2020-03-03 22:51:05 来源:范文大全收藏下载本文
圆
一、本章知识框架
二、本章重点
1.圆的定义:
(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的封闭曲线,叫做圆.
(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 2.判定一个点P是否在⊙O上. 设⊙O的半径为R,OP=d,则有 d>r点P在⊙O 外; d=r点P在⊙O 上; d
(1)圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角.
圆心角的性质:圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
(2)圆周角:顶点在圆上,两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质:
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. ②同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径;半圆或直径所对的圆周角为直角.
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补;外角等于它的内对角.
(3)弦切角:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫弦切角. 弦切角的性质:弦切角等于它夹的弧所对的圆周角. 弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半. 4.圆的性质: (1)旋转不变性:圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对称图形,对称中心是圆心.
在同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,这四组量中的任意一组相等,那么它所对应的其他各组分别相等.
(2)轴对称:圆是轴对称图形,经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 垂径定理及推论:
(1)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. (3)弦的垂直平分线过圆心,且平分弦对的两条弧.
(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心,且垂直平分此弦. (5)平行弦夹的弧相等.
5.三角形的内心、外心、重心、垂心
(1)三角形的内心:是三角形三个角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心,在三角形内部,它到三角形三边的距离相等,通常用“I”表示.
(2)三角形的外心:是三角形三边中垂线的交点,它是三角形外接圆的圆心,锐角三角形外心在三角形内部,直角三角形的外心是斜边中点,钝角三角形外心在三角形外部,三角形外心到三角形三个顶点的距离相等,通常用O表示. (3)三角形重心:是三角形三边中线的交点,在三角形内部;它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍,通常用G表示. (4)垂心:是三角形三边高线的交点. 6.切线的判定、性质: (1)切线的判定:
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质:
①圆的切线垂直于过切点的半径.
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心.
(3)切线长:从圆外一点作圆的切线,这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.
(4)切线长定理:从圆外一点作圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 7.圆内接四边形和外切四边形
(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形,圆内接四边形对角互补,外角等于内对角.
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形,圆外切四边形对边之和相等. 8.直线和圆的位置关系:
设⊙O 半径为R,点O到直线l的距离为d.
(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R.
(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d=R. (3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交dr),圆心距
. (1)外离(2)含(3)外切(4)dR+r. 没有公共点,且
的每一个点都在
外部
内有唯一公共点,除这个点外,每个圆上的点都在另一个圆外部d=R+r.
的每个点都在
内部有唯一公共点,除这个点外,内切d=R-r.
相交(5)有两个公共点R-r
10.两圆的性质:
(1)两个圆是一个轴对称图形,对称轴是两圆连心线.
(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦,相切两圆的连心线经过切点. 11.圆中有关计算: 圆的面积公式:
,周长C=2πR.
圆心角为n°、半径为R的弧长.
圆心角为n°,半径为R,弧长为l的扇形的面积弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
.
圆柱的侧面图是一个矩形,底面半径为R,母线长为l的圆柱的体积为面积为2πRl,全面积为
.
,侧圆锥的侧面展开图为扇形,底面半径为R,母线长为l,高为h的圆锥的侧面积为πRl ,全面积为
,母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有
.
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