2020-03-03 00:30:13 来源:范文大全收藏下载本文
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一、选择题
1.下列数列极限存在的有( )
A.10,10,10,„ n1nC.fnn1nn为奇数3254B.,,,, 2345
n为偶数11D..fnn1nn为奇数n为偶数
2.下列数列收敛的有( ) A.0.9,0.99,0.999,0.9999,„
11111B.1,,1,,1,,
22334nnC.fn1
n13.下列数收敛于0有( )
2n12nD.fnn212nn为奇数
n为偶数111A.,0,,0,,0, 248n1C.fn1
n1111111B.1,,,,,,,,
32537491nD.fn1n1n为奇数
n为偶数4.数列xn与yn的极限分别为A与B,A≠B,则数列x1,y1,x2,y2,x3,y3,的极限为( )
A.A B.B
C.A+B
D.不存在
xn收敛,yn发散,5.如果数列则xnyn(A.可能收敛 B.一定收敛
xx0)
D.一定发散
C.可能发散
6.函数fx在x0有定义是limfx存在的(A.充要条件 B.充分条件
7.下列极限存在的有( )
)
D.无关条件
C.必要条件
A.limx(x1)
xx21xB.limx01 2x1C.lime
x0
D.limxx21 x8.下列变量在给定变化过程中是无穷小量的有(
)
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A.2x1x0
sinxx0 B.xC.x2x2x1x2x133x
x21D.3sinx0 x1x9.下列变量在给定变化过程中是无穷大量的有( )
A.x
B.lgxx0
1xC.lgxx
10.当xa时,fx是(D.exax0
),则必有limxafx0.(C.有界函数
)
D无穷大量 A.任意函数 B.无穷小量 11.下列极限正确的是( )
A.lime
x01xB.lime0
x0xa1xC.lime
x01xD.lime1
x1x12.若limfx,limx,则必有
xaA.limfxgx
xaB.limfxgx0
xaC.limxa10
fxgxD.limkfxk为非零常数
xasinx2113.lim的值为(x1x1A.1 B.0 )
C.2
1D. 214.fx在点xx0处有定义,是fx在xx0处连续的(A.必要条件 B.充分条件
C.充分必要条件
)
D.无关的条件
15.当|x|1时,y1x2A.连续函数
C.有最大值与最小值
二、辨析题
()
B.是有界函数
D.有最大值无最小值
1.如果n无限增大时,数列an越来越接近常数A,那么an是否一定收敛于A?
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2.设在常数A的无论怎样小的ε邻域内都密集着数列an的无穷多个点,那么an是否一定收敛于A?
3.有界数列是否一定收敛?无界数列是否一定发散? 4.单调数列是否一定收敛?摆动着的数列是否一定发散?
5.如果数列an和bn都发散,问anbn、anbn和an是否一定发散? bn6.如果an收敛、bn发散,问anbn、anbn的收敛与发散情况能否确定? 7.设x11,xn112xnn1,2,,在求limxn时,有人求解如下:设limxnA,nn对等式xn112xn,两边取极限,得A=1+2A,于是A=-1所以limxn1.有人指出,
n这个结果是错误的.因为xn1n1,2,,故limxn1不可能的.请判断此题解法是
n否正确.若不正确,请指出错在哪里?
8.若limfxgx0,且当x时,g(x)有界,则limfx0,这一结论正确吗?xx为什么?
三、计算题
x2+21.limx2x32xhx24.limh0h8x317.lim21x6x5x12x22x52.limx1x21x215.limx2x2x2x26x88.lim2x4x5x411.limx22x13.limx1x21x2x6.lim4xx3x21
119.lim122xxx123n1nn2x214.limx2x1
11110.lim1nx224n1n2n312.limx5n33113.lim3x11x1xwww.daodoc.com
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15.lim2x3x1x16.limx2sin18.limsinωxx0xx021.limcotxet124.limt2t1x0xtan3x19.limx0x1cos2x22.limx0xsinx3πx417.limarctanxxxsin2x20.limx0sin5xx023. limx22x526.limln2cos2xπx6
25.limsin2xsin2x27.limππxx2cos4x1128.limx0x31.lim2229.limx0x211x2 30.limx15x4xx11x32.limex3xxxx33.limnn1nn3x42n34.limxxsinxx135.limxxxxx
四、证明题
1.根据数列极限的定义证明. 1(1)lim20nn(4)lim0.99991nn个3n13(2)limn2n121x31(5)limx2x32n2a2(3)lim1a为常数nn
2.证明当x→0时函数f(x)=|x|的极限为零.
3.根据极限定义证明:当xx0时函数f(x)的极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等。
1111.4.证明:lim222xn2nnn1
参考答案
一、选择题
1.A,B,D 2.A,D 3.A,B,C,D 4.D 5.D 6.D 7.A 8.A,D 9.A,B,www.daodoc.com
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C,D 10.B,C 11.B,C,D 12.D 13.C 14.A 15.A,B,D
二、辨析题
1.an不一定收敛于A,问题主要发生在只说an越来越接近常数A,并没说明这种接近的程度如何.如果这种接近受到限制,虽然也可以说越来越接近,但却不能与A构成收敛的关系,只有当说an越来越无限接近常数A时,才表明an是收敛于A的.例如取111,A=-1,随着n无限增加,越来越接近-1,但它始终保持与-1有大于的差异,nn21-1并不能说成是当n→∞时的极限.
nan2.an不一定收敛于A.因为极限定义中要求对于A的无论怎样小的ε邻域,都存在正整数N,当n>N时,an将全部落入A的该ε邻域内.这里只说有无穷多个an中的点落入该邻域尚不能保证an中当n>N后的全部的点均落入该邻域.例如an11n1,A0,则零的无论怎样小的ε邻域内都密集着an的无穷多个点,但nan却是发散点.
3.有界数列不一定收敛.例如an11,它为有界数列,但它却是发散的.
n无界数列是一定发散的.因为如果它是收敛的,根据收敛的必要数列条件,它必须是有界的.
4.单调数列不一定收敛.例如取ann,该数列是单调递增的,但它是无界数列,因此一定是发散的.
摆动数列不一定是发散的.例如取annn1n是摆动数列,但它收敛于零.
n15.均不一定发散.例如当an1,bn1并且anbn,时,anbn0,它是收敛的,ann也是收敛的.当anbn1时,anbn0,它是收敛的. bn6.anbn是一定发散的.因为如果anbn收敛,而bnanbnan,则bn为两个收敛列的差,亦应收敛,这与假设矛盾;又因bn发散,因此bn也发散,而www.daodoc.com
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bnanbnan,如果anbn收敛,可得bn收敛,从而bn也收敛,这与已知矛盾.
anbn是收敛性不确定.例如取anan11,bnab,则收敛.又如取nnnnn21,bnn2,则anbnn发散.但当已知limanA0时,可知anbn发散.否
nn则,因bnanbn,由商的极限法则可得出bn收敛的结论,这与已知矛盾. ann7.错在“设limxnA”.因为xn的极限存在与否尚没指明时,先承认它是收敛的,这是不允许的.即对limxnA的理解应为它表示xn收敛且以A为极限.本题中的xn其n实是发散的,如果按趋向方式来说,它是趋向于+∞的.即可以将+∞作为极限记号使用时,得出A=1+2A还是正确的.因为它是含+∞的一种记号形式.但这样做也推不出A=-1的结论.
8.不正确.因若g(x)≡0,f(x)=x时,则得不出f(x)→0(x→∞)的结论.
三、计算题
x22421.lim6 x2x3232121542.原式lim2.2x12112x1x13.原式=limlim0.x1x1x1x1x12hxh2x2
2x.h0h1121x.5.原式=limx11222xx6.0 x4.原式=lim2www.daodoc.com
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2x14x22x14x22x17.原式=limlim6.112x13x13x1xx22x2x42.8.原式=limx4x1x43119.原式lim1+lim222.xxxx11n122.10.原式=limn112
n1n1.n21123112.原式=lim111.5nnnn51xx21xx2313.原式=limlim2x11x1xx2x1xxx111.原式lim2n2
limx1x21.2xx12x1x22114.因为lim2lim20,所以lim.
xxxx2x1xx15.∞ 解法与上题同.
16.因为x→0时,x为无穷小量,而sin
2111,sin为有界变量,所以xxlimx2sinx010.x17.0 解法与上题同.
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ωsinωx令ωxtsintlimωω.x0t0ωxt3sin3x19.原式=lim3.x03xcos3x5x22sin2x 20.原式=lim.x02xsin5x55cosx21.原式=limx1.x0sinx2sin2x22.原式lim2.x0xsinx18.原式=lim23.原式=limx0x12401245.e211124.原式=21.22e25.1 ππ26.原式=ln2cos2ln2cosln10.36π sin242.27.原式=2π2cosπ428.原式=limx01x1x11limxx11x01.
1x12129.2 解法与上题同,先分母有理化。 30.2 提示:先分子有理化.
31.原式=lim2xx2xx2x2x lim
x11x11xx22lim1.x11211xxx32.1 n4n1n2n3n4n1n2limn1n3(分33.原式=limnnn4n1n2n4n1n2www.daodoc.com
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43212nn子、分母同除以n)=lim.
n2111341nn34.0 提示:用无穷小量乘有界变量法.
1xxxxxxxx35.原式=limxxxxx limxxxxxxxx/xxxxx/x1 limxx lim
x1x1
四、证明题 1.(1)要使
1131xx21.211112nn,只须即,于是对于任意的ε>0,取0n2n2nlim1,于是对任意给定的ε>0,取N11,只要n>N,就有0,所以2n10.
nn2(2)3n133n136n26n3111要使,,
2n122n1222n1n2n12n1n只须113n131即n.于是对任意给定的ε>0,取N,只要n>N,就有,n2n123n13.
n2n12所以lim(3)n2a21nn2a2na2a2,要使
22nnnnanwww.daodoc.com
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a2a2n2a2,于是对任意给定的ε>0,取N,只要n>N,就有1,只要nnn2a2n2a21.1,所以limnnn(4)|0.99991|n个111n10|0.99991|,要使,只要,即,nlgn10n个1于是对任意给定的ε>0(εN,就有|0.99991|,所以
n个nlim0.99991.n个(5)与前面(1)~(4)题证法相同.
2.要使||x|-0|=|x|=|x-0|0,存在δ=ε,只要0
x03.必要性:若limfxA则对于任意给定的ε>0,存在δ>0,只要0|xx0|,xx0就有|fxA|.特别地,在0x0x时,有|fxA|,limfxA;同样xx0地,在0xx0,有|fxA|,limfxA xx0充分性:若limfxAlimfx,则对任意给定的ε>0,存在1,只要xx0xx00x0x1,就有|fxA|,存在2,只要0x0x2,就有|fxA|,取min1,2,只要0xx0,就有|fxA|,limfxA.xx04.因为n2nnn1n2nnn1n1n1又limlim1,limlim1,
22nnnn11nnn1112nn1111.所以lim1222nn2nnn1121212n2,
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