学习教师礼仪心得

陈勇清：三线摆无阻尼转动的非线性运动特性探究

三线摆无阻尼转动的非线性运动特性探究

作者陈勇清

指导教师毛杰健

（上饶师范学院 江西 上饶 334001）

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摘要：根据能量守恒定理推导出三线摆无阻尼转动的动力学非线性微分方程，应用非线性的相图分析法对三线摆运动的

非线性特征进行描述和分析，得到了一些新的结果。

关键词：三线摆；非线性；动力学方程；相图

中图分类号：O32

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Research on the Non-linear Motion Characteristic of Undamped

Rotation of Three-string-pendulum

MAO Jie-jian, CHEN Yong-qing

Shangrao Normal College,Shangrao Jiangxi 334001,China)

Abstract: According to energy conservation law, we deduce the dynamic non-linear differential equation on undamped rotation of three-string-pendulum.By using the analytic method of non-linear phase diagram, we describe and discu the non-linear characteristic on rotation of three-string-pendulum.Then succefully obtain some beneficial results.Key Words:Three-string-pendulum; Dynamic equation; Non-linearity; Phase diagram

三线摆的非线性在工程学、实验和理论上都

具有重要的意义,它为工程技术的振动筛提供了

力学模型，为实验测定转动惯量设置了简明方法。

以往我们对三线摆的研究，大部分是对运动中的

某些项进行近似，从而得到它的近似解。文献[1]

建立了三线摆非线性振动方程，也求出了周期近

似解的表达式。文献[2]中，三线摆测定转动惯量

的实验研究是通过能量守恒的方法求出它的动力

学方程，而后就对方程中的变量进行近似，从而

求出它的线性方程，而忽略了转动的非线性。本

文通过能量守恒的原理推导出三线摆无阻尼转动

的非线性转动方程；并应用非线性的相图分析法

对三线摆无阻尼转动的非线性运动特性进行描述

和分析，得到了一些新的结论。

图1-1为三线摆的示意图，上圆盘的半径为

1.三线摆转动方程 r，水平固定在仪器上端。下圆盘的半径为R，

由三根长为l的轻线水平的悬挂着。

我们把下圆盘看作是均匀的，设空气阻力、悬线伸长和悬点摩擦很小，将其忽略，研究其无阻尼自由转动。

取三线摆处于静止时，O点为势能零点，当发生角度为的扭转，三线摆的转动动能为：

EK

d，（1）

2I0dt

竖直方向上的平动动能为：E1

2K

mv，（2）

重力势能为：EPmgh。（3） 根据能量守恒原理即可得：

d2

1=常数，（4）

2Imv2

0mghdt

2其中:I0

1mR2

，（5）

v

dhdt

，（6）

由图1-1可知：

BC

l0，

BC所以：

h

BCBC

l0

（7） 将（5）~（7）式代入（4）式得：

d2

1dh2

4mRdt

2mdt



mgl0=常数。 （8）

由（7）式对t微分可得：

dhRrsin

d

dt

。（9） l2R2r2

2Rrcos

代入（8）式，可得：

12r2sin2

2

41

l2R2r2

2RrcosmR2ddt

mg

l0

=常数。

（10） 该式为一阶变系数非线性微分方程。若初始条件设为：

t0

；d

。

dt

t0

0

即可以从（10

）式中得到： mg

l0

常数。

最终得到三线摆无阻尼转动的微分方程为：

12

412r2sin2

2d

l2R2r2

2RrcosmR

dt 

mg

0。（11）

（11）式是一个复杂的三线摆无阻尼转动的

非线性微分方程，我们应用计算机数学符号运算软件Maple 6，画出它的相轨图，再通过相图寻找三线摆运动的非线性特征。

2.相轨图及分析

为了画图所需，首先令

ddt

y，x，代

入（11）式，并化简得：

122rsin2

x41

l2R2r22RrR2y

cosx

g

0（12）

不失一般性，可设参数：R0.1m，r0.05m，

l0.3m，g=9.8 m/s2；

将参数代入方程（12），可得：

10.005sin2

x

2

41

0.07750.01cosxy

9.8

0（13）

2.1 初始角与角度、角速度的关系

由（13）式可得图2-1，其中x轴表示角的变化，y轴表示三线摆的角速度，表示初始时最大的转角。图2-1表明，随着的增大，角度x与角速度y的椭圆相图的面积也随之增大。

当其他参数不变，取=0.01rad和=0.2rad时，得到图2-2与图2-3所示的相轨图。比较图2-2与图2-3，进一步可以看出，当改变时,椭圆的形状不变，即角度x与角速度y的关系不变，但是大小发生了变化：x轴的半径

从0.01rad增大到0.2rad，y轴的半径从

0.058rad/s增大到1.16rad/s。这就不难理解：

图2-1中椭圆的大小随初始角的增大而变大，即角度x与角速度y的椭圆相图的面积随着的增大而增大。

2.2 上圆盘大小与角度、角速度的关系 仅改变上圆盘半径r时，又可得到如图2-4所示的角度x与角速度y的相轨图。

比较图2-3与图2-4，可以看出在初始角

=0.2rad时，当三线摆的上圆盘的半径r增大时，椭圆中横轴的半径不变，但纵轴的半径从

1.16rad/s增大到1.60rad/s，即三线摆的角速

度y随着上圆盘的半径r的增大而增大，因此角度x与角速度y的关系也就发生了变化。它们之间的关系随r的变化趋势，如图2-5及图2-6所示，从中可以看到三线摆的椭圆轨迹所围成的面积和角速度随着上圆盘的半径r的增大而增大的非线性变化关系。

图2-6y与r的关系图

2.3 下圆盘大小与角度、角速度的关系

如果仅改变下圆盘的半径R时，可以得到图2-7所示的角度x与角速度y的相轨图。

图2-9 y与R的关系

图

比较图2-3和图2-7，从中可以看出：在初始角=0.2rad不变，当改变下圆盘的半径R，横轴的半径依旧不变，但三线摆的角速度y随着下圆盘的半径R的变化而变化。

当我们进一步分析如图2-8，2-9所示的角度x与角速度y，随下圆盘的半径R的变化趋势，可以发现三线摆的角速度y先随着下圆盘的半径R增大而减小，而当下圆盘的半径R增大到一定的程度，角速度y又随之增大。 2.4 摆长与角度、角速度的关系

如果仅改变参数中摆线的长度l时，可得到图2-10所示的角度x与角速度y的相轨图。

同样比较图2-3与图2-10，可以看出当摆线的长度l变长时，椭圆横轴的半径仍然不变，而

纵轴的半径从1.16rad/s变小为0.44rad/s，即三线摆角速度y随摆长l的增大而变小。图2-11,及图2-12清楚地表明摆长与角速度之间的非线性变化关系。

3.小结

本文从能量守恒定理入手，建立了三线摆无阻尼转动的非线性微分方程。借助Maple对三线摆无阻尼转动的非线性运动特性进行分析。得出不同的初始角对应的角度x与角速度y之间不同的椭圆，该椭圆表示出了三线摆的的关系；同时也分析了在一定的情况下，三线摆的角速度

y及角度x与下圆盘的半径R、上圆盘的半径r、及摆长l这三个物理量之间的关系，发现三线摆的角速度y随着R、r、l三个量的改变而发生着非线性变化。这些结论，在提高对三线摆的认识，及其在工程中的应用，具有一定的理论意义。

参考文献：

[1] 向裕民.三线摆无阻尼转动的非线性[J].重庆大学学

报（自然科学版）,1997,20（1）.[2] 杨述武等.普通物理实验（

一、力学及热学部分）（第

三版）[M].北京:高等教育出版社, 2002,133~138.[3] 高敏树.三线摆的非线性振动[J].四川轻化工学院学

报,1999,12（2）.[4] 何勤.用动能定理讨论三线摆的扭转振动[J].大学物

理, 2005,24（8）.

[5] 于治会.一般三线摆的振动特点[J].宇航计测技术,

2002,22（6）.

[6] 佘守宪.非线性振动、非线性波与Jacobi椭圆函数

[J].大学物理, 2004,23（1）.

[7] 周衍柏.理论力学教程（第二版）[M].北京:高等教育

出版社, 2003,155~223.

[8] 陆同兴.非线性物理概论（第一版）[M].合肥:中

国科学技术大学出版社,2002,1~51.

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