高数极限和连续

第二章 极限和连续 【字体：大 中 小】【打印】

2.1 数列极限

一、概念的引入（割圆术）

“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽

正六边形的面积A

1 正十二边形的面积A2

n-1

正6×2形的面积An

A1，A2，A3，„，An，„→„S

二、数列的定义

定义:按自然数1，2，3„编号依次排列的一列数x1，x2，„，xn，„ （1）

称为无穷数列，简称数列。其中的每个数称为数列的项，xn称为通项（一般项）。数列（1）记为{ xn }。

例如

nn

2，4，8，„，2，„；{ 2}

注意：

（1）数列对应着数轴上一个点列，可看作一动点在数轴上依次取

（2）数列是整标函数xn=f（n）

三、数列的极限

1.定义 设{xn}是一数列，如果存在常数a，当n无限增大时，xn无限接近于常数a，则称数列{ xn }收敛，a是数列{ xn }的极限，或者称数列xn收敛于a，记为

。

如果数列没有极限，就说数列是发散的。

例如

nn

2，4，8，„，2，„；{ 2}，发散

，发散

收敛于0

2.数列极限的性质 （1）唯一性

定理 每个收敛的数列只有一个极限。 （2）有界性

定义: 对数列xn， 若存在正数M，使得一切自然数n, 恒有|xn|≤M成立, 则称数列xn有界，否则，称为无界。

例如，数列有界，数列无界

数轴上对应于有界数列的点xn都落在闭区间[-M，M]上。

定理 收敛的数列必定有界。

注意：有界性是数列收敛的必要条件。 推论 无界数列必定发散。 （3）保号性

收敛数列的保号性：假设数列{αn}收敛，其极限为α，

1）若有正整数N，n＞N时，αn＞0（或＜0），则α≥0（或α≤0） 2）若α＞0（或＜0，则有正整数N，使得当n＞N时，αn＞0（或＜0）

2.2 级数

1.级数的定义:

称为数项无穷级数（或简称数项级数），un为一般项。

2.级数的部分和

3.部分和数列

4.级数的收敛与发散

当n无限增大时，如果级数的部分和数列Sn有极限S， 即则称无穷级数收敛,这时极限S叫做级数的和,并写成。

如果Sn没有极限，则称无穷级数

数项级数收敛

存在

发散。

例1.讨论等比级数（几何级数）

（a≠0）的收敛性。

【答疑编号11020101：针对该题提问】

解：如果q≠1时，

当|q|＜1时,

当|q|＞1时

如果|q|=1时

当|q|=1时，

，级数发散

收敛 发散

当q=-1时，级数变为α-α+α-α+„

不存在，级数发散

综上

例2.（56页1（3））判断下列级数的敛散性，并在收敛时求出其和：

【答疑编号11020102：针对该题提问】

解：

由

得级数收敛，其和为。

例3.判断级数的敛散性

【答疑编号11020103：针对该题提问】

例4.判断级数的敛散性，并在收敛时求出其和

【答疑编号11020104：针对该题提问】

例5.判别无穷级数

的收敛性。

【答疑编号11020105：针对该题提问】

解

∴级数收敛，和为。

2.3 函数极限

两种情形:

（1）x→∞情形：

（2）x→x0情形：

一、自变量趋于无穷大时函数的极限

定义：设M是任意一个正数，函数f（x）在

上有定义，如果存在常数A，当|x|无限增大（即|x|→∞）时，f（x）无限接近于A，则称A为函数f(x)当x→∞时的极限，或简称为f（x）在无穷大处的极限，记为

或f(x)→A，当x→∞时。

定理：

例1.（60页例

5、例6）求下列函数的极限

（1）

【答疑编号11020201：针对该题提问】

（2）

【答疑编号11020202：针对该题提问】

解：对于函数

对于函数f（x）=arctanx，由反正切曲线y=arctanx的图形，易见

所以，极限

例2.

不存在。

【答疑编号11020203：针对该题提问】

例3.

【答疑编号11020204：针对该题提问】

例4.

【答疑编号11020205：针对该题提问】

二、函数在有限点处的极限（自变量趋于有限值时函数的极限）

1.定义：给定函数y=f（x）在（x∈D）上有定义，假设点x0的某一去心邻域，如果存在常数A，使得当x→x0时，函数值f（x）无限接近于A，则称A为函数f（x）当x→x0时的极限，记为

或 f（x）→A，当x→x0时。

2.单侧极限

定义：设 f（x）在x0的一个左邻域中有定义，如果存在常数A，使得当相应的函数值（fx）无限接近于A，则称A为函数f(x)当 时的左极限，记为

定理：

时，或（fx0-0）。

例5.62页2：（5）（6）（7）

求函数在指定点的左右极限，判定该点极限是否存在。

（5） x=2

【答疑编号11020206：针对该题提问】

（6） x=0

【答疑编号11020207：针对该题提问】

（7），x=0

【答疑编号11020208：针对该题提问】

问题：函数y=f（x）在x→x0的过程中，对应函数值f（x）无限趋近于确定值A。

例6.求

【答疑编号11020209：针对该题提问】

注意：函数极限与f（x）在点x0是否有定义无关

三、函数极限的性质 1.唯一性

定理 若limf(x)存在，则极限唯一。 2.有界性

定理 （有极限函数的局部有界性）假设中有界，即有常数M＞0，使得在x0的某个去心邻域

3.保号性

若

推论

存在，则f（x）在x0点的某个邻域

中，有

，且A＞0（或A＜0）

若时

f(x)≥0（或f(x)≤0），则A≥0（或A≤0）

四、小结

函数极限的统一定义

2.4 极限的运算法则

一、极限运算法则

定理

设

（1）

（2）

，则

（3）

例7.【答疑编号11020210：针对该题提问】

推论1

如果lim f(x)存在，而c为常数，则

常数因子可以提到极限记号外面。

推论2

如果lim f(x)存在，而n是正整数，则

二、求极限方法举例

例8.求

【答疑编号11020211：针对该题提问】

解

（直接代入法）

例9.求。

【答疑编号11020212：针对该题提问】

解：x→1时，分子，分母的极限都是零。（型）

（消去零因子法或因式分解法）

例10.求

【答疑编号11020213：针对该题提问】

解：先变形再求极限。

。

例11.求

【答疑编号11020214：针对该题提问】

三、小结

1.极限的四则运算法则及其推论； 2.极限求法

a.多项式与分式函数代入法求极限； b.因式分解法消去零因子求极限； c.通分法

d.利用左右极限求分段函数极限。

2.5 无穷小和无穷大

一、无穷小

1.定义：极限为零的变量称为无穷小。

函数f（x）当x→x0 （或x→∞）时为无穷小，记作

例如，

，∴函数sinx是当x→0时的无穷小。

，∴函数是当x→∞时的无穷小。

，∴数列是当n→∞时的无穷小。

注意：

（1）无穷小是变量，不能与很小的数混淆； （2）零是可以作为无穷小的唯一的数。 2.无穷小与函数极限的关系：

其中α（x）是当x→x0时的无穷小。

定理

3.无穷小的运算性质：

（1）在同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小。 （2）有限个无穷小的乘积也是无穷小。 （3）有界变量与无穷小的乘积是无穷小。

例如，当x→0时，

二、无穷大

1.定义：绝对值无限增大的变量称为无穷大。

函数f（x）当x→x0 （或x→∞）时为无穷大，记作

。

2.特殊情形：正无穷大，负无穷大。

注意：

（1）无穷大是变量，不能与很大的数混淆； （2）切勿将 认为极限存在。

（3）无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量未必是无穷大。

例如，

三、无穷小与无穷大的关系

是无界变量不是无穷大。

1.定理 在同一过程中，无穷大的倒数为无穷小；恒不为零的无穷小的倒数为无穷大。

2.意义：关于无穷大的讨论，都可归结为关于无穷小的讨论。

例1.求。

【答疑编号11020301：针对该题提问】

解：

又

商的法则不能用

由无穷小与无穷大的关系,得

例2.求。

【答疑编号11020302：针对该题提问】

解：x→∞时，分子，分母的极限都是无穷大。（

先用x3去除分子分母，分出无穷小，再求极限。

型）

（无穷小因子分出法）

例3.求

【答疑编号11020303：针对该题提问】

例4.求

【答疑编号11020304：针对该题提问】

小结：当

，m和n为非负整数时有

无穷小分出法：以分子、分母中自变量的最高次幂除分子，分母，以分出无穷小，然后再求极限。

例5.

【答疑编号11020305：针对该题提问】

例6.求

【答疑编号11020306：针对该题提问】

例7.求

【答疑编号11020307：针对该题提问】

例8（2007年10月）

【答疑编号11020308：针对该题提问】

例9（2007年10月）、下面A、B、C、D四个极限中，哪一个极限存在（）

A.

B.C.

D.

【答疑编号11020309：针对该题提问】

答案：D

例10（2007年4月）

（ ）

A.0

B.1 C.-1

D.不存在

【答疑编号11020310：针对该题提问】 答案：B

例11（2007年7月）

【答疑编号11020311：针对该题提问】

计算

例12（2005年）计算

【答疑编号11020312：针对该题提问】

2.6 两个重要极限

2.6.1 关于

例

1、计算

【答疑编号11020401：针对该题提问】

解：

例

2、

【答疑编号11020402：针对该题提问】

解：

例

3、80页第1题（5）

【答疑编号11020403：针对该题提问】

解：

例

4、

【答疑编号11020404：针对该题提问】

解：

例

5、

【答疑编号11020405：针对该题提问】

解：

例

6、判断四个极限分别属于哪一种类型：

（1）

【答疑编号11020406：针对该题提问】

（2）

【答疑编号11020407：针对该题提问】

（3）

【答疑编号11020408：针对该题提问】

（4）

【答疑编号11020409：针对该题提问】

解：

解：

例

7、求

【答疑编号11020410：针对该题提问】

解

2.6.2 关于

例

1、求

【答疑编号11020501：针对该题提问】

解：

例

2、

【答疑编号11020502：针对该题提问】

解：

例

3、

【答疑编号11020503：针对该题提问】

解：

例

4、

【答疑编号11020504：针对该题提问】

解：

方法一：

方法二：

例

5、

【答疑编号11020505：针对该题提问】

解：

例

6、

【答疑编号11020506：针对该题提问】

解：

例

7、

【答疑编号11020507：针对该题提问】

解：

例

8、

【答疑编号11020508：针对该题提问】 解： 方法一：

方法二：

例

9、81页4题（8）

【答疑编号11020509：针对该题提问】

解：

小结：

第一类重要极限：

第二类重要极限：

2.5.4 无穷小的比较

例如，当x→0时，

观察各极限

都是无穷小。

，x比3x要快得多； 2 ，sinx与x大致相同；

不存在，不可比。

极限不同，反映了趋向于零的“快慢”程度不同。

定义：

设α，β是同一过程中的两个无穷小，且α≠0.

（1）如果，就说β是比α高阶的无穷小，记作β=o（α）；

（2）如果，就说β与α是同阶的无穷小；

特殊地如果

等价无穷小：

，则称β与α是等价的无穷小；记作α～β；

例：

【答疑编号11020601：针对该题提问】

例：

【答疑编号11020602：针对该题提问】

得：当x→0时，

例：

（1）73页8题：

当x→∝时，a，b，c应满足什么条件可使下式成立？

（1）

（2）

等价无穷小代换

等价代换原理：在同一极限过程中的三个变量u，v，w，如果u，v是无穷小量，且等价，则有

，

由

得：当x→0时，

常用等价无穷小：

当x→0时，

牢记常用的等价无穷小：

当x→0时，

例：

【答疑编号11020603：针对该题提问】

例：

【答疑编号11020604：针对该题提问】

例

求

【答疑编号11020605：针对该题提问】

错解

当x→0时，

解

当x→0时，

例

（1）80页1题（7）

【答疑编号11020606：针对该题提问】

（2）80页1题（9）

【答疑编号11020607：针对该题提问】

（3）80页1题（10）

【答疑编号11020608：针对该题提问】

（4）80页2题：设

【答疑编号11020609：针对该题提问】

，求a，b

例：94页3题（4）：

【答疑编号11020610：针对该题提问】

例：94页4题（1）：证明当时，sin（2cosx）与是同阶无穷小。

【答疑编号11020611：针对该题提问】

例：81页8题：设

【答疑编号11020612：针对该题提问】

，求k。

小结

1.两个重要极限

2.无穷小的比较： 反映了同一过程中，两无穷小趋于零的速度快慢，但并不是所有的无穷小都可进行比较.高（低）阶无穷小；等价无穷小； 3.等价无穷小的替换：

求极限的又一种方法，注意适用条件.

2.7 函数的连续性和连续函数

一、函数的连续性

1.函数的增量

设函数f（x）在

内有定义，

称为自变量在点

的增量。

2.连续的定义

定义1 设函数f（x）在的函数的增量f（x）在点

定义2 设函数f（x）在也趋向于零，即连续，

称为

内有定义，如果当自变量的增量

或

的连续点.

趋向于零时，对应，那么就称函数

内有定义，如果函数

当

时的极限存在，且

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