数学分析课程教学大纲
2020-03-03 17:58:53 来源：范文大全收藏下载本文
《数学分析》课程教学大纲
(理工科师范类数学教育专业)
说明
数学分析是理工科师范类数学教育专业的一门必修的基础课。这门课程对于学员加深理论基础的学习，增强基本技能的训练，提高数学修养和业务素质，以便居高临下地分析和处理中学数学教材，有着重要作用。
本课程以极限概念为基础，主要内容为一元微积分的理论和应用。
本课程的教学目的一要求是：
一、使学员对极限思想与方法有较深刻的认识，弄清具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，学习科学的思想方法，以利于辩证唯物主义世界观的培养与形成。
二、使学员掌握数学分析的基本知识、基本理论与基本技能，提高抽象思维、逻辑推理与运算的能力，并认识到数学分析在自然科学与社会科学中的广泛应用。
三、使学员对中学数学的有关内容有较深刻的理性认识，能深入浅出地处理好这些教材内容。
本大纲是在国家教委1990年颁布的《中学教师进修高等师范专科数学分析教学大纲》基础上修订而成。本课程课内学时为288学时， 其中录像220学时(学时分配见下表)。
大纲内容
一、函数
（一）目的要求
１、正确理解和掌握函数概念，了解函数的各种表示法和记号；理解和掌握函数的四则运算与复合，会求函数的定义域；掌握反函数的定义和图象等。
２、理解和掌握有界函数与无界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数等概念。３、熟练掌握五种基本初等函数的定义与性质，能熟练地绘出它们的草图。
４、了解几个常用的非初等函数的例子。
（二）主要内容
１、函数概念（函数概念绝对值不等式定义域值域函数的符号图象 函数的各种表示法）
２、函数的特性种类（有界函数与无界函数单调函数奇函数与偶函数周期函数）３、函数的四则运算与复合
４、反函数（定义存在的充要条件图象）
５、基本初等函数（幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数）６、初等函数（基本初等函数初等函数）
７、几个非初等函数的例子（整数部分函数小数部分函数符号函数狄里赫勒函数黎曼函数）
二、极限
（一）目的要求
１、理解和掌握数列极限与函数极限的概念，掌握它们的有关性质。
２、理解和掌握无穷小量与无穷大量的概念，掌握它们的有关性质。
３、会用“ε- N”、“ε- δ”、“ε- E” 等语言处理极限的有关问题。
４、能运用四则运算、两边夹定理、单调有界数列极限存在定理与两个重要极限，熟练地求极限。
（二）主要内容
１、数列极限的概念（数列数列极限的定义几何意义）
２、数列极限的性质（唯一性有界性保号性保序性两边夹定理四则运算定理单调有界数列极限存在定理）
３、子数列（子数列数列极限与子数列极限的关系）
４、函数极限的概念（在一点处函数极限的定义左、右极限及其与双边极限的关系 χ→∞时的极限几何意义）
５、函数极限的定理（函数极限的性质函数极限与数列极限的关系）
６、两个重要极限
limsinχ── χ ＝1lim（1＋1─ χ ）χ＝ е
χ→0χ→∞
７、无穷小量与无穷大量（无穷小量与无穷大量的定义、关系、性质、无穷大量与无界的区别无穷小量比较）
三、连续函数
（一）目的要求
１、理解和掌握函数连续的概念，一致连续概念要清楚。
２、对于间断点及其分类要有清楚的了解。
３、掌握闭区间上连续函数的性质。
４、了解初等函数的连续性。
（二）主要内容
１、连续概念（一点处连续、单侧连续与区间上连续的定义间断点及其分类）
２、函数在一点处连续的性质（有界性全保号性四则运算复合函数的连续性反函数的连续性）
３、闭区间上连续函数的性质（价值性有界性量值定理一致连续定理（均暂不证明））
４、初等函数连续性
四、实数的连续性
（一）目的要求
１、了解实数集关于极限运算的封闭性。
２、了解实数连续性的几个基本定理的证明方法并掌握其条件与结论。
３、了解闭区间上连续函数的性质的证明方法。
（二）主要内容
１、几个基本定理（闭区间套定理确界确界存在定理聚点聚点定理有限覆盖定理柯西收敛准则）
２、闭区间上连续函数性质的证明（一致连续定理不证）
五、导数与微分
（一）目的要求
１、掌握导数与微分的概念及其几何意义，了解它们的应用。
２、能熟练地应用导数的定义与求导法则求函数的导数。
３、会求一些函数的高阶导数。
（二）主要内容
１、导数概念（概念引入导数定义几何意义可导与连续的关系）
２、求导法则（四则运算复合函数与反函数的导数基本公式表）
３、隐函数与参数方程求导（隐函数求导法则参数方程求导法则）
４、微分（微分定义几何意义微分与导数的关系微分法则一阶微分形式不变性微分在近似计算上的应用）
５、高阶导数与高阶微分（高阶导数莱布尼兹公式（不证）高阶微分）
６、几何应用（曲线的切线方程与法线方程两条曲线的交角弧长的微分）
六、微分学中值定理和泰勒公式
（一）目的要求
１、掌握中值定理的条件、结论和证明方法。
２、会用中值定理证明一些恒等式与不等式。
３、会求一些简单函数的泰勒展开式。
（二）主要内容
１、中值定理（费尔引理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理）
２、泰勒公式（泰勒公式泰勒公式的余项（拉格朗日型））
七、导数的应用
（一）目的要求
１、能熟练地应用洛毕大法则求不定理的极限。
２、会利用导数判定函数的单调性，会求函数的极值和最大（小）值。
３、能运用导数较正确地作出函数的图象。
（二）主要内容
１、洛毕大法则（ 0 ─0 型∞─∞ 型（不证）其他不定型的转化）
２、函数的单调性（函数单调的充要条件函数严格单调的充要条件应用函数的单调性证明不等式）
３、函数的极值（极值概念极值判别法最大值与最小值）
４、函数作图（函数的凹凸性拐点渐近线函数作图）
八、不定积分
（一）目的要求
１、掌握原函数与不定积分概念。
２、熟练掌握换元积分法与分部积分法，了解不理函数积分法。
（二）主要内容
１、不定积分的概念（原函数与不定积分的概念不定积分的运算法则基本积分表）２、换元积分法（凑微分法典型代换法）
３、分部积分法
４、有理函数的积分（有理函数部分分式（了解原理，掌握方法））
∫dχ──────（χ2＋a2）n的递推公式
５、三角函数有理式和积分
九、定积分
（一）目的要求
１、正确理解和掌握定积分概念，了解可积准则，掌握可积函数类。
２、掌握定积分的性质，能熟练地应用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分。
３、掌握并正确用换元积分法与分部积分法。
（二）主要内容
１、定积分概念（概念引入定积分的定义）
２、可积准则（大和与小和可积的必要条件可积的充要条件）
３、可积函数类（连续函数只有有限个间断点的有界函数单调有界函数可积分函数类与有原函数的函数类的区别）
４、定积分的性质（线性有限可加性单调性绝对可积性积分第一中值定理）５、定积分的计算（可变上限的定积分牛顿－莱布尼兹公式换元积分法分部积分法）
十、定积分的应用
（一）目的要求
１、掌握定积分在几何上的应用，了解定积分在物理上的应用。
２、了解定积分的近似计算。
（二）主要内容
１、定积分在几何上的应用（微元法平面区域的面积平面曲线的弧长利用截面面积计算立体体积旋转体的侧面积）
２、定积分在物理上的应用（静压力变力作功非均匀曲线的质量）
３、定积分在近似计算（梯形法抛物线法）
十一、数项级数
（一）目的要求
１、掌握无穷级数及其敛散性等基本概念。
２、了解收敛级数的性质。
３、能熟练使用几种常用的判敛法则。
（二）主要内容
１、数项级数的敛散性（无穷级数部分和收敛与发散和与余和收敛级数的性质收敛的必要条件柯西准则）
２、正项级数敛散性判别法（比较判别法级数通项比值极限法达朗贝尔判别法柯西判别法）
３、任意项级数敛散性判别法（绝对收敛与条件收敛交错级数莱布尼兹判别法）
十二、函数项级数
（一）目的要求
１、掌握函数项级数的收敛域、和函数与一致收敛等基本概念。
２、会使用一致收敛的优级数判别法。
３、掌握和函数与极限函数的分析性质。
４、了解极限、收敛的否定语句叙述。
（二）主要内容
１、函数项级数的收敛域（函数项级数收敛域和函数极限函数一致收敛极限与收敛的否定语句叙述）
２、一致收敛的判别法（柯西准则优级数判别法）
３、函数项级数的分析性质（和函数的连续性、可积性、可微性极限函数的连续性、可积性、可微性）
十三、幂级数
（一）目的要求
１、弄清幂级数及其收敛半径、收敛域等概念，会求幂级数的收敛半径与收敛域。２、明确幂级数和函数的分析性质。
３、了解函数能展成泰勒级数的条件，能将一些函数民成泰勒级数。
４、了解函数民开式在近似计算上的应用及三角函数表与对数表的造表原理。
（二）主要内容
１、幂级数的收敛域（幂级数阿贝尔定理收敛半径收敛域）
２、幂级数的性质（内闭一致收敛性和函数的连续性、可积性、可微性）
３、函数的泰勒展开（系数求法与展开式的唯一性可展成幂级数的充要条件 几个初等函数的幂级数展开式）
４、幂级数在近似计算上的应用（求方根的近似值e和π的近似值三角函数造表对数造表）
十四、广义积分
（一）目的要求
１、掌握广义积分的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念。
２、能用收敛性判别法判断一些广义积分的敛散性。
（二）主要内容
１、无穷区间上的广义积分（无穷积分的收敛与发散绝对收敛与条件收敛收敛准则收敛性判别法与级数的关系）
２、无界函数的广义积分（瑕积分的收敛与发散绝对收敛与条件收敛收敛准则收敛判别法与无穷积分的关系Г函数简介）
十五、多元函数微分学
（一）目的要求
１、掌握平面点集的一些基本概念与多元函数的概念。
２、理解和掌握二元函数的极限、二元函数的连续性等概念。
３、掌握偏导数、全微分等概念，能熟练地求偏导数与全微分，了解高阶偏导数的概念，能求高阶偏导数。
４、弄清全微分、偏导数与连续三者之间的关系。
（二）主要内容
１、平面点集（点的圆形领域内点聚点界点边界开集闭集区域）
２、二元函数的极限与连续性（多元函数概念二元函数的定义域二元函数的极限与累次极限二元函数连续的概念闭区间上连续函数的性质（不证））
３、偏导数与全微分（偏导数全微分高阶偏导数全微分与偏导数、连续三者之间
的关系）
４、复合函数的偏导数（复合函数可导的充分条件链式公式一阶微分形式不变性）５、隐函数存在定理（一元隐函数存在定理隐函数的求导）
十六、二重积分
（一）目的要求
１、掌握二重积分的概念，了解它的性质。
２、会正确计算二重积分，并利用它计算空间形体的体积与平面图形的面积。３、了解三重积分的概念。
（二）主要内容
１、二重积分的概念（概念引入二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分存在的充分条件（不证））２、二重积分的计算（二重积分化为累次积分利用级坐标计算二重积分）
３、二重积分的应用（空间形体的体积平面图形的面积）
４、三重积分的概念计算方法举例
十七、曲线积分
（一）目的要求
１、掌握两类曲线积分的概念，会求曲线积分。
２、掌握格林公式、曲线积分与道路无关的条件。
（二）主要内容
１、两类曲线积分（第一型曲线积分的定义、性质与计算方法两类曲线积分的关系）２、格林公式
３、曲线积分与道路无关的条件
十八、微分方程简介
（一）目的要求
１、了解微分方程的一些基本概念。
２、掌握几种简单类型微分方程的解法。
（二）主要内容
１、基本概念（微分方程阶解初始条件特解通解）
２、一阶微分方程（可分离变量的微分方程齐次方程一阶线性方程全微分方程）
人人范文网 m.inrrp.com.cn 手机版