工程力学第一章刚体静力学基础

2020-03-03 18:40:42 来源：范文大全收藏下载本文

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工程力学

第一章刚体静力学基础

刚体静力学以刚体为研究对象。所谓刚体，是受力时不变形的物体。刚体静力学的任务是研究物体的受力分析、力系的等效替换和各种力系的平衡条件及其应用。刚体静力学在工程中有广泛的应用，同时其它力学分支的基础。

本章介绍刚体静力学理论的基础知识，包括力和力矩的概念，静力学公理和任意力系的简化方法。

1.1 力和力矩

●

力及其投影

力是物体间相互的机械作用，这种作用使物体的运动状态发生改变(外效应)，或者使物体变形(内效应)。对刚体而言，只需要考虑力的外效应。

力对物体的作用效果取决于力的大小、方向和作用点这三个要素。因此，力是一种定位矢量。通常用用粗斜体字母来标记力矢量，如F，对应的细斜字母F表示力的大小。在图中通常用有向线段来表示力，箭头表示力的方向，线段的起点或终点为力的作用点，力的单位是牛顿(N)或千牛顿(kN)。

作用于物体上的一组力称为力系。作用在刚体上的一力系，如能用另一力系来代替，而对刚体产生同样的作用，则这两个力系互为等效力系。一个力和一个力系等效，则该力是力系的合力，力系中各力是其合力的分力。

力依据其作用形式，可分为体积力、表面力和集中力。体积力和表面力连续作用于物体的某一体积上或面积内，也称为分布力。例如，物体的重力是体积力，浸在水中的物体受的静水压力是表面力。而集中力作用于物体一点。实际上，一切真实力都是表面力，集中力只是分布力在一定条件下的理想化模型。

图1–1 力沿直角坐标轴的投影与分解

图1–2 二次投影法

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力在轴上的投影定义为F与该轴基矢量的标量积。设坐标系Oxyz的各坐标轴的基矢量分别为i、j和k，则力F在各轴上的投影可表示为

FxFiFcosFxFjFcosFxFkFcos

(1–1) 其中、和是力F与各坐标轴的正向夹角，如图1–1所示。显然，力在轴上的投影是代数量。

如已知力在各轴上的投影，则可将力沿直角坐标轴分解

FFxiFyjFzk

(1–2) 如图1–2所示，计算力在直角坐标轴上的投影，也可以使用二次投影法。

FxFxycosFsincosFyFxysinFsinsinFzFcos

(1–3) 其中，FxyFxiFyj为力F在Oxy平面上的投影。

例1–1：已知力F大小为80kN，试计算它在坐标轴上的投影。

解：AB34822289

FxFODAB25.4KNFyFDBAB67.8KN

图1–3 例1–1图 FzFAOAB33.9KN●

力对点之矩

力矩用来量度力使物体产生转动的效应。依据力使物体产生绕点的转动和绕轴的转动，力矩可分为力对点之矩和力对轴的矩。

力对点之矩，定义为O点到F作用点A的矢径r与F的矢量积，即

MO(F)rF

(1–4) 其中，O点称为矩心。MO(F)是一个定位矢量，习惯上总是将它的起点画在矩心O处，如图1–4。MO(F)垂直于r和F所确定的平面，指向由右手定则确定，其大小为

MO(F)rFFh

(1–5) 式中，h为O到F的距离，也称为力臂。

为计算力F对O点矩，以O为原点建立直角坐标系Oxyz。力F沿直角坐标轴的分解为FFxiFyjFzk，力F作用点的位置矢量rxiyjzk，于是

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图1–4 力对点之矩

图1–5 力对轴之矩

iMOjyFykzFz(F)rFxFx

(1–6)

(yFzzFy)i(zFxxFz)j(xFyyFx)k●

力对轴之矩

Fxy如图1–5，设z轴垂直于Oxy平面，垂足是O，力F在Oxy平面内的分量为，O到Fxy的距离为d。则力对轴之矩，定义为乘积dFxy，并贯以适当的符Mz(F)dFxy号，即

(1–7) 轴z称为矩轴；Mz(F)的符号按右手定则确定：即用右手弯曲的四指表示力使物体绕z轴的转动方向，当拇指指向与z轴正向相同时，取正号；反之为负。或者从z轴的正端回头看，如Fxy使物体绕轴z作逆时针转动，则Mz(F)为正；反之为负。

由定义可知，若力F和矩轴z平行(Fxy0)或力的作用线通过矩轴(h0)，即F和轴z共面，则力对轴的矩为零。

考虑Fxy对O之矩MO(Fxy)，根据力对点之矩的定义

MO(Fxy)OAFxydFxyk(xFyyFx)k

z注意到Mz(F)MO(Fxy)，且MO(Fxy)沿z轴正向时，对应M(Fxy)kxFyyFx

(F)为正，反之亦然。由此得到Mz(F)的计算公式

OMz(F)M

(1–8a) 3 模具设计工程师认证培训教材

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图1–6平面力系

1–7平面上力对点之矩

同法可求得力F对x轴和y之矩

Mx(F)yFzzFy

(1–8b) My(F)zFxxFz

(1–8c)

(1–9) 由式(1–6)及(1–8)，得

MO(F)Mx(F)iMy(F)jMz(F)k式(1–9)即力矩关系定理：力对轴之矩等于力对轴上任意点之矩形在轴上的投影。

若力系中各力都位于同一平面，则该力系为平面力系，如图1–6。显然，平面力系中各力对力系平面内任意点之矩均垂直于该平面，因此可将平面上力对点之矩简化为代数量。如图1–6，在平面上建立坐标系xoy，力F位于xoy平面内，其作用点坐标为A(x,y)。定义xoy平面上力对点之矩

Mo(F)MO(F)kxFyyFx

(1–10) 在右手系下，z轴垂直于xoy平面向外，因此，若Mo(F)为正，则力使物体作逆时针转动；反之，力使物体作顺时针转动。

根据力矩关系定理，平面上力对点的矩，也可理解为力对轴的矩，该轴过矩心且垂直于力和矩心所确定的平面。

例1–2：如图1–8，力F沿边长为a、b和c 的长方体的一棱边作用。试计算F对于O点之矩和对长方体对角线OC之矩。

解：在图示坐标系，FFk，作用点位置矢量rODaick，力F对O点之矩

MO(F)rODFaFj

222对角线OC的单位矢量

nOC(aibjck)abc

图1–8 例1–2图

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因此，力F对OC之矩为

MOC(F)MOnOcFababc222

1.2 静力学公理

静力学公理概括了力的基本性质，其正确性已由实践所证实，是刚体静力学的基础。

●

公理一二力平衡公理

作用于刚体上的两个力，使刚体保持平衡的充分和必要条件是：这两个力大小相等、方向相反、且在同一直线上(或者说，这两个等值、反向、共线)。

图1–9 如图1–9，对只在两点各受一个集中力而平衡的刚体，工程上称为二力构件或二力杆。根据公理一，二力杆所受两力必沿作用点的连线。

公理一只适用于刚体。对于变形体，公理一给出的平衡条件并不充分。例如，柔绳受两个等值、反向、共线的拉力作用可以平衡，而受到两个等值、反向、共线的压力则显然不能平衡。 ●

公理二

加减平衡力系公理

在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，新力系与原力系对刚体的作用效果相同。

图1–10 力的可传性

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公理二是研究力系等效替换的理论基础。一个重要的推论是力的可传性：作用在刚体上的任何一个力，可以沿其作用线移动作用点而不改变该力对刚体的作用。例如，力沿作用线移动，并不会改变力对任意点或任意轴之矩。因此，作用于刚体上的力的三要素是：力的大小、方向和作用线位置。

图1–10表示了力的可传性的证明思路，其中F2F1F。显然，公理二及其推论也都只适用于刚体而不适用于变形体。对于变形体，力将产生内效应，当力沿作用线移动时，将改变它的内效应。 ●

公理三

力的平行四边形公理

作用在物体上同一点的两个力，可以合成一个力。合力的作用点仍在该点，合力的大小和方向，由这两个力为邻边的平行四边形的对角线确定。

图1–11 力的平行四边形公理

图1–12 三力汇交定理

如图1–11，物体上A点作用着两个力F1和F2，其合力FR也作用于点A，表示为

FRF1F

2(1–11) 公理三对刚体和变形体都是适用的。运用公理三和力的可传性，可导出仅适用于刚体的同平面三力平衡时的汇交定理：当刚体受同平面内三个力作用而平衡时，此三力的作用线必然交汇于同一点。简称三力汇交定理。

图1–12是三力不平行时三力汇交定理的证明思路。当三力平行时，可认为其作用线相交于无穷远。 ●

公理四

作用和反作用公理

任何两个间相互作用的一对力总是大小相等，作用线相同，而指向相反，同时并分别作用在这两个物体上。这两个力互为作用力和反作用力。

公理四概括了物体间相互作用力之间的关系，对刚体和变形体都是适用的，是一个普适原理。通常也称该公理为牛顿第三定律。 ●

公理五

刚化公理

当变形体在已知力系作用下处于平衡时，如果把变形后的变形体视为刚体(刚化)，则平衡状态保持不变。

对变形体刚化，一定要在变形体达到平衡后才能进行。如图1–13，柔绳在等值、反向、共线的两个拉力作用下处于平衡，此时可将柔绳刚化，则平衡状 6 模具设计工程师认证培训教材

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态保持不变。若拉力改成压力，则柔绳不能平衡，就不能将其刚化。

公理五表明，变形体的平衡条件包括了刚体的平衡条件。因此，可以把任何已处于平衡的变形体看成是刚体，而对它应用刚体静力学的全部理论。这就是公理五的意义所在。

图1–13 刚化公理

1.3 力偶及其性质

●

力偶

作用在刚体上等值、反向而不共线的两个力，称为力偶。如图1–14，驾驶员用双手转动方向盘，钳工用丝锥攻螺纹，都是都是力偶作用于被转动物体的例子。力偶的作用效果是改变刚体的转动状态，或引起变形体的弯曲或扭转。

图1–14 力偶实例

由力F和FF所构成的力偶记为(F,F)。力偶中两个力的作用线所确定的平面称为力偶的作用面，二力作用线之间的距离d称为力偶臂，乘积Fd称为力偶矩。力偶本身不能平衡，且两力投影之和为零，也不存在合力。因此，力偶和力一样，是力学中的一种基本力系。 ●

力偶矩矢量

从实际经验知道，力偶(F,F)使物体转动的效果与力偶三要素有关，即，力偶矩Fd、力偶作用面的方位和力偶使物体转动的方向。

F和F力偶三要素可通过力偶矩矢量来完整表述。如图1–15，对任意点O，上任意两点A和B的矢径分别为rA和rB，自B至A引矢量径r，则力偶对点O之矩的大小和方向由下式确定

rAFrBFrAFrBF(rArB)FrF

(1–12) 上式表明：力偶对任意点之矩恒等于rF，而与矩心位置无关。

定义矢径rF为力偶(F,F)的力偶矩矢量，表示为MrF。M的大小等于力偶矩Fd，力偶作用面垂直于M，M的指向表达了力偶的转向：逆着M 7 模具设计工程师认证培训教材

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图1–15 力偶矩矢量

图1–16 力偶作用面平移矢量回头看，力偶使物体逆时针转动。

可以证明，在保持力偶矩不变的条件下，力偶具有如下性质： 1.力偶在作用面内任意移动不会改变对同一刚体的作用效果； 2.力偶作用面在空间平行移动不会该变它对同一刚体的作用效果，如图1–16所示；

3.两个力偶可以合成为一个力偶，合力偶矩矢量M等于原两力偶矩矢量M1和M2的矢量和，即力偶矩矢量服从平行四边形定律

MM1M

2 (1–13) 上述性质表明，即力偶矩矢量是自由矢量。进一步可知道，作用在同一刚体上两力偶的等效条件是其力偶矩矢量相等。 ●

平面力偶

若力偶系中各力偶的作用面相同或平行，则称为平面力偶系。将平面力偶系所在平面取为Oxy平面，且z轴垂直于平面向外。平面力偶系中各力偶矩矢量均平行于z轴，因此可将其简化成代数量：逆着z轴看回去，对逆时针力偶，规定其力偶矩为Fd；反之，力偶矩为Fd。图1–15中是常用的平面力偶的各种表示方法。

图1–17平面力偶及其表示方法

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对平面力偶，其等效条件是其力偶矩的代数值相等。

平面力偶系的合成由空间力偶系的矢量运算退化成代数运算，合力偶的力偶矩M等于各分力偶的力偶矩Mi的代数和，即

nMi1Mi

(1–14) 例1–3：如图1–18，刚体ABCDO的ABC面和ACD面上分别作用有力偶M1和M2。如已知M1M2M0，刚体各部分尺寸示于图中，试求作用与刚体上的合力偶。

解：力偶M1作用面的外法线矢量r1为

r1rCArCB(3di2djdk)(3di)3d(j2k)2

图1–18 例1–3图

13同法可得力偶M2作用面的外法线矢量r2

2r2d(2i2j)

将r1和r2归一化后得到单位矢量n1和n2

n1r1r1(j2k)5n2r2r2(2i3j)13由此得到

M1M0n1M0(j2k)MM1M5M2M0n2M0(2i3j)

进而求得合力偶的力偶矩矢量为

2M0(0.555i1.279j0.899k)

1.4 力系的简化

所谓力系的简化，即为寻求一个已知力系的更简单的等效力系。研究力系的简化，不仅可以导出力系平衡条件的普遍形式，而且也为动力学和变形体力学的研究创造条件。 ●

力线平移定理

从公理二可知，力是滑动矢量，但若将其作用线位置平行移动，则会改变它对刚体的作用效果。

如图1–19(a)，力F作用于刚体上点A，为了把它平移到刚体上的任意点O且不改变它对刚体的作用效果，可在点O加上一对与力F等值且平行的力F与F。由于F与F构成平衡力系，根据公理二，图1–19(b)所示力系与原力F等效。如果将F看作F平移到点O的力，则F与F构成一个附加力偶，其力偶矩矢量M等于力F对O点之矩rF，如图1–19(c)所示。

由此得到力线平移定理：欲使作用于刚体上的力平移到刚体(或其延伸部分)上指定点而不改变该力对刚体的作用效果，只需附加一个力偶，该力偶的矩等 9 模具设计工程师认证培训教材

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图1–19 力的平移

于原力对指定点之矩。 ●

力系向一点的简化

现利用力线平移定理来研究力系向一点的简化。

如图1–20(a)，刚体受空间任意力系F1,F2,Fn的作用。对刚体上任意指定点O，将力系中各力Fi平移到点O，并依据力线平移定理加上相应的附加力偶Mi，如图1–20(b)。由此得到一作用于点O的空间共点力系F1,F2,Fn和n个附加力偶组成的力偶系，它们与原力系等效。点O称为简化中心。

对共点力系F1,F2,Fn，可逐次应用力的平行四边形公理求出其合力FR，FR的大小和方向由原力系中各力的矢量和确定

nniiFRFF

(1–15)

i1i1附加力偶系也可合成为一个力偶，合力偶矩MO等于原力系中各力对O点矩之和

nnMOi1Mii1MO(Fi)

(1–16)

图1–20 力系向一点的简化

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如图1–17(c)，定义FR为力系的主矢，MO为力系对简化中心的主矩。由此可知：空间任意力系可简化为作用在简化中心的一个力和一个力偶，对应的力矢量和力偶矩矢量分别称为力系的主矢和对简化中心的主矩。显然，主矢与简化中心位置无关，是自由矢量；主矩通常随简化中心位置的变化而变化，是定位矢量。若力系主矢为零矢量，则主矩与简化中心位置无关。

由以上的简化过程不难看出，当两个力系的主矢和对同一点的主矩相同时，两力系等效。

例1–4：图1–21结构受力如图，已知F1水平，F2 竖直，两者大小均为600N，且受到力偶矩为400Nm的力偶M作用。l1m，点A与点O的距离为b0.5m。试求此力系向点A的简化结果，以及对点O的力矩之和。

解：以点A为原点建立Axy坐标系，将F1和F2向点A简化，得到主矢FR和主矩MA为

FF1F2600(ij) N

MA(F1l13F2lM)k0

力系对点O之矩MO

MOMMO(F1)Ml3O(F2)F1lkF2(b)k400k300k Nm

图1–21 例1–4图

●

简化结果分析

空间任意力系向任一点O简化，得到主矢FR和主矩MO以后，还可根据不同情形，进一步简化到最简单力系。现分别予以讨论。

(1)FR0，MO0。原力系是一个平衡力系，将在第三章中详细讨论。 (2)FR0，MO0。原力系简化为一力偶，其力偶矩等于力系对点O的主矩，且该主矩不因简化中心位置的不同而改变。

图1–22力系有合力

图1–23 力系简化成力螺旋

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(3)FR0，MO0。原力系简化为一合力，其作用线过简化中心O，大小、

M0方向由力系的主矢FR确定。

(4)FR0，MO0，且FRO。原力系有合力。

MO如图1–22，逆着MO看回去，将FR右移至点O1得FR，若OO1点简化，则主矩MO0，根据(3)，力系的合力FRFR，

则FR产生的附加力偶矩与MO大小相等，方向相反。因此，若将原力系直接向O11过O1。

MO反之，若将力系的合力从O1平移到点O，则附加力偶MO(FR)n，由主矩的定义可知MOi1MO(Fi)n，因而有

OMO(FR)i1M(Fi)

(1–17a) 投影到任意轴x上，可得

nMx(FR)Mi1x(Fi)

(1–17b) 式(1–17)即为合力矩定理：对有合力的力系，合力对任一点(或轴)之矩，等于力系中各力对同一点(或轴)的矩之和。

(5)FR0，MO0，且FRMO0。原力系可简化为力螺旋。

如图1–22，将MO沿FR和垂直于FR分解为M和M。根据(4)，可将FR和，从而将原力系简化成一个力FR和一个沿力作用线的的力偶M，即力螺旋。若力和力偶方向一致，为由力螺旋，反之，为左力螺旋。同力偶一样，力螺旋也是一个最简单的力系，它是空间任意力系简化的最一般形式。

例1–5：如图1–24(a)，铆接薄板在孔心A、B和C三处分别受力作用。已知各力的大小P1100N，P250N，P3200N。图中尺寸单位是。试求力系向点A的简化结果以及力系的合力。

解：这是一个平面力系，

图1–24 例1–5图力系向平面内任意一点简化，主矢与主矩都垂直。因此，平面力系在主矢不为零时一定存在合力。

以点A为原点建立Axy坐标系，将力系向A点简化，主矢FR和主矩MA为

FRP1P2P3200i150j N MA6P2300k Ncm

在平面力系的简化中，主矩通常采用平面上力对点的形式，即 cmM合成为一个作用线过O1的力FR 12 模具设计工程师认证培训教材

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由于主矢不等于零，所以这个力系可合成一个力。合力R的大小和方向由主矢FR确定，R作用线距点A的距离p MA6P2300 NcmpMAFR1.2cm

在主矢FR右侧，如图1–24(b)。

因为MA0，所以从上向下看，合力R●

平行力系的中心重心

作用线相互平行的力系称为平行力系。如图1–20，设平行力系F1,F2,Fn，作用线的单位矢量为e，Fi的作用点对原点O的位置矢径为ri。力系中各力可表示为

FiFie式(1–25)中，Fie

(1–18) Fie为力Fi在e上的投影。若Fi和

图1–25平行力系同向，则Fi为Fi的大小；反之，则Fi为Fi大小之相反数。

平行力系的主矢FR和对O点的主矩MO分别为

nniFRMFi1n(Fi)ei1nni

(1–19) Oi1MO(Fi)ri1(Fie)(Firi)ei1由式(1–19)可知，主矩MO垂直于力系主矢FR。根据力系简化理论，平行力系在主矢不为零时一定存在合力。

平行力系合力作用点C称为平行力系的中心。设其位置矢径为rC，根据合力矩定理

nnn(Firi)erC(Fi)e(Fi)rCei1i1i

1 (1–20) 式(1–20)左侧是力系对点O的主矩，右侧是合力对点O之矩。立刻可得

nniirCFri1F

(1–21a)

ii1对应的分量形式为

nniiniFxxCi1nFyCi1ni1yizCiFzii1ni

(1–21b)

Fi1iFFi1i其中，xi、yi和zi是力Fi作用点坐标。

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图1–26 例1–6图

例1–6：如图1–26(a)，xoy平面内的平行分布载荷作用在x轴的区间[a b]上，单位长度上的载荷大小，即载荷集度，为q(x)。试求该力系的合力。

解：如图1–26(a)，在x处取长为dx的的微段，其上力的大小为

dFq(x)dx

故力系合力FR的大小为

FRQ b aq(x)dx

(1–22a) 设合力作用点C位于xC处，以O为矩心，根据合力矩定理

Qxc b b aq(x)xdx

因此

xc aq(x)xdx b aq(x)dx

(1–22b) 图1–26也称为载荷图。式(1–22)的几何含义是：平面分布载荷的合力的大小等于载荷图的面积，合力作用线通过载荷图的几何中心。因此，对图1–26(b)所示的均布载荷，合力大小为Qql，作用在图形中心；对图1–26(b)所示的三角形分布载荷，合力大小为Q0.5ql，作用在距三角形长边的l3处。

如果物体的尺寸相对地球很小，则地球附近物体上所受重力可近似成平行力系，此平行力系中心就是物体的重心。对均质物体，重心位置只与物体形状有关，又称为物体的形心，其公式为

xCVVixiyCVViyizCiVVizi

(1–23a)

i其中Vi和VV分别是微元及物体的体积，x、y和z是微元的位置。如果ii物体为等厚均质板，则重心只与面积分布有关

xCSixiSyCSiyiS

(1–23b) 则对非均匀物体，其重心位置直接按式(1–21)计算。

一些常见的简单形体的重心可参阅图1–27。

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图1–27 简单形体重心表

例1–7：求z形截面中心的位置，其尺寸如图1–28所示。

解：建立坐标系如图1–28所示。将该图分割为面积为S