小学数学变式教学心得体会

推荐第1篇：小学数学变式练习教学探究

小学数学变式练习教学探究

摘 要：所谓变式就是使提供给学生的各种感性材料不断变换其表现形式，使非本质属性变化，本质属性恒在。变式在小学数学教学中运用十分广泛，可以在概念形成阶段提供，也可以在知识巩固深化阶段以练习的形式呈现。

关键词：变式；变换；解决问题

所谓变式就是使提供给学生的各种感性材料不断变换其表现形式，使非本质属性变化，本质属性恒在。变式在小学数学教学中运用十分广泛，可以在概念形成阶段提供，也可以在知识巩固深化阶段以练习的形式呈现。通过变式练习，能使学生排除非本质属性的干扰而看清本质，不仅能深化所学的知识，而且还能培养学生灵活运用所学的知识解决实际问题的能力。那么，教师怎样设计变式练习呢？笔者有以下几点浅见，愿与同仁共研。

一、变换叙述形式

基本题：24的约数有 。

变式题：（1）24能被 整除；（2） 能被24整除；（3）24是 的倍数。

这三道变式题变换了叙述形式，但其约数的本质“必须整除”始终恒在。通过解答，使学生不只习惯于解答标准叙述形式的题目（基本题），而且能灵活地排除变式的非本质属性的干扰，并能正确地解答题目，从而对约数的概念理解得更加深刻，同时也培养了学生灵活运用知识的能力。又如：

基本题：黄花有5朵，红花比黄花多3朵，红花有多少朵？

变式题：黄花有5朵，黄花比红花少3朵，红花有多少朵？

变式题中的“黄花比红花少3朵”也就是“红花比黄花多3朵”。叙述学生变了，但“求比一个数多几的数”这类应用题（即解决问题）的本质属性不变，其数量关系仍然是“较小数+差数=较大数”，因此用加法计算，这种变式题不仅能有效地克服学生“见多就加，见少就减”，防止学生片面地根据一些固定的词语来选择算法，而且能培养学生认真审题，提高解决问题的能力。

二、变换图形的位置或条件

这类变式题的设计在几何初步知识中经常出现和使用，变式题中多余的条件“7”的设计，可以帮助学生更好地理解三角形面积计算公式，能克服学生乱套公式的坏习惯。

三、变换已知条件的叙述顺序

基本题：红星小学少先队员种树，每排种6棵，种了4排，一共种了多少棵？

变式题：红星小学少先队员种了4排树，每排种6棵，一共种了多少棵？

变式题条件叙述顺序上的变化，使已知条件出现了的数据与列式次序不一致，会使学生错列成4×6=24（棵）或4×6=24（排）的错误，这就要求学生必须认真审题，仔细分析数量关系，只有在明确求“4个6是多少”以后，才会纠正其错误。又如，文字题：

基本题：25与20的和除以它们的差，商是多少？

变式题：25与20的差除它们的和，商是多少？

变式题变换了条件的叙述顺序，旨在考查学生对“除”和“除以”的理解和掌握。

四、变换题目中的已知条件

1.将题目中的某一已知条件隐藏

基本题：把90°角按1∶2分成两个锐角，这两个锐角各是多少度？

变式题：直角三角形两个锐角的度数比是1∶2，这两个锐角的度数各是多少度？

这样设计的变式解决问题，表面上看是只有一个已知条件，如果不认真分析思考，学生的思维就会受阻，错误地认为条件不够，无法进行解答，这样设计旨在使学生从某些词语的背后发现蕴含的另一个已知条件，提高学生解答问题的能力。

2.将题目中的直接条件变换为间接条件

基本题：育才小学三年级有90人，四年级的人数比三年级多6人，

三、四年级共有多少人？

变式题：（1）育才小学三年级有2个班，每班45人，四年级的人数比三年级多6人，

三、四年级共有多少人？（2）育才小学三年级有90人，比四年级的人数比少6人，

三、四年级共有多少人？

用这种方法设计的变式题，在解决问题的教学中经常运用，变式题（1）和（2）与基本题比较，虽然问题不变，但由于条件变换，将一步计算的解决问题扩展成

二、三步计算的解决问题，从而使学生能认清复合解决问题的结构特征。

五、变换所求问题

基本题：光明小学五年级有男生120人，女生100人，男生人数是女生人数的几分之几？在学生正确的解答后，教师变换问题：

（1）女生是男生的几分之几？（2）男生比女生多几分之几？（3）女生比男生少几分之几？（4）男、女生人数各占五年级人数的几分之几？

通过解答和比较改变问题的变式题，使学生对“求一个数是另一个数的几分之几”解决问题有较深的认识，从而加深对这类解决问题的理解，培养学生思维的深刻性。

六、变化已知条件和所求条件――问题

基本题：长方形的长6厘米，宽5厘米，它的面积是多少？

变式题：长方形的面积是30厘米，长6厘米，宽是多少？

这种变式题，其解答思维方向是逆向的，经常设计这种练习供学生解答，不仅能深化所学的数学知识，而且还能培养学生的逆向思维能力。

七、变换题目叙述事理

基本题：一项工程，甲独做要8小时完成，乙独做要10小时完成，甲、乙两人合做要多少小时完成？

变式题：从甲地到乙地，客车要8小时，货车要10小时，现两车从甲、乙两地相向而行，几小时相遇？

变式题的叙述事理虽然发生了变化，但其数量关系与基本题相同。通过解答，可以使学生对工程问题的数量关系获得更为广泛的概念和理解。

八、变换数据、运算符号或计算步骤

这种方法的设计常常用于四则混合运算的教学。

基本题：0.32+7-2-0.32

变式题：（1）0.32×7+2×0.32（变换运算符号）；（2）0.32×7+2×0.25（变换数据和运算符号）；（3）0.32×（7+2）×0.25

变式题1与基本题一样，都能运用运算定律进行简算。这时，小学生往往会产生“简便计算”的心理定势，对这些貌似能简算，但实际不能简算的题目，学生极易失误；变式题2的设计目的是排除学生多余成分的干扰，防止“7+2”先求和；变式题3添上括号变换了运算顺序，其目的除了与变式题2进行对比外，还要引导学生灵活地计算。教师设计此种“一题多变”的变式题既能避免试题形式单调，又能使学生在“一题多变”练习中排除各种干扰，自觉认真审题，不断提高学生的计算能力。

推荐第2篇：浅谈数学变式教学

浅谈数学变式教学

在新课程标准的指引下，数学教学方法也在不断改进、创新。数学教学不应局限于一个狭窄的课本知识领域里，应该是让学生对知识和技能初步理解与掌握后，进一步的深化和熟练，使学生在学习中学会运用课本的知识举一反三，应用数学“变式教学”的方法是十分有效的手段。所谓“变式”，就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化。即教师可不断更换命题中的非本质特征；变换问题中的条件或结论；转换问题的内容和形式；配置实际应用的各种环境，但应保留好对象中的本质因素，从而使学生掌握数学对象的本质属性。在学校做了几年的数学教师，下面我结合自己的教学对数学变式教学谈几点看法。

一、变式教学的原则

1.1 针对性原则： 数学课通常有新授课、习题课和复习课，数学变式教学中遇到最多的是概念变式和习题变式。对于不同的授课，变式教学服务的对象也应不同。例如，新授课的习题或概念变式应服务于本节课的教学目的；习题课的习题变式应以本章节内容为主，适当渗透一些数学思想和数学方法；复习课的习题变式不但要渗透数学思想和数学方法，还要进行纵向和横向的联系。

1、2可行性原则：选择课本习题进行变式，不要“变”得过于简单，过于简单的变式题会让学生认为是简单的“重复劳动”，影响学生思维的质量；难度“变”大的变式习题易挫伤学

生的学习积极性，使学生难以获得成功的喜悦，长此以往，将使学生丧失自信心，因此，在选择课本习题进行变式时要变得有“度”。

1.3 参与性原则：在变式教学中，教师不能总是自己变题，然后让学生练，要鼓励学生主动参与变题，然后再练习，这样能更好锻炼学生的思维能力。

二、变式教学的方法

2、1一题多变，培养思维的灵活性

一题多变，是题目结构的变式，是指变换题目的条件或结论，或者变换题目的形式，而题目的实质不变，以便从不同角度，不同方面揭示题目的本质，用这种方式进行教学，能使学生随时根据变化了的情况积极思索，设法想出解决的办法，从而防止和消除呆板和僵化，培养思维的灵活性。一题多变可以改变条件，保留结论；也可以保留条件，改变结论；或者同时改变条件和结论；也可以将某项条件与结论对换等等。

2、2一题多解，培养思维的发散性：一题多解实际上是解题或证明定理、公式的变式，因为它是以不同的论证方式反映条件和结论问的同一必然的本质联系，运用这种变式教学，可以引导学生对同一材料，从不同角度、不同方位思考问题，探求不同的解答方案，从而拓广思路，使思维向多方向发展，培养思维的发散性。

例：正方形ABCD中，M为CD中点，E为MC中点。

求证：∠BAE=2∠DAM

证法1：如图1：取BC中N，延长AN、DC交于F，易证：∠1=∠DAM=∠F，CF=BA 设正方形边长为4，则AD=CF=4，DE=3，EC=1 ∴EF=5 根据勾股定理，AE=■=5=EF 得∠2=∠F ∠1=∠2=∠DAM ，即：∠BAE=2∠DAM

证法2：如图1，再连NE，易证：∠1=∠F=∠DAM，AN=FN∵EC/NC=NC/FC=1/2，易证：△NEC∽△FNC，得∠3=∠F ∵∠F+∠CNF=90∴∠3+∠CNF=90°EN⊥AF ∴∠2=∠F即

证

证法3：如图2，取BC中点N，连AN，延长EN、AB交于F 易证：∠1=∠DAM，BF=EC 同证法1，一样根据勾股定理AE=5，AF=5∴△FAN≌△EAN 即证：∠BAE=2∠DAM

2、3多题一法，培养思维的深刻性

数学有很多问题，表面上看相互各异，但实质上结构却是相同的，因而它们可用同一种方法去解答，让学生演作这样的题组并作比较，可使学生透表求里，自觉地从本质上看问题，从而培养思维的深刻性。

1、当m取何值时，一元二次方程2x2-（m+1）x-4=0的两根中，一根大于1，另一根小于1？

2、如果二次函数 y=2x2-（m+1）x-4的图像与x轴的两个交点分别在点（1，0）的两侧，试求m的取值范围。

以上两题表面上一个是一元二次方程的内容，另一个是二次函数的问题。但它们的分析和解答过程完全一样，即m的取值范围均需满足：

教师应请注意引导学生进行对比、消化，促使学生对相通的知识归纳成体系。避免“只见树木不见森林”的现象。

三、变式教学在数学教学中的作用

3.1 运用变式教学能促进学生学习的主动性。课堂教学效果很大程度上取决于学生的参与情况，这就首先要求学生有学习的主动性，有了学习主动性才能积极参与学习。增强学生在课堂中

的主动学习意识，使学生真正成为课堂的主人，是现代数学教学的趋势。变式教学使一题多用，多题重组，给人一种新鲜、生动的感觉，能唤起学生的好奇心和求知欲，因而能够产生主动参与学习的动力，保持其参与教学活动的兴趣和热情

3.2 运用变式教学能培养学生的创新精神。创新，即通过旧的知识，新的组合，得出新的结果的过程。“新”可以是与别人不一样的，也可以是自己新的提高，它突出与众不同。创新学习的关键是培养学生的“问题’意识，学生有疑问，才会去思考，才能有所创新。在课堂中运用变式教学可以引导学生多侧面，多角度，多渠道地思考问题，让学生多探讨，多争论，能有效地训练学生思维创造性，大大地激发了学生的兴趣，从而培养了学生的创新能力。

3.3 运用变式教学能培养学生思维的深刻性。变式教学变换问题的条件和结论，变换问题的形式，但不改变问题的本质，使本质的东西更全面。使学生学习时不只是停留于事物的表象，而能自觉地从本质看问题，同时学会比较全面地看问题，注意从事物之间的联系的矛盾上来理解事物的本质，在一定程度上可以克服和减少思维僵化及思维惰性，从而可以更深刻地理解课堂教学的内容。

变式教学可以让教师有目的、有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，可以帮助学生使所学的知识点融会贯通，从而让学生在无

穷的变化中领略数学的魅力，体会学习数学的乐趣。总之，在新课标下的教师要不断更新观念，因材施教，继续完善好“变式”教学模式，最终达到提高教学质量的目的，并为学生学好数学、用好数学打下良好的基础。

四、习题变式教学应注意的问题

4、1源于课本，高于课本

在中学数学习题变式教学中，所选用的“源题”应以课本的习题为主，课本习题均是经过专家学者多次筛选后的题目的精品，我们没有理由放弃它。在教学中我们要精心设计和挖掘课本的习题，编制一题多变、一题多解、一题多用和多题一解以提高学生灵活运用知识的能力。

4、2循序渐进，有的放矢

在中学数学习题变式教学中，对习题的变式要循序渐进，有的放矢。

4、3纵向联系,温故知新

在中学数学习题变式教学中，对习题的变式要注意纵向联系，要紧密联系以前所学知识，让学生在学习新知识的同时对旧知识也得到复习、巩固和提高，从而提高学习效率，让学生明白“任何事物都是相互联系的”这一哲学道理。

4、4横向联系，开阔视野

数学学科不是独立的学科，它跟很多其它学科是紧密相联系的；在中学数学习题变式教学中，要注意跟其它学科的联系，注

意培养学生的发散思维，让学生的思维得到迁移，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

4、5紧扣《考试说明》，万变不离其宗

在中学数学习题变式教学中，习题的变式要紧扣《考试说明》，要以考纲为“纲”进行“变”；不要“变”出一些偏离考纲的“繁、难、杂”题目来浪费学生的宝贵的学习时间和挫伤学生学习数学的兴趣。

总之，在课堂教学中，通过种种训练引导学生多侧面，多角度，多渠道地思考问题，让学生多探讨，多争论，能有效地训练学生思维的完备性、深刻性和创造性，大大地激发了学生的兴趣，从而培养了学生的创新能力。创新是一个民族的灵魂，是国家兴旺发达不竭的动力。21世纪是知识经济时代，需要创新知识和创新性的人才，自然也需要创新教育。作为灵魂工程师的我们背负着重大的责任。“尺水可以兴波”，三尺讲台就是创造的天地。我们应在理论和实践中努力地探索，勇于进取，努力使创新教育不断走向深入，走向成功。

推荐第3篇：数学变式教学(讲座)

数学变式训练对学生的长远影响

教师：李芳芳

时间过得真快，转眼一学期又要结束了。这学期我们九年级数学重点是通过变式练习的教学提高课堂教学质量。通过听三位教师的公开课及自已上公开课，从理论到实践再到理论，经过这样的过程，感触很大也很受用。最值得学习的是培养了学生的各种基本知识和基本技能。下面我从学生的收获谈一谈自己的看法。

一、变式训练课激活了学生的思维。

变式训练激活学生的思维，尤其是发散思维的能力、化归、迁移思维能力和思维的灵活性。运用变式训练可以提高数学题目的利用率，抽高数学的有效性，培养学生的综合思维能力。比如邹琪教师的这节课重点是讲解绝对值的性质运用，通过变式抓住绝对值班的本质规律，通过训练，主要通过呈现性质的外延和一些易错难辨的分类考虑情况，让学生加深理解很好的掌握绝对值。姚老师的这节几何课把各种全等变形通过具体的变换演示让学生思维一下活跃，学生能很快建立空间形象概念，通过变式帮助学生多方位灵活理解，再复杂的图形都是是由几种基本全等变换得到的，可以从复杂的图中抽象出本质的思维方法。另外，姚老师在处理质疑导学中的例题时，化整为零各个击破 ，用一个二次函数综合问题激活学生思维的深度和广度，一个问题比一个问题难并且综合了轴对称及两点之间线段更短等知识，尤其是面积的问题，一题多解培养了学生变通和举一反三的能力，收到了少而胜多的效果。

二、激活了学生的兴趣，这三节课的变式变得好，不是机械的重复的训练是让学生感兴趣的变式，学生身心都投入，课堂成了学生是主人，教师只起到了主导作用，通过有效的分组和变式，学生有持续的热情参与，并且学生的参与面大，学生真正学得轻松有趣。

三、提高学习效率

通过式训练丰富了课堂气氛，使学生思路宽广更节约教学时间抽高了课堂效率。这三节大容量有一定难度的变式练习课，学生掌握的好，学生主观能和积极性最大开放，提高课堂效率，轻松了老师，老师和学生思维相吻合和谐地展示了高效课堂。

总之，我在今后的教学中一定要多尝试运用变式训练，尤其在下学期上九年级的中考复习上用，努力提高课堂效率，努力提高中考复习效率。

2018年6月 20日

推荐第4篇：变式教学



怎样进行变式教学

变式教学是指在教学过程中通过变更概念非本质的特征、改变问题的条件或结论、转换问题的形式或内容，有意识、有目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究 “变”的规律的一种教学方式。数学变式教学是通过一个问题的变式来达到解决一类问题的目的，对引导学生主动学习，掌握数学“双基”，领会数学思想，发展应用意识和创新意识，提高数学素养，形成积极的情感态度，养成良好的学习习惯，提高数学学习的能力都具有很好的积极作用。

一、类比变式，帮助学生理解数学知识的含义

初中数学具有一定的抽象性，许多数学概念概括性比较强，学生理解非常困难；有些知识包含了隐性内容，有仅仅依靠老师的情景创设和知识讲解学生可能无法全面理解数学的内涵的，所以需要运用更加丰富的教学手段帮助学生理解数学知识。

例如在学习“分式的意义”时，一个分式的值为零是包含两层含义：(1)分式的分子为零(2)分母不为零。因此，如果仅有“当x为何值时分式 的值为零”，此类简单模仿性的问题，学生对“分子为零且分母不为零”这个条件还是很不清晰的，考虑“分母不为零” 意识还不会很强。但如果以下的变形训练，教学效果会大不相同：

变形1：当x______时，分式 的值为零？

变形2：当x______时，分式 的值为零？

变形3：当x______时，分式 的值为零？ 通过以上的变形，可以对概念的理解逐渐加深，对概念中本质的东西有个非常清晰的认识，因此，数学变式教学有助于养成学生深入反思数学问题的习惯，善于抓住数学问题的本质和规律，探索相关数学问题间的内涵联系以及外延关系。

二、模仿变式，更快熟悉数学的基本方法

数学方法是数学学习的一个重要内容，而这些数学方法的掌握往往需要通过适当改变问题的背景或者提问方式，通过模仿训练来熟悉。所以，在教学中通过精心设计变式问题，或挖掘教材自身的资源可以更快地帮助学生熟悉数学的基本方法。

例如人教版课标教材八年级《数学》（上）中，为了使学生更好地掌握三角形全等的判定的“SSS”方法的运用，就很好地采用了变式教学的设计形式。

（1）如图(1)，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接点A和BC的中点D的支架，求证：△ABD≌△ACD；（例题1）

（2）如图(2)，AB=AD,CB=CD,△ABC与△ADC全等吗？(习题13.2中的复习巩固) （3）如图(3)，C是AB的中点，AD=CE,CD=BE，求证△ACD≌△CBE；(习题13.2中的复习巩固) （4）如图(4)，B、E、C、F在一条直线上，AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证∠A＝∠D.(习题13.2中的综合运用) 教材中为了让学生掌握“SSS”方法，首先安排了（1）中的简单训练，其中全等的两个三角形有公共边的三角形，相等关系较为直接，只要验证全等的条件是否齐全、是否对应即可以；而（2）则是例1的图形略为变形，旨在增强学生针对图形变化应注意全等条件的验证意识；（3）、（4）中的两个三角形虽然已经一对边之间有直接关系，但其中一对边的相等关系需要经过简单的推理而得到，难度有所加强，对学生是否掌握“SSS”方法的要求更高。这样的变式训练，让学生通过模仿逐步掌握数学的基本方法，对初中学生有着更普遍的意义。

三、阶梯变式，训练中总结数学规律

初中数学内容的形式化趋势比较明显，而学生的对形式化的数学知识理解普遍感到困难，对某些规律的形式化的归纳往往更是无从下手，所以，适当地从学生的实际出发，设计变式教学环节，让学生从变式问题中“变化量”的相互关系中，帮助学生总结数学规律。

例如人教版课标教材九年级《数学》（下）关于二次函数y=ax2的图像的对称轴、顶点、开口等变化规律与a的取值的的关系时就是采用变式教学的形式，让学生通过类比推理总结出这类函数的性质的规律的。

首先，用描点法分别画出两个简单的二次函数“y= x2”和“ y=2x2”的图像，引导学生通过观察它们与“y=x2”的图像的不同点、共同点，发现如下结论：

（1）三个函数对称轴都是y轴； （2）三个函数的顶点都是原点； （3）开口均向上。

其次，进行变式后再尝试验证。同样用描点法别画出两个简单的二次函数“y=-x2”、“y=- x2”、“ y=-2x2”的图像引导学生通过观察它们与图像的不同点、共同点的系数的可以引导学生验证上述结论，发现（1）、（2）依然成立，而（3）有了不同的变化，就是抛物线的开口方向实际上与函数中系数的正负有关，当a＞0时，开口向上；当a＜0时开口向下。

这样，因为需要对图形的几何性质等规律性知识进行总结或验证时，从简单的一类问题开始进行变式，借助变式教学的方法可以很好地提高学生的学习效率，数学中其它规律的发现与验证都可以使用变式教学。。

四、拓展变式，有利于学生形成数学知识之间的联系

数学知识之间的联系往往不是十分明显，经常隐藏于例题或习题之中，教学中如果重视对课本例题和习题的“改装”或引申，进行必要的挖掘，即通过一个典型的例题进行拓展，最大可能的覆盖知识点，把分散的知识点串成一条线，往往会起到意想不到的效果，有利于学生知识的建构。

 例如下面问题可以进行充分运用会有更加意想不到的效果：

如图

（一）在DABC中，?/SPAN>B=?/SPAN>C，点D是边BC上的一点，DE^AC，DF^AB，垂足分别是E、F，AB=10cm，DE=5cm，DF=3 cm，

求（1）SDABC。（2）AB上的高。

上题通过连接AD分割成两个以腰为底的三角形即可求解SDABC=40 cm2 ；借助于添加AB上的高CH，利用面积公式和第一题的结论，不难求的AB上的高为8cm。我在教学中并未把求得结论作为终极目标，而是继续问：3+5=8，在此题中是否是一个巧合？探究DE、DF、CH之间的内在联系，（引导学生猜想CH=DE+DF）。

引出变式题（1）如图

（二）在DABC中，?/SPAN>B=?/SPAN>C，点D是边BC上的任一点，DE^AC，DF^AB，CH^AB，垂足分别是E、F、H，求证：CH=DE+DF 在计算例题的基础上，学生已经具有了用面积的不同求法把各条垂线段联系起来的意识，此题的证明很容易解决。

在学生思维的积极性充分调动起来的此时，我又借机给出变式（2）如图

（三）在等边DABC中，P是形内任意一点，PD^AB于D，PE^BC于E，PF^AC于F，求证PD+PE+PF是一个定值。通过这组变式训练，面积法在几何计算和证明中的应用得到了很好的体现，同时这一组变式训练经历了一个特殊到一般的过程，有助于深化、巩固知识，学生猜想、归纳能力也有了进一步提高，更重要的是培养学生的问题意识和探究意识。

五、背景变式，强化学生数学思维的训练

在解题教学的思维训练中，通过改变问题背景进行变式训练是一种很有效的方法。通过从不同角度去改变题目，通过解题后的反思，归纳出同一类问题的解题思维的形成过程与方法的采用，通过改变条件，可以让学生对满足不同条件的情况作出正确的分析，通过改变结论等培养学生推理、探索的思维能力，使学生的思维更加灵活性和严密性。

例如：已知等腰三角形的腰长是5，底长为6，求周长。 我们可以将此例题进行一题多变。

变式1：已知等腰三角形一腰长为5，周长为16，求底边长。 变式2：已等腰三角形一边长为5；另一边长为

6，求周长。

变式3：已知等腰三角形的一边长为2，另一边长为16，求周长。

变式4：已知等腰三角形的腰长为x，求底边长y的取值范围。

变式5：已知等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长是16。请先写出二者的函数关系式，再在平面直角坐标内画出二者的图象。

变式1是在原问题的基础上训练学生的逆向思维能力，变式2与前两题相比需要改变思维策略，进行分类讨论，而变式3中的“5”显然只能为底的长，否则与三角形两边之和大于第三边相矛盾，这有利于培养学生思维严密性，变式4与前面相比，要求又提高了，特别是对条件0﹤y﹤2x的理解运用，是完成此问题的关键。通过问题的层层变式，学生对三边关系定理的认识又深了一步，有利于培养学生从特殊到一般，从具体到抽象地分析问题、解决问题；通过例题解法多变的教学则有利于帮助学生形成思维定势，而又打破思维定势，有利于培养思维的灵活性和严密性。

变式教学实际上是在教学中根据数学教学要求、授课对象、数学教材内容和教学环境形成的一种教学方法。变式教学是一种教学形式,要想它能取得较好的课堂教学效益，必须充分考虑上述教学因素；变式教学就是外因，学生的学习活动则是内因，变式教学能为学生提供更多的主动参与学习的时间、空间,促进学生学习的内化的机会。

推荐第5篇：数学变式思想

在数学教学的过程当中，我们教师认真备课，用心辅导学生做练习，一直以“熟能生巧”来告诫学生，但事实给我们以极大的反差：许多我们认为让学生练熟的知识，在一次次考试中，只要对问题的背景或数量关系稍作演变，有的学生就无所适从。许多实例也表明，大量单一的、重复的机械性练习，达到的不是“生巧”，而是“生厌”，它不仅对学生知识与技能的掌握无所裨益，而且还会使学生逐步丧失学习数学的兴趣，这正是“题海战术”的最大弊端。许多教师曾意识到此类问题，因此在课堂教学中频频提醒学生解题学习要触类旁通，懂一题会解一片。

问题变式不是为了“变式”而变式，而是要根据教学需要，遵循学生的认知规律而设计数学变式。其目的是通过变式训练，使学生在理解知识的基础上，把学到的知识转化为能力，形成技能技巧，完成“应用—理解—形成技能—培养能力”的认知过程。因此，数学变式设计要巧，要有一定的艺术性，要正确把握变式的“度”。一般地，设计数学变式，应注意以下几个问题：

1、差异性。设计数学问题变式，要强调一个“变”字，避免简单的重复。变式题组的题目之间要有明显的差异。对每道题，要使学生既感到熟悉，又感到新鲜。从心理学角度看，新鲜的题目给学生的刺激性强，学生的神经兴奋度高，做题时注意力集中，积极性大，思维敏捷，使训练达到较好的效果。因此，设计数学变式，要努力做到变中求“活”，变中求“新”，变中求“异”，变中求“广”。

2、层次性。所谓的问题变式要有一定的难度，才能调动学生积极思考。但是，变式要由易到难，层层递进，让问题处于学生思维水平的最近发展区，充分激发学生的好奇心和求知欲。要让学生经过思考，能够跨过一个个“门坎”，既起到训练的作用，又可以培养学生的思维能力，发展学生的智力。

3、开阔性。一幅好画，境界开阔，就会令人回味无穷。同样，设计数学问题变式，一定要内涵丰富，境界开阔，给学生留下充足的思维空间，让学生感到内容充实。因此，所选范例必须具有典型性：一要注意知识的横向联系；二要具有延伸性，可进行一题多变；三要注意思维的创造性、深刻性。

4、灵活性。根据教学内容和学生的实际情况，数学问题变式训练的方式要灵活多样，力求使学生独立练习和教师启发引导下的半独立练习相结合。同时，根据数学内容，有时可分散训练，有时可集中训练，有时一个题目的变式可分几次完成，充分展现知识螺旋上升的方式。这种灵活的训练方式，不仅可以提高学生的兴趣，集中学生的注意力，而且可以使学生的多种感官参与学习，提高大脑和神经的兴奋度，达到最佳的训练效果。

据学习目标和学生交流中所反馈的信息，教师精心选编题目，并通过变式得到变式训练题组，让学生在解答、变式、探索及题目编制过程中，深化对定理、公式的理解和运用，促进认知结构的内化过程。 在变式训练环节中，教师活动体现在：(1)设计针对性强又能进行变式探索的题目。题目设计要注意定理、公式的正用、逆用和变式应用。(2)引导学生解答题目并进行题目变式。(3)引导学生应用定理、公式及其变式进行“编题”训练。(4)适时进行定理、公式的应用要点和技巧的点拨和鼓励性评价。学生活动体现在：(1)灵活应用定理、公式及其变式解决问题，注重探求多解。(2)主动探索题目变式，得到变式题组，扩大解题成果。(3)主动参与编题，进行创新活动，探索问题的源头。(4)在解决问题的过程中，注意总结定理、公式的应用要点和技巧。

推荐第6篇：浅析初中数学变式教学

浅析初中数学变式教学之“习题变式”

上传: 刘永明

更新时间：2012-5-19 20:46:09 浅析初中数学变式教学之“习题变式”

【摘要】：变式，即同一事物非本质特征的一种转换。这种转换使客观事物得以不同形式展现在人们面前，成为我们客观认识事物基本条件。数学教学中的变式教学可以体现新课程的教学理念，减轻学生负担，提高教学质量。现就变式教学中的习题变式谈个人观点，供其他教师在教学中借鉴。 【关键词】：习题变式 方法 思维

在新一轮课改教学中，如何减轻学生过重的学习负担已成为广大教育工作者关注的重点。要减轻学生过重负担，就必须更新教育观念，改革教学方法，努力提高课堂教学质量。数学教学有各种方法和手段，变式教学是其中的一种。尽管有时候人们不一定都认识变式教学的含义，人们却在自觉或不自觉地将它应用于教学之中。在数学教学中研究和运用变式，对教师有效地传授知识，突出本质特征，排除无关特征，让学生去伪存真，全面认识事物，提高数学教学质量有着现实的意义；把变式教学与主体性教育有机结合起来，可以充分挖掘学生的潜能，有效地培养学生的自学能力、探究能力和良好的学习习惯，进而培养学生的创新意识和创新能力，由此可见，变式教学较好地体现了新课程的教学理念，具有鲜明的时代性。笔者在本文结合教学体会谈谈对习题变式认识。

习题是训练学生的思维材料，是教者将自己的思想、方法以及分析问题和解决问题的技能技巧施达于学生的载体。要不被千变万化的表象所迷惑，抓住本质的东西，变式教学是一种有效的办法。通常可以利用习题变式训练学生的思维，使学生在多变的问题中受到磨练，举一反三，加深理解。如将练习中的条件或结论做等价性变换，变更练习的形式或内容，形成新的练习变式，可有助于学生对问题理解的逐步深化。如讲完例题“一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。那么两人合作多少小时完成？保留原题条件，可变换出下列几个逐级深化的题目让学生去思考：

变式1：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成？

变式2：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成此工作的2/3？

变式3：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么共要多少小时完成此工作的2/3？

变式4：一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做7.5小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成？

变式5：一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做7.5小时完成。甲先单独做4小时，余下的乙单独做，那么乙还要多少小时完成？

变式6：一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做3小时完成此工作的2/5。现在甲先单独做4小时，然后乙加入合做2小时后，甲因故离开，余下的部分由乙单独完成，那么共用多少小时完成此项工作？ 这一变式改变已知的几个条件中的某些条件;或改变结论中的某些部分的形式; 从而拓宽、加深学生的知识层面，也体现了教学的层次性和多样性，培养了学生创新能力和探究能力。

习题变式中除了改变题目中的条件或结论外，有时将问题由特殊形式变为一般形式也是常见的。比如： 在教学直线、线段、射线时有这样一个题：

1、当直线a上标出一个点时，可得到 条射线， 条线段

2、当直线a上标出二个点时，可得到 条射线， 条线段；

3、当直线a上标出三个点时，可得到 条射线， 条线段 变式

1、当直线a上标出十个点时，可得到 条射线， 条线段； 变式

2、当直线a上标出十个点时，可得到 条射线， 条线段；

通过这种变式，就把问题由特殊形式变为一般形式，学生通过探索交流得出答案，掌握了方法，从而尝试到成功的乐趣，并激发学生的学习热情。

以上是本人在习题变式上的一些体会和认识。变式教学在转换事物非本质特征的时候呈现了事物表象的多样性，使得我们可以动态地认识事物许多的鲜明特征，不为形式不同的表象所迷惑，形成理性认识，有助于扩展思维的宽度，培养思维的发散能力。教学实践证明，通过习题变式有利于克服“题海战术”的重复训练倾向，从而减轻学生的过重负担，真正把能力培养落到实处。习题变式是数学教学的方法之一，如能将它与其它教学手段方法结合运用，一定能收到更好的效果

推荐第7篇：小学数学“餐桌式”教学心得体会

小学数学“餐桌式”教学心得体会

双王中心小学雷凯

我们在小学数学课堂中进行“餐桌式”学习的研究，旨在对现行的以知识为主要教学目标，教师传授为主要特征的课堂教学模式进行改革，使教学过程真正建立在学生自主活动的基础上，发挥学生的主体作用，把学生的个性探索与小组合作探索有机结合，调动全体学生学习的积极性，促使学生主体性、创造精神、实践能力及合作意识、交往品质多方面素质的协调发展。

一、组建合作小组，培养合作习惯，打好合作基础

组建学习小组，是分组合作学习的前提，组建合作学习小组在学生自愿的基础上进行。根据学生的知识、学习能力、兴趣爱好、心理素质进行综合评定，然后搭配若干异质学习小组，通常以4-6人为宜。小组成员要有具体明确的分工，在每一个阶段每个人都有相对侧重的一项职责，担任一个具体的合作角色，

二、设计研讨问题，明确相关要求，引导学生思考

提出恰当的研讨问题是实施分组合作学习成功的基础。教师要围绕教学目标，根据教学内容及教材的重难点，结合班级学生实际，师生共同设计既能激起学生参与学习的兴趣，产生内动力，又能充分发挥小组合作学习功能的思考题、讨论题，让学生的思维活动沿着目标方向有理有序地进行，使合作效果达到最优化

三、给足研讨时间，分组合作探究，提高合作质量

给学生进行“餐桌式”学习的时间要充分而不过分，要保证

在小组合作学习中，每个成员都有机会发表个人的见解。例如在

教学“圆的面积”时，首先让学生回忆以前学习过的平行四边形、

三角形、梯形的面积公式推导时所用的方法，然后引导学生根据

新旧图形之间的关系来推导出新图形的面积公式，可让学生分小

组合作探索。课堂气氛一下活跃起来，小组成员纷纷开动脑筋，

积极参与。通过拼一拼、摆一摆、数一数、算一算，发现拼出的

近似平行四边形的底、三角形的底、梯形的上底和下底和圆的周

长有关，平行四行形的高、三角形的高、梯形的高又和圆的半径

是一样的，利用这些关系，就可以推导出圆的面积公式。随后，

教师就借助电教手段对学生合作的成果予以展示，让同学们再补

充完善，同时把小组的一些想法加以延伸，使每一个组员都切实

体验到合作的乐趣。

四、全班交流评价，教师适当小结，激发创新思维

全班交流评价是分组合作学习流程中极为重要的环节，各小

组间的相互展示，交流补充，各抒己见，能促使学生进一步开拓

思维，深化对知识的理解，激发创新思维。分组合作学习要形成

“组间竞争、组内合作”的良性机制，将传统教学的师生之间单

向交流或双向交流改变为师生、生生之间的多向交流，不仅提高

了学生学习的主动性和自我控制能力，也促进了学生间良好的人

际合作关系，促进了学生心理品质发展和技能的进步。

在“餐桌式”学习的活动中，教师的讲授也是必不可少的。

教师的简要小结，对整堂课起画龙点睛的作用。同时，教师要运

用教育评价手段对学生进行相应的奖励及批评。教师不仅要注重

学习结果的汇报，更要注重对合作过程进行评价。

“餐桌式”学习是培养学生创新意识和动手能力的重要学习

形式，也是促进学生会学习，学会交往的重要形式，需要我们不

断探索，努力研究，使这种学习形式更完整、更合理、更有效。

推荐第8篇：变式教学在小学数学教学中的作用

变式教学在小学数学教学中的作用

在小学数学教学中，经常要用到变式：变式就是在教学中，从不同角度组织感性材料，不断地变换事物的非本质性属性，而突出本质属性，并使有关的本质属性相互“联结”，形成“主心骨”，让学生领略“万变不离其宗”的奥妙。下面谈谈我在教学中的一些尝试。

一、变式在概念教学中的作用：

小学数学概念的一个基本特征是抽象性，而小学生的思维又从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡，在教学中恰当地运用变式，有利于对概念的理解和提升。如：教学“认识分数”时，有位老师是这样设计的；教师创设了猴妈妈分苹果的情境：猴妈妈给四只小猴分苹果，她带来两盒苹果，小猴打开一盒（4个苹果），师问：怎样分才能公平？接着分第二盒，（8个）（没打开），师还是问；要分得公平，怎样分？然后，教师追问；为什么苹果数量不一样，都用四分之一来表示？学生说：把一个东西平均分成四份，取其中的一份就用四分之一来表示。接着老师又出示12个苹果，你能从图上找出它的四分之一吗？在这个片断中，为了使学生能深刻认识四分之一，老师变换非本质性属性，让学生分4个苹果，8个苹果，12个苹果的四分之一，突出不管分多少个苹果，只要把它们平均分成四份，其中的一份就是四分之一表示。

在几何初步知识的概念教学中，如果仅以某种位置的图形引导学生理解，由于小学生思维的具体性和感性经验较狭窄，会导致对知识理解的片面性。因此，在几何知识的教学中教师应善于应用变式，将各种不同位置的图形呈现给学生，帮助学生更透彻地理解知识。

有位教师教学《认识线段》一课时，为了给学生巩固对线段知识的认识，设计了一个“出手指”的游戏，将各种不同的图形展示给学生，请学生运用本节课所学的知识进行判断。当大屏幕上出现这样一个图形时：

一个女孩子判断它是错的，问她：“你觉得它错在哪里呢？”那个女孩子说：“它是斜的，而线段应该是平的。”这时的教师意识到呈现给学生的图形过于单一，因此学生已经在头脑中给线段建立了一个固定的模式。于是教师带领学生紧紧围绕“线段”的特点加以判断，并利用手中的毛线进行演示，试图引导学生走出这个误区，建立起正确、全面的认识。又如；教学“三角形的高”的概念时，变式的练习更为重要。因为三角形按角的大小可以分为三类，每一类的高的位置并不完全相同，有的甚至差异很大。所以三角形的高是学生学习的难点，学生往往看到倾斜的线段就不认得是高，常常画高时总要垂直水平方向，课堂上呈现给学生的高的位置应是不同的，使学生对“高”的概念有本质的认识。

有一位老师是这样设计的：让学生凭着自学课本的初步感知说一说、指一指三角形的高，然后课件出示标准的三角形的高。紧接着再出现将标准的高的三角形进行90度旋转、135度旋转、150度旋转、175度旋转、180度旋转——360度旋转。每旋转一点都问：现在还是不是三角形的高？是不是还是从顶点向对边作垂线，在这些变式高的出现和观察之中，学生在变化中看到了不变，即高的本质：从一个顶点到它的对边作垂线。线的方向在变，垂直于底没有变。

《数学课程标准》中指出：小学生的空间观念主要表现在能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化„„而要培养学生空间想象能力的第一步就是让学生能认识各种位置上的图形，作为教师的我们在备课中应站在学生的角度进行思考，巧妙变式，多角度、全方位的带领学生理解知识。

二、变式在几何教学中的作用：

在几何教学中，蕴涵着许多有利于变式的信息，特别是图形的周长、面积和体积等，教材的编写中明显地体现了“转化”思想，转化思想其实就是对形体的变式，通过形体的方位、形状等的变式教学，可帮助学生“打通”各外表开头不同、实质有联系的形体的“关节”，有效运用变式教学提高教学的实效性。

（1） 如；通过“等积变形”加强形体的变式与联结，几何形体的等积变形在平面图形的教学中的作用，在教学中可以通过几体形体间的变式，让学生感悟“形在变”的思想。如学习“三角形面积”时，可以引导学生在一组平行线之间画出面积相等但形状不同的三角形，而学了“平行四边形的面积”后，则可以在两者之间建立联系，如何在一组平行线间画出面积相等的三角形和平行四边形？从而引导学生探究“高”相等的情况下，怎样变“底”，才能使它们的面积相等。

（2） 如：通过“化归”思想加强形体间的变式，从教材的编排体系上看，先安排学习长方形的面积，而此后的正方形、三角形、平行四边形、梯形甚至圆形面积的学习，都是通过割补、平移、旋转等方法转化成已学过的图形，即运用“化归”的思想进行学习的。这样学生在割补、平移、旋转的同时，不仅实现了新旧知识的迁移，学会了面积的计算方法，更重要的是学会了数学思想方法的运用，理解了数学知识之间的相互联结的趣味和奥妙，给学生的轻松学习奠定了学习基础。

三、变式在练习设计中的作用：

数学课堂练习是一堂数学课的重要组成部分，是进一步深入理解知识、掌握技能技巧、培养积极的情感和态度、促进学生深层次发展的有效途径；教师应当成为有经验的“舵手”，做好变式练习设计，调动学生的思维积极性，提高教学效果。

例如在讲“商不变的性质”这一课时，可以设计如下的变式题，逐步巩固得出的商不变性质的概念。第一层次：各题的商是几？已知40÷20＝2，那么（40×10）÷（20×10）＝？第二层次：在□里填上适当的数字，在○里填上“×”或“÷”。已知24÷6＝4，那么（24×2）÷（6○□）＝4，（24○□）÷（6÷3）＝4。第三层次：在□里填上适当的数字。已知30÷6＝5，那么（30×□）÷（6×□）＝5。以上一系列的变式题由易到难，一环扣一环，不超过当时学生的认识能力，坡度适宜，既巩固了所学知识，又进行了发散性思维训练。 例如在学过角的度量方法后，可出示这样的两个变式图形让学生巩固量角的方法及技巧。

（1）

（2）

第（1）题主要是让学生学会正确旋转量角器去量角的技巧。第（2）题主要是让学生掌握要把角的一边延长后才能在量角器上读出刻度的方法，并且这一题中有钝角、锐角、直角。这样的变式题就能起到画龙点睛、举一反三的作用。 例如：在教学“积的变化规律”时，可以设计以下变式练习，让逐步掌握积的变化规律。第一层次：各题的积是多少？6×2=12，那么6×20=

6×200=

积是多少？怎么变化的？第二层次：12×45=540，那么（12×3）×45=

（12÷3）×45=

积是多少？为什么？第三层次：12×45=540，那么（12×5）×（45÷5）=

（12÷3）×（45×3）=

（12×9）×（45÷9）=

积是多少？根据什么？第四层次：12×45=540，那么（12×2）×（45×2）= （12÷3）×（45÷3）=

积是多少？为什么？

总之，不同的知识需要不同的变式方法训练，但要点只有一个，那就是本质不变，变化非本质特征，使知识在不同情景下应用，以促进迁移。宗旨也只有一个，就是让学生形成技能，发展能力。

著名的数学教育家波利亚曾形象的指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个。”数学教学中开展变式教学，有利于学生对实际问题的动态处理，克服思维的心理定势，实现创新教育。

在小学数学教学中，经常要用到反例：反例，就是故意变换事物的本质属性．使之质变为其他知识，在引导思辩中，从反面突出事物的本质属性的否定例证。这样做有助于学生从正反两方面辩证地思考问题，促进学生全面、深刻地认识事物的内涵与外延，培养学生思维的深度。

一、深化概念的常用手段

小学生的感知具有范围窄小。不精确等特点，很难同时注意几件事物，常会出现“丢三落四”的现象，所以对一个有丰富内涵的概念来说，学生在感知过程中，可能只会抓住感知对象的部分本质特征．而丢掉另外一部分本质特征．形成错误的概念。 例如，学习“等腰直角三角形”知识时，等腰直角三角形的本质属性较多，内涵丰富，由“等腰”“直角”“三角形”三方面组成+一些学生学习后，不是丢了等腰，就是忘了直角，有的甚至丢了三角形三条边“首尾相连”的性质。此时要举反例，如“直角”常为学生忽视，错把等腰三角形判定为等腰直角三角形，这时老师应出示等腰直角三角形的正确图形，引导学生在比较中再次认识“直角”，否定错误的认识。另外“等腰”“首尾相连”等。性质亦可如是强调、因此，当学生对内涵丰富的知识感知不全时可通过数 学反例，凹显出所学知识中易为学生忽视的本质属性．促进学生对所学知识的全面认识，深刻理解。

二、理解新知的有力工具

数学是一门严密的科学，是由知识点编织而成的稳固的网络系统，当一个新的知识点纳入原有知识结构时，学生常凭直观或想当然去理解它，这样往往会“失之毫厘，谬以千里”。小学数学教学中．不仅要运用正确的例子深刻阐明新的知识，而且要运用恰当的反例，通过新、旧知识的对比，突出新知识的特点，从而真正理解新知识的本质。

例如，学生在学过整除之后，学习有余数除法，两者相比，对余数的处理以及引起的试商方法是教与学的难点和特点，为突出“余数比除数小”的特点，教学中出示如下反例：

引导学生找错、议错时，强化对有余数的意义的理解。

三、防错纠错的锐利武器学生在解题中经常出现差错且不易发现和纠正-对此，可以引入反例，让学生学习、讨论，帮助他们发现问题、分析错误原因．找出正确的解题方法。

例如，在学生解答工程问题时，可出示一反例：一项工作，甲独做1/2小时完成，乙独做1/3小时完成，如果甲乙两人合作。几小时可以完成? 学生受思维定式的消极影响列出了了(1/2+1/3)的错误算式，这时教师可组织学生讨沦思考、辨别，分析错在哪里，错误的原因是什么?使学生识别题中的假象。有的学生认为：1人独做只需1/2小时或1/3小时，两人合做，难道用的时间还会比1人做的时间长吗?不可能。有的学生说：“工作量÷工作时间之和=合作的工作时间”，从道理上讲不通。经过学生集体讨论，最后都归结到“工作总量÷工作效率之和=合作时间”这个关系式上来，认为甲、乙各自的工效不是1/2和1/3，而是1÷1/2和l÷1/3；，正确地掌握了工程问题的数量关系。

四、否定命题的有效方法 数学中有些问题，若从正面角度讲，学生会感到模模糊糊、理解不透，甚至还会产生错误的判断。为了提高学生认识．判断的能力，教学时应突出反例的作用，来帮助学生掌握否定命题的方法。

例如，学生对命题“两个质数一定互质”，往往肯定为正确的，究其原因是受“两个不同的质数一定互质”的影响，以为“两个质数”理所当然是指“两个不同的质数”，而以为“两个相同质数”就应称作“一个质数”，这种以自己的理解为准的思想方法是 不对的；对此，教师以“

5、5”为例，说明这是“两个质数相加”，而且是“两个相同的质数相加”：这种反例，既能说明错误，又能促进学生思维能力的发展。

五、强调条件的得力措施

学生在学习公式、性质，法则时，常常只注重记忆结论．不注意公式、性质、法则的一些重要条件和适用范围。教学中，只是正面对条件、结论进行讲解、应用，有时不能收到应有的效果，如能根据学生认识状况举些反例，就能使学生留下深刻的印象。

例如。小数的性质“小数的末尾的零可添可去”．学生常会误将条件理解为“小数点后面的零可添可去”，这时教师可举反例“2.005与2.5”就会帮助学生分清条件。

又如，学习了“圆的周长计算公式\"C=2πr之后．在应用中可举如下反例：当圆的半径为2厘米时，求半圆的周长。教师出示：半圆的周长为—Zπr/2=2π(厘米)。通过分析，使学生认识到应用公式时要注意公式的使用条件，同时也提醒学生要注意题目条件，缜密地解决问题。

课程标准中指出，数学建模是把现实世界中的实际问题加以提炼抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题、数学知识的这一过程也就是数学建模。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。 一方面要求教师帮助学生有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，帮助学生认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识。

新颁布的《全日制义务教育数学课程标准》（实验稿）在阐述总体目标时明确指出：“通过义务阶段的数学学习，使学生初步学会运用数学思维方式去观察、分析现实社会，去了解日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识。体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心。”在阐述基本理念时强调：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理和交流等数学活动。”由此可见，新的《全日制义务教育数学课程标准》教学立意之高、教学理念之新是以前的教学大纲所没有的。要实现《全日制义务教育数学课程标准》提出的教学目标，除了转变教学观念、改进教学方法以外，还必需在课堂教学的模式上有所突破。只有当教学内容与课堂教学的模式完全吻合时才能发挥其课堂教学的最大效能。以目前的应用题教学为例，我们总感到教学效果不理想，究其原因，有一个不可忽略的因素那就是教材所提供的教学内容老师们很难找到一种与此相适应的课堂教学的模式。从《全日制义务教育数学课程标准》的内容标准中可以发现它所提供的教学内容不但是现实的、贴近学生生活实际的，而且呈现的方式也是丰富多彩的。针对这样的教学内容本人认为在小学数学教学中可以尝试数学建模教学。

一、什么是数学建模

要了解数学建模，首先必须弄清数学模型这个概念，目前在我国对数学模型还没有一个十分权威的定义，但比较一致的认识是：数学模型是对现实世界中的原型，为了某一个特定目的，作出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构。而数学建模它不但包含数学模型的建立，而且是对数学模型的求解和验证，并用该数学模型所提供的解答来解释实际问题。

从数学建模的概念中可以发现数学建模一般是指解决实际问题，要求学生能把实际问题归纳或抽象成数学模型加以解决，从数学角度讲，数学建模是舍去无关紧要的东西，保留其数学关系，形成数学结构。可以这样讲，只要有数学应用的地方，就有数学建模。

二、小学生数学建模的可行性

当我们刚接触一个新的名词或一个新的概念或一种新的方法时总感到很陌生，也会觉得无从入手。但当我们理解了这些新事物的本质属性以后，我们往往又觉得我们曾似相识，数学建模也是如此，对数学建模这个概念来讲也许是新的，但回想我们的日常教学不难发现我们的学生已经有数学建模的思想或意识，只不过没有从理论的角度把它概括出来而已。例如，在以往教学求比一个数多几的应用题时，经常碰到这样一个例题“小明家养了6只公鸡，养的母鸡只数比公鸡多3 只，母鸡有几只？”在教学此例时老师们都是采用让学生摆、说等教学活动来帮助学生分析数量关系，理解“同样多的部分”，但教学效果并没有我们老师想象的那么好，一般同学们在解释数量关系式6+3=9时，母鸡和公鸡是不分的，极大部分学生都会说6只公鸡加3只母鸡等于9只母鸡。为什么学生不会用“同样多的部分”去描述母鸡的只数，其原因是十分明显的，那就是学生在操作时头脑中已经对现实问题进行简化，并建立了一个有关母鸡只数求法的数学模型，这个模型显然是一种叠加模型，即6+3=9（只），而6表示什么在模型中已经是无关紧要，因为实际问题最终要解决的是数量问题。从以上这个教学实例至少可以说明两点；其一，小学生在解决实际问题时有他自己的数学模型，有他自圆其说的解读数学模型的方法，因此，小学生也有数学建模能力 。其二，当学生的数学模型一旦建立了以后，即使他的模型是不合理或不规范的，但外人很难改变他的模型结构。

三、数学建模教学的基本模式

1、为学生提供一个比较详实的问题背景。

要建模首先必须对实际原形有充分的了解，明确原型的特征，只有做到这一点，才能使建模者对实际问题进行简化。由于小学生的生活经历有限，对一些实际问题的了解比较含糊，这不利于学生对实际问题的简化和抽象，所以条件许可的话可以组织学生参与一些相关的社会调查和实践活动，让学生亲身体验生活，亲自经历事情的发生和发展过程，让学生主动获取相关的信息和数学材料，从而培养学生对事物的观察和分辨能力，增强学生的数学意识。以上做法不但能为学生数学建模提供真实可信的感性材料，而且可以推动学生关心社会、了解社会、体验人生。但是，小学生是以学习间接知识为主，所以不可能每教一个应用题都让学生亲身经历实际问题。因此，我们只能用文字或语言来表达实际问题的背景。但在用文字表达或语言表达实际问题的背景时，要克服对实际问题的情境描述简单化和数学材料来源的单一化，目前我们使用的教材，基本上是为提高学生的解题能力而设计。因此，学生的思维能力，推理判断能力、抽象概括能力等基本上是通过做习题来培养的。长期这样训练导致学生数学应用意识薄弱，应用能力下降，实践能力和创新能力被扼杀。为此，我认为教师在提供问题的背景时，首先必须考虑这些背景材料学生是否熟悉，学生是否对这些背景材料感兴趣。为此，我们可以创造性地使用教材，根据目前教材所提供的教学内容，结合学生的生活实际，把学生所熟悉的或了解的一些生活实例作为应用题教学的问题背景，这样可以克服教材的不足，使学生对问题背景有一个详实的了解，这不但有利于学生对实际问题的简化，而且能提高学生的数学应用意识。

2、发挥学生的想象对实际问题进行简化。

儿童有无限的创造力，虽然他们所掌握的数学知识是有限的，但他们的想象力是无限的，他们敢想敢做善于异想天开，这对简化实际问题，构建数学模型是十分有利的。因此，在数学建模过程中教师要善于调动学生主动建模的积极性，千万不能对学生的不合理的归纳或不恰当的抽象，以及不合常情的假设加以批评和指责，恰恰相反要抓住他们闪光的地方加以表扬、鼓励，并通过适度的引导和点拨使学生对实际问题的简化更加恰当。但又要防止教师对问题的理解代替学生的想法，虽然教师的数学知识比学生丰富，但在想象能力方面可以说教师不如学生，所以在对实际问题进行简化时学生有学生的优势，我曾例举过两个数学老师和一个六年级学生同做一道数学应用题的例子，这道应用题是这样描述的：“某市举行篮球选拔赛，报名参赛的球队有20个，比赛采用淘汰制（没有平局），最终决出一名冠军参加省级篮球比赛，问一共要比赛几场？”

教师在简化这个实际问题时先给每个参赛队分别编上号，再根据比赛的顺序把实际问题简化为如下形式：而学生在简化这个实际问题时，抓住“淘汰”这个词进行简化。学生是这样想的：因为是淘汰赛，所以无论是谁和谁比，每赛一场必定淘汰一个队。因此学生把这个实际问题简化为减法。

我们先不说他们最终构建模型如何，从简化的角度讲，显然学生比教师的想法更简便、更明了。为什么学生在这个实际问题的简化中优势比教师明显？除了以上所讲的学生有丰富的想象力外，还有一个不可忽视的因素那就是简化还受到生活经验的干扰，一般说来生活经验越丰富越有利于对实际问题的简化，但反过来生活经验中的定势思维有可能会干扰对实际问题的简化。上例中由于教师受日常比赛模式的影响，对这个实际问题有了定势思维，所以他们在简化这个实际问题时，免不了受比赛顺序的影响，而学生对如何安排比赛顺序没有经验，所以不会受比赛顺序的干扰，他们就能抓住问题的本质“淘汰”进行想象和简化。

3、运用数学知识构建合理的数学模型，并解读数学模型

从以上例子中我们看到了两种不同的简化方式，接下来的工作就是对简化了的实际问题构建数学模型，一般来讲，如果数学模型中所用的数学工具愈简单，那么这样的数学模型愈有价值，先看教师的数学模型： 20÷2=10 10÷2=5（场）

5÷2=2（场）„„1 （2+2）÷2=1（场）„„1 （1+1）÷2=1（场）

解读模型：10+5+2+1+1=19（场） 再看学生的数学模型：20-1 解读模型：20-1=19 从以上两种数学模型分析，教师的数学模型繁琐，采用的数学工具也比学生的复杂，相比之下显然学生的数学模型比教师的价值大。

4、展示和评价数学模型

当学生数学建模完成后，要让学生展示自己的建模思维过程，充分暴露学生的思维过程。同时也要鼓励学生对别人的数学模型进行评价，在展示、评价中比较每个数学模型的优点和缺点。使学生之间相互学习，取长补短。

四、数学模型的应用

数学模型来自生活实际，数学建模的目的是解决实际问题。因此，每个数学模型都应有其本身的应用价值，如果一个数学模型只能解决当前的一个实际问题，那么这样的数学模型就失去了应用价值，同时也就失了去数学建模的意义。就拿以上例子来讲，学生所建构的这个数学模型它适用于任何的淘汰赛，无论是几个球队进行淘汰赛总可以用这个数学模型进行求解，比如“100个球队进行淘汰赛，最终决出一名冠军和一名亚军，那么需要比赛几场？”其数学建模结果是100-2=98（场），当然有些数学模型投入应用后可能发现不合理，那就必须重新建模，重新求解，这一过程可以循环，直到求得满意结果为止。

通过以上分析我们可以发现，在小学数学中实施数学建模教学是完全可行的，通过数学建模能使学生真正体会到数学的应用价值，培养学生的数学应用意识，增强数学的学习兴趣，使学生真正了解数学知识的发生过程，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创造能力。

推荐第9篇：小学数学课上的变式练习

小学数学课上的变式练习

杨云 在近几年的教学过程中，我发现了这样一个问题：在课堂上，学生对知识似乎掌握得不错，一些当堂课的巩固练习完成的也不错，但是这小检测的时候，反馈不太理想。题目一旦稍作改变，与你的例题有点不一样，很多学生就不会做或者根本就无从下手。我们常说学得死板，知识不会用。急啊！

我仔细的分析了原因：第一，部分学生学习流于表面，只仅仅对老师的例题依葫芦画瓢，纯模仿；第二，“思维定势”。思维定势总是按照某种习惯的思路去思考难题。当习惯性思维与解决问题的路径不一致时，思维被定在某个框架里无法解脱，对于解决问题就困难了。于是我试着尝试设计一些变式练习题。

“变式练习，丰富练习的形式内容。”课改这些年，一直在强调这一点，但是纵观现今很多课堂的练习，不难发现，一些练习流于形式，丢失了练习实效 。

练习是使学生掌握知识、形成技能、发展智力的重要手段。因为学生学习数学知识不能只停留在领会的水平，必须使它转化为相应的技能，并能应用它去解决实际问题。而技能的形成是通过练习获得的。新课程实施以来，一个个生动有趣的数学活动，使课堂变得热闹了，学生变得活泼了。但在片面追求形式新颖的学习活动中，练习却丢失了实效。

例如，一位教师教学“100以内的加减法中的两位数减一位数的退位减法”时，教完例题后随即进入练习巩固阶段，完成了以下三道练习题：①开启智慧屋：6座智慧屋上各有一道算式，每4人小组发一把智慧屋钥匙，钥匙上写有得数，小组合作算出哪座智慧屋上算式的得数与钥匙上得数一样，这一组就打开了智慧屋，奖一颗智慧星。②解决实际问题：学生口头列式算得数66－8=58。③游戏：智慧树摘苹果。教师在一张纸上画有一棵苹果树，苹果树上有8个苹果，每个苹果上写着一道题，哪个同学能算对苹果上算式的得数，苹果就被摘下来送给他，练习时，课堂气氛活跃，学生都争着摘取苹果。

在计算教学课上，教师不仅要关注学生知识技能地掌握，更要关注学生在情感、态度、价值观等方面的发展。因此，为激发学生的学习兴趣，调动他们的练习积极性，创设一些喜闻乐见的练习活动是必需的。但数学课的基本特征不能丢，那就是课堂上学生的思考与练习，对知识技能的培养与训练。上面的教学，口算一道题，采用4人小组合作完成有必要吗？摘苹果游戏活动，题量不多，是带有速度要求和竞争性质的练习，常常是优等生在参与竞争，学困生在一旁观望，这种练习又能有多少效果呢？

计算只有通过一定量的练习模仿和针对性训练，才能形成必要的计算技能，教师应重视安排数学练习。一方面要科学设计练习，可以先针对重点难点进行专项和对比练习，再根据学生实际进行归类和变式练习，最后让学生面对实际问题进行挑战性练习。另一方面要精心组织练习，为提高练习积极性，要变换练习方式，增强练习趣味性，满足不同学生的学习需要，力求做到面向全体学生，动手、动口、动脑有机结合，既要让学生熟练计算，提高学生的计算能力，又要通过练习，培养学生运用知识的能力，让学生充分体验成功，感受学习的快乐。

下面结合自己的教学实际，谈几点对有效变式练习的体会。

一、教师应注重引导学生进行横向众向的对比、消化，促使学生对相通的知识归纳成体系，形成知识网络，避免“只见树木不见森林”的现象。例如，交换或部分交换条件，就给学生的思维活动创造了有利的前提，促进知识的内化。如：“冬冬看一本150页的故事书，第一天看了40页，第二天看了32页，还有多少页没有看？”与“冬冬看一本150页的故事书，两天看了72页，还有多少页没有看？”就是应用拆分条件，合并条件进行互相变化的。“冬冬看一本150页的故事书，第一天看了40页，第二天看了32页，还有多少页没有看？”与“冬冬看一本150页的故事书，第一天看了40页，第二天看的和第一天同样多，还有多少页没有看？”让学生比较两题的题目找出相同的结构。这样设计，学生能更加深刻地理解其数量关系及结构，对知识进行有效的内化，促使知识网络的形成。

二、在小学数学中最枯燥的可能就是概念教学了，而在作业中又是最容易让孩子混淆而失分的。对于如此抽象的数学概念，教师在教学时，应注意表达方式的多样化，从而加深对概念的理解，通过变式，可以使学生更好地认识概念的内涵和外延。如学过长方形和正方形的概念和特征之后，让学生找出长方形和正方形的异同，然后讨论“正方形是特殊的长方形。”这句表达正确与否，各自要表明自己的观点，并阐述理由，如果缺少必要的变式，学生会被一些表面的、非本质的属性所困惑，从而难以深刻地认识和把握数学概念。

三、新课标倡导以人为本，要注重学生的主体地位。课堂教学效果很大程度上取决于学生的参与情况，这就要求学生首先有学习的主动性，有了学习的主动性才能积极参与学习。增强学生在课堂中的主动意识，使学生真正成为课堂的主人，是现代数学教学的趋势。在变式教学中，教师不能总是自己变题，要多鼓励学生主动参与。如“三角形的面积”教学中， “两个完全相同的三角形拼成平行四边形，平行四边形的面积是三角形的2倍。”，我班学生编出了一道精彩的题目：“三角形和平行四边形面积相等，底也相等，三角形的高是平行四边形的（ ）倍。”当时学生的学习热情很高，成了学习的主人。

运用变式教学能培养学生思维的创新性、深刻性，通过变换问题的条件和结论，变换问题的形式，但不改变问题的本质，使本质的东西更全面，使学生不只停留于事物的表象，而能自觉从本质看问题，克服思维的僵化及惰性，为学生学好数学、用好数学打下良好的基础。

推荐第10篇：聚焦数学变式教学绍兴二等奖

聚焦数学变式教学

【摘要】 课堂教学的教学方式和模式呈现多式多样化， 变式教学仅是提高数学课堂效率的有效途径之一.本文就理解数学概念、巩固运用公式、数学思想方法的切换及学生对开放性问题的自主探索、合作探索等方面加强变式教学，提升课堂学习有效性

【关键词】变式；变式教学；互动；有效性；开放性

教学研究和实践表明，在数学教学中，恰当合理的变式，可以优化学生的知识结构，提高学生分析解题能力，避免反复的机械训练．能营造一种生动活泼、宽松自由的氛围，开拓学生视野，激发学生的思维，有助于培养学生的探索精神与创新意识，进一步提升数学课堂的教学效果.

一、深化理解数学概念的变式

案例1 双曲线第一定义概念的教学

在双曲线概念教学中，对于第一定义：“平面内与两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线”，通过多媒体的演示，起到很好的直观效果，但对具体处理问题时，若对定义中出现的“绝对值”、“小于F1F2”、“常数”等关键词的理解不透，解题中将会出现思路受阻，漏洞百出．因此对定义的理解是非常重要的，教学中我设计了一系列变式：

变式1 将“小于F1F2”改成“等于F1F2”，其余条件不变，则点的轨迹是什么？（两条射线） 变式2 将“小于F1F2”改成“大于F1F2”，其余条件不变，则点的轨迹是什么？（无轨迹） 变式3 将“绝对值”去掉，其余条件不变，则点的轨迹是什么？（双曲线的其中一支）

变式4 令“常数”等于零，其余条件不变，点的轨迹是什么？（线段F1F2的中垂线）（让学生认识双曲线定义中的常数应大于零）

经过以上变式的讨论与探索，学生对双曲线第一定义的中的“绝对值”、“小于F1F2”、“常数”等条件的内涵有了更深刻的理解，利用这样的问题系列，点拨知识间联系与区别，有助于学生在新情境下进一步识辨问题的本质．

二、巩固运用定理公式的变式 在利用基本不等式“ab2ab(a0,b0)求最值”的问题教学中，公式的掌握和理解相对容易，但具体涉及运用，则需要对基本不等式本质的理解．从了解学生的认知心理出发，我设计了这一问题的阶梯式变式训练：

案例2 求函数yx4x0的最小值 x强化概念的运用，利用“一正二定三相等”求出最小值

x24x0的最小值 变式1 求函数yxx24x244x，变“生”学生先思考，教师再引导观察本题与例2结构上的异同：yxxxx为“熟”.x22x4x0的最小值 变式2 求函数yxx22x4x242x4x2以变式1为基础，解决变式2就变得容易多了，可变形为yxxxx求之，同时教师要求学生对变式1和变式2的解法进行小结归纳，从而再引申出变式3.x22x5x1的最小值 变式3 求函数yx1

- 1例如在复习《数列》中有关递推关系求通项问题，可以创设变式情境，让师生共同参与其中.案例4 已知数列an中，a11,an4an11,n2，写出数列的前5项.2先让大家思考回答这是数列中哪一类题型，并动手做完后教师提出：条件不变，如何求a2010？即 变式1 已知数列an中，a11,an4an11,n2，求a2010.2T: 这题能否像例4的方法，根据首项直接求出a2010？（学生开始七嘴八舌）

S1:(开玩笑似的说）只要给我充分的时间，能行.（引得全班同学哄堂大笑） T:这位同学话说的没错，学习数学也需要这份毅力和自信，但面对有限的时间，求出a2010不切实际;那一般的方法该怎么做呢？（促使学生思考通项an的求法），即

变式2 已知数列an中，a11,an4an11,n2，求an.2让学生独立思考，自主探究，完成后同学间相互交流，发表各自的意见和看法，用宽松和谐、平等交流、亲密合作、知无不言、言无不尽代替了往日的紧张、严峻、沉闷的氛围．从学生的解法中得到了好几种不同的构造解法，学生思维的火花在这种宽松的氛围中得到了绽放．

S2:老师，如果将递推关系式的常数“1”改成关于n的函数式，如何求通项an.老师给以热情的鼓励，同学们各抒己见给出了一系列的变式：

1,an4an1n1,n2，求an.21n变式4 已知数列an中，a1,an4an13,n2，求an.

21n变式5 已知数列an中，a1,an4an13n1,n2，求an.

2变式3 已知数列an中，a1„„„„„„

学生探讨解法，老师给予点评，视时间可以留给学生课后作业，这样的问题变式情境中，学生不怕冒尖，不怕说错，即便错的荒唐，也决无往日的尴尬和沮丧，使学生潜藏的智能可以发挥到极致，这样的课堂也大大拓宽了师生的知识空间、能力空间、思维空间和情感空间.

五、培养学生思维开放性的变式

将问题进行开放性变式，将变式教学与研究性学习有机地结合起来，让学生学会探索，并在探索中由“学会”变为“会学”.案例5 点Mx,y到两定点M1,M2的距离的比是一个正数m，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？（考虑m1和m1两种情形）

解答分析例5后，将该题改编成一道开放题：

变式 在ABC中，A,B,C的对边分别是a,b,c，其中边长c为定值，请你建立适当的直角坐标系，并添加适当条件，求出顶点C的轨迹方程.通过大家主动探求，大胆创新，所添加的条件丰富多彩，展示其中的一部分： 1） 添加条件：C是直角；

2） 添加条件：abmmc；

3） 添加条件：abm0mc；

4） 添加条件：顶点C和两定点A,B连线的斜率之积为定值kk0；

5） 添加条件：ABC的面积是定值mm0

这种开放性的变式课堂教学设计，一方面要使课堂教学为学生创设一个有利于群体交流的开放的活动环境，成为师生思维活动双向暴露过程，引发他们积极进取和自由探索；另一方面要在问题设计和讨论中保留开放状态，给学生创新思维提供更广阔的数学天地，使学生得到更充分的发展．真正做到课堂有效，学习高效.

- 34 -

第11篇：变式教学释义

变式教学释义

1引言

在新课程标准的指引下，数学教学方法也在不断改进、创新。数学教学不应局限于一个狭窄的课本知识领域里，应该是让学生对知识和技能初步理解与掌握后，进一步的深化和熟练，使学生在学习中学会运用课本的知识举一反三，应用数学“变式教学”的方法是十分有效的手段。所谓“变式”，就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化。即教师可不断更换命题中的非本质特征；变换问题中的条件或结论；转换问题的内容和形式；配置实际应用的各种环境，但应保留好对象中的本质因素，从而使学生掌握数学对象的本质属性。在学校做了几年的数学教师，下面我结合自己的教学对数学变式教学谈几点看法。

变式教学的原则

1.1 针对性原则 数学课通常有新授课、习题课和复习课，数学变式教学中遇到最多的是概念变式和习题变式。对于不同的授课，变式教学服务的对象也应不同。例如，新授课的习题或概念变式应服务于本节课的教学目的；习题课的习题变式应以本章节内容为主，适当渗透一些数学思想和数学方法；复习课的习题变式不但要渗透数学思想和数学方法，还要进行纵向和横向的联系。

1.2 适用性原则 选择课本内容进行变式，不能“变”得过于简单，过于简单的变式题对学生来说是重复劳动，学生思维的质量得不到很好的提高；也不能“变”得过于难，难度太大容易挫伤学生的学习积极性，起不到很好的教学效果。因此在选择课本习题进行变式时要根据教学目标和学生的学习现状，在适当的范围内变式。

1.3 参与性原则 在变式教学中，教师不能总是自己变题，然后让学生练，要鼓励学生主动参与变题，然后再练习，这样能更好锻炼学生的思维能力。

变式教学的方法

下面举一些具体的例子，谈谈变式教学的方法。

2.1 变换条件或结论 变换条件或结论是将原题的条件或结论进行变动或加深，但所用的知识不离开原题的范围。

在学习函数的单调性时，老师可以讲解这样的例题：判断函数在指定区间内的单调性。y=x2，x∈(0，+∞)。变式1：y=x2，x∈（-∞，0）可让学生练习。变式2：y=x2，将后面的条件都去掉，问学生此时函数的单调性，学生要认真思考，会发现此时这个函数不具备单调性。 又如在三角函数中，已知cosα=- ，

2.2 条件一般化 条件一般化是指将原题中特殊条件，改为具有普遍性的条件，使题目具有一般性，这是设计变式题经常考虑的一种方法。

已知抛物线的方程是y2=4x，在曲线上求一点M（x，y），使它到原点的距离最短。变式1：已知抛物线的方程是y2=4x，在曲线上求一点M（x，y），使它到点A（a，0）的距离最短。变式2：已知抛物线的方程是y2=2px，在曲线上求一点M（x，y），使它到原点的距离最短。

这种变式将特殊的条件变得更一般，符合由特殊到一般的认识规律，学生容易接受。

2.3 联系实际 联系实际是将数学问题与日常生活中常见的问题联系起来，这要求教师要有丰富的生活经验和数学应用意识，教师在教学过程中，要创设情景，引起或指引学生进行联想，让学生知道数学与生活是紧密联系，不可分割的，很多数学问题在生活中都能找到模型。通过联系实际的变式教学来提高学生应用数学的意识和学习数学的兴趣。

已知抛物线的焦点是F（0，8），准线方程是y=8，求抛物线的标准方程。这是完完全全的数学问题，可将这类题变式为：桥洞是抛物线拱形，当水面宽4米时，桥洞高2米，当水面下降1米后，水面的宽是多少？

这样与实际结合的变式练习，能提高学生学习数学的兴趣，从而更好的达到教学目的。

变式教学在数学教学中的作用

3.1 运用变式教学能促进学生学习的主动性。课堂教学效果很大程度上取决于学生的参与情况，这就首先要求学生有学习的主动性，有了学习主动性才能积极参与学习。增强学生在课堂中的主动学习意识，使学生真正成为课堂的主人，是现代数学教学的趋势。变式教学使一题多用，多题重组，给人一种新鲜、生动的感觉，能唤起学生的好奇心和求知欲，因而能够产生主动参与学习的动力，保持其参与教学活动的兴趣和热情

3.2 运用变式教学能培养学生的创新精神。创新，即通过旧的知识，新的组合，得出新的结果的过程。“新”可以是与别人不一样的，也可以是自己新的提高，它突出与众不同。创新学习的关键是培养学生的“问题’意识，学生有疑问，才会去思考，才能有所创新。在课堂中运用变式教学可以引导学生多侧面，多角度，多渠道地思考问题，让学生多探讨，多争论，能有效地训练学生思维创造性，大大地激发了学生的兴趣，从而培养了学生的创新能力。

3.3 运用变式教学能培养学生思维的深刻性。变式教学变换问题的条件和结论，变换问题的形式，但不改变问题的本质，使本质的东西更全面。使学生学习时不只是停留于事物的表象，而能自觉地从本质看问题，同时学会比较全面地看问题，注意从事物之间的联系的矛盾上来理解事物的本质，在一定程度上可以克服和减少思维僵化及思维惰性，从而可以更深刻地理解课堂教学的内容。

变式教学可以让教师有目的、有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，可以帮助学生使所学的知识点融会贯通，从而让学生在无穷的变化中领略数学的魅力，体会学习数学的乐趣。总之，在新课标下的教师要不断更新观念，因材施教，继续完善好“变式”教学模式，最终达到提高教学质量的目的，并为学生学好数学、用好数学打下良好的基础。

第12篇：浅谈小学数学教学中的有效变式训练

浅谈小学数学教学中的有效变式训练

象山县实验小学

蒋喜看

变式训练主要是指对于某个数学内容的不同方面，尤其是对数学例题和习题进行转化变通，让学生能够从不同角度理解知识、运用知识的一种数学训练模式。变式训练有着很高的教学价值，它不仅是一种有效的教学途径，而且还是一种有用的思想方法。笔者结合教学实践，主要从以下三个方面阐述对小学数学教学中的变式训练的认识。

一、小学数学教学中进行有效变式训练的重要性

1、变式训练可以加深学生对数学知识的理解

现代认知心理学从信息加工的观点，把广义知识分为陈述性知识和程序性知识两大类。陈述性知识指的是事实性知识；程序性知识包括对外办事的程序性知识和对内调控的程序性知识。如果要将陈述性知识转化为办事的技能，就必须保证它们在充分变式条件下得到适当的练习，以便于他们日后在新变化环境中应用。

美国心理学家奥苏伯尔认为，建立新旧知识之间的联系要符合这样两条，那才是有意义的，否则就是灌输的、死记硬背的。第一是合理联系，即知识固着点及其性质，合适的潜在距离；第二是实质联系比如可以换一个形式去检查，这就是变式训练。由此可见，有效的学习离不开一定的变式训练。

2、变式训练可以提高学生的数学思维能力

在数学学习中，会出现这样一个词，即“思维定势”。思维定势具有两面性，既有消极的一面，又有积极的一面。思维定势可以理解为：总是按照某种习惯的思路去思考问题。那么，当这种习惯性思维与解决问题的路径不一致时，就会形成了负迁移，使思维被定格在某个框架下而无法解脱，对于解决问题就困难了；可当这种习惯性思路与解决问题的途径一致时，就可以促进正迁移的产生，就利于解决问题。因此，我们通过变式训练，可以培养学生数学思维的敏捷性、灵活性、深刻性和发散性，提高学生的数学思维能力。

3、变式训练可以减轻学生的课业负担

多年来，学校为了升学率，学生的学习压力非常大，课业负担很重。尤其是在数学教学中，做不完的题海战术，不但加强学习负担，甚者使学生产生了厌学情绪，正所谓得不偿失。比较各套练习，我们不难发现很多题目相似度很高，学生就变得非常机械。这样的练习严重束缚了学生思维的发展，影响了他们的身心健康。而变式训练恰是强调题不在多，但求精炼；注重一题多解，开启思维；重视多解归一，寻求规律。学生在变式训练中不但能够开阔思路，还能够减轻他们的学习负担，提高学习效率。

二、小学数学教学进行有效变式训练应注意把握的几个问题

那么，在数学教学中如何更有效进行变式训练呢？笔者认为应把握好以下几点：

1、变式训练的数量问题

由于我们的课堂时间有限，因此变式训练的数量不可过多，不然效果必然不好。因此，变式的量需要有个度。如在课堂上当教师问“？=1”时，一些学生回答：1+0=

1、100-99=

1、1×1=l、2÷2=

1、5-4=

1、5+3-7=1„„等等。有的学生干脆说：“写不完”，“写不完”。像此类问题肯定说不完，因此教师就应该抓住些共性来描述，千万不能让学生无休止地往下说。

2、变式训练的内容问题

针对数量有限的问题，教师必须选择恰当的问题。也就是说问题必须包含合理的变式，内容要与此相关，另外问题必须包含尽可能多的不再重复的变式。只有如此，有限的问题才能包含尽可能多的变式，从而构成有效的问题变式。例如，在小学数学课本第二册《认识图形》一节课的教学中，讲了圆柱的特征后，出示一些位置、形状大小不同的圆柱体让学生去判断，使学生通过变式、比较练习，认识圆柱的本质特征，调动学生学习的积极性，使学生从不同角度理解所学知识，为学生灵活运用新知识打好基础。

3、变式训练的主体问题

新课标倡导以人为本，要注重学生的主体地位。那么，我们应该提倡让学生参与变式，而不是让变式成为教师的专利。作为课堂教学的组织者和引导者，教师引导学生如何更好的进行变式，并且及时进行点拨，切勿包办代替；同时，对于学生在变式中获得的成功，哪怕只是一丁点儿，教师也要加以肯定。只有这样，才能调动学生学习的积极性，点燃学生思维的火花，提高学生参与创新的意识，从而让他们感受到变式的乐趣，这样一来，学生的思维能力就得到了一定程度的提升。例如，整体优化教材第十二册“圆面积公式推导”中，书本只出现把圆转化为长方形一种推导方法。如果让学生深入理解这种方法，再在这种方法的基础上进行推导方法的变式，学生就会得出很多转化方法，如平行四边行、三角形、梯形、甚至干脆把一块近似的三角行乘以块数等等。所以教师必须要有灵活应变的能力，运用多种教学方法，不断变换学习方法，使教师的主导作用与学生的主体作用达到和谐的统一。

三、小学数学教学有效进行变式训练的方法举例

1、概念教学

在小学数学教学中，最枯燥的可能就是概念教学了，而且在作业试卷中又是最容易让孩子混淆而失分的。对于如此抽象的数学概念，教师在教学概念时，可以用不同的数学语言去描述概念，也就是表达方式的多样化，从而加深学生对概念的理解。例如，几何初步知识的概念教学，如果仅以某种位置的图形引导学生理解，由于小学生思维的具体性和感性经验较狭窄，会导致对知识理解的片面性。因此，在几何知识的教学中教师应善于应用变式，将各种不同位置的图形呈现给学生，帮助学生更透彻地理解知识。例如，在三角形概念教学中，通过不同形态、不同面积，不同位置的三角形与一些类似三角形的图形进行比较，就可以帮助学生分清哪些属于三角形的本质属性，哪些属于三角形的非本质属性，从而准确地理解三角形的概念。在直角三角形概念的教学中，让学生接触不同位置、不同形态的一些直角三角形如平放，斜放，倒放等不同角度，从而使生理解“只要有一个角是直角三角形，就是直角三角形即直角三角形的概念”。

2、计算教学

虽然计算的结果只有一个，但是中间的过程有时也不完全一样，有“殊途同归”的妙处。而且，新课标强调要注重学生的学习过程以及学习方法。因此，在计算教学中要充分运用计算方法的变式，不仅可以促进对计算方法的理解和掌握，而且可以提高计算的准确性。例如，小学数学课本第三册的第37页中有这样一道题：3×（

）＝（

）×（

）， （

）×（

）＝（

）×（

）

。在教学中，引导学生在新学的乘法口诀中寻找，鼓励学生积极思维，不死记硬套，诱发学生从不同角度去发现事物的本质特征和数量关系，从而产生新的构思，提出不同的解题思路和方法，得到多个答案。

3、应用题教学

教师要重视将现实问题中的文字语言转换成数学的文字语言，再将数学的文字语言转换成数学的符号语言或图形语言，重视“语言”变式训练，使学生练好学习数学的基本功，提高分析问题和解决问题的能力。例如：交换或部分交换问题的条件，意味着给学生的思维活动创造了有利的前提。条件的交换，会促使学生对问题进行分析，找到两者之间不变的部分和变化的部分，从而针对题目找到有效的解题策略。如：同学们做了25朵花，送给幼儿园8朵。还剩多少朵？”与“同学们做了18朵红花和7朵黄花，送给幼儿园8朵。还剩多少朵？”，就是应用拆分条件、合并条件进行互相变化的；“同学们做了25朵花，送给幼儿园8朵。还剩多少朵？”与“同学们做了25朵花，后来又做了18朵，送给幼儿园8朵。还剩多少朵？”让学生比较练习，找出相同的结构。又如，我们还可以把条件隐藏起来。本来问题是这样的：5个人一起做小红花，每人做8朵，一共做了多少朵花？改变后的问题是这样的：小西和4个同学一起做小红花，每人做8朵，他们一共做了多少朵花？这样设计，学生能更加深刻地理解其数量关系及结构。

辨证唯物主义指出万物都是在变化发展的，变式教学在教学中是突出一个“变”字，利用“变”来抓住事物的规律，利用“变”来寻求解决之道，利用“变”来培养学生的创造力，利用“变”来提高学生的应变能力，这正是我们新时代数学教学所应追求的目标之一。

第13篇：谈初中数学教学中的变式教学

谈初中数学教学中的变式教学

【摘要】随着时代的发展以及新课程改革的不断深入，初中数学教学课堂也面临着新的挑战，如何使数学课堂的教学质量得到有效提升就成了每一位初中数学教师需重点思考的问题。对于数学课堂而言，变式教学是一类具有科学性、合理性的教学方法。引导学生对多变的问题进行思考，发现其“不变”的本质，继而对变化规律进行探究的教学方法就称之为数学变式教学。本文结合实际情况对初中数学教学课堂中的变式教学进行了深入分析，并结合变式教学在数学课堂中的运用实例提出了自己的看法。

【关键词】数学课堂 变式教学 创新思维 独立思考

在中学数学课堂上，变式教学是一种常见的教学方法，已受到了广大数学教师的青睐。依靠一个问题的变式使一类问题得到解决就是数学变式教学的主要目的。运用变式教学，数学教师可为学生们提供一个思考、探索的空间，引导学生透过现象对问题的本质以及内在规律进行探索，并形成科学合理的思维体系。针对变式教学在初中数学课堂里的运用，笔者提出了自己浅薄的看法。

一、运用变式教学的意义

1.运用变式教学，可使学生学习的积极性得到提高。“兴趣是最好的老师”。为了让学生更好地学习数学，成为数学课堂的主体，教师就需采取科学合理的措施使学生们学习数学的热情得到激发。运用变式教学，可达到一题多用的目的，使数学知识更具创新性以及趣味性。这样一来，学生们的求知欲以及好奇心就可得到有效调动，他们也会更乐意对数学知识进行学习和思考。

2.运用变式教学，可对学生的思维进行培养。一般来说，发散思维的一大内在特点就是具有高度的广阔性。对于初中数学教师来说，如何对学生的发散性思维进行培养是极其重要的。运用变式教学，可达到一题多变的练习效果，使学生的思维得到扩大。在多次实题训练的过程中，学生不仅轻松地学到了更多的数学知识，他们的思维能力以及创新能力也得到了培养。另外，在数学教学过程中，针对教学难点，数学教师需从学生学习的实际情况出发对练习题进行精心设计，旨在使题目具有明确性和针对性。这样一来，学生的发散性思维就得到了有效培养，而经过一系列的拓展训练，他们的思维广度也得到了提升。由此可见，变式教学的合理运用可使学生的数学思维能力得到有效提升。

3.运用变式教学，使学生思维的深度得到培养。通过保持问题的本质，而对问题的条件和结论进行巧妙变化，最终使学生透过现象对问题的内在特点以及规律进行发掘就是变式教学运用的目的。在初中数学课堂上运用变式教学，可使学生从一个全面而独特的视觉去看待问题，进而掌握科学合理的分析方法。另外，巧妙地运用变式教学，可使学生养成独立思考的习惯，突破思维僵局，懂得从深层次去分析问题。

4.运用变式教学，可对学生的创新思维进行培养。在数学教学课堂上，针对一个难点，数学教师可积极对类比、特殊化、联想以及一般化等思维方法进行合理运用，对问题的发展情况进行深入探究，引导学生转换思维模式，对问题的内在本质做出发现。另外，数学教师还需引导学生对思维的心理定势进行克服和改变，在进中求通，最终获得创新思维能力。

二、变式类型

1.概念教学里的变式。在数学概念的形成阶段，相比于数学概念的定义，对其内在特征以及外延进行揭露的过程显得更为重要。在概念的形成期间，我们可采用科学合理的方法对变式教学进行运用，这其中主要包含了概念辨析变式、概念引入变式以及概念深化变式。依靠运用变式教学，我们可更好地对学生进行引导，让他们参与概念形成的全过程，并对数学概念有更深层次的认识和掌握。最后，老师可对问题情境进行巧妙创建，让学生主动去学习、去创造，最终获得创新能力以及高度的概括能力。

2.习题练习里的变式。对于数学教学质量的提升来说，习题变式训练是极其重要的一个环节。通过习题变式训练，可使学生学习数学的基本方法以及习惯得到形成。这样一来，学生就会在潜移默化中获得数学的认知体系，并懂得运用创新思维方式去思考问题、解决问题。

三、变式教学在数学教学过程中的运用

1.理论联系实际，使问题实际化。在数学教学课堂里运用变式教学，可引导学生在变化的过程中掌握到不变的规律，最终发现问题的本质。在数学知识的学习过程中，我们常常会遇到和日常生活紧密联系的问题，比方说电费问题、燃气费问题等。因此，在解决问题的过程中，数学教师就可对变式教学进行积极运用，将电费问题转换为出租车打的收费问题等，旨在让学生将学习的数学知识运用到实践中去。另外，巧妙地对变式教学进行运用，可使数学教学课堂的趣味性得到提升，进而调动学生们学习数学的积极性。老师可积极对学生进行指导，让他们从多角度、多方位去思考问题，并养成积极讨论的习惯，最终找到正确的解题方法。

2.加强习题的变式训练。对于数学知识的学习来说，习题练习环节是极为重要的，诸多数学思维方法都可在例题里面找到。依靠习题的变式训练，我们可引导学生对知识点进行深入掌握，并从众多的习题里面总结出解题思路。在所有习题里面，填空题是一类常见的题型，为了更好地对学生进行训练，我们可以选择题为例对变式教学进行合理运用。比方说，可先设置出这样的一个问题：从一米长的绳子中截去一半，然后将剩下的绳子再截去一半，如此下去，倘若要使最后所截的绳子不足一厘米，那么需要截多少次？针对这一问题，我们可运用变式法转换题目：一根木头长为a米，首先截取全长的1/2，第二次截去剩下的1/3，那么剩下的长度为多少？依靠这样的变式训练，学生的思维方式不仅得到了锻炼，他们也获得了解决问题的正确方法。

3.对正例变式和反例变式进行合理运用。在学习的过程中，例子原型及其变式为正例变式的主要体现模式，但是运用正例变式，学生们往往会将典型特征误当成本质特征，最终无法掌握到概念的本质属性。另外，在概念的例子中，概念的本质属性都是一样的，因此倘若要对其本质特征进行掌握，单单从原型的标准特征出发是完全不够的。因此，在初中数学的教学过程中，除了要对正例变式进行运用以外，还需积极对反例变式进行运用。比方说，针对“若a2 =b2，则a=b。”这一命题是否正确？如不正确请举例说明这一题目，老师可指导学生从a2与a的关系入手进行判断，进而对其本质特征和非本质特征进行区分和了解，然后就可举出反例了。

4.对对象的存在背景进行改变。一般而言，在数学教学过程中，对对象的存在背景进行改变可帮助学生对知识点有更深入的了解。此种方法主要表现在关键词以及相似情景的变换上。比方说，在对双曲线以及椭圆的相关概念进行学习时，老师可指导学生对概念的关键变化词进行捕捉，通过椭圆背景和圆的背景的替换让学生对知识点有更深层次的了解和掌握。

综上所述，在初中数学教学课堂中，对变式教学进行巧妙运用可使学生学习数学的积极性得到有效提升，不论是在理论层面，还是在实践层面，都是有积极意义的。运用变式教学，一方面可使学生思考问题的能力以及解决问题的能力得到提升，另一方面还可使他们拥有积极创新、勇于挑战的精神，而这，正是新课改背景下初中数学课堂的教学目标。

参考文献：

[1]严昌宝.变式教学在初中数学中的运用与思考[J].新课程学习（上）.2011（07）.

[2]蔡建华.变式教学在数学课堂中的运用[J].福建中学数学.2006.

第14篇：让变式教学贯穿数学课堂始终

让变式教学贯穿数学课堂始终

——“一元一次不等式组”教学例谈

周林祥 浙江省象山县丹城中学 邮编 315700

数学家波利亚说过：“一个有责任心的教师与其穷于应付繁琐的数学内容和过量的题目,还不如适当选择某些有意义但又不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面,在指导学生解题的过程中,提高他们的才智与推理能力.”波利亚的这一思想与我国的变式教学思想不谋而合.所谓变式教学是指在教学中用不同形式的直观材料或事物说明事物的本质属性,或变换同类事物的非本质特征以突出事物的本质特征.变式教学可以使学生对问题解决过程及问题本身的结构有一个清晰的认识,能使学生深刻理解概念、定理、公式的本质特征,也能有效地帮助学生积累解决问题的经验和提高解决问题的能力.因此变式教学是提高课堂效率的有效途径,是一种行之有效的教学方式.现以“一元一次不等式组”（第一课时）教学为例说明,谈谈在数学课堂教学中贯穿变式教学的一些做法,以供大家参考.

一、变式情景 引入新课

著名的教育心理学家奥苏泊尔说过：“假如让我把全部教育心理学仅仅归纳为一条原理的话，那么我将一言蔽之：影响学习的最重要的因素就是学生已经知道了什么,要探明这一点,并就此进行教学.”此语表明,学生已有的知识经验基础是教学的起点.为此,教师在引入新课时,要紧密联系学生的实际,从学生的生活经验和已有知识出发,创设有助于学生“再创造”的问题情景.通过问题情景的变式,把“少年‘拴’在你的思路上,引着他们通过一个个阶梯走向知识”（苏霍姆林斯基语），继而发展学生的能力.课前发给学生一张活动广告：《百万浙江人游象山》

师：刚才同学们看到的是象山县为积极应对全球经济危机,贯彻落实“国民休闲计划”,为了吸引更多的游客来象山旅游,象山县风景旅游管理局隆重推出“百万浙江人游象山”活动,其中一条活动细则是凭活动券购买门票可享受市价的3～8折优惠,我们看到松兰山度假区门票原价10元,现价5元.下面请大家看一个问题：

双休日,小明一家人来象山松兰山度假区旅游.小明爸爸给了小明40元去买门票,小明递上钱说：“阿姨,买票.”结果售票员阿姨点了一下小明一家人数说:“你

的钱不够”.你能确定小明一家人数的范围吗? 生:若设小明一家有x人,则可以列出不等式10x40,解不等式得x4,即小明一家人数超过4人.师：很好！同学们,其实,现实世界中存在着大量不等关系,不等式是刻画现实世界的有效模型.请大家看下一个问题: 当售票员阿姨说钱不够时,小明忽然想起他有活动券,马上递给售票员,阿姨说:“嗨,这下我要找给你钱啰！”同学们,你们能根据刚才及上面的对话,确定小明一家人数的范围吗？

生:若设小明一家有x人,则可以列出两个不等式10x40和5x40.师:对!根据题中的不等关系,我们可以列出关于x的两个不等式.

二、类比概念 形成新知

在概念的教学中,可以通过“举三反一”,让学生自己去“发现”、去“归纳”事物的本质特征,并类比已学过的某些方面相似的概念下定义,得出新概念.师:下面请大家来观察刚才得到的两个不等式,说说它们有什么特征呢？ 生1:它们都是一元一次不等式.生2:它们含有同一个未知数，未知数的次数是1.生3:x必须同时要满足两个不等式.师:很好！这两个是我们前面学过的一元一次不等式,这里的x必须同时满足两个不等式,那么在书写上如何来体现它们的相关性呢？

生:用大括号“”.师:很好!你是怎么想到的呢？

生:因为我们学过用大括号来表示两个二元一次方程的相关性,所以我想可以用大括号来表示两个一元一次不等式的相关性.师:对!我们可以运用类比思想方法来研究新问题.类似方程组,把这两个不等

10x40式合起来,就组成了一元一次不等式组,记作.这就是我们今天这节课所要

5x40学习的内容：一元一次不等式组（出示课题）

师:下面请你判断下列哪些是一元一次不等式组？

x10x2xx23x2a71① ②③ ④ x10⑤2x87x5

3a30y1x1x32x12（学生逐一判定,并说明理由,但学生对④⑤是不等式组认识不清,教师作出解释）

师:对于一元一次不等式组,它可以由一个未知数同时满足几个一元一次不等式组成的不等式组.（通过变式辨析使学生对概念有更加深刻的理解,让学生既知其然,又知其所以然）

三、变式方法 掌握解法

在问题的解决教学中,教师应积极地引导学生从各种途径,用多种方法思考问题,把握知识的内在联系,培养学生思维的广阔性与灵活性.师:大家知道什么是二元一次方程的解?什么是二元一次方程组的解? 生:使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解；二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.师:很好!让我们回到刚才确定小明家人数范围问题,你们能求出不等式组10x40中每个一元一次不等式的解集吗? 5x40生:它们的解集分别是x4和x8.师:那么我们怎样来确定不等式组中x的可取值的范围呢? 生:我们可以类比方程组的解，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组中x可以取值的范围.因为既满足不等式x4,又要满足不等式x8，所以x可以取值的范围可以表示为4x8.师:大家同意他的观点吗? 生:同意!(齐声回答) 师:我也同意他的观点!类比思想是一种重要的数学思想方法,是同学们以后学习新知识中经常会遇到的,希望大家引起重视.但数学研究的对象是数和形,华罗庚先生说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微.” 那么我们还可以有什么方法来确定不等式组中两个不等式解集的公共部分呢？

生:利用数轴,把一元一次不等式的解集在数轴上表示出来.师:如果我们分别在两条数轴上表示这两个一元一次不等式的解集,你看怎么样?

生:不好确定，但可以把它们叠放在一起.师:(教师演示)那么我们能不能把这两个一元一次不等式的解集在一条数轴上表示呢？

生:能!（学生动手画数轴，并把两个一元一次不等式的解集表示在数轴上） 师:你们在数轴上能找出两个一元一次不等式的解集的公共部分吗？ 生:两线之间的那一段,不包括线段的两个端点. 048（教师借助多媒体,使这一线段闪烁,同时用阴影区域来凸现它们的公共部分）

师:如何用式子表示两个一元一次不等式的解集的公共部分呢？ 生:可以表示为4x8.师:这个不等式组中x的可取值范围表示为4x8.我们运用数形结合的思想,可以直观找出两个一元一次不等式的解集的公共部分.一般地,几个一元一次不等式的解集的公共部分叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集.解不等式组就是求它的解集.师:现在让我们回到刚才问的题,可以确定小明一家人数范围吗? 生:小明一家人数多于4人少于8人.师:如果把问题改为小明一家来了几人呢? 生:因为人数是整数,又要满足上述条件,所以小明一家来了5人或6人或7人.师:这里第二个问题其实要求大家求不等式组的整数解,不等式组的整数解在实际应用中很广泛,希望引起大家重视.

四、变式题型 探究规律

在数学教学中,对一个数学问题进行推广、变式,可以得到一系列新的问题,甚至得到更一般的结论.积极开展各种变式,有助于学生应变能力的提高.

x4师:刚才我们利用数轴求出不等式组x8的解集是4x8,那么不等式组1xx2和2x3x2的解集又是什么呢？你从中能发现什么规律吗？

生:不等式组x2x3的解集是2x3；

-2311x不等式组2的解集是x2.

2x20122我发现两个不等式的解集分别是大于一个较小的数、小于一个较大的数,不等式组的解集是这两个数之间的数.

10x40师:很好！如果改变不等式组中不等号的方向,我们又可以得到几个新

5x40不等式组呢？

10x4010x40生:可以得到三个不等式组、5x405x4010x40、5x40.师:你能利用数轴求出不等式组10x405x40的解集吗？

（学生在数轴上表示出各不等式组的解集，再小组讨论确定解集）

10x40x4生:不等式组可化为, 5x40x8不等式组的解集为x8.师:若不等式组为x2x3048,则它的解集又是什么呢? 你又能发现什么规律吗? x2生:不等式组x3的解集是x3.我发现两个不等式的解集分别都大于某些数时,则不等式组的解集是大于较大的数.师:那么不等式组10x405x40、10x405x40的解集分别什么呢？

生:不等式组10x405x4010x405x40的解集是x4,

048不等式组中两个不等式的解集

048没有公共部分，不等式组无解.

我发现两个不等式的解集分别都小于某些数时,则不等式组的解集是小于较小的数；两个不等式的解集分别是大于某个较大数、小于某个较小数,则不等式组无解.师:从刚才探究过程中,你能归纳出一元一次不等式组的解集共有几种类型？你能把一元一次不等式组的解的规律总结成朗朗上口的口诀? （学生很快答出有四种类型,但总结的口诀五花八门,整个课堂充满了活跃的气氛） 最后教师总结“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无解了”.师:刚才我们从具体的例子归纳出求不等式组的解集的口诀,那么现在老师来检验一下大家是否能运用这一口诀,请看题：如果 ab,则下列不等式组

①xaxb， ②xaxb，③xaxb，④xaxb的解集分别是什么呢？

生:①xb， ②xa，③axb，④无解.师:很好!其实这道题也是口诀（文字语言）的符号表示方法,即符号语言,而在数轴上表示,则是图形语言,相比之下图形语言比较直观形象.这道题与前面几题相比具有一般性,数学学习往往从特殊到一般,从具体到抽象.我们虽然发现了不等式组的解集确定的规律,但目前应习惯于用数轴来解题,这是解不等式组的基础.

五、变式例题 强化应用

在数学教学中,注重对例题进行变式教学,不但可以落实“双基”,还可以激发兴趣,培养学生的探究能力和创新意识.但若例题变式间潜在的距离太远,学生会“断了念头”；距离太近,又吊不起学生“胃口”.因此,在设计变式问题时,应立足于学生实际,把握好前后知识之间的潜在距离,通过富有层次性、探究性的问题系列,让学生真正能“跳起来摘到桃子吃.”

师:我们已初步学会利用数轴确定一元一次不等式组的解集,下面我们来解稍复杂些的一元一次不等式组.例1 解下列不等式组：

2x3x112x1x1（1） （2）2x5

12xx84x13(学生自己动手解答,教师巡视并辅导,同时也强调书写格式) 师:你能总结出解一元一次不等式组的解题步骤吗？

生:先求出不等式组中各个不等式的解集;再利用数轴,找出这些不等式解集的公共部分,也就是求出不等式组的解集.生:先求出不等式组中各个不等式的解集,再利用不等式组解的规律来求解.师:你能通过改变不等式组2x1x1x84x1中的不等号使得新不等式组无解吗？

生:只能将不等式组改为xa02x1x1x84x1.师:若不等式组x84x1,请大家解答下列问题: （1）当a=5时,不等式组的解集是 ；当a=3时,不等式组的解集是 ；当a=-1时,不等式组的解集是 .（2）若不等式组无解,则a的取值范围是 .（3）由以上可知,不等式组的解集是随a的变化而变化,当a是有理数时,写出不等式组的解集.(学生解答,教师点评并讲解)

六、课堂小结

师:这节课经历哪些过程?你学到了什么知识?在学习过程中感受到了哪些数学思想方法? 生:这节课我学到了一元一次不等式组及其解集的概念、一元一次不等式组的解法. 生:这节课我感受到类比、数形结合、分类讨论、特殊到一般的数学思想方法.在课堂教学中贯穿变式教学,可以充分展示数学知识发生、发展和应用的过程,能开拓学生的视野,激发学生的思维,增强应变能力,有助于培养学生的探索精神和创新意识.

参考文献

曹贤鸣.变式教学应服务于课堂教学目标[J].数学通报,2008,7

第15篇：1变式教学与高三数学复习

变式教学与高三数学复习

洪秀满

【原文出处】《中学数学》（江苏），1995.10.（10～12） 【作者简介】 洪秀满，浙江省仙居中学（317000）

我们知道，在高三数学复习课中，例题教学是一个重要环节，要使学生在解题中，广开思路，掌握规律，还要培养学生的多维性思维、分析问题和解决问题的能力，若仅仅满足一题一得往往是不够的。因此，能否充分发挥例题教学的作用，将直接影响复习课的效果。

如何充分发挥例题教学的作用呢？笔者在长期的教学实践中体会到，运用变式教学是普遍有效而易行的重要途径。所谓变式，就是不断变更概念中的非本质特征，变换问题中的条件或结论，转换问题的形式或内容，配置实际应用的各种环境，而概念或问题的本质不变。简言之，就是在变化中求不变，万变不离其宗，使得学生从中获得再认识，并提高识别、应变、概括等能力，培养学生的思维品质。下面谈谈如何运用变式进行高三复习课中的例题教学。

一、运用“一题多解”，培养思维的发散性

一题多解的实质是解题或证明公式、定理的变式。因为它们是以不同的论正方式反映条件和结论间的同一必然的本质联系。运用这种变式教学，可以引导学生对同一来源材料可从不同的角度、不同的方位思考问题，探求不同的解答方案。课本中有许多题目，由于当时所学知识和教学进度的局限性，不可能都用多种方法去研讨其解法。因此，在高三复习时，回过头来做这些题目，往往有多种做法，有的甚至比以前解法来得更加简捷明快。凡课本的例、习题能做到一题多解的尽量给学生以尝试的机会 。

例如《解几》P111第8题：过抛物线y22px的焦点的一条直线和这抛物线相交，两交点的纵坐标分别为y

1、y2，求证：y1y2p2。

分析：设过抛物线y2px的焦点F(2p,0)的直线l与抛物线交于两点A(x1,y1)、2B(x2,y2)，下面引导学生从不同角度进行证明：

思路一： （ⅰ）当l与x轴不垂直，设l的方程为：yk(x消去x得：ky2pykp0，即有：y1y2p；

2（ⅱ）若lx轴时，显然有y1p，y2p， ∴y1y2p． 222p)，代入y22px，2思路二： （ⅰ）若l与x轴不垂直，由A、F、B三点共线，即可推得：y1y2p．

（ⅱ）若lx轴（同法一）

2思路三：如图，自A,B分别作准线m的垂线AA,BB，A,B分别是垂足；由抛物线|AB||AF||BF||AA||BB|，定义可知：将A、B、F的坐标代入，并化简整理得：y1y2p2．

2y12y2 思路四： 设A(,y1)、B(,y2)，F分AB的比为，2p2p2y12y22pp2p2则12，消去得：y1y2p． yy210134，|BB||BF|故有12，思路五： 如图4，由抛物线定义|AA||AF|，又AA//BB，∴56，而522，623，则23即AFB2，2．在RtAFB中，有|AN||BN||FN|,

2即|y1||y2|p2，而y1与y2必异号，∴y1y2p2．

由于教学进度的局限性，此题当时只能用上述这五种方法 解之，其中有几种方法还需要讨论直线l与x轴的关系，而学生 却往往忽视这一点。如果复习阶段再回过头来解答此题，学生 自然会运用直线的参数方程、极坐标等知识解之。

pxtcosp思路六： 设过焦点F(,0)的直线l参数方程为（t为参数）， 22ytsin代入：y2px，化简得：tsin2222ptcosp20。

p2设此方程的两个根为t

1、t2，则有t1t2，再由方程可知：y1t1sin，

sin2p222sin。 y2t2sin；∴y1y2(t1t2)sinp2sin2思路七：以F为极点，FX为极轴，建立极坐标系，则抛物线y2px的极坐标方程为2p。

1cos设弦的一个端点坐标为(1,)，则另一个端点的坐标为(2,)； ∴y1y2(1sin)(2sin)pp(sin2)p2。

1cos1cos这样一来，既复习了直线参数方程、极坐标等知识，同时，又能提高学生的解题能力，促进知识间的联系。

二、运用“一题多变”，培养思维的灵活性

一题多变是题目结构的变式，指变换题目条件或结论，变换题目的形式，而题目的实质不变，以便从不同的角度、不同的方位指向题目的实质。用这种方式进行教学，能使学生随时根据变化了的情况积极思考，迅速想出解决的办法，从而防止和消除呆板和僵化，培养思维的灵活性。

例如在《解几》中复习最值，教学时可选用课本P126第22题作为原命题，加以变换、拓广。

原题：求抛物线yx2上到直线y2x4的距离最小的点的坐标，并求出这个距离． 复习时，在引导学生作出多种解答的基础上，常可作如下的分析、变换：

变换一：若将原题中的抛物线方程“yx2”换为其它二次曲线，就得到如下一类问题：求二次曲线上的动点到定直线的距离的最值．

譬如：已知直线l：2x3y20，点B在椭圆(x2)24y24上运动，求B点到l的距离d的最大值，并求此时的B点坐标。

再如：如果将原题中的抛物线方程“yx”换为“y4x”，就得到87年的全国高考数学理科试题二（5）。

变换二：若将“变换一”中定直线换为定圆（包括点圆），可得另一类最值问题：求分别在二次曲线和定圆（包括点圆），上两点间的距离的最值．

22x2y2421上移动，点Q在以点M(1,0)为圆心，例如：点P在椭圆为半径的25163圆上移动，当点P位于P，点Q位于Q时，P、Q两点距离最近，记最近距离为d，求d及点P、Q的坐标。（92年浙江省高中证书会考试题）

变换三：若将“变换二”中的条件与结论对调，又可得如下一类问题：设M点在直线

N（待定）或圆（包括点圆）上运动，在一个含有某未知因素的二次曲线上运动，且已知|MN|的最大值或最小值，求N点的坐标及此二次曲线的方程． 例如，设椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e33，已知点P(0,），到

22这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于7的点的坐标．（90年全国高考数学试题（文、理））

象这样将题目演变、拓广，使题目由一道题变成一类题，再由一类题变成多类题，这无疑能提高学生举一反三，触类旁通的能力。使之达到熟一类、通一类，甚至通几类。

三、运用“一式变用”，培养思维的深刻性

一式变用是指对一个公式的变式应用。数学中时常会遇到一些重要公式，而对它们的推导以及引导学生进行应用，这些工作教学时都会做到。但如何变换公式的形式或结论，挖掘潜在的意义进行应用，这就未必都能做到。因此，在高三复习时，教师要有意识地引导学生对一些重要公式进行变用，挖掘潜在的几何意义，使之不迷恋于表面现象，而是透表求里，从而培养思维的深刻性。

例如：在《解几》中，

|ax0by0c|ab22表示点M(x0,y0)到直线l：axbyc0的距离公式。高三复习时，笔者常作以下三种变用，使对

于求解一类不等式和变量取值范围，常能收到形象直观、驭繁为简的效果。

变用一：|ax0by0c|a2b222x0y0

（Ⅰ）

其几何意义：是过原点的直线l外的任一点到该直线 的距离不大于这点到原点的距离。如图

22将关系式（Ⅰ）两边平方，即得柯西不等式：(ax0by0)2(a2b2)(x0y0)

这是一道应用广泛且重要的著名不等式——柯西不等式。

b是两个实数，A(x,y)|xn,ynab,n，B(x,y)|xm, 例1．设a、y3m215,m，C(x,y)|x2y2144，是平面xoy内的点的集合，讨论是否存在a和b，使得（1）AB；（2(a,b)C同时成立？（85年高考数学试题）

解：如果存在实数a和b使得（1）和（2）同时成立，则方程 3x15axb 应有整数解。

考察点(x,1)到直线axby0的距离关系及ab144，有

222|axb|a2b2x21212x21，

又∵axb3x2150

∴ 3x21512x21，化简得：x6x90，即(x23)20； ∴x3，这与x为整数相矛盾。

故不存在实数a和b使得（1）和（2）同时成立。 变用二：

42|ax0by0c|a2b2(xx0)2(yy0)2（Ⅱ）

其几何意义：不过原点的直线l外的任一点到该 直线l上各点的斜线和垂线中，以垂线最短。如图

根据图形直观，不难看出，和点M不在直线l同一侧的点及直线l上点P的坐标(x,y)都满足不等式（Ⅱ）。

例2.若x2y20，求函数zx2y22x4y的最小值。 解：由所给的函数关系可得：z5(x1)2(y2)2 显然，点(1,2)在直线x2y20的下方，而坐标满足

x2y20的点(x,y)都在直线x2y20上及上方

22区域，由公式（Ⅱ），有(x1)(y5)|142|5，

494924，即z5，∴z； 555242

2故函数zxy2x4y的最小值为。

5于是(x1)(y2)22变用三：若R是一个正的常数，则

|ax0by0c|ab22小于R、等于R、大于R分别表示直线axbyc0与定圆(xx0)2(yy0)2R2相交、相切、相离的位置关系。

例3.求证：方程 asinbcosc0[0.2) （ⅰ）当abc时，有两个相异实根； （ⅱ）当abc时，有唯一实根； （ⅲ）当abc时，无实根。 222222222分析：令xsin，ycos，则方程asinbcosc0在[0.2)内有根的情况等价于直线axbyc0和圆x2y21有无公共点的情况，所以当原点O(0,0)到直线axbyc0和圆x2y21有无公共点的情况，所以当原点O(0,0)到直线axbyc0的距离依次小于、等于、大于1时，该方程分别有两相异实根、有唯一实根和无实根，即

当|a0b0c|a2b2222也就是当abc时，a2b2sin2cos21时，原方程有两相异实根。

当|a0b0c|a2b2a2b2sin2cos21时，即当a2b2c2时，原方程有唯一实根。

当|a0b0c|a2b2a2b2sin2cos21时，即当a2b2c2时，原方程无实根。

教学实践表明：在高三数学复习课例题教学中，实施变式教学，对调动学生学习的积极性，激发他们求知欲望，活跃课堂气氛，培养能力都具有良好的作用。

原载《中学数学》（江苏），1995.10.（10～12）

第16篇：应用变式教学提高数学课堂有效性

应用变式教学提高数学课堂有效性

东莞 蔡瑞卿

【摘 要】在数学教学中，恰当合理的变式能营造一种生动活泼、宽松自由的氛围，能开拓学生的视野，激发学生的思维，有助于培养学生的探索精神与创新意识。文章探讨了变式教学的含义及作用，并介绍了如何应用变式教学提高数学课堂效率及在应用变式教学时需注意的问题。

【关键词】变式教学 提高 有效性 实践

著名心理学家和教育学家布卢姆说：“有效的教学始于准确地知道需要达到的目标是什么。”因此教学目标是课堂教学的灵魂。变式教学符合学生的认知规律，通过对变式教学，使得课堂教学始终围绕着教学目标有层次的推进，为学生提供一个求异、思变的空间，让学生把学到的概念、公式、定理、法则等运用到各种情况中去，使基础知识、基本技能、基本方法和基本思想，在题组中重复出现，又向提高和深化推进，使学生灵活多变的思维品质，数学素养得到有效培养。

1 变式与数学变式教学

1.1 对变式教学的理解

“变式”，《中国教育百科全书》中说：“变式”--掌握概念的方法之一；是从各个不同的角度抓住事物的主要特殊属性，概括出事物的一般属性的思维方式。那么什么是变式教学？在教学中，变式教学指从一道题目出发，通过改变题目的条件、问题或改变题目设计的情景，重新进行讨论的一种教学方法；也可以是指对例习题进行变通推广，重新认识。

1.2 数学变式教学

所谓数学变式教学就是将数学中各种知识点有效地结合起来，从最简单的命题入手，不断交换问题的条件和结论，层层推进，从不断的变化中寻找数学的规律和本质。数学变式教学可以充分调动和展示学生的思维过程，让学生积极大胆地参加教学的全过程，通过对数学问题多角度、多层次、多方位的讨论和思考，引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索出“变”的规律，从而培养学生大胆参与、勇于探索、敢于创新的精神。

2 变式教学的理论基础

2.1 马登变异理论

学习就是鉴别，鉴别依赖于对差异的认识，教师应当通过变异维数的扩展引导学生去认识对象的各个方面。变式教学是利用变式的方式进行教学，这一系列的变式就构成了一个变异空间，引导学生积极思考，主动探索，体会变式所要反映的实质意义，这就产生了学习。通过变式教学，在教学过程中指导学生体验和辨别学习对象的关键方面，构建适当的变异空间，这对学生的学习是至关重要的。

2.2 建构主义的学习理论

建构主义认为知识不是通过教师传授得到，而是学生主动建构获得的。学生以自己原有的知识经验为基础，对外部信息进行主动地选择、加工和处理，建构自己的理解。教师通过变式教学引导学生建构事物的本质属性，成为主动的信息加工者。通过变式教学，提供一定的学习情境，提出能激发学生思考的问题，创设平等自由的学习气氛，开展师生、生生之间的交流与合作学习；通过变式教学，指导学生不断思考，不断对各种信息进行加工和转换，进行归纳总结，发现各种变式的实质联系，培养学生的观察、分析和概括的能力；通过变式教学，一题多解，一法多用，鼓励学生自己变题，在问题解决的过程中使学生对概念、原理形成深刻理解，建立良好的知识结构。

2.3 脚手架理论

在教育活动中，学生可以凭借由父母、教师、同伴以及他人提供的辅助物完成原本自己无法独立完成的任务。随着学生的能力逐步提升，一旦学生能独立完成任务，这种辅助物“脚手架”就会被逐渐撤离。设置脚手架的目的是为了促进儿童智力的发展、思维能力的发展、创造力及批判精神的发展，最终使儿童成为有创造性思维的开拓者、探索者和学习者，而不仅仅是掌握和储备现成知识。在变式教学的角度看，在学生的最近发展区域中以学生熟悉的问题或背景为起点、以需要解决的问题为指向设置“脚手架”，帮助学生从已有水平向潜在水平跨越，在问题解决的过程中不断积累经验，推动学生智力的发展。

3 变式教学是提高数学课堂教学效果的有效途径

3.1 巧用变式教学让学生掌握概念的本质

数学概念是数学知识的载体。理解和应用数学概念要求对概念内容有较深刻的理性认识，能够解释、举例、变形、推断、否定并能利用概念解决相应问题。而变式兼具解释、举例、变形、推断等多种功能。利用变式教学能有效地让学生掌握概念的本质。比如在学习奇偶函数的定义后，可以如下变式，加以理解。

例1：对于奇函数定义式：f(x)f(x)，有： 变式1: f(x)f(x)0; 变式2：f(x)f(x)1(f(x)0)。

对于偶函数变式：f(x)f(x)，也有： 变式1：f(x)f(x)0 变式2：f(x)f(x)1(f(x)0)

f(x)loga(xx1)的奇偶性十分方便。

2可以利用上述变式判断某些函数，判断函数例如又如周期性概念，概念本身并不难理解，判断正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性也比较简单，但如果进一步分析：具备哪些条件的函数具有周期性，它与函数的奇偶性、对称性又有何关系？这就让很多学生都会感到棘手。但若在讲函数的周期性时能逐层递进地利用变式条件，则这些难题就能迎刃而解，并且使学生进一步加深概念的理解和提高应用概念解题的能力。

例2：若f(x)是定义在R上的函数并且满足下列条件之一，则f(x)是否为周期函数：①f(xa)f(x)；②f(xa)1f(x)；③f(x2)[1f(x)]1f(x)；④f(x)是偶函数且

对称；⑥f(x)是奇函数且图象关于直线xa(a0)对称；⑦f(x)是偶函数且图象关于直线(a,0)(a0)对称；⑧f(x)是偶函数且图象关于直线xa(a0)对称；⑨偶函数f(x)对任意实数t，总有f(1t)f(1t)；⑩函数f(x)对任意正实数a，总有f(x)f(xa)f(xa)。 f(x4)f(x)f(2)；⑤f(x)是奇函数且图象关于点(a,0)(a0)3.2 善用变式教学培养学生的思维

在学习定理、公式的教学过程中，运用变式教学可以明确定理、公式的条件，结论和适用范围，注意事项等关键之处，让学生深入理解定理、公式的本质，从而培养学生严密的逻辑推理能力和正确演算能力。例如针对均值不等式的应用条件，讲述均值不等式定理时，我们可以设置如下题组： 例3：1.求函数yx4x(x0)的最值，并求此时x的值。

2.求函数y3.求函数y4.已知05.已知0sinx44sinx(0x)的最值，并求此时x的值。

xx2(x2)的最值，并求此时x的值。

的值。 x1，求函数yx(1x)的最值，并求此时xx12，求函数yx(12x)的最值，并求此时x的值。

xy3，求xy4y1，求xy6.已知正实数x,y满足条件xy7.已知正实数x,y满足条件

1x的取值范围。

的取值范围。

以上设置的题组充分体现了均值不等式“一正二定三相等”的条件，通过正反两个方面帮助学生理解条件的重要性：没条件的怎样创造条件?为什么只做了细微的改变却不能再用定理了？在强烈的对比中学生增进了对应用条件的认识，而且此过程也让他们感到轻松和愉悦。

又如在学习函数的图象与性质时，可以通过教材中的例题或练习设计如下变式题组。例4：画出函数yx5x62的图象，并根据图象说出函数yf(x)的单调区间，指出在各单调区间上函数

（高中《数学（人教版）》新教材（必修1）39页习题1.3A组第1题）。 yf(x)是增函数还是减函数。变式1：画出函数y|x5x6|2的图象，并根据图象说出函数yf(x)的单调区间，判断在各单调区间上函数yf(x)是增函数还是减函数。

变式2：画出函数yx5|x|6的图象，并根据图象说出函数yf(x)的单调区间，判断在各

2单调区间上函数yf(x)是增函数还是减函数。

变式3：求函数y变式4：求函数yx5|x|6在区间[3,5]上的最值。 2log2(x5x6)单调区间。

2以上变式题组体现了由易到难的层次性，方法上体现了数形结合和化归的数学思想，可以起到“举一反三”、“多题一解”的效果，可以提高学生的学习兴趣和思维能力。

3.3 利用变式教学使学生掌握解题方法的多样性和灵活性

对于解题方法而言，当从某角度难以入手时，换一个角度常常会有新的发现。角度的灵活多变，各种不同思路，不同方法的分析比较，是形成创新能力和创新意识的源泉。在学习过程中，学生容易形成思维定势，套用固定的解题模式，在解答问题中常感到“无处下手”。因此，在数学教学中要精选那些可用多种思路完成的典型题，便于学生不拘常规，勇于创新，找到更多“思维点”，寻求更多解决问题的办法和途径以此来充分挖掘学生潜力。

例5：若直线Axayb1通过点M(cos,sin)，则（ ）

.1a2.a2b1 B2.a2b1 C2.

1a2x1b21D1b21

解：（1）（几何意义）由题意知直线直线的距离不大于圆的半径1，即1a2ayb1与单位圆xy1有公共点，于是圆心O(0,0)到

2211b21，将其变形得

1a21b21。

（2）（平面向量）由题意有

cosasinb1b21，设向量m(cos,sin)，n(cos,sin)，由

cossinmn|m||n|得1ab1a2，即

1a21b21 sinb)(cossin)(222（3）（柯西不等式）直接运用柯西不等式得11a2(cosa1a21b)

1b2

cosasinb1，两边平方可得（4）（先平方后配方）由题意知1sina1a2cosa22sinb222sincosab1

221cosbsina222sincosab)11

21

1b2(cosb（5）（先裂项后配方）因为点M(cos,sin)在函数(cosa1a2xayb1的图象上，所以

cosasinb1。

sinb)22cosa222sinb2222sincosab21

2221b2cossina22cossinb12cosa2sinb22sina22cosb22

cosasinb22sincosab

本题解题方法较多，思维量也较大，可从不同角度考查学生的知识掌握程度，能促进学生思维的灵活性。

3.4 通过题目的变式培养学生的探究和创新能力

题目变式包括对例题的条件增加，减少或变更的探究，对结论的探究和命题是否可以引申的探究。因此在对题目进行变式时要反复推敲，字斟句酌，要围绕教材重点、难点展开变式，防止脱离中心，要注意审时度势，因材而异，防止任意拔高乱加扩充。通过题目变式来使学生掌握一类题的解法，从而锻炼学生探究创新能力以及灵活多变的思维能力。例如在讲授函数的单调性之后，对于“求二次函数在闭区间上的最大(小)值”这一课题，可以进行下面的变式： 例6：(1)设(2)设(3)设(4)设f(x)x2x2,x[2,2]2，求f(x)的最大值和最小值。

f(x)x2x22，若f(x)在区间[2,t](t2)上的最大值记为g(t)，求g(t)的表达式。 ，若f(x)在区间[t,t1]上的最小值记为g(t)，求g(t)的表达式。 ，若f(x)在区间[2,1]上的最小值记为g(x)，求g(x)的表达式。 f(x)x2x222f(x)x2ax2这个题组是有关一元二次函数的最值问题。解决这类问题的关键是要让学生结合一元二次函数的图像，弄清楚函数的对称轴与给定区间之间的相对位置关系。第1题是一道具体的一元二次函数在确定区间上的最值问题，结合函数的图像，学生比较容易解决。第2题是一道“定对称轴、动区间(定一个端点，动一个端点)”的二次函数的最值问题，显然f(x)在区间[2,t]上的最小值与t有关，需讨论二次函数的图象在顶点处的横坐标x1与[2,t]区间的关系，分三种情形：①2t1；②1t4；③t4来讨论，从而求出的g(t)表达式。第3题是一道“定对称轴、动区间(两个端点都在变化，但

1区间长度是一个定值)”的二次函数的最值问题，需讨论二次函数的图象在顶点处的横坐标x

与区

间[t,t1]的关系，分三种情形：①t11；②t1t1；③t1来讨论，从而求出的g(t)表达式。第4题是一道“定区间、动对称轴”的二次函数的最值问题，要根据二次函数的图像在顶点处的横坐标xa与区间[2,1]的关系来求解，分三种情形：①a2；②2a1；③a1来讨论，从而求出的g(x)表达式。通过前面4个例题的讲授，让学生较全面地掌握如何求二次函数在闭区间上的最值问题。

4 数学变式教学应注意的问题 4.1 目的性

变式并不是因为“变”而变，而是基于一定的教学目的，要把什么变，怎么变，变了以后会有什么结果的问题要想清楚，让变式真正为教学服务，而不是形式上的热闹。数学变式教学的最终目的是多方面提高学生数学思维品质。因此，教师要思考变式的价值，在课堂教学中教师应该给学生提供更多的思考与合作交流的机会，创造有利于学生思考问题的宽松的课堂气氛，指导学生自己尝试着进行变式练习，鼓励学生大胆地质疑，尽可能把学习的主动权交给学生。

4.2 实践性

变式教学中教师不能包办代替，要让学生主动探索，让学生寻找结论，共同参与，并且还要鼓励学生自己大胆地“变”，培养学生创新意识和创新精神，让学生真正成为课堂中的主体。

4.3 层次性

变式要体现层次性，每一次的变式都是在原有基础上的提高，要让学生感到有一定的挑战性，能充分地激发学生的兴趣，调动学生的思维，体现知识的螺旋式上升，有助于培养学生的思维能力。

4.4 合理性

教学的成功并不取决于应用的数量，而在于应用是否具有典型性。我们提倡开展变式训练，并不是说所有的教学内容都要求进行变式，要特别注意把握好“度”，要克服单纯地为了变式而变式，要避免给学生造成过重的学习和心理负担。

4.5 要充分利用教材，精心选择课本上的例题、习题

变式教学的起点一般源于课本上的例题、习题，做到源于教材又高于教材，不脱离教材，不脱离学生的实际地进行挖掘，深、难度适中，否则将会加重学生的学习负担，产生厌学情绪，不利于成绩的提高。

【参考文献】

[1]张念宏．中国教育百科全书[M]．北京t海洋出版社，1991．

[2]中华人民共和国教育部，数学课程标准[M]．北京：北京师范大学出版社，2001．7． [3]鲍建生，黄荣金，易岐峰，顾泠沅．变式教学研究[J]．数学教学，2003(1)(2)(3)． [4]郑毓信．变式理论的必要发展[J]．中学数学月刊，2006(1)．

[5]曾祥春，杨心德，钟福明．变式练习的心理机制与教学设计[J]．教育探索，2006(8)． [6]黄坪．关于变题策略和变题技巧[J]．数学教学，2000(1)．

第17篇：初中数学教学中的变式训练教学

初中数学教学中的变式训练教学

摘要：所谓数学变式训练，即是指在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式，以及问题从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景做出有效的变化，使其条件或形式发生变化，而本质特征却不变。数学教学，使学生理解知识仅仅是一个方面，更主要的是要培养学生的思维能力，掌握数学的思想和方法。

关键词：数学课堂；变式训练；方法；思维品质

中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2015）07-0227-01

变式教学是指在教学过程中通过变更概念非本质的特征、改变问题的条件或结论、转换问题的形式或内容，有意识、有目的地引导学生从\"变\"的现象中发现\"不变\"的本质，从\"不变\"的本质中探究 \"变\"的规律的一种教学方式。数学变式教学是通过一个问题的变式来达到解决一类问题的目的，对引导学生主动学习，掌握数学\"双基\"，领会数学思想，发展应用意识和创新意识，提高数学素养，形成积极的情感态度，养成良好的学习习惯，提高数学学习的能力都具有很好的积极作用。

1.变式训练的方法

1.1类比变式。初中数学具有一定的抽象性，许多数学概念概括性比较强，学生理解非常困难；有些知识包含了隐性内容，有仅仅依靠老师的情景创设和知识讲解学生可能无法全面理解数学的内涵的，所以需要运用更加丰富的教学手段帮助学生理解数学知识。

例如在学习\"分式的意义\"时，一个分式的值为零是包含两层含义：（1）分式的分子为零，（2）分母不为零。因此，如果仅有\"当x为何值时分式 的值为零\"，此类简单模仿性的问题，学生对\"分子为零且分母不为零\"这个条件还是很不清晰的，考虑\"分母不为零\" 意识还不会很强。但如果以下的变形训练，通过分子，分母的不同差别，来体现分式的值为0，通过以上的变形，可以对概念的理解逐渐加深，对概念中本质的东西有个非常清晰的认识，因此，数学变式教学有助于养成学生深入反思数学问题的习惯，善于抓住数学问题的本质和规律，探索相关数学问题间的内涵联系以及外延关系。

1.2模仿变式。数学方法是数学学习的一个重要内容，而这些数学方法的掌握往往需要通过适当改变问题的背景或者提问方式，通过模仿训练来熟悉。所以，在教学中通过精心设计变式问题，或挖掘教材自身的资源可以更快地帮助学生熟悉数学的基本方法。

1.3阶梯变式。初中数学内容的形式化趋势比较明显，而学生的对形式化的数学知识理解普遍感到困难，对某些规律的形式化的归纳往往更是无从下手，所以，适当地从学生的实际出发，设计变式教学环节，让学生从变式问题中\"变化量\"的相互关系中，帮助学生总结数学规律。

1.4拓展变式。数学知识之间的联系往往不是十分明显，经常隐藏于例题或习题之中，教学中如果重视对课本例题和习题的\"改装\"或引申，进行必要的挖掘，即通过一个典型的例题进行拓展，最大可能的覆盖知识点，把分散的知识点串成一条线，往往会起到意想不到的效果，有利于学生知识的建构。

1.5背景变式。在解题教学的思维训练中，通过改变问题背景进行变式训练是一种很有效的方法。通过从不同角度去改变题目，通过解题后的反思，归纳出同一类问题的解题思维的形成过程与方法的采用，通过改变条件，可以让学生对满足不同条件的情况作出正确的分析，通过改变结论等培养学生推理、探索的思维能力，使学生的思维更加灵活性和严密性。

2.利用变式训练培养学生良好的思维品质

众所周知，发展智力，培养能力的关键是培养学生良好的思维品质，而运用变式手法恰好是训练和培养学生思维的有效途经。

2.1利用兴趣培养学生思维主动性积极性，在教学中，教师有意识的运用兴趣变式来诱发学生的好奇心，激发他们主动钻研，积极思考，可以克服惰性，培养思维主动积极性。

2.2利用反例变式，培养学生思维的严谨性和批判性。教学时，通过反例变式的训练有意识的设置一些陷阱，去刺激学生让其产生\"吃一堑，长一智\"。

2.3利用一题多解培养学生思维的灵活性，在教学中教师利用解题过程的变式训练，引导学生善于运用新观点，从多用度去思考问题，用自由联想的方式，使学生广泛建立联系，多用度地认识事物和解决问题，打破那种\"自古华山一条路\"的思维定势，使他们开动脑筋，串联有关知识，养成灵活的思维习惯。

2.4运用逆向变式培养逆向思维能力。在教学中培养学生的双向思维习惯，这种训练要保持经常性和多样性，逐步优化他们的思维品质。

2.5采用对一题多变和开放性题目的探讨，培养思维的创造性。教学中，在加强双基训练的前提下，运用一题多变和将结论变为开放性的方式来引导学生独立思考，变重复性学习为创造性学习。创造性思维是对学生进行思维训练的归宿与新的起点，是思维的高层次化。实践证明，教学中经常改变例题结论，引导学生自编一些开放性题目，对激发学生兴趣，培养其研究探索能力，发展创造性思维大有益处。

3.进行变式训练需注意

3.1变式教学需要重视知识的基础性。学生的各种能力都是建立在基础知识之上的， 基础知识是综合能力的载体， 因此，初中数学教师在运用变式教学方法时，应该落实与巩固数学课本上的基本概念和理论知识，教师应该引导学生转换角度进行思考，例如复习三角形和特殊的三角形时，应该创设多种练习题，帮助学生掌握概念的内涵与外延，将三角形的概念理解透彻。

3.2变式教学应该重视层次性。初中生由于受到认知水平的影响，一个班级的学生对数学概念的理解水平也存在一定的差异，针对某个知识点进行训练时，应该设置多个问题，从简到难循序渐进地进行训练，这样的习题训练能够帮助认知水平较差的学生更好地理解，帮助认知水平较高的学生巩固记忆。

3.3变式教学应该重视训练的灵活性。数学知识和数学题型是多种多样的，并且条件的变化会引起结论的变化，通过设置不同类型的变式，能够获得不同的效果，一题多变式能够强化学生们对定义、概念的理解，一题多解式能够训练学生的发散思维，培养学生探索新知的能力， 因此，初中数学教师在运用变式教学方法时，应该重视方式训练的灵活性与多样性。

总之，在数学课堂教学中，遵循学生认知发展规律，根据教学内容和目标加强变式训练，对巩固基础、培养思维、提高能力有着重要的作用。特别是，变式训练能培养培养学生敢于思考，敢于联想，敢于怀疑的品质，培养学生自主探究能力与创新精神。当然，课堂教学中的变式题最好以教材为源，以学生为本，体现出\"源于课本，高于课本\"，并能在日常教学中渗透到学生的学习中去。让学生也学会\"变题\"，使学生自己去探索、分析、综合，以提高学生的数学素质。

第18篇：初中数学教学中变式训练分析

初中数学教学中变式训练分析

新课程改革要求培养初中学生的发散性数学思维能力.研究发现，变式训练可以有效地激发学生的数学思维.初中学生的认知过程正向抽象性思维转化，在数学教学方式的不断革新与创新下，新课程标准要求初中数学更加注重让学生具体与抽象相结合，要培养学生形成一题多解的能力.由此可见，变式训练对初中数学教学具有重要的推动作用.

一、变式训练的内涵与原则

1.变式训练的内涵.新课程改革要求教师要从受教者的角度出发设置课堂教学.因此，在初中数学教学中，应该教什么，怎样去教，就成为当前教师需要解决的问题.一个优秀的数学教师，不在于单纯地教授学生知识，而在于教授学生如何去掌握和运用知识，从而培养学生的发散性思维能力，营造良好的数学学习氛围.要达成这一目标，就要在初中数学教学过程中引入变式训练.变式训练是指教师运用不同类型的案例或实例来阐明数学的本质规律，要凸显不同事物之间的非本质属性.这种授课方式的重点与核心就是掌握变式的实际规律，围绕教学目标，将具体的题型进行合理的转化，使学生能够透过现象探究数学的本质.

2.变式训练需要遵循的原则.首先，要明确目的性.教师要根据教学目标和学生的实际情况决定运用变式训练的方式及手段.只有在明确了教学目标后，教师才能分清什么是事物的本质特征，哪些是事物的非本质特征，从而有所取舍、有所侧重.其次，要坚持启发性.在教学过程中，教师要时常注意引导学生深入思考事物产生变化的原因，依照这种导向性方式才能根据学生的实际情况推进教学顺利进行.再次，要量力而行.根据教学的重难点以及初中学生的实际情况，要对实际教学有所侧重.也就是说，在充分考虑学生的适应及承受能力的情况下，把握好一个适度的原则，从而才能做好因人而异、因材施教.最后，要坚持适时性.教师要根据具体的教学过程适时引入变式训练.

二、引入变式训练的作用和意义

在初中数学教学中发现，很多学生解答数学题目只是单纯地套用公式，而不善于变通，只要题目的形式稍加改变，学生就会无所适从.在初中数学教学中引入变式训练，能够拓宽学生的思维，提高他们独立解题的能力.引入变式训练，既可以活跃课堂气氛，又能加深学生对数学知识的理解和运用，使原本枯燥无味的数学教学变得充满乐趣，进而激发学生的学习兴趣，培养他们的主观能动性与课堂回答问题的积极性，提高他们随机应变的能力.对于初中课堂教学以及初中生学习来说意义重大.

1.培养良好的学习兴趣，建立完善的认知结构.变式训练教学是把多种题型糅合在一起，给学生新颖、形象的感觉，从而激发学生学习数学的兴趣.学生的兴趣提高了，他们的积极性和主动性也会随之提升，进而让学生保持饱满的学习热情.变式训练要从学生的实际出发，通过加深问题的深度、拓展问题的广度来强化学生对于知识的理解能力.学生学习变式训练的过程就是构建完善的认知结构的过程，在解决变式问题时可以通过交流、讨论、归纳、分析、总结等方式，这有利于激发学生的灵感，从而培养学生的数学思维和理解能力.

2.提高学生的理解能力，加深课堂记忆.要通过变式训练提高学生对数学的理解能力就要运用实例分析的办法.例如，已知y跟x成反比例关系，当x=6时，y=3，当x=3时，y的值是多少？我们可以进行两种变式：（1）已知y是x的反比例函数，关系如下表.要求根据表中列出反比例函数的表达式，再根据表达式把表填写完整.（2）已知y与x+2成反比例关系，当x=4时，y=1，当x=1时，y的值是多少？可以看出，变式（1）是对原题的已知条件进行了变换，并把文字描述转换成表格的形式.而变式（2）则把x+2看为一个整体，从而培养学生整体综合性思考的能力.

3.让学生形成发散性思维，提升创新意识.在解答实际数学问题时，可以改变题目原来的条件或是结论，从而探索发现条件与条件之间微妙的内在联系.数学具有严谨性与逻辑性的特点，在设置变式问题时，教师要根据学生的实际情况和思维能力，通过简单的变式训练为学生搭建通往数学成功彼岸的桥梁.通过变式训练对问题进行层层剖析，从而凸显出问题的本质属性.这种方法，有利于培养学生的创新意识，促使学生形成发散性思维.

总之，在初中数学教学中，教师要通过变式训练把看似独立的问题用不同的角度去理解和剖析，从而形成完整的解题思路.教师也要注重运用变式训练调动学生在课堂上的积极性与主动性，激发他们的学习兴趣，从而营造良好的学习氛围，提升学习效率.教师还要鼓励学生勇于大胆创新和实践，培养学生独立思考及解决问题的能力.

第19篇：巧用变式解决数学问题)

巧用变式解决数学问题

变式训练是我们经常用的一种教学方式，它从多个方面锻炼学生的思维。在教学过程中，有些知识比较抽象，学生难以理解，不容易接受，要想帮助学生突破难点，需要因势利导的利用变式教学，培养学生的观察、分析、归纳、概括的能力。利用变式训练，可以把一些看似孤立的问题从不同角度整合起来，并形成一个规律，帮助学生在解答问题的过程中去寻找解决类似问题的思路、方法，有意识地展现教学过程中教师与学生数学思维活动的过程，充分调动学生学习的积极性、主动地参与教学的全过程，培养学生独立分析和解决问题的能力，以及大胆创新、勇于探索的精神，从而真正把学生能力的培养落到实处。学生也不需要大量、重复地做同一样类型的题目，为学生节约很多时间，实现真正的减负与增效。

变式训练能通过一个问题解决一类问题，变式训练其实就是适当的改变问题题目或者结论改变学生的思维角度，培养学生的应变能力，通过例题的层层变式，引导学生从不同途径寻求解决问题的方法。通过多想、多疑、多练等激发学生思维的积极性和深刻性。

变式训练是我们在平时的教学中采用得最多的一种策略，变式训练最常用的类型有：多变条件式，多解结论式。通过改变条件、问题、结论等的变式教学，让学生探索、发现问题之间的区别和联系，拓展学生的思维，培养学生的学习兴趣，增强创新意识和应变能力，提高学生的学习效率。 设计通过改变条件、改变问题、改变情景，一题多变，让学生有更多的思考空间，有更多的机会发现应用问题之间的关系，可以更深入的发现应用问题之间的区别、内在联系，解法的共性，从而拓展学生的思维，在变式教学中，让学生学会解决问题的方法，并加以归纳、总结，形成技巧，学会用这些方法解决其它问题，培养学生知识、方法的潜移默化的能力。数学的学习不仅是学习知识，更重要的是提高自己的思维能力，变式训练是很有效的手段，也是启迪学生思维、拓展学生思维的重要方法，因此加强变式训练对于我们提高课堂实效大有帮助，设置适当的典型例题和习题，可以引导学生更好地掌握知识，更好地培养和拓展学生的思维。

第20篇：初中数学中“变式训练

变式训练案例分析

变式训练是中学数学教学中的一种重要教学策略，在提高学生的学习兴趣、培养学生的数学思维和数学解题能力方面有着不可忽视的作用。通过变式训练可以使教学内容变得更加丰富多彩，使学生的思路更加宽广。所谓“变式训练”，就是有针对性地设计一组题，采用一题多解，多题一解，多图一题，一题多变，对此辨析，逆向运用等方法，对初始题目加以发展变化，从逻辑推理上演绎出几个或一类问题的解法，通过对一类问题的研究，迅速将相关知识系统化、结构化、网络化，提高解题能力。

教学案例：

（一）一题多图

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。

①当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，有DE=AD+BE，请说明为什么？ ②当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，有DE=AD－BE,请说明为什么？

①当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由。

感悟：

通过一题多图可以让学生掌握类比的数学思想。

（二）一题多变

一题多变主要在平面几何中用应广泛需要老师们认真总结练习。

1、（32-1）×（32+1）=。

2、（32-1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）…………（364+1）=

3、3×（32+1）×（34+1）×（38+1）…………（364+1）=

4、（32+1）×（34+1）×（38+1）…………（364+1）=

5、（32+1）×（34+1）×（38+1）…………（364+1）＋9=

感悟：

通过一题多变培养学生寻找共性，克服困难的信心，将知识网路化、系统化。

（三）一题多解

如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，求证：AD垂直平分EF。

方法

1、两次全等证明

方法

2、角平分线定理和一次全等综合证明。

方法

3、线段垂直平分线逆定理证明。

方法

4、“三线合一”证明。

感悟：

通过一题多解培养学生的发散思维和创新能力，使学生的能力大大提高。更能展现出教师的魅力。

变式训练并不是一朝一夕就可以成熟的，需要我们认真钻研大纲和教材把知识系统化、网路化用心对待！

《小学数学变式教学心得体会.doc》

将本文的Word文档下载到电脑，方便收藏和打印

推荐度：

点击下载文档