2020-03-02 12:03:24 来源:范文大全收藏下载本文
华东师范大学
2008年攻读硕士学位研究生入学试题
考试科目代码及名称:数学分析
一、判别题(6*6=30分)(正确的说明理由,错误的举出反例)
1.数列ann1收敛的充要条件是对任意0,存在正整数N使得当nN时,恒有
a2nan.2.若f(x,y)在(x0,y0)处可微,则在(x0,y0)的某个邻域内
bfxy,f存在。
3.设f(x)在a,b上连续且fxdx0,则f(x)在a,b上有零点。
a4.设级数an收敛,则n1n1ann收敛。
5.设f(x,y)在(x0,y0)的某个邻域内有定义且
xx0yy0limlimfx,ylimlimfx,yfx0,y0,
yy0xx0
则f(x,y)在(x0,y0)处连续。
6. 对任意给定的x0R,任意给定的严格增加正整数列nk,k1,2,,存在定义在R上的函数
f(x)使得f
二、计算题 (10*3=30分)(计算应包括必要的计算步骤)
1.求 lim1(nk)(k)(x0)0,k1,2,,(f(x0)表示f(x)在点x0处的k阶导数)。
1(x1)sinx4e1x1x0.
xeucosv2zzzu,,.2.设 zzx,y 为由方程组yesinv所确定的隐函数。求
xyxyzuvx1y2z3222dydzdzdxdxdy, 其中rx1y2z3, 3.计算333SirrrS1:x1y2z31,S2:222x121y2221nz3231,积分沿曲面的外侧。
三、证明题(14*6=84分)
1.设级数an收敛于A(有限数)。证明:limn1n(an2an1(n1)a2na1)A.
2.设f(x)在a,b上的不连续点都是第一类间断点。证明:f(x)在a,b上有界。
求证:存在0使得在a,b上有f(x).
3.已知在a,b上,函数列fn(x)一致收敛于f(x),函数列gn(x)一致收敛于g(x).证明:函数列maxfn(x),gn(x)一致收敛于maxf(x),g(x).4.设数列ann1为a,b中互不相同的点列,an为函数fn(x)在a,b上的唯一间断点。设fn(x):n即存在正数M使得fn(x)M对所有的n与所有1,2,在a,b上一致有界,xa,b均成立。证明:函数hxn1fnx2n在a,b内的间断点集为an:n1,2,.
5.设fxn1nen(1) f(x)在0,2上连续;(2)f(x)在
cosnx,x0,2,证明:
e0x2
0,2上存在且连续;(3)maxfxe12.
6.(1)设F(x)在,上可导。若存在xn,yn使
limFxnlimFync,,证明存在,使得F()0.nn,yn使
(2)设f(x),g(x)在,上可导,设存在xn,yn,xnnlimfxnB,,limfynA,
nnb,,limgyna,.limgxnn设g(x)0,x,,证明:存在,使
fgBAba.
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