魔术公式

Pacejka的“魔术公式”是近期在汽车操纵动力学研究中比较流行的公式，它是用特殊正弦函数建立的轮胎的纵向力、横向力和自回正力矩模型。因只用一套公式就完整地表达了纯工况下轮胎的力特性，故成为“魔术公式”。“魔术公式”表达如下：

YySvyDsin(Carctan(BxE(Bxarctan(Bx)))) xXSh其中，Y表示侧向力、纵向力或回正力矩，X表示侧偏角或滑移率s。现以侧向力为例说明公式中各系数的意义。

式中 D--峰值因子，表示曲线的最大值

BCD--侧偏角趋于零时轮胎的侧偏刚度，曲线中表示原点的斜率 E--曲线形态因子，决定曲线最大值附近的形状

C--决定曲线的形状，即曲线是像侧向力、纵向力还是回正力矩

Sh--水平方向漂移 Sv--垂直方向漂移

除C外，“魔术公式”中的参数都是垂直载荷和侧倾角的函数。 以下为轮胎纵向动力学特性在MATLAB中的具体实现

Dxa1Fz2a2Fz

Cx1.65

Exa6Fz2a7Fza8

Bx(a3Fz2a4Fz)/ea5Fz/Cx/Dx

FxDxsin(Cxarctan(BxEx(Bxarctan(Bx))))Bx(a3Fz2a4Fz)/ea5Fz/Cx/DxCx1.65Dxa1Fz2a2FzExa6Fz2a7Fza8

dFxdDxsin(Cxarctan(BxEx(Bxarctan(Bx))))dFzdFzDxcos(Cxarctan(BxEx(Bxarctan(Bx))))Cx

d(arctan(BxEx(Bxarctan(Bx))))dFzd(arctan(BxEx(Bxarctan(Bx))))dFz11(BxEx(Bxarctan(Bx)))(2dBxdEd(Bxarctan(Bx))x(Bxarctan(Bx))Ex)dFzdFzdFzd(Bxarctan(Bx))dBxdBx(Bx)2dBx1

dFzdFz1(Bx)2dFz1(Bx)2dFzdBxd((a3Fz2a4Fz)/ea5Fz/Cx/Dx)d(a3Fz2a4Fz)a5Fz/e/Cx/DxdFzdFzdFz((a3Fz2a4Fz)/ea5Fz/Cx/Dx2)dDx((a3Fz2a4Fz)/ea5Fz/Cx/Dx)a5dFz

FxDxsin(Cxarctan(BxEx(Bxarctan(Bx))))

Dxcos(Cxarctan(BxEx(Bxarctan(Bx))))Cx(BxEx(Bx1(BxEx(Bxarctan(Bx))2dFxdBx))1(Bx)2

车辆防抱死制动系统的控制技术研究 东大，侯光钰，张为公

2.3.1 H.B.Pacejka的魔术公式

Pacejka的“魔术公式”是汽车操纵动力学研究中应用比较广泛的轮胎力学模型，它用特殊的正弦函数建立轮胎的纵向力、横向力和回正力矩的函数表达式。因只用一套公式就完整地表达了单一工况下轮胎的力特性，被成为“魔术公式”。魔术公式的表达式为：

yxDsinCarctanB1ExEarctanBx（2-27）

式中yx可以是侧向力、纵向力或回正力矩，自变量x可以在不同的情况下分别表示轮胎侧偏角或纵向滑移率，B、C、D、E是与轮胎所受的垂直载荷、轮胎外倾角以及路面附着情况等相关，根据不同的输出量，其对应的拟合系数也不同。以沥青路面的轮胎测量数据为例进行曲线拟合，得到如下公式： （1） 单一制动工况下纵向力特性

在纯制动工况下，轮胎的纵向力与滑移率和轮胎垂直载荷之间的关系用（2-27）的形式表示为：

Fx,FzDsinCarctanB1EEarctanB

其中的参数如下： Da1Fz2a2FzC1.65 a3Fz2a4FzBCDea5FzEa6Fz2a7Fza8（2）单一制动工况下侧向力特性

单一制动工况下，轮胎侧向力与轮胎侧偏角和轮胎垂直载荷之间的关系如下：

Fy,FzDsinCarctanB1EShEarctanBShSv

其中Da1Fz2a2Fz C1.3Ba3sina4arctana5FzCDEa6Fz2a7Fza8Sha9Sva10Fz2a11Fz（3） 单一制动工况下回正力矩特性

1a12

Mz,FzDsinCarctanB1EShEarctanBShSv

其中：Da1Fz2a2Fz C2.4a3Fz2a4FzB1a12a5FzCDeSha9Sva10Fz2a11Fz模型中的B、C、D、E、Sh、Sv都是轮胎垂直载荷Fz的函数，为轮胎的侧偏角，为轮胎的外倾角，可根据实验来确定系数a1，a2，…，a13。各个系数在干沥青路面情况下的值如表2.1和表2.2所示。

Ea6Fz2a7Fza8/1a13

轮胎的纵向滑移率定义如下：

vR v其中，为车轮的纵向滑移率、v为车辆行驶的前进速度、为车轮的角速度、R为车轮的滚动半径。

轮胎的侧偏角定义为轮胎的中心平面与地面的交线与轮胎行驶速度v方向之间的夹角。当进行整车动力学仿真，轮胎的侧偏角由下式给出：

VyLfr1afltanTfVxr2VyLfr1afrtanTfVxr2 VyLrr1arltanTfVxr2VyLrrarrtan1TrVxr2公式中第一个下标f和r表示前轮和后轮，第二个下标的l和r表示左侧和右侧。

Shape factor Cx CxPCx1LCx

Peak factor Dx DxFzFsclPlmuxPpdx1Ppdx2dfz1Ppdx3PlgaxStiffne factor Kx

2

KxkLKxFzPKx2dfzPKx1ePKx3dfz

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