高等数学证明方法

（3）反证法

这种证法是从反面考虑问题。先假设在已知条件成立的情况下，要证的结论不成立，而后从已知条件出发，运用基本概念和基本定理，通过逻辑推理导出矛盾（或与已知条件矛盾；或与某一已知概念、公式、公理、定理等矛盾；或自相矛盾等），这样则否定假设，从而肯定原结论正确。

例如，证明不是的多项式.事实上，利用反证法，设是的多项式，不妨记此多项式为次多项式，即，则有

于是次多项式有无穷多个不同实根，这与次多项式最多只有个不同实根相矛盾，由此证明了不是的多项式.又如，证明不存在（为自然数）.事实上，利用反证法，假设存在且设，则有

又因为 所以有 故

这与产生矛盾，因此不存在.

（2）分析法

这种方法基本思路是逆着想。先假设结论正确，运用已有的定义、定理、公式、性质，从后向前一步一步地分析，直至推出已知条件，即由结论找需知，再找需知，„„，直至已知。这种“执果溯因”的方法，叫做分析法。

分析法是探求证题途径的重要方法之一。它的优点在于思考过程比较自然，目的明确，较为容易找到证明的思路，但缺点是分析的过程叙述起来往往比较繁琐，因而过程多在草稿纸上进行，不正式写出。在实际解题时，特别对于一些较难的问题，常常先用分析法寻找解题的途径，然后再用综合法叙述解题过程，这种方法也可叫做分析综合法。 例如，设在时连续，且；而在时有单调递增导数，试证在时是单调递增的。 事实上，欲证为单调递增，只需证明就行了，而由于 因此就归结为证明.利用拉格朗日中值定理及已知条件，有

单调递增

因此在时是单调递增的.又如，用极限定义证明一数列或函数有已知极限时，多采用分析综合法证明。比如证明，其方法如下： ，欲使不等式成立， 由

所以只需，即成立.取，于是当时，就有，从而保证了希望的不等式成立.综合以上分析，就有 ，当时，，根据极限定义，有

高等数学中研究基本理论的主要方法是证明问题，证明问题的方法没有固定的程序，证题的技巧又灵活多样，因而和一般计算题比较难度较高，不易掌握。下面介绍几种常用的证明方法，以便在寻求基本思路和探索规律方面起到一定一定的引导作用，尽可能减少盲目性，提高自觉性。 （1）综合法

这种方法的基本思路是顺着想。由已知条件出发，运用已有的定义、定理、公式、性质推导出所要求的结论。即由条件推可知，再推可知，„„，直到结论。这种“由因导果”的方法，叫做综合法。

运用综合法证明问题最广泛，但在使用这种方法时，必须注意充分与必要的关系，每一步都要明确是由什么命题推证什么命题，依据是什么，这种特点充分表现了数学的严密性和逻辑性。

例如，设，证明.事实上，由已知条件可知序列有递推关系式： 当时，因有

所以为递减有界序列，故.再对递推关系式关于取极限，得，解出； 当时，令，则， 而 所以

又如，若函数对任意实数有且，证明.事实上，由已知条件：不会恒为零，由上式可得.因此就有

高等数学中不等式的证明方法

高等数学极限方法总结

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