高等代数半期心得体会
2020-03-03 12:26:13 来源：范文大全收藏下载本文
高等代数半期心得体会
刚刚开始接触到高等代数的时候，对它一无所知，仅仅听其它专业的同学谈论过线性代数这门课程。唏嘘记得第一高代课节讲的是排列，全新的知识点，因为第一次课没有课本，那节课我异常的认真，发现高代很有趣。在第一次课，我们也见到了树文老师，第一次课老师提早了五分钟来，在这几分钟里老师没有和我们说话，让我觉得老师很严肃。但是在之后的接触却让我深深的喜欢树文老师。
记得老师说过数学大致分为基础数学运用数学。而基础数学包含几何、代数和分析，这三个主要方面。说明我们所学的高等代数是学习之后课程的基础，可见其重要性。《高等代数》是数学学科的一门传统课程。在当今世界的数学内部学科趋于统一性和数学在其他学科的广泛应用性的今天，《高等代数》以其追求内容结构的清晰刻画和作为数学应用的基础，是我们的主干基础课程。它是数学在其它学科应用的必需基础课程，又是数学修养的核心课程。高等代数是在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。通过学习后，我们知道，不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。
在学习之前，我一直认为高等代数就是线性代数。经过半学期的学习后，我发现，这两者之间区别还是挺大的。高等代数是我们数学专业开设的专业课，更注重理论的分析，需要搞懂许多概念是怎么来的，而线性代数，只是一种运算工具，是供工科和部分医科专业开设的课程，只注重应用。
经过半学期的学习，我对高等代数里面的知识有了个初步的认识和接触，特别是代数的一些思想，也从中收获不少。下面就对半学期的学习做一个回顾和总结。 行列式
行列式是代数学中的一个基本概念，它不仅是讨论线性方程组理论的有力工具，而且还广泛的应用于数学及其他科学技术领域
定义：设A=（aij）为数域F上的nn矩阵，规定A的行列式为 其中，为1,2，…，n的一个排列。
从定义，我们可以看出，行列式是到F的一个映射。通过这个定义，我们可以推断出行列式的诸多性质： 1.行列式与它的转置相等；
2.互换行列式的两行（列），行列式变号；
3.若一个行列式中有两行（列）元素对应相等，则这个行列式为零；
4.行列式的某行（列）中的公因子可以提出去，或者以一数乘行列式等于这个数乘行列式； 5.如果行列式中两行成比例，那么行列式为零； 6.帮行列式的一行乘以某个数加到另一行，行列式不变；
7.Laplace展开定理：任取A的k 行，可构成A的一切可能的k阶子式为t（）个，设为
,其相应的代数余子式为， 则。
其中，第七条性质的特殊情形就是我们平时常用的展开定理。这7条性质的应用是行列式应用于其他地方的基本保障。在此基础上，我们可以得出更多的性质和推论。通过学习，我们知道，行列式其实是一种工具，是将多种情况下转换为行列式，通过计算行列式的值来得到想要的结果。在上面7条性质的基础上，我们可以得到计算一般阶的主要方法与技巧：定义法、化三角形法、Vandermonde（范德蒙）行列式法、分列式行列式法、加边法、降阶法、递推法、数学归纳法、做辅助行列式法。这里就不一一分析了，比较常用的就是化三角法，一般有上三角和下三角。
在学行列式时，没觉得有什么困难，知识本身也比较简单，除了弄懂那些定理是怎么来的，剩下来的就是计算了，一般情况下，只要细心点，就不会错了。行列式还是比较好学的。 矩阵
矩阵，Matrix。在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家Cayley于1858年首先提出。自此，矩阵理论便迅速的建立起来。矩阵论是数学中内容最为丰富、应用最广泛的部分。 定义：称数域F中m×n个数a_ij（i=I,2,…,m; j=1,2,…,n）排成的m行n列的矩形表格 a11a21am1a12a1na22a2nam2amn
为数域F上的一个m×n矩阵，简记为，其中称为矩阵的第i 行第 j列交叉点上的元素（简称元）。其中，若对于矩阵A，如果存在矩阵B，是的AB=E,则称B为A的逆矩阵。 在我们的学习中，矩阵的秩和初等矩阵是在矩阵应用中两个比较重要的概念。 矩阵的秩：设A=,是A的行向量，为A的列向量，称r矩阵的秩，若r为A行（列）向量组的极大无关组的个数。
用通俗的话讲就是若A中存在一个r阶子式不等于0，而一切r+1阶子式都等于0，则称r为A的秩，并记为rank A=r；特别的，当A=0时，规定rankA=0.我们用到矩阵时另一个重要的概念就是初等矩阵。
定义：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。 定义中提到的另一个概念初等变换是指， 交换矩阵的两行（列）
用一个非零数乘矩阵的某一行（列）
用一个数乘矩阵某一行（列）加到另一行（列）上去
初等变换和初等矩阵之间的关系也是一个很重要的知识点，它为我们之后的矩阵进行的各种处理提供了理论基础：对于一个sxn矩阵A做一次初等行变换就相当于在A的左边乘相应的一个sxs初等矩阵；做一次初等列变换就相当于在A的右边乘相应的nxn初等矩阵。这种对应关系也就是后来学到的线性变换，这在后文会单独列出来讲述。 矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。由此可见，矩阵在高等代数中的重要性。 记得在初次接触矩阵的时候，还没有觉得有什么困难，但当学到矩阵的秩的时候，便开始犯糊涂了，脑子一时转不过弯，无法理解什么才叫矩阵的秩。经过长时间的学习后，才对秩有了一个深入的了解，两学期的高代课下来，才让我真正认识到矩阵的重要性。当然，矩阵的重要性并不是因为上述两个重要的概念，而是矩阵分支出去的概念的应用，下面便一一阐释。
线性方程组
线性方程组中其实是用到了矩阵的乘法。 线性方程组是方程组的一种，它符合以下的形式：
其中，a11，a12以及b1，b2等等为已知常数，而x1，x2等等则是要求的未知数。运用矩阵的方式，可以将线性方程组写成一个向量方程：Ax=b，其中，A是由方程组里未知量里未知量的系数排成的mxn矩阵，x是含有n个元素的行向量，b是含有m个元素的行向量。 A=， x=, b= 在这个写法下，将原来的多个方程转化成一个向量方程，在已知矩阵A和向量b的情况下，求未知向量x。 对于方程组
（1）
当b1,b2,...,bm为零时，我们称（1）为其次线性方程组，否则，为非齐次线性方程组。 定义：齐次线性方程组的一组解η1，η2，...，ηt称为（1）的一个基础解系，如果 1) （1）的任意一个解都能表达成η1，η2，...，ηt的线性组合； 2) η1，η2，...，ηt线性无关。
在证明其次线性方程组的确有基础解系的时候，我们得到这样一个定理：在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于n-r，这里的r表示系数矩阵的秩。
进一步可得，如果是非齐次线性方程组的一个特解，那么该方程组的任意一个解都可以表成
γ=γ0+ η
其中该方程组导出组的一个解。这样，就给出了非齐次线性方程组的任意解的表达方式。 以上便是线性方程组所学习的主要内容，线性方程组的应用十分广泛，现实中的问题大多数是连续的，例如工程中求解结构受力后的变形，空气动力学中计算机翼周围的流场，气象预报中计算大气的流动等等。这些现象大多是用若干个微分方程描述。用数值方法求解微分方程（组），不论是差分方法还是有限元方法，通常都是通过对微分方程（连续的问题，未知数的维数是无限的）进行离散，求解在科学与工程中的应用非常重要。 在学线性方程组的时候，对基础解系的概念理解的不够深，再加上大一学的求基础解系的方法和王老师教的有一定的区别，导致我时常搞混，经常弄得到最后都求不来基础解系，不过，经过一段时间的学习，还是克服了这个困难，其实只要搞懂基础解系这个概念，求它的方法自然也就好理解了。
学习高代的热情还有一部分来自于可爱的高代老师。老师每次上课都会提早五分钟到，因为我记得树文老师说过让我们必须提早五分钟到，老师看见有同学上课玩手机就会很生气，因为老师不让我们上课玩手机，如果没擦黑板老师会让书记和班长罚站，如果作业做的不认真或者和老师的侄子叫同一个名字，你就会被提问。老师有好多古怪的教学方法，让我们觉得很有趣，每一节课都很轻松愉快。记得又一次身体不舒服，问老师可不可以先走需不需要补假条，老师任性的说了一句：走吧，不用补假条我说的算。好霸气...好温暖，感谢拥有树文这样可爱任性的高代老师。
回顾半学期的学习，觉得高代这门课还是挺难的，最重要的一个因素就是它比较抽象，需要一定的抽象思维去理解它，不像数学分析那样，很多东西都能够通过画画图什么的去理解它，而且，高代里面有许多概念，看似简单，但真正理解它，对于我而言，还是一个不小的困难。高等代数作为数学专业学科中最基础的课程之一，相信以后的学习中会用到它的一些思想什么的，也许到那时，就会慢慢领悟其深刻含义了！
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