求极限毕设

求极限的若干方法

数学与应用数学专业学生

李飞

指导教师

辛彩婷

摘要：本文首先介绍了数列极限的相关概念及其性质定理,如数列极限的定义、性质，Stolz定理等；其次是函数极限的相关概念及其性质定理，包括函数极限的定义、性质，洛必达法则，泰勒公式等；最后归纳和总结了求两类极限的若干方法，主要是利用两个重要极限、洛比达法则、泰勒公式、定积分等求极限的方法，并结合具体的例子，指出了在解题过程中常遇见的一些问题，以供学习者查阅借鉴。 关键词：数列 函数 极限 导数

Some methods of the calculation of the limits Student majoring in mathematics and applied mathematics

Li Fei

Tutor

Xin Cai-ting Abstract:This paper first introduces the related concepts and theorems of the sequence limit, such as definitions and properties of the sequence limit, the Stolz theorem; second is the related concepts and theorems of the function limit, including the definition and the property of the functional limit, L’Hospital rule, Taylor formula; finally summarizes some methods of two kinds of limits, mostly using two important limits, L’Hospital rule, Taylor formula, definite integral,and so on, combining with the specific example, and pointing out some problems that we often met in the proce of solving problems for learners to refer to the reference. Key word: Series；Function；Limit；Derivative

引言 极限概念是高等数学中最重要、最基本的概念之一，它是研究变量数学的有力工具,也是研究高等数学的重要理论基础，许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的.极限问题是高等数学中的难点之一，围绕极限的中心问题有两个：一是证明极限存在，二是求极限的值.这两个问题有密切关系：若求出了极限的值，自然极限存在性也被证明.反之，证明了极限存在，也就为计算极限铺平了道路.

掌握好求极限对学好高等数学是十分重要的，求极限的方法很多，但是每种方法都有其局限性，都不是万能的.对某个具体的求极限的问题，我们应该追求最简便的方法.在求极限的过程中，必然以相关的概念、定理及公式为依据，并借助一些重要的方法和技巧.本文作者归纳总结出了如下常见的求极限的方法.

1 数列极限的概念

关于如何求极限，必须先了解极限的概念.这里，我们先介绍数列极限，然后介绍函数极限.两类极限有着相似的性质定理与类似的求极限的方法，彼此有着深刻的内在联系.下面给出数列极限的概念.1.1数列极限的定义

定义1.1.1 设{xn}是一给定数列，a是一个实常数.如果对于任意给定的0，可以找到正整数N，使得当nN时，成立xna，则称数列{xn}收敛于a（或称a是数列{xn}的极限），记为limxna，有时也记为xna（n）.

n如果不存在实数a，使{xn}收敛于a，则称数列{xn}发散.1.2数列极限的性质 1.2.1极限的惟一性

定理1.2.1 收敛数列的极限必唯一.1.2.2数列的有界性

定理1.2.2 收敛数列必有界.1.2.3数列的保序性

{yn}均收敛， 定理1.2.3 设数列{xn}，若limxna，limynb，且ab，

nn[1][1][1]则存在正整数N，当nN时，成立xnyn.1.2.4极限的夹逼性

定理1.2.4 若三个数列{xn}，{yn}，{zn}从某项开始成立xnynzn，nN0，且limxnlimzna，则limyna.nnn[1]1.3 Stolz定理

定理1.3.1（且lim[1]型Stolz公式） 设{yn}是严格单调增加的正无穷大量，nxnxn1xa（a可以为有限量，与），则limna.

nyynyn1n 定理1.3.2（无穷小量，且lim 注意：0[1]型Stolz公式） 设limxn0，{yn}是严格单调减少的正

n0xnxn1xa（a可以为有限量，与），则limna.

nyynyn1nn型Stolz公式，其实只要求分母yn是严格单调增加的正无穷大量，0至于分子xn是否是无穷大量，无关要紧.而型Stolz公式，则要求分母yn与分

0子xn都是无穷小量.1.4收敛准则

定理1.4.1 单调有界数列必定收敛. 定理1.4.2（Bolzano-Weierstra定理） 有界数列必有收敛子列.

[1][1]2函数极限的概念

我们在第一部分讨论了数列的极限，现在来讨论另一类极限，即函数的极限.下面我们给出函数极限的严格定义.2.1函数极限的定义

定义2.1.1 设函数yf(x)在点x0的某个空心领域中有定义，即存在0，使UO(x0,)Df.如果存在实数A，对于任意给定的0，可以找到0，使得当0xx0时，成立f(x)A，则称A是函数f(x)在点x0的极限，记为limf(x)A，或f(x)A（xx0）.xx0如果不存在具有上述性质的实数A，则称函数f(x)在点x0的极限不存在.2.2函数的连续性

定义2.2.1 设函数f(x)在点x0的某个邻域中有定义，并且成立xx0limf(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0连续，或称x0是函数f(x)的连续点.

定理2.2.1 一切初等函数在其定义域上连续.2.3函数极限的性质 2.3.1极限的惟一性

[1] 定理2.3.

1设A与B都是函数f(x)在点x0的极限，则AB.[1]2.3.2局部保序性

[1] 定理2.3.2 若limf(x)A，limg(x)B，且AB，则存在0，当

xx0xx00xx0时，成立f(x)g(x).2.3.3夹逼性

定理2.3.3[1] 若存在r0，使得当0xx0r时，成立xx0xx0xx0g(x)f(x)h(x)，limg(x)limh(x)A，则limf(x)A.2.4函数极限与数列极限的关系 定理2.4.1（Heine定理）[1] limf(x)A的充分必要条件是：对于任意满

xx0足条件limxnx0，且xnx0（n1,2,3,）的数列{xn}，相应的函数值数列{f(xn)}n成立limf(xn)A.n 这一性质被经常用于证明某个函数极限不存在. 定理2.4.2[1]

limf(x)存在的充分必要条件是：对于任意满足条件

xx0nlimxnx0，且xnx0（n1,2,3,）的数列{xn}，相应的函数值数列{f(xn)}收敛.2.5单侧极限与极限的关系

[2] 定理2.5.1 函数f(x)在x0极限存在的充分必要条件是f(x)在x0的左极限与右极限存在并且相等：limf(x)Alimf(x)limf(x)A.

xx0xx0xx02.6 L’Hospital（洛必达）法则

02.6.1 型不定式极限

0 定理2.6.1 若函数f(x)和函数g(x)满足： ①limf(x)limg(x)0，

xx0xx0[2]②在点x0的某空心邻域u0(x0)内两者都可导，且g\'(x)0， ③limf\'(x)A（A可为实数，也可为或）， g\'(x)f(x)f\'(x)limA.g(x)xx0g\'(x)xx0则limxx02.6.2 型不定式极限 [2] 定理2.6.2 若函数f(x)和函数g(x)满足： ①limf(x)limg(x)，

xx0xx0②在点x0的某空心邻域u0(x0)内两者都可导，且g\'(x)0， ③limxx0f\'(x)A，（A可为实数，也可为或）， g\'(x)则limxx0f(x)f\'(x)limA.xxg(x)g\'(x)02.6.3 其它类型不定式极限

不定式极限还有0，1，00，0，等类型.这些类型经过简单的恒

0型和型的不定式极限.

02.7 Taylor(泰勒)公式 等变换，都可以化为 定理2.7.1（带Peano余项的Taylor公式） 设f(x)在x0处有n阶导数，则存在x0的一个领域，对于该领域中的任一点，成立

f\'\'(x0)f(n)(x0)2f(x)f(x0)f\'(x0)(xx0)(xx0)(xx0)nrn(x)，

2!n!余项rn(x)满足rn(x)o((xx0)n).3 求数列极限与函数极限的方法及应用

3.1 求数列极限的方法及应用

3.1.1利用定义求数列极限

根据数列极限的定义来证明某一数列极限，其关键是对任意给定的0寻找自然数N，通过解不等式xna而得出的N.但在大多数情况下，这个不等式并不容易解.实际上，数列极限的定义并不要求取到最小的或最佳的自然数N，只需要其存在性即可，所以在证明中常常对xna适度的做一些放大处理，这是一种常用的技巧.1111(1)n例1 设xn，求limxn.

nnn1n22n11111(1)n， 解：由0nn1n22nn11则对于0，取N，当nN时，成立xn，则limxn0.

nn3.1.2 n项和数列极限问题

n项和数列极限问题有两种处理方法：

(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算； (2)利用两边夹法则求极限.例2 求极限lim(n111).n1n22n分析：把此极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算定积分，为此作如下变形：

Jlimn1.ini11n1在区间0,1上的一个积分和.（这1xn1不难看出，其中的和式是函数f(x)里所取的是等分分割，xiJ11ii1ii1.2.n., i）， 所以 ,（nnnndxln(1x)|1ln2.001x1当然，也可把J看作f(x) 在1,2上的定积分，同样有

x2dx3dxJ 1x2x1ln2.

111111dxln2.解：原式＝limnn12n01x111nnn111例3 极限lim2nn22n2nn1.112n 分析：(1)该题与例2类似，但是不能凑成limfffnnnnn的形式，根据各项的特点可以考虑用两边夹法则求解； (2) 两边夹法则需要将原式适当的放大和缩小，要求放大和缩小后的表达式极限相等.解: 因为 nnn21n121n221nn2nn12，

又

limnnlim1， 22nnnn1＝１.n111所以 lim2nn22n2nn13.1.3利用定积分求极限

利用定积分可求如下两种形式的极限：

11（1）limfnnn2fnn型 fn定理13 设

fx在

0,1上可积，则有：11limfnnn例题见例3.2fnn1ffxdx.n012n（2）limnfff型

nnnn定理2 若fx在0,1上可积，则： [4]1limnfnnn2fnnfexpnlnfxdx.

10例4.求limnn!.n解：原式limnn12n，令fxx，则有 nnnnlimn1n!12n1limnexp0lnxdxe.nnnnn3.1.4求和公式法（适合于等差数列、等比数列等类型）

关于无限项之和的极限，可以根据等差数列、等比数列以及其它数列的前n项求和公式，先求n项的和，然后再求出n趋于无穷时的极限.常用的求和公式见附录1.例5 求lim123n1.2nnn11n12nn12解：原式limlim.22nn2n2n3.1.5利用Stolz定理求数列极限

有些 “ 无穷多项”极限问题，当不能利用恒等变换转化为有限多项时，若借助Stolz定理，就可迎刃而解了.123252(2n1)2例6 求lim.nn3123252(2n1)2(2n1)24n24n14解：limlim3lim2.nnn(n1)3n3n3n1n333.1.6利用单调有界定理求数列极限 应用该定理求极限时，通常要先证明这个数列是单调有界的，从而确定极限的存在性，在讨论过程中有界性的确定往往是个难点，可借助单调递增数列的极限是它的最小上界、单调递减数列的极限是它的最大下界的性质确定数列的界.最后找出数列xn1与xn的递推公式，设数列的极限是A，在xn1与xn的递推公式两边取极限，得到关于A的方程，从而求出A.234n1例7求lim.n3572n1解：易得0an1，则{an}有界，

234令an357anan1nn1k1n1，得递推公式 anan1，

2n1k12k12n1n1naan1an1n10，则{an}单减.2n12n1n由单调有界数列必收敛，则liman存在，令limana，

n1n1an1两边取极限，得aa，有a0，即liman0.

n22n13.1.7利用压缩性条件证明极限存在再求极限 由an应用该条件求极限时，通常要先证明这个极限的存在性，然后找出数列xn1与xn的递推公式，设数列的极限是A，在xn1与xn的递推公式两边取极限，得到关于A的方程，从而求出A.例8 设x12，xn11，求limxn.

n2xn解：由1x12，归纳法易得1xn2，

xn1xn11xnxn1， 2xn2xn1(2xn)(2xn1)由011，满足压缩性条件，则{xn}收敛，则limxn存在，

n(2xn)(2xn1)11两边取极限，得a，有a1，即2xn2a令limxna，由xn1nnlimxn1.3.1.8利用海涅定理求数列极限

海涅定理的意义在于通过对函数极限与数列极限的相互转化来处理问题，从而，我们可以应用海涅定理将某些不易求的数列极限的问题转化为求易求的函数极限的问题.

1例9 极限limnsin.nn 分析：这是1形式的数列极限，由于数列极限不能使用洛必达法则，若直接求有一定难度，但是若转化成函数极限，可通过3.2.7提供的方法结合洛必达法则求解.

1解：考虑辅助极限limxsinxxx2n2limex1x2xsin1xlimey011siny12yye,

161故由海涅定理的必要性得：limnsinnnn2e.

163.2 求函数极限的方法及应用 3.2.1分子(母)有理化求极限

0 如果函数的极限出现、、-等未定式，一般采用约简分式，有理化

0分子或分母等方法消去未定式.例10 求 limx13x12.

x1分析：本题因为分子、分母都含有“0”因子，给求极限带来麻烦，因此想办法消去“0”因子，采用分子有理化.

(3x1)2223x33limlim解：原式.x1(x1)(3x12)x1(x1)(3x12)4注：本题也可以用洛比达法则.3.2.2利用函数的连续性(适用于求函数在连续点处的极限) (1)初等函数

如果yfx是初等函数，且点x0是 fx定义区间内的点，则函数yfx在点x0处连续，于是有limfxfx0.通常称这种求极限的方法为代入法.

xx0exsinxx例11 求lim2.x3xlnx 分析：这是由几个基本初等函数构成的初等函数，是连续函数，因此直接带值.

e3sin33解：原极限lim2.x33ln3（2）复合函数

若函数fx是复合函数，且lim0xa,fu在ua处连续，

xx则lim0fxflim0xfa.xxxx1cosx例12.求lime2arcsinx的极限.x01cosx2 分析：函数e2arcsixn可看成是由fueu，u21cosx复合而成，且

2arcsinx2lim1cosx11u，在处连续，因此 ufuex02arcsinx244解：由于lim1cosx11u及函数在处连续， ufuex02arcsinx2441cosx2arcsinx2故 limex0=elim2x02arcsinx1cosx=e.

14 说明：用此方法求极限有时常常会遇到，函数fx在x点没有意义,即函数fx在x点不连续,这时要视具体情况对fx进行适当的恒等变形，转化为连续

0函数,再利用函数的连续性求出极限,该方法常用于“”型的极限.在进行变形

0时常用到因式分解、分子或分母“有理化”的运算以及三角函数的有关公式,其目的就是消去分母中的零因子.3.2.3利用左右极限与极限关系

该方法适用于求分段函数在分段点处的极限或某函数在其间断点处的极限，以及用定义求极限等情形.函数在某点处的极限存在的充要条件是：当且仅当函数在某点处的左、右极限都存在且相等，则函数在该点处的极限值即为所求的左右极限的值.12ex,x0xx,0x1，求limf(x)及limf(x).例13 设f(x)x0x1xx2,x1x解：limf(x)lim(12e)1，limf(x)lim(x0x0x0x0xx)lim(x1)1x0x，

由 limf(x)limf(x)，limf(x)1.x0x0x0又limf(x)limx1x1xx2limfxlimx1， ，limx10x1x1x1x由f10f10，limfx不存在.

x13.2.4利用等价无穷小量代换求函数极限

o[2]定理 设函数f(x),g(x),h(x)在U(x0)内有定义，且有

f(x)~g(x) (xx0)， （1）若limf(x)g(x)A,则limg(x)h(x)A；

xx0xx0（2）若limxx0h(x)h(x)B,则limB.

xx0g(x)f(x)\'\'\'\' 由定理知：若~,~且lim\'存在，则有limlim\'.其中：

0,\'0.所以，当lim‘’的计算较为困难时， 就设法寻求与、等价的对应无穷小\'\'、进行代换，变求lim为求lim\'，而lim\'的计算较为容易，所给极限

lim的计算就迎刃而解.显然，利用等价无穷小的代换求极限的一个前提是：对一些常用的等价无穷小量要熟悉.例如：当x0时，有sinxx，tanx~x，arctanx~x，121cosx~x，ax1~xlna（a0），ex1~x，(1bx)a1~abx，2xxn1x1~，loga(1x)~(l1x)~x.（a0），nnlna例14 求limx(1cosx).x0(1ex)sinx21xx21解：原式lim22.x0xx2tanxsinx例15 求lim的极限.3x0sinxsinx(1cosx)，而sinx~x,x0； 解：由 tanxsinxcosxx21cosx~,x0；sinx3x3~x3,x0，

2x2x1tanxsinx21.lim故有 lim= x0x0cosxsinx3x32注：在利用等价无穷小代换求极限时，应该注意：只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换.例如，在上式中，若因为有tanx~x，x0，sinx~x，x0，从而推出

limtanxsinxxxlim0 ， 33x0x0sinxsinx则就会得出错误的结论.3.2.5利用夹逼定理求函数极限

利用夹逼定理可将某函数适当缩小和放大，使得缩小和放大后得到的新函数的极 限分别存在且相等，从而得到原函数的极限．即原函数的极限就等于缩小或放大后的函数的极限.

1111例16 求limx（为取整函数，表示不大于的最大整数）.x0xxxx分析：此极限难点：在取整函数不易求极限，所以想着去掉取整函数，故而采用适当的放大及缩小，用夹逼准则求原式极限.111解：由 1（x0），

xxx11故，当x0时，有1xx1，则lim(1x)limxlim1，有x0x0x0xx1limx1； x0x11当x0时，有1xx1，则lim(1x)limxlim1，有x0x0x0xx1limx1； x0x1所以，limx1.x0x3.2.6利用洛必达法则求函数极限

00 对于或型的极限,可通过洛必达法则来求.若所求极限呈现或型，00则可直接利用洛必达法则进行求解，若所求的函数极限呈现 0，1，00，0，则可将其恒等变形化成型等形式，sinx1cosx)例17 求lim(.x0x10或型，再利用洛必达法则进行求解.0分析：本题为1型，所以要用洛必达法则求极限，恒等变形转化为

0或型.0作为1型，一般采用取对数，或者利用f(x)elnf(x)这种形式恒等变形再转化.解：取对数后，sinxsinxln(ln)\'xcosxsinx(xcosxsinx)\'xx, limlimlimlim23x01cosxx0x0x012xsinx(x)\'(x)\'2sinx1cosxxsinx1)e3.lim，则lim(2x0x0x3x311有 注：如果采用取对数再求极限这种方法，一定要注意还原.这种方法易错点，1误把当作本题的最后极限.3lnx例18 求lima(a0,x0).xx解： 由limlnx,limxa，故此例属于型；

xx1lnx1由洛必达法则有：limalimxlim0(a0,x0).

xxxaxa1xaxa例19 求limxlnx.x00或型，但0是这一种类型需要注意，如果函数本身含有对数函数或者反三角函数，则需要将对数函数或反三角函数保留在分子位置，否则再用洛必达法则时会越来越繁琐且

lnx不易求出结果.因此，作恒等变形xlnx，将它转化为型的不定式极限.

1x1lnxxlim(x)0.解： limxlnxlimlimx0x01x01x0xx2总而言之，在运用洛必达法则时，应注意：

0（1）检查所求极限是否属于不定式，只有是“”型或“”型的不定式

0分析：这是一个0型的不定式极限，可将其恒等变形化成时才可直接运用洛必达法则，其他型不定式(如0，1，00，0，等)应先化为“0”型或“”型不定式，再运用洛必达法则.0fxf\'x（2）当lim\'不存在时，不能断定lim不存在，即洛必达法则的条

gxgx件是充分但非必要条件.此时，只能说明此极限不能应用洛必达法则求解，如xsinxlim.xxsinx（3）在求不定式极限的过程中，有时一次洛必达法则不能解决问题需要多次使用洛必达法则，但是在使用时要检查是否满足条件.（4）在每次使用洛必达法则后，都应对所得极限式子进行整理化简，然后再考虑是否继续使用洛必达法则.有时用其他方法计算极限很方便时，就不必用洛必达法则了.

x（5）如果fx或gx中含e或arctanx、arccotx，且求当x时的极限时，应分别讨论当x及x时，

fxfx的极限，并判断lim是否存

xgxgx在.（6）洛必达法则是求不定式极限的一个有效方法，但不是万能的，要根据所求极限的具体特点选用恰当的方法.3.2.7利用Taylor(泰勒)公式求函数极限

利用泰勒公式求极限,一般用麦克劳林公式形式,并采用皮亚诺型余项.当函数为分式时,一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式,再通过比较求出极限.一些常用的泰勒公式见附录2.x211x2例20 求lim2.x22x0(cosxe)sinx11(1)1222112解：1x1xx4o(x4)1x2x4o(x4)，

22!28x2x4114cosx1o(x4)1x2xo(x4)2!4!224ex1x22，

14xo(x4)， 2!x2111(1x2x4o(x4))228原式lim

x0212141x[1xxo(x4)(1x2x4o(x4))]2242!311x2(x2x4)224 注：用此法必须熟记基本的初等函数的展开式，它将原来函数求极限的问题转化为多项式或有理式的极限问题.3.2.8利用两个重要极限

0sinx1利用(A)lim1 (B)lim(1)xe.第一个重要的极限是型，第二个x0x0xxx0lim14x81.12重要极限是1型，在1型中满足“外大内小” ，“内外互倒” .在利用重要极限求函数极限时，关键在于把要求的函数极限化成重要极限的标准型或它们的变型.我们经常使用的是它们的变形：

(A\')limsin(x)1(x)1,((x)0)； (B\')lim(1)e,((x)).(x)(x)sinx1例21 求lim.x1x122x1sinx1sinx1 解：原式=limlimx12.x1x1x1x1x212注：limsinx1的扩展形式：

x0x 令gx0，当xx0或x时，则有

lim因而，limsingxsingx1.1或limxxx0gxgxsinx01.xx1x例22 求lim(12x)的极限.x01122x2xlim(12x)(12x)解：原式=e.x0利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限.一般常用的方法是换元法和配指数法.3.2.9利用微分中值定理求函数极限

[2] 因为由微分中值定理可得到在某一点的具体的导数值.而根据函数在某点的导数的定义：fx0lim\'fxfx0xx0xx0,可知某点的导数是极限的形式表示的.所以类似此类函数的极限而且符合中值定理的话，可利用此种方法.exesinx例23 求lim.x0xsinx分析：观察可知，这是一个中值定理的结论

fbfa型的函数，我们很容易想到拉格朗日bafbfa,a,b ba从而，我们可以利用拉格朗日中值定理进行求解.\' f解:令f(x)ex，对它应用微分中值定理得，

exesinxf(x)f(sinx)(xsinx)f\'(sinx(xsinx)) (01)，

exesinxf\'(sinx(xsinx)) (01).即xsinxf\'(x)ex连续，limf\'(sinx(xsinx))f\'(0)1，

x0exesinx1.从而有 limx0xsinx3.2.10多种方法的综合运用

前面介绍了求解极限的基本方法,然而每一道题目并非只有一种方法.因此我们在解题中要注意各种方法的综合运用的技巧,使得计算大为简化.1cosx2例24 求lim2.x0xsinx21cosx22xsinx2lim[解法一]: lim2

x0xsinx2x02xx2cosx22xsinx2sinx22sinx21x lim2 lim2x0xcosx2sinx2x0sinx2cosx22x注:此法采用洛必达法则配合使用两个重要极限法.

x2x2x22sinsinsin1cosx211222limlimlim [解法二]: x0x2sinx2x0x2sinx2x0x2sinx2x2222x222注:此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要极限法.

x2x22142sin2()x21cosx12lim22 [解法三]:lim2 limlimx0xsinx2x0x2sinx2x0x2(x2)x0x422 注:此解法利用“三角和差化积法”配合使用无穷小代换法.

(x2)21cosx2x212 [解法四]:lim2 limlimx0xsinx2x0x2sinx2x02sinx22 注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法.显然最简单，因此在做题的时候一定要注意选择恰当的方法. 此题还有其他十多种解法，本文就不再详述.总之在求函数极限的问题时，一定要视问题本身而灵活选用各种方法.3.2.11多元函数极限的计算

计算多元函数的极限常用的方法是：1）利用不等式，使用两边夹法则；2）变量替换化为已知极限，或化为一元函数极限；3）利用极坐标；4）利用初等函数的连续性，利用极限的四则运算性质；5）利用初等变形，特别指数形式常可先求其对数的极限；6）若事先能看出极限值，可用-方法进行证明.

1cosx2y2xy22lim例25.求下列极限：1）x,ylim；2）；3）0,0x2y2exy22xxyylimxy2x0y0222xy；

22解：1）因为1cosxy~12xy22x,y0,0，

21222xy1cosxyx2y22limlim0； 222222所以x,ylim0,0x2y2exyx,y0,0x2y2exyx,y0,02exy222）因为0xyxy22xxy22yxy22xx2yy211， xy又limxyxy11lim0.，所以由两边夹法则有：022xxyxyy

3x0y0）2先求取对数之后的极限：limlnxy222xyx2y22222lim2xylnxy， x0xy2y0x2y2x2y2因为 022x2y20， 22xyxy2limx2y2lnx2y2令x2y2tlimtlnt0，

x0y0t0故原极限e01.注：取对数后求极限注意还原.总结

以上方法是总结出的高等数学里求极限的重要方法.在做求极限的题目时,仅仅掌握以上方法而不能够透彻清晰地明白以上各方法所需的条件也是不够的,必须认真分析、仔细甄选,选择出适当的方法,这样不仅准确率更高,而且还会省去许多不必要的麻烦,起到事半功倍的效果.这就要求学习者吃透其精髓,明白其道理,体会出做题的窍门,要达到这样的境界必须要勤于思考,善于总结,归纳出每种方法适用的题型,在做题时才会熟能生巧,得心应手.

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