线面平行的证明中的找线技巧

线面平行的证明中的找线技巧

1.已知直线a∥平面，直线a∥平面，平面平面=b，求证a//b．

分析： 利用公理4，寻求一条直线分别与a，b均平行，从而达到a∥b的目的．可借用已知条件中的a∥α及a∥β来实现．

证明：经过a作两个平面和，与平面和分别相交于直线c和d， ∵a∥平面，a∥平面， ∴a∥c，a∥d，∴c∥d， 又∵d平面，c平面， ∴c∥平面，

又c平面，平面∩平面=b，∴c∥b，又∵a∥c，所以，a∥b．

2．已知：空间四边形ABCD中，E,F分别是AB,AD

的中点，求证：EF//A平面BCD． 证明：连结BD，在ABD中， ∵E,F分别是AB,AD的中点，

∴EF//BD，EF平面BCD，BD平面BCD，

∴EF//平面BCD．

3、已知：空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD的中点.求证:EF∥平面BCD。

B

证明：连结BD，在△ABD中， ∵E、F分别是AB、AD的中点 ∴ EF∥BD

B

4 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ.求证：PQ∥面BCE.又 EF平面BCD，BD平面BCD，

∴EF∥平面BCD（直线和平面平行判定定理）

A

F

D

C

证法一：如图9-3-4（1），作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N,连接MN,因为面ABCD∩面ABEF=AB,则AE=DB.又∵AP=DQ,∴PE=QB.又∵PM∥AB∥QN, ∴

PMAB

PEAE

,

QNDC



BQBD

.∴

PMAB



QNDC

.

∴即四边形PMNQ为平行四边形.∴PQ∥MN.

又∵MN面BCE，PQ面BCE，∴PQ∥面BCE.

证法二：如图9-3-4(2)，连结AQ并延长交BC或BC的延长线于点K，连结EK.

∵AD∥BC,∴

DQQB



AQQK

.

又∵正方形ABCD与正方形ABEF有公共边AB，且AP=DQ， ∴

AQQK

APPE

.则PQ∥EK.

∴EK面BCE，PQ面BCE.∴PQ∥面BCE.

点拨：证明直线和平面平行的方法有：①利用定义采用反证法；②判定定理；③利用面面平行，证线面平行.其中主要方法是②、③两法，在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线.5 已知：如图9-3-6，面α1∩面α2=b,a∥面α1,a∥面α

2.求证：a∥b.

证法一：过直线a作两个平面β1和β2，使得平面β1∩平面β1=c，面β2∩面α2=d.∵a∥面α1，a∥面α2，∴a∥c，a∥d.∴c∥d.∵d面α2,c面α2.∴c∥面α2.

又∵c面α1，面α1∩面α2=b， ∴c∥b.∴a∥b.

证法二：经过a作一平面π，使得平面π∩面α1=k，面π∩面α2=l.∵a∥面α1，a∥面α2, ∴a∥k，a∥l，则k∥l∥a.

∵三个平面α

1、α

2、π两两相交，交线分别为k、l、b且k∥l， ∴k∥l∥b，则a∥b.证法三：在b上任取一点A，过A和直线a作平面和平面α1相交于l1，和平面α2相交于直线l2.∵a∥面α1,a∥面α2, ∴a∥l1,a∥l2.

∵过一点只能作一条直线与另一直线平行， ∴l1与l2重合.

又∵l1面α1，l2面α2， ∴l1与l2重合于b.

∴a∥b.

点拨:证明直线与直线平行,有下列方法:(1)若a,b面α,

,则a∥b；(2)若α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c且a∥b∥c；(3)若a∥b,b∥c,则a∥c；(4)若a∥α；aβ,α∩β=b,则a∥b.6.P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.求证：PC∥面BDQ.

.证明：如答图9-3-2，连结AC交BD于点O.

∵ABCD是平行四边形，∴AO=OC.连结OQ，则OQ在平面BDQ内，且OQ是△APC的中位线，∴PC∥OQ.∵PC在平面BDQ外，∴PC∥平面BDQ.

7.在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B

1、A1D

1、C1D

1、B1C1的中点.求证：(1)E、F、B、D

四点共面；（2）面AMN∥面EFBD..证明:(1)分别连结B1D

1、ED、FB，如答图9-3-3， 则由正方体性质得 B1D1∥BD.

∵E、F分别是D1C1和B1C1的中点， ∴∴121

2B1D1.BD.∴E、F、B、D对共面.

（2）连结A1C1交MN于P点，交EF于点Q，连结AC交BD于点O，分别连结PA、QO.∵M、N为A1B

1、A1D1的中点， ∴MN∥EF，EF面EFBD.∴MN∥面EFBD.∵O,

∴四边形PAOQ为平行四边形.∴PA∥OQ.而OQ平面EFBD， ∴PA∥面EFBD.

且PA∩MN=P，PA、MN面AMN， ∴平面AMN∥平面EFBD.

8 //

S72S。

证明：

GDGHGAC//BD

EACFBD

HEHAHAE//BF



ACBD

GAGB

9

21AE∥BF



BFAE

HBHA

1628

AC∥BD

SAECSBFD



212

ACAEsinA



BFBDsinB

37374

4∴ SBFD96

9 正方形ABCD交正方形ABEF于AB（如图所示）M、N在对角线AC、FB上且AM= FN。求证：MN //平面BCE

证：过N作NP//AB交BE于P，过M作MQ//AB交BC于Q

CM

QM

BN

NPEF

AC



ABBF

NPMQ

又 ∵

NP//AB//MQMQPN



MN//面BCE

PQ面BCE

PE

CF

FA求证：EF//面PCD

CF

HFFB

MN//PQ

10.P为ABCD所在平面外一点，EPB，FAC，且EB

.证：连BF交CD于H，连PHAB//CD∴ ABF∽CFH∴ FA

PE

CFFA

HFFB



在BPH中EB

EF//PH





EF面PCDPHPCD∴ 11已知：平面α∩平面β＝a求证：a、b、c证明：∵α∩β＝a，β∩∴a、bβ

∴a、b相交或a∥b.(1)a、b相交时，不妨设a∩b＝P，即P∈a，P∈b 而a、bβ，aα

∴P∈β，P∈α，故P为α和β的公共点 又∵α∩γ＝c

由公理2知P∈c

∴a、b、c都经过点P，即a、b、c三线共点.(2)当a∥b时

∵α∩γ＝c且aα，aγ ∴a∥c且a∥b ∴a∥b∥c

故a、b、c两两平行.

12如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF.

求证：EF∥平面BB1C1C.

证法一：连AF延长交BC于M，连结B1M.∵AD∥BC ∴△AFD∽△MFB ∴

AFFM

DFBF

又∵BD＝B1A，B1E＝BF ∴DF＝AE ∴

AFFM

AEB1E

∴EF∥B1M，B1M平面BB1C1C ∴EF∥平面BB1C1C.

证法二：作FH∥AD交AB于H，连结HE ∵AD∥BC

∴FH∥BC，BCBB1C1C ∴FH∥平面BB1C1C 由FH∥AD可得

BFBD

BHBA

又BF＝B1E，BD＝AB1 ∴

B1EAB1

BHBA

∴EH∥B1B，B1B平面BB1C1C ∴EH∥平面BB1C1C， EH∩FH＝H

∴平面FHE∥平面BB1C1C EF平面FHE

∴EF∥平面BB1C1C

说明：证法一用了证线面平行，先证线线平行.证法二则是证线面平行，先证面面平行，然后说明直线在其中一个平面内.∴△END的面积为

nm

(m+p)2平方单位.

13如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，并且CM=DN.

求证:MN∥平面AA1B1B.

分析一：本题是把证“线面平行”转化为证“线线平行”，即在平面ABB1A1内找一条直线与MN平行，除上面的证法外，还可以连CN并延长交直线BA于点P，连B1P，就是所找直线，然后再设法证明MN∥B1P.分析二：要证“线面平行”也可转化为证“面面平行”，因此，本题也可设法过MN作一个平面，使此平面与平面ABB1A1平行，从而证得MN∥平面ABB1A1.

（本题证明请读者自己完成，本题中对转化思想的考查值得我们认真思考.）

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