逆向思维数学应用（推荐）
2020-03-03 12:04:46 来源：范文大全收藏下载本文
谈“逆向思维”在数学教学中的运用和培养
分享到： 0
谈“逆向思维”在数学教学中的运用和培养
俄罗斯著名教育家加里宁说：“数学是思维的体操”。正如体操锻炼可以改变人的体质一样，通过数学思维的恰当训练，逐步掌握数学思维方法与规律，是可以改变人的智力和能力，也可以培养学生的创新精神和创新意识。在数学教学中应用多种思维方法教学是培养学生能力的重要途径之一，思维是智力的核心。观察、分析、想象、推理、判断都与思维密切联系在一起。培养学生的思维能力是数学教学中落实素质教育的关键，也是数学科素质教育的核心。近几年来，部分省市中考数学试卷时有出现一类需用逆向思维来求解的题目，下面就逆向思维在数学解题中的应用和如何培养学生的逆向思维，谈几点看法：
一、“逆向思维”在解题中的作用 问题的引入
甲、乙、丙、丁四个数的和为43，甲数的2倍加8，乙数的3倍，丙数的4倍，丁数的5倍减4，结果相等，问甲、乙、丙、丁各是多少？
本题若从正面分析，正面列式完全是可以解出来的，但要假设4个未知数，列4个方程，解起来会比较麻烦，而运用“逆向思维”却“轻而易举”。可以设这四个运算结果相等的数为x，这样就可以比较快地求出甲、乙、丙、丁这四个数分别是
14、
12、
9、8。这样一种思维方式就是逆向思维。它的特点是不盲从别人的观点而善于提出新思路、新方法的一种创造性思维，它是从反面考虑问题的一种方式，通常要打破习惯性的思维方法，有意做出与习惯思维方向（正向思维）完全相反的探索，顺推不行时考虑逆推；直接解决麻烦或复杂时考虑间接；探讨可能性发生困难时，要考虑不可能性；应用公式法则不凑效时，反过来用„„因此当反复思考某个问题却“山穷水尽”时，逆向思维经常会出现“柳暗花明”的境地，还会达到事半功倍的好效果。也就是说，对于某些问题，有时逆向思维优于正向思维。例如－ ， － ，－ ，－ 的大小，按惯例是先通分母再比较大小，但本题分母较大，通分母比较麻烦，于是有人另僻蹊径，不通分分母而先通分分子，再比较大小，于是原题就变为比较 的大小，这样不但节约了时间，而且还培养逆向思维的习惯，从而提高了智力。此外，逆向思维在某些问题还会对正向思维起到推动和促进作用。
例 已知：x+y+z= + + =1 求证：x、y、z中至少有一个等于1。
分析：本题结论反面情况是x、y、z都不等于1即(x－1)(y－1)(z－1)≠0将左边展开后再与条件比较，发现矛盾。即得原题的结论。 证明：设x、y、z都不等于1 则x－1≠0 y－1≠0 z－1≠0
∴(x－1)(y－1)(z－1)≠0
即xyz－(xy+yz+xz)+x+y+z－1≠0 (1) 又∵x+y+z=1 xyz=xy+yz+zx (2) ∴xyz－(xy+yz+xz)+x+y+z－1＝0 (3) (1)、(3)式发生矛盾 ∴原结论成立。
完成这个证明过程后，我们又可以从中得到启发，启发我们若从条件出发，用正向思维完全可以推得(x－1)(y－1)(z－1)＝0，即得x、y、z至少有一个等于1。 证明：由条件得x+y+z－1＝0 (1) xyz－(xy+yz+xz)＝0(2) (1)＋(2)得 ∴xyz－(xy+yz+xz)+x+y+z－1＝0 分解因式得(x－1)(y－1)(z－1)＝0 ∴x－1＝0或y－1=0或z－1=0 即x、y、z中至少有一个等于1。
二、“逆向思维”在解题中的应用
1、“逆向思维”在解方程有关问题中的应用 例1 已知关于x的二次方程
ax2＋2bx＋c＝0
bx2＋2cx＋a＝0
cx2＋2ax＋b＝0 中，至少有一个方程有不同的实数根，试求出a、b、c应满足的条件。
分析：这题若从正面出击，因情况复杂难以下手，但是若从“三个二次方程至少有一个不同的实数根”的反面，即从“三个二次方程都没有不同的实数根”去考虑，则比较容易得到它的结果。
解：设这三个二次方程都没有不同的实数根
三式相加，除以4得 a2＋b2＋c2＋ab－bc－ca≤0 整理得 〔（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2〕≤0 但（a－b）2≥0
（b－c）2≥0
（c－a）2≥0 ∴a＝b＝c 又已知a≠0 b≠0 c≠0故求得原题应满足的条件为：a，b，c为不全相等的非零实数。 例2 若解关于x的分式方程
时不会产生增根，求k的取值范围。
分析：考虑到不会产生增根的反面是产生增根，从全体实数中除去产生增根时k的值即为原题的解。
解：去分母得
(x+2)(k－k2)=x2－5x－2 若方程产生增根，则(x+2)(x－2)＝0 此时x1=－2 x2＝2 ①当x=－2时，k无实数解
②x＝2时，解得k1=－1 k2＝2 ∴当k≠－1且k≠2时，原方程不会产生增根。
2、“逆向思维”在解决有关函数问题中的应用
例 若二次函数y＝mx2＋(m－3)x＋1的图像与x轴的两个交点至少有一个在原点的右侧，求m的取值范围。
解：从正面考虑，情况比较复杂，设两个交点都不在原点的右侧，则y＝0时，方程有两个根都小于或等于0，于是有 由此解得m≥9
其反面是m＜9，又因为二次函数图像与x轴有交点，所以还必须有△≥0，且m≠0，即 ∴m的取值范围是m≤1且m≠0.
3、“逆向思维”在几何证题中的应用
例 设o是△ABC内一点，AO、BO、CO延长后，分别交对边于D、E、F。 试证： 三个中至少有一个不大于2。
证明：本题若从正面考虑有三种情况比较复杂，从反面考虑
设 都大于2。
即
由此推得AO＞2OD，AD＞3OD, 同理
故命题得证。
4、“逆向思维”在排列组合中的应用
例 今有一角币一张，二角币一张，五角币一张，一元币4张，五元币二张，用这些纸币任意付款，则可以付出不同数额的款共有多少种？
分析：从正面去分析，涉及重复排列组合，显然十分复杂，故应改从反面去分析，从一角到最高币值148角共有148种币值，从中去掉不可能构成的币值就可以，而不能构成的币值应该是4角、9角、1元4角、1元9角„到14元4角共29种币值，故148－29＝119，即剩119种。
5、“逆向思维”在数论中的应用
例1 求1～50各整数中，不能被7整除的所有数字之和。
分析：要直接求出1～50各整数中，不能被7整除的整数之和S1是有些费事，但1～50各整数之和可以用数学家高斯简捷算法很快可以求得S=1275且1～50各整数中能被7整除各数7，
14、
21、
28、
35、
42、49之和S2＝196，从而求得S1＝S－S2＝1079。 解 ： （略）。
例2 1984年美国数学邀请赛有这样一道题目：不能写成两个奇合数之和的最大偶数是多少？
分析：从正面推算甚是复杂，但从反面去思考，一一去掉那些能分成两个奇合数之和的偶数却十分容易，组成偶数的末位数应是0、
2、
4、
6、8，共5种，因此，
（1）末位为0者，经验算
10、20合格，但30＝15＋15， 40＝15＋25„故应去掉30及30以上的末位为0的整数。
（2）末位为2者，经验算
2、
12、
22、32均合格，但42＝27＋15 52＝27＋25„故应去掉42及42以上末位为2的整数。
（3）末位为4者，经验算
4、14都合格，但应去掉24＝9＋15 34＝9＋25„即24及24以上末位为4者。
（4）末位为6者，经验算
6、
16、26均合格，但36＝21＋15 46＝21＋25„应去掉36及36以上末位为6的整数。
（5）末位为8者，经验算
8、
18、
28、38均合格，但48＝33＋15 58＝33＋25„故应去掉48及48以上末位为8的整数。 综上所述，合题意的应是38。
6、“逆向思维”在实际问题中的应用
例 一个人以每小时3公里的速度沿一条有电车过往的街道行走，他注意到，在有40辆与它同向的车从身边驶过的时侯，有60辆车相向驶过，请问电车的平均速度是多少？
分析：在这个问题中，人和车都是动的，如果从这方面分析问题就比较复杂，但是动的反面是静的，将行走着的人想象为站立不动，且设电车的车速为x公里/小时，这样与人同向电车的车速为（x－3）公里/小时，与人逆向的电车车速为（x＋3）公里/小时，此时车速与车辆数成正比，即，解得x＝15公里/小时。
三、培养学生逆向思维能力的有效途径
从以上几个例子，我们可以看出，“逆向思维”在解决一些数学问题与一些实际问题时，确是起到“柳暗花明又一村”的作用，但在平时的教学中，应如何培养和提高学生的“逆向思维”的能力呢？
1、教师在平时教学中要多讲一些有关要用到“逆向思维”的例子，鼓励学生要有采用“逆向思维”的勇气与良好的意志，要谆谆告诫学生，当一切“正向思维”已山穷水尽时，这表明犯了方向性的错误，此路不通就要反其道而行之，这样就可能会马上奏效。
2、培养学生的“逆向思维”，要在平时的教学过程中，从最简单、最基本以及日常生活中的实例开始，要不失时机用互为逆运算、逆变形来简化解题过程，训练逆向思维，使学生慢慢培养和具备逆转心理的习惯，使学生能从多角度和全方位地研究数学问题。下面就初中数学中比较常遇到的要用逆公式、逆法则、逆定理来解题作一个简要介绍。 （1）逆用分式加减法则 例1 计算 分析：∵ 同理
解：原式＝
＝„„＝ 例2 化简 解：∵
∴原式＝
＝ ＝
＝1 （2）逆用同底数幂乘法法则[ am²an＝am + n， am÷an ＝ am²n (ab)m＝am bm， ( am )n＝an m ] 例1 已知10m＝2， 10n＝3 。
求（1）103m－2n (2)102m＋n 的值 解：（1）103m－2n＝(10m)3÷(10n)2＝23÷32= (2)102m＋n＝(10m)2²10n=22²3＝12。 例2 计算(0.125)2001³[(－2)2001]3 解：原式＝(0.125)2001³[(－2)3]2001 ＝[0.125³(－2)3]2001＝－1 （3）逆用乘法公式[(a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a±b)2=a2±2ab+b2] 例1 分解因式：a2n－b2n－2bn－1 解：原式＝(an )2－[(bn )2+2bn+1] ＝(an＋bn ＋1)(an－bn －1) 例2 计算 解：原式＝
＝2 (2 － 2 ) ＝ 4 －8 （4）逆用二次根式中的公式 ＝|a| 例：求的值。 解：
（5）逆用一元二次方程根的判别式
例 已知a、b、c、d为非零实数且满足(a2+b2)d2－2bd(a+c)+b2+c2=0 求证：b2＝ac 证明：∵a、b、c、d为实数且(a2+b2)d2－2bd(a+c)+b2+c2=0 ∴一元二次方程(a2+b2)x2－2b(a+c)x+b2+c2=0有一根为d（d为实数） ∴△≥0即[2b(a+c)]2－4(a2+b2)(b2+c2)＝－4(b2－ac)2≥0， ∴(b2－ac)2≤0
∴b2－ac＝0 ∴b2＝ac 故命题得证。 （6）逆用韦达定理
例 已知实数a、b、c 满足a＝6－b，c＝ab－9。 求证：a＝b
3、注意训练学生“反向变题”能力
为了说明问题的方便，特引入“反向变题”这个概念。所谓“反向变题”就是把数学题中的“已知”和“求证”在一定条件下互相转换，而形式有异于原题基本思想的新题型。例如“在RtABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，求证：AC ＝AD²AB。对于此题，我们可以把反过来，“在ABC中，CD⊥AB于D且AC ＝AD²AB”。求证∠ACB＝90°”。像这样可以互相转换的题目在初中数学课本中是可以找出不少。
综上所述，逆向思维在解决一些数学问题和实际问题时，确是可以起到一种令人意想不到的效果，它可以改变人们在探索和认识事物的常规方法和思维的习惯，也可以培养和提高学生的创新意识和实践能力，因而可以比较容易引发超常的效应，但是要掌握好它决非一日之功，这需在平时的教学中逐步渗透和培养。当然我们在向学生渗透“逆向思维”时要反复强调运用“逆向思维”来解决问题应视具体情况而定，只有在反复思考某个问题，“正向思维”已“山穷水尽”时，才考虑运用“逆向思维”来解决问题。
相关推荐
人人范文网 m.inrrp.com.cn 手机版