2020-03-02 13:55:17 来源:范文大全收藏下载本文
x
1x1f(0) 1.解:limf(x)limsinlimx0x0x5x05
551所以a 5
x33x23x2313(x1)(x1)2.解:因lim 取k=2 limlimx1x1k(x1)k1(x1)kkx1(x1)k13(x1)(x1)3lim23 x12(x1)
211113.解:y\'f\'(lnx),y\'\'f\'\'(lnx)2f\'(lnx)22[f\'\'(lnx)f\'(lnx)] xxxx
1y\'0 4.解:两边对x求导:1y\'21ysin
1y21y\'(1)1y\'1y\'1 2221y1yy
2yy\'21所以:y\'\'43(21) yyy
5.由lim(ax1)0及题设,可推出limln[1x0x0f(x)f(x)]0lim0, x0sinxsinx
f(x)
limf(x)1limf(x)A 所以:原式limxx0elna1x0xxlnalnax0x2
f(x)所以lim2Alna x0x
ax2lnx126.解:由已知条件可知应满足:1,解得:xe 2axx1所以a 2e
exb17.解因lim存在,并且lim(xa)(x1)0,所以必有lim(exb)0,x1x1x1(xa)(x1)
所以b=e。
exee(ex11)x1原式=lim limelimx1(xa)(x1)x1(xa)(x1)x1(xa)(x1)1若a1eelim x1xa1a
所以:be,a
1-1-
成都理工大学2012—2013学年
第一学期《高等数学》中期考试试卷答案
一、填空题(每小题4分,共60分)
1.f(x)
1sinxx0若使f(x)在(,)上连续,则:a=
1x
5ax0
。
2.当x1时,x33x2是x1的阶无穷小。
3.设函数f(u)二阶可导,且yf(lnx),则y\'\'=1
x
2[f\'\'(lnx)f\'(lnx)]。
4.设方程xyarctayn确定了y是x函数yf(x),则d2y
dx
2= 21
y3(y
21)。 ln(1
f(x)
5.设lim
)
x0
A(a0,a1,A为常数),则limf(x)ax1
x0x2=Alna。
6.若抛物线yax2与曲线ylnx相切,则a=12e
。
7.曲线y(x1)
的拐点坐标是(15,。
8.曲线y1
x
ln(1ex)的渐近线有y0,x0,yx。
9.设f(x)的导数在xa处连续,又lim
f\'(x)
xaxa
1,则xa是f(x)的
-1-
11n
)
nnn2
exesinx
11.极限lim。
x0xsinx
x3ax2x
4l,则常数a=4,l=10。 12.设lim
x1x1
xln(1t2)d2y1t2
13.求参数方程所确定的函数y的二阶导数:2=。
4tdxytarctant
10.极限lim(1
b
14.抛物线yax2bxc,当x=时,曲率最大。
1112x0x02xsincosxsin
15.设f(x),则f\'(x)= 。 xxx
0x00
二、解答题(每题8分,共40分)
x
16.设F(x)limt2[f(x)f(x)]sin,其中f(x)二阶可导,试求F\'(x)。
ttt
xf(x)f(x)sin
x 解:F(x)lim
tx
ttxf(x)fx()sn
xlili
ttx
tt
xf(x)
(x)xf( x)F(x)f
exb
17.设f(x),x1是可去间断点,确定a,b的取值。
(xa)(x1)exb
解因lim存在,并且lim(xa)(x1)0,所以必有lim(exb)0,
x1x1x1(xa)(x1)
所以b=e。 原式
-2-
exee(ex11)x1
=lim limelimx1(xa)(x1)x1(xa)(x1)x1(xa)(x1)
1若a1e
elim x1xa1a
所以:be,a1
1
18.证明:当x0时,arctanx。
x21
证明:令F(x)arctanx,则
x2
11
F(x)0,因此F(x)单调递减。故
1x2x2
1
F(x)F()limF(x)0,即arctanx0
xx21
亦即arctanx
x2
19.设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)1,f(1)0,
f()
则在(0,1)内至少存在一点,使得:f\'()。
证: 设Fxxfx,则Fx在0,1上连续,在0,1内可导且F0F10
由罗尔定理:至少存在一点0,1,使得F0,即:
fFxfxxx
ff
f
0,亦即:
f
20.已知在[0,a]上,|f\'\'(x)|M,且f(x)在(0,a)内取到最大值,试证:|f\'(0)||f\'(a)|Ma。
证:因f(x)在(0,a)内取得最大值,不妨设为c,又f(c)存在,由费马定理:f(c)0对f(x)在[0,c],[c,a]上分别使用拉格朗日中值定理: f(c)f(0)f(1)c(01c) f(a)f(c)f(2)(ac)(c2a) 于是:
f(0)f(1)CMC
f(0)f(a)MCM(ac)Ma
f(a)f(2)(ac)M(ac)
-3-
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