怎样用换元法证明不等式

怎样用换元法证明不等式

陆世永

我们知道,无论在中学,还是在大学,不等式的证明都是一个难点。人们在证明不等式时创造了许多方法,其中有换元法。下面我们探索怎样用换元法证明不等式。

所谓“换元法”就是根据不等式的结构特征,选择适当的变量代换,从而化繁为简,或实现某种转化,以便证题。其换元的实质是转化,关键是构造和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。

一、利用对称性换元,化繁为简

例1设a,b,cR,求证:abcbcacababc.分析:经过观察,我们发现,把a,b,c中的两个互换,不等式不变,说明这是一个对称不等式,如果我们令xbca,ycab,zabc,则原不等式可化为:

xyyzzx8xyz.

这是一个较简单而且容易与已知不等式联系的不等式,因而可以按上述换元证明不等式。

证明:令xbca,ycab,zabc,则

a

12yz,b12xz,c12xy.a,b,cR,当xyz0时,有

xyyzzx8xyz；

当xyz0时,有x,y,zR(否则x,y,z中必有两个不为正值,不妨设x0, y0,则c0,这与c0矛盾), 因此

yz0,zx2zx0, xy2xy0,yz

2xyyzzx8xyz,

综上所述,恒有

xyyzzx8xyz,

把x,y,z代入上式得:

abcbcacababc.

例2设a,b,cR,求证:

a

bc

22

a

bc

22



abbcca



abc2a2

22

bcabbcca .



分析:类似于例1,我们不难发现,这也是一个对称不等式,因此可考虑令

xabc,yabc,zabbcca,

则原不等式可化为2yzz20.这是一个简单的不等式,由已知条件可证该不等式,因此我们可按上述换元证明原不等式。

证明:令xabc,ya2b2c2,zabbcca,则

x

y2z,yz

12

ab

bcca

0,

原不等式可化为:

yyz



22



x

yz2,

将x2y2z,代入上式得:

yyz



22

y2zyz

,

yzy2

yzy2zyz0,



2yzz0,

又由已知条件可知,2yzz20成立,而上述过程可逆,因此原不等式成立。 对于类似于例1与例2的对称不等式，可以结合不等式的具体形式换元，简化不等式的结构，使得不等式容易证明。

二、借助几何图形换元

例3已知a,b,c是ABC三边的长，求证：

abbccaabbcca

.分析:(如图)作ABC的内切圆,设D,E,F为切点,

令xBD,yCD,zAE,(其中x,

y,zR

则原不等式可转化为:

y2zz

z2

xx

x2



yy2x2y2z.

利用重要不等式:ab2ab可证该不等式,因此可以通过上述换元证明原不等式。

证明:设D,E,F为切点,令xBD,yCD,zAE,则原不等式可转化为:

y2

zz

z2

xx

x2

2x2y2z.1 yy

又因为x,y,zR,则有

y

z

z2y,

z

x

x2z,

x

y

y2x，

所以(1)式成立,因此原不等式成立。

从例3可以看出，在证明不等式时，我们可以根据题意结合几何图形进行分析、换元，从而借助几何图形的性质来证明不等式。

三、借助三角函数的性质换元

例4已知:a1,b0,ab1,求证:0

1a

a

11b1 .ab

分析:由于a1,b0,ab1,并且不等式中有a,b,因此我们联想三角函数的平方关系:sec2tan21 .经过对比,发现a相当于sec2，b相当于

tan

，因而可令：asec2,btan20









.2

证明:令asec2,btan20

1a

1a



, 则 2

ab

1 b

sec1tan

1

2sectansec

sin1，

可见原不等式成立。

例5若x2y21,求证:x22xyy2

.分析:由x2y21,知点x,y在圆x2y21的内部或边界上,因此可以考虑变换:xrsin,yrcos 0r1,02.

证明:设xrsin,yrcos 0r1,02, 则

x2xyy

rcos2sin2



2

2rcos2

42r



2.

从例4，例5可以看出，证明不等式时，我们可以结合已知条件或不等式的

结构与三角函数的性质进行分析，利用三角函数换元，从而借助三角函数的性质来证明不等式。

四、借助均值不等式换元

例6n个正数x1,x2,xn,它们的和是1,求证:

xn1xn1xn

x1

x1x2



x2

x2x3





xn

xnx1



12

.

分析:就这个不等式而言,我们容易想到均值不等式，但是直接用均值不等

式却难以证明这个不等式，因此我们把分子变为两项，可令x1

x2x3

xnx1

n

x1x2

m1,

x2

m2,,xn

mn（其中mi0）.

i1

证明:令x1

n

x1x2

m1,x2

x2x3

m2,,xn

xnx1

mn,则

m

i1

i

0.

x1

x1x2



x2

x2x3



xn1xn1xn



xn

xnx1

1

xxm1n2n

xnx1



1

xxm2121

x1x2



1

xxm3222

x2x3





x1x2



x2x3

4mn



xnx1

m1m2mn

m1

x1x2



m2

x2x3



xnx1



2x1x2xn

12



，

因而原不等式成立。

例6说明，在证明不等式时，可以从不等式的形式出发，借助均值不等式进行换元。

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