近世代数第三章小结

2020-03-03 03:41:03 来源：范文大全收藏下载本文

第三章环与域总结

第一节

加群、环的定义

定义：一个交换群叫做一个加群。

⑴一个加群的唯一的单位元叫做零元，记作0。

⑵元a的唯一的逆元叫做a的负元，记作-a，简称负a。环的定义：（R,,）

①（R+）是交换群（R对+封闭）；

②· ：RRR满足结合律，即a,b,cR,abcabc ③+和·都满足分配律：即对a,b,cR满足

abcabac

bcabaca

称R在+和·运算下是环。①.R是一个加群；

②.R对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的；

③.这个乘法适合结合律：

abcabc，不管a,b,c是R的哪三个元；

④.两个分配律都成立：

abcabac,bcababc，不管a,b,c是R的哪三个元。

环满足如下运算： ①0aa0,对aR ②abcabac

abcacbc

③acacac,acac

mnmn④a1a2anb1b2bnaibjaibj

i1j1i1j1定义：（R,,），若对a,bR,有abba,即满足交换律的环是交换环。

（R,,），若eR,对aR,eaaea则称e为R的一个单位元。一般地，一个环不一定有单位元。

（R,,），含有单位元e，,aR若bR，使得abbae,则称b是a的逆元。

（R,,），ab,b0，若ab0,则称a为左零因子，b为右零因子。既是左零因子又是右零因子的元叫做零因子。在交换群中无左右零因子，只有零因子。

定理：无零因子环里两个消去律都成立： a0,abacbc（左消去）

a0,bacabc（右消去）

在一个环里如果有一个消去律成立，那么这个环没有零因子。

推论：在一个环里如果有一个消去律成立，那么另一个消去律也成立。整环的定义：一个环R叫做一个整环，假如满足： ①R是交换环：

abba

②R是单位环，有单位元1：1aa1a

③R是无零因子环（满足消去律）：ab0a0或b0

这里a,b可以是R中的任意元。

第二节除环、域

除环的定义：一个环R叫做一个除环，假如满足：

①R中至少包含一个不等于零的元

②R中有一个单位元

③R的每一个不等于零的元都有一个逆元域的定义：一个交换除环叫做一个域。除环和域的几个重要性质：

⑴除环没有零因子（满足消去律）

⑵一个除环的不等于零的元对于乘法来说作成的群RR0，叫做R的乘群。因为 ① 封闭性a0,b0,则ab0R

② 满足结合律

③ 有单位元10R

④ 有逆元a0,a10R

第三节环的特征

定理：在无零因子环中，所有非零元在加法运算下的阶是一致的，称此阶是环的特征。定理：无零因子环的特征要么是无穷，要么是素数。第四节子环

子环的定义：一个环R的一个子集S叫做R的一个子环，假如S本身对于R的代数运算来说作成一个环。

一个环R的一个子集S叫做R的一个子除环，假如S本身对于R的代数运算来说作成一个除环。

第五节、同态同态的定义：（R,,）（R,,）环，f：RR映射，若满足下列条件：

①a,bR,fabfafb ②a,bR,fabfafb 若f是同态满射，则称R和R同态。

定理：（R,,），（R,,）,R与R同态，则f00,fafa,fa1fa。

1 若R是交换环，则R是交换环。

定理：如果环R与R同构，则有：若R是整环，则R是整环；若R是除环，则R是除环；若R是域，则R是域。

定理：假定R和R是两个环，且同态。那么R的零元的象是R的零元，R的元a的负元的象是a的象的负元。并且，假如R是交换环，那么R也是交换环；假如R有单位元1，那么R也有单位元1，而且1是1的象。

定理：假定S是环R的一个子环，S在R里的补足集合（这就是所有不属于S的R的元作成的集合）与另一个环S没有公共元，并且SS,那么存在一个与R同构的环R，并且S是R的子环。

第六节多项式环

多项式定义：一个可以写成a0a1annaiR,n是0的数形式的R0的元叫做

R上的的一个多项式，ai叫做多项式的系数。

多项式环的定义：R叫做R上的的多项式环。

未定元的定义：R0的一个元x叫做R上的一个未定元，假如在R里找不到不都等于零的元a0,a1,,an，使得a0a1xanxn0

多项式次数的定义：令a0a1xanx,an0是环R上一个一元多项式。那么非负整数n叫做这个多项式的次数。多项式0没有次数。对于给定的R0来说，R0未必含有R上的未定元。

定理1：给了一个有单位元的交换环R，一定有R上的未定元x存在，因此也就有R上的

n多项式环Rx存在。

无关未定元的定义：R0的n个元x1,x2,,xn叫做R上的无关未定元，假如任何一个R上的x1,x2,,xn的多项式都不会等于零，除非这个多项式的所有系数都等于零。

定理2：给了一个有单位元的交换环R同一个正整数n，一定有R上的无关未定元x1,x2,,xn存在，因此也就有R上的多项式环Rx1,x2,,xn存在。

定理3：假如Rx1,x2,,xn和R1,2,,n都是有单位元的交换环R上的多项式环，那么Rx1,x2,,xn与x1,x2,,xn是R上的无关未定元，1,2,,n是R上的任意元，R1,2,,n同态。

第七节理想

理想的定义：环R的一个非空子集叫做一个理想子环，简称理想。假如

①a,b,则ab

②a,rR,ra,ar

注：理想是子环，但子环不一定是理想。

一个环至少有两个理想：①只包含零元的集合，这个理想叫做R的零理想②R本身，称单位理想。

定理1：除环只有两个理想，即零理想和单位理想。

主理想的定义：aR，由a生成的理想（即包含a的所有理想的交或包含a的最小理想）称为主理想，记为（a）。第八节剩余类环

剩余类的定义：对于给定的环R及其一个理想，若只就加法来看，R作成一个群，作成R的一个不变子群。这样的陪集a,b,c,作成R的一个分类。我们把这些类叫做模的剩余类。

定理1：假定R是一个环，是它的一个理想，R是所有模的剩余类作成的集合，那么R本身也是一个环，并且R与R同态。

剩余类环的定义：R叫做环R的模的剩余类环，用符号R/来表示。

定理2：假定R和R是两个环，并且R和R同态，那么这个同态满射的核是R的一个理想，并且R/R。

定理3：在环R到环R的一个同态满射下，有 ①R的一个子环S的象S是R的一个子环； ②R的一个理想的象是R的一个理想； ③R的一个子环S的逆象S是R的一个子环； ④R的一个理想的逆象是R的一个理想。

第九节最大理想最大理想的定义：一个环R的一个不等于R的理想叫作一个最大理想，假如除了R同自己以外，没有包含的理想。

注：除环的最大理想是零理想（除环包括域）定理：是R的理想（R），R/只有平凡理想是R的最大理想。引理：R是含有单位元的交换环，若R只有平凡理想，则R是域。

定理：R是有单位元的交换环，是环R的理想，则R/是域是最大理想。第十节商域

定理1：每一个没有零因子的交换环R都是一个域Q的子环。定理2：Q是所有元aa,bR,b0所作成的，这里aab1b1a bb商域的定义：一个域Q叫做环R的一个商域，假如Q包含R，并且Q刚好是由所有元aa,bR,b0所作成的。 b定理3：假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。

定理4：同构的环的商域也同构。一个环最多只有一个商域。

总结：

本章定理，推理及引理：

⒈在一个没有零因子的环里两个消去律都成立：

a0,abacbca0,bacabc

反过来，在一个环里如果有一个消去律成立，那么这个环没有零因子。

推论：在一个环里如果有一个消去律成立，那么另一个消去律也成立。 2.在一个没有零因子的环R里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。 3.如果无零因子环R的特征是有限整数n，那么n是一个素数。

推论：整环，除环以及域的特征或是无限大，或是一个素数p。

4.若是存在一个R到R的满射，使得R与R对于一对加法以及一对乘法来说都同态，那么R也是一个环。

5.假如R和R是两个环，并且R和R同态。那么R的零元的象是R的零元，R的元a的负元的象是a的象的负元。并且，假如R是交换环，那么R也是交换环；假如R有单位元1，那么R也有单位元1，并且1是1的象。

6.假定R同R是两个环，并且RR。那么，若R是整环，R也是整环；R是除环，R也是除环；R是域，R也是域。

7.假定S是环R的一个子环，S在R里的补足集合与另一个环S没有共同元，并且SS。那么存在一个与R同构的环R，并且S是R的子环。