超过 300 个对这定理的证明！
勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。
勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究，希腊著名数学家毕达哥拉斯（前580至568- 前501至500）曾对本定理有所研究，故西方国家均 称此定理为毕达哥拉斯定理，据说毕达哥拉斯十分喜爱这个定理，当他在公元前550前年左右发现这个定理时，宰杀了百头牛羊以谢神的默示．但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传．著名的希腊数学家欧几里得（前330-前275）在巨著《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明：分别以直角三角形的直角边AB，AC及斜边BC向外作正方形，ABFH，AGKC及BCED，连FC，BK，作AL⊥DE．则欧几里得通过△BCF及△BCK为媒介．证明了正方形ABFH与矩形BDLM及正方形ACKG与矩形MLEC等积，于是推得AB2+AC2=BC2．
在我国，这个定理的叙述最早见于《周髀算经》（大约成书于公元前一世纪前的西汉时期），书中有一段商高（约前1120）答周公问中有“勾广三 ，股修四，经隅五”的话，意即直角三角形的两条直角边是3及
4、则斜边是5．书中还记载了陈子（前716）答荣方问：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之、得邪至日”，古汉语中邪作斜解，因此这一句话明确陈述了勾股定理的内容．至三国的赵爽（约3世纪），在他的数学文献《勾股圆方图》中（作为《周髀算经》的注文，而被保留于该书之中）．运用弦图，巧妙的证明了勾股定理．他把三角形涂成红色，其面积叫“朱实”，中间正方形涂成黄色叫做“中黄实”，也叫“差实”．他写道：“按弦图，又可勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差相乘为中黄实，加差实，亦称弦实”．若用现在的符号，分别用a、b、c记勾、股、弦之长，赵爽所述即2ab+(a-b)²=c²，化简之得a²+b²=c²．
欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。
从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。
勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。
若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。
总之，在勾股定理探索的道路上，我们走向了数学殿堂。
初二5 汪宁
推荐第6篇：勾股定理
勾股定理
勾股定理又称商高定理、毕达哥拉斯定理，简称“毕氏定理”，是平面几何中一个基本而重要的定理。勾股定理说明，平面上的直角三角形的两条直角边的长度（古称勾长、股长）的平方和等于斜边长（古称弦长）的平方。反之，若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方，则它是直角三角形（直角所对的边是第三边）。
勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一。古埃及在公元前2600年的纸莎草就有(3,4,5)这一组勾股数，而古巴比伦泥板涉及的最大的一个勾股数组是（18541， 12709，13500）。在中国数学史中同样源远流长，是中算的重中之重。《周髀算经》中将勾股定理表述为“勾股各自乘，并而开方除之”。古希腊发现勾股定理的是毕达哥拉斯，所以勾股定理又称毕达哥拉斯定理。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝（百牛大祭），因此又称百牛定理。
商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作 《周髀 算经》中记录着商 高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。这就是著名的勾股定理.关于勾股定理的发现，《周髀算经》上说：\"故禹之所以治天下者，此数之所由生也。\"\"此数\"指的是\"勾三股四弦五\"，这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。
另外，勾股定理的证法有毕达哥拉斯证法，赵爽弦图证法，总统证法等。
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勾股定理的说课教案
1.教学目标：
（1）知识与技能：让学生掌握勾股定理，并能运用勾股定理求直角三角形
（2）过程与方法：经历探索勾股定理的过程，体验数学学习探究的方法。体会数形结合。
2.教学重点：勾股定理的探索过程，勾股定理的证明及其简单应用。
3.教学过程:
（一）创设情境，引发思考:
探究1：引入故事：毕达哥拉斯
设计意图：由毕达哥拉斯在朋友家做客的偶然发现，开始勾股定理的探索。
(二)让学生经过探索，得出勾股定理的定义。
探究1：观察图1，可发现等腰直角三角形有什么性质?
得出结论：在等腰直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。 探究2：除等腰直角三角形外，其它的直角三角形也满足这个性质吗？
探究3：让学生自己动手画直角三角形，体会这个性质。
（三）得出勾股定理的定义：如果直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c，那么a²+b²=c²。
（四）勾股定理的证明过程：介绍一种证明方法，让学生课后思考其它的证明方法，下节课讨论。
（五）举例和做练习，让学生运用勾股定理解决求直角三角形边长的问题。
（六）课堂小结，回顾所学的内容。
（七）让学生课后思考：1.锐角三角形，钝角三角形也满足这个关系吗？
2.证明勾股定理还有什么方法？
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勾股定理
勾股定理在西方又称“毕达哥拉斯定理”，就是指三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称两直角边为勾(一般指较短直角边)和股、斜边为弦，所以也称此定理为勾股定理。
我国最早的数学文献《周髀算经》(约成书于公元前157年前)中记述了周公(击武王弟弟)与古代数学家商高的一段对话，首先提出了勾股形的问题。商高说：“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五”。意思说，如果直角三角形两直角边长是3和4，那么它的斜边必定是5。这是勾股定理的一个特例。商高时代，约比古希腊数学家毕达哥拉斯早500年。
我国对于勾股定理的证明，最早的形式见于公元3世纪吴国人赵爽(字君卿)所著《勾股圆方图注》，在这篇短文中，赵爽用割补法画了一张所谓的“弦图”(见图)，其中每一个直角三角形称为“朱实”，中间的一个小正方形叫“中黄实”，以弦为边的正方形ABEF叫“弦实”。由于四个朱实加上一个中黄实就等于弦实，所以有下式成立：
4×化简后即得
a2+b2=c2
这个证法通过图形的分割、移补，精霖总结了我国东汉以前在勾股定理方面的光辉成就。赵爽的证法与印度数学家婆斯伽罗在公元1150年的证法相似，婆氏也曾作出类似的图形。世界上对勾股定理的证明方法很多，1940年有人出了一本勾股定理证明专集，其中收集了365种证法，当然，证法还不止这些。 1ab+(b-a) 2=c2 2
1876年，加菲尔德(1881年任美国总统)想出了一个相当精采的证明： 如图，梯形面积=又可得
ab1×(a+b) =(a2+2ab+ b2).22梯形面积=12111c+ab+ab =(c2+2ab) 2222比较两式，可得a2+b2=c2 。
推荐第9篇：勾股定理
勾股定理
勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。 勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。[1]
中文名 勾股定理 外文名 Pythagoras theorem 别
称 商高定理、毕达哥拉斯定理、百牛定理 表达式 a²+b²=c² 提出者毕达哥拉斯
赵爽
商高 提出时间 公元前551年 应用学科 几何学 适用领域范围 数学，几何学 适用领域范围 数学，几何学 中国记载著作 《周髀算经》《九章算术》 外国记载著作 《几何原本》 限制条件 直角三角形 在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是
和
，斜边长度是
，那么可以用数学语言表达： 勾股定理是余弦定理中的一个特例。
推导 赵爽弦图
《九章算术》中，赵爽描述此图：“勾股各自乘，并之为玄实。开方除之，即玄。案玄图有可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四。以勾股之差自相乘为中黄实。加差实亦成玄实。以差实减玄实，半其余。以差为从法，开方除之，复得勾矣。加差于勾即股。凡并勾股之实，即成玄实。或矩于内，或方于外。形诡而量均，体殊而数齐。勾实之矩以股玄差为广，股玄并为袤。而股实方其里。减矩勾之实于玄实，开其余即股。倍股在两边为从法，开矩勾之角即股玄差。加股为玄。以差除勾实得股玄并。以并除勾实亦得股玄差。令并自乘与勾实为实。倍并为法。所得亦玄。勾实减并自乘，如法为股。股实之矩以勾玄差为广，勾玄并为袤。而勾实方其里，减矩股之实于玄实，开其余即勾。倍勾在两边为从法，开矩股之角，即勾玄差。加勾为玄。以差除股实得勾玄并。以并除股实亦得勾玄差。令并自乘与股实为实。倍并为法。所得亦玄。股实减并自乘如法为勾，两差相乘倍而开之，所得以股玄差增之为勾。以勾玄差增之为股。两差增之为玄。倍玄
实列勾股差实，见并实者，以图考之，倍玄实满外大方而多黄实。黄实之多，即勾股差实。以差实减之，开其余，得外大方。大方之面，即勾股并也。令并自乘，倍玄实乃减之，开其余，得中黄方。黄方之面，即勾股差。以差减并而半之为勾。加差于并而半之为股。其倍玄为广袤合。令勾股见者自乘为其实。四实以减之，开其余，所得为差。以差减合半其余为广。减广于玄即所求也。”
用现代的数学语言描述就是黄实的面积等于大正方形的面积减去四个朱实的面积。 2002年第24届国际数学家大会（ICM）的会标即为该图。
加菲尔德证法
加菲尔德在证出此结论5年后，成为美国第20任总统，所以人们又称其为“总统证法”。 在直角梯形ABDE中，∠AEC=∠CDB=90°，△AEC≌△CDB，
，
，
∵
加菲尔德证法变式
该证明为加菲尔德证法的变式。
如果将大正方形边长为c的小正方形沿对角线切开，则回到了加菲尔德证 法。相反，若将上图中两个梯形拼在一起，就变为了此证明方法。
大正方形的面积等于中间正方形的面积加上四个三角形的面积，即:
青朱出入图
青朱出入图，是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法，特色鲜明、通俗易懂。 刘徽描述此图，“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂。开方除之，即弦也。”其大意为，一个任意直角三角形，以勾宽作红色正方形即朱方，以股长作青色正方形即青方。将朱方、青方两个正方形对齐底边排列，再以盈补虚，分割线内不动，线外则“各从其类”，以合成弦的正方形即弦方，弦方开方即为弦长。
欧几里得证法
在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。
在这个定理的证明中，我们需要如下四个辅助定理：
如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。
任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。 欧几里得证法 证明的思路为：从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，把上方的两个正方形，通过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。
设△ABC为一直角三角形，其直角为∠CAB。
其边为BC、AB和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 画出过点A之BD、CE的平行线，分别垂直BC和DE于K、L。 分别连接CF、AD，形成△BCF、△BDA。
∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共线，同理可证B、A和H共线。 ∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。 因为AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。
因为A与K和L在同一直线上，所以四边形BDLK=2△ABD。 因为C、A和G在同一直线上，所以正方形BAGF=2△FBC。 因此四边形BDLK=BAGF=AB²。
同理可证，四边形CKLE=ACIH=AC²。
把这两个结果相加，AB²+AC²=BD×BK+KL×KC 由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB²+AC²=BC²，即a²+b²=c²。 此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的。 由于这个定理的证明依赖于平行公理，而且从这个定理可以推出平行公理，很多人质疑平行公理是这个定理的必要条件，一直到十九世纪尝试否定第五公理的非欧几何出现。 推广编辑 勾股数组
勾股数组是满足勾股定理 例如 就是一组勾股数组。
，
。
，
的正整数组
，其中的
称为勾股数。任意一组勾股数
可以表示为如下形式：
，其中
均为正整数，且
定理用途
已知直角三角形两边求解第三边，或者已知三角形的三边长度，证明该三角形为直角三角形或用来证明该三角形内两边垂直。利用勾股定理求线段长度这是勾股定理的最基本运用。[4] 简史编辑 中国
公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾
三、股
四、弦五”。《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“„故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，根据该典故称勾股定理为商高定理。
公元三世纪，三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，记录于《九章算术》中“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。后刘徽在刘徽注中亦证明了勾股定理。 在中国清朝末年，数学家华蘅芳提出了二十多种对于勾股定理证法。 外国
远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，他们还知道许多勾股数组。美国哥伦比亚大学图书馆内收藏着一块编号为“普林顿322”的古巴比伦泥板，上面就记载了很多勾股数。古埃及人在建筑宏伟的金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时，也应用过勾股定理。 公元前六世纪，希腊数学家毕达哥拉斯证明了勾股定理，因而西方人都习惯地称这个定理为毕达哥拉斯定理。
公元前4世纪，希腊数学家欧几里得在《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个证明。 1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的一个证法。 1940年《毕达哥拉斯命题》出版，收集了367种不同的证法。 意义编辑
1．勾股定理的证明是论证几何的发端；
2．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，即它是第一个把几何与代数联系起来的定理；
3．勾股定理导致了无理数的发现，引起第一次数学危机，大大加深了人们对数的理解；
4．勾股定理是历史上第—个给出了完全解答的不定方程，它引出了费马大定理；
5．勾股定理是欧氏几何的基础定理，并有巨大的实用价值．这条定理不仅在几何学中是一颗光彩夺目的明珠，被誉为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他科学领域也有着广泛的应用．1971年5月15日，尼加拉瓜发行了一套题为“改变世界面貌的十个数学公式”邮票，这十个数学公式由著名数学家选出的，勾股定理是其中之首。
推荐第10篇：勾股定理
勾股定理
勾股定理，又称“毕达哥拉斯定理”，是初等几何中的一个基本定理。这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，上至帝王总统，下至平民百姓，都愿意探讨和研究它的证明。它是几何学中一颗闪亮的明珠。
所谓勾股，就是古人把弯曲成一个直角三角形模样的手臂，上臂（即直角三角形的底边）称为“勾”，前臂（即直角三角形的高）称为“股”，所以称之为“勾股”。也许是因为勾股定理十分实用，所以便反复被人们论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理证明专辑。从勾股定理的发现到现在，大约3000年里，勾股定理的证明方法多种多样：有的简洁明了，有的略微复杂，有的十分精彩……本文将会带着大家一起来证明勾股定理并解决一些实际问题。
勾股定理、证明、解决实际问题 什么是勾股定理？
又称商高定理，而更普遍地则称为勾股定理。中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。
中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。还有的国家称勾股定理为“毕达哥拉斯定理”。
在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了
庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”。
蒋铭祖定理：蒋铭祖是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《蒋铭祖算经》中记录着商 高同周公的一段对话。蒋铭祖说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”蒋铭祖那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。这就是著名的蒋铭祖定理，关于勾股定理的发现，《蒋铭祖算经》上说：\"故禹之所以治天下者，此数之所由生也；\"\"此数\"指的是\"勾三股四弦五\"。这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。 勾股定理的发现
相传毕达哥拉斯在在一次散步中，偶然看见了地上由几块三角形瓷砖拼成的一个长方形瓷砖，如图：
毕达哥拉斯灵机一动，用手在上面比划了起来。大家看，以直角三角形各边为正方形的边长，可拼出不同的正方形。以直角三角形斜边为正方形边长，可拼出一个这样的正方形：
其面积为：直角三角形斜边的平方
其中有四块直角三角形。
以直角三角形底和高做正方形边长，可拼出一个这样的正方形： 其面积为：底边（高）的平方 其中有两块直角三角形。
因为长方形瓷砖面积不变，所以所有第二种正方形面积和与所有第一种正方形面积和相等。因此毕达哥拉斯得出这样一个结论：在一个直角三角形中，底边的平方+高的平方=斜边的平方。这就是勾股定理。
勾股定理的证明
勾股定理证明方法有很多，下面这种是一位名叫茄菲尔德的美国总统证明的：
勾股定理的运用
说了这么多，也许有人会问“勾股定理有什么用呢？”
其实，勾股定理对我们的生活帮助可不小！尤其是在测量、建筑方面。下面，让我们来解决一下实际问题吧！
有一座山，高500米。在山脚下，有两个登山口，它们之间的距离是2400米。登山路沿着山的斜面修建（如图），我们从左面的登山口上山，到山顶的距离是多少？
这道题看似与勾股定理没什么关系，但是仔细看图，这是一个直角三角形！
已知直角三角形的斜边是2400米，要求其中一条直角边，我们应先做辅助线，将这座山分成两半：
这样，问题就转化成了求这左边这半直角三角形的斜边。原底边的长度是2400，现在是一半，即为1200，另一条直角边是500。根据勾股定理，底边²+高²=斜边²，计算时，把1200写成12，把500写成5，即12²+5²=25+144=169，多少的平方是169呢？答案是13，因为前面的1200和500缩小了100倍，所以13要扩大100倍，即1300。所以登山路的长度是1300米。 总结
这就是勾股定理的妙用，还不止这些。尤其是测量三个地方之间的距离时，勾股定理是我们的一大帮手。总之，勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。它的主要意义有：
1、勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。
2、勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数\"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。
3、勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。
4、勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。
第11篇：勾股定理
由“勾股定理”可知
M2—5班
郑天麒
今天，我来和大家讨论一下“勾股定理”这个问题。
首先，我来介绍一下“勾股定理”的发现者：古希腊的毕达哥拉斯和中国周朝时期的商高。
毕达哥拉斯：古希腊数学家、哲学家。无论是解说外在物质世界，还是描写内在精神世界，都不能没有数学!最早悟出万事万物背后都有数的法则在起作用的，是生活在2500年前的毕达哥拉斯。 毕达哥拉斯出生在爱琴海中的萨摩斯岛(今希腊东部小岛)，自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学。以后因为向往东方的智慧，经过万水千山来到巴比伦、印度和埃及，吸收了阿拉伯文明和印度文明。
商高：周朝数学家。数学成就据《周髀算经》记载，主要有三方面：勾股定理、测量术和分数运算。《周髀算经》中记载了这样一件事——一次周公问商高：古时作天文测量和订立历法，天没有台阶可以攀登上去，地又不能用尺寸去测量，请问数是怎样得来的？商高回答说：数是根据圆和方的道理得来的，圆从方来，方又从矩来。矩是根据乘、除计算出来的。这里的“矩”原是指包含直角的作图工具。这说明了“勾股测量术”，即可用3∶4∶5的办法来构成直角三角形。《周髀算经》并有“勾股各自乘，并而开方除之”的记载，说明当时已普遍使用了勾股定理。勾股定理是中国数学家的独立发明，在中国早有记载。《周髀算经》还记载了矩的用途：“周公曰：大哉言数！请问用矩之道。商高曰：平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方。”据此可知，当时善于用矩的商高已知道用相似关系的测量术。“环矩为圆”，即直径上的圆周角是直角的几何定理，这比西方的发现要早好几百年。
其次，我再来介绍一下“勾股定理”： 在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）。数学公式中常写作a＋b＝c（两直角边分别为a.b，斜边为c）
“勾股定理”的来源：毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。 《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。常用勾股数3， 4 ，5；6， 8 ，10；5 ，12 ，13；8 ，15 ，17。
毕达哥拉斯树：毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。又因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。两个相邻的小正方型面积的和等于相邻的一个大正方形的面积。利用不等式a^2+b^2≥2ab可以证明下面的结论：三个正方形之间的三角形，其面积小于等于大正方形面积的四分之一，大于等于一个小正方形面积的二分之一。
毕达哥拉斯树
所以说，发现“勾股定理”的确是数学界的一大杰出贡献。 最后，我还是要说明，世界上最早运用“勾股定理”的实际上是古巴比伦人，因为：1945年，人们在研究古巴比伦人遗留下的一块数学泥板时，惊讶的发现上面竟然刻有15组能够成“勾股定理”的三边数，其年代远远早于商高之前。
第12篇：勾股定理
《勾股定理》说课稿
尊敬的各位评委、老师，您们好，今天我说课的内容是人教版《数学》八年级下册第十八章第一节《勾股定理》第一课时，我将从教材、教法与学法、教学过程、教学评价以及设计说明五个方面来阐述对本节课的理解与设计。
一、教材分析：
（一） 教材的地位与作用 从知识结构上看，勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，为后续学习解直角三角形提供重要的理论依据，在现实生活中有着广泛的应用。
从学生认知结构上看，它把形的特征转化成数量关系，架起了几何与代数之间的桥梁； 勾股定理又是对学生进行爱国主义教育的良好素材，因此具有相当重要的地位和作用。 根据数学新课程标准以及八年级学生的认知水平我确定如下学习目标：知识技能、数学思考、问题解决、情感态度。其中【情感态度】方面，以我国数学文化为主线，激发学生热爱祖国悠久文化的情感。
（二）重点与难点
为变被动接受为主动探究，我确定本节课的重点为：勾股定理的探索过程。限于八年级学生的思维水平，我将面积法（拼图法）发现勾股定理确定为本节课的难点，我将引导学生动手实验突出重点，合作交流突破难点。
二、教学与学法分析
教学方法 叶圣陶说过“教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。”因此教师利用几何直观提出问题，引导学生由浅入深的探索，设计实验让学生进行验证，感悟其中所蕴涵的思想方法。
学法指导 为把学习的主动权还给学生，教师鼓励学生采用动手实践，自主探索、合作交流的学习方法，让学生亲自感知体验知识的形成过程。
三、教学过程
我国数学文化源远流长、博大精深，为了使学生感受其传承的魅力，我将本节课设计为以下五个环节。
首先，情境导入 古韵今风
给出《七巧八分图》中的一组图片，让学生利用两组七巧板进行合作拼图。（请看视频）让学生观察并思考三个正方形面积之间的关系？它们围成了什么三角形？反映在三边上,又蕴含着什么数学奥秘呢？寓教于乐，激发学生好奇、探究的欲望。 第二步 追溯历史 解密真相
勾股定理的探索过程是本节课的重点，依照数学知识的循序渐进、螺旋上升的原则，我设计如下三个活动。
从上面低起点的问题入手，有利于学生参与探索。学生很容易发现，在等腰三角形中存在如下关系。巧妙的将面积之间的关系转化为边长之间的关系，体现了转化的思想。观察发现虽然直观，但面积计算更具说服力。将图形转化为边在格线上的图形，以便于计算图形面积，体现了数形结合的思想。学生会想到用“数格子”的方法，这种方法虽然简单易行，但对于下一步探索一般直角三角形并不适用，具有局限性。因此教师应引导学生利用“割”和“补”的方法求正方形C的面积，为下一步探索复杂图形的面积做铺垫。 突破等腰直角三角形的束缚，探索在一般情况下的直角三角形是否也存在这一结论呢？体现了“从特殊到一般”的认知规律。教师给出边长单位长度分别为
3、
4、5的直角三角形，避免了学生因作图不准确而产生的错误，也为下面 “勾三股四弦五”的提出埋下伏笔。有了上一环节的铺垫，有效地分散了难点。在求正方形C的面积时，学生将展示“割”的方法， “补”的方法，有的学生可能会发现平移的方法，旋转的方法，对于这两种新方法教师应给于表扬，肯定学生的研究成果，培养学生的类比、迁移以及探索问题的能力。
使用几何画板动态演示，使几何与代数之间的关系可视化。当为直角三角形时，改变三边长度三边关系不变，当∠α为锐角或钝角时，三边关系就改变了，进而强调了命题成立的前提条件必须是直角三角形。加深学生对勾股定理理解的同时也拓展了学生的视野。
以上三个环节层层深入步步引导，学生归纳得到命题1，从而培养学生的合情推理能力以及语言表达能力。
感性认识未必是正确的，推理验证证实我们的猜想。 第三步 推陈出新 借古鼎新
教材中直接给出“赵爽弦图”的证法对学生的思维是一种禁锢，教师创新使用教材，利用拼图活动解放学生的大脑，让学生发挥自己的聪明才智证明勾股定理。这是教学的难点也是重点，教师应给学生充分的自主探索的时间与空间，让学生的思维在相互讨论中碰撞、在相互学习中完善。教师深入到学生中间，观察学生探究方法接受学生的质疑，对于不同的拼图方案给予肯定。从而体现出“学生是学习的主体，教师是组织者、引导者与合作者”这一教学理念。学生会发现两种证明方案。
方案1为赵爽弦图，学生讲解论证过程，再现古代数学家的探索方法。方案2为学生自己探索的结果，论证之巧较方案1有异曲同工之妙。整个探索过程，让学生经历由表面到本质，由合情推理到演绎推理的发掘过程，体会数学的严谨性。对比“古”、“今”两种证法，让学生体会“吹尽黄沙始到金”的喜悦，感受到“青出于蓝而胜于蓝”的自豪感。板书勾股定理，进而给出字母表示，培养学生的符号意识。
教师对“勾、股、弦”的含义以及古今中外对勾股定理的研究做一个介绍，使学生感受数学文化，培养民族自豪感和爱国主义精神。利用勾股树动态演示，让学生欣赏数学的精巧、优美。
第四步 取其精华 古为今用
我按照“理解—掌握—运用”的梯度设计了如下三组习题。 （1）对应难点，巩固所学；（2）考查重点，深化新知；（3）解决问题，感受应用 第五步 温故反思 任务后延 在课堂接近尾声时，我鼓励学生从“四基”的要求对本节课进行小结。进而总结出一个定理、二个方案、三种思想、四种经验。
然后布置作业，分层作业体现了教育面向全体学生的理念。
四、教学评价
在探究活动中，教师评价、学生自评与互评相结合，从而体现评价主体多元化和评价方式的多样化。
五、设计说明
本节课探究体验贯穿始终，展示交流贯穿始终，习惯养成贯穿始终，情感教育贯穿始终，文化育人贯穿始终。
以上就是我对《勾股定理》这一课的设计说明，有不足之处请评委老师们指正，谢谢大家。
第13篇：勾股定理说课稿
勾股定理说课稿
尊敬的老师、同学们：
你们好！下面是我的说课内容，今天我说课的题目是《勾股定理》。下面我从教学课题、教学目标、教学重点难点、教学过程等方面对本课的设计进行说明。
一、说教学课题
本节课是义务教育课程标准人民教育出版社八年级下册初中数学第十八章第一节的第一课时。勾股定理贯穿了直角三角形的整个教学，是学生在已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的，同时为学生进一步学习直角三角形的逆定理奠定了基础，在实际生活中用途很大。通过2002年国际数学家大会会徽图案，引入勾股定理，进而探索直角三角形三边的数量关系，有助于培养学生的动手操作能力和观察分析问题能力，通过实际分析、拼图等活动使学生获得较为直观的印象。
二.说教学目标
根据八年级学生的认知水平，依据新课程标准和教学大纲的要求我制订了如下教学目标：
知识与能力目标：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，培养在实际生活发现问题总结规律的意识和能力。
过程与方法目标：通过创设情境，经历“观察——猜想——归纳——验证”的数学发现过程及通过数学知识之间的内在联系体会“数形结合”和“特殊到一般”的思想方法。
感情态度价值观：感受数学文化，激发学生的学习热情，体验合作学习成功的喜悦，增强民族自豪感，感受数学对社会发展的推动作用。
三.说教学重重点与难点
通过分析可见，勾股定理是平面几何的重要定理，在今后的生活实践中有着广泛运用。因此我确定本课的教学重点为勾股定理的证明与应用。而用面积相等对勾股定理进行证明对学生来说有一定的难度，为此我确定本课的教学难点为用拼图的方法来证明勾股定理。
四、说教学过程
（一）创设情境，引入新课
我利用多媒体课件，给学生展示2002年国际数学家大会的场面，通过观察会徽图案，提出问题，从现实生活中提出赵爽弦图，激发学生的热情和求知欲，进而引出课题。
（二）引导学生，探究新知
①初步感知定理：这一环节我选择了教材的图片，讲述毕达哥拉斯到朋友家做客时发现用砖铺成的地面，其中含有等腰直角三角形三边的数量关系，创设感知情境，提出问题：现在请你观察，看看有什么发现？教师配合演示，使问题更形象、具体。
②提出猜想：在活动1的基础上，学生已发现一些规律，进一步通过活动2进行看一看、填一填、想一想、做一做，让学生感受不只是等腰直角三角形才具有这样的性质，使学生再由浅到深，由特殊到一般的提出问题，启发学生得出猜想：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
③证明猜想：是不是所有的直角三角形都有这样的特点呢？这就需要我们对一个一般的直角三角形进行证明：我利用多媒体课件，给学生演示赵爽弦图的拼图实验，进而分散了教学难点，发现了利用面积相等去证明勾股定理的方法，生动直观地得出直角三角形三边的关系。
④总结定理：让学生自己总结，不完善之处由教师补充，在前面探究活动的基础上，学生容易得出直角三角形的三边数量关系即勾股定理，培养了学生的语言表达能力和归纳概括能力。
（三）应用举例，巩固定理
我通过讲解课本上的探究
一、探究二让学生进一步加强对勾股定理的理解和应用。
(四)归纳总结，深化新知
小结：通过本节课的学习，我们主要学习了勾股定理的内容及其用面积法证明定理，通过小结，使知识构成一个体系。
（五）布置作业。
给学生布置三到四个作业，达到掌握、巩固知识的目的。
五、说板书设计 在黑板上进行必要的分析过程，以及板书勾股定理的内容，来加强学生的记忆效率。
六、说教学媒体使用
我采取了多媒体课件的使用，生动形象地展示了图形的拼凑过程，提高了学生的思维空间。
七、说教学方法
“教必有法，而教无定法”，只有方法恰当，才会有效。根据本课内容特点和八年级学生思维活动特点，我采用了探究教学法、逐步渗透教学法和师生共研相结合的方法。
八、说学生学法指导
“授人以鱼，不如授人以渔”，通过设计问题、多媒体演示，引导学生主动探究新知，合作交流，体现学习的自主性，从不同层次发掘学生的创新精神。
第14篇：19.9勾股定理
课题：19.9（1）勾股定理
一、教学目标
1、理解用面积割补方法证明勾股定理的思路，掌握勾股定理的内容及简单应用；
2、经历勾股定理的这一完整推导过程，增强数学的学习兴趣；
3、了解勾股定理的重要性以及它在人类重大科技发现中的地位.
二、教学重点、难点
重点：勾股定理的内容及简单应用.难点：勾股定理的面积证法.
三、教学方法 讲解法.
四、教具准备 多媒体课件.
五、教学过程
（一）创设情境，引入新课
一、课前练习
2002年国际数学家大会在北京召开.右图是会徽.它有什么意义? 为什么选它作为会徽你知道吗?
【说明：】提出问题，激发学习动机和兴趣。
（二）合作交流，探索新知
1
勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 符号表达式：
在Rt△ABC中，∠C=90º，∴a2b2c2 .【说明：】引导学生利用面积法证明勾股定理。
加深对勾股定理探究方法的理解。 注意：勾股定理公式的变形。
（三）应用新知，尝试练习
1、例题讲解（1）
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°. (1) 若a=5,b=12.求c.
(2) 若a=8,c=17.求b.
2、尝试练习.求下列图中字母所表示的正方形的面积: (1)S1=_____;(2)S2=_____;(3)S3=_____.
【说明：】在直角三角形中已知任意两条边的长，根据勾股定理求出第三边的长。
3、例题讲解（2）：
求边长为a的等边三角形的面积.
4、巩固与应用
已知等腰直角三角形的腰长为5,求这个三角形的周长.【说明：】本题具有典型性。
一是作高求面积的通法，二是等边三角形的面积与边长平方的倍数关系。
（四）归纳总结，形成体系 勾股定理
1、了解勾股定理的证明。
2、勾股定理：
3、勾股定理的简单应用。
（五）布置作业，巩固提高 练习册《19.9（1）》习题
六、教学后记：
第15篇：勾股定理故事
勾股定理故事
商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，处于奴隶社会时期。在中国古代大约是西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。周公问商高：“天不可阶而升，地不可将尽寸而度。”天的高度和地面的一些测量的数字是怎么样得到的呢？商高说：“故折矩以为勾广三，股修四，经隅五。”即我们常说的勾三股四弦五。什么是“勾、股”呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。商高答话的意思是：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫做“商高定理”。
关于勾股定理的发现，《周髀算经》上说：“故禹之所以治天下者，此数之所由生也。”“此数”指的是“勾三股四弦五”，这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。
欧洲人则称这个定理为毕达哥拉斯定理。毕达哥拉斯（PythAgorAs）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人。希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺。因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”。所以他就把这个定理称为\"毕达哥拉斯定理\"，以后就流传开了。
尽管希腊人称勾股定理为毕达哥拉斯定理或“百牛定理”，法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”，但据推算，他们发现勾股定理的时间都比我国晚。我国是世界上最早发现勾股定理这一几何宝藏的国家！
第16篇：勾股定理教案
勾股定理
教学目标
1、了解勾股定理的推理过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理；
2、从实际问题中抽象出数学模型，利用勾股定理解决，渗透建模思想和数形结合思想；
3、通过研究一系列富有探究性的问题，培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力．
知识梳理
1．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于_____的平方．
222如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a+b=c． （2）勾股定理应用的前提条件是在___三角形中．
222222222222（3）勾股定理公式a+b=c 的变形有：a=c﹣b，b=c﹣a及c=a+b．
2222（4）由于a+b=c＞a，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
2.直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角___．
性质3：在直角三角形中，斜边上的___等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．
性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的___；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于___． 3．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：
①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
4．平面展开-最短路径问题
（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，_________．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
1 （2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．
典型例题
1.勾股定理．
【例1】（2014•临沂蒙阴中学期末）已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（
）
A．21 B．15C．6 D．以上答案都不对．
练1.（2014秋•绥化六中质检）在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（
）
A．84 B．24 C．24或84 D．42或84 练2.（2014春•江西赣州中学期末）如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（
）
A．1 B． C． D．2 2.等腰直角三角形．
【例2】（2014•鹰潭中学校级模拟）已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（
）
A．2 B．2 C．2 D．2
练3.将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余n﹣2n﹣1n
n+1部分展开后的平面图形是（
）A． B．
C．
D．
3.等边三角形的性质；勾股定理．
【例3】（2014•福建泉州中学一模）以边长为2厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形，以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以此类推，则第十个正三角形的边长是（
）
2 A．2×（）厘米 B．2×（）厘米 109
C．2×（）厘米 D．2×（
10
）厘米
9练4.等边三角形ABC的边长是4，以AB边所在的直线为x轴，AB边的中点为原点，建立直角坐标系，则顶点C的坐标为
． 4．勾股定理的应用． 【例4】（2014•福建晋江中学月考）工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（
） A．80cm B．C．80cm或 D．60cm 练5.现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（
） A．米 B．米 C．米或米 D．米 5．平面展开-最短路径问题． 【例5】（2014•贵阳八中期中）如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（
）
A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm 练6．（2014春•普宁市校级期中）如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（
）m．
A．4.8 B． C．5
D．
随堂检测
1．已知两边的长分别为8，15，若要组成一个直角三角形，则第三边应该为（
） A．不能确定 B． C．17 D．17或
2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若∠A：∠B：∠C=1：2：3．则a：b：c =（
） A．1：：2 B．：1：2 C．1：1：2 D．1：2：3 3．直角三角形的两边长分别为3厘米，4厘米，则这个直角三角形的周长为（
） A．12厘米 B．15厘米 C．12或15厘米 D．12或（7+）厘米 4．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树
米之外才是安全的．
5．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为
m．
3
6．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是 米．（精确到0.01米）
课堂小结
_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 课后作业
1．若一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则满足此三角形的x值为（
） A．5 B． C．5或 D．没有
2．已知直角三角形有两条边的长分别是3cm，4cm，那么第三条边的长是（
） A．5cm B．cm C．5cm或cm D．cm
23．已知Rt△ABC中的三边长为a、b、c，若a=8，b=15，那么c等于（
） A．161 B．289 C．225 D．161或289 4．一个等腰三角形的腰长为5，底边上的高为4，这个等腰三角形的周长是（
） A．12 B．13 C．16 D．18 5．长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是 cm．
6．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用
秒钟．
4 7．如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A出发，在盒子的表面上爬到点C1，已知AB=5cm，BC=3cm，CC1=4cm，则这只蚂蚁爬行的最短路程是
cm．
8．如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是
米．
9．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10（单位：cm），在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小值大约为
cm． （精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2）．
10．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为
mm．
5
第17篇：勾股定理证明
勾股定理证明
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。
以下即为一种证明方法：
如图，这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为 的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。
∵△ABE＋△AED＋△CED＝梯形ABCD
∴（ab+ab+c²）÷2＝(a+b)(a+b)/2 ∴
∴c²=a²+b²，即在直角三角形中，斜边长的平方等于两直角边的平方和
初二十四班秦煜暄
第18篇：勾股定理教案
勾股定理
作者：范丹初中 耿占华
一、素质教育目标
（一）知识教育点
1、用验证法发现直角三角形中存在的边的关系。
2、掌握定理证明的基本方法。
（二）能力训练点
观察和分析直角三角形中，两边的变化对第三边的影响，总结出直角三角形各边的基本关系。
（三）德育渗透点
培养学生掌握由特殊到一般的化归思想，从具体到抽象的思维方法，以及化归的思想，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃；又从一般到特殊，从抽象到具体，应用到实践中去。
二、教学重点、难点及解决办法
1、重点：发现并证明勾股定理。
2、难点：图形面积的转化。
3、突出重点，突破难点的办法：《几何画板》辅助教学。
三、教学手段 ：
利用计算机辅助面积转化的探求。
四、课时安排：
本课题安排1课时
五、教学设想：
想培养学生的思维能力，为学生提供一个丰富的思维空间，使学生能够根据“式，数、形”等不同的结构从不同的角度去分析问解决问题
六、教学过程（略）
第19篇：勾股定理说课稿
说
课
稿
教
材： 九年义务教育三年制新教材（人教版） 课
题: 八年级（下）§18.1
《勾股定理》
《勾股定理》说课稿
尊敬的各位评委、老师：
上午好!今天我说课的课题是《勾股定理》，我将从说教材，说教学任务，说教学过程及说远程教育资源在教学中的应用四个方面说课。
首先，说教材。
《勾股定理》是人教版新课标第十八章第一节的内容，是中学数学几个重要定理之一。勾股定理的发现、验证和应用蕴含着丰富的文化价值，它在理论上占有重要地位，学好本节至关重要。
其次，说教学任务。
根据新课程标准对学生知识、能力的要求，结合八年级学生实际水平、认知特点制定以下教学目标。
知识与技能：知道勾股定理的由来，理解和掌握勾股定理的证明方法，应用网络查询资料。
过程与方法：让学生经历“观察－猜想－归纳－验证”的数学过程，并从中体会数形结合及从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观：介绍我国古代在研究勾股定理方面取得的伟大成就，激发学生爱国情感。在探索问题的过程中，培养学生的合作交流意识和探索精神。
本节课的重点是勾股定理的发现、验证和应用。难点是用拼图方法、面积法证明勾股定理。
教学工具使用勾股定理拼图模具以及学件，而多媒体辅助工具为
多媒体网络教室和课件。
为了实现教学目标，突出教学重点，突破教学难点，在教学中我以“问题情境－分析探究－得出猜想－总结升华”为主线展开。而学法主要采用启发探究法、合作法、情境法。
第三，说教学过程。
整个教学过程打算分为以下八个活动。
活动一，展示两幅图片，第一幅图片为我国著名数学家华罗庚教授提议的向宇宙发射的勾股定理的图形，用来与外星人联系。第二幅图片为2002年在我国北京召开的第24届国际数学家大会的场景，值得一提的是这次大会的会徽，为著名的赵爽弦图。这样的导入富有科学特色和浓郁的数学气息，激起学生强烈的兴趣和求知欲。为什么要引入这两幅图呢？带着这个问题进入活动二。
活动二，通过讲述毕达哥拉斯的故事来进一步激发学生的学习兴趣，使学生在不知不觉中进入探究学习的最佳状态。然后提出三个问题，让学生沿着毕达哥拉斯的足迹去探寻勾股定理。问题一：在图中你能发现那些基本图形？同学可以发现等腰直角三角形。问题二：与等腰直角三角形相邻的正方形面积之间有怎样的关系？同学通过直接数等腰直角三角形的个数可以得出A的面积加上B的面积等于C的222面积。从而得到aac。紧接着抛出第三个问题：由此你可以得出等腰直角三角形三边存在着一种怎样特殊的数量关系吗？同学可以很快得出：等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。“问题是思维的起点”，通过层层设问，引导学生发现新知。等腰直角三
角形三边具有这样的特殊关系，那么一般的直角三角形呢？我们进入活动三。
活动三，为了学生方便计算，将一般的直角三角形放入到网格中，并使得直角三角形的两条直角边为正整数，让学生去计算图1和图2中六个正方形的面积。在计算C的面积时可能有一定的难度，此时就要用到数学当中常见的割补法。当同学顺利的计算出六个正方形的面积之后，可以发现，正方形A、B的面积之和等于正方形C的面积。从而得到abc。此时进一步发问，如果直角三角形的两条直
222角边并不是正整数，仍然满足abc吗？引入几何画板。老师222首先进行演示，拖动点A或点B，我们可以发现，虽然a、b、c的长度在发生变化，但是始终满足abc。然后可以通过多媒体网络教室将几何画板发送到学生的桌面上，让学生自己动手操作，学生
222通过几何画板验证出一般的直角三角形三边也满足abc之后，
222并可以请个别学生进行演示。这样的设计渗透了从特殊到一般的数学思想，让学生参与到数学活动中。培养学生的类比迁移能力。
活动四，严格的几何验证。同学容易受前面知识的影响，想去构造以a、b、c三边为边长的正方形，从而验证正方形A的面积与正方形B的面积之和等于正方形C的面积。当同学经过一段时间的思考之后发现，这种证明存在一定的难度。此时，老师加以引导，在八年级上学期我们也曾经学习过用面积法证明公式的成立，就是完全平方公式。（出示图形）大正方形的面积既可以表示为(ab),也可以表示为a2abb。也就是说，大正方形的面积可以用两种不同的方
222
法表示，从而我们就得到面积法证明的实质：同一面积用两种的不同的方法计算，结果相同。此时，老师发放勾股定理拼图模具，让同学试试看，能不能仿照上面的例子，利用手中的纸质模具拼一拼，拼出一个规则图形，使得它的面积能用两种不同的方法表示。当学生利用纸质模具拼出之后，可以利用多媒体网络教室将比拼平台发送到学生桌面，让他们利用电脑进行拼图，此时可以进行分组合作互相协助。利用flash学件可以对直角三角形进行平移旋转。相信同学在老师的指导和互相帮助之下，可以很快的拼出赵爽弦图和毕达哥拉斯用来证明勾股定理的图形。通过这些实际操作，学生能够进一步加深对数形结合的理解，拼图也会产生感性认识，也为论证勾股定理做好准备，给学生充分的时间和空间参与到数学活动中来，并发挥他们的主观能动性，可以进一步提高学生的学习兴趣。利用分组讨论，加强学生的合作意识。此时，将毕达哥拉斯的图形通过动画沿中间正方形的对角线剪开，可以得到一个直角梯形，同样我们可以利用直角梯形的面积来证明勾股定理。这就是美国第二十届总统加菲尔德的证法，我们称之为总统证法。当学生完成这三种证法之后，可以让学生应用网络查询有关于勾股定理的知识。
活动五，播放一段介绍勾股定理有关历史的动画。我国古代劳动人民早在公元前一世纪前后成书的《周髀算经》中就有了有关于勾股定理的记载。而毕达哥拉斯证明勾股定理比我们晚了500多年。所以在我国被称之为勾股定理，而在我国召开的国际数学家大会也采用了赵爽弦图来作为大会的会徽。当学生倾听完有关于勾股定理的历史之
后，再让学生欣赏一下赵爽弦图，看看赵爽是怎样利用分割、拼接的方法来证明勾股定理的。在学生倾听历史，欣赏赵爽弦图的过程中，进行爱国主义教育，可以让他们充分体会到我国古代在数学研究方面取得的伟大成就，从而激发学生的爱国热情和民族自豪感。
活动六，课堂训练，首先是几道填空题，这几道填空题既有类似又有不同，通过变式训练，强调应用勾股定理时应注意的问题。一是勾股定理要应用于直角三角形当中，二是要注意哪一条边为斜边。简单的填空题之后，可以出示一道和学生生活密切相关的应用题，让学生充分体会到数学是来源于生活，应用于生活。
训练之后就进入活动七，让学生谈谈这节课的收获是什么，他最感兴趣的地方是什么，想进一步研究的问题又是什么。通过小结，培养学生的归纳概括能力。
最后活动八，布置作业。针对学生认知的差异设计有层次的作业，既能巩固知识，有使学有余力的学生获得最佳发展。
第四，谈谈远程教育资源的应用
本节课出现的三幅图片都是在远程教育资源网上下载的资源。而我通过对多媒体资源的引用和加工制作课件，创设了情境，加强了故事性、直观性，让枯燥的数学课堂充满了生气，提高了学生学习数学的浓厚兴趣和学习效果。而在课堂上我也充分利用模式三计算机网络教室这一平台，发送几何画板和比拼平台，让学生参与到数学活动中，，提高了学生的动手动脑能力。在教学中将数学资源与网络有机结合，师生互动，构建起数学教学现代教育模式的课堂。
第20篇：1.勾股定理
勾股定理
勾股定理在西方称为毕达哥拉斯定理。（Pythagoras，约公元前575-500年）。
相传毕达哥拉斯发现这个定理后非常兴奋，宰了100头牛来庆祝，又称百牛定理。 不过，毕达哥拉斯对定理的证明方式已经失传，在希腊，最早的严格证明是欧几里德（Euclid，约公元前330-275年）的《几何原本》中。
据统计，勾股定理有超过400种证明方法，是被证明最多的定理，列举几种如下：
1.西方古代数学——《几何原本》的证明
因为AB=AD，AF=AC，BAF和CAD都等于一个直角+CAB
F所以三角形ABF与三角形ADC完全相同。
它们三角形ABF是正方形ACGF的一半，
三角形ADC是长方形ADLM的一半（等底等高） 所以正方形ACGF和长方形ADLM的面积相等， 同理，正方形BKHC和长方形BELM的面积相等，
于是正方形ACGF与正方形BKHC的面积和等于正方形ABED的面积
GHCKAMB
这个证明具有较强的逻辑性，而且巧妙的运用了转化的思想，将；两个小正方形的面积，通过三角形转化到大三角形之中，是几何证明的一个经典。
DL中畢氏定理的證明E2.中国古代证法
这是汉代数学家赵君卿在注释《周髀算经》的时候所做的证明。周髀算经只是提出了（3,4,5）的关系。而赵君卿已经完成了证明。
大家看懂了么？这就是大名鼎鼎的弦图。
假如有一种外星文明光临了地球，假如他们的文明已经发展到可以证明勾股定理的程度，他们一样未必懂得“1+1=2”这个算式（因为他们不了解我们的符号体系），也不一定明白第一个证法的推理过程，但是他们一看见弦图，应该能明白我们在做什么，并且产生由衷的，数学上的亲切感。
图形，是一种直接的传达思想的方式，在我们的小学数学以及代数学习过程中，将不断贯穿数与形互相辉映的思想，例如数轴，例如函数与图像等等。
古希腊的毕达哥拉斯(约前575-前500) 赵君卿的《周髀算经》注
3.印度证法：
(1)
这个证明是印度数学家巴斯卡拉（公元1114-1185年）所做。 他只是画出图(1)，然后说“看！”
而后画出图(2)作为证明。 这个图形也是弦图的一种，弦图可以说是勾股定理的精髓。
4.刘徽的青出朱入法
青出青入青青出朱入青入朱 朱出(2)
5.梅文鼎的旋转法（弦图2）
FHCGEBA2D2
图示的两个正方形阴影代表a和b，以C为中心，将三角形ABC逆时针旋转90，再以E为中心，将三角形ADE旋转90度，恰好变成c。
6.代数证法：
在介绍代数证法之前，要先熟悉两个公式：
2(ab)2a22abb2，(ab)2a22abb2
关于这两个公式的理解，可以依照乘法分配律，也可以用如下图形：
aa2abbabb2
弦图（1）
aca-bb
1(ab)2ab4c2
2a22abb22abc2 a2b2c2
弦图（2）
baccab
1ab4c2(ab)2 22abc2a22abb2 a2b2c2
7.美国前总统的证法（半弦图1）
图示为直角梯形，各线段的长度标注如图。这是加菲尔德在1876年4月1日发表《新英格兰教育日记》上的证明，证法与弦图1一致，大家看懂了么？当时他是俄亥俄州的共和党议员。1881年，他当选为美国第20任总统。(不知道我们当前的或将来可能成为领导人的那一部分，是否有兴趣参与一些数学证明。)
8.勾股数
像(3,4,5)这样一组能作为直角三角形三边的正整数称为勾股数，如果这组数的最大公约数是1，就称为素勾股数(primitive Pythagorean triple)。在公元前1000多年前的古巴比伦泥板上，就有了勾股数的记录。常用的素勾股数：（3,4,5）（5,12,13）（7,24,25）（8,15,17） 如（6,8,10），(15,20,25)也是常用的勾股数，但不是素勾股数。
9.素勾股数是无限的，费马大定理。
11202 32212 53222
74232 95242
……
2n1n2(n1)2
……
注意到每个奇数都能表示为两个相邻自然数的平方之差，其中有一些是特别的，例如954，就是354，即：345，那么(3,4,5)就构成一组素勾股数。奇数有无穷多个，其中的平方数也有无穷多个，所以素勾股数也是无穷多个。(因为两个相邻自然数是互质的，所以这种形式的三个数必定形成素勾股数) 用字母来表示，就是abc有无穷多组整数解。在西方，满足此方程的并且最大公约数为1的三个数称为毕达哥拉斯三元组。这样的三元组有无限个。
显然，abc的整数解也有无限个，但是，如果把次数再增加1，abc就没有整数解。 事实上，abc，当n是大于2的整数时，这个方程没有整数解（如果a,b,c的乘积不为零）。 这就是数学上最著名的问题：费马大定理。
这个形式上非常简单的问题，经过350多年，许多天才数学家的努力，最终于1995年才完全证明。而且初次的证明大约有200页之长，世界上只有少数几个人才能完全看懂。
10.勾股定理的简单运用：
破竹问题：杨辉的《详解九章算术》(1261年) nnn33322222222222
弦图与分割
1.如图CDEF是正方形，ABCD是等腰梯形，上底AD=23，下底BC=35，求三角形ADE的面积.
EADFBC
2.正方形ABCD外一点E，SBCE=48，SDCE=90，CE=12，求正方形ABCD的面积。
ADBCE
3.正方形ABCD中，CEDE，CE=3，DE=5，求ODE的面积。
ADOEBC
4.如图所示的正方形，面积为100cm2，AB=2cm，CD=3cm，那么阴影面积是多少？
C3cmDAB2cm
5.正方形ABCD的面积是160，EF=14，GH=13，求四边形EHFG的面积。
AGDFEBHC
