函数数学教案模板

推荐第1篇：初中函数数学教案

函数初中数学教案

教学目标：

1：是学生分清楚变量与常量，以及会判断哪些量是变量

2：理解函数的概念，分清自变量以及应变量，同时会判断一个变量是不是另一个的函数， 3：能从实际题目中抽象出函数关系，并且会列出函数解析式 4：理解函数的定义域，并会求函数的定义域，以及函数值 5：理解函数的记号yf(x)

教学重点：

1：函数的概念

2：由题目写出函数解析式以及会求定义域和函数值

教学难点：

1：函数的概念

2：函数的本质：一个变量取定一个值，另一个变量有且只有唯一的一个值与之对应 3：函数的记号：yf(x)

教学过程

1:量、数、数量

在物理中我们学过很多“量”，比如说：质量，长度，重量，面积，体积，密度，速度，路程，时间等等很多，

而“量”是表示事物的某些属性，比如：质量

同时我们用“数”来表示“量”的大小，将“数”与“度量单位”合在一起就是“数量”，比如说：一个物体质量为5kg，一个圆的半径是5cm等等 2：变量与常量

请同学们看课本52页的问题1 题中的r0是一个不变的值，而r和a都是可以取不同的值，正如我们以前学的用字母表示数，这个字母可以表示不同的数，它是一个变化的，不是确定的。而这样的在我们的研究过程中，可以取不同数值的量叫做“变量”，与之相对的保持数值不变的量叫做“常量”（或常数）

a2此题中我们可以得到：rr0(米)，我们可以看出r与a是有关系的，也就是说在a在变化时r也在变化，当a确定时，r也随之确定，即：r与a之间存在一种依赖关系。 同学们再看53页的问题2 请同学回答 问题3

如图等腰直角三角形ABC，其

中∠C=90°，AB=10cm，E为BC上一点，设BE等于x，求阴影部分的面积y，并求x 的取值范围

3：函数的概念

通过三个问题我们引出函数的概念：

一般地，设在一个变化过程中有两个变量x、y，如果在变量x的允许取值范围内，变量y随着x的变化而变化，且对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们就说，变量y是变量x的函数.X称为自变量，y称为应变量（因变量），我们知道问题1,2,3中的两个变量就是一种函数关系。

注：自变量不一定都用x表示，应变量不一定都用y表示，x、y是常用的表示

问题1,2,3中的两个变量之间是用数学式子表示出来的，我把这种用数学式子表示出两个变量之间的函数关系的式子称为函数解析式

提问：是不是所有的函数都可以用函数解析式表示呢？ 同学们请看例题

1、2：请同学回答

CEADB例1中的变量就是t和T 注：例题

1、2告诉我们不是所有的函数关系都可以用数学式子表示出来的，表示函数的表示方法有三种：图像法（例题1），列表法（例题2），解析法（问题1,2,3） 例题：课本55页的第4题

4：函数的定义域和函数值

考虑：函数y2x5和yx

对第一个函数x可以取任意实数，但是第二个函数的x不能去负数，因为在实数范围内，当x

我们前面在叙述函数的定义的时候提到一句话：如果在变量x的允许取值范围内 我们把：函数的自变量允许取值的范围，叫做函数的定义域

每个函数都有定义域，对于用解析式表示的函数，如果不加说明，那么这个函数的定义域是能使这个函数解析式有意义的所有实数，但是在实际问题中，除了是函数解析式有意义外，还要使实际问题有意义。

例

1、求下列函数中自变量x的取值范围．（使解析式有意义的x的取值范围）

2（1）y5x

3（2）y3x

1x11xx2

2（3）y

（4）y

（5）yx

1（6）y2xa

（7）y1x2x82 例

2、问题3中x的取值范围就是定义域

例

3、57页的例题4，（使实际问题有意义的x的取值范围） 解：yx10，定义域为：4x10

例

4、如图，用一个30米长的篱笆围成一个长靠在20米长墙的矩形羊圈，设宽为x，面积为y，写出函数解析式，并求出定义域。解：yx(302x)2x230x

定义域：5

在例4这个函数中，取x=6时，y=108 取x=10时，y=100 我们可以看出：在定义域：5

如果变量y是自变量x的函数，那么对于x在定义域内取定的一个值a，变量y的对应值叫做当x=a时的函数值，同样：一个函数所有函数值组成的范围叫做值域 5：函数的记号yf(x)

“y是x的函数”用记号yf(x)来表示，其中x表示自变量，f表示表示y随着x变化而变化的规律，即y与x之间的对应关系， 比如：例3，例4中

注：在同一问题中同时研究几个不同的函数时，表示函数的记号中，括号外的字母课采用不同的字母，如：f、g、h以及大写的F、G、H等 补充：函数的三要素：定义域、对应关系f、值域

在例4这个函数中，取x=6时，y=108，有了记号yf(x)后，我们就可以更简单的记为 f(6)108，即：我们用f(a)表示当x=a时的函数值。

x例5：课本57页中的例题5（先求出函数的定义域）

例6：课本58页的练习2 例7：已知f(x)2x3x4,g(x)x5,定义h(x)f(x)g(x),

求h(4),h(11)以及h(x)的表达式和定义域

推荐第2篇：高三数学教案：函数复习教案

【摘要】鉴于大家对查字典数学网十分关注，小编在此为大家整理了此文高三数学教案：函数复习教案，供大家参考!本文题目：高三数学教案：函数复习教案2013高中数学精讲精练 第二章 函数【知识导读】【方法点拨】函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础.高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数;同时要对初中所学二次函数作深入理解.1.活用定义法解题.定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点.利用定义，可直接判断所给的对应是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等.2.重视数形结合思想渗透.数缺形时少直观，形缺数时难入微.当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像!利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题.3.强化分类讨论思想应用.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是不漏不重.4.掌握函数与方程思想.函数与方程思想是最重要，最基本的数学思想方法之一，它在整个高中数学中的地位与作用很高.函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题.第1课 函数的概念【考点导读】1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数.【基础练习】1.设有函数组：① ， ;② ， ;③ ， ;④ ， ;⑤ ， .其中表示同一个函数的有___②④⑤___.2.设集合 ， ，从 到 有四种对应如图所示：其中能表示为 到 的函数关系的有_____②③____.3.写出下列函数定义域：(1) 的定义域为______________; (2) 的定义域为______________;(3) 的定义域为______________; (4) 的定义域为_________________.4.已知三个函数:(1) ; (2) ; (3) .写出使各函数式有意义时， ， 的约束条件：(1)______________________; (2)______________________; (3)______________________________.5.写出下列函数值域：(1) ， ;值域是 .(2) ; 值域是 .(3) ， .值域是 .【范例解析】例1.设有函数组：① ， ;② ， ;③ ， ;④ ， .其中表示同一个函数的有③④.分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同.解：在①中， 的定义域为 ， 的定义域为 ，故不是同一函数;在②中， 的定义域为 ， 的定义域为 ，故不是同一函数;③④是同一函数.例2.求下列函数的定义域：① ; ② ;解：(1)① 由题意得： 解得 且 或 且 ，故定义域为 .② 由题意得： ，解得 ，故定义域为 .例3.求下列函数的值域：(1) ， ;(2) ;(3) .分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域.(1) 解： ， ， 函数的值域为 ;(2) 解法一：由 ， ，则 ， ，故函数值域为 .解法二：由 ，则 ， ， ， ，故函数值域为 .【反馈演练】1.函数f(x)= 的定义域是___________.2.函数 的定义域为_________________.3.函数 的值域为________________.4.函数 的值域为_____________.5.函数 的定义域为_____________________.6.记函数f(x)= 的定义域为A，g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a1) 的定义域为B.(1) 求A;(2) 若B A，求实数a的取值范围.解：(1)由2- 0，得 0，x-1或x1， 即A=(-，-1)[1，+ ) .(2) 由(x-a-1)(2a-x)0，得(x-a-1)(x-2a)0.∵a1，a+12a，B=(2a，a+1) .∵B A， 2a1或a+1-1，即a 或a-2，而a1，1或a-2，故当B A时， 实数a的取值范围是(-,-2][ ,1).第2课 函数的表示方法【考点导读】1.会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法，列表法，解析法)表示函数.2.求解析式一般有四种情况：(1)根据某个实际问题须建立一种函数关系式;(2)给出函数特征，利用待定系数法求解析式;(3)换元法求解析式;(4)解方程组法求解析式.【基础练习】1.设函数 ， ，则 _________; __________.2.设函数 ， ,则 _____3_______; ; .3.已知函数 是一次函数，且 ， ,则 __15___.4.设f(x)= ，则f[f( )]=_____________.5.如图所示的图象所表示的函数解析式为__________________________.【范例解析】例1.已知二次函数 的最小值等于4，且 ，求 的解析式.分析：给出函数特征，可用待定系数法求解.解法一：设 ，则 解得故所求的解析式为 .解法二： ， 抛物线 有对称轴 .故可设 .将点 代入解得 .故所求的解析式为 .解法三：设 ，由 ，知 有两个根0，2，例2.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家.如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分)的关系.试写出 的函数解析式.分析：理解题意，根据图像待定系数法求解析式.【反馈演练】1.若 ， ，则 ( D )A.B.C.D.2.已知 ，且 ，则m等于________.3.已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=x2+2x.求函数g(x)的解析式.解：设函数 的图象上任意一点 关于原点的对称点为 ，则∵点 在函数 的图象上第3课 函数的单调性【考点导读】1.理解函数单调性，最大(小)值及其几何意义;2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性.【基础练习】1.下列函数中：① ; ② ; ③ ; ④ .其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有___②___.2.函数 的递增区间是___ R ___.3.函数 的递减区间是__________.4.已知函数 在定义域R上是单调减函数，且 ，则实数a的取值范围__________.5.已知下列命题：①定义在 上的函数 满足 ，则函数 是 上的增函数;②定义在 上的函数 满足 ，则函数 在 上不是减函数;③定义在 上的函数 在区间 上是增函数，在区间 上也是增函数，则函数 在 上是增函数;④定义在 上的函数 在区间 上是增函数，在区间 上也是增函数，则函数 在 上是增函数.其中正确命题的序号有_____②______.【范例解析】例 .求证：(1)函数 在区间 上是单调递增函数;(2)函数 在区间 和 上都是单调递增函数.分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定.证明：(1)对于区间 内的任意两个值 ， ，且 ，因为，又 ，则 ， ，得 ，故 ，即 ，即 .所以，函数 在区间 上是单调增函数.(2)对于区间 内的任意两个值 ， ，且 ，因为 ，又 ，则 ， ， 得，故 ，即 ，即 .所以，函数 在区间 上是单调增函数.同理，对于区间 ，函数 是单调增函数;例2.确定函数 的单调性.分析：作差后，符号的确定是关键.解：由 ，得定义域为 .对于区间 内的任意两个值 ， ，且 ，则又 ， ，【反馈演练】1.已知函数 ，则该函数在 上单调递__减__，(填增减)值域为_________.2.已知函数 在 上是减函数，在 上是增函数，则 __25___.3.函数 的单调递增区间为 .4.函数 的单调递减区间为 .5.已知函数 在区间 上是增函数，求实数a的取值范围.解：设对于区间 内的任意两个值 ， ，且 ，则 ，， ， 得， ， ，即 .第4课 函数的奇偶性【考点导读】1.了解函数奇偶性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性;2.定义域对奇偶性的影响：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件;不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数.【基础练习】1.给出4个函数：① ;② ;③ ;④ .其中奇函数的有___①④___;偶函数的有____②____;既不是奇函数也不是偶函数的有____③____.2.设函数 为奇函数，则实数 -1 .3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( A )A.B.C.D.【范例解析】例1.判断下列函数的奇偶性：(1) ; (2) ;(3) ; (4) ;(5) ; (6)分析：判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，再利用定义判断.解：(1)定义域为 ，关于原点对称; ,所以 为偶函数.(2)定义域为 ，关于原点对称; ，，故 为奇函数.(3)定义域为 ，关于原点对称; ， 且 ，所以 既为奇函数又为偶函数.(4)定义域为 ，不关于原点对称;故 既不是奇函数也不是偶函数.(5)定义域为 ，关于原点对称; ， ，则 且 ，故 既不是奇函数也不是偶函数.(6)定义域为 ，关于原点对称;例2.已知定义在 上的函数 是奇函数，且当 时， ，求函数 的解析式，并指出它的单调区间.分析：奇函数若在原点有定义，则 .解：设 ，则 ， .又 是奇函数， ， .当 时， .综上， 的解析式为 .【反馈演练】1.已知定义域为R的函数 在区间 上为减函数，且函数 为偶函数，则( D )A.B.C.D.2.在 上定义的函数 是偶函数，且 ，若 在区间 是减函数，则函数 ( B )A.在区间 上是增函数，区间 上是增函数B.在区间 上是增函数，区间 上是减函数C.在区间 上是减函数，区间 上是增函数D.在区间 上是减函数，区间 上是减函数3.设 ，则使函数 的定义域为R且为奇函数的所有 的值为____1，3 ___.4.设函数 为奇函数， 则 ________.5.若函数 是定义在R上的偶函数，在 上是减函数，且 ，则使得 的x的取值范围是(-2，2).6.已知函数 是奇函数.又 ， ,求a，b，c的值;解：由 ，得 ，得 .又 ，得 ，而 ，得 ，解得 .又 ， 或1.若 ，则 ，应舍去;若 ，则 .所以， .综上，可知 的值域为 .第5 课 函数的图像【考点导读】1.掌握基本初等函数的图像特征，学会运用函数的图像理解和研究函数的性质;2.掌握画图像的基本方法：描点法和图像变换法.【基础练习】1.根据下列各函数式的变换，在箭头上填写对应函数图像的变换：(1) ;(2) .2.作出下列各个函数图像的示意图：(1) ; (2) ; (3) .解：(1)将 的图像向下平移1个单位，可得 的图像.图略;(2)将 的图像向右平移2个单位，可得 的图像.图略;(3)由 ，将 的图像先向右平移1个单位，得 的图像，再向下平移1个单位，可得 的图像.如下图所示：3.作出下列各个函数图像的示意图：(1) ; (2) ; (3) ; (4) .解：(1)作 的图像关于y轴的对称图像，如图1所示;(2)作 的图像关于x轴的对称图像，如图2所示;(3)作 的图像及它关于y轴的对称图像，如图3所示;(4)作 的图像，并将x轴下方的部分翻折到x轴上方，如图4所示.4.函数 的图象是 ( B )【范例解析】例1.作出函数 及 ， ， ， ， 的图像.分析：根据图像变换得到相应函数的图像.解： 与 的图像关于y轴对称;与 的图像关于x轴对称;将 的图像向左平移2个单位得到 的图像;保留 的图像在x轴上方的部分，将x轴下方的部分关于x轴翻折上去，并去掉原下方的部分;将 的图像在y轴右边的部分沿y轴翻折到y轴的左边部分替代原y轴左边部分，并保留 在y轴右边部分.图略.与 的图像关于x轴对称; 与 的图像关于原点对称;保留 的图像在x轴上方的部分，将x轴下方的部分关于x轴翻折上去，并去掉原下方的部分;将 的图像在y轴右边的部分沿y轴翻折到y轴的左边部分替代原y轴左边部分，并保留 在y轴右边部分.例2.设函数 .(1)在区间 上画出函数 的图像;(2)设集合 .试判断集合 和 之间的关系，并给出证明.分析：根据图像变换得到 的图像，第(3)问实质是恒成立问题.解：(1)(2)方程 的解分别是 和 ，由于 在 和 上单调递减，在 和 上单调递增，因此 .由于 .【反馈演练】1.函数 的图象是( B )2.为了得到函数 的图象，可以把函数 的图象向右平移1个单位长度得到.3.已知函数 的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则 = .4.设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f (x)的图象关于直线 对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_____0____ .5.作出下列函数的简图：(1) ; (2) ; (3) .第6课 二次函数【考点导读】1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的图像和性质;2.能结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系.【基础练习】1.已知二次函数 ,则其图像的开口向__上__;对称轴方程为 ;顶点坐标为 ，与 轴的交点坐标为 ，最小值为 .2.二次函数 的图像的对称轴为 ,则 __-2___，顶点坐标为 ，递增区间为 ，递减区间为 .3.函数 的零点为 .4.实系数方程 两实根异号的充要条件为 ;有两正根的充要条件为 ;有两负根的充要条件为 .5.已知函数 在区间 上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是__________.【范例解析】例1.设 为实数，函数 ， .(1)讨论 的奇偶性;(2)若 时，求 的最小值.分析：去绝对值.解：(1)当 时，函数此时， 为偶函数.当 时， ， ，， .此时 既不是奇函数，也不是偶函数.(2)由于 在 上的最小值为 ，在 内的最小值为 .例2.函数 在区间 的最大值记为 ，求 的表达式.分析：二次函数在给定区间上求最值，重点研究其在所给区间上的单调性情况.解：∵直线 是抛物线 的对称轴，可分以下几种情况进行讨论：(1)当 时，函数 ， 的图象是开口向上的抛物线的一段，由 知 在 上单调递增，故 ;(2)当 时， ， ，有 =2;(3)当 时，，函数 ， 的图象是开口向下的抛物线的一段，若 即 时， ，若 即 时， ，【反馈演练】1.函数 是单调函数的充要条件是 .2.已知二次函数的图像顶点为 ，且图像在 轴上截得的线段长为8，则此二次函数的解析式为 .3.设 ，二次函数 的图象为下列四图之一：则a的值为 ( B )A.1 B.-1 C.D.4.若不等式 对于一切 成立，则a的取值范围是 .5.若关于x的方程 在 有解，则实数m的取值范围是 .6.已知函数 在 有最小值，记作 .(1)求 的表达式;(2)求 的最大值.解：(1)由 知对称轴方程为 ，当 时，即 时， ;当 ，即 时， ;当 ，即 时， ;综上， .(2)当 时， ;当 时， ;当 时， .故当 时， 的最大值为3.7.分别根据下列条件,求实数a的值：(1)函数 在在 上有最大值2;(2)函数 在在 上有最大值4.解：(1)当 时， ，令 ，则 ;当 时， ，令 ， (舍);当 时， ，即 .综上，可得 或 .(2)当 时， ，即 ，则 ;当 时， ，即 ，则 .综上， 或 .8.已知函数 .(1)对任意 ，比较 与 的大小;(2)若 时，有 ，求实数a的取值范围.解：(1)对任意 ， ，故 .(2)又 ，得 ，即 ，得 ，解得 .第7课 指数式与对数式【考点导读】1.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算性质;2.理解对数的概念，掌握对数的运算性质;3.能运用指数，对数的运算性质进行化简，求值，证明，并注意公式成立的前提条件;4.通过指数式与对数式的互化以及不同底的对数运算化为同底对数运算.【基础练习】1.写出下列各式的值：; ____4____; ;___0_____; ____1____; __-4__.2.化简下列各式：(1) ;(2) .3.求值：(1) ___-38____;(2) ____1____;(3) _____3____.【范例解析】例1.化简求值：(1)若 ，求 及 的值;(2)若 ，求 的值.分析：先化简再求值.解：(1)由 ，得 ，故 ;例2.(1)求值： ;(2)已知 ， ，求 .分析：化为同底.例3.已知 ，且 ，求c的值.分析：将a，b都用c表示.【反馈演练】1.若 ，则 .2.设 ，则 .3.已知函数 ，若 ，则 -b.4.设函数 若 ，则x0的取值范围是(-，-1)(1，+).5.设已知f (x6) = log2x，那么f (8)等于 .6.若 ， ，则k =__-1__.7.已知函数 ，且 .(1)求实数c的值;(2)解不等式 .解：(1)因为 ，所以 ，由 ，即 ， .(2)由(1)得：由 得，当 时，解得 .当 时，解得 ，所以 的解集为 .第8课 幂函数、指数函数及其性质【考点导读】1.了解幂函数的概念，结合函数 ， ， ， ， 的图像了解它们的变化情况;2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性;3.在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型.【基础练习】1.指数函数 是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是 .2.把函数 的图像分别沿x轴方向向左，沿y轴方向向下平移2个单位，得到 的图像，则 .3.函数 的定义域为___R__;单调递增区间 ;值域 .4.已知函数 是奇函数，则实数a的取值 .5.要使 的图像不经过第一象限，则实数m的取值范围 .6.已知函数 过定点，则此定点坐标为 .【范例解析】例1.比较各组值的大小：(1) ， ， ， ;(2) ， ， ，其中 ;(3) ， .分析：同指不同底利用幂函数的单调性，同底不同指利用指数函数的单调性.解：(1) ，而 ，例2.已知定义域为 的函数 是奇函数,求 的值;解：因为 是奇函数，所以 =0，即又由f(1)= -f(-1)知例3.已知函数 ，求证：(1)函数 在 上是增函数;(2)方程 没有负根.分析：注意反证法的运用.证明：(1)设 ， ，， ，又 ，所以 ， ， ，则故函数 在 上是增函数.(2)设存在 ，满足 ，则 .又 ，【反馈演练】1.函数 对于任意的实数 都有( C )A.B.C.D.2.设 ，则( A )A.-23.将y=2x的图像 ( D ) 再作关于直线y=x对称的图像，可得到函数 的图像.A.先向左平行移动1个单位 B.先向右平行移动1个单位C.先向上平行移动1个单位 D.先向下平行移动1个单位4.函数 的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是( C )A.B.C.D.5.函数 在 上的最大值与最小值的和为3，则 的值为___2__.6.若关于x的方程 有实数根，求实数m的取值范围.解：由 得， ，7.已知函数 .(1)判断 的奇偶性;(2)若 在R上是单调递增函数，求实数a的取值范围.解：(1)定义域为R，则 ，故 是奇函数.(2)设 ， ，当 时，得 ，即 ;当 时，得 ，即 ;综上，实数a的取值范围是 .第9课 对数函数及其性质【考点导读】1.理解对数函数的概念和意义，能画出具体对数函数的图像，探索并理解对数函数的单调性;2.在解决实际问题的过程中，体会对数函数是一类重要的函数模型;3.熟练运用分类讨论思想解决指数函数，对数函数的单调性问题.【基础练习】1.函数 的单调递增区间是 .2.函数 的单调减区间是 .【范例解析】例1.(1)已知 在 是减函数，则实数 的取值范围是_________.(2)设函数 ，给出下列命题：① 有最小值; ②当 时， 的值域为 ;③当 时， 的定义域为 ;④若 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是 .则其中正确命题的序号是_____________.分析：注意定义域，真数大于零.解：(1) ， 在 上递减，要使 在 是减函数，则 ;又 在 上要大于零，即 ，即 ;综上， .(2)① 有无最小值与a的取值有关;②当 时， ，成立;③当 时，若 的定义域为 ，则 恒成立，即 ，即 成立;④若 在区间 上单调递增，则 解得 ，不成立.例3.已知函数 ，求函数 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.分析：利用定义证明复合函数的单调性.解：x须满足 所以函数 的定义域为(-1，0)(0，1).因为函数 的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，有，所以 是奇函数.研究 在(0，1)内的单调性，任取x

1、x2(0，1)，且设x1得 0，即 在(0，1)内单调递减，【反馈演练】1.给出下列四个数：① ;② ;③ ;④ .其中值最大的序号是___④___.2.设函数 的图像过点 ， ，则 等于___5_ _.3.函数 的图象恒过定点 ，则定点 的坐标是 .4.函数 上的最大值和最小值之和为a，则a的值为 .5.函数 的图象和函数 的图象的交点个数有___3___个.6.下列四个函数：① ; ② ;③ ;④ .其中，函数图像只能是如图所示的序号为___②___.7.求函数 , 的最大值和最小值.解：令 ， ，则 ，即求函数 在 上的最大值和最小值.故函数 的最大值为0，最小值为 .8.已知函数 .(1)求 的定义域;(2)判断 的奇偶性;(3)讨论 的单调性，并证明.解：(1)解：由 ，故的定义域为 .(2) ，故 为奇函数.(3)证明：设 ，则 ，.当 时， ，故 在 上为减函数;同理 在 上也为减函数;当 时， ，故 在 ， 上为增函数.第10课 函数与方程【考点导读】1.能利用二次函数的图像与判别式的正负，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联系.2.能借助计算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的实质.3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法.【基础练习】1.函数 在区间 有_____1 ___个零点.2.已知函数 的图像是连续的，且 与 有如下的对应值表：1 2 3 4 5 6-2.3 3.4 0 -1.3 -3.4 3.4则 在区间 上的零点至少有___3__个.【范例解析】例1.是定义在区间[-c，c]上的奇函数，其图象如图所示：令 ，则下列关于函数 的结论：①若a0，则函数 的图象关于原点对称;②若a=-1，-2③若a0， ，则方程 =0有两个实根;④若 ， ，则方程 =0有三个实根.其中，正确的结论有___________.分析：利用图像将函数与方程进行互化.解：当 且 时， 是非奇非偶函数，①不正确;当 ， 时， 是奇函数，关于原点对称，③不正确;当 ， 时， ，由图知，当 时， 才有三个实数根，故④不正确;故选②.例2.设 ，若 ， ， .求证：(1) 且 ;(2)方程 在 内有两个实根.分析：利用 ， ， 进行消元代换.证明：(1) ， ，由 ，得 ，代入 得：，即 ，且 ，即 ，即证.【反馈演练】1.设 ， 为常数.若存在 ，使得 ，则实数a的取值范围是 .2.设函数 若 ， ，则关于x的方程 解的个数为 ( C )A.1 B.2 C.3 D.43.已知 ，且方程 无实数根，下列命题：①方程 也一定没有实数根;②若 ，则不等式 对一切实数 都成立;③若 ，则必存在实数 ，使④若 ，则不等式 对一切实数 都成立.其中正确命题的序号是 ①②④ .4.设二次函数 ，方程 的两根 和 满足 .求实数 的取值范围.解：令 ，则由题意可得 .故所求实数 的取值范围是 .5.已知函数 是偶函数,求k的值;解： 是偶函数，由于此式对于一切 恒成立，6.已知二次函数 .若ac， 且f(1)=0，证明f(x)的图象与x轴有2个交点.证明：的图象与x轴有两个交点.第11课 函数模型及其应用【考点导读】1.能根据实际问题的情境建立函数模型，结合对函数性质的研究，给出问题的解答.2.理解数据拟合是用来对事物的发展规律进行估计的一种方法，会根据条件借助计算工具解决一些简单的实际问题.3.培养学生数学地分析问题，探索问题，解决问题的能力.【基础练习】1今有一组实验数据如下：1.99 3.0 4.0 5.1 6.121.5 4.04 7.5 12 18.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，① ② ③ ④其中最接近的一个的序号是______③_______.2.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0 1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润 = (出厂价-投入成本)年销售量.(Ⅰ)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式;(Ⅱ)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内?解：(Ⅰ)由题意得y = [ 1.2(1+0.75x)-1(1 + x) ] 1000( 1+0.6x )(0 1)整理得 y = -60x2 + 20x + 200(0 1).(Ⅱ)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当即 解不等式得 .答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足0 0.33.【范例解析】例.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示.(Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p=f(t);写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t);(Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天)解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为由图二可得种植成本与时间的函数关系为g(t)= (t-150)2+100，0300.(Ⅱ)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)-g(t)，即当0200时，配方整理得h(t)=- (t-50)2+100，所以，当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100;当200所以，当t=300时，h(t)取得区间(200，300]上的最大值87.5.综上:由10087.5可知，h(t)在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大【反馈演练】1.把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，则这两个正三角形面积之和的最小值是___________ .2.某地高山上温度从山脚起每升高100m降低0.7℃，已知山顶的温度是14.1℃，山脚的温度是26℃，则此山的高度为_____17_____m.3.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1=5.06x-0.15 x 2和L2=2 x，其中x为销售量(单位：辆).若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为____45.6___万元.4.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积8cm2.问x、y分别为多少时用料最省?解：由题意得 xy+ x2=8，y= = (0则框架用料长度为l=2x+2y+2( )=( + )x+ 4 .当( + )x= ,即x=8-4 时等号成立.此时，x=8-4 ， ，故当x为8-4 m，y为 m时，用料最省.

推荐第3篇：高一数学教案函数及其表示

高一数学教案：函数及其表示 [1500字]

第一课时： 1.2.1 函数的概念

（一）

教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。

教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

教学过程：

一、复习准备：

1.讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？ 2 .回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量.表示方法有：解析法、列表法、图象法.

二、讲授新课：

1.教学函数模型思想及函数概念：

①给出三个实例：

A.一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是h?130t?5t2. B.近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.（见书P16页图）

C.国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表.（见书P17页表）

②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？ 归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作：f:A?B ③定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f:A?B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：y?f(x),x?A. 其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x?A}叫值域（range）. ④讨论：值域与B的关系？构成函数的三要素？

一次函数y?ax?b(a?0)、二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的定义域与值域？

⑤练习：f(x)?x2?2x?3，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。→求y?x2?2x?3,x?{?1,0,1,2}值域. 2.教学区间及写法：

① 概念：设a、b是两个实数，且a

{x|a≤x≤b}＝[a,b] 叫闭区间； {x|a

{x|a≤x

② 符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大” ③ 练习用区间表示：R、{x|x≥a}、{x|x>a}、{x|x≤b}、{x|x

3.小结：函数模型应用思想；函数概念；二次函数的值域；区间表示

三、巩固练习： 1.已知函数f(x)=3x2＋5x－2,求f(3)、f(-)、f(a)、f(a+1) 2.探究：举例日常生活中函数应用模型的实例.什么样的曲线不能作为函数的图象？

3.课堂作业：书P21

1、2题. 第二课时： 1.2.1 函数的概念

（二）

教学要求：会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；掌握判别两个函数是否相同的方法。

教学重点：会求一些简单函数的定义域与值域。

教学难点：值域求法。

教学过程：

一、复习准备：

3x21.提问：什么叫函数？其三要素是什么？函数y＝与y＝3x是不是同一个函数？为x 什么？

2.用区间表示函数y＝kx＋b、y＝ax2＋bx＋c、y＝的定义域与值域.

二、讲授新课：

1.教学函数定义域：

①出示例1：求下列函数的定义域（用区间表示） f(x)=x?3 x2?2kx；

f(x)=x?1－x 2?x 学生试求→订正→小结：定义域求法（分式、根式、组合式）

②练习：求定义域（用区间）→

f(x)

＝x?2 f(x)

x?3③小结：求定义域步骤：列不等式（组） → 解不等式（组）

2.教学函数相同的判别：

①讨论：函数y=x、y=(x)、y=2x3 x

2、y=x

4、y=x2有何关系？

②练习：判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？

A.f ( x ) = (x －1) ；g ( x ) = 1 ; B.f ( x ) = x； g ( x ) = x2 0 C．f ( x ) = x ；f ( x ) = (x + 1) 22、D.f ( x ) = | x | ；

②小结：函数是否相同，看定义域和对应法则。

3.教学函数值域的求法：

① 例2：求值域（用区间表示）：y＝x2－2x＋4；y＝

＝x?2 x?3?5；f(x)＝x2?3x?4 ；f(x)x?3 先口答前面三个 → 变第三个求 → 如何利用第二个来求第四个

②小结求值域的方法： 观察法、配方法、拆分法、基本函数法

三、巩固练习： 1.

求下列函数定义域：f(x)?2.已知f(x+1)＝2x2－3x＋1，求f(-1)。 变：f(x)?1f(x)? 1?1/xx?1，求f(f(x)) x?1 解法一：先求f(x)，即设x＋1＝t；（换元法） 解法二：先求f(x)，利用凑配法；

解法三：令x＋1=－1，则x＝－2,再代入求。（特殊值法）

3.f(x)的定义域是[0,1]，则f(x＋a)的定义域是 。

4.求函数y＝－x2＋4x－1 ，x∈[-1,3) 在值域。

解法（数形结合法）：画出二次函数图像 → 找出区间 → 观察值域

5.课堂作业：书P27

1、

2、3题。

第三课时： 1.2.2 函数的表示法

（一）

教学要求：明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图像法），了解三种表示方法各自的优点，在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。 教学重点：会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。

教学难点：分段函数的表示及其图象。

教学过程：

一、复习准备：

1.提问：函数的概念？函数的三要素？

2.讨论：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.

二、讲授新课：

1.教学函数的三种表示方法：

① 结合实例说明三种表示法 → 比较优点

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.优点：简明；给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.优点：直观形象，反应变化趋势。 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.优点：不需计算就可看出函数值。 具体实例如：二次函数等；股市走势图； 列车时刻表；银行利率表。

②出示例1.某种笔记本的单价是2元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．

师生共练→小结：函数“y=f(x)”有三种含义（解析表达式、图象、对应值表）． ③讨论：函数图象有何特征？所有的函数都可用解析法表示吗？

④练习：作业本每本0.3元，买x个作业本的钱数y（元）.试用三种方法表示此实例

中的函数. ④看书P22例4.下表是某班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表：

甲

乙

丙

班平均

分 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 98 90 68 88．2 87 76 65 78．3 91 88 73 85．4 92 75 72 80．3 88 86 75 75．7 95 80 82 82．6 请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．

提问：分析什么（成绩的变化、成绩的比较）？借助什么进行分析？

小结解答步骤：分别作点→连线→观察→结论

讨论：离散的点为什么用虚线连接起来？此例能用解析法表示表示吗？ 2．教学分段函数：

①出示例2：写出函数解析式，并画出函数的图像。

邮局寄信，不超过20g重时付邮资0.5元，超过20g重而不超过40g重付邮资1元。每封x克（0

（学生写出解析式→ 试画图像 → 集体订正 ）

②练习：A.写函数式再画图像：某水果批发店，100kg内单价1元／kg，500kg内、100kg及以上0.8元／kg，500kg及以上0.6元／kg。批发x千克应付的钱数（元）。

B.画出函数f(x)=|x－1|＋|x＋2|的图像。

③提出: 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x，对应法则不同）→ 生活实例

3.看书，并小结：三种表示方法及优点；分段函数概念；函数图象可以是一些点或线段

三、巩固练习：1.已知f(x)＝? 7,8，9题

第四课时：1.2.2 函数的表示法

（二）

?2x?3,x?(??,0)2?2x?1,x?[0,??)，求f(0)、f[f(-1)]的值。 2.作业：P27 教学要求：了解映射的概念及表示方法；结合简单的对应图示，了解一一映射的概念． 教学重点：映射的概念．

教学难点：理解概念。

教学过程：

一、复习准备：

1.举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例：

对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；

对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；

对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；

某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；

2.讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？

3.导入：函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射（mapping）.

二、讲授新课：

1.教学映射概念：

① 先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系，并用图示意

A?{1,4,9}, B?{?3,?2,?1,1,2,3}，对应法则：开平方；

A?{?3,?2,?1,1,2,3}，B?{1,4,9}，对应法则：平方；

A?{30?,45?,60?

}, B?{1, 对应法则：求正弦； 2 ② 定义映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A?B为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“f:A?B” 关键: A中任意，B中唯一；对应法则f. ③ 分析上面的例子是否映射？举例日常生活中的映射实例？

④ 讨论：映射的一些对应情况？（一对一；多对一） 一对多是映射吗？

→ 举例一一映射的实例 （一对一）

2.教学例题：

① 出示例1.探究从集合A到集合B一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射？ A={P | P是数轴上的点}，B=R； A={三角形}，B={圆}；

A={ P | P是平面直角体系中的点}， B?{(x,y)|x?R,y?R}； A={高一某班学生}，B= ？

（ 师生探究从A到B对应关系 → 辨别是否映射？一一映射？ → 小结：A中任意，B中唯一）

② 讨论：如果是从B到A呢？

③ 练习：判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？

A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则f:x?2x?1； A?N*,B?{0,1}，对应法则f:x?x除以2得的余数；

A?N，B?{0,1,2}，f:x?x被3除所得的余数； 111设X?{1,2,3,4},Y?{1,,,f:x?x取倒数； 234 A?{x|x?2,x?N},B?N，f:x?小于x的最大质数

3.小结：映射概念.

三、巩固练习： 1.练习：书P26

2、

3、4题；2.课堂作业：书P28 10题.第五课时 1.2 函数及其表示 （练习课）

教学要求：会求一些简单函数的定义域和值域；能解决简单函数应用问题；掌握分段函数、区间、函数的三种表示法；会解决一些函数记号的问题．

教学重点：求定义域与值域，解决函数简单应用问题．

教学难点：函数记号的理解. 教学过程：

一、基础习题练习： （口答下列基础题的主要解答过程 → 指出题型解答方法）

1.说出下列函数的定义域与值域： y? 2.已知f(x)?18； y?x2?4x?3； y?2.x?4x?33x?51，求f， f(f(3))， f(f(x)).x?

?0(x?0)?3.f(x)???(x?0)

，

作

出

f(x)

的

图

象

已，

知求f(1),f(?1),f(0),f{f[f(?1)]}的值. ?x?1(x?0)?

二、教学典型例题：

1.函数f(x)记号的理解与运用：

① 出示例1.已知f(x)=x?1 g(x

1求f[g(x)] （师生共练→小结：代入法；理解中间自变量）

② 练习：已知f(x)=x2?x+3 求： f(x+1), f(21) x 已知函数f(x)=4x+3，g(x)=x2,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)]. ③ 出示例2.

若f1）?x?求f(x

分析：如何理解f1？ 如何转化为f(x） ）

解法一：换元法，设t?1，则??

解法二：配元法，f1）?x?1)2?1，则?? 解法三：代入法，将x用(x?1)2(x?1)代入，则?? 讨论：f(x）中，自变量x的取值范围？

1x④ 练习：若f()?， 求f(x）.x1?x 2.函数应用问题：

①出示例3.中山移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元.若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1,y（元）.Ⅰ.写出y1,y2与x之间的函数关系式？ Ⅱ.2 一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？ Ⅲ.若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？

（ 师生共练 → 讨论：如何改动，更与实际接近？ → 小结：简单函数应用模型 ）

1三、巩固练习：1.已知f(x)满足2f(x)?f()?3x，求f(x).x 112.若函数y?f(x)的定义域为[?1，1]，求函数y?f(x?)f(x?)44 3.设二次函数f(x)满足f(x?2)?f(2?x)且f(x)=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式. 荐荐小初学二

数数

学学

教教

案案案

[1000(800 [1000

字字

]

) 荐生活中的数学教字] 荐人教版初一上数学教案(全册) [1500字] 荐工程数学教案 (500字)

推荐第4篇：高一数学教案：函数单调性

教学目标

会运用图象判断单调性;理解函数的单调性，能判断或证明一些简单函数单调性;注意必须在定义域内或其子集内讨论函数的单调性。

重 点

函数单调性的证明及判断。

难 点

函数单调性证明及其应用。

一、复习引入

1、函数的定义域、值域、图象、表示方法

2、函数单调性

(1)单调增函数

(2)单调减函数

(3)单调区间

二、例题分析

例

1、画出下列函数图象，并写出单调区间：

(1) (2) (2)

例

2、求证：函数 在区间 上是单调增函数。

例

3、讨论函数 的单调性，并证明你的结论。

变(1)讨论函数 的单调性，并证明你的结论

变(2)讨论函数 的单调性，并证明你的结论。

例

4、试判断函数 在 上的单调性。

三、随堂练习

1、判断下列说法正确的是 。

(1)若定义在 上的函数 满足 ，则函数 是 上的单调增函数;

(2)若定义在 上的函数 满足 ，则函数 在 上不是单调减函数;

(3)若定义在 上的函数 在区间 上是单调增函数，在区间 上也是单调增函数，则函数 是 上的单调增函数;

(4)若定义在 上的函数 在区间 上是单调增函数，在区间 上也是单调增函数，则函数 是 上的单调增函数。

2、若一次函数 在 上是单调减函数，则点 在直角坐标平面的( )

A.上半平面 B.下半平面 C.左半平面 D.右半平面

3、函数 在 上是___ ___;函数 在 上是__ _____。

3.下图分别为函数 和 的图象，求函数 和 的单调增区间。

4、求证：函数 是定义域上的单调减函数。

四、回顾小结

1、函数单调性的判断及证明。

课后作业

一、基础题

1、求下列函数的单调区间

(1) (2)

2、画函数 的图象，并写出单调区间。

二、提高题

3、求证：函数 在 上是单调增函数。

4、若函数 ，求函数 的单调区间。

5、若函数 在 上是增函数，在 上是减函数，试比较 与 的大小。

三、能力题

6、已知函数 ，试讨论函数f(x)在区间 上的单调性。

变(1)已知函数 ，试讨论函数f(x)在区间 上的单调性。

推荐第5篇：高一数学教案：变量与函数的概念

学习目标：

(1)理解函数的概念

(2)会用集合与对应语言来刻画函数，

(3)了解构成函数的要素。

重点：

函数概念的理解

难点：

函数符号y=f(x)的理解

知识梳理：

自学课本P29—P31，填充以下空格。

1、设集合A是一个非空的实数集，对于A内 ，按照确定的对应法则f，都有 与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作 。

2、对函数 ，其中x叫做 ，x的取值范围(数集A)叫做这个函数的 ，所有函数值的集合 叫做这个函数的 ，函数y=f(x) 也经常写为 。

3、因为函数的值域被 完全确定，所以确定一个函数只需要

。

4、依函数定义，要检验两个给定的变量之间是否存在函数关系，只要检验：

① ;② 。

5、设a, b是两个实数，且a

(1)满足不等式 的实数x的集合叫做闭区间，记作 。

(2)满足不等式a

(3)满足不等式 或 的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为 ;

分别满足x≥a,x>a,x≤a,x

其中实数a, b表示区间的两端点。

完成课本P33，练习A

1、2;练习B

1、

2、3。

例题解析

题型一：函数的概念

例1：下图中可表示函数y=f(x)的图像的只可能是( )

练习：设M={x| }，N={y| },给出下列四个图像，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有____个。

题型二：相同函数的判断问题

例2：已知下列四组函数：① 与y=1 ② 与y=x ③ 与

④ 与 其中表示同一函数的是( )

A.② ③ B.② ④ C.① ④ D.④

练习：已知下列四组函数，表示同一函数的是( )

A.和 B.和

C.和 D.和

题型三：函数的定义域和值域问题

例3：求函数f(x)= 的定义域

练习：课本P33练习A组 4.例4：求函数 ， ，在0，1，2处的函数值和值域。

当堂检测

1、下列各组函数中，表示同一个函数的是( A )

A、B、

C、D、

2、已知函数 满足f(1)=f(2)=0，则f(-1)的值是( C )

A、5 B、-5 C、6 D、-6

3、给出下列四个命题：

① 函数就是两个数集之间的对应关系;

② 若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素;

③ 因为 的函数值不随 的变化而变化，所以 不是函数;

④ 定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.其中正确的有( B )

A.1 个 B.2 个 C.3个 D.4 个

4、下列函数完全相同的是 ( D )

A., B.,

C., D.,

5、在下列四个图形中，不能表示函数的图象的是 ( B )

6、设 ，则 等于 ( D )

A.B.C.1 D.0

7、已知函数 ，求 的值.( )

推荐第6篇：白蒲中学高一数学教案：函数：10

第十教时

教材：函数的奇偶性

目的：要求学生掌握函数奇偶性的定义，并掌握判断函数奇偶性的基本方法。

过程：

一、复习函数单调性的定义、单调区间及判断函数单调性的方法。

二、提出课题：函数的第二个性质――奇偶性

1．依然观察 y=x2与 y=x3 的图象――从对称的角度 ．观察结果：

y=x2的图象关于轴对称 y=x3的图象关于原点对称

3．继而，更深入分析这两种对称的特点： ①当自变量取一对相反数时，y取同一值． f(x)=y=x2 f(1)=f(1)=1 f(即 f(x)=f(x) 再抽象出来：如果点 (x,y) 在函数y=x2的图象上，则该点关于y轴的对称点 (x,y) 也在函数y=x2的图象上． ②当自变量取一对相反数时，y亦取相反数． f(x)=y=x3 f(1)=f(1)=1 f(即 f(x)=f(x) 再抽象出来：如果点 (x,y) 在函数y=x3的图象上，则该点关于原点的对称点 (x,y) 也在函数y=x3的图象上．

111)f()224

111)f()228

4．得出奇（偶）函数的定义（见P61 略） 注意强调：①定义本身蕴涵着：

函数的定义域必须是关于原点的对称区间――这是奇（偶）函数的必要条件――前提 ②＂定义域内任一个＂：

意味着不存在＂某个区间上的＂的奇（偶）函数――不研究 ③判断函数奇偶性最基本的方法：

先看定义域，再用定义――f(x)=f(x) ( 或f(x)=f(x) )

三、例题：例

一、（见P61－62 例四）

例

二、（见P62 例五）

此题系函数奇偶性与单调性综合例题，比例典型．

小结：一般函数的奇偶性有四种：奇函数、偶函数、即奇且偶函数、非奇非偶函数

例：y1x

y=2x

（奇函数）

y=3x2+1

y=2x4+3x

2（偶函数）

y=0

（即奇且偶函数） y=2x+

1 （非奇非偶函数）

例

三、判断下列函数的奇偶性：

1．f(x)(x1)1x1x

1x0

解：定义域：1x01x1 关于原点非对称区间

1x

∴此函数为非奇非偶函数

2．f(x)x11x

22 2

x210x1或x1解：定义域： 21x11x0∴定义域为 x =±1

f(x)x11x22f(x) 且 f (±1) = 0 ∴此函数为即奇且偶函数

x2x3．f(x)2xx(x0)(x0)

解：显然定义域关于原点对称

当 x>0时, x

当 x0 f (x) = xx2 = (x2+x)

(x2x)

即：f(x)2(xx)(x0)(x0)f(x)

∴此函数为奇函数

四、奇函数图象关于原点对称

偶函数图象关于轴对称

例

四、（见P63 例六） 略

五、小结：1．定义

2．图象特征

3．判定方法

六、作业：P63 练习

P65习题2.3

7、

8、9

推荐第7篇：高三第一轮复习数学教案函数的奇偶性

高三 ①f(x)(x1)1x

非奇非偶函数 1x

偶函数 ②f(x)lg(1x2)x222x2x(x0)③f(x)

奇函数 2xx(x0)④f(x)3x2x2

3 既是奇函数又是偶函数

⑤f(x)x2xa

2 a=0时偶函数，a≠0时非奇非偶函数 ⑥f(x)x2x2

例2．定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)且f(0)≠0 ①求证：f(0)=

1 ②求证：y=f(x)是偶函数 证：①令x=y=0，则f(0)+f(0)=2f2(0) ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 ②令x=0，则f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)

∴f(-y)=f(y)

∴y=f(x)是偶函数

变式：定义在R上的函数y=f(x)，对任意x1，x2都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，判断函数y=f(x)的奇偶性并证明。

解：令x1=x2=0则f(0)=f(0)+f(0)

∴f(0)=0 令x1=x

x2= -x则f(0)=f(x)+f(-x)

∴f(-x)= - f(x) ∴y=f(x)是奇函数

2例3．已知函数f(x)，当x

x22x1(x0)(x0) 答案：①可确定，f(x)0x22x1(x0)②不可确定，∵x>0时，虽可确定f(x)=x-2x-1，但x=0时，f(0)取任意实数都可以。

2a2xa2变式：已知函数f(x)是定义在实数集上的奇函数，求函数的解析式。 x212x2分析：用f(-x)=-f(x) (x∈R)较繁，用f(0)=0可较方便地求得a=1，f(x)x

21例4．已知g(x)是奇函数，f(x)log2(x1x)g(x)2且f(3)5，求f(3)

2x18f(x)log2(x21x)g(x)2xxx简解： 相加得：f(x)22f(x)

2xf(x)log2(x1x)g(x)2f(3)2323f(3)3

例5．已知f(x)是定义在Ｒ上的偶函数，且在[0,)上为减函数，若f(a2a2)f(2a1)，求实数a的取值范围。

简解：f(x)是Ｒ上的偶函数且在[0,)上为减函数，∴由f(a2a2)f(2a1)有：

a2a20解得a≤-1或a≥2.aa2f(2a1)

22aa2(2a1)2例6．设a为实数，函数f(x)x2|xa|1，xR．

（1）讨论f(x)的奇偶性；

（2）求 f(x)的最小值．

解：（1）当a0时，f(x)(x2)|x|1f(x)，此时f(x)为偶函数；

当a0时，f(a)a21，f(a)a22|a|1，∴f(a)f(a),f(a)f(a), 此时函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．

22（2）①当xa时，函数f(x)xxa1(x)a123， 41，则函数f(x)在(,a]上单调递减，∴函数f(x)在(,a]上的最小值为2f(a)a21；

1131若a，函数f(x)在(,a]上的最小值为f()a，且f()f(a)．

22421232②当xa时，函数f(x)xxa1(x)a，

241131若a，则函数f(x)在[a,)上的最小值为f()a，且f()f(a)；

22421若a，则函数f(x)在[a,)上单调递增，∴函数f(x)在[a,)上的最小值2f(a)a21．

1311综上，当a时，函数f(x)的最小值是a，当a时，函数f(x)的最小值22242是a1，

13当a，函数f(x)的最小值是a．

24若a

（四）巩固练习：

1、以下五个函数：（1）y14x(x0)；（2）yx1；（3）y2；（4）ylog2x； x （5）ylog2(xx21)，其中奇函数是______，偶函数是______，非奇非偶函数是 _________ 变题：已知函数f(x)对一切实数x,y都有f(xy)f(x)f(y)，则f(x)的奇偶性如何？

2、函数yaxbxc是偶函数的充要条件是___________ 7

533、已知f(x)axbxcxdx5，其中a,b,c,d为常数，若f(7)7，则2f(7)_______

4、若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则函数F(x)f(x)f(x)的图象关于（

）

（A）x轴对称

（B）y轴对称

（C）原点对称

（D）以上均不对

5、函数F(x)(12)f(x)(x0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)（

） 2x1（A）是奇函数

（B）是偶函数

（C）可能是奇函数也可能是偶函数

（D）不是奇函数也不是偶函数

答案：

1、（1）（5）；（2）；（3）（4） 变题：奇函数

2、b0

3、17

4、B

5、A

四、小结：

１．定义域关于原点对称是函数是奇（偶）函数的必要不充分条件； ２．y=f(x)是奇（偶）函数y=f(x)的图象关于原点（y轴）对称 ３．F(x)=f[g(x)]的奇偶性

４．若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)５．函数奇偶性的判断与应用。

11[f(x)f(x)][f(x)f(x)] 2

2五、作业：

推荐第8篇：高三数学教案：第四节函数的连续性及极限的

第四节

函数的连续性及极限的应用

1.函数在一点连续的定义: 如果函数f(x)在点x=x0处有定义，limf(x)存在，且limf(x)=f(x0)，

xx0

xx0那么函数f(x)在点x=x0处连续.2．.函数f(x)在点x=x0处连续必须满足下面三个条件.(1)函数f(x)在点x=x0处有定义；

(2)limf(x)存在；

xx0(3)limf(x)=f(x0)，即函数f(x)在点x0处的极限值等于这一点的函数值.xx0如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f(x)在点x0处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义． 3.函数连续性的运算: ①若f(x)，g(x)都在点x0处连续，则f(x)±g(x)，f(x)•g(x)，f(x)(g(x)≠0)也在点

g(x)x0处连续。

②若u(x)都在点x0处连续，且f(u)在u0=u(x0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x0处连续。

4.函数f(x)在(a，b)内连续的定义：

如果函数f(x)在某一开区间(a，b)内每一点处连续，就说函数f(x)在开区间(a，b)内连续，或f(x)是开区间(a，b)内的连续函数.f(x)在开区间(a，b)内的每一点以及在a、b两点都连续，现在函数f(x)的定义域是［a，b］，若在a点连续，则f(x)在a点的极限存在并且等于f(a)，即在a点的左、右极限都存在，且都等于f(a)， f(x)在(a，b)内的每一点处连续，在a点处右极限存在等于f(a)，在b点处左极限存在等于f(b).5.函数f(x)在［a，b］上连续的定义：

如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端点x=a处有

xalimf(x)=f(a)，在右端点x=b处有xblimf(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间［a，b］上连续,或f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数.6.最大值最小值定理

如果f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，那么f(x)在闭区间［a，b］上有最大值和最小值 7.特别注意：函数f(x)在x=x0处连续与函数f(x)在x=x0处有极限的联系与区别。“连续必有极限，有极限未必连续。”

二、问题讨论 ●点击双基

1.f（x）在x=x0处连续是f（x）在x=x0处有定义的_________条件.A.充分不必要

B.必要不充分

C.充要

D.既不充分又不必要 解析：f（x）在x=x0处有定义不一定连续.

答案：A πx的不连续点为 2.f（x）=πcosxcosA.x=0 B.x=2（k=0,±1,±2,„） 2k1C.x=0和x=2kπ（k=0,±1,±2,„）

2（k=0,±1,±2,„） 2k12πππ解析：由cos=0,得=kπ+（k∈Z）,∴x=(kZ).

2k1xx2D.x=0和x=又x=0也不是连续点,故选D 答案：D 3.下列图象表示的函数在x=x0处连续的是

yyOx0xOx0x①yy②Ox0xOx0x

A.①

B.②③

C.①④

D.③④ 答案：A

④③4.四个函数:①f（x）=

1;②g（x）=sinx;③f（x）=|x|;④f（x）=ax3+bx2+cx+d.其中在x=0x处连续的函数是____________.（把你认为正确的代号都填上）

答案：②③④

例1：讨论下列函数在给定点或区间上的连续性

1ex1(x0) ，点x=0； (1)f(x)1ex11(x0)x22(2)f(x)x4(x1)，点x=－1。

(x1) 解：（1）当x→0时，－1e1lim，lime0，因此=－1， 1x0x0xex11x1x而limx0e1e11x1x=lim(1x02e11xf(x)limf(x)， )=1，∵limx0x0∴f(x)在x=0处极限不存在，因此f(x)在x=0处不连续。

2（2）∵limf(x)lim(x2)3，limf(x)lim(x4)3，f(1)3，x1x1x1x1∴limf(x)3f(1)，因此函数f(x)在x=－1处连续。

x1【思维点拨】函数在某点连续当且仅当函数在该点左、右连续（闭区间的端点例外）。

例2.(优化P208例1)1 (x>0)(1)讨论函数f(x)=0 (x=0),在点x0处的连续性-1 (x

x24练习：讨论函数f(x)的连续性；适当定义某点的函数值，使f(x)在区间(－3,3)

x2内连续。

解：显然函数的定义域为(,2)(2,)，当x2时，f(x)x2，

∴f(x)在(,2)上连续，在(2,)上连续。而f(x)在x2处不连续。

x24又∵limlim(x2)4，不妨设f(2)4，

x2x2x2x24(x2)此时，f(x)在区间(－3,3)内连续。 于是f(x)x2(x2)4例3.(优化P208例2)ex (x0)设函数f(x)= ax (x0)

当a为何值时,函数f(x)是连续的x解:limf（x）= （a+x）=a, f（x）=e=1,而f（0）=a,故当a=1时,

limlimlimx0x0x0x0x0limf（x）=f（0）, 即说明函数f（x）在x=0处连续,而在x≠0时,f（x）显然连续,于是我们可判断当a=1时, f（x）在（－∞,+∞）内是连续的.评述：分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性.

例4.如图,在大沙漠上进行勘测工作时,先选定一点作为坐标原点,然后采用如下方法:从原点出发,在x轴上向正方向前进a(a>0)个单位后,向左转900,前进ar (0

(1) 若有一小分队出发后与设在原点处的大本营失去联系,且可以断定此小分队的行动与原

y定方案相同,则大本营在何处寻找小分队? (2) 若其中的r 为变量,且0

备用：

Ox例题：利用连续函数的图象特征，判断方程：2x5x10是否存在实数根。

3解：设f(x)2x5x1，则f(x)在R上连续，又f(0)1,f(3)380，因此在

3[－3，0]内必存在点x0使得f(x0)0，所以x0是方程2x5x10的一个实数根，

3 因此方程2x5x10有实根。

【思维点拨】要判断方程是否有实根，即判断对应的连续函数yf(x)的图象是否与x轴有交点。

五、小结

1．函数f(x)在x=x0处连续必须具备三个条件：Ⅰ）函数f(x)在x=x0处及其附近有定义；Ⅱ）函数f(x)在x=x0处有极限；Ⅲ）函数f(x)在x=x0处的极限值等于这一点处的函数值f(x0)。 2．如果函数f(x)在闭区间[a,b]上是连续函数，那么函数f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最小值。

六、课后作业：

3

推荐第9篇：高考一轮复习数学教案：2.4 函数的奇偶性

2.4 函数的奇偶性

●知识梳理

1.奇函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=－f（x）〔或f（x）+ f（－x）=0〕，则称f（x）为奇函数.2.偶函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=f（x）〔或f（x）－f（－x）=0〕，则称f（x）为偶函数.3.奇、偶函数的性质

（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.（3）若奇函数的定义域包含数0，则f（0）=0.（4）奇函数的反函数也为奇函数.（5）定义在（－∞，+∞）上的任意函数f（x）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.●点击双基

1.下面四个结论中，正确命题的个数是

①偶函数的图象一定与y轴相交

②奇函数的图象一定通过原点

③偶函数的图象关于y轴对称

④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）

A.1

B.2

C.3

D.4 解析：①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0〔x∈（－a，a）〕.答案：A 2.已知函数f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是 A.奇函数

B.偶函数 C.既奇且偶函数

D.非奇非偶函数

3解析：由f（x）为偶函数，知b=0，有g（x）=ax＋cx（a≠0）为奇函数.答案：A 3.若偶函数f（x）在区间［－1，0］上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是

A.f（cosα）＞f（cosβ）

C.f（sinα）＞f（sinβ）

B.f（sinα）＞f（cosβ） D.f（cosα）＞f（sinβ）

解析：∵偶函数f（x）在区间［－1，0］上是减函数，∴f（x）在区间［0，1］上为增函数.由α、β是锐角三角形的两个内角，

∴α+β＞90°，α＞90°－β.1＞sinα＞cosβ＞0.∴f（sinα）＞f（cosβ）.答案：B 4.已知（fx）＝ax＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则a＝___________，b＝___________.解析：定义域应关于原点对称， 故有a－1＝－2a，得a＝

1

32.

又对于所给解析式，要使f（－x）＝f（x）恒成立，应b＝0.答案：13

0 1x5.给定函数:①y=（x≠0）；②y=x2+1；③y=2x；④y=log2x；⑤y=log2（x+

x21）.在这五个函数中，奇函数是_________，偶函数是_________，非奇非偶函数是__________.答案：①⑤

②

③④ ●典例剖析

【例1】 已知函数y=f（x）是偶函数，y=f（x－2）在［0，2］上是单调减函数，则 A.f（0）＜f（－1）＜f（2） C.f（－1）＜f（2）＜f（0）

B.f（－1）＜f（0）＜f（2） D.f（2）＜f（－1）＜f（0）

剖析：由f（x－2）在［0，2］上单调递减， ∴f（x）在［－2，0］上单调递减.∵y=f（x）是偶函数，

∴f（x）在［0，2］上单调递增.又f（－1）=f（1），故应选A.答案：A 【例2】 判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）=|x+1|－|x－1|； （2）f（x）=（x－1）²

1x1x；

（3）f（x）=1x2|x2|2x(1x)x(1x)；

（4）f（x）=(x0),(x0).

剖析：根据函数奇偶性的定义进行判断.解：（1）函数的定义域x∈（－∞，+∞），对称于原点.∵f（－x）=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－（|x+1|－|x－1|）=－f（x）， ∴f（x）=|x+1|－|x－1|是奇函数.（2）先确定函数的定义域.由

1x1x≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数.（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.1x20,1x1,由得

x0且x4.|x2|20,故f（x）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x+2＞0.从而有f（x）= 1x2x22=1xx2，这时有f（－x）=

1(x)x2=－

1xx2=－f（x），故f（x）为奇函

数.（4）∵函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x＞0时，－x＜0， ∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）.当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）.故函数f（x）为奇函数.评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明.（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.【例3】 （2005年北京东城区模拟题）函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x

1、x2∈D，有f（x1²x2）=f（x1）+f（x2）.（1）求f（1）的值；

（2）判断f（x）的奇偶性并证明；

（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x－6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围.（1）解：令x1=x2=1，有f（1³1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0.（2）证明：令x1=x2=－1，有f［（－1）³（－1）］=f（－1）+f（－1）.解得f（－1）=0.令x1=－1，x2=x，有f（－x）=f（－1）+f（x），∴f（－x）=f（x）.∴f（x）为偶函数.（3）解：f（4³4）=f（4）+f（4）=2，f（16³4）=f（16）+f（4）=3.∴f（3x+1）+f（2x－6）≤3即f［（3x+1）（2x－6）］≤f（64）.（*） ∵f（x）在（0，+∞）上是增函数， ∴（*）等价于不等式组

(3x1)(2x6)0, (3x1)(2x6)64(3x1)(2x6)0,(3x1)(2x6)64,或

1x3或x,1x3,3或或3

xR.7x53∴3＜x≤5或－73≤x＜－

7313或－

1313＜x＜3.或－

13∴x的取值范围为{x|－≤x＜－＜x＜3或3＜x≤5}.评述：解答本题易出现如下思维障碍：

（1）无从下手，不知如何脱掉“f”.解决办法:利用函数的单调性.（2）无法得到另一个不等式.解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反.深化拓展

已知f（x）、g（x）都是奇函数，f（x）＞0的解集是（a，b），g（x）＞0的解集是（b2

2a22，），b2＞a，那么f（x）²g（x）＞0的解集是 2

A.（a222，b2b2）

b2

2B.（－b，－a2） D.（

a2C.（a，）∪（－，－a）

2，b）∪（－b2，－a2）

提示：f（x）²g（x）＞02

f(x)0,g(x)02

或f(x)0,g(x)0.

∴x∈（a，答案：C b2）∪（－

b2，－a）.【例4】 （2004年天津模拟题）已知函数f（x）=x+

px+m（p≠0）是奇函数.（1）求m的值.（2）（理）当x∈［1，2］时，求f（x）的最大值和最小值.（文）若p＞1，当x∈［1，2］时，求f（x）的最大值和最小值.解：（1）∵f（x）是奇函数， ∴f（－x）=－f（x）.∴－x－pxpx+m=－x－－m.∴2m=0.∴m=0.（2）（理）（ⅰ）当p＜0时，据定义可证明f（x）在［1，2］上为增函数.∴f（x）max= f（2）=2+p2，f（x）min=f（1）=1+p.

p］上是减函数，在［

p，+∞）（ⅱ）当p＞0时，据定义可证明f（x）在（0，上是增函数.①当p＜1，即0＜p＜1时，f（x）在［1，2］上为增函数，

∴f（x）max=f（2）=2+②当

p2，f（x）min=f（1）=1+p.p∈［1，2］时，f（x）在［1，p］上是减函数.在［p，2］上是增函数.

p.f（x）min=f（p）=2f（x）max=max{f（1），f（2）}=max{1+p，2+当1≤p≤2时，1+p≤2+③当

p2p2}.

p2，f（x）max=f（2）；当2＜p≤4时，1+p≥2+，f（x）max=f（1）.p＞2，即p＞4时，f（x）在［1，2］上为减函数，∴f（x）max=f（1）=1+p，f（x）min=f（2）=2+（文）解答略.p2.

评述：f（x）=x+px（p＞0）的单调性是一重要问题，利用单调性求最值是重要方法.

深化拓展

f（x）=x+px的单调性也可根据导函数的符号来判断，本题如何用导数来解？

●闯关训练 夯实基础

1.定义在区间（－∞，+∞）上的奇函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在区间［0，+∞）上的图象与f（x）的图象重合，设a＜b＜0，给出下列不等式，其中成立的是

①f（b）－f（－a）＞g（a）－g（－b） ②f（b）－f（－a）＜g（a）－g（－b） ③f（a）－f（－b）＞g（b）－g（－a） ④f（a）－f（－b）＜g（b）－g（－a） A.①④

B.②③

C.①③

D.②④

解析：不妨取符合题意的函数f（x）=x及g（x）=|x|进行比较，或一般地g（x）=f(x)f(x)x0,x0, f（0）=0，f（a）＜f（b）＜0.答案：D 2.（2003年北京海淀区二模题）函数f（x）是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数.若f（x）在［－1，0］上是减函数，那么f（x）在［2，3］上是

A.增函数

C.先增后减的函数

B.减函数

D.先减后增的函数

解析：∵偶函数f（x）在［－1，0］上是减函数，∴f（x）在［0，1］上是增函数.由周期为2知该函数在［2，3］上为增函数.答案：A 3.已知f（x）是奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=lgf（x）的表达式是__________.解析：当x∈（－1，0）时，－x∈（0，1），∴f（x）=－f（－x）=－lg答案：lg（1－x）

x224.（2003年北京）函数f（x）=lg（1+x），g（x）=0x2x1,|x|1,h（x）=tan2x中，x1.11x，那么当x∈（－1，0）时，

11x=lg（1－x）.______________是偶函数.解析：∵f（－x）=lg［1+（－x）］=lg（1+x）=f（x）， ∴f（x）为偶函数.又∵1°当－1≤x≤1时，－1≤－x≤1， ∴g（－x）=0.又g（x）=0，∴g（－x）=g（x）.2°当x＜－1时，－x＞1，

∴g（－x）=－（－x）+2=x+2.又∵g（x）=x+2，∴g（－x）=g（x）.3°当x＞1时， －x＜－1，

2

2

∴g（－x）=（－x）+2=－x+2.又∵g（x）=－x+2，∴g（－x）=g（x）.综上，对任意x∈R都有g（－x）=g（x）.∴g（x）为偶函数.h（－x）=tan（－2x）=－tan2x=－h（x）， ∴h（x）为奇函数.答案：f（x）、g（x） 5.若f（x）=a2a22122xxx为奇函数，求实数a的值.解：∵x∈R，∴要使f（x）为奇函数，必须且只需f（x）+f（－x）=0，即a－a－22x1+ 1=0，得a=1.6.（理）定义在［－2，2］上的偶函数g（x），当x≥0时，g（x）单调递减，若g（1－m）＜g（m），求m的取值范围.解：由g（1－m）＜g（m）及g（x）为偶函数，可得g（|1－m|）＜g（|m|）.又g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴|1－m|＞|m|，且|1－m|≤2，|m|≤2，解得－1≤m＜说明：也可以作出g（x）的示意图，结合图形进行分析.（文）（2005年北京西城区模拟题）定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，又f（－3）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为

A.（－3，0）∪（0，3）

B.（－∞，－3）∪（3，+∞） C.（－3，0）∪（3，+∞）

D.（－∞，－3）∪（0，3） 解析：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解.答案：A 培养能力 7.已知f（x）＝x（

12x12.

1＋

12）.（1）判断f（x）的奇偶性； （2）证明f（x）＞0.（1）解：f（x）＝x²

2xx11)，其定义域为x≠0的实数.又f（－x）＝－x²

2xx11)2(212xx2(2＝－x²＝x²

2xx11)＝f（x），

2(12)2(2∴f（x）为偶函数.（2）证明：由解析式易见，当x＞0时，有f（x）＞0.又f（x）是偶函数，且当x＜0时－x＞0， ∴当x＜0时f（x）＝f（－x）＞0， 即对于x≠0的任何实数x，均有f（x）＞0.

探究创新

8.设f（x）=log1（21axx1）为奇函数，a为常数，

（1）求a的值；

（2）证明f（x）在（1，+∞）内单调递增；

（3）若对于［3，4］上的每一个x的值，不等式f（x）＞（m的取值范围.（1）解：f（x）是奇函数，∴f（－x）=－f（x）.∴log1ax1212）+m恒成立，求实数

xx1=－log

1ax12x11axx1=

x11ax＞01－a2x2=1－x2a=±1.检验a=1（舍），∴a=－1.（2）证明：任取x1＞x2＞1，∴x1－1＞x2－1＞0.∴0＜2x11＜2x210＜1+

2x11＜1+

2x210＜

x11x11＜

x21x21log

x1112x11＞logx2112x21，即f（x1）＞f（x2）.∴f（x）在（1，+∞）内单调递增.

1（3）解：f（x）－（）x＞m恒成立.

2令g（x）=f（x）－（）x.只需g（x）min＞m，用定义可以证g（x）在［3，4］上是

21增函数，∴g（x）min=g（3）=－

98.∴m＜－

98时原式恒成立.●思悟小结

1.函数的奇偶性是函数的整体性质，即自变量x在整个定义域内任意取值.2.有时可直接根据图象的对称性来判断函数的奇偶性.●教师下载中心 教学点睛

1.函数的奇偶性经常与函数的其他性质，如单调性、周期性、对称性结合起来考查.因此，在复习过程中应加强知识横向间的联系.2.数形结合，以形助数是解决本节问题常用的思想方法.3.在教学过程中应强调函数的奇偶性是函数的整体性质，而单调性是其局部性质.拓展题例

【例1】 已知函数f（x）=

ax21bxc（a、b、c∈Z）是奇函数，又f（1）=2，f（2）＜3，求a、b、c的值.解：由f（－x）=－f（x），得－bx+c=－（bx+c）.∴c=0.由f（1）=2，得a+1=2b.

由f（2）＜3，得4a1a1＜3，

解得－1＜a＜2.又a∈Z， ∴a=0或a=1.若a=0，则b=

12，与b∈Z矛盾.∴a=1，b=1，c=0.【例2】 已知函数y=f（x）的定义域为R，对任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），且对任意x＞0，都有f（x）＜0，f（3）=－3.（1）试证明：函数y=f（x）是R上的单调减函数；

（2）试证明：函数y=f（x）是奇函数；

（3）试求函数y=f（x）在［m，n］（m、n∈Z，且mn＜0）上的值域.分析：（1）可根据函数单调性的定义进行论证，考虑证明过程中如何利用题设条件.（2）可根据函数奇偶性的定义进行证明，应由条件先得到f（0）=0后，再利用条件f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）中x

1、x2的任意性，可使结论得证.（3）由（1）的结论可知f（m）、f（n）分别是函数y=f（x）在［m、n］上的最大值与最小值，故求出f（m）与f（n）就可得所求值域.（1）证明：任取x

1、x2∈R，且x1＜x2，f（x2）=f［x1+（x2－x1）］，

于是由题设条件f（x+x′）=f（x）+f（x′）可知f（x2）=f（x1）+f（x2－x1）.∵x2＞x1，∴x2－x1＞0.∴f（x2－x1）＜0.∴f（x2）=f（x1）+f（x2－x1）＜f（x1）.故函数y=f（x）是单调减函数.（2）证明：∵对任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）+f（x′）， ∴若令x=x′=0，则f（0）=f（0）+f（0）.∴f（0）=0.再令x′=－x，则可得f（0）=f（x）+f（－x）.∵f（0）=0，∴f（－x）=－f（x）.故y=f（x）是奇函数.（3）解：由函数y=f（x）是R上的单调减函数， ∴y=f（x）在［m，n］上也为单调减函数.∴y=f（x）在［m，n］上的最大值为f（m），最小值为f（n）.∴f（n）=f［1+（n－1）］=f（1）+f（n－1）=2f（1）+f（n－2）=„=nf（1）.同理，f（m）=mf（1）.∵f（3）=－3，∴f（3）=3f（1）=－3.∴f（1）=－1.∴f（m）=－m，f（n）=－n.因此，函数y=f（x）在［m，n］上的值域为［－n，－m］.评述：（1）满足题设条件f（x+x′）=f（x）+f（x′）的函数，只要其定义域是关于原点对称的，它就为奇函数.（2）若将题设条件中的x＞0，均有f（x）＜0改成均有f（x）＞0，则函数f（x）就是R上的单调增函数.（3）若题设条件中的m、n∈Z去掉，则我们就无法求出f（m）与f（n）的值，故m、n∈Z不可少.

推荐第10篇：白蒲中学高一数学教案：函数：13~14

第十

三、十四教时

教材：反函数

目的：在掌握反函数概念的基础上，初步会求非单调函数在各不同单调区间上的反函数；同时掌握互为反函数图象之间的关系。 处理《教学与测试》23课 P53 过程：

一、复习：反函数的概念，求一个反函数的步骤。

二、例一

分别求函数yx26x2在各单调区间上的反函数。

小结：一般，非单调函数在其定义域内无反函数，但在其各单调区间上是存在反函数的，关键是求出其单调区间。

例二

求下列函数的反函数：

1．y32xx

5 2。y1x1x122

小结：yf(x)的值域就是它的反函数yf(x)的定义域。因此，往往求函数的值域就是转化成求其反函数的定义域。

三、下面研究互为反函数的函数图象间的关系。

例三

P67 略

例四 P67-68 略

四、

第11篇：高中数学教案：正切函数的图象和性质

正切函数的图象和性质

（一）教材分析：

学习正切函数的图象和性质，主要包括：定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，以及具体的应用。

（二）素质教育目标： 1.知识目标：

（1）用单位圆中的正切线作正切函数的图象； （2）用正切函数图象解决函数有关的性质； 2.能力目标：

（1）理解并掌握作正切函数图象的方法；

（2）理解用函数图象解决有关性质问题的方法； 3.德育目标：培养研究探索问题的能力；

（三）教学三点解析：

1.教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象；2.教学难点：性质的研究；

3.教学疑点：正切函数在每个单调区间是增函数，并非整个定义域内的增函数；

（四）教学过程设计 1．设置情境

前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，但常见的三角函数还有正切函数，今天我们来探讨一下正切函数的图象，以及它具有哪些性质。 2．探索研究

由研究正、余弦函数的图象和性质的方法引出正切函数的图象和性质。 下面我们也将利用单位圆中的正切线来绘制ytanx图象．

（1）用正切线作正切函数图象

1分析一下正切函数ytanx是否为周期函数？

○ f(x)taxn(sinx())coxs()xsinxtfaxn xcos()

∴ytanx 是周期函数，是它的一个周期．

我们还可以证明，是它的最小正周期．类似正弦曲线的作法，我们先作正切函数在一个周期上的图象，下面我们利用正切线画出函数ytanx，x

,的图象． 22

作法如下：

①作直角坐标系，并在直角坐标系

轴左侧作单位圆．

②把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线．

③描点。（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线）．

④连线．

图1

根据正切函数的周期性，我们可以把上述图象向左、右扩展，得到正切函数ytanx ，(xR,xk2,kZ)的图象，并把它叫做正切曲线（如图1）．

图2

（2）正切函数的性质

请同学们结合正切函数图象研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性．

①定义域：x|xk

②值域：R

③周期性：正切函数是周期函数，周期是． ,kZ 2

④奇偶性：tan(x)tanx，∴正切函数是奇函数，正切曲线关于原点O对称．

⑤单调性：由正切曲线图象可知：正切函数在开区间(强调：a.不能说正切函数在整个定义域内是增函数

b.正切函数在每个单调区间内都是增函数

c.每个单调区间都包括两个象限：

四、一或

二、三 3．例题分析

【例1】求函数ytan(x2k,2k),kZ内都是增函数．

4) 的定义域．

分析：我们已经知道了ytanz的定义域，那么ytan(x4)与ytanz有什么关系呢？令zx4，我们把ytan(x4)说成由ytanz和zx4复合而成。此时我们称ytan(x4)为复合函数，而把ytanz和zx4为简单函数

解：令zx4 ，那么函数ytanz 的定义域是z|zk,kZ 2

由 x4zk2，可得 xk4

所以函数ytan(x4) 的定义域是{x|xk4,kZ}

解题回顾：这种解法可称为换元法，因此复合函数可通过换元法来求得。

练习1：求函数ytan(2x

【例2】不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：

（1） 与

；

4)的定义域。（学生板演。） （2）tan(1113) 与tan() ． 45分析：比较两个正切函数值的大小可联想到比较两个正、余弦函数值的大小。

比较两个正、余弦函数值的大小是利用函数的单调性来比较。注意点是应把相应的角化到正或余弦函数的同一单调区间内来解决．类比得到比较两个正切函数值的大小的解法

解：（1）90167173180

又 ∵ytanx，在(90,270)上是增函数

∴tan167tan17

3 （2）∵tan(1111)tan＝tan 44

4 tan(13132)tantan 555又 ∵0＜2＜＜ ，函数ytanx ，x, 是增函数，

5422221113)tan() ． 即tan(54

5 ∴ tan4＜ tan解题回顾：比较两个正切型实数的大小，关键是把相应的角诱导到ytanx 的同一单调区间内，利用ytanx 的单调递增性来解决．

练习2：比较大小：

(1)tan138_____tan143 （学生口答）（＜） (2)tan(1317)_____tan()（学生板演）（＞） 45【例3】求f(x)tan2x的周期

3．总结提炼

（1）这节课我们采用类比的思想方法来学习正切函数的图象和性质

（2）正切函数的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得一个周期上图象后，再利用周期性把该段图象向左右延伸、平移。

（3）正切函数的性质．

4.布置作业：作业：苏大资料“12.正切函数的图象与性质”.

第12篇：人教版高中数学教案：第2章：函数,教案,课时第 (27)

第二十八教时

教材： 函数的应用举例二

目的： 要求学生熟悉属于“增长率”、“利息”一类应用问题，并能掌握其解法。 过程：

一、新授：

例

一、（《教学与测试》 P69 第34课）

某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可选用二次函数

或yabxc(a,b,c为常数)，已知四月份该产品的产量为1.37万件，请问：用以上那个函数作模拟函数较好？说明理由。

解：设二次函数为： ypx2qxr

pqr1p0.05由已知得：4p2qr1.2

q0.35

9p3qr1.3

r0.7∴y0.05x20.35x0.7

当 x = 4时，y10.05420.3540.71.3又对于函数yabxc

abc1a0.8

由已知得：ab2c1.2

b0.5∴y0.8(1ab3c1.3c1.4

2)x1.4当 x = 4时，y1

20.8(2

)41.41.35

由四月份的实际产量为1.37万件,

|y21.37|0.020.07|y11.37|

∴选用函数y0.8(

1)x1.4 作模拟函数较好。

例

二、（《教学与测试》 P69 第34课）

已知某商品的价格每上涨x%，销售的数量就减少mx%，其中m为

正常数。

1．当m

时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额最大？2．如果适当的涨价，能使销售总金额增加，求m的取值范围。

解：1．设商品现在定价a元，卖出的数量为b个。

由题设：当价格上涨x%时，销售总额为ya(1x%)b(1mx%)

即 y

ab

10000

[mx2100(1m)x10000]取m1ab

2得：y

20000

[(x50)222500]当 x = 50时，y9

max8

ab

即该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大。

2．∵二次函数y

ab

[mx210000100(1m)x10000]在 (x,

50(1m)m]上递增，在[50(1m)

m

,)上递减∴适当地涨价，即 x >0 , 即

50(1m)

m

0就是 0

三、（课本91 例二）

按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式。如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后本利和是多少？“复利”：即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期利息。

分析：1期后 y1aara(1r)2期后 y2a(1r)2„„

∴ x 期后，本利和为：ya(1r)x

将 a = 1000元，r = 2.25%，x = 5 代入上式：y1000(12.25%)510001.02255

由计算器算得：y = 1117.68（元）

二、如有时间多余，则可处理《课课练》 P101“例题推荐”3

三、作业：《教学与测试》 P70 第7题

《课课练》 “例题推荐” P1001，2P1017，8

第13篇：人教版高中数学教案：第2章：函数,教案,课时第 (30)

第三十一教时

教材：单元复习之二——续单元复习之一

目的：通处理一些未了的例题（《教学与测试》备用题），加深学生对概念的理解 过程：

1．某产品的总成本 y万元与产量 x台之间的函数关系式是 y300020x0.1x2 x(0,240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本的最低产量为多少？

解：25x300020x0.1x2即：x250x300

00∴x≥150(x≤120舍去)即：最低产量为150台2．已知函数 f(x)ax2

a2

x2ba

31 当x(2，6)时，其值为正；x(,2)(6,)时，其值为负，求a, b的值及f (x)的表达式2 设F(x)k

4

f(x)4(k1)x2(6k1)，k为何值时，函数F (x)的值恒为负值

解：1 由已知 f(2)4a2a22ba300

解得：32a8a2

0 （a

∴a =  4从而 b =  8∴f(x)4x216x48

2 F(x)k4

(4x216x48)4(k1)x2(6k1)kx24x2欲 F(x)0则 

k0168k0得k

3．已知 a >0，且a

3x

a

3x

52，求 a x

的值。

解：设taxax则a3xa3x(axax)(a2xaxaxa2x)t(t23)52∴t33t520(t4)(t24t13)0∵t24t13(t2)290∴t = 4即 ax

a

x

4∴(ax)2

4ax

10∴ax

22

11

4．已知 a >0，a  1，x12

(an

an)2 , 求 (xx21)n的值。

112211

解：x2

11(anan）211(anan

2)11(anan)244

4111(a1)(xx2

1)n

[1n11n

a2(aan)2(anan)]1

a

(0a1)

5．已知nN*，f(n)n0.9n 比较 f (n) 与 f (n+1) 大小，并求 f (n)的最大值。 解：f(n1)f(n)(n1)0.9n1n0.9n0.9n(0.9n0.9n)

9n

0.9n10

当1n9时，f(n1)f(n)

∵0.9n0∴当n9时，f(n1)f(n)即f(10)f(9)

当n9时，f(n1)f(n)综上：f (0) f (11) >f(12) >„„∴ 当 n = 9 或 n = 10时，f (n)最大，最大值为 f (9) = 9×0.9 9

6．已知 9x4y1，求 3x122y1的最大值。

解：∵

3x122y113x1(19x

)1(3x1253223)9∴当3x1 即 x =  1时，3x122y153有最大值 9

7．画出函数 y|(12)|x|12|的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程 |(1)|x|1

22|k无解？有一解？有两解？ 解：当 k1

时，无解。1

2当 k

时，方程有唯一解 (x = 0) 。 当 k = 0时，方程有两解 (x =±1) 。

当 0k

时，方程有四个不同解。 作业：《课课练》P76—77“例题推荐”

1、2练习：

4、

5、

6、

7、8

第14篇：高一数学教案：函数的概念和图象教案

【摘要】欢迎来到查字典数学网高一数学教案栏目，教案逻辑思路清晰，符合认识规律,培养学生自主学习习惯和能力。因此小编在此为您编辑了此文：高一数学教案：函数的概念和图象教案希望能为您的提供到帮助。本文题目：高一数学教案：函数的概念和图象教案第1课时 函数的概念和图象银河学校 张西元教学目标：使学生理解函数的概念，明确决定函数的三个要素，学会求某些函数的定义域，掌握判定两个函数是否相同的方法;使学生理解静与动的辩证关系.教学重点：函数的概念，函数定义域的求法.教学难点：函数概念的理解.教学过程：Ⅰ.课题导入[师]在初中，我们已经学习了函数的概念，请同学们回忆一下，它是怎样表述的?(几位学生试着表述，之后，教师将学生的回答梳理，再表述或者启示学生将表述补充完整再条理表述).设在一个变化的过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有惟一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量.[师]我们学习了函数的概念，并且具体研究了正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数，请同学们思考下面两个问题：问题一：y=1(xR)是函数吗?问题二：y=x与y=x2x 是同一个函数吗?(学生思考，很难回答)[师]显然，仅用上述函数概念很难回答这些问题，因此，需要从新的高度来认识函数概念(板书课题).Ⅱ.讲授新课[师]下面我们先看两个非空集合A、B的元素之间的一些对应关系的例子.在(1)中，对应关系是乘2，即对于集合A中的每一个数n，集合B中都有一个数2n和它对应.在(2)中，对应关系是求平方，即对于集合A中的每一个数m，集合B中都有一个平方数m2和它对应.在(3)中，对应关系是求倒数，即对于集合A中的每一个数x，集合B中都有一个数 1x 和它对应.请同学们观察3个对应，它们分别是怎样形式的对应呢?[生]一对

一、二对

一、一对一.[师]这3个对应的共同特点是什么呢?[生甲]对于集合A中的任意一个数，按照某种对应关系，集合B中都有惟一的数和它对应.[师]生甲回答的很好，不但找到了3个对应的共同特点，还特别强调了对应关系，事实上，一个集合中的数与另一集合中的数的对应是按照一定的关系对应的，这是不能忽略的.实际上，函数就是从自变量x的集合到函数值y的集合的一种对应关系.现在我们把函数的概念进一步叙述如下：(板书)设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f︰AB为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，xA其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y(或f(x))值叫做函数值，函数值的集合{y|y=f(x)，xA}叫函数的值域.一次函数f(x)=ax+b(a0)的定义域是R，值域也是R.对于R中的任意一个数x，在R中都有一个数f(x)=ax+b(a0)和它对应.反比例函数f(x)=kx (k0)的定义域是A={x|x0}，值域是B={f(x)|f(x)0}，对于A中的任意一个实数x，在B中都有一个实数f(x)= kx (k0)和它对应.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的定义域是R，值域是当a0时B={f(x)|f(x)4ac-b24a };当a0时，B={f(x)|f(x)4ac-b24a }，它使得R中的任意一个数x与B中的数f(x)=ax2+bx+c(a0)对应.函数概念用集合、对应的语言叙述后，我们就很容易回答前面所提出的两个问题.y=1(xR)是函数，因为对于实数集R中的任何一个数x，按照对应关系函数值是1，在R中y都有惟一确定的值1与它对应，所以说y是x的函数.Y=x与y=x2x 不是同一个函数，因为尽管它们的对应关系一样，但y=x的定义域是R，而y=x2x 的定义域是{x|x0}.所以y=x与y=x2x 不是同一个函数.[师]理解函数的定义，我们应该注意些什么呢?(教师提出问题，启发、引导学生思考、讨论，并和学生一起归纳、总结)注意：①函数是非空数集到非空数集上的一种对应.②符号f:AB表示A到B的一个函数，它有三个要素;定义域、值域、对应关系，三者缺一不可.③集合A中数的任意性，集合B中数的惟一性.④f表示对应关系，在不同的函数中，f的具体含义不一样.⑤f(x)是一个符号，绝对不能理解为f与x的乘积.[师]在研究函数时，除用符号f(x)表示函数外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示Ⅲ.例题分析[例1]求下列函数的定义域.(1)f(x)=1x-2 (2)f(x)=3x+2 (3)f(x)=x+1 +12-x分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域.那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的集合.解：(1)x-20，即x2时，1x-2 有意义这个函数的定义域是{x|x2}(2)3x+20，即x-23 时3x+2 有意义函数y=3x+2 的定义域是[-23 ，+)(3) x+10 x2这个函数的定义域是{x|x{x|x2}=[-1，2)(2，+).注意：函数的定义域可用三种方法表示：不等式、集合、区间.从上例可以看出，当确定用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R;(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合;(3)如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合;(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集);(5)如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.例如：一矩形的宽为x m，长是宽的2倍，其面积为y=2x2，此函数定义域为x0而不是全体实数.由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定.[师]自变量x在定义域中任取一个确定的值a时，对应的函数值用符号f(a)来表示.例如，函数f(x)=x2+3x+1，当x=2时的函数值是f(2)=22+32+1=11注意：f(a)是常量，f(x)是变量 ，f(a)是函数f(x)中当自变量x=a时的函数值.下面我们来看求函数式的值应该怎样进行呢?[生甲]求函数式的值，严格地说是求函数式中自变量x为某一确定的值时函数式的值，因此，求函数式的值，只要把函数式中的x换为相应确定的数(或字母，或式子)进行计算即可.[师]回答正确，不过要准确地求出函数式的值，计算时万万不可粗心大意噢![生乙]判定两个函数是否相同，就看其定义域或对应关系是否完全一致，完全一致时，这两个函数就相同;不完全一致时，这两个函数就不同.[师]生乙的回答完整吗?[生]完整!(课本上就是如生乙所述那样写的).[师]大家说，判定两个函数是否相同的依据是什么?[生]函数的定义.[师]函数的定义有三个要素：定义域、值域、对应关系，我们判定两个函数是否相同为什么只看两个要素：定义域和对应关系，而不看值域呢?(学生窃窃私语：是啊，函数的三个要素不是缺一不可吗?怎不看值域呢?)(无人回答)[师]同学们预习时还是欠仔细，欠思考!我们做事情，看问题都要多问几个为什么!函数的值域是由什么决定的，不就是由函数的定义域与对应关系决定的吗!关注了函数的定义域与对应关系，三者就全看了!(生恍然大悟，我们怎么就没想到呢?)[例2]求下列函数的值域(1)y=1-2x (xR) (2)y=|x|-1 x{-2，-1，0，1，2}(3)y=x2+4x+3 (-31)分析：求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域.对于(1)(2)可用直接法根据它们的定义域及对应法则得到(1)(2)的值域.对于(3)可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域，即图象法.解：(1)yR(2)y{1，0，-1}(3)画出y=x2+4x+3(-31)的图象，如图所示，当x[-3，1]时，得y[-1，8]Ⅳ.课堂练习课本P24练习17.Ⅴ.课时小结本节课我们学习了函数的定义(包括定义域、值域的概念)、区间的概念及求函数定义域的方法.学习函数定义应注意的问题及求定义域时的各种情形应该予以重视.(本小结的内容可由学生自己来归纳)Ⅵ.课后作业课本P28，习题

1、2.【总结】2013年查字典数学网为小编在此为您收集了此文章高一数学教案：函数的概念和图象教案，今后还会发布更多更好的文章希望对大家有所帮助，祝您在查字典数学网学习愉快!

第15篇：高考一轮复习数学教案：2.10 函数的最值

2.10 函数的最值

●知识梳理

求函数最值的常用方法有：

（1）配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值；

2（2）判别式法：若函数y=f（x）可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a（y）x+ b（y）x+c（y）=0，则在a（y）≠0时，由于x、y为实数，故必须有Δ=b2（y）－4a（y）· c（y）≥0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x值.（3）不等式法：利用平均值不等式取等号的条件确定函数的最值.（4）换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.（5）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出函数的最值.（6）函数的单调性法.●点击双基

1.（2003年春季北京）函数f（x）=455411x(1x)的最大值是

3443A.B.

1243 ）2+

C.

3

434

D.

解析：∵1－x（1－x）=1－x+x2=（x－11x(1x)43≥，

∴f（x）=≤

，f（x）max=.答案：D 222.若x+y=1，则3x－4y的最大值为

A.3

B.4

C.5

22解析：∵x+y=1，

∴可设x=cosα，y=sinα.∴3x－4y=3cosα－4sinα=5sin（α+）≤5.答案：C 3.（2004年春季安徽）函数y=x－x（x≥0）的最大值为___________________.答案：14

D.6

4.设x＞0，y＞0且3x+2y=12，则xy的最大值是___________.解析：∵x＞0，y＞0， ∴3x·2y≤（3x2y2

22）＝6xy≤6（当且仅当3x＝2y时等号成立）.答案：6 5.函数y=|x－1|+|x－3|的最小值是______________.

解析：在数轴上，设

1、

3、x对应的点分别是A、B、P，∴y=|x－1|+|x－3|=|PA|+|PB|≥|AB|=2.答案：2 ●典例剖析

【例1】 （2004年上海，18）某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m，问x、y分别为多少时用料最省？（精确到0.001 m）

2yx

解：由题意得x·y+8x212·x·

x2=8，

∴y=4=8－x（0＜x＜4x4x2）.于是，框架用料长度为 L=2x+2y+2（2x2）=（

32+2）x+

16x≥216(322)=4642.当且仅当（32+2）x=

16x，即x=

3242=8－42时，等号成立.此时，x≈2.343，y=22≈2.828.故当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省.

1t11(0t20,tN),【例2】 设f（t）=2

t41(20t40,tN),g（t）=－13t+433（0≤t≤40，t∈N*）.求S=f（t）g（t）的最大值.解：当0≤t＜20时，S=（

12t+11）·（－

13t+

433）=－（t+22）（t－43）.∵

6143222=10.5，又t∈N，∴t=10或11时，Smax=176.当20≤t≤40时，S=（－t+41）（－综上所述，S的最大值是176.【例3】 设0＜a＜1，x和y满足logax＋3logxa－logxy＝3，如果y有最大值时a和x的值.

2413t+

433）=（t－41）（t－43）.∴t=20时，Smax=161.

31，求这

解：原式可化为logax＋

23logax－

loglogaayx34＝3，即logay＝loga2x－3logax＋3＝（logax－

32）＋34，知当logax＝32时，logay有最小值

3.∵0＜a＜1，∴此时y有最大值a4.3根据题意有a4＝

24a＝

143.这时x＝a2＝（

143）2＝

18.评述：本题是已知函数的最值，求函数式中的字母参数的值.这类问题，也是常见题型之一.深化拓展

已知f（x）=2+log3x（1≤x≤9），求函数g（x）=［f（x）］2+f（x2）的最大值与最小值.解：由f（x）的定义域为［1，9］可得g（x）的定义域为［1，3］.又g（x）=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x+3）2－3， ∵1≤x≤3，∴0≤log3x≤1.∴当x=1时，g（x）有最小值6； 当x=3时，g（x）有最大值13.答案：当x=1时，g（x）有最小值6； 当x=3时，g（x）有最大值13.●闯关训练 夯实基础

1.若奇函数f（x）在［a，b］上是增函数，且最小值是1，则f（x）在［－b，－a］上是

A.增函数且最小值是－1

B.增函数且最大值是－1 C.减函数且最小值是－1

D.减函数且最大值是－1 解析：f（a）=1，∴f（－a）=－1.答案：B 2.（2003年北京）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形.要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为______________.解析：设正方形周长为x，则圆的周长为1－x，半径r=x4x21x2π.∴S正=（）=216，S圆=π·

2(1x)4π22.∴S正+S圆=∴当x=答案：4(π4)x8x416π（0＜x＜1）.π44时有最小值.

π43.（2005年北京海淀模拟题）设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为F函数.给出下列函数：

①f（x）=0；②f（x）=x；③f（x）=2（sinx+cosx）；④f（x）=

2

xx2；⑤f（x）

x1是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x

1、x2，均有|f（x1）－f（x2）|≤2|x1－x2|.其中是F函数的序号为___________________.答案：①④⑤

4.函数y=3x12x（x≥0）的值域是______________.

3y2y1解析：由y=123x12x（x≥0），得x=≥0.∴－＜y≤3.12答案：（－，3］

5.求函数y=|x|1x2的最值.解：三角代换.设x=cosθ，θ∈［0，

π2］，

12（f（x）是偶函数，不必取θ∈［0，π］）则y=培养能力

6.设函数f（x）=x2+x+整数？

解：∵f（x）=（x+自然数n＞－

2sin2θ.∴ymax=

12，ymin=0.

12的定义域是［n，n+1］（n∈N），问f（x）的值域中有多少个

12）+

214的图象是以（－

12，

14）为顶点，开口向上的抛物线，而

1212，∴f（x）的值域是［f（n），f（n+1）］，即［n2+n+

2

2

，n2+3n+

2

52］.其中最小的整数是n+n+1，最大的整数是n+3n+2，共有（n+3n+2）－（n+n+1）+1=2n+2个整数.7.已知函数g（x）=lg［a（a+1）x－（3a+1）x+3］的值域是R，求实数a的取值范围.解：由题意知，应使h（x）=a（a+1）x2－（3a+1）x+3能取到一切正实数.①a=0时，h（x）=－x+3，显然能取到一切正实数； ②a=－1时，h（x）=2x+3，也能取到一切正实数；

③a≠0且a≠－1时，∵h（x）=a（a+1）x2－（3a+1）x+3是二次函数， ∴必须有a(a1)0,Δ(3a1)22

12a(a1)0.

解得3233≤a＜－1或0＜a≤

3233.综上所述，a的取值范围是 ［3233，－1］∪［0，

3233］.探究创新

8.已知函数f（x）=x（1－x2），x∈R.（1）当x＞0时，求f（x）的最大值；

（2）当x＞0时，指出f（x）的单调性，并用定义证明； （3）试作出函数f（x）（x∈R）的简图.

y 1-1O1x 122x2解：（1）∵x＞0，欲求f（x）的最大值，必有1－x2＞0， y=x（1－x）=2332222212·2x（1－x）（1－x）≤

222

·［

(1x)(1x)322］=

3427，

∴y≤=239.

3333当且仅当2x=1－x，即x=2

时，取“=”，即f（x）max=f（

33）=

33239.（2）由（1）知，当x∈（0，单调递减.设x2＞x1＞0，则

］时，f（x）单调递增，x∈［，+∞）时，f（x）f（x2）－f（x1）=－x2+x2－（－x1+x1） =（x2－x1）－（x2－x1）（x22+x1x2+x12） =（x2－x1）［1－（x22+x1x2+x12）］.当0＜x1＜x2≤在（0，当［3333333333时，x2－x1＞0，1－（x2+x1x2+x1）＞0.∴f（x2）＞f（x1）.∴f（x）

22］上递增.≤x1＜x2时，x2－x1＞0，1－（x22+x1x2+x12）＜0，∴f（x2）＜f（x1）.∴f（x）在，+∞）上递减.（3）注：图象过点（－1，0）、（0，0）、（1，0），关于原点对称.

y 1 -1O33x 评述：第（1）题也可用导数解决.∵f（x）=1－3x2， 令f（x）=0，∴x=±

33.

又x＞0，∴x=33.

33通过检验单调性知，当x=上.

时，f（x）取得最大值，其最大值为

239，以下解法同●思悟小结

1.求函数的最值与求函数的值域是同一类问题，都必须熟练掌握本文开头列出的六种方法.2.利用判别式法及不等式法求最值时，都需检验等号能否取到.另外，利用判别式法解决问题时，一定要考虑二次项系数可否为零.当二次项系数为零时，不能用判别式法解决问题.●教师下载中心 教学点睛

利用导数先求极大值和极小值，然后确定最值，也是求函数最值的常用方法.复习本节时应适当渗透导数的有关知识.拓展题例

【例1】 已知二次函数y=f（x）的最大值等于13，且f（3）=f（－1）=5，求f（x）的解析式.解：∵f（3）=f（－1），

∴抛物线y=f（x）有对称轴x=1.故可设f（x）=a（x－1）2+13，将点（3，5）代入，求得a=－2.∴f（x）=－2（x－1）2+13=－2x2+4x+11.【例2】 已知函数f（x）的定义域为R，且对一切x∈R，都有f（x+2）=f（2－x），f（x+7）=f（7－x）.（1）若f（5）=9，求f（－5）的值；

（2）已知x∈［2，7］时，f（x）=（x－2）2，求当x∈［16，20］时，函数g（x）=2x－f（x）的表达式，并求出g（x）的最大值和最小值.解：（1）由f（x+2）=f（2－x），f（x+7）=f（7－x）可以发现函数f（x）的图象关于直线x=2，x=7对称，且f（x）=f［（x－2）+2］=f［2－（x－2）］=f（4－x）=f［7－（3+x）］= f［7+（3+x）］=f（10+x）.∴f（x）是以10为周期的周期函数.∴f（－5）=f（－5+10）=f（5）=9.

2x[16,17],(x12)（2）根据周期性、图象的对称性，结合图象可得到f（x）=

2x(17,20].(x22)2x[16,17],2x(x12)∴g（x）=

2x(17,20].2x(x22)∵x∈［16，17］时，g（x）的最大值为16，最小值为9；x∈（17，20］时，g（x）＞g（17）=9，g（x）的最大值为g（20）=36，

∴［g（x）］max=36，［g（x）］min=9.

第16篇：人教版高中数学教案：第2章：函数,教案,课时第 (28)

第二十九教时

教材： 函数的应用举例三

目的： 结合物理等学科，利用构建数学模型，解决问题。 过程：

例

一、（课本 P91例三）

设海拔 x m处的大气压强是 y Pa，y与 x 之间的函数关系式是 ycekx，其中 c，k为常量，已知某地某天在海平面的大气压为Pa，1000 m高空的大气压为0.90105Pa，求：600 m高空的大气压强。（结果保留3个有效数字）

解：将 x = 0 , y =1.01105；x = 1000 , y = 代入 ycekx得：

1.01105cek0c1.01105(1)

0.90105cek10000.90105ce

1000k

(2)将 (1) 代入 (2) 得：0.901051.01105e1000kk

11000ln

0.90

1.01

由计算器得：k1.15104∴y1.01105e1.15104

将 x = 600 代入,得：y1.01105e1.15104

600

由计算器得：y1.01105e1.15104

例

二、（《课课练》 P102“例题推荐” 1）

一根均匀的轻质弹簧，已知在 600 N的拉力范围内，其长度与所受拉力成一次函数关系，现测得当它在 100 N的拉力作用下，长度为 0.55 m ,在 300 N拉力作用下长度为 0.65，那么弹簧在不受拉力作用时，其自然长度是多少？

解：设拉力是 x N (0≤x≤600) 时，弹簧的长度为 y m

设：y = k x + b由题设：0.55100kb0.65300kbk0.0005



b0.50

∴所求函数关系是：y = 0.0005 x + 0.50

∴当 x = 0时，y = 0.50 , 即不受拉力作用时，弹簧自然长度为 0.50 m。

例

三、（《课课练》“例题推荐”2）

一物体加热到 T0C 时，移入室内，室温保持常温 aC，这物体逐渐冷却，经过 t 分后，物体的温度是 TC，那么 T 与 t 之间的关系有下列形式Ta(Toa)ekt（这里 e =2.71828，k为常数），现有加热到 100C的物体，移入常温为 20C的室内，经过 20分后，物体的温度是 80C，求：

1．经过 20分后，物体的温度是多少度?（精确到 1C ） 2．经过多少分（精确到 1分），物体的温度是 30C？

解：将 T0 = 100 , T = 80 , a = 20 , t = 10代入关系式Ta(Toa)ekt得：8020(10020)e10k化简得：e10k0.75

两边取自然对数，并计算得：10kln0.75

∴ k = 0.0288

从而可得：T20(10020)e0.0288t2080e0.0288t(*)

1．把 t = 20代入(*)T20(10020)e0.0288202080e0.576

由计算器得：T = 64.97 C

即经过 20分后，物体的温度约为65度。

2．把 T = 30代入(*)3020(10020)e0.028t8

则e0.0288t0.125两边取自然对数，并计算得：t72.2即物体冷却到30C约经过72分钟。

二、作业：《课课练》P103—104“例题推荐” 3“练习题”5，6，7，8

第17篇：人教版高中数学教案：第2章：函数,教案,课时第 (8)

第八教时

教材：函数的值域

目的：要求学生掌握利用二次函数、观察法、换元法、判别式法求函数的值域。过程：

一、复习函数的近代定义、定义域的概念及其求法。提出课题：函数的值域

二、新授：

1．直接法（观察法）：

例

一、求下列函数的值域：1 yx

x1

2 f(x)5x

解：1 yxx1x11x1111

x1∵x1

0∴y1即函数yx

x1

的值域是 { y| yR且y1}

（此法亦称部分分式法）

2 f(x)5x∵x[0,)∴f(x)[5,)即函数y =f(x)5x的值域是 { y| y≥5} 2．二次函数法：

例

二、1若x为实数，求 y=x2+2x+3的值域解：由题设 x≥0y=x2+2x+3=(x+1)2+2当 x=0 时 ymin=3函数无最大值

∴函数 y=x2+2x+3的值域是{ y| y≥3}2求函数 y24xx2的值域

解：由 4xx2≥0 得 0≤x≤4

在此区间内(4xx2)max=4(4xx2)min=0

∴函数y24xx2的值域是{ y| 0≤y≤2}

3．判别式法（△法）

例

三、求函数yx25x6

x2x6

的值域

解一：去分母得(y1)x2+(y+5)x6y6=0(*)

当 y1时∵xR∴△=(y+5)2+4(y1)×6(y+1)≥0

由此得 (5y+1)2≥0

15

检验 y1

5

时x2（代入(*)求根）2(6

5

)

∵2定义域 { x| x2且 x3}∴y1

5再检验 y=1 代入(*)求得 x=2∴y1

综上所述，函数yx25x6

1x2x6

的值域为 { y| y1且 y5}

解二：把已知函数化为函数y

(x2)(x3)(x2)(x3)x3x316

x3

(x2)

由此可得 y1

∵x=2时y15即 y1

5∴函数yx25x6

1x2x6

的值域为 { y| y1且 y5}

4．换元法

例

四、求函数y2x4x的值域

解：设 tx则 t≥0x=1t2

代入得 y=f (t )=2×(1t2)+4t=2t2+4t+2=2(t1)2+4∵t≥0∴y≤4

三、小结：

1．直接法：应注意基本初等函数的值域 2．二次函数法：应特别当心“定义域” 3．△法：须检验

4．换元法：注意“新元”的取值范围

四、练习与作业：

《课课练》P51—54中有关值域部分《教学与测试》P41—42中有关值域部分

第18篇：人教版高中数学教案：第2章：函数,教案,课时第 (23)

第二十四教时

教材： 对数函数的定义、图象、性质

目的：要求学生了解对数函数的定义、图象及其性质以及它与指数函数间的关

系，会求对数函数的定义域。 过程：

一、复习： 指数函数的定义、图象、性质

二、从实例导入：回忆学习指数函数时用的实例。

细胞分裂问题：细胞的个数是分裂次数的指数函数y2x反之，细胞分裂的次数是细胞个数的函数

由对数定义：xlog2y即：次数y是个数x的函数 ylog2x

定义：函数 ylogax(a0且a1)叫做对数函数；它是指数函数yax

(a0且a1)的反函数。

对数函数ylogax(a0且a1)的定义域为(0,)，值域为(,)。例

一、（P87例一）略

x

x21

例

二、求函数y1

5

2和函数y12

2(x0)的反函数。

x

解：11

y2∴f1(x)log1(5x2)(x2)

5x2

1

21

2



y2∴f1(x)2)(2x5

1(x)

2三、对数函数的图象

由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于yx的对称图形，即可获得。同样：也分a1与0a1两种情况归纳

以ylog2x与ylog1x为例

y

y

y=x y=x

1 y=log2x

1 o

x

o

x

y=log1x2

例

三、作出下列对数函数的图象：

1．ylog2x2．ylog1(x2)

y y

1 1

1 o

x

o

x

四、对数函数的性质

由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质。见P87 表 （从略） 定义域：(0,)值域：R过点 (1,0)即当x1时y0 当a1时 单调递增当0a1时单调递减

由图：a1时x(0,1)时 y0x(1,)时 y00a1时 x(0,1)时y0x(1,)时y0 例

四、例五（见P88例

二、例三）

五、小结：对数函数定义、图象、性质

六、作业： P89练习

2、3习题2．8

1、

2、3

第19篇：人教版高中数学教案：第2章：函数,教案,课时第 (21)

第二十二教时

教材： 换底公式

目的：要求学生掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题。 过程：

一、复习：对数的运算法则

导入新课：对数的运算的前提条件是“同底”，如果底不同怎么办？

二、换底公式：loglogmN

aN

log( a >0 ,a  1 ) ma

证：设 log a N = x ,则a x

= N

两边取以m为底的对数：logmaxlogmNxlogmalogmN从而得：x

logmNlog∴ loglogmN

aN malogma

两个较为常用的推论：

1 loglognn

abba12 logambm

logab（ a, b >0且均不为1）证：1 logablogba

lgblga

lgalgb

1 n

2 lognamb

lgbnlga

m

lgbmlgan

mlogab

三、例

一、计算：1 51log0.232 log43log1 2

解：1 原式 =

55log0.23



55

5log5

115 3

3

2 原式 = 112log5153

232log324log2244

2例

二、已知 log 18 9 = a ,18 b = 5 ,求log 3645 （用 a, b 表示）

解：∵ log 18 9 = a∴log18

182

1log182a∴log182 = 1  a∵ 18 b= 5∴ log 18 5 = b∴log9log185ab

3645

log1845log18log361log

181822a

例

三、设3x4y6zt1求证：111

zx2y

证：∵3x4y6zt1∴ x

lgtlg3，ylgtlgt

lg4，z

lg6

∴ 1z1xlg6lg3lg2lg41

lgtlgtlgt2lgt

2y

例

四、若log8 3 = p ,log3 5 = q,求 lg 5

解：∵ log8 3 = p∴log233plg33plg23p(1lg5)又∵ loglg5

35

lg3

q∴ lg5qlg33pq(1lg5)∴ (13pq)lg53pq∴ lg53pq

13pq

以下例题备用：

例

五、计算：(log43log83)(log32log92)log1

2

5解：原式(log223log233)(log32log322)log12

42

(1115

2log233log23)(log322log32)4

53556log32log55

232444

2例

六、若 log34log48log8mlog42求m解：由题意：

lg4lg81lg3lg4lgmlg81

2

∴lgm2lg3∴m

四、小结：换底公式及其推论

五、作业：

1．求下列各式的值：

1 log9

2 2533561

log651log871()4(10)

13 (log25log40.2)(log52log250.5)()4

254 log932(log23log49log827log1681log32243)()12

72．已知 2lg(3x2)lgxlg(3x2)求log222 的值。()4

3(1m)) 3．已知lg 5 = m ,lg 3 = n用 m , n表示log 30 8(1m

1a4．已知log2求log 12 3(a) a

5．设a , b , c 为不等于 1 的正数，若axbycz 且

求证：abc = 1

6．求值：lg5log

7．求值：2log491110xyz20(lg2)23log321

3)3log(2(743)102lg2( 189)

第20篇：高等数学教案ch 8 多元函数微分法及其应用

§8 4 多元复合函数的求导法则

设zf(u v) 而u(t) v(t) 如何求dz？

dt

设zf(u v) 而u(x y) v(x y) 如何求z和z？

xy

1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形

定理1 如果函数u(t)及v(t)都在点t可导 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf[(t) (t)]在点t可导 且有

dzzduzdv

dtudtvdt

简要证明1 因为zf(u v)具有连续的偏导数 所以它是可微的 即有

dzzduzdv

uv又因为u(t)及v(t)都可导 因而可微 即有

dududt dvdvdt

dtdt代入上式得

dzzdudtzdvdt(zduzdv)dt

udtvdtudtvdt从而

dzzduzdv

dtudtvdt

简要证明2 当t取得增量t时 u、v及z相应地也取得增量u、v及z  由zf(u v)、u(t)及v(t)的可微性 有

zzuzvo()z[duto(t)]z[dvto(t)]o()

uvudtvdt

(zduzdv)t(zz)o(t)o()

udtvdtuvo(t)o()

zzduzdv(zz)

tudtvdtuvtt令t0 上式两边取极限 即得

注limdzzduzdv

dtudtvdtlimt0o()to()t0(u)2(v)2t0(du2dv)()20dtdt

推广 设zf (u v w) u(t) v(t) w(t) 则zf[(t) (t) (t)]对t 的导数为

dzzduzdvzdw

dtudtvdtwdt上述dz称为全导数

dt

2 复合函数的中间变量均为多元函数的情形

定理2 如果函数u(x y) v(x y)都在点(x y)具有对x及y的偏导数 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf [(x y) (x y)]在点(x y)的两个偏导数存在 且有

zzuzv zzuzv

xuxvxyuyvy

推广 设zf(u v w ) u(x y) v(x y) w(x y) 则

zzuzvzw

zzuzvzw 

xuxvxwxyuyvywy

讨论

(1)设zf(u v) u(x y) v(y) 则z？

xzzuzdv

提示 zzu 

z？ yxuxyuyvdy

(2)设zf(u x y) 且u(x y) 则z？

xz？ y

fufzfuf

提示 z 

xuxxyuyy这里z与xf是不同的 z是把复合函数zf[(x y) x y]中的y看作不变而对x的xx偏导数

ffz是把f(u x y)中的u及y看作不变而 对x的偏导数 与也朋类似

yyx的区别

3．复合函数的中间变量既有一元函数 又有多元函数的情形

定理3 如果函数u(x y)在点(x y)具有对x及对y的偏导数 函数v(y)在点y可导 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf[(x y) (y)]在点(x y)的两个偏导数存在 且有

zzuzdv

zzu 

xuxyuyvdy

例1 设zeusin v uxy vxy 求z和

xzy

解 zzuzv

xuxvx

eusin vyeucos v1

ex y[y sin(xy)cos(xy)]

zzuzv

yuyvy

eusin vxeucos v1

exy[x sin(xy)cos(xy)]

例2 设uf(x,y,z)exff

解 uz

xxzx22y2z2 而zx2siny 求u和

xuy

2xexy2z22zex2y2z22xsiny 

2 2x(12x2siny)ex2y2x4si2ny

uffz yyzy

2 2yexy2z22zex2y2z2x2cosy

2(yx4sinycosy)ex2y2x4si2ny

dt

例3 设zuvsin t  而uet vcos t 求全导数dz

解 dzzduzdvz

dtudtvdtt

vetu(sin t)cos t

etcos te tsin tcos t

et(cos tsin t)cos t 

例4 设wf(xyz xyz) f具有二阶连续偏导数

解 令uxyz vxyz  则wf(u v)

引入记号 f1xuxf(u,v)uvx求wx2w及xz

 f12f(u,v)uv等

f22 同理有f2f11ff

wuvf1yzf2

ff2w(f1yzf2)1yf2yz2xzzzz

xyf12yf2yzf21xy2zf22

f11y(xz)f12yf2xy2zf22

f1

1注 f1f1uf1vf2f2uf2vxyf12 xyf22f11f21zuzvzzuzvz

例5 设uf(x y)的所有二阶偏导数连续 把下列表达式转换成极坐标系中的形式

(1)(u2u)()2 xy22u (2)u

22xy解 由直角坐标与极坐标间的关系式得

uf(x y)f(cosθ sinθ)F( θ)

其中xcosθ ysinθ x2y2 arctan应用复合函数求导法则 得

uuuuuysinuxuycosxxx2uucosuuuuyuxsinyyy2yx





两式平方后相加 得

(u)2(u)2(u)212(u)2

xy再求二阶偏导数 得

2uuu()()

2 xxxxxuusinuusinsin(cos)cos(cos)



22u2usincos2usin2u2sincosusin2

2cos2 222同理可得

22u2u2usincos2ucos2u2sincosucos 2

22sin2y222两式相加 得

22u2u112u1u2u

u[()] 2222222xy

全微分形式不变性

设zf(u v)具有连续偏导数 则有全微分

dzzduzdv

uv如果zf(u v)具有连续偏导数 而u(x y) v(x y)也具有连续偏导数 则

zz

dzdxdy

xyzuzvzuzv)dx()dy

(uxyvxuyyvyzuuzvv

(dxdy)(dxdy)

uxvx

zduzdv

uv由此可见 无论z 是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数 它的全微分形式是一样的 这个性质叫做全微分形式不变性

例6 设ze usin v ux y vxy 利用全微分形式不变性求全微分

解 dzzduzdv e usin vdu e ucos v dv uv

 e usin v(y dxx dy ) e ucos v(dxdy)

( ye usin v e ucos v)dx(xe usin v e ucos v )dy

e xy [y sin(xy)cos(xy)]dx e xy [x sin(xy)cos(xy)]dy 

§8 5

隐函数的求导法则

一、一个方程的情形

隐函数存在定理1

设函数F(x y)在点P(x0 y0)的某一邻域内具有连续偏导数 F(x0 y0)0 Fy(x0 y0)0 则方程F(x y)0在点(x0 y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数yf(x) 它满足条件y0f(x0) 并有

dydxFxFy



求导公式证明 将yf(x)代入F(x y)0 得恒等式 F(x f(x))0

等式两边对x求导得 FFdy0

xydx由于F y连续 且Fy(x0 y0)0 所以存在(x0 y0)的一个邻域 在这个邻域同Fy 0 于是得 dydxFxFy

例1 验证方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x) 并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值

解 设F(x y)x2y21 则Fx2x Fy2y F(0 1)0 Fy(0 1)20 因此由定理1可知 方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x)

dydxFxFyxy dydxx00

d2ydx2yxyy2yx(y2x)yy2x2y3d2y13；

dx2y1

x0

隐函数存在定理还可以推广到多元函数 一个二元方程F(x y)0可以确定一个一元隐函数 一个三元方程F(x y z)0可以确定一个二元隐函数

隐函数存在定理2

设函数F(x y z)在点P(x0 y0 z0)的某一邻域内具有连续的偏导数 且F(x0 y0 z0)0 Fz(x0 y0 z0)0  则方程F(x y z)0在点(x0 y0 z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数zf(x y) 它满足条件z0f(x0 y0) 并有

FF

zx zy



xFzyFz

公式的证明 将zf(x y)代入F(x y z)0 得F(x y f(x y))0

将上式两端分别对x和y求导 得

FxFzz0 FyFzz0 xy因为F z连续且F z(x0 y0 z0)0 所以存在点(x0 y0 z0)的一个邻域 使F z0 于是得

FF

zx zy

xFzyFz

例2.设xyz4z0 22

2解

设F(x y z) x2y2z24z 则Fx2x Fy2z4

Fz2xx

xxFz2z42z22z求2x

zx2(2x)xzx(2x)x()22x2z(2x)x

(2z)2(2z)2(2z)

3二、方程组的情形

在一定条件下 由个方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0可以确定一对二元函数uu(x y) vv(x y) 例如方程xuyv0和yuxv1可以确定两个二元函数uyx2y2 vxx2y2

yx2y2xx 事实上

xuyv0 vuyuxu1uyy vyxx

2yxy2x2y

2如何根据原方程组求u v的偏导数？

隐函数存在定理

3 设F(x y u v)、G(x y u v)在点P(x0 y0 u0 v0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数 又F(x0 y0 u0 v0)0 G(x0 y0 u0 v0)0 且偏导数所组成的函数行列

F(F,G)u式：

JG(u,v)uFv Gv在点P(x0 y0 u0 v0)不等于零 则方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0在点P(x0 y0 u0 v0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数uu(x y) vv(x y) 它们满足条件u0u(x0 y0) v0v(x0 y0) 并有

(F,G)

u1xJ(x,v)FxFvGxGvFuFvGuGvFyFvGyGv(F,G)

v1xJ(u,x)FuFxGuGxFuFvGuGvFuFyGuGy

u1(F,G)yJ(y,v)FuFvGuGv

v1(F,G)yJ(u,y)FuFvGuGv

隐函数的偏导数: 设方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0确定一对具有连续偏导数的 二元函数uu(x y) vv(x y) 则

FFuFv0,uvxxx 偏导数u v由方程组确定 uvxxGv0.GxGuxxFFuFv0,uvyyyuv 偏导数 由方程组确定

uvyyGv0.GyGuyyv 例3 设xuyv0 yuxv1 求u v u和

xxyy 解 两个方程两边分别对x 求偏导 得关于u和v的方程组

xxuxuyv0xx uvvx0yxx

yvvyuxv当x2y2 0时 解之得uxu 

2222xxyxxy

两个方程两边分别对x 求偏导 得关于u和v的方程组

yyxuvyv0yy uvx0uyyyyuxuyvv当x2y2 0时 解之得uxv 

2222yxyyxy

另解 将两个方程的两边微分得

udxxduvdyydv0xduydvvdyudx

 即xdv0udyyduvdxyduxdvudyvdx

解之得 duxuyvx2y2dxxvyux2y2dy

dvyuxvx2y2dxxuyvx2y2dy

xuyvxvyu于是

u22 u22

xxyyxyyuxvxuyv

v22 v22 xxyyxy

例 设函数xx(u v) yy(u v)在点(u v)的某一领域内连续且有连续偏导数

又

(x,y)(u,v)0

xx(u,v)

(1)证明方程组

 yy(u,v)在点(x y u v)的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数uu(x y) vv(x y)

(2)求反函数uu(x y) vv(x y)对x y的偏导数

解 (1)将方程组改写成下面的形式

F(x,y,u,v)xx(u,v)0



G(x,y,u,v)yy(u,v)0则按假设

J(F,G)(u,v)(x,y)(u,v)0.由隐函数存在定理3 即得所要证的结论

(2)将方程组(7)所确定的反函数uu(x y)vv(x y)代入(7) 即得

xx[u(x,y),v(x,y)]



yy[u(x,y),v(x,y)]将上述恒等式两边分别对x求偏导数得

由于J0 故可解得

yy

u1 v1

xJvxJu1xuxvuxvxyuyv0uxvx

同理 可得

u1xyJv

v1xyJu §8 6

多元函数微分学的几何应用

一

空间曲线的切线与法平面

设空间曲线的参数方程为

x(t) y(t) z(t) 这里假定(t) (t) (t)都在[ ]上可导

在曲线上取对应于tt0的一点M0(x0 y0 z0)及对应于tt0t的邻近一点M(x0+x y0+y z0+z) 作曲线的割线MM0 其方程为

xx0xyy0yzz0z 当点M沿着趋于点M0时割线MM0的极限位置就是曲线在点M0处的切线 考虑

xx0yy0zz0 xyzttt当MM0 即t0时 得曲线在点M0处的切线方程为

xx0yy0zz0 (t0)(t0)(t0)

曲线的切向量 切线的方向向量称为曲线的切向量 向量

T((t0) (t0) (t0)) 就是曲线在点M0处的一个切向量

法平面 通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线在点M0 处的法平面 其法平面方程为

(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0

例1 求曲线xt yt2 zt3在点(1 1 1)处的切线及法平面方程

解

因为xt1 yt2t zt3t2 而点(1 1 1)所对应的参数t1 所以

T (1 2 3)

于是 切线方程为

y1z1

x1

123法平面方程为

(x1)2(y1)3(z1)0 即x2y3z6

讨论

1 若曲线的方程为

y(x) z(x)

问其切线和法平面方程是什么形式

提示 曲线方程可看作参数方程 xx y(x) z(x) 切向量为T(1 (x) (x))

2 若曲线的方程为

F(x y z)0 G(x y z)0

问其切线和法平面方程又是什么形式

提示 两方程确定了两个隐函数

y(x) z(x) 曲线的参数方程为

xx y(x) z(x) dydzFxFyFz0dydxdx由方程组可解得dydxdzGxGyGz0dxdx和dz

dx切向量为T(1, dydz, ) dxdxdydz2x2y2z0dxdx得dydz10dxdx

例2 求曲线x2y2z26 xyz0在点(1 2 1)处的切线及法平面方程 

解 为求切向量 将所给方程的两边对x求导数

解方程组得dydxzxdzxy  yzdxyzdydx0在点(1 2 1)处

 dz1

dx从而T (1 0 1)

所求切线方程为

y2z1

x1

101法平面方程为

(x1)0(y2)(z1)0 即xz0

二 曲面的切平面与法线

设曲面的方程为

F(x y z)0

M0(x0 y0 z0)是曲面上的一点

并设函数F(x y z)的偏导数在该点连续且不同时为零 在曲面上 通过点M0任意引一条曲线 假定曲线的参数方程式为

x(t) y(t) z(t) 

tt0对应于点M0(x0 y0 z0) 且(t0) (t0) (t0)不全为零 曲线在点的切向量为

T ((t0) (t0) (t0))

考虑曲面方程F (x y z)0两端在tt0的全导数

Fx(x0 y0 z0)(t0)Fy(x0 y0 z0)(t0)Fz(x0 y0 z0)(t0)0

引入向量

n(Fx(x0 y0 z0) Fy(x0 y0 z0) Fz(x0 y0 z0))

易见T与n是垂直的 因为曲线是曲面上通过点M0的任意一条曲线 它们在点M0的切线都与同一向量n垂直 所以曲面上通过点M0的一切曲线在点M0的切线都在同一个平面上 这个平面称为曲面在点M0的切平面 这切平面的方程式是

Fx(x0 y0 z0)(xx0)Fy(x0 y0 z0)(yy0)Fz(x0 y0 z0)(zz0)0

曲面的法线 通过点M0(x0 y0 z0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线 法线方程为

xx0Fx(x0, y0, z0)yy0Fy(x0, y0, z0)zz0Fz(x0, y0, z0)

曲面的法向量 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量 向量

n(Fx(x0 y0 z0) Fy(x0 y0 z0) Fz(x0 y0 z0)) 就是曲面在点M0处的一个法向量

例3 求球面x2y2z214在点(1 2 3)处的切平面及法线方程式

解

F(x y z) x2y2z214

Fx2x Fy2y  Fz2z 

Fx(1 2 3)2 Fy(1 2 3)4 Fz(1 2 3)6

法向量为n(2 4 6) 或n(1 2 3)

所求切平面方程为

2(x1)4(y2)6(z3)0 即x2y3z140

法线方程为x11y22z33

讨论 若曲面方程为zf(x y)  问曲面的切平面及法线方程式是什么形式

提示

此时F(x y z)f(x y)z 

n(fx(x0 y0) fy(x0 y0) 1)

例4 求旋转抛物面zx2y21在点(2 1 4)处的切平面及法线方程

解

f (x y)x2y21

n(fx fy 1)(2x 2y 1)

n|(2 1 4)(4 2 1)

所以在点(2 1 4)处的切平面方程为

4(x2)2(y1)(z4)0 即4x2yz60

y1z4法线方程为 x2

421 §8 7

方向导数与梯度

一、方向导数

现在我们来讨论函数zf(x y)在一点P沿某一方向的变化率问题

设l是xOy平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线 el(cos  cos )是与l同方向的单位向量 射线l的参数方程为

xx0t cos  yy0t cos  (t0)

设函数zf(x y)在点P0(x0 y0)的某一邻域U(P0)内有定义 P(x0t cos  y0t cos )为l上另一点 且PU(P0) 如果函数增量f(x0t cos  y0t cos )f(x0 y0)与P到P0的距离|PP0|t的比值

f(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)t

当P沿着l趋于P0(即tt0)时的极限存在

则称此极限为函数f(x y)在点P0沿方向l的方向导数 记作flfl(x0,y0) 即

lim(x0,y0)f(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)tt0

从方向导数的定义可知 方向导数

fl(x0,y0)就是函数f(x y)在点P0(x0 y0)处沿方向l的变化率

方向导数的计算

定理

如果函数zf(x y)在点P0(x0 y0)可微分 那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在 且有

fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos

其中cos  cos 是方向l 的方向余弦

简要证明 设xt cos  yt cos  则

f(x0tcos y0tcos)f(x0 y0)f x(x0 y0)tcosf y(x0 y0)tcoso(t)

所以

limf(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)t0tfx(x0,y0)cosfy(x0,y0)sin

这就证明了方向导数的存在 且其值为

fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos提示 f(x0x,y0y)f(x0,y0)fx(x0,y0)xfy(x0,y0)yo((x)2(y)2)

xt cos  yt cos  (x)2(y)2t

讨论 函数zf (x y)在点P 沿x轴正向和负向

沿y轴正向和负向的方向导数如何? 提示

沿x轴正向时 cos cos0

flfx

沿x轴负向时 cos1 cos0

ff lx

例1 求函数zxe2y在点P(1 0)沿从点P(1 0)到点Q(2 1)的方向的方向导数

解 这里方向l即向量PQ(1, 1)的方向 与l同向的单位向量为

el(12, 12)

e2y1

zy2xe2y2 因为函数可微分 且z所以所求方向导数为

zl(1,0)x(1,0)(1,0)(1,0)(1,0)1122(12)2

2对于三元函数f(x y z)来说 它在空间一点P0(x0 y0 z0)沿el(cos  cos  cos )的方向导数为

fllim(x0,y0,z0)f(x0tcos, y0tcos,z0tcos)f(x0,y0,z0)tt0

如果函数f(x y z)在点(x0 y0 z0)可微分 则函数在该点沿着方向el(cos  cos  cos 的方向导数为

fl(x0,y0,z0)fx(x0 y0 z0)cosfy(x0 y0 z0)cosfz(x0 y0 z0)cos

例2求f(x y z)xyyzzx在点(1 1 2)沿方向l的方向导数 其中l的方向角分

别为60 45 60

解 与l同向的单位向量为

el(cos60 cos 45 cos60(1, 2, 1)

222因为函数可微分且

fx(1 1 2)(yz)|(1 1 2)3

fy(1 1 2)(xz)|(1 1 2)3

fz(1 1 2)(yx)|(1 1 2)2 所以

fl1211332(532)2222(1,1,2)

二 梯度

设函数zf(x y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数 则对于每一点P0(x0 y0)D 都可确定一个向量

fx(x0 y0)ify(x0 y0)j

这向量称为函数f(x y)在点P0(x0 y0)的梯度 记作grad f(x0 y0) 即

grad f(x0 y0) fx(x0 y0)ify(x0 y0)j

梯度与方向导数 

如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)可微分 el(cos  cos )是与方向l同方向的单位向量 则

fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos

 grad f(x0 y0)el

| grad f(x0 y0)|cos(grad f(x0 y0)^ el)

这一关系式表明了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系 特别 当向量el与grad f(x0 y0)的夹角0 即沿梯度方向时 方向导数

fl取得

(x0,y0)最大值 这个最大值就是梯度的模|grad f(x0 y0)| 这就是说 函数在一点的梯度是个向量 它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向 它的模就等于方向导数的最大值

讨论 fl的最大值



结论 函数在某点的梯度是这样一个向量 它的方向与取得最大方向导数的

方向一致 而它的模为方向导数的最大值

我们知道 一般说来二元函数zf(x y)在几何上表示一个曲面 这曲面被平面zc(c是常数)所截得的曲线L的方程为

zf(x,y)



zc这条曲线L在xOy面上的投影是一条平面曲线L* 它在xOy平面上的方程为

f(x y)c

对于曲线L*上的一切点 已给函数的函数值都是c 所以我们称平面曲线L*为函数zf (x y)的等值线

若f x f y不同时为零 则等值线f(x y)c上任一点P0(x0 y0)处的一个单位法向量为

n1fx2(x0,y0)fy2(x0,y0)(fx(x0,y0),fy(x0,y0))

这表明梯度grad f(x0 y0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同 而沿这个方向的方向导数f就等于|grad f(x0 y0)| 于是 nfn

n

gradf(x0,y0)

这一关系式表明了函数在一点的梯度与过这点的等值线、方向导数间的关系 这说是说 函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同 它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线 梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数

梯度概念可以推广到三元函数的情形 设函数f(x y z)在空间区域G内具有一阶连续偏导数 则对于每一点P0(x0 y0 z0)G 都可定出一个向量

fx(x0 y0 z0)ify(x0 y0 z0)jfz(x0 y0 z0)k

这向量称为函数f(x y z)在点P0(x0 y0 z0)的梯度 记为grad f(x0 y0 z0) 即

grad f(x0 y0 z0)fx(x0 y0 z0)ify(x0 y0 z0)jfz(x0 y0 z0)k

结论 三元函数的梯度也是这样一个向量 它的方向与取得最大方向导数的方向一致 而它的模为方向导数的最大值

如果引进曲面

f(x y z)c

为函数的等量面的概念 则可得函数f(x y z)在点P0(x0 y0 z0)的梯度的方向与过点P0的等量面 f(x y z)c在这点的法线的一个方向相同 且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面 而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数

例3 求grad 1x2y2

 解 这里f(x,y)

因为 1x2y2ff2y2x 

222222xy(xy)(xy)2y2xij

(x2y2)2(x2y2)21所以

grad 2xy2

例4 设f(x y z)x2y2z2 求grad f(1 1 2)

解 grad f(fx fy fz)(2x 2y 2z)

于是

grad f(1 1 2)(2 2 4)

数量场与向量场 如果对于空间区域G内的任一点M 都有一个确定的数量f(M) 则称在这空间区域G内确定了一个数量场(例如温度场、密度场等) 一个数量场可用一个数量函数f(M)来确定 如果与点M相对应的是一个向量F(M) 则称在这空间区域G内确定了一个向量场(例如力场、速度场等) 一个向量场可用一个向量函数F(M)来确定 而

F (M)P(M)iQ(M)jR(M)k

其中P(M) Q(M) R(M)是点M的数量函数

利用场的概念 我们可以说向量函数grad f(M)确定了一个向量场——梯度场 它是由数量场f(M)产生的 通常称函数f(M)为这个向量场的势 而这个向量场又称为势场 必须注意 任意一个向量场不一定是势场 因为它不一定是某个数量函数的梯度场

例5 试求数量场m所产生的梯度场 其中常数m>0

rrx2y2z2为原点O与点M(x y z)间的距离

rmx 解 (m)m 23xrrxr同理

mym()3yrr (m)mz 3zrrymmxz2(ijk) 从而

gradrrrrryxz记erijk 它是与OM同方向的单位向量 则gradmmer

rrrrr2

上式右端在力学上可解释为 位于原点O 而质量为m 质点对位于点M而质量为l的质点的引力 这引力的大小与两质点的质量的乘积成正比、而与它们的距平方成反比 这引力的方向由点M指向原点 因此数量场m的势场即梯度场

rgradm称为引力场 而函数m称为引力势

r

r §88

多元函数的极值及其求法

一、多元函数的极值及最大值、最小值

定义

设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某个邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于(x0 y0)的点(x y) 都有

f(x y)f(x0 y0))

则称函数在点(x0 y0)有极大值(或极小值)f(x0 y0)

极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点

例1 函数z3x24y2在点(0 0)处有极小值



当(x y)(0 0)时 z0 而当(x y)(0 0)时 z0 因此z0是函数的极小值

例2 函数zx2y2在点(0 0)处有极大值



当(x y)(0 0)时 z0 而当(x y)(0 0)时 z0 因此z0是函数的极大值

例3 函数zxy在点(0 0)处既不取得极大值也不取得极小值



因为在点(0 0)处的函数值为零 而在点(0 0)的任一邻域内 总有使函数值为正的点 也有使函数值为负的点

以上关于二元函数的极值概念 可推广到n元函数

设n元函数uf(P)在点P0的某一邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于P0的点P 都有

f(P)f(P 0))

则称函数f(P)在点P0有极大值(或极小值)f(P0)

定理1(必要条件) 设函数zf(x y)在点(x0 y0)具有偏导数 且在点(x0 y0)处有极值 则有

fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0

证明 不妨设zf(x y)在点(x0 y0)处有极大值 依极大值的定义 对于点(x0 y0)的某邻域内异于(x0 y0)的点(x y) 都有不等式

f(x y)

特殊地 在该邻域内取yy0而xx0的点 也应有不等式

f(x y0)

这表明一元函数f(x y0)在xx0处取得极大值 因而必有

fx(x0 y0)0

类似地可证

fy(x0 y0)0

从几何上看 这时如果曲面zf(x y)在点(x0 y0 z0)处有切平面 则切平面

zz0fx(x0 y0)(xx0) fy(x0 y0)(yy0) 成为平行于xOy坐标面的平面zz0

类似地可推得 如果三元函数uf (x y z)在点(x0 y0 z0)具有偏导数 则它在点

(x0 y0 z0)具有极值的必要条件为

fx(x0 y0 z0)0 fy(x0 y0 z0)0 fz(x0 y0 z0)0

仿照一元函数 凡是能使fx(x y)0 fy(x y)0同时成立的点(x0 y0)称为函数zf(x y)的驻点

从定理1可知 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点 但函数的驻点不一定是极值点



例如 函数zxy在点(0 0)处的两个偏导数都是零 函数在(0 0)既不取得极大值也不取得极小值



定理2(充分条件)

设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 又fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0 令

fxx(x0 y0)A fxy(x0 y0)B fyy(x0 y0)C

则f (x y)在(x0 y0)处是否取得极值的条件如下

(1) ACB2>0时具有极值 且当A0时有极小值

(2) ACB2

(3) ACB20时可能有极值 也可能没有极值



在函数f(x y)的驻点处如果 fxx fyyfxy2>0 则函数具有极值 且当fxx0时有极小值

极值的求法

f(3 2)31

应注意的问题

不是驻点也可能是极值点

例如  函数zx2y2在点(0 0)处有极大值 但(0 0)不是函数的驻点 因此 在考虑函数的极值问题时 除了考虑函数的驻点外 如果有偏导数不存在的点 那么对这些点也应当考虑

最大值和最小值问题 如果f(x y)在有界闭区域D上连续 则f(x y)在D上必定能取得最大值和最小值 这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部 也可能在D的边界上 我们假定 函数在D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点 这时如果函数在D的内部取得最大值(最小值) 那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值) 因此 求最大值和最小值的一般方法是 将函数f(x y)在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较 其中最大的就是最大值 最小的就是最小值 在通常遇到的实际问题中 如果根据问题的性质 知道函数f(x y)的最大值(最小值)一定在D的内部取得 而函数在D内只有一个驻点 那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数f(x y)在D上的最大值(最小值)

例5 某厂要用铁板做成一个体积为8m3的有盖长方体水箱 问当长、宽、高各取多少时 才能使用料最省

解 设水箱的长为xm 宽为ym 则其高应为A2(xyy8xym 此水箱所用材料的面积为

8888x)2(xy) (x0, y0) xyxyxyy令Ax2(y82)0 Ay2(x82)0 得x2 y2

x

根据题意可知 水箱所用材料面积的最小值一定存在 并在开区域D{(x

y)|x>0 y>0}内取得 因为函数A在D内只有一个驻点 所以 此驻点一定是A的最小值点 即当水箱的长为2m、宽为2m、高为82m时 水箱所用的材料最省



22 因此A在D内的唯一驻点(2 2)处取得最小值 即长为2m、宽为2m、高为82m时 所用材料最省 

2

2 从这个例子还可看出

在体积一定的长方体中 以立方体的表面积为最小

例6 有一宽为24cm的长方形铁板 把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽 问怎样折法才能使断面的面积最大？

解 设折起来的边长为xcm 倾角为 那末梯形断面的下底长为242x 上底长为242xcos 高为xsin 所以断面面积

A1(242x2xcos242x)xsin

2即A24xsin2x2sinx2sin cos (0

可见断面面积A是x和的二元函数 这就是目标函数 面求使这函数取得最大值的点(x )

令Ax24sin4xsin2xsin cos0

A24xcos2x2 cosx2(cos2sin2)0

由于sin 0 x0 上述方程组可化为



2224cos2xcosx(cossin)0解这方程组 得60 x8cm

根据题意可知断面面积的最大值一定存在 并且在D{(x y)|0

二、条件极值

拉格朗日乘数法

对自变量有附加条件的极值称为条件极值

例如 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积问题 设长方体的三棱的长为x y z 则体积Vxyz 又因假定表面积为a2 所以自变量x y z还必须满足附加条件2(xyyzxz)a2



这个问题就是求函数Vxyz在条件2(xyyzxz)a2下的最大值问题 这是一个条件极值问题

对于有些实际问题 可以把条件极值问题化为无条件极值问题



例如上述问题  由条件2(xyyzxz)a2 解得z

Vxya22xy() 2(xy)a22xy2(xy)122xxcos0 于是得

只需求V的无条件极值问题

在很多情形下 将条件极值化为无条件极值并不容易 需要另一种求条件极值的专用方法 这就是拉格朗日乘数法

现在我们来寻求函数zf(x y)在条件(x y)0下取得极值的必要条件

如果函数zf(x y)在(x0 y0)取得所求的极值 那么有

(x0 y0)0

假定在(x0 y0)的某一邻域内f(x y)与(x y)均有连续的一阶偏导数 而y(x0 y0)0

由隐函数存在定理 由方程(x y)0确定一个连续且具有连续导数的函数y(x) 将其代入目标函数zf (x y) 得一元函数

zf [x (x)]

于是xx0是一元函数zf [x (x)]的极值点 由取得极值的必要条件 有

dzdxxx0fx(x0,y0)fy(x0,y0)dydxxx00

即

fx(x0,y0)fy(x0,y0)x(x0,y0)0

y(x0,y0)从而函数zf(x y)在条件(x y)0下在(x0 y0)取得极值的必要条件是

fx(x0,y0)fy(x0,y0)x(x0,y0)0与(x0 y0)0同时成立

y(x0,y0)

设fy(x0,y0)y(x0,y0) 上述必要条件变为

fx(x0,y0)x(x0,y0)0fy(x0,y0)y(x0,y0)0(x,y)000

拉格朗日乘数法 要找函数zf(x y)在条件(x y)0下的可能极值点 可以先构成辅助函数

F(x y)f(x y)(x y) 

其中为某一常数

然后解方程组

Fx(x,y)fx(x,y)x(x,y)0Fy(x,y)fy(x,y)y(x,y)0 (x,y)0

由这方程组解出x y及 则其中(x y)就是所要求的可能的极值点

这种方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形

至于如何确定所求的点是否是极值点 在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定

例7 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积

解 设长方体的三棱的长为x y z 则问题就是在条件

2(xyyzxz)a2

下求函数Vxyz的最大值

构成辅助函数

F(x y z)xyz(2xy 2yz 2xz a2)

解方程组

Fx(x,y,z)yz2(yz)0Fy(x,y,z)xz2(xz)0

Fz(x,y,z)xy2(yx)022xy2yz2xza得xyz6a

6这是唯一可能的极值点

因为由问题本身可知最大值一定存在 所以最大值就在这个可能的值点处取得 此时V6a3

36

《函数数学教案模板.doc》

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