广州二模数列证明题,当时很多学生不会

2009年广州二模20．（本小题满分14分）

已知等比数列an的前n项和为Sn，若am，am2，am1mN*成等差数列，试判断Sm，Sm2，Sm1是否成等差数列，并证明你的结论．

1 20．（本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式与前n项求和公式等知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） 解：设等比数列an的首项为a1，公比为qa10,q0， 若am，am2，am1成等差数列，则2am2amam1． ∴

2a1qm1a1qm1a1qm．∵a10，q0，∴2q2q10．

解得q1或q1．

2当q1时，∵Smma1，Sm1m1a1，Sm2m2a1，

∴2Sm2SmSm1．

∴当q1时，Sm，Sm2，Sm1不成等差数列． 当q证法

1时，Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列．下面给出两种证明方法． 21：

∵

SmSm12Smam12am1q2SmSmam21Smamam1

2

am12am21am12am12

10，∴2Sm2SmSm1．∴当q时，Sm，Sm2，Sm1成等差数列．

21m22a11m2241a11，

13212证法2：∵2Sm21m1m1a11a11mm122211a12 又SmSm1113221122m2m2m221141a1242a11，

32232∴2Sm2SmSm1．

∴当q1时，Sm，Sm2，Sm1成等差数列． 22

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