小学奥数教案模板

推荐第1篇：小学奥数教案——循环小数

小学奥数教案---循环小数

一 本讲学习目标

1、掌握循环小数化分数的法则，还要掌握该法则的推导方法——错位相减法；

2、会进行分数与循环小数的互化；

3、掌握分数与循环小数的混合计算

二 概念解析

循环小数可分为有限循环小数，如：1.123123123（不可添加省略号）和无限循环小数，如：1.123123123……（有省略号）。前者是有限小数，后者是无限小数。

一、把循环小数的小数部分化成分数的规则

①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。

②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9的个数与一个循环节的位数相同，末几位是0，0的个数与不循环部分的位数相同。

二、分数转化成循环小数的判断方法：

①一个最简分数，如果分母中既含有质因数2和5，又含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数。

②一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是纯循环小数。

三 例题讲解

1

2

3

纯循环小数化分数

从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。 例 把纯循环小数化分数：

从以上例题可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9。9的个数与循环节的位数相同。能约分的要约分。

混循环小数化分数

不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。 例 把混循环小数化分数。

（2）先看小数部分0.353

4

由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数．

循环小数的四则运算

循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。

例1 计算下面各题：

解：先把循环小数化成分数后再计算。

例2 在计算一个正数乘以3.57的运算时，某同学误将3.57错写作3.57，结果与正确答案相差1.4．则正确的乘积结果是______．

解：设这个正数为x，依题意，得 3.57x3.571.4．

因为3.573575523， 90905257x3x1.4． 90100所以上述方程可化为3解得x180．

所以正确的乘积结果应为

3.57180322180644． 90

例3 计算下面各题。

5

分析与解：（1）把循环小数化成分数，再按分数计算。

（2）可根据乘法分配律把1.25提出，再计算。

（3）把循环小数化成分数，根据乘法分配律和等差数列求和公式计算。

大家都来到荷塘，挖莲藕抓鱼虾，捉泥鳅捡螃蟹，人声鼎沸，笑语欢声，相互谈说着要如何弄出一顿顿可口的美味。光是莲藕的吃法就有很多：熬汤炖肉八宝酿、清炒生吃蜜饯糖，还可以磨成藕粉，加入砂糖或蜂蜜，在温水里一泡，就是一杯清凉清甜的解暑饮料。用鲜莲叶来熬粥，蒸饭蒸鸡，或蒸其它肉类味道都是极鲜美的，做出来的食物均带着一股淡淡的莲叶清香。人们那么喜欢荷花，不单单是因为它的芳香美丽洁净高雅，更因为它全身是宝，每一处都可食可药可用。 我最喜欢的是生鲜莲子羹。把剥好的莲子对半打开去芯，莲子芯很苦，可以药用，没有芯的莲子是甜的，正好用它熬糖水。把足量的生莲子洗净，和着一小片生姜一片鲜莲叶，放进清水锅里，盖着盖子大火烧滚，转小火熬二十分钟，捞起莲叶，加入冰糖，小火慢熬，边熬边搅拌，十五分钟后，一款既清香甘美又消暑解渴的莲子羹就做成了。这样的汤水，在炎热的夏季里，只要喝过一次都不会忘记。

8

推荐第2篇：小学奥数教案计划

第一次课：奥数的介绍

一、奥数概述

国际数学奥林匹克(InternationalMathematicalOlympiads)简称IMO，是一项以数学为内容，以中学生为对象的国际性竞赛活动，至今已有30余年的历史。国际数学奥林匹克作为一项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育水平，难度大大超过大学入学考试。有关专家认为，只有5%的智力超常儿童适合学奥林匹克数学，而能一路过关斩将冲到国际数学奥林匹克顶峰的人更是凤毛麟角。现在，IMO已成为一项国际上最有影响力的学科竞赛，同时也是公认水平最高的中学生数学竞赛。我国的数学竞赛始于1956年。在著名数学家华罗庚、苏步青等人的倡导下，由中国数学理事会发起，北京、天津、上海、武汉四城市首先举办了高中数学竞赛。

历史

1934年和1935年苏联开始在列宁格勒和莫斯科举办中学数学竞赛，并冠以数学奥林匹克的名称。1959年罗马尼亚数学物理学会邀请东欧国家中学生参加，在布加勒斯特举办了第一届国际数学奥林匹克竞赛，从此每年举办一次，至今已举办了50届。

二、近年奥数在中国

近年来中国代表在数学奥林匹克上的成绩就像中国健儿在奥运会的成绩一样，突飞猛进，从40届到第43届，中国代表队连续四年总分第一。

三、奥数实质

奥数相对比较深,数学奥林匹克活动的蓬勃发展，极大地激发了广大少年儿童学习数学的兴趣，成为引导少年积极向上,主动探索,健康成长的一项有益活动。有许多涉及到实际应用的问题，如计数、图论、逻辑、抽屉原理等。解决这类问题，一般都需要对实际问题的数学意义进行分析、归纳，把实际问题抽象成为数学问题，然后用相应的数学知识和方法去解决。在这一构造数学模型的过程中，能够有效地培养学生用数学观点看待和处理实际问题的能力，提高学生用数学语言和模型解决实际问题的意识和能力，提高学生揭示实际问题中隐含的数学概念及其关系的能力等等。使学生能够在这一创造性思维过程中，看到数学的实际作用，感受到数学的魅力，增强学生对数学美的感受力。在强调素质教育的今天，奥林匹克数学的这一教育功能有着更为重要的现实意义。

四、奖项介绍

国际奥林匹克数学竞赛是国际中学生数学大赛，在世界上影响非常之大。国际奥林匹克竞赛的目的是：发现鼓励世界上具有数学天份的青少年，为各国进行科学教育交流创造条件，增进各国师生间的友好关系。这一竞赛1959年由东欧国家发起，得到联合国教科文组织的资助。第一届竞赛由罗马尼亚主办，1959年7月22日至30日在布加勒斯特举行，保加利亚、捷克斯洛伐克、匈牙利、波兰、罗马尼亚和苏联共7个国家参加竞赛。以后国际奥林匹克数学竞赛都是每年7月举行（中间只在1980年断过一次），参赛国从1967年开始逐渐从东欧扩展到西欧、亚洲、美洲，最后扩大到全世界。目前参加这项赛事的代表队有80余支。美国1974年参加竞赛，中国1985年参加竞赛。经过40多年的发展，国际数学奥林匹克的运转逐步制度化、规范化， 有了一整套约定俗成的常规，并为历届东道主所遵循。国际奥林匹克数学竞赛由参赛国轮流主办，经费由东道国提供，但旅费由参赛国自理。参赛选手必须是不超过20岁的中学生，每支代表队有学生6人，另派2名数学家为领队。试题由各参赛国提供，然后由东道国精选后提交给主试委员会表决，产生6道试题。东道国不提供试题。试题确定之后，写成英、法、德、俄文等工作语言，由领队译成本国文字。主试委员会由各国的领队及主办国指定的主席组成。这个主席通常是该国的数学权威。 竞赛设一等奖（金牌）、二等奖（银牌）、三等奖（铜牌），比例大致为1：2：3；获奖者总数不能超过参赛学生的半数。各届获奖的标准与当届考试的成绩有关。

五、学习奥数的方法

“题海无边，题型有限”。学习数学必须要有扎实的基本功，有了扎实的基本功再进行“奥数”的学习就显得水到渠成了。在孩子真正掌握了“奥数”的学习方法后，坚持每天做一定数量的练习题就显得尤为重要。做题的前提是对学过的知识有了透彻的领悟，做题不光是只做难题，简单、中等、难，这三类题都要做，最好把比例控制在3：5：2为最佳。从而避免了孩子难题还会做，中等题和基本题总是准确率不高的现象。五年级开始后要坚持每天做十道左右的题。为了提高孩子解题速度，根据题目的难度每次限时40-60分钟，然后由家长严格计时并根据标准答案判分。记录不会做或做错的题目，有能力的家长可以自己给孩子讲解，最好把一时不理解的题目请教相关的有丰富经验的老师，直至弄懂、弄通为止！！！对于做题中发现的问题及时解决，这是我们做题最终的也是最重要的目的！以前不会做或做错的题目，以后一定要让孩子不定时的至少再做一次！题目的选择可根据正在学习的奥数课程和辅导老师的建议，由孩子和家长一起讨论来决定。学习几个知识点后一定要做一些综合试卷或综合题，主要针对孩子学习的“薄弱”环节，要求辅导老师必须有针对性地给孩子多做些题目。做题的另一个目的就是要从小培养孩子具有举一反

三、融会贯通的能力。注意：刚开始做题前一定要对所学知识已经透彻、深刻的掌握，否则题做得再多的也只会事倍功半，起不到我们想要的效果。

六、小学奥数介绍 1：什么是小学奥数？

小学奥数全称叫“小学奥林匹克数学”，或叫“小学数学奥林匹克”，称呼起源于“数学是思维的体操”它体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性：更快、更高、更强。其实它更准确应称为“小学竞赛数学”。它体现了数学中的巧思、灵活、多变与其中渗透的数学美学。

2：小朋友学习奥数有什么好处？

奥数是给那些对奥数有兴趣的孩子搭建的一个舞台，正像我们给那些对英语、对绘画、对音乐、对体育等有兴趣的孩子搭建的舞台一样，让他们自由、快乐地享受童年、享受人生。

其一，奥数包涵了发散思维、收敛思维、换元思维、反向思维、逆向思维、逻辑思维、空间思维、立体思维等等二十几种思维方式，众所周知，思维能力是一个孩子的智力的核心，如果一个孩子在小学期间，思维能力得到了充分的锻炼，有什么比这更重要的呢？奥数能够快速有效、全面提高孩子智商的工具。奥数学习对开拓思路有着重要作用。奥数学习好的学生整个理科都会比较优秀，因为数学是理科的基础，物理化学都需要数学这个基础。正因为这个原因，重点中学喜欢招奥数比较好的学生。

其二，奥数题基本上是比书上知识有所提高的内容，当孩子在做题当中遇到困难，想办法战胜它时，那种来自内心深处的喜悦比吃了十斤蜜枣还甜。在学习、比赛中，有失败、有成功，让孩子从小就明白：不经历风雨怎能见彩虹的道理，一句话：奥数让孩子学会了面对挫折、战胜困难，学会了永不言败的精神，建立起良好的自信。可以说既提高孩子的智商又能发展孩子的情商。

3：孩子什么时候开始学奥数为好？

一般从小学三年级开始比较合适，

四、五年级入手也不算太晚。太早了孩子的理解能力有限，并且这个时候数学基础还没有打好，孩子学奥数理解起来比较吃力，很容易遇到困难。如果因此而使孩子的兴趣受打击，使他产生畏难、厌学情绪就糟了。

在孩子学奥数之前，家长可以从其他方面入手潜移默化，培养孩子的数学兴趣和能力。观察能力是数学学习的开始，比如带孩子上街时，启发他认门牌号上的数字，说说这是几位数；再比如玩具中也有数学，可以让孩子通过玩具识别三角形、长方形等各种形状……。也就是重点培养孩子观察生活中的数学，加强孩子的数感训练，这对孩子将来学数学很有帮助。

4：什么样的小朋友可以参加奥数学习？

奥数不是人人都能学好的。对于学有余力的学生来说，学习奥数确实对思维有一定帮助，而且上路得早，对以后的学习会有一定好处。但是还是一句话，要看小孩的实际情况，如果他不喜欢，数学成绩一般甚至很差，就完全没有这个必要来学习奥数了。如果强迫学习，只会让他们更加头疼，学习更感吃力，对数学更加没有兴趣。我校开设奥数培训主要也是从培养学生的数学学习兴趣出发的。学习奥数绝不是短期的功利行为，也决不可能取得立竿见影的效果，一定是持之以恒。所以客观地讲，一般的学生还是要以普通数学的要求为基础。

5：孩子数学成绩不太好，可以学奥数吗？

目前，越来越多的学生家长对奥数趋之若鹜，但并不是每个孩子都有必要学奥数，家长在送孩子学奥数之前，一定要搞清楚孩子是否具备以下两个条件：其一，是在数学方面学有余力；其二，是否有这方面的兴趣爱好。如果孩子本来就不喜欢学数学，平时也学得比较吃力，你再让他学奥数，就会适得其反，增加他在数学学科上的厌学情绪。

6：怎么给孩子选择奥数班和奥数老师？

这要因人而异，家长可根据自己孩子的情况作决定。如果你的孩子求知欲旺，学奥数的兴致很高，数学学习能力比较强，在“大课堂”上又能积极主动地提问，那就不一定请家教，上奥数班就行了。如果孩子在上述方面不很突出，可以考虑请家教，让家教老师有针对性地进行辅导。有一点需要指出的是，学好奥数的一个关键问题是一定要多问，多跟老师交流，家教能让孩子的疑问及时得到解决，对学奥数是有促进作用的。

7：做奥数题是多多益善吗？

熟能生巧，要学好奥数，当然要有选择地多做题，但切忌盲目做题，搞“题海战术”。一定要边学边总结，做题后要进行归纳和总结，让孩子具有举一反三的能力。

8：学习奥数一定要参加竞赛吗？

答：适量的竞赛对提高学生的学习兴趣是必不可少，竞赛为学生提供了一个展示的舞台。在孩子自愿的前提下，可以参加一些比赛，但应该认识到，在竞赛中获奖的必竟是少数，不应把学习奥数的目的放在竞赛获奖上，更应放在兴趣培养上，目光要长远一点。

教案计划：第二次课： 一：回忆上节课的内容：

二、导入：已知几个量，一个量变化，另外量也随着发生同样的变化，这样的问题是归一问题。

三、新课：

例1.小白兔6天挖90根萝卜，照这样计算，小白兔18天能挖多少根萝卜？

#——6天——90根 归一法：90÷6×18=270（根） #——18天——？根 倍比法：18÷6×90=270（根）

练习1：一只蜗牛6分钟爬12分米，照这样的速度，1小时爬多少米？ 练习2：小乌龟3分钟能走10米，照这样计算，它1小时能走多少米？

练习3：一台碾米机2小时碾米1000千克，照这样的效率，再碾米5小时，一共可以碾米多少千克？

小结：先求单一量，再求几个单一量是多少。正归一。

例2.王大伯4天编了24个竹篮，照这样计算，编120个竹篮一共需要多少天？

#——4天——24个 归一法：120÷（24÷4）=20（天） #——？天——120个 倍比法：120÷24×4=20（天）

练习：一台织布机8分钟可织布24米，求这台织布机织234米布要用多少分钟？

一台织布机8分钟可织布23米，求这台织布机织253米布要用多少分钟？

一台织布机8分钟可织布24米，求这台织布机织15米布要用多少分钟？

小结：先求单一量，再求包含多少个单一量。反归一。

例3.王师傅2小时加工62个零件，照这样计算，8小时可以加工多少个零件？如果要加工372个零件要多少小时？ #——2小时——62个 62÷2×8=248（个） #——8小时——？个 倍比法：8÷2×62=248（个） #——2小时——62个 372÷（62÷2）=12（小时） #——？小时——372个 372÷62×2=12（小时）

练习：改题 3小时加工42个，8小时多少个？加工210个零件要几小时？

例4.一个修路队要修一个长750米的公路，前5天修了250米，照这样计算修完还要几天？

#——5天——250米 （750-250）÷（250÷5）=10（天） #——？天——（750-250）米 （750-250）÷250×5=10（天） 750÷（250÷5）-5=10（天） 750÷250×5-5=10（天） 练习：改成600米

练习：一个粮食加工厂要加工6000千克大米，前2小时加工了1200千克，照这样计算加工完剩下的大米还要几小时？ （8小时） 例5.5只小猴一顿吃掉20个桃，现在有60个桃，要增加几只小猴来吃？

60÷（20÷5）-5=10（只） （60-20）÷（20÷5）=10（只） （60-20）÷20×5=10（只） 60÷20×5-5=10（只）

练习：5箱蜜蜂一年可以酿75千克蜂蜜，照这样计算，酿300千克蜂蜜要增加几箱蜜蜂？

铺垫：一个台机器一天生产15个零件，求5台机器3小时能生产多少个零件？4台机器6小时？

例6.4台机器2小时能生产144个零件，照这样计算，5台机器4小时能生产多少个零件？ 疑问：现在的一份量是什么？ 小结： 二次归一问题

练习：织布厂一车间用3台织布机5小时织布450米，照这样计算，5台、8小时可织布多少米？

#——3台——5小时——450米 450÷3÷5×5×8=1200（米） #——5台——8小时——？米

拓展：改增加5台 450÷3÷5×（3+5）×8=1920（米）

例7.3台车床4小时可以加工零件180个，照这样计算，6 台5小时可加工多少个？5台要加工600个要几小时？3小时加工630个要几台？

#——3台——4小时——180个 正归一 180÷3÷4×6×5=450（个） #——6台——5小时——？个

#——3台——4小时——180个 反归一 600÷（180÷3÷4×5）=8小时

#——5台——？小时——600个 630÷（180÷3÷4×3）=14（台） #——？台——3小时——630个

练习：7辆车5小时运货700吨，照这样计算，3辆汽车几小时能运540吨的货物？

例7.工程队计划60人5天修好一条长4800米的公路，照这样计算，增加15人实际几天修完？

#——60人——5天——4800米 4800÷[4800÷60÷5×（60+15）] #——（60+20）人——？天——4800米 =4800÷4800×60×5÷75 练习：改6000米 =4（天）

例8.7辆卡车6趟运走336吨沙土。现有沙土560吨，要求5趟运完，需要同样的卡车多少辆？

1辆卡车1趟运走多少吨沙土：336÷6÷7=8（吨）

①先求所需卡车1趟运走多少吨沙土：560÷5=112（吨） 112÷8=14（辆）

②先求运走560吨沙土所需多少趟： 560÷8=70（趟） 70÷5=14（辆） ③先求1辆卡车5趟运走多少吨： 8×5=40（吨） 560÷40=14（辆） 练习：5只小猫5天能抓住50只老鼠，10天抓住100只老鼠需要多少只小猫？

拓展：①5只小猫5天能抓住50只老鼠，10天抓住180只老鼠需要增加多少只小猫？

②4台机器2小时能生产144个零件，照这样计算，5台机器生产360个零件需要增加几小时？

例9.有一批零件，王师傅每天生产8个，3天可以完成，如果每天生产6个零件几天可以完成？ 疑问：不变的量是什么？ 小结： 练习：发电厂运进一些煤，如果每天烧6吨煤，10天烧完，如果每天烧4吨，多少天烧完？

例10.修一条马路，如果每天修5千米，24天可以修完，如果每天多修1千米，几天可以修完？

练习：有一包糖，如果平均分给8个小朋友，每人可以分到20块，如果减少3个小朋友，每人可分到多少块？（32）

拓展：有一本故事书，小强计划每天看24页，5天可以看完，如果要提前2天看完，平均每天要多看多少页？（16）

例11.加工一批零件，计划14人，每天工作6小时10天完成任务。现在增加1人要求8天完成，求每天加班几小时？（1） 例12.甲乙两个打字员4小时共打字3600个，现在二人同时工作，在相同时间内，甲打字2450个，乙打字2050个，求甲乙每小时各打字多少个？

甲乙每小时打字个数的和：3600÷4=900（个）相同时间内共打字：2450＋2050=4500（个）

相同时间：4500÷900=5（小时） 甲：2450÷5=490（个） 乙：2050÷5=410（个）

四、总结：归一问题归一对应法、先求单一量。

第三次课：找规律题型：

例1：下面的每组数都各自按一定的规律排列起来，请先找出规律，再根据规律填数。 （1）1，3，9，27，（ ）； （2）1，4，9，16，（ ），（ ）； （3）1，2，4，8，（ ），32。

例2： 按照规律，在（ ）里填上合适的数。 （1）11，4，8，4，5，4，（ ），（ ）； （2）13，7，11，6，9，5，（ ），（ ）。

例3：下面各列数中都有一个与众不同的数，请找出来。 （1）2，4，6，8，9，10，12； （2）7，14，21，28，35，39，42。

思考题：按照规律，在（ ）里填上合适的数。 3，4，7，12，19，28，（ ）。

一：回忆上节课的内容：已知几个量，一个量变化，另外量也随着发生同样的变化，这样的问题是归一问题。

二、导入：对于一些存在规律的题型，我们可以找出规律。

三、新课：

找规律题型： 第1题：0、

1、

3、

8、

21、？、144；第2题：0、

1、

4、

15、

56、？；

第3题：

1、

3、

6、

8、

16、

18、？、？、7

6、78；求各题的规律 第1题：55。第一个数加第三个数然后再除以3，就是第二个数；同样，第二个数加第四个数然后再除以3，就是第三个数，以此类推，可知为55.第2题：209。第一个数加第三个数然后再除以4，就是第二个数；同样，第二个数加第四个数然后再除以4，就是第三个数，以此类推，可知为209.第3题：36，38。第一个数与第二个数差2，第三个数与第四个数差2，第五第六到第九第十个数也是如此，所以只要比较奇数个数的规律即可，其为：

1、

6、

16、？、76.观察可知规律，它们分别相差5，10，20，40，故该问号为16+20=36，所以令一个问号为38。

从数列中找出存在的某种规律，并把括号填上 2

11 4

4 （）

1 3

6 答案：3 一共4竖行，每竖行前2个数之和是第3个数的2倍！

11

8 10 （ ） 4

18

6 10 12

20 括号里应该填什么？为什么？

理由如下：竖着看，每一列的最后一行的数减第一行的数再乘以2就是中间一行的数。所以第三列中中间的数为（12-6）*2=12.

把自然数按下图的方式排列 1 2 5 10 17…

4 3 6 11 18…

9 8 7 12 19…

16 15 14 13 20…

25 24 23 22 21…

…

问：

1、第9行第9列的那个数是多少?

2.、2009在第几行第几列?

(如8在第3行第2列，22在第5行第4列)

解答：

（1）据观察得出的规律可知第9行第9列的数是9×9=81，所以第9行第9列的数是81-8=73；

（2）因为45×45=2025，所以第45行第一列的数是2025，2009比2025少16，所以2009在第45行第17列。

1,2,4,7,11,16,（22）,（29）, 2,5,10,17,26,（37）,（50）, 0,3,8,15,24，（35）,（48）， 42，54，72，87，204，[270]

1、1，4，9，16，（ 25），（ 36）

第n项为n^2,所以括号里填25，36

2、2/1，4/4，6/9，8/16，（10/25 ），（12/36 ），14/49 第n项为2n/(n^2),所以括号里为10/25，12/36

3、1，2，2，4，8，32，256，（ 8192）

第n项为第n-1项与n-2项的积，所以括号里为32*256=8192 有同样大小的红白黑珠共96个，按先5个红的，再4个白的，再3个黑的排列着，如图：◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ○ ○ ○ ○ ● ● ● ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ○ ○ ○ ○ ● ● ● ◎ ◎ …试问：黑珠共的几个? 解答：5+4+3=12，可以发现每隔12个珠子（5个红的4个白的3个黑的）就重复一次，96÷12=8。所以一共有8组一样的，每组有3个黑的，所以共有黑珠3×8=24个。

推荐第3篇：小学数学奥数教案

小学奥数基础教程（四年级）

小学奥数

第1讲 归一问题与归总问题 第2讲 年龄问题

第3讲 鸡兔同笼问题与假设法 第1讲 归一问题与归总问题

在解答某些应用题时，常常需要先找出“单一量”，然后以这个“单一量”为标准，根据其它条件求出结果。用这种解题思路解答的应用题，称为归一问题。所谓“单一量”是指单位时间的工作量、物品的单价、单位面积的产量、单位时间所走的路程等。

例1 一种钢轨，4根共重1900千克，现在有95000千克钢，可以制造这种钢轨多少根？（损耗忽略不计）

分析：以一根钢轨的重量为单一量。

（1）一根钢轨重多少千克？

1900÷4＝475（千克）。

（2）95000千克能制造多少根钢轨？

95000÷475＝200（根）。

解：95000÷（1900÷4）＝200（根）。

答：可以制造200根钢轨。

例2 王家养了5头奶牛，7天产牛奶630千克，照这样计算，8头奶牛15天可产牛奶多少千克？

分析：以1头奶牛1天产的牛奶为单一量。

（1）1头奶牛1天产奶多少千克？

630÷5÷7＝18（千克）。

（2）8头奶牛15天可产牛奶多少千克？

小学奥数基础教程（四年级）

18×8×15＝2160（千克）。

解：（630÷5÷7）×8×15=2160（千克）。

答：可产牛奶2160千克。

例3 三台同样的磨面机2.5时可以磨面粉2400千克，8台这样的磨面机磨25600千克面粉需要多少时间？

分析与解：以1台磨面机1时磨的面粉为单一量。

（1）1台磨面机1时磨面粉多少千克？

2400÷3÷2.5=320（千克）。

（2）8台磨面机磨25600千克面粉需要多少小时？

25600÷320÷8=10（时）。

综合列式为

25600÷（2400÷3÷2.5）÷8=10（时）。

例4 4辆大卡车运沙土，7趟共运走沙土336吨。现在有沙土420吨，要求5趟运完。问：需要增加同样的卡车多少辆？ 分析与解：以1辆卡车1趟运的沙土为单一量。

（1）1辆卡车1趟运沙土多少吨？

336÷4÷7=12（吨）。

（2）5趟运走420吨沙土需卡车多少辆？

420÷12÷5＝7（辆）。

（3）需要增加多少辆卡车？

7-4＝3（辆）。

综合列式为

420÷（336÷4÷7）÷5-4＝3（辆）。

小学奥数基础教程（四年级）

与归一问题类似的是归总问题，归一问题是找出“单一量”，而归总问题是找出“总量”，再根据其它条件求出结果。所谓“总量”是指总路程、总产量、工作总量、物品的总价等。

例5 一项工程，8个人工作15时可以完成，如果12个人工作，那么多少小时可以完成？

分析：（1）工程总量相当于1个人工作多少小时？

15×8＝120（时）。

（2）12个人完成这项工程需要多少小时？

120÷12＝10（时）。 解：15×8÷12＝10（时）。

答：12人需10时完成。

例6 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60千米，5时到达。若要4时到达，则每小时需要多行多少千米？

分析：从甲地到乙地的路程是一定的，以路程为总量。

（1）从甲地到乙地的路程是多少千米？

60×5=300（千米）。

（2）4时到达，每小时需要行多少千米？

300÷4＝75（千米）。

（3）每小时多行多少千米？

75－60＝15（千米）。

解：（60×5）÷4——60＝15（千米）。

答：每小时需要多行15千米。

例7 修一条公路，原计划60人工作，80天完成。现在工作20天后，又增加了30人，这样剩下的部分再用多少天可以完成？

小学奥数基础教程（四年级）

分析：（1）修这条公路共需要多少个劳动日（总量）？

60×80＝4800（劳动日）。

（2）60人工作20天后，还剩下多少劳动日？

4800-60×20=3600（劳动日）。

（3）剩下的工程增加30人后还需多少天完成？

3600÷（60＋30）=40（天）。

解：（60×80-60×20）÷（60＋30）＝40（天）。

答：再用40天可以完成。

练习11

1．2台拖拉机4时耕地20公顷，照这样速度，5台拖拉机6时可耕地多少公顷？

2．4台织布机5时可以织布2600米，24台织布机几小时才能织布24960米？

3．一种幻灯机，5秒钟可以放映80张片子。问：48秒钟可以放映多少张片子？

4．3台抽水机8时灌溉水田48公顷，照这样的速度，5台同样的抽水机6时可以灌溉水田多小公顷？

5．平整一块土地，原计划8人平整，每天工作7.5时，6天可以完成任务。由于急需播种，要求5天完成，并且增加1人。问：每天要工作几小时？

6．食堂管理员去农贸市场买鸡蛋，原计划按每千克3.00元买35千克。结果鸡蛋价格下调了，他用这笔钱多买了2.5千克鸡蛋。问：鸡蛋价格下调后是每千克多少元？

小学奥数基础教程（四年级）

7．锅炉房按照每天4.5吨的用量储备了120天的供暖煤。供暖40天后，由于进行了技术改造，每天能节约0.9吨煤。问：这些煤共可以供暖多少天？

第2讲 年龄问题

年龄问题是一类以“年龄为内容”的数学应用题。

年龄问题的主要特点是：二人年龄的差保持不变，它不随岁月的流逝而改变；二人的年龄随着岁月的变化，将增或减同一个自然数；二人年龄的倍数关系随着年龄的增长而发生变化，年龄增大，倍数变小。

根据题目的条件，我们常将年龄问题化为“差倍问题”、“和差问题”、“和倍问题”进行求解。

例1 儿子今年10岁，5年前母亲的年龄是他的6倍，母亲今年多少岁？ 分析与解：儿子今年10岁，5年前的年龄为5岁，那么5年前母亲的年龄为5×6＝30（岁），因此母亲今年是

30＋5=35（岁）。

例2 今年爸爸48岁，儿子20岁，几年前爸爸的年龄是儿子的5倍？ 分析与解：今年爸爸与儿子的年龄差为“48——20”岁，因为二人的年龄差不随时间的变化而改变，所以当爸爸的年龄为儿子的5倍时，两人的年龄差还是这个数，这样就可以用“差倍问题”的解法。当爸爸的年龄是儿子年龄的5倍时，儿子的年龄是

（48——20）÷（5——1）＝7（岁）。

由20－7＝13（岁），推知13年前爸爸的年龄是儿子年龄的5倍。

小学奥数基础教程（四年级）例3 兄弟二人的年龄相差5岁，兄3年后的年龄为弟4年前的3倍。问：兄、弟二人今年各多少岁？

分析与解：根据题意，作示意图如下：

由上图可以看出，兄3年后的年龄比弟4年前的年龄大5＋3＋4＝12（岁），由“差倍问题”解得，弟4年前的年龄为（5＋3＋4）÷（3－1）＝6（岁）。由此得到

弟今年6＋4＝10（岁），

兄今年10＋5＝15（岁）。

例4 今年兄弟二人年龄之和为55岁，哥哥某一年的岁数与弟弟今年的岁数相同，那一年哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的2倍，请问哥哥今年多少岁？ 分析与解：在哥哥的岁数是弟弟的岁数2倍的那一年，若把弟弟岁数看成一份，那么哥哥的岁数比弟弟多一份，哥哥与弟弟的年龄差是1份。又因为那一年哥哥岁数与今年弟弟岁数相等，所以今年弟弟岁数为2份，今年哥哥岁数为2＋1=3（份）（见下页图）。

由“和倍问题”解得，哥哥今年的岁数为

55÷(3+2)×3=33(岁)。

例5 哥哥5年前的年龄与妹妹4年后的年龄相等，哥哥2年后的年龄与妹妹8年后的年龄和为97岁，请问二人今年各多少岁？

小学奥数基础教程（四年级）分析与解：由“哥哥5年前的年龄与妹妹4年后的年龄相等”可知兄妹二人的年龄差为“4＋5”岁。由“哥哥2年后的年龄与妹妹8年后的年龄和为97岁”，可知兄妹二人今年的年龄和为“97——2——8”岁。由“和差问题”解得，

兄[（97——2——8）＋（4＋5）]÷2＝48（岁），

妹[（97——2——8）-（4＋5）]÷2=39（岁）。

例6 1994年父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的4倍。2000年，父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的2倍。问：父亲出生在哪一年？

分析与解：如果用1段线表示兄弟二人1994年的年龄和，则父亲1994年的年龄要用4段线来表示（见下页图）。

父亲在2000年的年龄应是4段线再加6岁，而兄弟二人在2000年的年龄之和是1段线再加2×6＝12（岁），它是父亲年龄的一半，也就是2段线再加3岁。由

1段＋12岁=2段＋3岁，

推知1段是9岁。所以父亲1994年的年龄是9×4＝36（岁），他出生于

1994——36＝1958（年）。

例7今年父亲的年龄为儿子的年龄的4倍，20年后父亲的年龄为儿子的年龄的2倍。问：父子今年各多少岁？

解法一：假设父亲的年龄一直是儿子年龄的4倍，那么每过一年儿子增加一岁，父亲就要增加4岁。这样，20年后儿子增加20岁，父亲就要增加80岁，比儿子多增加了80－20＝60（岁）。

小学奥数基础教程（四年级）

事实上，20年后父亲的年龄为儿子的年龄的2倍，根据刚才的假设，多增加的60岁，正好相当于20年后儿子年龄的（4——2＝）2倍，因此，今年儿子的年龄为

（20×4－20）÷（4－2）－20＝10（岁），

父亲今年的年龄为10×4＝40（岁）。

解法二：如果用1段线表示儿子今年的年龄，那么父亲今年的年龄要用4段线来表示（见下图）。

20年后，父亲的年龄应是4段线再加上20岁，而儿子的年龄应是1段线再加上20岁，是父亲年龄的一半，也就是2段线再加上10岁。由

1段＋20=2段＋10，

求得1段是10岁，即儿子今年10岁，从而父亲今年40岁。 例8 今年爷爷78岁，长孙27岁，次孙23岁，三孙16岁。问：几年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄之和？

分析：今年三个孙子的年龄和为27＋23＋16=66（岁），爷爷比三个孙子的年龄和多78——66＝12（岁）。每过一年，爷爷增加一岁，而三个孙子的年龄和却要增加1＋1＋1＝3（岁），比爷爷多增加3－1＝2（岁）。因而只需求出12里面有几个2即可。

解：[78－（27＋23＋16）]÷（1＋1＋1－1）＝6（年）。

答：6年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和。

练习12

1．父亲比儿子大30岁，明年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，那么今年儿子几岁？

小学奥数基础教程（四年级）

2．王梅比舅舅小19岁，舅舅的年龄比王梅年龄的3倍多1岁。问：他们二人各几岁？

3．小明今年9岁，父亲39岁，再过多少年父亲的年龄正好是小明年龄的2倍？

4．父亲年龄是女儿的4倍，三年前父女年龄之和是49岁。问：父女两人现在各多少岁？

5．一家三口人，三人年龄之和是74岁，妈妈比爸爸小2岁，妈妈的年龄是儿子年龄的4倍。问：三人各是多少岁？

6．今年老师46岁，学生16岁，几年后老师年龄的2倍与学生年龄的5倍相等？

7．已知祖孙三人，祖父和父亲年龄的差与父亲和孙子年龄的差相同，祖父和孙子年龄之和为82岁，明年祖父的年龄恰好等于孙子年龄的5倍。问：祖孙三人各多少岁？

8．小乐问刘老师今年有多少岁，刘老师说：“当我像你这么大时，你才3岁；当你像我这么大时，我已经42岁了。”你能算出刘老师有多少岁吗？

第3讲 鸡兔同笼问题与假设法

鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的，它是一类有名的中国古算题。许多小学算术应用题，都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算。

小学奥数基础教程（四年级）

例1 小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？

分析：假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44-32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数。

解：有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），

有鸡16-6＝10（只）。

答：有6只兔，10只鸡。

当然，我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有4×16＝64（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况少了64－44＝20（只）脚，这是因为把鸡当作兔了。我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少了4-2＝2（只）。因此只要算出20里面有几个2，就可以求出鸡的只数。

有鸡（4×16-44）÷（4-2）=10（只），

有兔16——10＝6（只）。

由例1看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡；也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。因此这类问题也叫置换问题。

例2 100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问：大、小和尚各有多少人？

分析与解：本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。

小学奥数基础教程（四年级）

假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300－140＝160（个）。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3——1＝2（个），因为160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有

100－80＝20（人）。

同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。

在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。

例3 彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元。问：两种文化用品各买了多少套？

分析与解：我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚，一种“怪兔”有1个头19只脚，它们共有16个头，280只脚。这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。

假设买了16套彩色文化用品，则共需19×16＝304（元），比实际多304——280＝24（元），现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用19——11＝8（元），所以

买普通文化用品 24÷8=3（套），

买彩色文化用品 16－3＝13（套）。

例4 鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只？

分析：假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200——20=180（只）。

现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，鸡100——30＝70（只）。

解：有兔（2×100——20）÷（2＋4）＝30（只），

小学奥数基础教程（四年级）

有鸡100——30=70（只）。

答：有鸡70只，兔30只。

例5 现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶共多装20千克。问：大、小瓶各有多少个？

分析：本题与例4非常类似，仿照例4的解法即可。 解：小瓶有（4×50-20）÷（4＋2）＝30（个），

大瓶有50-30＝20（个）。

答：有大瓶20个，小瓶30个。

例6 一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，那么这批钢材有多少吨？

分析：要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。

利用假设法，假设只用36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下4×36=144（吨）。根据条件，要装完这144吨钢材还需要45-36=9（辆）小卡车。这样每辆小卡车能装144÷9＝16（吨）。由此可求出这批钢材有多少吨。 解：4×36÷（45-36）×45＝720（吨）。

答：这批钢材有720吨。

例7 乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶，双方商定每只运费0.24元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1.26元，结果搬运站共得运费115.5元。问：搬运过程中共打破了几只花瓶？

分析：假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费0.24×500=120（元）。实际上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。

小学奥数基础教程（四年级）搬运站每打破一只花瓶要损失0.24＋1.26＝1.5（元）。因此共打破花瓶4.5÷1.5＝3（只）。

解：（0.24×500－115.5）÷（0.24＋1.26）＝3（只）。

答：共打破3只花瓶。

例8 小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3分钟，一共跳了780下。已知小喜比小乐每分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？

分析与解：利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了

12×（2＋3）＝60（下）。

可求出小乐每分钟跳

（780——60）÷（2＋3＋3）＝90（下），

小乐一共跳了90×3=270（下），因此小喜比小乐共多跳

780——270×2＝240（下）。 练习13

1．鸡、兔共有头100个，脚350只，鸡、兔各有多少只？

2．学校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120个学生进行活动。问：象棋与跳棋各有多少副？

3．班级购买活页簿与日记本合计32本，花钱74元。活页簿每本1.9元，日记本每本3.1元。问：买活页簿、日记本各几本？

4．龟、鹤共有100个头，鹤腿比龟腿多20只。问：龟、鹤各几只？

5．小蕾花40元钱买了14张贺年卡与明信片。贺年卡每张3元5角，明信片每张2元5角。问：贺年卡、明信片各买了几张？

小学奥数基础教程（四年级）

6．一个工人植树，晴天每天植树20棵，雨天每天植树12棵，他接连几天共植树112棵，平均每天植树14棵。问：这几天中共有几个雨天？

7．振兴小学六年级举行数学竞赛，共有20道试题。做对一题得5分，没做或做错一题都要扣3分。小建得了60分，那么他做对了几道题？

8．有一批水果，用大筐80只可装运完，用小筐120只也可装运完。已知每只大筐比每只小筐多装运20千克，那么这批水果有多少千克？

9．蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现有三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀。问：每种小虫各有几只？ 10．鸡、兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚92只。问：鸡、兔各几只？

高冠军，所以由（1）知乙不是数学博士。将上面的结论依次填入上表，便得到下表：

所以，甲是小画家和歌唱家，乙是短跑健将和跳高冠军，丙是数学博士和大作家。

例4张明、席辉和李刚在北京、上海和天津工作，他们的职业是工人、农民和教师，已知：（1）张明不在北京工作，席辉不在上海工作；

（2）在北京工作的不是教师；

（3）在上海工作的是工人；

（4）席辉不是农民。

问：这三人各住哪里？各是什么职业？

小学奥数基础教程（四年级）分析与解：与前面的例题相比，这道题的关系要复杂一些，要求我们通过推理，弄清人物、工作地点、职业三者之间的关系。三者的关系需要两两构造三个表，即人物与地点，人物与职业，地点与职业三个表。

我们先将题目条件中所给出的关系用下面的表来表示，由条件（1）得到表1，由条件（4）得到表2，由条件（2）（3）得到表3。

因为各表中，每行每列只能有一个“√”，所以表（3）可填全为表（4）。

因为席辉不在上海工作，在上海工作的是工人，所以席辉不是工人，他又不是农民，所以席辉是教师。再由表4知，教师住在天津，即席辉住在天津。至此，表1可填全为表5。

对照表5和表4，得到：张明住在上海是工人，席辉住在天津是教师，李刚住在北京是农民。

推荐第4篇：小学六年级奥数教案

小学六年级奥数教案：行程问题

第一讲 行程问题

走路、行车、一个物体的移动，总是要涉及到三个数量： 距离走了多远，行驶多少千米，移动了多少米等等; 速度在单位时间内(例如1小时内)行走或移动的距离; 时间行走或移动所花时间.这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示： 距离=速度×时间

很明显，只要知道其中两个数量，就马上可以求出第三个数量.从数学上说，这是一种最基本的数量关系，在小学的应用题中，这样的数量关系也是最常见的，例如

总量=每个人的数量×人数.工作量=工作效率×时间.因此，我们从行程问题入手，掌握一些处理这种数量关系的思路、方法和技巧，就能解其他类似的问题.当然，行程问题有它独自的特点，在小学的应用题中，行程问题的内容最丰富多彩，饶有趣味.它不仅在小学，而且在中学数学、物理的学习中，也是一个重点内容.因此，我们非常希望大家能学好这一讲，特别是学会对一些问题的思考方法和处理技巧.这一讲，用5千米/小时表示速度是每小时5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米

一、追及与相遇

有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的距离，也就是要计算两人走的距离之差.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间内， 甲走的距离-乙走的距离

= 甲的速度×时间-乙的速度×时间 =(甲的速度-乙的速度)×时间.通常，“追及问题”要考虑速度差.例1 小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米? 解：先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间.此时，小轿车比面包车多走了9千米，而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时，因此

所用时间=9÷6=1.5(小时).小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门9千米，说明小轿车的速度是

面包车速度是 54-6=48(千米/小时).城门离学校的距离是 48×1.5=72(千米).答：学校到城门的距离是72千米.例2 小张从家到公园，原打算每分种走50米.为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走75米.问家到公园多远? 解一：可以作为“追及问题”处理.假设另有一人，比小张早10分钟出发.考虑小张以75米/分钟速度去追赶，追上所需时间是

50 ×10÷(75- 50)= 20(分钟)? 因此，小张走的距离是 75× 20= 1500(米).答：从家到公园的距离是1500米.还有一种不少人采用的方法.

家到公园的距离是

一种解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“计算方便”.那么你更喜欢哪一种解法呢?对不同的解法进行比较，能逐渐形成符合你思维习惯的解题思路.例3 一辆自行车在前面以固定的速度行进，有一辆汽车要去追赶.如果速度是30千米/小时，要1小时才能追上;如果速度是 35千米/小时，要 40分钟才能追上.问自行车的速度是多少? 解一：自行车1小时走了 30×1-已超前距离， 自行车40分钟走了

自行车多走20分钟，走了

因此，自行车的速度是

答：自行车速度是20千米/小时.解二：因为追上所需时间=追上距离÷速度差

1小时与40分钟是3∶2.所以两者的速度差之比是2∶3.请看下面示意图：

马上可看出前一速度差是15.自行车速度是 35- 15= 20(千米/小时).解二的想法与第二讲中年龄问题思路完全类同.这一解法的好处是，想清楚后，非常便于心算.例4 上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分? 解：画一张简单的示意图：

图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了 8-4=4(千米).而爸爸骑的距离是 4+ 8= 12(千米).这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷4=3(倍).按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3=24(千米).但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了 4+12=16(千米).少骑行24-16=8(千米).摩托车的速度是1千米/分，爸爸骑行16千米需要16分钟.8+8+16=32.答：这时是8点32分.下面讲“相遇问题”.

小王从甲地到乙地，小张从乙地到甲地，两人在途中相遇，实质上是小王和小张一起走了甲、乙之间这段距离.如果两人同时出发，那么 甲走的距离+乙走的距离 =甲的速度×时间+乙的速度×时间 =(甲的速度+乙的速度)×时间.“相遇问题”，常常要考虑两人的速度和.例5 小张从甲地到乙地步行需要36分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要12分钟.他们同时出发，几分钟后两人相遇? 解：走同样长的距离，小张花费的时间是小王花费时间的 36÷12=3(倍)，因此自行车的速度是步行速度的3倍，也可以说，在同一时间内，小王骑车走的距离是小张步行走的距离的3倍.如果把甲地乙地之间的距离分成相等的4段，小王走了3段，小张走了1段，小张花费的时间是 36÷(3+1)=9(分钟).答：两人在9分钟后相遇.例6 小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地，每小时步行4千米.两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离.解：画一张示意图

离中点1千米的地方是A点，从图上可以看出，小张走了两地距离的一半多1千米，小王走了两地距离的一半少1千米.从出发到相遇，小张比小王多走了2千米

小张比小王每小时多走(5-4)千米，从出发到相遇所用的时间是 2÷(5-4)=2(小时).因此，甲、乙两地的距离是 (5+ 4)×2=18(千米).本题表面的现象是“相遇”，实质上却要考虑“小张比小王多走多少?”岂不是有“追及”的特点吗?对小学的应用题，不要简单地说这是什么问题.重要的是抓住题目的本质，究竟考虑速度差，还是考虑速度和，要针对题目中的条件好好想一想.千万不要“两人面对面”就是“相遇”，“两人一前一后”就是“追及”.请再看一个例子.例7 甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，6小时后相遇于C点.如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点12千米;如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点16千米.求A，B两地距离.解：先画一张行程示意图如下

设乙加速后与甲相遇于D点，甲加速后与乙相遇于E点.同时出发后的相遇时间，是由速度和决定的.不论甲加速，还是乙加速，它们的速度和比原来都增加5千米，因此，不论在D点相遇，还是在E点相遇，所用时间是一样的，这是解决本题的关键.下面的考虑重点转向速度差.在同样的时间内，甲如果加速，就到E点，而不加速，只能到 D点.这两点距离是 12+ 16= 28(千米)，加速与不加速所形成的速度差是5千米/小时.因此，在D点

(或E点)相遇所用时间是 28÷5= 5.6(小时).比C点相遇少用 6-5.6=0.4(小时).甲到达D，和到达C点速度是一样的，少用0.4小时，少走12千米，因此甲的速度是

12÷0.4=30(千米/小时).同样道理，乙的速度是 16÷0.4=40(千米/小时).A到 B距离是(30+ 40)×6= 420(千米).答： A，B两地距离是 420千米.很明显，例7不能简单地说成是“相遇问题”.

例8 如图，从A到B是1千米下坡路，从B到C是3千米平路，从C到D是2.5千米上坡路.小张和小王步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时.

问：(1)小张和小王分别从A， D同时出发，相向而行，问多少时间后他们相遇? (2)相遇后，两人继续向前走，当某一个人达到终点时，另一人离终点还有多少千米? 解：(1)小张从 A到 B需要 1÷6×60= 10(分钟);小王从 D到 C也是下坡，需要 2.5÷6×60= 25(分钟);当小王到达 C点时，小张已在平路上走了 25-10=15(分钟)，走了

因此在 B与 C之间平路上留下 3- 1= 2(千米)由小张和小王共同相向而行，直到相遇，所需时间是 2 ÷(4+ 4)×60= 15(分钟).从出发到相遇的时间是 25+ 15= 40 (分钟).(2)相遇后，小王再走30分钟平路，到达B点，从B点到 A点需要走 1÷2×60=30分钟，即他再走 60分钟到达终点.小张走15分钟平路到达D点，45分钟可走

小张离终点还有2.5-1.5=1(千米).答：40分钟后小张和小王相遇.小王到达终点时，小张离终点还有1千米.

二、环形路上的行程问题

人在环形路上行走，计算行程距离常常与环形路的周长有关.例9 小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.(1)小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分? (2)小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王? 解：(1 )75秒-1.25分.两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程.小张的速度是 500÷1.25-180=220(米/分).(2)在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈(一个周长)，因此需要的时间是

500÷(220-180)=12.5(分).220×12.5÷500=5.5(圈).答：(1)小张的速度是220米/分;(2)小张跑5.5圈后才能追上小王.例10 如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米;在D点第二次相遇，D点离B点6O米.求这个圆的周长.

解：第一次相遇，两人合起来走了半个周长;第二次相遇，两个人合起来又走了一圈.从出发开始算，两个人合起来走了一周半.因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，那么从A到D的距离，应该是从A到C距离的3倍，即A到D是 80×3=240(米).240-60=180(米).180×2=360(米).答：这个圆的周长是360米.在一条路上往返行走，与环行路上行走，解题思考时极为类似，因此也归入这一节.例11 甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走(到达另一村后就马上返回).在出发后40分钟两人第一次相遇.小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇.问小张和小王的速度各是多少? 解：画示意图如下：

如图，第一次相遇两人共同走了甲、乙两村间距离，第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村间距离的3倍，因此所需时间是 40×3÷60=2(小时).从图上可以看出从出发至第二次相遇，小张已走了 6×2-2=10(千米).小王已走了 6+2=8(千米).因此，他们的速度分别是 小张 10÷2=5(千米/小时)， 小王 8÷2=4(千米/小时).答：小张和小王的速度分别是5千米/小时和4千米/小时.例12 小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走(到达另一村后就马上返回)，他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远(相遇指迎面相遇)? 解：画示意图如下.

第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍，因此张走了 3.5×3=10.5(千米).从图上可看出，第二次相遇处离乙村2千米.因此，甲、乙两村距离是 10.5-2=8.5(千米).每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离2倍的路程.第四次相遇时，两人已共同走了两村距离(3+2+2)倍的行程.其中张走了 3.5×7=24.5(千米)， 24.5=8.5+8.5+7.5(千米).就知道第四次相遇处，离乙村 8.5-7.5=1(千米).答：第四次相遇地点离乙村1千米.下面仍回到环行路上的问题.例13 绕湖一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行.小王以4千米/小时速度每走1小时后休息5分钟;小张以6千米/小时速度每走50分钟后休息10分钟.问：两人出发多少时间第一次相遇? 解：小张的速度是6千米/小时，50分钟走5千米我们可以把他们出发后时间与行程列出下表：

12+15=27比24大，从表上可以看出，他们相遇在出发后2小时10分至3小时15分之间.出发后2小时10分小张已走了

此时两人相距 24-(8+11)=5(千米).由于从此时到相遇已不会再休息，因此共同走完这5千米所需时间是 5÷(4+6)=0.5(小时).2小时10分再加上半小时是2小时40分.答：他们相遇时是出发后2小时40分.例14 一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫A，B，C分别在这3个点上.它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只

爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置? 解：先考虑B与C这两只爬虫，什么时候能到达同一位置.开始时，它们相差30厘米，每秒钟B能追上C(5-3)厘米0.30÷(5-3)=15(秒).因此15秒后B与C到达同一位置.以后再要到达同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要 90÷(5-3)=45(秒).B与C到达同一位置，出发后的秒数是 15，，105，150，195，…… 再看看A与B什么时候到达同一位置.第一次是出发后 30÷(10-5)=6(秒)，

以后再要到达同一位置是A追上B一圈.需要 90÷(10-5)=18(秒)，

A与B到达同一位置，出发后的秒数是 6，24，42，，78，96，…

对照两行列出的秒数，就知道出发后60秒3只爬虫到达同一位置.答：3只爬虫出发后60秒第一次爬到同一位置.请思考， 3只爬虫第二次到达同一位置是出发后多少秒? 例15 图上正方形ABCD是一条环形公路.已知汽车在AB上的速度是90千米/小时，在BC上的速度是120千米/小时，在CD上的速度是60千米/小时，在DA上的速度是80千米/小时.从CD上一点P，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB中点相遇.如果从PC中点M，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB上一点N处相遇.求

解：两车同时出发至相遇，两车行驶的时间一样多.题中有两个“相遇”，解题过程就是时间的计算.要计算方便，取什么作计算单位是很重要的.设汽车行驶CD所需时间是1.根据“走同样距离，时间与速度成反比”，可得出

分数计算总不太方便，把这些所需时间都乘以24.这样，汽车行驶CD，BC，AB，AD所需时间分别是24，12，16，18.从P点同时反向各发一辆车，它们在AB中点相遇.P→D→A与 P→C→B所用时间相等.PC上所需时间-PD上所需时间 =DA所需时间-CB所需时间 =18-12 =6.而(PC上所需时间+PD上所需时间)是CD上所需时间24.根据“和差”计算得 PC上所需时间是(24+6)÷2=15， PD上所需时间是24-15=9.现在两辆汽车从M点同时出发反向而行，M→P→D→A→N与M→C→B→N所用时间相等.M是PC中点.P→D→A→N与C→B→N时间相等，就有 BN上所需时间-AN上所需时间 =P→D→A所需时间-CB所需时间 =(9+18)-12 = 15.BN上所需时间+AN上所需时间=AB上所需时间 =16.立即可求BN上所需时间是15.5，AN所需时间是0.5.

从这一例子可以看出，对要计算的数作一些准备性处理，会使问题变得简单些.

三、稍复杂的问题

在这一节希望读者逐渐掌握以下两个解题技巧： (1)在行程中能设置一个解题需要的点; (2)灵活地运用比例.例16 小王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间? 解：画一张示意图：

图中A点是小张与小李相遇的地点，图中再设置一个B点，它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5分钟后小王与小李相遇，也就是5分钟的时间，小王和小李共同走了B与A之间这段距离，它等于

这段距离也是出发后小张比小王多走的距离，小王与小张的速度差是(5.4-4.8)千米/小时.小张比小王多走这段距离，需要的时间是 1.3÷(5.4-4.8)×60=130(分钟).这也是从出发到张、李相遇时已花费的时间.小李的速度10.8千米/小时是小张速度5.4千米/小时的2倍.因此小李从A到甲地需要 130÷2=65(分钟).从乙地到甲地需要的时间是 130+65=195(分钟)=3小时15分.答：小李从乙地到甲地需要3小时15分.上面的问题有3个人，既有“相遇”，又有“追及”，思考时要分几个层次，弄清相互间的关系，问题也就迎刃而解了.在图中设置一个B点，使我们的思考直观简明些.例17 小玲和小华姐弟俩正要从公园门口沿马路向东去某地，而他们的家要从公园门口沿马路往西.小华问姐姐：“是先向西回家取了自行车，再骑车向东去，还是直接从公园门口步行向东去快”?姐姐算了一下说：“如果骑车与步行的速度比是4∶1，那么从公园门口到目的地的距离超过2千米时，回家取车才合算.”请推算一下，从公园到他们家的距离是多少米? 解：先画一张示意图

设A是离公园2千米处，设置一个B点，公园离B与公园离家一样远.如果从公园往西走到家，那么用同样多的时间，就能往东走到B点.现在问题就转变成： 骑车从家开始，步行从B点开始，骑车追步行，能在A点或更远处追上步行.具体计算如下：

不妨设B到A的距离为1个单位，因为骑车速度是步行速度的4倍，所以从家到A的距离是4个单位，从家到B的距离是3个单位.公园到B是1.5个单位.从公园到A是 1+1.5=2.5(单位).每个单位是 2000÷2.5=800(米).因此，从公园到家的距离是 800×1.5=1200(米).答：从公园门口到他们家的距离是1200米.这一例子中，取计算单位给计算带来方便，是值得读者仿照采用的.请再看一例.例18 快车和慢车分别从A，B两地同时开出，相向而行.经过5小时两车相遇.已知慢车从B到A用了12.5小时，慢车到A停留半小时后返回.快车到B停留1小时后返回.问：两车从第一次相遇到再相遇共需多少时间? 解：画一张示意图：

设C点是第一次相遇处.慢车从B到C用了5小时，从C到A用了12.5-5=7.5(小时).我们把慢车半小时行程作为1个单位.B到C10个单位，C到A15个单位.慢车每小时走2个单位，快车每小时走3个单位.有了上面“取单位”准备后，下面很易计算了.慢车从C到A，再加停留半小时，共8小时.此时快车在何处呢?去掉它在B停留1小时.快车行驶7小时，共行驶3×7=21(单位).从B到C再往前一个单位到D点.离A点15-1=14(单位).现在慢车从A，快车从D，同时出发共同行走14单位，相遇所需时间是 14÷(2+3)=2.8(小时).慢车从C到A返回行驶至与快车相遇共用了 7.5+0.5+2.8=10.8(小时).答：从第一相遇到再相遇共需10小时48分.例19 一只小船从A地到B地往返一次共用2小时.回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶8千米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米.求A至B两地距离.解：1小时是行驶全程的一半时间，因为去时逆水，小船到达不了B地.我们在B之前设置一个C点，是小船逆水行驶1小时到达处.如下图

第二小时比第一小时多行驶的行程，恰好是C至B距离的2倍，它等于6千米，就知C至B是3千米.为了示意小船顺水速度比逆水速度每小时多行驶8千米，在图中再设置D点，D至C是8千米.也就是D至A顺水行驶时间是1小时.现在就一目了然了.D至B是5千米顺水行驶，与C至B逆水行驶3千米时间一样多.因此 顺水速度∶逆水速度=5∶3.由于两者速度差是8千米.立即可得出

A至B距离是 12+3=15(千米).答：A至B两地距离是15千米.例20 从甲市到乙市有一条公路，它分成三段.在第一段上，汽车速度是每小时40千米，在第二段上，汽车速度是每小时90千米，在第三段上，汽车速度是每小时50千米.已知第一段公路的长恰好是第三段的2倍.现有两辆汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行.1小时20分后，在第二段的

解一：画出如下示意图：

当从乙城出发的汽车走完第三段到C时，从甲城出发的汽车走完第一段的

到达D处，这样，D把第一段分成两部分

时20分相当于

因此就知道，汽车在第一段需要

第二段需要 30×3=90(分钟);

甲、乙两市距离是

答：甲、乙两市相距185千米.把每辆车从出发到相遇所走的行程都分成三段，而两车逐段所用时间都相应地一样.这样通过“所用时间”使各段之间建立了换算关系.这是一种典型的方法.例

8、例13也是类似思路，仅仅是问题简单些.还可以用“比例分配”方法求出各段所用时间.

第一段所用时间∶第三段所用时间=5∶2.

时间一样.第一段所用时间∶第二段所用时间=5∶9.因此，三段路程所用时间的比是 5∶9∶2.汽车走完全程所用时间是 80×2=160(分种).

例21 一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高20%，可以比原定时间提前一小时到达;如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25%，则可提前40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米? 解：设原速度是1.

%后，所用时间缩短到原时间的

这是具体地反映：距离固定，时间与速度成反比.用原速行驶需要

同样道理，车速提高25%，所用时间缩短到原来的

如果一开始就加速25%，可少时间

现在只少了40分钟， 72-40=32(分钟).说明有一段路程未加速而没有少这个32分钟，它应是这段路程所用时间

真巧，320-160=160(分钟)，原速的行程与加速的行程所用时间一样.因此全程长

答：甲、乙两地相距270千米.十分有意思，按原速行驶120千米，这一条件只在最后用上.事实上，其他条件已完全确定了“原速”与“加速”两段行程的时间的比例关系，当然也确定了距离的比例关系.全程长还可以用下面比例式求出，设全程长为x，就有 x∶120=72∶32

推荐第5篇：小学数学奥数教案

绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程

小学奥数基础教程

第1讲 速算与巧算

（一） 第2讲 速算与巧算

（二） 第3讲 高斯求和

第4讲 4，8，9整除的数的特征 第5讲 弃九法

第6讲 数的整除性

（二） 第7讲 找规律

（一） 第8讲 找规律

（二） 第9讲 数字谜

（一） 第10讲 数字谜

（二） 第11讲 归一问题与归总问题 第12讲 年龄问题

第13讲 鸡兔同笼问题与假设法 第14讲 盈亏问题与比较法

（一） 第15讲 盈亏问题与比较法

（二） 第16讲 数阵图

（一） 第17讲 数阵图

（二） 第18讲 数阵图

（三） 第19将 乘法原理 第20讲 加法原理

（一） 第21讲 加法原理

（二） 第22讲 还原问题

（一） 第23讲 还原问题

（二） 第24讲 页码问题 第25讲 智取火柴 第26讲 逻辑问题

（一） 第27讲 逻辑问题

（二） 第28讲 最不利原则 第29讲 抽屉原理

（一） 第30讲 抽屉原理

（二） 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程第1讲 速算与巧算

（一）

计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。

我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。

例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：

86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。

求这10名同学的总分。

分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下：

6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。于是得到

总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-6+12-11+4-5）

＝800＋9＝809。

实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。为了清楚起见，将这一过程表示如下：

通过口算，得到差数累加为9，再加上80×10，就可口算出结果为809。

例1所用的方法叫做加法的基准数法。这种方法适用于加数较多，而且所有的加数相差不大的情况。作为“基准”的数（如例1的80）叫做基准数，各数与基准数的差的和叫做累计差。由例1得到：

总和数=基准数×加数的个数+累计差，平均数=基准数+累计差÷加数的个数。

在使用基准数法时，应选取与各数的差较小的数作为基准数，这样才容易计算累计差。同时考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来，所以基准数应尽量选取整

十、整百的数。

例2 某农场有10块麦田，每块的产量如下（单位：千克）：

462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。求平均每块麦田的产量。 解：选基准数为450，则

累计差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11

＝50，

平均每块产量=450＋50÷10＝455（千克）。

答：平均每块麦田的产量为455千克。

求一位数的平方，在乘法口诀的九九表中已经被同学们熟知，如7×7＝49（七七四十九）。对于两位数的平方，大多数同学只是背熟了10～20的平方，而21～99的平方就不大熟悉了。有没有什么窍门，能够迅速算出两位数的平方呢？这里向同学们介绍一种方法——凑整补零法。所谓凑整补零法，就是用所求数与最接近的整十数的差，通过移多补少，将所求数转化成一个整十数乘以另一数，再加上零头的平方数。下面通过例题来说明这一方法。 例3 求292和822的值。 解：292=29×29

＝（29＋1）×（29-1）＋12

＝30×28＋1

＝840+1

＝841。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程

822＝82×82

＝（82－2）×（82＋2）＋2

2 ＝80×84＋4

＝6720+4

＝6724。

由上例看出，因为29比30少1，所以给29“补”1，这叫“补少”；因为82比80多2，所以从82中“移走”2，这叫“移多”。因为是两个相同数相乘，所以对其中一个数“移多补少”后，还需要在另一个数上“找齐”。本例中，给一个29补1，就要给另一个29减1；给一个82减了2，就要给另一个82加上2。最后，还要加上“移多补少”的数的平方。

由凑整补零法计算352，得

35×35＝40×30＋52=1225。这与三年级学的个位数是5的数的平方的速算方法结果相同。

这种方法不仅适用于求两位数的平方值，也适用于求三位数或更多位数的平方值。 例4 求9932和20042的值。 解：9932=993×993

＝（993＋7）×（993-7）+72

＝1000×986＋49

＝986000＋49

＝986049。

20042=2004×2004

＝（2004-4）×（2004+4）＋42

＝2000×2008＋16

＝4016000＋16

＝4016016。

下面，我们介绍一类特殊情况的乘法的速算方法。

请看下面的算式：

66×46，73×88，19×44。

这几道算式具有一个共同特点，两个因数都是两位数，一个因数的十位数与个位数相同，另一因数的十位数与个位数之和为10。这类算式有非常简便的速算方法。 例5 88×64＝？

分析与解：由乘法分配律和结合律，得到

88×64

＝（80＋8）×（60＋4）

＝（80＋8）×60＋（80＋8）×4

＝80×60＋8×60＋80×4＋8×4

＝80×60＋80×6＋80×4＋8×4

＝80×（60＋6＋4）＋8×4

＝80×（60＋10）＋8×4

＝8×（6＋1）×100+8×4。

于是，我们得到下面的速算式：

由上式看出，积的末两位数是两个因数的个位数之积，本例为8×4；积中从百位起前面的数是“个位与十位相同的因数”的十位数与“个位与十位之和为10的因数”的十位数加1的乘积，本例为8×（6＋1）。 例6 77×91＝？

解：由例3的解法得到 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程

由上式看出，当两个因数的个位数之积是一位数时，应在十位上补一个0，本例为7×1＝07。

用这种速算法只需口算就可以方便地解答出这类两位数的乘法计算。 练习1

1.求下面10个数的总和：

165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。

2.农业科研小组测定麦苗的生长情况，量出12株麦苗的高度分别为（单位：厘米）：

26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。求这批麦苗的平均高度。

3.某车间有9个工人加工零件，他们加工零件的个数分别为：

68，91，84，75，78，81，83，72，79。

他们共加工了多少个零件？

4.计算：

13＋16＋10+11＋17＋12＋15＋12＋16＋13＋12。

5.计算下列各题：

（1）372； （2）532； （3）912；

（4）682： （5）1082； （6）3972。

6.计算下列各题：

（1）77×28；（2）66×55； （3）33×19；（4）82×44； （5）37×33；（6）46×99。

练习1 答案

1.1596。2.26厘米。

3.711个。4.147。

5.（1）1369；（2）2809； （3）8281；

（4）4624； （5）11664； （6）157609。

6.（1）2156；（2）3630； （3）627；

（4）3608； （5）1221； （6）4554。 第2讲 速算与巧算

（二）

上一讲我们介绍了一类两位数乘法的速算方法，这一讲讨论乘法的“同补”与“补同”速算法。

两个数之和等于10，则称这两个数互补。在整数乘法运算中，常会遇到像72×78，26×86等被乘数与乘数的十位数字相同或互补，或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的情况。72×78的被乘数与乘数的十位数字相同、个位数字互补，这类式子我们称为“头相同、尾互补”型；26×86的被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同，这类式子我们称为“头互补、尾相同”型。计算这两类题目，有非常简捷的速算方法，分别称为“同补”速算法和“补同”速算法。

例1 （1）76×74＝？ （2）31×39＝？

分析与解：本例两题都是“头相同、尾互补”类型。

（1）由乘法分配律和结合律，得到 76×74 ＝（70＋6）×（70+4）

＝（70＋6）×70＋（70＋6）×4＝70×70＋6×70＋70×4＋6×4 ＝70×（70＋6＋4）＋6×4 ＝70×（70＋10）＋6×4 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程＝7×（7+1）×100＋6×4。 于是，我们得到下面的速算式：

（2）与（1）类似可得到下面的速算式：

由例1看出，在“头相同、尾互补”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补0，如1×9＝09），积中从百位起前面的数是被乘数（或乘数）的十位数与十位数加1的乘积。“同补”速算法简单地说就是： 积的末两位是“尾×尾”，前面是“头×（头+1）”。

我们在三年级时学到的15×15，25×25，„，95×95的速算，实际上就是“同补”速算法。

例2 （1）78×38＝？ （2）43×63＝？

分析与解：本例两题都是“头互补、尾相同”类型。 （1）由乘法分配律和结合律，得到

78×38 ＝（70＋8）×（30＋8）

＝（70＋8）×30＋（70＋8）×8 ＝70×30+8×30＋70×8＋8×8 ＝70×30＋8×（30＋70）＋8×8 ＝7×3×100＋8×100＋8×8 ＝（7×3＋8）×100＋8×8。 于是，我们得到下面的速算式：

（2）与（1）类似可得到下面的速算式：

由例2看出，在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补0，如3×3＝09），积中从百位起前面的数是两个因数的十位数之积加上被乘数（或乘数）的个位数。“补同”速算法简单地说就是： 积的末两位数是“尾×尾”，前面是“头×头+尾”。

例1和例2介绍了两位数乘以两位数的“同补”或“补同”形式的速算法。当被乘数和乘数多于两位时，情况会发生什么变化呢？

我们先将互补的概念推广一下。当两个数的和是10，100，1000，„时，这两个数互为补数，简称互补。如43与57互补，99与1互补，555与445互补。

在一个乘法算式中，当被乘数与乘数前面的几位数相同，后面的几位数互补时，这个算式就是“同补”型，即“头相同，尾互补”型。例如， 因为被乘数与乘数的绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程前两位数相同，都是70，后两位数互补，77＋23＝100，所以是“同补”型。又如，

等都是“同补”型。

当被乘数与乘数前面的几位数互补，后面的几位数相同时，这个乘法算式就是“补同”型，即“头互补，尾相同”型。例如， 等都是“补同”型。

在计算多位数的“同补”型乘法时，例1的方法仍然适用。 例3 （1）702×708=？ （2）1708×1792＝？ 解：（1）

（2）

计算多位数的“同补”型乘法时，将“头×（头+1）”作为乘积的前几位，将两个互补数之积作为乘积的后几位。

注意：互补数如果是n位数，则应占乘积的后2n位，不足的位补“0”。

在计算多位数的“补同”型乘法时，如果“补”与“同”，即“头”与“尾”的位数相同，那么例2的方法仍然适用（见例4）；如果“补”与“同”的位数不相同，那么例2的方法不再适用，因为没有简捷实用的方法，所以就不再讨论了。 例4 2865×7265＝？

解：

练习2

计算下列各题：

1.68×62；2.93×97；

3.27×87；4.79×39；

5.42×62；6.603×607；

7.693×607；8.4085×6085。 第3讲 高斯求和

德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：

1＋2＋3＋4＋„＋99＋100＝？

老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：

1＋100＝2＋99＝3＋98＝„＝49＋52＝50＋51。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程

1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为

（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如：

（1）1，2，3，4，5，„，100；

（2）1，3，5，7，9，„，99；（3）8，15，22，29，36，„，71。

其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式： 和=（首项+末项）×项数÷2。 例1 1＋2＋3＋„＋1999＝？

分析与解：这串加数1，2，3，„，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。由等差数列求和公式可得

原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。 例2 11＋12＋13＋„＋31＝？

分析与解：这串加数11，12，13，„，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。

原式=（11+31）×21÷2=441。

在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到 项数=（末项-首项）÷公差+1， 末项=首项+公差×（项数-1）。 例3 3＋7＋11＋„＋99＝？

分析与解：3，7，11，„，99是公差为4的等差数列， 项数=（99－3）÷4＋1＝25， 原式=（3＋99）×25÷2＝1275。

例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。 解：末项=25＋3×（40-1）＝142， 和=（25＋142）×40÷2＝3340。

利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。 例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？

分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表： 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。

解：（1）最大三角形面积为

（1＋3＋5＋„＋15）×12 ＝［（1＋15）×8÷2］×12 ＝768（厘米2）。

2）火柴棍的数目为

3＋6＋9+„+24 ＝（3＋24）×8÷2=108（根）。

答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成。

例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里„„第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？

分析与解：一只球变成3只球，实际上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只球„„第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了

2×1＋2×2＋„＋2×10 ＝2×（1＋2＋„＋10） ＝2×55＝110（只）。

加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。

综合列式为：

（3-1）×（1＋2＋„＋10）＋3 ＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。

练习3

1.计算下列各题：

（1）2＋4＋6＋„＋200；

（2）17＋19＋21＋„＋39； （3）5＋8＋11＋14＋„＋50； （4）3＋10＋17＋24＋„＋101。

2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。

3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。

4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。问：时钟一昼夜敲打多少次？

5.求100以内除以3余2的所有数的和。

6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？

第四讲

我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。

数的整除具有如下性质： 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。 性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。

性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。

利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：

（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。

（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。

（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。

（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。

（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。

（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。

其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程

因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。这就证明了（4）。

类似地可以证明（5）。

（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。

837＝800＋30＋7 ＝8×100＋3×10＋7 ＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7 ＝8×99＋8＋3×9＋3＋7 ＝（8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）。

因为99和9都能被9整除，所以根据整除的性质1和性质2知，（8x99＋3x9）能被9整除。再根据整除的性质2，由（8＋3＋7）能被9整除，就能判断837能被9整除。

利用（4）（5）（6）还可以求出一个数除以4，8，9的余数： （4‘）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。 （5＇）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。 （6＇）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。 例1 在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？ 234，789，7756，8865，3728.8064。 解：能被4整除的数有7756，3728，8064；

能被8整除的数有3728，8064； 能被9整除的数有234，8865，8064。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程例2 在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？

解：如果56□2能被9整除，那么

5＋6＋□＋2＝13＋□

应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除；

如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除；

如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。

到现在为止，我们已经学过能被2，3，5，4，8，9整除的数的特征。根据整除的性质3，我们可以把判断整除的范围进一步扩大。例如，判断一个数能否被6整除，因为6＝2×3，2与3互质，所以如果这个数既能被2整除又能被3整除，那么根据整除的性质3，可判定这个数能被6整除。同理，判断一个数能否被12整除，只需判断这个数能否同时被3和4整除；判断一个数能否被72整除，只需判断这个数能否同时被8和9整除；如此等等。

例3 从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。

解：因为组成的三位数能同时被2，5整除，所以个位数字为0。根据三位数能被3整除的特征，数字和2＋7＋0与5＋7＋0都能被3整除，因此所求的这些数为270，570，720，750。 例4 五位数分析与解：已知以能被72整除，问：A与B各代表什么数字？

能被72整除。因为72＝8×9，8和9是互质数，所既能被8整除，又能被9整除。根据能被8整除的数的特征，要求绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程能被8整除，由此可确定B＝6。再根据能被9整除的数的特征，的各位数字之和为

A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，

因为l≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。在这个范围内只有27能被9整除，所以A＝7。

解答例4的关键是把72分解成8×9，再分别根据能被8和9整除的数的特征去讨论B和A所代表的数字。在解题顺序上，应先确定B所代表的数字，因为B代表的数字不受A的取值大小的影响，一旦B代表的数字确定下来，A所代表的数字就容易确定了。 例5 六位数是6的倍数，这样的六位数有多少个？

分析与解：因为6＝2×3，且2与3互质，所以这个整数既能被2整除又能被3整除。由六位数能被2整除，推知A可取0，2，4，6，8这五个值。再由六位数能被3整除，推知 3＋A＋B＋A＋B＋A＝3＋3A＋2B

能被3整除，故2B能被3整除。B可取0，3，6，9这4个值。由于B可以取4个值，A可以取5个值，题目没有要求A≠B，所以符合条件的六位数共有5×4＝20（个）。 例6 要使六位数表什么数字？

分析与解：因为36＝4×9，且4与9互质，所以这个六位数应既能被4整除又能被9整除。六位数此C可取1，3，5，7，9。

要使所得的商最小，就要使

这个六位数尽可能小。因此首先是A

的

能被4整除，就要

能被4整除，因

能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代尽量小，其次是B尽量小，最后是C尽量小。先试取A=0。六位数绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程各位数字之和为12＋B＋C。它应能被9整除，因此B＋C＝6或B＋C＝15。因为B，C应尽量小，所以B＋C＝6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使尽可能小，应取B＝1，C＝5。

当A=0，B=1，C＝5时，六位数能被36整除，而且所得商最小，为150156÷36＝4171。 练习4

1．6539724能被4，8，9，24，36，72中的哪几个数整除？

2．个位数是5，且能被9整除的三位数共有多少个？

3．一些四位数，百位上的数字都是3，十位上的数字都是6，并且它们既能被2整除又能被3整除。在这样的四位数中，最大的和最小的各是多少？

4．五位数能被12整除，求这个五位数。

5．有一个能被24整除的四位数□23□，这个四位数最大是几？最小是几？

6．从0，2，3，6，7这五个数码中选出四个，可以组成多少个可以被8整除的没有重复数字的四位数？

7．在123的左右各添一个数码，使得到的五位数能被72整除。

8．学校买了72只小足球，发票上的总价有两个数字已经辨认不清，只看到是□67.9□元，你知道每只小足球多少钱吗？ 第5讲 弃九法

从第4讲知道，如果一个数的各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除；如果一个数各个数位上的数字之和被9除余数是几，那么这个数被9除的余数也一定是几。利用这个性质可以迅速地判断一个数能否被9整除或者求出被9除的余数是几。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程

例如，3645732这个数，各个数位上的数字之和为

3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30，

30被9除余3，所以3645732这个数不能被9整除，且被9除后余数为3。

但是，当一个数的数位较多时，这种计算麻烦且易错。有没有更简便的方法呢？

因为我们只是判断这个式子被9除的余数，所以凡是若干个数的和是9时，就把这些数划掉，如3＋6＝9，4＋5＝9，7＋2＝9，把这些数划掉后，最多只剩下一个3（如下图），所以这个数除以9的余数是3。

这种将和为9或9的倍数的数字划掉，用剩下的数字和求除以9的余数的方法，叫做弃九法。

一个数被9除的余数叫做这个数的九余数。利用弃九法可以计算一个数的九余数，还可以检验四则运算的正确性。 例1 求多位数7645821369815436715除以9的余数。 分析与解：利用弃九法，将和为9的数依次划掉。

只剩下7，6，1，5四个数，这时口算一下即可。口算知，7，6，5的和是9的倍数，又可划掉，只剩下1。所以这个多位数除以9余1。 例2 将自然数1，2，3，„依次无间隔地写下去组成一个数1234567891011213„如果一直写到自然数100，那么所得的数除以9的余数是多少？ 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程分析与解：因为这个数太大，全部写出来很麻烦，在使用弃九法时不能逐个划掉和为9或9的倍数的数，所以要配合适当的分析。我们已经熟知

1＋2＋3＋„＋9＝45，

而45是9的倍数，所以每一组1，2，3，„，9都可以划掉。在1～99这九十九个数中，个位数有十组1，2，3，„，9，都可划掉；十位数也有十组1，2，3，„，9，也都划掉。这样在这个大数中，除了0以外，只剩下最后的100中的数字1。所以这个数除以9余1。

在上面的解法中，并没有计算出这个数各个数位上的数字和，而是利用弃九法分析求解。本题还有其它简捷的解法。因为一个数与它的各个数位上的数字之和除以9的余数相同，所以题中这个数各个数位上的数字之和，与1＋2＋„＋100除以9的余数相同。

利用高斯求和法，知此和是5050。因为5050的数字和为5＋0＋5＋0=10，利用弃九法，弃去一个9余1，故5050除以9余1。因此题中的数除以9余1。

例3 检验下面的加法算式是否正确：

2638457＋3521983＋6745785＝12907225。

分析与解：若干个加数的九余数相加，所得和的九余数应当等于这些加数的和的九余数。如果不等，那么这个加法算式肯定不正确。上式中，三个加数的九余数依次为8，4，6，8+4+6的九余数为0；和的九余数为1。因为0≠1，所以这个算式不正确。 例4 检验下面的减法算式是否正确：

7832145-2167953＝5664192。

分析与解：被减数的九余数减去减数的九余数（若不够减，可在被减数的九余数上加9，然后再减）应当等于差的九余数。如果不等，那么这个减绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程法计算肯定不正确。上式中被减数的九余数是3，减数的九余数是6，由（9+3）-6＝6知，原题等号左边的九余数是6。等号右边的九余数也是6。因为6＝6，所以这个减法运算可能正确。

值得注意的是，这里我们用的是“可能正确”。利用弃九法检验加法、减法、乘法（见例5）运算的结果是否正确时，如果等号两边的九余数不相等，那么这个算式肯定不正确；如果等号两边的九余数相等，那么还不能确定算式是否正确，因为九余数只有0，1，2，„，8九种情况，不同的数可能有相同的九余数。所以用弃九法检验运算的正确性，只是一种粗略的检验。

例5 检验下面的乘法算式是否正确：

46876×9537＝447156412。

分析与解：两个因数的九余数相乘，所得的数的九余数应当等于两个因数的乘积的九余数。如果不等，那么这个乘法计算肯定不正确。上式中，被乘数的九余数是4，乘数的九余数是6，4×6＝24，24的九余数是6。乘积的九余数是7。6≠7，所以这个算式不正确。

说明：因为除法是乘法的逆运算，被除数=除数×商+余数，所以当余数为零时，利用弃九法验算除法可化为用弃九法去验算乘法。例如，检验383801÷253=1517的正确性，只需检验1517×253=383801的正确性。 练习5

1．求下列各数除以9的余数：

（1）7468251； （2）36298745；

（3）2657348； （4）6678254193。

2．求下列各式除以9的余数：

（1）67235＋82564； （2）97256-47823； 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程

（3）2783×6451； （4）3477+265×841。

3．用弃九法检验下列各题计算的正确性：

（1）228×222＝50616；

（2）334×336＝112224；

（3）23372428÷6236＝3748；

（4）12345÷6789＝83810105。

4．有一个2000位的数A能被9整除，数A的各个数位上的数字之和是B，数B的各个数位上的数字之和是C，数C的各个数位上的数字之和是D。求D。

第6讲 数的整除性

（二）

这一讲主要讲能被11整除的数的特征。

一个数从右边数起，第1，3，5，„位称为奇数位，第2，4，6，„位称为偶数位。也就是说，个位、百位、万位„„是奇数位，十位、千位、十万位„„是偶数位。例如9位数768325419中，奇数位与偶数位如下图所示：

能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）如果能被11整除，那么这个数就能被11整除。 例1 判断七位数1839673能否被11整除。

分析与解：奇数位上的数字之和为1＋3＋6＋3=13，偶数位上的数字之和为8＋9＋7=24，因为24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。

根据能被11整除的数的特征，也能求出一个数除以11的余数。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程

一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同。如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，那么应在奇数位上的数字之和上再增加11的整数倍，使其大于偶数位上的数字之和。 例2 求下列各数除以11的余数：

（1）41873； （2）296738185。

分析与解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11

=7÷11＝0„„7，

所以41873除以11的余数是7。

（2）奇数位之和为2＋6＋3＋1＋5=17，偶数位之和为9＋7＋8＋8＝32。因为17＜32，所以应给17增加11的整数倍，使其大于32。

（17+11×2）-32＝7，

所以296738185除以11的余数是7。

需要说明的是，当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时，为了计算方便，也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得余数与11的差即为所求。如上题（2）中，（32-17）÷11＝1„„4，所求余数是11-4=7。 例3 求除以11的余数。

分析与解：奇数位是101个1，偶数位是100个9。

（9×100-1×101）÷11

=799÷11=72„„7，

11-7=4，所求余数是4。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程

例3还有其它简捷解法，例如每个“19”奇偶数位上的数字相差9-1＝8， 奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相差8×99=8×9×11，能被11整除。所以例3相当于求最后三位数191除以11的余数。 例4 用3，3，7，7四个数码能排出哪些能被11整除的四位数？ 解：只要奇数位和偶数位上各有一个3和一个7即可。有3377，3773，7337，7733。

例5 用1～9九个数码组成能被11整除的没有重复数字的最大九位数。 分析与解：最大的没有重复数字的九位数是987654321，由

（9＋7＋5＋3＋1）-（8＋6＋4＋2）＝5

知，987654321不能被11整除。为了保证这个数尽可能大，我们尽量调整低位数字，只要使奇数位的数字和增加3（偶数位的数字和自然就减少3），奇数位的数字之和与偶数位的数字之和的差就变为5＋3×2=11，这个数就能被11整除。调整“4321”，只要4调到奇数位，1调到偶数位，奇数位就比原来增大3，就可达到目的。此时，4，3在奇数位，2，1在偶数位，后四位最大是2413。所求数为987652413。 例6 六位数能被99整除，求A和B。

分析与解：由99=9×11，且9与11互质，所以六位数既能被9整除又能被11整除。因为六位数能被9整除，所以

A+2+8+7+5+B

＝22+A+B

应能被9整除，由此推知A＋B＝5或14。又因为六位数能被11整除，所以

（A＋8＋5）－（2＋7＋B） 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程

＝A-B＋4

应能被11整除，即

A-B+4=0或A-B+4=11。

化简得B-A＝4或A-B＝7。

因为A+B与A-B同奇同偶，所以有

在（1）中，A≤5与A≥7不能同时满足，所以无解。

在（2）中，上、下两式相加，得

（B＋A）＋（B-A）＝14＋4，

2B＝18，

B=9。

将B=9代入A＋B=14，得A＝5。

所以，A=5，B＝9。

练习6

1．为使五位数6□295能被11整除，□内应当填几？

2．用1，2，3，4四个数码能排出哪些能被11整除的没有重复数字的四位数？

3．求能被11整除的最大的没有重复数字的五位数。

4．求下列各数除以11的余数：

（1）2485； （2）63582； （3）987654321。

5．求

6．六位数除以11的余数。

5A634B能被33整除，求A+B。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程

7．七位数3A8629B是88的倍数，求A和B。

第7讲 找规律

（一）

我们在三年级已经见过“找规律”这个题目，学习了如何发现图形、数表和数列的变化规律。这一讲重点学习具有“周期性”变化规律的问题。什么是周期性变化规律呢？比如，一年有春夏秋冬四季，百花盛开的春季过后就是夏天，赤日炎炎的夏季过后就是秋天，果实累累的秋季过后就是冬天，白雪皑皑的冬季过后又到了春天。年复一年，总是按照春、夏、秋、冬四季变化，这就是周期性变化规律。再比如，数列0，1，2，0，1，2，0，1，2，0，„是按照0，1，2三个数重复出现的，这也是周期性变化问题。

下面，我们通过一些例题作进一步讲解。

例1 节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接3盏黄灯，然后又是5盏红灯、4盏蓝灯、3盏黄灯、„„这样排下去。问：

（1）第100盏灯是什么颜色？

（2）前150盏彩灯中有多少盏蓝灯？

分析与解：这是一个周期变化问题。彩灯按照5红、4蓝、3黄，每12盏灯一个周期循环出现。

（1）100÷12＝8„„4，所以第100盏灯是第9个周期的第4盏灯，是红灯。

（2）150÷12=12„„6，前150盏灯共有12个周期零6盏灯，12个周期中有蓝灯4×12＝48（盏），最后的6盏灯中有1盏蓝灯，所以共有蓝灯48＋1=49（盏）。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程例2 有一串数，任何相邻的四个数之和都等于25。已知第1个数是3，第6个数是6，第11个数是7。问：这串数中第24个数是几？前77个数的和是多少？

分析与解：因为第1，2，3，4个数的和等于第2，3，4，5个数的和，所以第1个数与第5个数相同。进一步可推知，第1，5，9，13，„个数都相同。

同理，第2，6，10，14，„个数都相同，第3，7，11，15，„个数都相同，第4，8，12，16„个数都相同。

也就是说，这串数是按照每四个数为一个周期循环出现的。所以，第2个数等于第6个数，是6；第3个数等于第11个数，是7。前三个数依次是3，6，7，第四个数是

25-（3+6+7）=9。

这串数按照3，6，7，9的顺序循环出现。第24个数与第4个数相同，是9。由77÷4＝9„„1知，前77个数是19个周期零1个数，其和为25×19+3=478。

例3 下面这串数的规律是：从第3个数起，每个数都是它前面两个数之和的个位数。问：这串数中第88个数是几？

628088640448„

分析与解：这串数看起来没有什么规律，但是如果其中有两个相邻数字与前面的某两个相邻数字相同，那么根据这串数的构成规律，这两个相邻数字后面的数字必然与前面那两个相邻数字后面的数字相同，也就是说将出现周期性变化。我们试着将这串数再多写出几位：

绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程

当写出第21，22位（竖线右面的两位）时就会发现，它们与第1，2位数相同，所以这串数按每20个数一个周期循环出现。由88÷20=4„„8知，第88个数与第8个数相同，所以第88个数是4。

从例3看出，周期性规律有时并不明显，要找到它还真得动点脑筋。 例4 在下面的一串数中，从第五个数起，每个数都是它前面四个数之和的个位数字。那么在这串数中，能否出现相邻的四个数是“2000”？

135761939237134„

分析与解：无休止地将这串数写下去，显然不是聪明的做法。按照例3的方法找到一周期，因为这个周期很长，所以也不是好方法。那么怎么办呢？仔细观察会发现，这串数的前四个数都是奇数，按照“每个数都是它前面四个数之和的个位数字”，如果不看具体数，只看数的奇偶性，那么将这串数依次写出来，得到

奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇„„

可以看出，这串数是按照四个奇数一个偶数的规律循环出现的，永远不会出现四个偶数连在一起的情况，即不会出现“2000”。

例5 A，B，C，D四个盒子中依次放有8，6，3，1个球。第1个小朋友找到放球最少的盒子，然后从其它盒子中各取一个球放入这个盒子；第2个小朋友也找到放球最少的盒子，然后也从其它盒子中各取一个球放入这个盒子„„当100位小朋友放完后，A，B，C，D四个盒子中各放有几个球？ 分析与解：按照题意，前六位小朋友放过后，A，B，C，D四个盒子中的球数如下表： 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程

可以看出，第6人放过后与第2人放过后四个盒子中球的情况相同，所以从第2人放过后，每经过4人，四个盒子中球的情况重复出现一次。

（100-1）÷4＝24„„3，

所以第100次后的情况与第4次（3＋1＝4）后的情况相同，A，B，C，D盒中依次有4，6，3，5个球。

练习7

1．有一串很长的珠子，它是按照5颗红珠、3颗白珠、4颗黄珠、2颗绿珠的顺序重复排列的。问：第100颗珠子是什么颜色？前200颗珠子中有多少颗红珠？

2．将1，2，3，4，„除以3的余数依次排列起来，得到一个数列。求这个数列前100个数的和。

3．有一串数，前两个数是9和7，从第三个数起，每个数是它前面两个数乘积的个位数。这串数中第100个数是几？前100个数之和是多少？

4．有一列数，第一个数是6，以后每一个数都是它前面一个数与7的和的个位数。这列数中第88个数是几？

5．小明按1～3报数，小红按1～4报数。两人以同样的速度同时开始报数，当两人都报了100个数时，有多少次两人报的数相同？

6．A，B，C，D四个盒子中依次放有9，6，3，0个小球。第1个小朋友找到放球最多的盒子，从中拿出3个球放到其它盒子中各1个球；第2绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程个小朋友也找到放球最多的盒子，也从中拿出3个球放到其它盒子中各1个球„„当100个小朋友放完后，A，B，C，D四个盒子中各放有几个球？

第8讲 找规律

（二）

整数a与它本身的乘积，即a×a叫做这个数的平方，记作a2，即a2＝a×a；同样，三个a的乘积叫做a的三次方，记作a3，即a3＝a×a×a。一般地，n个a相乘，叫做a的n次方，记作an，即

本讲主要讲an的个位数的变化规律，以及an除以某数所得余数的变化规律。

因为积的个位数只与被乘数的个位数和乘数的个位数有关，所以an的个位数只与a的个位数有关，而a的个位数只有0，1，2，„，9共十种情况，故我们只需讨论这十种情况。

为了找出一个整数a自乘n次后，乘积的个位数字的变化规律，我们列出下页的表格，看看a，a2，a3，a4，„的个位数字各是什么。

从表看出，an的个位数字的变化规律可分为三类：

（1）当a的个位数是0，1，5，6时，an的个位数仍然是0，1，5，6。

（2）当a的个位数是4，9时，随着n的增大，an的个位数按每两个数为一周期循环出现。其中a的个位数是4时，按4，6的顺序循环出现；a的个位数是9时，按9，1的顺序循环出现。

（3）当a的个位数是2，3，7，8时，随着n的增大，an的个位数按每四个数为一周期循环出现。其中a的个位数是2时，按2，4，8，6的顺序循环出现；a的个位数是3时，按3，9，7，1的顺序循环出现；当a的绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程个位数是7时，按7，9，3，1的顺序循环出现；当a的个位数是8时，按8，4，2，6的顺序循环出现。

例1 求67999的个位数字。

分析与解：因为67的个位数是7，所以67n的个位数随着n的增大，按7，9，3，1四个数的顺序循环出现。

999÷4＝249„„3，

所以67999的个位数字与73的个位数字相同，即67999的个位数字是3。 例2 求291+3291的个位数字。

分析与解：因为2n的个位数字按2，4，8，6四个数的顺序循环出现，91÷4＝22„„3，所以，291的个位数字与23的个位数字相同，等于8。

类似地，3n的个位数字按3，9，7，1四个数的顺序循环出现， 291÷4＝72„„3，

所以3291与33的个位数相同，等于7。

最后得到291+3291的个位数字与8+7的个位数字相同，等于5。 例3 求28128-2929的个位数字。

解：由128÷4＝32知，28128的个位数与84的个位数相同，等于6。由29÷2＝14„„1知，2929的个位数与91的个位数相同，等于9。因为6＜9，在减法中需向十位借位，所以所求个位数字为16－9＝7。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程例4 求下列各除法运算所得的余数：

（1）7855÷5；

（2）555÷3。

分析与解：（1）由55÷4＝13„„3知，7855的个位数与83的个位数相同，等于2，所以7855可分解为10×a＋2。因为10×a能被5整除，所以7855除以5的余数是2。

（2）因为a÷3的余数不仅仅与a的个位数有关，所以不能用求555的个位数的方法求解。为了寻找5n÷3的余数的规律，先将5的各次方除以3的余数列表如下：

注意：表中除以3的余数并不需要计算出5n，然后再除以3去求，而是用上次的余数乘以5后，再除以3去求。比如，52除以3的余数是1，53除以3的余数与1×5=5除以3的余数相同。这是因为52＝3×8+1，其中3×8能被3整除，而

53=（3×8+1）×5=（3×8）×5+1×5，

（3×8）×5能被3整除，所以53除以3的余数与1×5除以3的余数相同。

由上表看出，5n除以3的余数，随着n的增大，按2，1的顺序循环出现。由55÷2=27„„1知，555÷3的余数与51÷3的余数相同，等于2。 例5 某种细菌每小时分裂一次，每次1个细茵分裂成3个细菌。20时后，将这些细菌每7个分为一组，还剩下几个细菌？

分析与解：1时后有1×3=31（个）细菌，2时后有31×3=32（个）细菌„„20时后，有320个细菌，所以本题相当于“求320÷7的余数”。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程

由例4（2）的方法，将3的各次方除以7的余数列表如下：

由上表看出，3n÷7的余数以六个数为周期循环出现。由20÷6＝3„„2知，320÷7的余数与32÷7的余数相同，等于2。所以最后还剩2个细菌。

最后再说明一点，an÷b所得余数，随着n的增大，必然会出现周期性变化规律，因为所得余数必然小于b，所以在b个数以内必会重复出现。

练习8

1．求下列各数的个位数字：

（1）3838； （2）2930；

（3）6431； （4）17215。 2．求下列各式运算结果的个位数字： （1）9222＋5731； （2）615+487+349； （3）469-6211； （4）37×48+59×610。 3．求下列各除法算式所得的余数： （1）5100÷4； （2）8111÷6； （3）488÷7 第9讲 数字谜

（一）

我们在三年级已经学习过一些简单的数字谜问题。这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要学习一些新的内容。

例1 在下面算式等号左边合适的地方添上括号，使等式成立：

5+7×8+12÷4-2＝20。

分析：等式右边是20，而等式左边算式中的7×8所得的积比20大得多。因此必须设法使这个积缩小一定的倍数，化大为小。

从整个算式来看，7×8是4的倍数，12也是4的倍数，5不能被4整除，因此可在7×8+12前后添上小括号，再除以4得17，5＋17-2=20。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程解：5+（7×8+12）÷4-2=20。

例2 把1～9这九个数字填到下面的九个□里，组成三个等式（每个数字只能填一次）：

分析与解：如果从加法与减法两个算式入手，那么会出现许多种情形。如果从乘法算式入手，那么只有下面两种可能：

2×3＝6或2×4＝8，

所以应当从乘法算式入手。

因为在加法算式□+□=□中，等号两边的数相等，所以加法算式中的三个□内的三个数的和是偶数；而减法算式□-□=可以变形为加法算式□=□+□，所以减法算式中的三个□内的三个数的和也是偶数。于是可知，原题加减法算式中的六个数的和应该是偶数。

若乘法算式是2×4＝8，则剩下的六个数1，3，5，6，7，9的和是奇数，不合题意；

若乘法算式是2×3＝6，则剩下的六个数1，4，5，7，8，9可分为两组：

4＋5＝9，8-7＝1（或8-1＝7）；

1＋7＝8，9－5＝4（或9－4＝5）。

所以答案为 与

绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程例3 下面的算式是由1～9九个数字组成的，其中“7”已填好，请将其余各数填入□，使得等式成立：

□□□÷□□=□-□=□-7。

分析与解：因为左端除法式子的商必大于等于2，所以右端被减数只能填9，由此知左端被除数的百位数只能填1，故中间减式有8-6，6-4，5-3和4-2四种可能。经逐一验证，8-6，6-4和4-2均无解，只有当中间减式为5-3时有如下两组解：

128÷64=5-3=9-7，

或 164÷82＝5-3＝9-7。

例4 将1～9九个数字分别填入下面四个算式的九个□中，使得四个等式都成立：

□+□=6， □×□=8，

□-□=6， □□÷□=8。

分析与解：因为每个□中要填不同的数字，对于加式只有两种填法：1＋5或2＋4；对于乘式也只有两种填法：1×8或2×4。加式与乘式的数字不能相同，搭配后只有两种可能： （1）加式为1＋5，乘式为2×4； （2）加式为2+4，乘式为1×8。

对于（1），还剩3，6，7，8，9五个数字未填，减式只能是9-3，此时除式无法满足；

对于（2），还剩3，5，6，7，9五个数字未填，减式只能是9-3，此时除式可填56÷7。答案如下：

2＋4＝6， 1×8＝8，

9－3＝6， 56÷7＝8。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程

例2～例4都是对题目经过初步分析后，将满足题目条件的所有可能情况全部列举出来，再逐一试算，决定取舍。这种方法叫做枚举法，也叫穷举法或列举法，它适用于只有几种可能情况的题目，如果可能的情况很多，那么就不宜用枚举法。

例5 从1～9这九个自然数中选出八个填入下式的八个○内，使得算式的结果尽可能大：

[○÷○×（○+○）]-[○×○+○-○]。

分析与解：为使算式的结果尽可能大，应当使前一个中括号内的结果尽量大，后一个中括号内的结果尽量小。为叙述方便，将原式改写为：

[A÷B×（C＋D）]-[E×F＋G－H]。

通过分析，A，C，D，H应尽可能大，且A应最大，C，D次之，H再次之；B，E，F，G应尽可能小，且B应最小，E，F次之，G再次之。于是得到A=9，C=8，D=7，H=6，B=1，E=2，F=3，G=4，其中C与D，E与F的值可互换。将它们代入算式，得到

[9÷1×（8＋7）]－[2×3＋4－6]=131。

练习9

1．在下面的算式里填上括号，使等式成立：

（1）4×6+24÷6-5=15；

（2）4×6+24÷6-5=35；

（3）4×6+24÷6-5=48；

（4）4×6+24÷6-5＝0。

2．加上适当的运算符号和括号，使下式成立：

1 2 3 4 5 ＝100。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程

3．把0～9这十个数字填到下面的□里，组成三个等式（每个数字只能填一次）：

□+□=□，

□-□=□，

□×□=□□。

4．在下面的□里填上+，-，×，÷，（）等符号，使各个等式成立：

4□4□4□4＝1，

4□4□4□4＝3，

4□4□4□4＝5，

4□4□4□4＝9。

5．将2～7这六个数字分别填入下式的□中，使得等式成立：

□+□-□=□×□÷□。

6．将1～9分别填入下式的九个□内，使算式取得最大值：

□□□×□□□×□□□。

7．将1～8分别填入下式的八个□内，使算式取得最小值： □□×□□×□□×□□。

第10讲 数字谜

（二）

例1 把下面算式中缺少的数字补上：

分析与解：一个四位数减去一个三位数，差是一个两位数，也就是说被减数与减数相差不到100。四位数与三位数相差不到100，三位数必然大于900，四位数必然小于1100。由此我们找出解决本题的突破口在百位数上。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程

（1）填百位与千位。由于被减数是四位数，减数是三位数，差是两位数，所以减数的百位应填9，被减数的千位应填1，百位应填0，且十位相减时必须向百位借1。

（2）填个位。由于被减数个位数字是0，差的个位数字是1，所以减数的个位数字是9。

（3）填十位。由于个位向十位借1，十位又向百位借1，所以被减数十位上的实际数值是18，18分解成两个一位数的和，只能是9与9，因此，减数与差的十位数字都是9。

所求算式如右式。

由例1看出，考虑减法算式时，借位是一个重要条件。

例2 在下列各加法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，求出这两个算式：

分析与解：（1）这是一道四个数连加的算式，其特点是相同数位上的数字相同，且个位与百位上的数字相同，即都是汉字“学”。

从个位相同数相加的情况来看，和的个位数字是8，有两种可能情况：2＋2＋2＋2＝8与7＋7＋7＋7＝28，即“学”＝2或7。

如果“学”＝2，那么要使三个“数”所代表的数字相加的和的个位数字为8，“数”只能代表数字6。此时，百位上的和为“学”＋“学”＋1＝2＋2＋1＝5≠4。因此“学”≠2。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程

如果“学”＝7，那么要使三个“数”所代表的数字相加再加上个位进位的2，和的个位数字为8，“数”只能代表数字2。百位上两个7相加要向千位进位1，由此可得“我”代表数字3。

满足条件的解如右式。

（2）由千位看出，“努”=4。由千、百、

十、个位上都有“努”，5432-4444=988，可将竖式简化为左下式。同理，由左下式看出，“力”=8，988-888=100，可将左下式简化为下中式，从而求出“学”=9，“习”=1。

满足条件的算式如右下式。

例2中的两题形式类似，但题目特点并不相同，解法也不同，请同学们注意比较。

例3 下面竖式中每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，求被乘数。

分析与解：由于个位上的“赛”ד赛”所得的积不再是“赛”，而是另一个数，所以“赛”的取值只能是2，3，4，7，8，9。

下面采用逐一试验的方法求解。

（1）若“赛”＝2，则“数”＝4，积=444444。被乘数为444444÷2＝222222，而被乘数各个数位上的数字各不相同，所以“赛”≠2。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程

（2）若“赛”＝3，则“数”=9，仿（1）讨论，也不行。

（3）若“赛”＝4，则“数”＝6，积=666666。666666÷4得不到整数商，不合题意。

（4）若“赛”＝7，则“数”＝9，积=999999。被乘数为999999÷7＝142857，符合题意。

（5）若“赛”＝8或9，仿上讨论可知，不合题意。

所以，被乘数是142857。

例4 在□内填入适当的数字，使左下式的乘法竖式成立。

分析与解：为清楚起见，我们用A，B，C，D，„表示□内应填入的数字（见右上式）。

由被乘数大于500知，E=1。由于乘数的百位数与被乘数的乘积的末位数是5，故B，C中必有一个是5。若C＝5，则有

6□□×5=（600+□□）×5=3000+□□×5，

不可能等于□5□5，与题意不符，所以B=5。再由B=5推知G=0或5。若G=5，则F=A=9，此时被乘数为695，无论C为何值，它与695的积不可能等于□5□5，与题意不符，所以G=0，F=A=4。此时已求出被乘数是645，经试验只有645×7满足□5□5，所以C=7；最后由B=5，G=0知D为偶数，经试验知D=2。

右式为所求竖式。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程

此类乘法竖式题应根据已给出的数字、乘法及加法的进位情况，先填比较容易的未知数，再依次填其余未知数。有时某未知数有几种可能取值，需逐一试验决定取舍。

例5 在□内填入适当数字，使左下方的除法竖式成立。

分析与解：把左上式改写成右上式。根据除法竖式的特点知，B=0，D=G=1，E=F=H=9，因此除数应是99的两位数的约数，可能取值有11，33和99，再由商的个位数是5以及5与除数的积是两位数得到除数是11，进而知A＝C-9。至此，除数与商都已求出，其余未知数都可填出（见右式）。

此类除法竖式应根据除法竖式的特点，如商的空位补0、余数必须小于除数，以及空格间的相互关系等求解，只要求出除数和商，问题就迎刃而解了。

例6 把左下方除法算式中的*号换成数字，使之成为一个完整的式子（各*所表示的数字不一定相同）。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程

分析与解：由上面的除法算式容易看出，商的十位数字“*”是0，即商为。

因为除数与8的积是两位数，除数与商的千位数字的积是三位数，知商的千位数是9，即商为9807。

因为“除数×9”是三位数，所以除数≥12；又因为“除数×8”是两位数，所以除数≤12。推知除数只能是12。被除数为9807×12＝117684。

除法算式如上页右式。 练习10

1．在下面各竖式的□内填入合适的数字，使竖式成立：

2．右面的加法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。问：“小”代表什么数字？

3．在下列各算式中，不同的汉字代表不同的数字相同的汉字代表相同的数字。求出下列各式： 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程

4．在下列各算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。这些算式中各字母分别代表什么数字？

第11讲 归一问题与归总问题

在解答某些应用题时，常常需要先找出“单一量”，然后以这个“单一量”为标准，根据其它条件求出结果。用这种解题思路解答的应用题，称为归一问题。所谓“单一量”是指单位时间的工作量、物品的单价、单位面积的产量、单位时间所走的路程等。

例1 一种钢轨，4根共重1900千克，现在有95000千克钢，可以制造这种钢轨多少根？（损耗忽略不计）

分析：以一根钢轨的重量为单一量。

（1）一根钢轨重多少千克？

1900÷4＝475（千克）。

（2）95000千克能制造多少根钢轨？

95000÷475＝200（根）。

解：95000÷（1900÷4）＝200（根）。

答：可以制造200根钢轨。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程例2 王家养了5头奶牛，7天产牛奶630千克，照这样计算，8头奶牛15天可产牛奶多少千克？

分析：以1头奶牛1天产的牛奶为单一量。

（1）1头奶牛1天产奶多少千克？

630÷5÷7＝18（千克）。

（2）8头奶牛15天可产牛奶多少千克？

18×8×15＝2160（千克）。

解：（630÷5÷7）×8×15=2160（千克）。

答：可产牛奶2160千克。

例3 三台同样的磨面机2.5时可以磨面粉2400千克，8台这样的磨面机磨25600千克面粉需要多少时间？

分析与解：以1台磨面机1时磨的面粉为单一量。

（1）1台磨面机1时磨面粉多少千克？

2400÷3÷2.5=320（千克）。

（2）8台磨面机磨25600千克面粉需要多少小时？

25600÷320÷8=10（时）。

综合列式为

25600÷（2400÷3÷2.5）÷8=10（时）。

例4 4辆大卡车运沙土，7趟共运走沙土336吨。现在有沙土420吨，要求5趟运完。问：需要增加同样的卡车多少辆？ 分析与解：以1辆卡车1趟运的沙土为单一量。

（1）1辆卡车1趟运沙土多少吨？

336÷4÷7=12（吨）。

（2）5趟运走420吨沙土需卡车多少辆？ 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程

420÷12÷5＝7（辆）。

（3）需要增加多少辆卡车？

7-4＝3（辆）。

综合列式为

420÷（336÷4÷7）÷5-4＝3（辆）。

与归一问题类似的是归总问题，归一问题是找出“单一量”，而归总问题是找出“总量”，再根据其它条件求出结果。所谓“总量”是指总路程、总产量、工作总量、物品的总价等。

例5 一项工程，8个人工作15时可以完成，如果12个人工作，那么多少小时可以完成？

分析：（1）工程总量相当于1个人工作多少小时？

15×8＝120（时）。

（2）12个人完成这项工程需要多少小时？

120÷12＝10（时）。 解：15×8÷12＝10（时）。

答：12人需10时完成。

例6 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60千米，5时到达。若要4时到达，则每小时需要多行多少千米？

分析：从甲地到乙地的路程是一定的，以路程为总量。

（1）从甲地到乙地的路程是多少千米？

60×5=300（千米）。

（2）4时到达，每小时需要行多少千米？

300÷4＝75（千米）。

（3）每小时多行多少千米？ 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程

75－60＝15（千米）。

解：（60×5）÷4——60＝15（千米）。

答：每小时需要多行15千米。

例7 修一条公路，原计划60人工作，80天完成。现在工作20天后，又增加了30人，这样剩下的部分再用多少天可以完成？

分析：（1）修这条公路共需要多少个劳动日（总量）？

60×80＝4800（劳动日）。

（2）60人工作20天后，还剩下多少劳动日？

4800-60×20=3600（劳动日）。

（3）剩下的工程增加30人后还需多少天完成？

3600÷（60＋30）=40（天）。

解：（60×80-60×20）÷（60＋30）＝40（天）。

答：再用40天可以完成。

练习11

1．2台拖拉机4时耕地20公顷，照这样速度，5台拖拉机6时可耕地多少公顷？

2．4台织布机5时可以织布2600米，24台织布机几小时才能织布24960米？

3．一种幻灯机，5秒钟可以放映80张片子。问：48秒钟可以放映多少张片子？

4．3台抽水机8时灌溉水田48公顷，照这样的速度，5台同样的抽水机6时可以灌溉水田多小公顷？ 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程

5．平整一块土地，原计划8人平整，每天工作7.5时，6天可以完成任务。由于急需播种，要求5天完成，并且增加1人。问：每天要工作几小时？

6．食堂管理员去农贸市场买鸡蛋，原计划按每千克3.00元买35千克。结果鸡蛋价格下调了，他用这笔钱多买了2.5千克鸡蛋。问：鸡蛋价格下调后是每千克多少元？

7．锅炉房按照每天4.5吨的用量储备了120天的供暖煤。供暖40天后，由于进行了技术改造，每天能节约0.9吨煤。问：这些煤共可以供暖多少天？

第12讲 年龄问题

年龄问题是一类以“年龄为内容”的数学应用题。

年龄问题的主要特点是：二人年龄的差保持不变，它不随岁月的流逝而改变；二人的年龄随着岁月的变化，将增或减同一个自然数；二人年龄的倍数关系随着年龄的增长而发生变化，年龄增大，倍数变小。

根据题目的条件，我们常将年龄问题化为“差倍问题”、“和差问题”、“和倍问题”进行求解。

例1 儿子今年10岁，5年前母亲的年龄是他的6倍，母亲今年多少岁？ 分析与解：儿子今年10岁，5年前的年龄为5岁，那么5年前母亲的年龄为5×6＝30（岁），因此母亲今年是

30＋5=35（岁）。

例2 今年爸爸48岁，儿子20岁，几年前爸爸的年龄是儿子的5倍？ 分析与解：今年爸爸与儿子的年龄差为“48——20”岁，因为二人的年龄差不随时间的变化而改变，所以当爸爸的年龄为儿子的5倍时，两人的年绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程龄差还是这个数，这样就可以用“差倍问题”的解法。当爸爸的年龄是儿子年龄的5倍时，儿子的年龄是

（48——20）÷（5——1）＝7（岁）。

由20－7＝13（岁），推知13年前爸爸的年龄是儿子年龄的5倍。 例3 兄弟二人的年龄相差5岁，兄3年后的年龄为弟4年前的3倍。问：兄、弟二人今年各多少岁？

分析与解：根据题意，作示意图如下：

由上图可以看出，兄3年后的年龄比弟4年前的年龄大5＋3＋4＝12（岁），由“差倍问题”解得，弟4年前的年龄为（5＋3＋4）÷（3－1）＝6（岁）。由此得到

弟今年6＋4＝10（岁），

兄今年10＋5＝15（岁）。

例4 今年兄弟二人年龄之和为55岁，哥哥某一年的岁数与弟弟今年的岁数相同，那一年哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的2倍，请问哥哥今年多少岁？ 分析与解：在哥哥的岁数是弟弟的岁数2倍的那一年，若把弟弟岁数看成一份，那么哥哥的岁数比弟弟多一份，哥哥与弟弟的年龄差是1份。又因为那一年哥哥岁数与今年弟弟岁数相等，所以今年弟弟岁数为2份，今年哥哥岁数为2＋1=3（份）（见下页图）。

由“和倍问题”解得，哥哥今年的岁数为

55÷(3+2)×3=33(岁)。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程

例5 哥哥5年前的年龄与妹妹4年后的年龄相等，哥哥2年后的年龄与妹妹8年后的年龄和为97岁，请问二人今年各多少岁？

分析与解：由“哥哥5年前的年龄与妹妹4年后的年龄相等”可知兄妹二人的年龄差为“4＋5”岁。由“哥哥2年后的年龄与妹妹8年后的年龄和为97岁”，可知兄妹二人今年的年龄和为“97——2——8”岁。由“和差问题”解得，

兄[（97——2——8）＋（4＋5）]÷2＝48（岁），

妹[（97——2——8）-（4＋5）]÷2=39（岁）。

例6 1994年父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的4倍。2000年，父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的2倍。问：父亲出生在哪一年？

分析与解：如果用1段线表示兄弟二人1994年的年龄和，则父亲1994年的年龄要用4段线来表示（见下页图）。

父亲在2000年的年龄应是4段线再加6岁，而兄弟二人在2000年的年龄之和是1段线再加2×6＝12（岁），它是父亲年龄的一半，也就是2段线再加3岁。由

1段＋12岁=2段＋3岁，

推知1段是9岁。所以父亲1994年的年龄是9×4＝36（岁），他出生于 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程

1994——36＝1958（年）。

例7今年父亲的年龄为儿子的年龄的4倍，20年后父亲的年龄为儿子的年龄的2倍。问：父子今年各多少岁？

解法一：假设父亲的年龄一直是儿子年龄的4倍，那么每过一年儿子增加一岁，父亲就要增加4岁。这样，20年后儿子增加20岁，父亲就要增加80岁，比儿子多增加了80－20＝60（岁）。

事实上，20年后父亲的年龄为儿子的年龄的2倍，根据刚才的假设，多增加的60岁，正好相当于20年后儿子年龄的（4——2＝）2倍，因此，今年儿子的年龄为

（20×4－20）÷（4－2）－20＝10（岁），

父亲今年的年龄为10×4＝40（岁）。

解法二：如果用1段线表示儿子今年的年龄，那么父亲今年的年龄要用4段线来表示（见下图）。

20年后，父亲的年龄应是4段线再加上20岁，而儿子的年龄应是1段线再加上20岁，是父亲年龄的一半，也就是2段线再加上10岁。由

1段＋20=2段＋10，

求得1段是10岁，即儿子今年10岁，从而父亲今年40岁。 例8 今年爷爷78岁，长孙27岁，次孙23岁，三孙16岁。问：几年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄之和？

分析：今年三个孙子的年龄和为27＋23＋16=66（岁），爷爷比三个孙子的年龄和多78——66＝12（岁）。每过一年，爷爷增加一岁，而三个绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程孙子的年龄和却要增加1＋1＋1＝3（岁），比爷爷多增加3－1＝2（岁）。因而只需求出12里面有几个2即可。

解：[78－（27＋23＋16）]÷（1＋1＋1－1）＝6（年）。

答：6年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和。

练习12

1．父亲比儿子大30岁，明年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，那么今年儿子几岁？

2．王梅比舅舅小19岁，舅舅的年龄比王梅年龄的3倍多1岁。问：他们二人各几岁？

3．小明今年9岁，父亲39岁，再过多少年父亲的年龄正好是小明年龄的2倍？

4．父亲年龄是女儿的4倍，三年前父女年龄之和是49岁。问：父女两人现在各多少岁？

5．一家三口人，三人年龄之和是74岁，妈妈比爸爸小2岁，妈妈的年龄是儿子年龄的4倍。问：三人各是多少岁？

6．今年老师46岁，学生16岁，几年后老师年龄的2倍与学生年龄的5倍相等？

7．已知祖孙三人，祖父和父亲年龄的差与父亲和孙子年龄的差相同，祖父和孙子年龄之和为82岁，明年祖父的年龄恰好等于孙子年龄的5倍。问：祖孙三人各多少岁？

8．小乐问刘老师今年有多少岁，刘老师说：“当我像你这么大时，你才3岁；当你像我这么大时，我已经42岁了。”你能算出刘老师有多少岁吗？

第13讲 鸡兔同笼问题与假设法 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程

鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的，它是一类有名的中国古算题。许多小学算术应用题，都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算。

例1 小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？

分析：假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44-32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数。

解：有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），

有鸡16-6＝10（只）。

答：有6只兔，10只鸡。

当然，我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有4×16＝64（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况少了64－44＝20（只）脚，这是因为把鸡当作兔了。我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少了4-2＝2（只）。因此只要算出20里面有几个2，就可以求出鸡的只数。

有鸡（4×16-44）÷（4-2）=10（只），

有兔16——10＝6（只）。

由例1看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡；也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。因此这类问题也叫置换问题。

例2 100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问：大、小和尚各有多少人？ 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程分析与解：本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。

假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300－140＝160（个）。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3——1＝2（个），因为160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有

100－80＝20（人）。

同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。

在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。

例3 彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元。问：两种文化用品各买了多少套？

分析与解：我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚，一种“怪兔”有1个头19只脚，它们共有16个头，280只脚。这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。

假设买了16套彩色文化用品，则共需19×16＝304（元），比实际多304——280＝24（元），现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用19——11＝8（元），所以

买普通文化用品 24÷8=3（套），

买彩色文化用品 16－3＝13（套）。

例4 鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只？

分析：假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200——20=180（只）。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程

现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，鸡100——30＝70（只）。

解：有兔（2×100——20）÷（2＋4）＝30（只），

有鸡100——30=70（只）。

答：有鸡70只，兔30只。

例5 现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶共多装20千克。问：大、小瓶各有多少个？

分析：本题与例4非常类似，仿照例4的解法即可。 解：小瓶有（4×50-20）÷（4＋2）＝30（个），

大瓶有50-30＝20（个）。

答：有大瓶20个，小瓶30个。

例6 一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，那么这批钢材有多少吨？

分析：要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。

利用假设法，假设只用36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下4×36=144（吨）。根据条件，要装完这144吨钢材还需要45-36=9（辆）小卡车。这样每辆小卡车能装144÷9＝16（吨）。由此可求出这批钢材有多少吨。 解：4×36÷（45-36）×45＝720（吨）。

答：这批钢材有720吨。 绿藤星教育（15320475397）----小学奥数基础教程例7 乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶，双方商定每只运费0.24元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1.26元，结果搬运站共得运费115.5元。问：搬运过程中共打破了几只花瓶？

分析：假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费0.24×500=120（元）。实际上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。搬运站每打破一只花瓶要损失0.24＋1.26＝1.5（元）。因此共打破花瓶4.5÷1.5＝3（只）。

解：（0.24×500－115.5）÷（0.24＋1.26）＝3（只）。

答：共打破3只花瓶。

例8 小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3分钟，一共跳了780下。已知小喜比小乐每分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？

分析与解：利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了

12×（2＋3）＝60（下）。

可求出小乐每分钟跳

（780——60）÷（2＋3＋3）＝90（下），

小乐一共跳了90×3=270（下），因此小喜比小乐共多跳

780——270×2＝240（下）。 练习13

1．鸡、兔共有头100个，脚350只，鸡、兔各有多少只？

2．学校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120个学生进行活动。问：象棋与跳棋各有多少副？

推荐第6篇：小学奥数教案——循环小数

小学奥数教案---循环小数

一 本讲学习目标

1、掌握循环小数化分数的法则，还要掌握该法则的推导方法——错位相减法；

2、会进行分数与循环小数的互化；

3、掌握分数与循环小数的混合计算

二 概念解析

循环小数可分为有限循环小数，如：1.123123123（不可添加省略号）和无限循环小数，如：1.123123123……（有省略号）。前者是有限小数，后者是无限小数。

一、把循环小数的小数部分化成分数的规则

①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。

②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9的个数与一个循环节的位数相同，末几位是0，0的个数与不循环部分的位数相同。

二、分数转化成循环小数的判断方法：

①一个最简分数，如果分母中既含有质因数2和5，又含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数。

②一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是纯循环小数。

三 例题讲解

1

2

3

纯循环小数化分数

从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。 例 把纯循环小数化分数：

从以上例题可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9。9的个数与循环节的位数相同。能约分的要约分。

混循环小数化分数

不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。 例 把混循环小数化分数。

（2）先看小数部分0.353

4

由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数．

循环小数的四则运算

循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。

例1 计算下面各题：

解：先把循环小数化成分数后再计算。

的运算时，错写作3.57，例2 在计算一个正数乘以3.57某同学误将3.57结果与正确答案相差1.4．则正确的乘积结果是______．

解：设这个正数为x，依题意，得 x3.571.4． 3.573因为3.57575523， 90905257x3x1.4． 90100所以上述方程可化为3解得x180．

所以正确的乘积结果应为

180322180644． 3.5790

例3 计算下面各题。

5

分析与解：（1）把循环小数化成分数，再按分数计算。

（2）可根据乘法分配律把1.25提出，再计算。

（3）把循环小数化成分数，根据乘法分配律和等差数列求和公式计算。

6

推荐第7篇：奥数教案

课题 ：应用题的基本数量关系 知识点

用数学的方法解决在生活和工作中的实际问题 ————— 解应用题。 教学目标

1、分析思考题目所包含的数量关系，锻炼思维的灵活性。

2、让学生在学习数学的过程中，感受数学与日常生活的密 切联系，体验数学的价值，增强应用数学的意识。

3、在探索问题解决方法的过程中，发展学生的数学思考能力，培养主动探索的意识。教 学 内 容

【典型例题】

例1：一根绳子原来长20米，第一天剪去3米，第二天剪去的和第一天同样多，剩下的米数比原来短几米？

解题策略：这题要求剩下的米数比原来短几米，通常我们用以下的数量关系来解： 解法一：20－3－3＝14（米） 20－14＝6（米）

有没有更简便的方法呢？聪明的小朋友是否考虑到“剩下的米数比原来短的米数”就是剪去的米数，这样只要用一步计算就能解答。 解法二：3+3=6米

这种方法是不是更简便？

【画龙点睛】

解答应用题时，我们不但要多动脑，分析思考题目所包含的数量关系，还要选择最简便的方法来解答，锻炼思维的灵活性，使我们应得更聪明。

第2课时

【举一反三】

1、水果店有52箱水果，卖出16箱，又运进23箱，现在水果的箱数和原来比多了还是少了？多或少几箱？

2、饲养场养的羊比牛少36只，牛比猪少29只，那么羊比猪少几只？

3、把两条长38厘米的纸条粘在一起，成为一条长72厘米的纸条，中间粘贴部分的纸条长几厘米？

4、小明、小李和小红三个朋友做红花，小明和小李共做27朵，小明和小红共做32朵，小李和小红共做25朵，问：三个小朋友各做几朵？

5、五（1）班有20名少先队员，而五（2）班的少先队员比五（1）班多9名，问两班共有多少少先队员？

6、一道既简单又复杂的题：游戏开始了，请你们快速计算：

一辆载着16名乘客的公共汽车驶进车站， 这时有4人下车，又上来4人； 在下一站上来10人，下去4人； 在下一站下去11 人，上来6人； 在下一站，下去4人，上来4人；

在下一站又下去8人，上来15。

还有，请你们接着计算：公共汽车继续往前开，到了下一站下去6人，上来7人；在下一站下去5人，没有人上来；在下一站只下去1人，又上来8人。

好了，记住你的计算结果，回答：这辆公共汽车究竟停了多少站？（不要重新计算哦）

7、商店共有61千克红糖，第一天卖掉19千克，第二天比第一天多卖4千克，商店还剩多少斤红糖？

8、买来17米布，做床单用去7米，做衣服用的和做床单用的同样多，还剩几米？

9、小王买了一只文具盒花了2元，又买了4个作业本，共

课题 ：两步计算的应用题、用画图法解应用题 知识点

1、用数学的方法解决在生活和工作中的实际问题 ————— 解应用题。

2、用画图来表示题目中的条件，帮助理解题意，正确解答。

教学目标

1、分析思考题目所包含的数量关系，锻炼思维的灵活性。

2、让学生在学习数学的过程中，感学与日常生活的密切联 系，体验数学的价值，增强受数应用数学的意识。

3、在探索问题解决方法的过程中，发展学生的数学思考能力，培养主动探索的意识。教 学 内 容

第一课时： 【典型例题】

例1：小明的钱不到5元（是整角数），如果买6枝铅笔，钱不够， 还少5角。小明原来最多有多少钱？

解题策略：问题求的是“小明原来最多有多少钱”。由题意已知小明原来的钱不到5元，但加上5角后就超过5元，且能被6整除。假设每枝笔8角钱，6枝则是48角，不到5元，所以不能；如果每枝9角，6枝就是54角，再减去少5角，原来最多49角。算式：6×9-5=49（

【画龙点睛】

解答两步计算的应用题，如果不认真思考，提笔就做，很容易出错。所以应该先从条件或问题入手，仔细分析，找出正确的解题方法。

第二课时

【举一反三】

1、一盒糖果，总数不超过20颗，把它们平均分给6个小朋友，还余2颗，这盒糖最多有几颗？最少有几颗？

2、停车场里原来停放的轿车比卡车多12辆，后来轿车开走6辆，卡车开进8辆，这时停车场里哪种车多？多多少辆？

3、有大、小两桶油共重50千克，两个桶都倒出同样多的油后，分别还剩10千克和6千克。大、小两个桶原来各装油多少千克？ 第二课时： 【典型例题】

例2：小明有10枝铅笔，小红有4枝铅笔，要使两人的铅笔同样多，小明要给小红几枝铅笔？

解题策略：我们用图来表示已知条件： 小明： 小红：

从图中我们可以清楚地看到，小明比小红多6枝铅笔，把多出来的6枝铅笔平均分成两份，即6÷2=3，所以小明给小红3枝铅笔后，两人的枝数相同。

【画龙点睛】

用画图法解应用题，特别是解技巧性较强的题，能形象直观地揭示数量关系，使抽象思维与形象思维协同发挥作用，从而构建出解题思维的模式。

第三课时 【举一反三】

1、小明给小红3枝铅笔后，两人的枝数相同。问：小明比小红多几枝铅笔？

2、小红有4枝铅笔，小明给小红3枝铅笔后，两人的枝数相同，小明有几支铅笔？

3、一根12米长的木条，锯3次，每段几米？

4、小红妈妈到水果店买苹果，她的钱若买3斤多1元，若买4斤少1元5角，问妈妈带了多少钱？

6、二（1）班同学做早操，每行人数相等，小李的位置从左边数是第3个，从右边数是第4 个

，从前边数是第4个，从后边数是第2个。问：二（1）班有多少同学在做早操？

课题： 等量代换法 知识点

1、等量代换的思想：相等的量可以互相代替。

2、

2、运用等量代换法来解决生活中的实际问题。

3、在解决等量代换数学问题的过程中，初步体会等量代换数学题的思想方法。教学目标

1．使学生能初步学会等量代换的方法，接受等量代换的思想。 2．培养学生的观察力及初步的逻辑推理能力。

3、让学生在经历解决问题的过程中，获得经验，让学生充分感受生活中处处有数学，数学与生活息息相关，形成我要学好数学的精神风貌。

4、在学习过程中培养学生团结、友好合作，营造和谐共进的氛围。教 学 内 容 第一课时 【典型例题】

例

1、1只河马的体重等于2只大象的体重，1只大象的体重等于10匹马的体重。1匹马的体重是320千克，这只河马的体重是多少千克？

解题策略：

1匹马的体重是320千克，10匹马的体重就是320×10＝3200(千克) ，这也就是１只大象的体重。又知１只 河马的体重等于2只大象的体重，用2只大象的体重代替1只河马，则这只河马体重是3200×2＝6400(千克)

【画龙点睛】

也可以这样想：1只大象的体重是10匹马的体重，即2只大象的体重就等于2个10匹马的体重，即20匹马的体重，因为2只大象的体重与1只河马的体重相等，所以1只河马的体重就是20匹马的体重。320×（2×10）＝6400(千克)

第二课时 【举一反三】

1、已知1个 =3个 , 1个 =5个 。那么1个 =（ ）个

2、△＋△＋△＋□＝25，□＝△＋△。求 △＝？ □＝？

3、一只菠萝的重量等于2只梨的重量，也等于4只香蕉的重量，还等于2只苹果、1只梨、1只香蕉的重量之和。那么1只菠萝等于几只苹果的重量？

4、一条鱼，鱼头重9千克，鱼头重量等于鱼身一半加鱼尾的重量，而鱼身的重量等于鱼头加鱼尾的重量。问：这条鱼重几千克？

第三课时

同步练习

1．一根20米长的木条，把它据成4段，要锯几次？

2．商店有480本练习本，又运来500本，卖出去360本，商店还有多少本练习本？

3．小明的爸爸年龄比妈妈大5岁，妈妈今年38岁，爸爸今年多少岁？小明 出生时妈妈30岁，小明今年是多大？

4．○+○+○=21 ☆-□=38 □+□+□=15 ○+○+□=18 ☆-△=45 △+△+△=12 ○-□=（ ） □-△=（ ） □+△=（ ）

5．一个数加上4，减去4，乘以4，再除以2，结果是2，求这个数。

6．一条毛毛虫从幼虫长成成虫，每天长大一倍，10天时能长到20厘米。问：长到5厘米时是第几天？

2．4瓶水全倒出来能装满3大碗，5杯水正好装满2瓶。装满3大碗要几杯水？20杯水能装满几大碗？

推荐第8篇：小学奥数教案——循环小数完整

循环小数

一 本讲学习目标

1、掌握循环小数化分数的法则，还要掌握该法则的推导方法——错位相减法；

2、会进行分数与循环小数的互化；

3、掌握分数与循环小数的混合计算

二 概念解析

循环小数可分为有限循环小数，如：1.123123123（不可添加省略号）和无限循环小数，如：1.123123123……（有省略号）。前者是有限小数，后者是无限小数。

一、把循环小数的小数部分化成分数的规则

①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。

②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9的个数与一个循环节的位数相同，末几位是0，0的个数与不循环部分的位数相同。

二、分数转化成循环小数的判断方法：

①一个最简分数，如果分母中既含有质因数2和5，又含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数。

②一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是纯循环小数。

三 例题讲解

1．真分数

a化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a是多少? 7乘以一个数a时，把1.23误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3．则正确结果该是多2．某学生将1.23少?

，结果保留三位小数． 3．计算：0.1+0.125+0.3+0.16

0.120.230.340.780.89 4．计算：0.01

与0.179672相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一5．将循环小数0.027位小数是多少?

6.将下列分数约成最简分数：

7.将下列算式的计算结果写成带分数：

8．计算:7

9．计算：

16666666666

666666666640.523659

11944802193418556÷÷1 833325909352551111111 81282545081016203240648128

10．计算：

11．计算: 41.2×8.1+11×9

12．计算：(9

13．计算:

14.(1)已知等式0.126×79+12153219(4.853.66.153)5.51.75(1) 41853211+537×0.19 422557)() 7979123246481271421

1352610412207213533×□-6÷25=10.08，那么口所代表的数是多少? 510(2)设上题答案为a．在算式（1993.81+a)×○的○内，填入一个适当的一位自然数，使乘积的个位数字达到最小值．问○内所填的数字是多少?

15．求下述算式计算结果的整数部分：(

1211111)385 3571113

推荐第9篇：小学奥数数数图形教案

我是闯关小达人

关卡一：握手游戏

有6个小朋友，每2人握一次手并且只能握一次手，一共要握几次手？

关卡二：你知道怎么算吗

从青岛到上海的直达列车，中途停靠5个大站,这趟列车共有多少种不同的车票？

关卡三：和爸爸妈妈合影

如果让你和爸爸妈妈一起并排站着合影，你知道你们有几种不同的排列顺序吗？

关卡四：我不会上当的哦

老师在黑板上写下了0,2,4,6这四个数字，请同学们想想它们能组成几个三位数？

数数图形教案 例1：数一数，图中有多少个锐角？

如何做到不重复又不遗漏呢？ 第一种方法：列举法

第二种方法：图示法

小朋友们，你们发现什么规律了吗？

例2：数一数，下面图形中共有几个三角形？

（1）

（2）

方法解析：按照三角形的拼组方式或者形状的大小将给定的图形分类数数。 （1）

（2）

例3：动动脑，数数下图中有几个长方形？

例4：数数下图中有几个正方形？

例5：数一数，下图中的大长方体是由多少个小长方体组成的？

例6：下图所示的“塔”由四层没有缝隙的小立方块垒成，求塔中共有多少个小立方块？

练习

1.你知道下图中共有几个角吗？

（1）

（2）

2.数一数，下面的图形有几条线段？ （1）

（2）

3.你知道下图中共有几个三角形吗？ （1）

（2）

4.下面图形有多少个长方形？

（1）

（2）

5.下图是由小立方块码放起来的，其中有一些小立方体被压住看不见，请你数一数共有多少小立方体？

推荐第10篇：小学奥数标准教案一份

小学奥数标准教案一份(做公开课)

一、复习：

小胖每顿饭吃5个包子，一天三顿能吃多少个？ 一只蜗牛1分钟爬2分米，10分爬多少米？

二、导入：已知几个量，一个量变化，另外量也随着发生同样的变化，这样的问题是归一问题。

三、新课：

例1.小白兔6天挖90根萝卜，照这样计算，小白兔18天能挖多少根萝卜？ 归一法：6天挖90根 （每天挖15根） 18天挖

？ 根

90÷6×18=270（根）

倍比法：18天里面有几个6天？ 每6天挖90根，18天挖

？ 根

18÷6×90=270（根）

练习：一只蜗牛6分钟爬12分米，照这样的速度，1小时爬多少分米？ 练习：小乌龟3分钟能走10米，照这样计算，它1小时能走多少米？

练习：一台碾米机2小时碾米1000千克，照这样的效率，再碾米5小时，一共可以碾米多少千克？

小结：先求单一量，再求几个单一量是多少。正归一。

例2.王大伯4天编了24个竹篮，照这样计算，编120个竹篮一共需要多少天？ 分析：4天编了24个竹篮 （每天编5个）

归一法：120÷（24÷4）=20（天）

分析： 120是24的几倍？

倍比法：120÷24×4=20（天）

练习：

1、一台织布机8分钟可织布24米，求这台织布机织234米布要用多少分钟？

2、一台织布机8分钟可织布23米，求这台织布机织253米布要用多少分钟？

3、一台织布机8分钟可织布24米，求这台织布机织15米布要用多少分钟？ 小结：先求单一量，再求包含多少个单一量。反归一。

例

3、王师傅2小时加工62个零件，照这样计算，8小时可以加工多少个零件？如果要加工372个零件要多少小时？

分析：（1）每小时几个？ 8小时？个

8小时是2小时的几倍？ 方法：归一法：62÷2×8=248（个）

倍比法：8÷2×62=248（个）

（2）每小时几个？372个要？小时

372有几个62？那

个2小时是？

方法：归一法：372÷（62÷2）=12（小时）

倍比法：372÷62×2=12（小时）

练习：（变形）

3小时加工42个，8小时多少个？加工210个零件要几小时？ 例4.一个修路队要修一个长750米的公路，前5天修了250米，照这样计算修完还要几天？

练习：改成600米 练习：一个粮食加工厂要加工6000千克大米，前2小时加工了1200千克，照这样计算加工完剩下的大米还要几小时？ （8小时）

例5.5只小猴一顿吃掉20个桃，现在有60个桃，要增加几只小猴来吃？ 60÷（20÷5）-5=10（只） （60-20）÷（20÷5）=10（只） （60-20）÷20×5=10（只） 60÷20×5-5=10（只）

练习：5箱蜜蜂一年可以酿75千克蜂蜜，照这样计算，酿300千克蜂蜜要增加几箱蜜蜂？

铺垫：一个台机器一天生产15个零件，求5台机器3小时能生产多少个零件？4台机器6小时？

例6.4台机器2小时能生产144个零件，照这样计算，5台机器4小时能生产多少个零件？

疑问：现在的一份量是什么？ 小结： 二次归一问题

练习：织布厂一车间用3台织布机5小时织布450米，照这样计算，5台、8小时可织布多少米？

#——3台——5小时——450米

450÷3÷5×5×8=1200（米） #——5台——8小时——？米

拓展：改增加5台

450÷3÷5×（3+5）×8=1920（米） 例7.3台车床4小时可以加工零件180个，照这样计算，6 台5小时可加工多少个？5台要加工600个要几小时？3小时加工630个要几台？ #——3台——4小时——180个

正归一

180÷3÷4×6×5=450（个） #——6台——5小时——？个

#——3台——4小时——180个

反归一

600÷（180÷3÷4×5）=8小时 #——5台——？小时——600个

630÷（180÷3÷4×3）=14（台） #——？台——3小时——630个

练习：7辆车5小时运货700吨，照这样计算，3辆汽车几小时能运540吨的货物？

例7.工程队计划60人5天修好一条长4800米的公路，照这样计算，增加15人实际几天修完？

#——60人——5天——4800米

4800÷[4800÷60÷5×（60+15）] #——（60+20）人——？天——4800米

=4800÷4800×60×5÷75 练习：改6000米

=4（天）

例8.7辆卡车6趟运走336吨沙土。现有沙土560吨，要求5趟运完，需要同样的卡车多少辆？

1辆卡车1趟运走多少吨沙土：336÷6÷7=8（吨） ①先求所需卡车1趟运走多少吨沙土：560÷5=112（吨）

112÷8=14（辆） ②先求运走560吨沙土所需多少趟： 560÷8=70（趟）

70÷5=14（辆） ③先求1辆卡车5趟运走多少吨：

8×5=40（吨）

560÷40=14（辆） 练习：5只小猫5天能抓住50只老鼠，10天抓住100只老鼠需要多少只小猫？ 拓展：①5只小猫5天能抓住50只老鼠，10天抓住180只老鼠需要增加多少只小猫？

②4台机器2小时能生产144个零件，照这样计算，5台机器生产360个零件需要增加几小时？

例9.有一批零件，王师傅每天生产8个，3天可以完成，如果每天生产6个零件几天可以完成？

疑问：不变的量是什么？

小结：

练习：发电厂运进一些煤，如果每天烧6吨煤，10天烧完，如果每天烧4吨，多少天烧完？

例10.修一条马路，如果每天修5千米，24天可以修完，如果每天多修1千米，几天可以修完？

练习：有一包糖，如果平均分给8个小朋友，每人可以分到20块，如果减少3个小朋友，每人可分到多少块？（32）

拓展：有一本故事书，小强计划每天看24页，5天可以看完，如果要提前2天看完，平均每天要多看多少页？（16）

例11.加工一批零件，计划14人，每天工作6小时10天完成任务。现在增加1人要求8天完成，求每天加班几小时？（1）

例12.甲乙两个打字员4小时共打字3600个，现在二人同时工作，在相同时间内，甲打字2450个，乙打字2050个，求甲乙每小时各打字多少个？

甲乙每小时打字个数的和：3600÷4=900（个）相同时间内共打字：2450＋2050=4500（个） 相同时间：4500÷900=5（小时）

甲：2450÷5=490（个） 乙：2050÷5=410（个）

四、总结：归一问题归一对应法、先求单一量。

第11篇：小学四年级奥数下册教案

小学四年级奥数下册教案：行程问题

在本讲中，我们研究两个运动物体作方向相同的运动时，路程、速度、时间这三个基本量之间有什么样的关系.

例1 下午放学时，弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后，哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟弟？（假定从学校到家有足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家）.

分析 若经过5分钟，弟弟已到了A地，此时弟弟已走了40×5=200（米）；哥哥每分钟比弟弟多走20米，几分钟可以追上这200米呢？

解： 40×5÷（60-40）

=200÷20

=10（分钟）

答：哥哥10分钟可以追上弟弟.

我们把类似例1这样的题，称之为追及问题.如果我们把开始时刻前后两物体（或人）的距离称为路程差（如例1中的200米），从开始时刻到后者追上前者路程差这一段路程所用的时间称为追及时间，则从例1容易看出：追及问题存在这样的基本关系：

路程差=速度差×追及时间.

如果已知其中的两个量，那么根据上式就很容易求出第三个量.

例2 甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙；若甲让乙先跑2秒钟，则甲跑4秒钟就能追上乙.问：甲、乙二人的速度各是多少？

分析 若甲让乙先跑10米，则10米就是甲、乙二人的路程差，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为10÷5=2（米/秒）；若甲让乙先跑2秒，则甲跑4秒可追上乙，在这个过程中，追及时间为4秒，因此路程差就等于2×4=8（米），也即乙在2秒内跑了8米，所以可求出乙的速度，也可求出甲的速度.综合列式计算如下：

解： 乙的速度为：10÷5×4÷2=4（米/秒）

甲的速度为：10÷5+4=6（米/秒）

答：甲的速度为6米/秒，乙的速度为4米/秒.

例3 某人沿着一条与铁路平行的笔直的小路由西向东行走，这时有一列长520米的火车从背后开来，此人在行进中测出整列火车通过的时间为42秒，而在这段时间内，他行走了68米，则这列火车的速度是多少？

分析 整列火车通过的时间是42秒，这句话的意思是：从火车的车头追上行人时开始计时，直到车尾超过行人为止共用42秒，因此，如果我们把火车的运动看作是车尾的运动的话，则本题实际上就是一个车尾与人的追及问题，开始时刻，它们的路程差就等于这列火车的车长，追及时间就等于42秒，因此可以求出它们的速度差，从而求出火车的车速.

解： 520÷42+68÷42

=（520+68）÷42

=588÷42

=14（米/秒）

答：火车的车速为14米/秒.

例4 幸福村小学有一条200米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑6米，晶晶每秒钟跑4米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米，第2次追上晶晶时两人各跑了多少圈？

分析 这是一道封闭路线上的追及问题，冬冬与晶晶两人同时同地起跑，方向一致.因此，当冬冬第一次追上晶晶时，他比晶晶多跑的路程恰是环形跑道的一个周长（200米），又知道了冬冬和晶晶的速度，于是，根据追及问题的基本关系就可求出追及时间以及他们各自所走的路程.

解： ①冬冬第一次追上晶晶所需要的时间：

200÷（6-4）=100（秒）

②冬冬第一次追上晶晶时他所跑的路程应为：6×100=600（米）

③晶晶第一次被追上时所跑的路程：

4×100=400（米）

④冬冬第二次追上晶晶时所跑的圈数：

（600×2）÷200=6（圈）

⑤晶晶第2次被追上时所跑的圈数：

（400×2）÷200=4（圈）

答：略.

解答封闭路线上的追及问题，关键是要掌握从并行到下次追及的路程差恰是一圈的长度.

例5 军事演习中，“我”海军英雄舰追击“敌”军舰，追到A岛时，“敌”舰已在10分钟前逃离，“敌”舰每分钟行驶1000米，“我”海军英雄舰每分钟行驶1470米，在距离“敌”舰600米处可开炮射击，问“我”海军英雄舰从A岛出发经过多少分钟可射击敌舰？

分析 “我”舰追到A岛时，“敌”舰已逃离10分钟了，因此，在A岛时，“我”舰与“敌”舰的距离为10000米（=1000×10）.又因为“我”舰在距离“敌”舰600米处即可开炮射击，即“我”舰只要追上“敌”舰9400（=10000米-600米）即可开炮射击.所以，在这个问题中，不妨把9400当作路程差，根据公式求得追及时间.

解： （1000×10-600）÷（1470-1000）

=（10000-600）÷470

=9400÷470

=20（分钟）

答：经过20分钟可开炮射击“敌”舰.

例6 在一条直的公路上，甲、乙两个地点相距600米，张明每小时行4公里，李强每小时行5公里.8点整，张李二人分别从甲、乙两地同时出发相向而行，1分钟后他们都调头反向而行，再经过3分钟，他们又调头相向而行，依次按照1，3，5，…（连续奇数）分钟数调头行走，那么张、李二人相遇时是8点几分？

分析 无论相向还是反向，张李二人每分钟都共走4000÷60+5000÷60=150（米）.如果两人一直相向而行，那么从出发经过600÷150=4（分钟）两人相遇.显然，按现在的走法，在16分钟（=1+3+5+7）之内两人不会相遇.在这16分钟之内，他们相向走了6分钟（=1+5），反向走了10分钟（=3+7），此时两人相距600+[150×（3+7-1-5）]=1200米，因此，再相向行走，经过1200÷150=8（分钟）就可以相遇.

解： 600+150×（3+7-1-5）=1200（米）

1200÷（4000÷60+5000÷60）=8（分钟）

1+3+5+7+8=24（分钟）

答：两人相遇时是8点24分.

例7 自行车队出发12分钟后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发点9千米处追上了自行车队，然后通信员立即返回出发点；随后又返回去追自行车队，再追上时恰好离出发点18千米，求自行车队和摩托车的速度.

分析 在第一次追上自行车队与第二次追上自行车队之间，摩托车所走的路程为（18+9）千米，而自行车所走的路程为（18-9）千米，所以，摩托车的速度是自行车速度的3倍（=（18+9）÷（18-9））；摩托车与自行车的速度差是自行车速度的2倍，再根据第一次摩托车开始追自行车队时，车队已出发了12分钟，也即第一次追及的路程差等于自行车在12分钟内所走的路程，所以追及时间等于12÷2=6（分钟）；联系摩托车在距出发点9千米的地方追上自行车队可知：摩托车在6分钟内走了9千米的路程，于是摩托车和自行车的速度都可求出了.

解： （18+9）÷（18-9）=3（倍）

12÷（3-1）=6（分钟）

9÷6=1.5（千米/分钟）

1.5÷3=0.5（千米/分钟）

答：摩托车与自行车的速度依次为1.5千米/分钟，0.5千米/分钟.

例8 A、B两地间有条公路，甲从A地出发，步行到B地，乙骑摩托车从B地出发，不停地往返于A、B两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达B地时，乙追上甲几次？

分析 由上图容易看出：在第一次相遇与第一次追上之间，乙在100-80=20（分钟）内所走的路程恰等于线段FA的长度再加上线段AE的长度，即等于甲在（80+100）分钟内所走的路程，因此，乙的速度是甲的9倍（=180÷20），则BF的长为AF的9倍，所以，甲从A到B，共需走80×（1+9）=800（分钟）乙第一次追上甲时，所用的时间为100分钟，且与甲的路程差为一个AB全程.从第一次追上甲时开始，乙每次追上甲的路程差就是两个AB全程，因此，追及时间也变为200分钟（=100×2），所以，在甲从A到B的800分钟内，乙共有4次追上甲，即在第100分钟，300分钟，500分钟和700分钟.

解： （略）.

第12篇：小学奥数教案——简单推理

教案

简单推理

一 本讲学习目标

初步认识推理，找到解决简单推理的方法和心得。

二 重点难点考点分析

在小学阶段，所谓推理符合逻辑，就是指在推理过程中要遵守一定的逻辑原则。应用一些推理的方法去解决实际问题，即应用归纳法、推理法、演绎法去解题。在许许多多的奥数题中，应用推理方法解题是非常常见的。在学习奥数或做奥数习题时应用推理方法，无论是哪种推理，推理的前提是必须真实，推理的每一步要符合逻辑原则，这样才能得出正确的结论。

三 概念解析

推理就是由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程。推理按推理过程的思维方向划分，主要有演绎推理、归纳推理和类比推理。推理是由已知判断推出未知判断的思维形式，是形式逻辑。

四 例题讲解

为表扬好人好事核实一件事，李老师找到了甲、乙、丙三人。 甲说：是乙做的。 乙说：不是我做的。 丙说：不是我做的。

这三人只有一人说了实话，问这件好事是谁做的？

在一桩谋杀案中，有嫌疑犯甲、乙，另有四个证人在受讯。 第一个证人说：“我只知道甲是无罪的。” 第二个证人说：“我只知道乙是无罪的。”

第三个证人说：“前面两个证词中至少有一个是真的。”

第四个证人说：“我可以肯定第三个证人的证词是假的。”

经过调查：已经证实第四个人说了实话，请问谁是凶手？

李志明、张斌、王大为三个同学毕业后选择了不同的职业，三人中一个当了记者。一次有人问起他们的职业，李志明说:“我是记者。”张斌说:“我不是记者。”王大为说:“李志明说了假话。”如果他们三人中只有一句是真的，那么谁是记者？

在甲、乙、丙三人中有一位教师，一位工人，一位战士。已知丙比战士年龄大，甲和工人不同岁，工人比乙年龄小，请你判断谁是教师？

在国际饭店的宴会桌旁，甲、乙、丙、丁四位朋友进行有趣的交谈，用了中、英、法、日四种语言，知道的情况如下: (1)甲、乙、丙各会两种语言，丁只会一种语言； (2)有一种语言四人中有三人都会； (3)甲会日语，丁不会日语，乙不会英语；

(4)甲与丙、丙与丁不能直接交谈，乙与丙可以直接交谈； (5)没有人即会日语，又会法语。

甲会_____，乙会______，丙会_______，丁会_______。

甲、乙、丙三人，他们在南宁、柳州、桂林工作，他们的职业是教师、医生和工程师。已知下列情况: (1)甲不在桂林工作; (2)乙不在南宁工作; (3)在桂林工作的不是教师; (4)在南宁工作的是医生; (5)乙不是工程师.根据上述情况判断甲、乙、丙三人各在什么地方工作,职业是什么?

有一天，李强、王雷、丁红、孙丽四名运动员围坐在桌旁聊天。已知：

⑴ 丁红的对面是足球运动员；⑵ 李强的左边是篮球运动员；⑶ 孙丽的对面是王雷；⑷ 篮球运动员与乒乓球运动员不相邻；⑸ 排球运动员的右边是孙丽。根据上面的情况判断，王雷是什么球类运动员？

在一列国际列车上，有A，B，C，D四位不同国籍的旅客，他们分别穿蓝、黑、灰、褐色的大衣，面对面每边两人地坐在同一张桌子上。已知：

⑴ 英国旅客坐在B先生左侧；⑵ A先生穿褐色大衣；⑶ 穿黑色大衣的坐在德国旅客右侧；⑷ D先生的对面坐着美国旅客；⑸ 俄国旅客穿着灰色大衣。问：A，B，C，D分别是哪国人？分别穿着什么颜色的大衣？

北京至福州列车里坐着6位旅客:A、B、C、D、E、F,分别来自北京、天津、上海、扬州、南京和杭州.已知: ① A和北京人是医生,E和天津人是教师,C和上海人是工程师.② A、B、F和扬州人参过军,而上海人从来未参军.③ 南京人比A岁数大,杭州人比B岁数大,F最年轻.④ B和北京人一起去杭州,C和南京人一起去广州.试根据已知条件确定每个旅客的住址和职业.

去韩国看世界杯的6位游客A、B、C、D、E、F分别来自北京、天津、上海、扬州、南京和杭州，已知： (1) A和北京人是医生，E和天津人是教师，C和上海人是工程师； (2) A、B、F和扬州人没出过国，而上海人到过韩国； (3) 南京人比A岁数大；杭州人比B岁数大，F最年轻；

(4) B和北京人一起去光州，C和南京人一起去汉城。

则A是 人，职业是 ；B是 人，职业是 ；C是 人，职业是 ；D是 人，职业是 ；E是 人，职业是 ；F是 人，职业是 。

五 课堂练习

要分配A、B、C、D、E五人中的某些人去执行一项任务,分别时要遵守下列规定: (1)如果A去,那么B一定要去; (2)D、E两人中至少去一个; (3)B、C两人中去且只去一人; (4)C、D两人都去或者都不去; (5)如果E去,那么A、D都去.___________应该去.

有甲、乙、丙、丁四人同住在一座四层的楼房里,他们之中有工程师、工人、教师和医生.如果已知: (1)甲比乙住的楼层高,比丙住的楼层低,丁住第四层; (2)医生住在教师的楼上,在工人楼下,工程师住最低层.试问:甲、乙、丙、丁各住在这座楼的几层?各自的职业是什么?

六 励志或学科小故事——居里夫人

几十年前，波兰有个叫玛妮雅的小姑娘，学习非常专心。不管周围怎么吵闹，都分散不了她的注意力。 一次，玛妮雅在做功课，她姐姐和同学在她面前唱歌、跳舞、做游戏。玛妮雅就像没看见一样，在一旁专心地看书。 姐姐和同学想试探她一下。她们悄悄地在玛妮雅身后搭起几张凳子，只要玛妮雅一动，凳子就会倒下来。时间一分一秒地过去了，玛妮雅读完了一本书，凳子仍然竖在那儿。 从此姐姐和同学再也不逗她了，而且像玛妮雅一样专心读书，认真学习。 玛妮雅长大以后，成为一个伟大的的科学家。她就是居里夫人。

第13篇：小学奥数兴趣班奥数教案

小学奥数兴趣班奥数教案

第一课时

教学目标：

1、掌握等差数列的定义，了解等差数列首项，末项和公差。

2、学会等差数列的简单求和。教学重难点： 重点：公式的简单应用 难点：公式的理解 教学过程：

一、引入：世界上有一名著名的数学家叫高斯，他在很小的时候，老师给同学们出了一道数学题，让大家计算：1+2+3+4+5„+99+100=?

高斯仔细观察后，很快就计算出了结果。你们能猜出他是怎么计算的吗？

高斯解题过程：1+100=2+99=3+98=„=49+52=50+51=101，共有100÷2=50（个）。于是

1+2+3+4+5„+99+100 =（1+100）×100÷2 =5050

在这里，出现了一列数据。我们定义：按一定次序排列的一串数叫做数列。一个数列，如果从第二项开始，每一项减去它紧前边的一项，所得的差都相等，就叫做等差数列。

等差数列中的每一个数都叫做项，其中从左起第一项叫做首项，最后一项叫做末项，项的个数叫做项数。等差数列中相邻两项的差叫做公差。

例如：上面高斯求解的问题：首项是1，末项是100，项数是100，公差是1.我们得出高斯求解方法更多的是告诉我们一个求解等差数列的公式：

等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2 例一：找出下列算式当中的首项，末项，项数和公差。 （1）2 ，5 ，8 ，11 ，14 ，17 ，20 ，23 （2）0 ，4 ，8 ，12 ，16 ，20 ，24 ，28 （3）3 ，15 ，27 ，39 ，51 ，63 让学生上黑板演示结果。

（1）首项2，末项23，项数8，公差3 （2）首项0，末项28，项数8，公差4 （3）首项3，末项63，项数6，公差12 知道在等差数列中如何准备找出首项，末项，项数及公差以后，更重要的是熟练运用等差数列求和公式解决一般等差数列问题。 例二：1+2+3+4+„+1998+1999.问：算式当中的首项，末项，项数分别是什么？ 答：首项是1，末项是1999，项数是1999。 解析：原式=（1+1999）×1999÷2

=2000×1999÷2

=1999000 小结：这是一道一般等差数列类型题，可以直接找到求解公式中需要的几个量。在计算过程中，当一个数乘另外一个数末尾有零时，先不看末尾的零，计算结束后，将零的相同个数添在积的末尾就行。 练习：（1）1+2+3+4+„+250

（2）1+2+3+4+„+200

（3）1+3+5+7+„+97+99

第二课时教案

教学目标：

1、灵活运用等差数列公式求所有两位数的和。

2、能够运用等差数列的公式求解现实生活中的等差问题。教学重难点： 公式的灵活应用。 教学过程：

师：我们这节课利用高斯求和法计算所有两位数的和以及求解生活中的等差问题。

例一：求出所有两位数的和。

问：（1）两位数是从哪个数开始，又是到哪个数为止？

（2）两位数一共有多少个？ 解：原式=（10+99）×90÷2

=109×90÷2

=4905 注意：解上面这道题需要我们动脑经的是先要准确的写出这个数列，找出数列的首项，末项和项数。在解题过程中会用到我们刚学过的三位数乘两位数的乘法，计算一定要小心。 练习：（1）40+41+42+43+„+80+81

（2）10+11+12+„+49+50 例二：某单位的总务处主任，不小心把50把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，最多要试多少次？ 问：（1）“最多”应该怎么样理解？ （2）能否试着把数列写出来？

分析：这是一道解决实际问题的题，就要注意联系生活实际来思考。如开第一把锁时，试了49把钥匙都不对，那所剩下的一把肯定能打开，不用试50次，试49次就可以了。同样开第二把锁，最多试48次，依次类推，试完49把锁，剩下最后的一把不用试，一定能打开。 这道题，开锁最多要试多少次，应该是一个，49+48+47+„+1+0的等差数列的和。它的首项是49，末项是0，项数是50，公差是1。根据等差数列求和公式就可以求出最多要试多少次。 解：49+48+47+„+1+0 =（49+0）×50÷2 =1225 练习：（1）新年到了，10个好朋友聚会，每两个人之间要握一次手，他们一共要握多少次手？

（2）市里举行数学竞赛，参加数学竞赛的有16个小组，每两组之间都要赛一场，他们一共要进行多少场比赛？ 难度上升题： （1）437-1-2-3-4„-29 （2）2000-1-2-3-4„-60 （3）（1+3+5+„+1997+1999）－（2+4+6+„+1996+1998）

（4）盒子里放有1只球，一位魔术师第一次从盒子里将这只球拿出，变成了3只球后放回盒子里，第二次从盒子里拿出2只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里，如此继续下去，最后第10次从盒子里拿出10只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里。这时盒子里共有多少只球？

解：（1）原式=437-（1+29）×29÷2

=2

（2）原式=2000-（1+60）×60÷2

=170 （3）法一：

原式=（1+1999）×1000÷2－（2+1998）×999÷2

=1000000－999000

=1000 法二：

原式=1+（3－2）+（5－4）+„＋（1999－1998）

=1+1+1+„+1（ 共1000个） =1000 （4）解析：找出盒子球的变化规律，第一次增加2个球，第二次增加2×2个球，第三次增加2×3个球，如此下去，第10次增加10×2个球。即问题变为求解1+2+2×2+2×3+„+10×2 （a）式的和。 解：（a）式=1+2+4+6+„+20

=1+（2+20）×10÷2

=111(只) 总结：今天学习的主要内容是等差数列求和，即简单高斯求和。学习高斯求和最关键的是要掌握等差数列的主要特征，明确高斯求和中的首项，末项，项数及公差。在求解现实生活中的等差问题，关键是找到等差数列，写出完整的数列，是求解实际问题的着手点。

第14篇：小学奥数工程问题教案.

小学奥数工程问题教案

一、本讲学习目标

联系生活实际，弄清楚工作量、时间、效率之间的关系，提高解决行程问题的能力。

二、重点难点考点分析

工程问题的实质就是工作量、工作时间和工作效率之间的关系问题。工程问题的解题思路和行程问题相似，需要找出三个基本量之间的关系，通过三个基本量之间的换算找出解题方法。工程问题当中，分数的出现与运算较为常见，因此，解决工程问题首先要学好分数的四则运算。

三、知识框架

解决工程问题首先弄清行程问题中这三个量的关系： 工作量=时间×效率 (a=t×e) 时间=工作量÷效率 (t=a÷e) 效率=工作量÷时间 (e=a÷t)

四、概念解析

工作量：工程问题中的工作量是工程问题的总体量，在未知情况下，可假设工作量为1 ； 时间：工程问题中的时间是工程问题的因子量；

效率：和时间一样，效率也是工程问题的因子量，其地位和形式与时间类似。

五、例题讲解

甲、乙两个工程队共同完成一项工程需18天，如果甲队干3天、乙队干4天则完成工程的1/5。问：甲、乙两队独立完成该工程各需多少天？

打印一份稿件，甲单独打需要50分完成，乙单独打需30分完成。现在甲单独打若干份后，乙接着打完，共42分。问：甲打了稿件的几分之几？

有甲、乙两根水管，分别同时给两个大小相同的水池A和B注水，在相同的时间内甲、乙两管注水量之比是7:5。经过2时，A、B两池中已注入水之和恰好是一池水。此后，甲管的注水速度提高25%，乙管的注水速度降低30%。当甲管注满A池时，乙管还需多长时间注满B池？

一项工程,甲,乙两队合作30天完成.如果甲队单独做24天后,乙队再加入合作,两队合作12天后,甲队因事离去,由乙队继续做了15天才完成.这项工程如果由甲队单独完成,需要多少天

李师傅加工540个零件。他前一半时间每分生产8个，后一半时间每分生产12个，正好完成任务。当他完成任务的45%时，恰好是上午9点。张师傅开始工作的时间是几点几分几秒？

师徒三人合作承包一项工程，8天能够全部完成。已知师傅单独做所需的天数与两个徒弟合作所需的天数相同。师傅与徒弟甲所需的天数的4倍与徒弟乙单独完成这项工程所需的天数相同。问：徒弟乙单独完成这项工程需多少天？

一项工程,甲,队独做10天可以完成,乙队独做30天可以完成.现在两队合作期间甲队休息了2天,乙队休息了8天(两队不在同一天休息).从开始到完工共用了多少天

某工程如果由第

一、

二、三小队合干需要12天才能完成；如果由第

一、

三、五小队合干需要7天才13

能完成；如果由第

二、

四、五合干需要8天完成；如果由第

一、

三、四小队合干需要42天。那么这五个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程？

六、课后练习

完成一项工作，需要甲干5天、乙干6天，或者甲干7天、乙干2天。问：甲、乙单独干这件工作各需多少天？

一件工作，甲、乙合干需要6天完成，已知甲单独完成该工作的1/2所需的时间与乙单独完成该工作1/3的时间相等。问：甲单独完成该工作需要多长时间？

一项工程,如甲队独做,可6天完成.甲3天的工作量,乙要4天完成.两队合做了2天后,由乙队单独做,乙队还需做多少天才能完成

甲、乙、丙三人合修一围墙。甲、乙合修5天修好围墙的1/3，乙、丙合修2天修好围墙的余下1/4，剩下的围墙甲、丙又合修5天才完成。问：甲、乙、丙单独修好围墙分别需要几天？

有一批工人完成某项工程，如果能增加八人，则10天就能完成；如果能增加3人，就要20天完成。现在只能增加2个人，那么完成这项工程需要多少天？

八 励志或学科小故事——欧几里得

欧几里得出生于雅典，接受了希腊古典数学，30岁就成了有名的学者。欧几里得善于用简单的方法解决复杂的问题。他在人的身影与高正好相等的时刻，测量了金字塔影的长度，解决了当时无人能解的金字塔高度的大难题。他说：“此时塔影的长度就是金字塔的高度”。尽管欧几里得简化了他的几何学，国王还是不理解，希望找到一条学习的捷径。欧几里得说：“在几何学里，大家只能走一条路，没有专为国王铺设的达到”。这句话成为千古传诵的学习箴言。

第15篇：小学奥数讲座

小学奥数讲座

一、课前谈话

家长朋友、同学们，大家上午好！

本人姓谢，名叫宗伟，家住方城县赵河镇区。大专学历，是一名小学高级教师。1982年参加工作以来，一直在公立学校一线从事教育教学工作。30多年来，经验谈不上，教学实践可真不少！历次所教学科在学区抽测，镇级竞赛中，屡次名列前茅，深受广大家长和师生的厚爱与好评。

我家四代都是老师。爷爷旧社会教私塾，爸爸是有名的高中教师（现已去世），哥哥和我也是教师，我的女儿现在市十五小任教。我们的血液里压根儿就流淌着对教育事业的爱，对学生的爱！对学校工作的负责，对学生学业的负责是我们的天职！我们的工作态度是严谨治学，我们的工作作风是一丝不苟，我们的工作精神是刻苦钻研！

今天被南阳市名牌辅导站“小状元辅导班”聘为辅导老师，心里由衷的高兴，心情特别的激动！今生有缘担任您孩子的辅导老师，我的心情更加高兴，更加激动！高兴和激动的同时，深感肩上的担子更重，责任更大！你们家长对孩子学业的期望也是老师对学生的希望，我们的心情是一样的!您把孩子送到这里，通过我们的精心培养，一定会让孩子们的学业成绩更上一层楼！当孩子的学业成绩提高了，顺利升入重点初中时，不仅是我们的骄傲，更是您和孩子的骄傲！

通过我对南阳市多数辅导站的调查了解，学奥数的热度不亚于英语和其他学科。有的还专门聘我一对一地辅导学生奥数的学习。为什么热度会这么高呢？就咱南阳市的22中和13 中招择校生时，首先进行考试，对于数学测试题来说，里边涉及大量的奥数题目，没学过奥数的同学，看似简单却束手无策，成绩不理想，愿掏钱也进不去！再从近年来的高考数学试卷来看，奥数试题占4分！在人人要学历，争过独木桥的今天，这小小的4分是何等的重要啊！它可能决定孩子十年寒窗的一次成败，也可能决定孩子一生的命运！所以，李银仓老师从实际出发，为家长和学生着想，为方便广大同学就近学习奥数，特开设奥数班，是非常必要的，也是非常及时的！望广大家长积极动员您的孩子踊跃参加我们奥数班的学习，争做一名小小数学家！我们奥数班的口号定为“学奥数，我傲数”！

二、奥数和数学

（一）、关于对奥数的认识

奥数,有人认为是升学的法宝,也有人认为“奥数比黄毒还厉害”，不同的人站在不同的角度不同的立场怀着不同的目的，对奥数的认知自然不同。如果过滤各种名利，还原奥数本质，奥数只不过是一件工具，就像语文、英语是语言类工具一样，奥数是训练学生思维的工具。奥数最主要内容就是教会学生在解决问题的过程中如何思考和如何解决，即思维（怎样想）和方法（怎样做），这是奥数的精髓所在。时下，小学奥数分两类，竞赛类奥数和普及型奥数。竞赛类奥数，如“华赛杯”、“希望杯”、“两岸四地”等，题型难度大，变化多，所涉基础知识点一般以人教版或北师大版教材为准；普及型奥数，如“举一反三”教材等，是对学习普通数学进行思维上的储备，突现对普通数学知识点的拓展，灵活变化。两者所学内容大致相同但要求的难易深浅不一，后者注重学生思考方式和解题技巧，灵活性占主导；前是在此基础上的拓深与变化，思维灵活、逻辑严谨显得很重要。 小学奥数有二至六年级奥数，对思维的训练要求上各有不同。

二年级奥数：“放”，就是思维上的放开，天马行空，任其所想，对错不是最重要的，最重要的是敢想，敢于尝试，敢于表达自己的想法；很多人对这一阶段孩子学习奥数的要求把握不准,经常会以学普通数学的标准来衡量或要求小孩,如作业做对了多少,考试考了多少分.其实这一想法是错误的.例如"移火柴棒"这一专题,重点在训练学生观察能力和动手操作能力,观察不出,可以动手用实物摆一摆,移一移,而学生的能力就在这一过程中得到锻炼与培养,这是从做对做错的结果当中体现不出来的.又如“应用题”专题，低年级的学生对文字的理解还不到位，所以设置这一专题目的不是教会小孩如何用算式做对，而是通过画图的形式把题画出来，再从图中寻找答案。这种通过画图帮助理解的意识和画图的能力才是这一专题的目的。所以，二年级学奥数，学什么与做对什么不重要，重要的还是“意识”的培养，它是一个“润物细无声”的过程，其影响自然是在以后的学习运用中得到体现。

三、四年级奥数：“收”，这两年会接触到几乎所有的奥数专题，不同的专题可能需要不同的解决思路和方法，所以需要用专业的思维和方法来规范、引导学生的思考；就知识结构和系统思维训练而言,这一阶段,对奥数的学习最重要.

五、六年级奥数：“用”，把三四年级奥数所学的专题,结合

五、六年级的新知识，灵活揉合运用。比如说,三四年级中的“假设法”、“对应法”、“画图法”等等，在五六年级中的分数应用题、行程问题、工作问题中运用；在

五、六年级、初一的教材上，大量出现小学奥数里的知识，比如

五、六年级的“解决问题的策略”、初一“探索规律”、“可能性”等等，解决思路相同但会加进新学到的知识，如分数、比例、负数、图形等等。所以，

五、六年级奥数与普通数学的知识点结合更紧密，普通教材学什么，奥数就会有相应的章节，是普通数学知识点的延伸。这一阶段的学习，特别要注意各类题型变化中的“不变”，否则很容易陷入“题海”中，做题忙忙碌碌，效果却事倍功半。

（二）、奥数与普通数学的关系

普通数学的教改进行了好几年，所用的教材也逐渐由人教版统一到苏教版，目的是降低知识点难度，侧重知识的灵活性和生活意义，重视学生在学习过程中的自主性、探究性，就需要学生有好的思维和好的方法。在这一点上奥数是一个很好的补充。同时，教改年年改，素质教育天天喊，但最终都走不出高考“指挥棒”的阴影，平时素质教育，考试应试教育，所以，各种附加题、招生考试、入学测试中的数学试卷大量出现奥数题，目的其一是没有难度不好挑选，其

二、学生没有好的思维，很难适应初中数学的学习。但是毕竟两者在内容的广度、深度、变化的多样性灵活性上有很大的区别，不在同一档次，所以学习过程有很大的不同。首先，它们最大的不同就是学习目的不同。普通数学侧重于知识点的掌握，而奥数侧重于思维方式方法的培养。这就直接导致教学过程上的不同。普通数学，多为应试保姆式的教学，先讲例题，再练相似习题，直到熟悉为止，注重知识点的掌握，落脚点在“做”；而奥数更侧重于做之前的阶段，即思考的过程。“做得对不如想得妙”，也就是这个意思。奥数的教学一般是先想后评再讲最后练（注意：这个“练”已经开始练“变化”了），先做是要让学生有自己想法（不管对错），这样才能跟后面评讲中老师的想法进行对比，最终形成自己的思维，再通过练变化的题类，来锻炼思维上的灵活性。落脚点在“想”。课堂上更多的应该是针对学生的想法进行引导与疏通。特别强调一点：奥数重视的是思考的过程而不是做题的结果，用学普通数学的方式来学奥数，这是很多学生学不好奥数的一个很重要的原因。做过的题会忘掉，但形成在头脑中的思维和方法却永远受益。

（三）、关于学习奥数的态度问题

既然奥数的目的是在训练人的思维,那么,在学习奥数前,我们就应该有一个正确的态度.对老师而言,我们不可像教数学那样来教奥数,首先我们要向学生传达一个明确的信息:奥数最重要的地方是做题前思维准备和做题时的思维技巧,而不是做题后的题目结果,知识点的掌握并不是学习的唯一目的,特别对二三四年级.而引导这种教学方法在这里要发挥得淋漓尽致,怎么引,如何切入,导到什么程度及导的快慢.学生在此过程中会出现哪些思维偏差和如何修正，这是我们老师最关心的。学生的态度端正了，才能把他们的学习重点和注意力引到对思维方式方法的学习上来，而不是限于做对某道题、某次作业、某次考试。这就是学生学习奥数该有的态度。而现在很多学生学习奥数首先就在这个态度上出了大问题：不太关注题目的分析思路而关心题目是否最后解决，这样很容易把人的思维局限于某道题目上，当题目变化后思维就跟不上。最后来说说家长对此的态度。其实家长也了解自己小孩的思维灵活状态。对小孩学习奥数的目的和要求，应视每个小孩当时的思维状态而定。你让小孩来学奥数，是想让他的思维更灵活点还是要求他参加竞赛考个好成绩，或是没态度全听老师的？态度决定言行，言行影响学习过程。这是老师、学生、家长都应注意的事项。

（四）、关于奥数的学习

学习奥数有四个层次，第一种：课堂理解；就是能够听懂老师讲的题；第二种能够解题，就是学生听懂后还能做出作业；第三种：能够讲题；不仅自己会做，还能比较顺畅的讲出来；第四种：能够看题，就是自己领悟了这个知识后，能够看出不同题类的变化，进而找出解决办法。相对应，对思维的要求也就不同。第一种，只是理解解题的思路；第二种是习惯式记忆性的思维；第三种才是真正把老师的思路变成自己的思路，思路不清，讲出来别人也听不懂；第四种是思维的运用，能力的体现，正所谓能举一反三。为什么有些小孩上课能听懂，作业能做对，考试就出问题，原因就出在思维上面，处在

一、二个层次怎么能够应对题目的灵活变化。奥数的教学一般是先想后评再讲最后练，在课堂学习中，就应把自己的注意力放在前几个阶段，大胆想认真听，听时要注意对比各种想法的异同，及时总结，在练时，重点不是做，而是仔细观察，找出题目间的变化，条件如何转换。课后有时间多找出相关习题，看看都有哪些不同，这样就会加深对头脑中已形成或初步形成的思维与方法的理解，同时锻炼了自己的应变能力。 学习奥数应注意以下几点:第一，上课要认真听讲，这是最起码的要求，除了这个，要想保证听讲是高质量的，最关键要跟着老师的思路走，这样思维的连续性、解题思路的连贯性就不容易受到破坏，否则很容易造成对所学知识一知半解，直接影响学习的效果。如果遇到听不懂怎么办？有的同学没有系统地学习过奥数，或刚接触，可能老师在讲课过程中提到的某些名词或者方法你感到有些生疏，听不懂。其实很多东西在以前都接触过，只是说法不同或者没有加以系统的总结和归纳。所以如果有不懂的就要及时向老师提出，不光奥数，学习什么都忌讳听不懂不问，更不要害怕提问，也许老师用几句话就能使你茅塞顿开，相关的题型就能够迎刃而解；第二，注意倾听其他同学的发言。有些同学在其他人发言的时候，认为自己会了，就不听了；还有些同学有不同想法，在别人发言没结束的时候思想开了小差或议论、插嘴。其实，同样一道题，可能有不同的方法，别人的想法也许比你的更好，因此你要认真倾听；即使别人的想法不正确，你也应该认真倾听，最起码你能知道他错在哪里，也许这正是大家都容易出现错误的地方，应该共同注意。所以，你一定要重视别人的发言。倾听，对自己也是一种提高。

当然，不同的小孩在基础、思维反应能力、接受能力等都有区别，对知识的掌握程度、快慢就会不一样，要求也就应该不一样。学习上可以允许慢，但思考上绝不可以允许懒。这部分学生课后下的功夫可能就要比其他人多些，比如说先预习、复习等等。 关于作业问题。作业一般会分三个层次，基础题、变化题、拓展题，就是针对不同程度的学生而设计的。每次讲新课后，要把例题看一遍，不仅仅是看，还要认真的思考。课堂中所选的都是有代表性的典型例题，方法和思路上都有讲究。因此，回去后，仍需及时地加以回顾，趁热打铁，把老师强调的每个环节都回忆一遍，重点题型和解题方法还要及时总结和积累。作业不只是对学习效果的检验，最根本的还是练，练习、巩固思维过程及暴露问题。有些同学以为上课听会了，做作业的时候不用心，拿过来就做，缺乏思考，造成作业出错率高；更有小部分同学不爱做作业，对作业敷衍了事。作业是对我们课堂所学知识的巩固和运用，是对自己解题能力的检验和提高。上课听懂了，不等于掌握了，通过作业，你能对所学知识进行重组、练习，把老师传授给你的知识转化为自己的技能，而且老师能够了解你对知识的掌握程度，以进行更好的针对性的讲解。作业不认真，不仅达不到练习的目的，而且也不能向老师传递你真实的信息。作业不仅要认真对待，还要努力思考巧妙的方法，使得所学的知识灵活运用，这是学习奥数非常重要的一个环节。

最后是关于家长辅导的问题。家长的辅导视时间和学生的自觉性而定，不可不管，也不可操心太多，适当对孩子的听课情况进行检查，例如，在今天所讲内容中任意挑选一两道题，让孩子简单讲述一下，看他是否真正听懂了老师的讲解，如果不会，找一下原因，以便和老师及时沟通，在以后的学习中改正督促孩子做作业。每一讲讲完，最好马上做作业，因为这时对老师所讲的解题思路和方法记忆比较清晰，及时进行巩固，会感到很轻松，效果也很好；越往后拖，忘得也越多，做起题来感觉吃力，就会失去兴趣，越来越不爱做，家长也跟着着急，学习效果非常不好。同时家长应对孩子作业的完成情况以及改错情况进行监督、检查。自觉性好的，可适当抽查；如果自律性差点的，那就要盯住了。在孩子做题遇到困难时，家长要给予适当帮助，可进行提示性指点，不要“大包大揽”。第一，这样下去容易使孩子产生依赖性，自己不爱动脑筋；第二，老师讲授的解题方法和家长讲的可能有很大差别，应该让孩子尽量用老师传授的方法，这样才能起到练习提高的目的帮孩子树立信心。由于奥数知识相对来说有一定的难度，因此，孩子做题时可能会有困难，这是很正常的。家长不要给孩子施加压力，或对孩子进行训斥、挖苦，这容易使孩子失去自信心，产生畏难情绪，从而对学习失去兴趣。在孩子遇到困难时，家长要给孩子以适当的鼓励和帮助，让孩子知道只要坚持系统地学下去，一定会好起来的。

三、教学奥数

（一）、导语。

我从李银仓老师那儿得知，在座的家长朋友都是不仅关心孩子的生活起居，健康成长，更关注孩子的学习生活的好同志，好家长！孩子们呢，个个学习成绩优秀，是班级乃至学校的佼佼者，因此我有决心、有信心让孩子们的学业成绩更上一层楼！下面我就运用奥数的思维方式给大家展示几个例子：

（二）、出示例题。

例

1、（1）在下面的汉子算式里，不同的汉子代表不同的数字，请你想一想，这些汉字各代表哪些数字？

爱 听 想 看

+ 边 听 边 看

边 看 想 爱 看

爱=（

），听=（

），想=（

），边=（

）。 分析：两个加数都是四位数，和是五位数，所以边=1,个位上 “看”+“看”=“看”，所以“看”=0，代入发现：

爱 听 想 0

+

1 听 1 0

所以“爱”=9或8 1 0 想 爱 0 如果“爱”=8，十位上“想”+1=8，“想”=7，“听”+“听”=7是不可能的。

如果“爱”=9，十位上“想”+1=9，“想”=8，“听”+“听”=8，“听”=4， 所以9480+1410=10890，“爱”=9，“听”=4，“想”=8，“看”=0，“边”=1. 巩固练习：

蜂 蜜 甜

+ 甜 蜂 蜜

槐 蜜 甜

蜂=（

）， 蜜=（

）， 甜=（

），槐=（

）

（2）a※b=(a+b)+(a-b), 求10※4和12※（3※2）。

这道题的新运算被定义为：a※b等于a与b两数之和加上两数之差，这里的“※”就代表了一种新运算。在定义新运算中同样也规定了有括号的要先算括号里面的。

10※4=（10+4）+（10-4）=14+6=20 3※2=（3+2）+（3-2） =5+1=6 12※（3※2）= 12※6

=（12+6）+（12-6）

= 18 + 6=24 巩固练习：设a※b=(a+b)×a,求12※3。

拓展练习：如果4※2=14， 5※3=22， 3※5=4 ， 7※8=31。

求6※9的值。

例

2、（1）有4箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱42个，梨、橘子、桃平均每箱36个，苹果和桃平均每箱37个。一箱苹果多少个？ 【思路导航】（1）1箱苹果＋1箱梨＋1箱橘子=42×3=136（个）；

（2）1箱桃＋1箱梨＋1箱橘子=36×3=108（个） （3）1箱苹果＋1箱桃=37×2=74（个）

由（1）（2）两个等式可知：

1箱苹果比1箱桃多126－108=18（个）， 再根据等式（3）就可以算出： 1箱桃有（74－18）÷2=28（个）， 1箱苹果有28＋18=46（个）。答：略。

（2）松鼠妈妈采松果，晴天每天可采20个，雨天每天只采12个。它一共只采112个松果，平均每天采14个，问这几天有几天下雨？ 【思路导航】112÷14=8（个），松鼠妈妈一共采了8天松果。假设8天都是晴天，应该采20×8=160（个）。比实际多采160-112=48（个）。怎么会多出48个呢？是因为这8天中有雨天。

因为每个晴天比每个雨天多采 20-12=8（个）48÷8=6（天）所以有6天下雨。 112÷14=8（天） （20×8-112）÷（20-12）=6（天）

答：这8天中有6天下雨。

巩固练习：

1、一次数学测验，全班平均分是91.2分，已知女生有21人男生平均每人90.5分。求这个班男生有多少人？

2、兔妈妈采蘑菇，晴天每天可采16个，雨天每天只能采11个，它一共采了195个，平均每天采13个。这几天中有几天是晴天？

拓展练习：某次数学竞赛共有12道题，每道题做对得10分，做错或不做都倒扣8分。王亮最后得了66分，他做对了几道题呢？

以上所讲，望在座的家长朋友和同学们提出宝贵意见。今天的课就上到这里，谢谢大家光临。

小

学

奥

数

讲

座

2015年8月拟

第16篇：小学奥数题

2013小学奥数题

济南一年级奥数题及答案：比较大小

1.计算

计算：11+22+33

解答：11+22+33

=33+33

=66

【小结】按顺序计算即可。

2.比较大小

把下面的数按从大到小的顺序排列起来，并用\">\"连接

19，91，28，82，37，73，46，64，55 解答：

第17篇：小学五年级奥数

宜宾天天向上教育Yibin TTXS Personalized EDU

1.看一看下面的算式有什么特点？运用什么运算定律可以使计算简便？

(1)1.56×1.7＋0.44×1.7－0.7(2)11.72－7.85－(2.26＋0.46)

(3)(4.8×7.5×8.1)÷(2.4×2.5×2.7)

（5）1.35×0.61－0.35×0.61

好 好 学习天 天 向 上 4）3.75×4.8＋62.5×0.48 1（

第18篇：小学奥数学案

Long Wen Education

课题8：小学奥数之盈亏问题

教学第一环节：衔接阶段



回收上次课的教案，检查学生的作业，做判定。 

了解家长的反馈意见



通过交流，了解学生思想动态，稳定学生的学习情绪



了解学生上周学习的情况，查漏补缺，为后面的备课方向提供依据

教学第二个环节：教学内容（盈亏问题）

“老猴子给小猴子分梨。每只小猴子分6个梨，就多出12个梨；每只小猴子分7个梨，就少11个梨。有几只小猴子和多少个梨？”

这道应用题是已知两种分配的方法，一次分配有余，一次分配不足，求参加分配的数量及被分配的总量。这样的应用题，通常叫做盈亏问题（有余时称盈，不足时称亏）。

例1． 老猴子给小猴子分梨。每只小猴子分6个梨，就多出12个梨；每只小猴子分7个梨，就少11个梨。用几只小猴子和多少个梨？

分析：从上面的题目中，我们可以发现：第二次的分法比第一次的分法每只小猴子多分1个，从而导致梨子由原先的多出12个变成少11个，因此想要保证每只猴子分够7个梨子，必须要再添11个梨子才行。

例2.丽丽阿姨给幼儿园小朋友分苹果。如果每人分3个，多16个；如果每人分5个，那么就差4个。有多少小朋友？有多少个苹果？

分析：根据已知的条件我们可以知道:要想每个小朋友多分2个苹果，苹果必须要再多4个才行。即在原先每个人分了3个苹果后，要想达到每个人多分2个，必须要拿出（16＋4）个苹果才行。从这里我们即可确定有多少个小朋友。

把您的孩子当成我们自己的孩子

Long Wen Education

教学第三个环节：知识总结

解决盈亏问题时，常采用的方法是比较法。

份数=（盈＋亏）÷两次分配数的差

物品数可以由其中一种分发去求出。解决盈亏问题的关键是求出总额差和前后两次的分配的单数差，再套用公式求出分配人数，从而解决问题。

教学第四个环节：知识应用环节

训练1.北京东路小学学生乘汽车到中山陵去春游。如果每车坐65人，则有15人不乘车。如果每车多坐5人，恰好多余了一辆车。一共有几辆汽车？有多少学生？

训练2.小明的爷爷买回一筐梨，分给全家人。如果小明和小妹每人分4个梨，其余每人分2个梨，还多出4个梨。如果小明1人分6个梨，其余每人分4个梨，又差12个梨。小明家有多少人？这筐梨子有多少个？

教学第五个环节：布置作业

1、复习本次课所讲的内容

2、完成下列对应练习

1． 若干个同学去划船。他们租了一些船，如果每船坐4人，则多5人。如果每船坐5人，则船上有4个空位。有多少个同学？多少条船？

2． 把一袋糖分给小朋友们。如果每人分10粒糖，正好分完。如果每人分16粒糖，就有3个小朋友分不到糖。这袋糖共有多少粒？

把您的孩子当成我们自己的孩子

Long Wen Education

3． 少先队员去植树。如果每人各挖5个树坑，还有3个树坑没人挖。如果其中2人各挖4个树坑，其余的人各挖6个树坑，就恰好挖全部的树坑。少先队员一共挖了多少个树坑？

4． 奥林匹克学校招收了一批新生。若编成每班55人的班级，还要招收30人。若编成每班50人的班级，还需招收10名新生。这次共招收了多少新生？

5． 用一根长绳测量进的深度。如果绳子两折时，多5米。如果绳子三折时，差4米。求绳子长度的进深。（提示：绳子两折多5米，表示绳子长度是进深的2倍多10米。

6． 用一根绳子绕树三圈，余三米。如果绕树4圈，则差4米。树周长有几米？绳长几米？

7． 全班同学去划船。如果减少一条船，每条船正好坐9人。如果啬一条船，每条船正好坐6人。全班共有多少人？ 8． 一个学生从家到学校上课。他先用每分钟80米的速度走了3分钟，照这样的速度，则要迟到3分钟。如果改为每分钟走110米，结果提前3分钟到达，这个学生的家离学校有多远？

9． 把一笔奖金分发给获奖学生。若每人分11元，差8元。若每人分16元，差8元。求学生人数与奖金总数。

把您的孩子当成我们自己的孩子

第19篇：小学五年级奥数

宜宾天天向上教育Yibin TTXS Personalized EDU

1、在

1、

2、3……49

9、500中，数字2一共出现了（）次。

2、食堂有大米和面粉共351袋，如果大米增加20袋，面粉减少50袋，那么大米的袋数比面粉的袋数的3倍还多1袋，原来大米有（）袋，面粉有（）袋。

3、279是甲乙丙丁四个数的和，如果甲减少2，乙增加2，丙除以2，丁乘以2后，则四个数都相等，那么甲是（），乙是（），丙是（），丁是（）。

4、兄弟俩比年龄，哥哥说:“当我是你今年岁数的那一年，你刚5岁。”弟弟说：“当我长到你今年的岁数时，你就17岁了。”哥哥今年（）岁，弟弟今年（）岁。

5、甲对乙说：“我的年龄是你的3倍。”乙对甲说：“我5年后的年龄和你11年前的年龄一样。”甲今年（）岁，乙今年（）岁。

6、A、B两地相距21千米，上午9时甲、乙分别从A、B两地出发，相向而行，甲到达B地后立即返回，乙到达A地后立即返回，中午12时他们第二次相遇。此时甲走的路程比乙走的路程多9千米。甲每小时走（）千米。

7、一条轮船在两码头间航行，顺水航行需4小时，逆水航行需5小时，水速是每小时5千米 ，这条船在静水中每小时行（）千米。

8、一座铁路桥全长1200米，一列火车开过大桥需要75秒，火车开过路旁的电线杆只需15秒，那么火车全长是（）米。

9、蜗牛从一个枯井往上爬，白天向上爬110厘米，夜里向下滑40厘米，若要第五天的白天爬到井口，这口井至少深（）。

10、甲买了4千克苹果，3千克的梨，乙买了3千克苹果，2千克的梨，丙买了3千克的苹果，4千克梨，甲比乙多花了3.45元，乙比丙少花了2.9元，则甲花了（）元，乙花了（）元。

11、一个自然数被3除余1，被5除余2，被7除余3，这个自然数最小是（）。

好 好 学习天 天 向 上 1

第20篇：小学奥数招生简章

奥数班招生简章

——XXXX学校

学习奥数能够锻炼孩子的思维能力，

三、四年级的奥数学习是小学奥数最重要的基础阶段，只有牢固掌握了

三、四年级奥数最基本的知识技巧，才能有效的促进今后的数学学习，最终在小升初择校中有所斩获。鉴于学习奥数的重要性，我们艺文学校特开设了

三、四年级奥数班，以下为详细的招生简章，广大家长可以参考报名! ● 学习分析

A、主要内容和知识重点

《找规律》、《速算与巧算》、《巧求周长》、《和差倍问题》、《植树方阵问题》、《等差数列》、《行程问题》等。

B、普遍存在的学习问题

(1) 很多例题在课堂上老师讲解之前并不能很顺利的做出来。

(2) 例题听懂了，但举一反三或者题型有些变化，部分学员就束手无策。 (3) 低年级以计算为主，但

三、四年级奥数以应用题为主，要求学员有较好的分析能力和尝试用线段图或者符号解题。

C、春季学习的重要性

(1) 遗忘是记忆的大敌，大脑记忆规律要求知识要在不断复习中吸收强化。 (2) 老师对不同类型的题目会在授课中补充相关知识点。

(3) 针对性强。从时间上说，学习最具集中和针对性，我们的专题浓缩了该年段的重难点以及常见题型，帮助学生建立知识体系意识，在重点专题上进行更深层内容、更典型题型、更系统思想、更灵活技巧的全面知识渗透与挖掘!

● 课程说明

A、教学目标

以培养学生的数学兴趣与提高数学思维为主要原则，在教师的指导下，通过学生的自主学习，以获得有关数学解题的直接经验，让学生更大自由度地发挥自己，深化素质教育，营造诱发其潜能的氛围。

B、知识要点

速算强化、等差数列、和差倍问题、行程问题等 C、课程特色

(1) 在教学过程中，老师注重培养学生的自主思考能力，采取启发和引导的方式，让学生有兴趣地主动投入到课堂中来。学生不再停留于“应该是怎样，应该怎么做”的模仿式学习，而是在教师的启发和引导下，逐步形成“为什么是这样，怎样能更好”的自主性思考。

(2) 在小班课堂中，老师会充分鼓励学生表达自己的想法，充分展示其思维和个性。

D、课程服务：

电话咨询 答疑解惑 跟踪服务 专题辅导

即日起报名，可享受优惠活动，早报早得，机会多多，不容错过！

【咨询电话】 【学校地址】

《小学奥数教案模板.doc》

将本文的Word文档下载到电脑，方便收藏和打印

推荐度：

点击下载文档