关于左右导数和导数的左右极限

左右导数和导数的左右极限

函数 f(x) 在 x0 点的左导数定义为

f(x0)limf(x0x)f(x0)xx0 。

函数 f(x) 在 x0 点的右导数定义为

f(x0)limf(x0x)f(x0)xx0 。

函数 f(x) 在 x0 点导数的左极限定义为

f(x00)limxx00f(x) 。

函数 f(x) 在 x0 点导数的右极限定义为

f(x00)limxx00f(x) 。

在很多情况下，导数的左极限 limxx00导数的右极限 f(x) 往往就是左导数 f(x0) ，xx00limf(x) 往往就是右导数 f(x0) 。

1例如，函数 f(x)x2xx1 。

x1111 ；导

在 x1 点的左导数为 f(1)lim数的左极限为 limx10f(1x)f(1)xx0limx01xx11f(x)lim()lim(2)1 ，两者是一样的。

x10xx10x在 x1 点的右导数为 f(1)lim导数的右极限为 limx10f(1x)f(1)xx0lim(1x)1x2x02 ；

2f(x)lim(x)lim(2x)2 ，两者也是一样的。

x10x10

但有时候，导数的左极限 limxx00f(x) 并不等于左导数 f(x0) ，导数的右极限

xx00limf(x) 并不等于右导数 f(x0) 。

x2例如，函数 f(x)1x0x0 。

在 x0 的左导数为 f(0)limf(0x)f(0)xx0lim(0x)1x2x0；

2导数的左极限为 limf(x)lim(x)lim(2x)0 ，显然两者是不一样的。

x0x0x0在 x0 的右导数为 f(0)limf(0x)f(0)xx0lim(0x)1x2x0；

2导数的右极限为 limf(x)lim(x)lim(2x)0 ，显然两者也是不一样的。

x0x0x012xsin又例如，函数 f(x)x0x0x0 （见下图）。

在 x0 的左导数为

f(0x)f(0)x(x)sinlimx021x0limxsinx0f(0)lim1xx0x1x1x0 ；

而导数的左极限的计算式为

x02limf(x)lim(xsinx01x)lim(2xsinx0cos)lim(cosx01x) ，

这个极限不存在。

在 x0 的右导数为

f(0x)f(0)x1x(x)sinlimx021x0limxsinx0f(0)lim1x1xx0x1x1x0 ；

而导数的右极限的计算式为

x02limf(x)lim(xsinx0)lim(2xsinx0cos)lim(cosx0) ，

这个极限不存在。

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