平面向量的数量积典例精析
2020-03-02 04:13:21 来源：范文大全收藏下载本文
平面向量的数量积典例精析
四川 谭森
例1平面内有向量
动点。
（1）当的坐标； ，点X为直线OP上的一个
（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求cosAXB的值。 分析：因为点X在直线OP上，向量个关系式；再根据的最小值，求得
的余弦，利用数量积的知识容易解决。
解：（1）设
共线，可以得到关于；而cosAXB是向量坐标的一夹角
又
于是
由二次函数的知识，可知当y＝2时，
； 有最小值-8
。此时
（2）当
。
，即y＝2时，有，
，
说明：由于X是OP上的动点，则向量是变化的，于是它们的数量积
均是不确定的，它们的模和方向均
也处在不确定的状态，这个数量积由
的模及它们的夹角三个要素同时决定，由解题过程即可以看
出它们都是变量y的函数。 另外，求出
的坐标后，可直接用坐标公式求这两个向量夹角的余弦值。
。
例2 设平面内有两个向量（1）证明（2）若两个向量
； 与
的模相等，求
。
分析：题目的条件及所求结论均非常明确，只要能得到证明（1），再利用|证明：（1）
|与|
|相等，确定
的值。
，即可
（2）
由已知
，可得到
注意到
于是（*）式化为
。由于
说明：由解题过程可知a与b均是单位向量，由向量加法的平行四边形法则，可知角为
是以a，b为邻边的平行四边形两条对角线，从（1）中，
时，a与b的夹
。故
，
。此时由a及b
，因此
垂直，可知这个平行四边形是菱形，而由（2）知
又，有
（为a与b
的夹角）。这时
为邻边组成的四边形是正方形。
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