数学方法归纳
2020-03-02 17:53:20 来源：范文大全收藏下载本文
高等数学部分
第一章 极限、连续与求极限
极限概念：
基本性质：极限的不等式性质，局部有界，极限保号定理（在证明题中时常用到）；两个重要极限。
极限存在的判别：可用两个准则（夹逼准则和单调有界数列必收敛定理）；双侧极限（左右极限相等）
证明极限不存在：在其定义域内取特殊值法
无穷小的概念及其应用：无穷小与极限的关系（可对难求的极限进行转换）；高阶无穷小、低阶无穷小、等级无穷小、同阶无穷小、k阶无穷小的概念；牢记常见的等价无穷小替换；熟悉无穷小重要性质；无穷小确定方法（等价无穷小、洛必达法则、泰勒公式、无穷小的运算性质）
求极限的方法：
利用连续函数，利用函数极限求数列极限，利用导数定义求极限，分别求左右极限。（以下重点掌握）利用幂指数和极限的四则运算，变量代换为两个重要极限，等价无穷小，洛必达法则，夹逼准则（放缩法），递归数列求极限（实际应用单调有界数列必收敛定理），定积分在定义的应用（有两种形式，可先用放缩法再用定积分定义），泰勒公式（记住几种常用泰勒公式）。
求极限首先看清楚是什么型的极限，如0*无穷、无穷减无穷等，都化为0/0型或无穷比无穷型。之后考虑化简（重点要先化简）再运算。如指数形式的极限一般先用指数换底公式后转换为0/0型或无穷比无穷型再进行运算。对于含有积分限的极限，先化简，再化为0/0型或无穷比无穷型，再用洛必达法则去掉积分号。
（总之求极限显审题再化简最后应用求极限方法）
化简方法：
换元法、放缩法、分子或分母有理化、通分、同时除以一个x变为分数后再换元、提出公因式、因式分解、常见的几个数列求和公式、对数的四则运算、三角函数公式（二倍角、和差化积、万能公式等）、含有积分的可以应用分部积分来化简。
由极限确定参数：
一般用到等价无穷小，；洛必达法则，泰勒公式。
函数连续和间断的判别：
函数连续：初等函数在其定义域内的都连续。
连续性运算法则（由初等函数复合）
判断函数在x0点的左右极限是否等于该点函数值。（应用该判定可以求出函数中
含有的参数）
判断函数的间断点：
第一类间断点：可去间断点，跳跃间断点等（左右极限存在）
第二类间断点：除去第一类间断点外都为第二类间断点
连续函数的性质：（证明题）
连续函数的局部性质
连续函数零点定理（零点定理的应用1，闭区间上2，开区间上（边界点有定义，补充定义后用零点定理）3，开区间上（边界点没有定义，在边界点处求左右极限判断两个边界点是否异号，如果异号可用零点定理）
连续函数介值定理（减去一个常数可转化为零点定理问题来解决，即构造函数）
连续函数零点和介值定理都可以和微分中值定理和泰勒公式联合起来求含有一阶二阶导数和高阶导数的恒等式。
连续函数在闭区间上有界及连续函数在闭区间有最大最小值（可和泰勒公式和洛必达法则，微分中值定理联系来证明不等式）
方程的根的个数（构造函数后应用零点定理）
应用反证法来证明恒等式成立
第二章一元函数的导数与微分概念及其计算
导数和微分：
导数：导数定义
导数应用：当求导法则失效时候可以用导数定义求导数
左右导数：函数f（x）的左右导数x0存在且相等则函数f（x）的在x0处可导。 一阶导数和二阶导数的几何意义和物理意义
微分：微分定义
微分应用 ：函数f（x）在x=x0出的微分是该函数在x=x0处函数增量的线性主要部分（其几何意义）
导数的奇偶性：f（x）在I上可导，若f（x）在I上位奇（偶）函数，则f（x）在I上为偶 （奇）函数。
导数的周期性：f（x）在x上可导，并以T为周期，则f（x）在x上也以T为周期。 两个函数复合的可到性判断：设F（x）=g（x）*f（x），f（x）在x=a连续，但不可导，有g（x）在x=a处可导，则g（a）=0是F（x）在x=a可导的充要条件。
函数的定义应用范围：
按定义求导数（求导法则不能用、分段函数求导）、利用导数定义求极限。
函数的求导法则：
基本初等函数求导公式、导数四则运算、复合函数求导（幂函数、反函数、隐函数、参数方程、变限积分）、分段函数求导（三种形式）（方法一：按求导法则分别求连接点出的左右导数；方法二：按定义求连接点出的导数或左右导数；方法三：连接点是连续点时，求导函数在连接点处的极限值）。
函数的求导方法：
幂函数求导（先用换底公式或两边取对数）变限积分求导（先用换元法变换积分限）（先化简再求导可以使运算简便）
重要题型：变换求导方程，使x自变量、y因变量变换为y自变量、x因变量
高阶导数和n阶导数的求法：
归纳法求得的几个常见的函数高阶求导公式（最好牢记）
分解有理函数、无理函数或三角函数化为几个常见的函数高阶求导公式；牛顿莱布尼兹公式；泰勒公式。
一元函数微分学的应用：
几何应用：求显示方程、参数方程、极坐标方程、隐函数方程的平面切线。
物理应用：棒的密度、导向线内电流强度、求物体在T温度下的比热、、功率。
相关推荐
人人范文网 m.inrrp.com.cn 手机版