新高一函数知识

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一、函数的概念与表示

1、映射

（1）映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。

注意点：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射

2、函数

构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域

两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同

二、函数的解析式与定义域

1、求函数定义域的主要依据：

（1）分式的分母不为零；

（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；

（3）对数函数的真数必须大于零；

（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；

2求函数定义域的两个难点问题

（1） 已知f(x)的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。

（2）已知f(2x－1)的定义域是[-1,3],求f()x的定义域

三、函数的值域

1求函数值域的方法

①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数； ②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；

③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次且x∈R的分式；④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；

⑤单调性法：利用函数的单调性求值域； ⑥图象法：二次函数必画草图求其值域；

⑦利用对号函数 ⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数

四．函数的奇偶性

1．定义: 设y=f(x)，x∈A，如果对于任意x∈A，都有f(x)f(x)，则称y=f(x)为偶函数。

如果对于任意x∈A，都有f(x)f(x)，则称y=f(x)为奇函数。

2.性质：

①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于y轴对称,y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称, ②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0

③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D1 ，D2，D1∩D2要关于原点对称]

3．奇偶性的判断

①看定义域是否关于原点对称②看f(x)与f(-x)的关系

五、函数的单调性

1、函数单调性的定义：

2 设yfgx是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则yfgx在M上是减函数；若f(x)

与g(x)的单调性相同，则yfgx在M上是增函数。

六．函数的周期性：

1．（定义）若f(xT)f(x)(T0)f(x)是周期函数，T是它的一个周期。

说明：nT也是f(x)的周期

（推广）若f(xa)f(xb)，则f(x)是周期函数，ba是它的一个周期

2．若f(xa)f(x)；f(xa)11；f(xa)；则f(x)周期是2a f(x)f(x)

七、反函数

1.只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；

2、求反函数的步骤 （1）解 (2)换 (3)写定义域。

3、关于反函数的性质

（1）y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；

（2）y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的单调性；

（3）已知y=f(x)，求f-1(a)，可利用f(x)=a，从中求出x，即是f-1(a)；

（4）f-1[f(x)]=x;

（5）若点 (a,b)在y=f(x)的图象上，则 (b,a)在y=f--1(x)的图象上；

（6）y=f(x)的图象与其反函数y=f--1(x)的图象的交点一定在直线y=x上;

八．二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)

21．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴xb，顶点坐标(b,4acb) 2a2a4a

2．二次函数与一元二次方程关系

2一元二次方程axbxc0(a0)的根为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)y0的x的取值。

2一元二次不等式axbxc0(0)的解集(a>0)

九．指数式与对数式

1．幂的有关概念

(1)零指数幂a01(a0)

(2)负整数指数幂an1a0,nN na

(3)

正分数指数幂aa0,m,nN,n1；

(5)

负分数指数幂amnmn

1am

na0,m,nN,n1

(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.2．有理数指数幂的性质

,0r,Q 1arasarsa0,r,sQ 2ararsa0,r,sQ3abarbra0bsr

3．根式

根式的性质:当n是奇数，则ana；当n是偶数，则nana

4．对数

(1)对数的概念:如果abN(a0,a1),那么b叫做以a为底N的对数,记blogaN(a0,a1)

(2)对数的性质：①零与负数没有对数②loga10③logaa1

(3)对数的运算性质

logMN=logM+logN

对数换底公式：logaN aaa0 a0logmN(N0,a0且a1,m0且m1) logma

n对数的降幂公式：logamNnlogaN(N0,a0且a1) m

十．指数函数与对数函数

1、指数函数y=ax与对数函数y=logax (a>0 , a≠1)互为反函数

2.同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理） 记住下列特殊值为底数的函数图象：

3、

4、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函

数的单调性是解决问题的重要途径。

十．函数的图象变换

（1）

1、平移变换：（左+右- ，上+ 下- ）即

yf(x)h0,右移;h0,左移yf(xh)

yf(x)k0,下移;k0,上移yf(x)k

① 对称变换：（对称谁，谁不变，对称原点都要变）

yf(x)x轴yf(x)

yf(x)y轴yf(x)

yf(x)原点yf(x)

yf(x)yxyf1(x)

yf(x)y轴右边不变，左边为右边部分的对称图yf(x)yf(x)保留x轴上方图，将x轴下方图上翻yf(x)

十．函数的其他性质

1．函数的单调性通常也可以以下列形式表达：

f(x1)f(x2)

xx0单调递增

12

f(x1)f(x2)

xx0单调递减

12

2．函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：

f(x)f(x)0 奇函数

f(x)f(x)0 偶函数

3．函数的凸凹性：

f(x1x2f(x1)

2)f(x2)

2凹函数（图象“下凹”，如：指数函数）

f(x1x2f(x1)f(x2)

2)2凸函数（图象“上凸”，如：对数函数）

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