四边形证明
推荐第1篇：证明四边形
证明直角三角形全等
三组对应边相等的两个三角形全等（SSS）
两组对应边和一组对应的夹角相等的两个三角形全等（SAS）
两组对应角和一组对应的对边相等的两个三角形全等（AAS）
直角三角形中一组斜边和一组直角边相等的三角形全等（HL）
证明三角形相似
两三角形的对应边要的比例，所以“边边边”就是三条对应边的比例都相等“边角边”就是夹角相等的两边比例相等。
证明平行四边形
连结一条对角线，得到两个三角形，可证明它们全等，从而得到内错角相等，进而得到平行，由定义知是平行四边形
⑵由四边形内角和等于360°，而两组对角相等，因此四个内角的和变成一组邻角的和的两倍，即一组邻角的和是180°，得到一组对边平行，类似地可得另一组对边平行，从而得证
⑶由SAS可证全等，进而得到内错角相等，得到两组对边平行，问题得证证明菱形
1、一组邻边相等的平行四边形是菱形
2、四边相等的四边形是菱形
3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。
证明矩形
1.一个角是直角的平行四边形是矩形
2.对角线相等的平行四边形是矩形
3.有三个角是直角的四边形是矩形。
证明正方形
1：对角线相等的菱形是正方形。
2：有一个角为直角的菱形是正方形。
3：对角线互相垂直的矩形是正方形。
4：一组邻边相等的矩形是正方形。
5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
6：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。
7：对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形。
8：一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。
9：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。
推荐第2篇：四边形证明
1.已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．
（1）求证：BE = DF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四
边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
B
M D
2．已知：如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE分别交DC，BD于F，G，
点H为EF的中点．
求证：⑴ ∠DAG＝∠DCG；
⑵ GC⊥CH．(6分)
AD
B C E
3．小明在研究正方形的有关问题时发现有这样一道题：“如图①，在正方形ABCD中，
点E
是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE＝∠EAD．你能够得出什么样的正确的结论？”
⑴ 小明经过研究发现：EF⊥AE．请你对小明所发现的结论加以证明；
B F 图① D E C
⑵ 小明之后又继续对问题进行研究，将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”(如图②、图③、图④)，其它条件均不变，认为仍然有“EF⊥AE”．你同意小明的观点吗？若你同意小明的观点，请取图③为例加以证明；若你不同意小明的观点，请说明理由．(7分)
B 图②E F C 图③B F C
图④
4．如图，矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称，
(1)试说明：BD=ED=EG=BG；
(2)若矩形ABCD面积为2，求四边形BDEG的面积。(本题6分
)
5如图，点O是等边△ABC内一点，
∠AOB＝110º，∠BOC＝a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60º得△ADC，连结OD．
(1)求证：△COD是等边三角形；
(2)当a＝150º时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？
推荐第3篇：四边形证明练习题
四边形练习题
1.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
求证：四边形OCED是菱形．
2.如图，已知E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△FCE．
（2）连接AC．BF，若∠AEC=2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．
3.如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG=DC，CE=CF，点P是射线GC上一点，连接FP，EP．
求证：FP=EP．
4.如图，□ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且ED＝BF，EF与AC相交于点O.求证：OA＝
OC.5.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F， 点O既是AC的中点，又是EF的中点． (1)求证：△BOE≌△DOF； (2)若OA＝
BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请说明理由．
6.如图，在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E，且DE＝DC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并说明你的结论。
7.如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB和AD上的点，已知CE⊥BF，垂足为M，请找出和BE相等的线段，并说明你的结论。
D
EM
CB
8.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E． 求证：（1）△BFC≌△DFC；
（2）AD=DE．
A
F
9.已知：如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２ＢＣ，Ｅ，Ｆ在直线ＢＣ上， 且ＢＥ＝ＢC＝ＣＦ．求证：ＡＦ⊥ＤＥ．
10.如图所示，在△ABC中，∠A=90°，D、E分别是AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数是多少？
C
11.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B、C作过点A的垂线BC、CE，垂足分别为D、E，若BD=3，CE=2，则DE=
12.△DAC、△EBC均是等边三角形，AF、BD分别与CD、CE交于点M、N， 求证：（1）AE=BD（2）CM=CN（3）△CMN为等边三角形（4）MN∥BC
BA C
13.已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F 求证：AN=BM
求证：△CEF为等边三角形
将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）。
M
A 图1图
214.如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG 求证：（1）AD=AG
（2）AD与AG的位置关系如何
B
15.已知：如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，且BD=CD，
求证：（1）△BDE≌△CDF（2） 点D在∠A的平分线上
A
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H，交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE
BC
推荐第4篇：四边形证明解答题
天勤教育
1四边形解答证明题
1、已知：如图，E、F是平行四边形ABCD•的对角线AC•上的两点，AE=CF．
求证：四边形DEBF是平行四边形
2、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG.观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论；
3、菱形周长是24㎝，其中一个内角60°，求菱形对角线的长和面积
4.已知：如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形.
5.已知，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于
点F.求证：四边形AEDF是菱形.
CB
C
7、如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，BE和CF交于点P.求证：AP＝AB.
8、如图，已知点F是正方形ABCD的边BC的中点，CG平分∠DCE，GF⊥AF.求证：AF=FG.
9.菱形周长为40cm，它的一条对角线长10cm.
⑴求菱形的每一个内角的度数.
⑵求菱形另一条对角线的长.
⑶求菱形的面积.
10、已知：如图，⊿ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE平分 ∠ABC交AD于M，AN平分∠DAC，求证：平行四边形AMNE是菱形。
11.已知：平行四边形ABCD是，E，F分别是AB，CD的中点，AF，DE交于G，BF，CE交于点H，求证：平行四边形EHFG是平形四边形。
E
D
E
12.已知：⊿ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA＝30°，⊿ABD，⊿BCE均是在⊿ABC外的等边三角形，DE交AB于点F，求证：DF＝EF。
13.已知：⊿ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，DF⊥BC于G，P是AC的中点，求证：PE＝PF。
A
DN
14.已知：如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD上的点。（1） 若∠MAN＝45°，求证：MB＋ND＝MN 。 （2） 若MB＋ND＝MN，求证：∠MAN＝45°。
15、在
16、如图所示，四边形ABCD是平行四边形，且∠EAD＝∠BAF。① 求证：ΔCEF是等腰三角形； ② 察图形，ΔCEF的哪两边之和恰好等于
ABCD的周长？并说明理由。
ABCD中，E、F分别在DC、AB上，且DE＝BF。
求证：四边形AFCE是平行四边形。
B
M
C
A
E
C
B
AF
B
DC
17、如图所示，
18、如图所示，在ΔABC中，AE平分∠BAC交BC于E，DE∥AC交AB于D， 过D作DF∥BC交AC于F。求证： AD=FC
19..如图,
20、如图所示，在
21、如图所示，GH互相平分。
ABCD中，P是AC上任意一点，求证：SAPD＝SABP
A
F
B
D
G
C
ABCD中的对角线AC、BD相交于O，EF经过点O与AD延长线交于E，与CB延长线交于F。求证：OE=OF
ED
A
BA
ABCD 中,G是CD上一点,BG交AD延长线于E,AF=CG,DGE100.E
CB
EF
C
(1) 求证：DF=BG;(2)求AFD的度数.
A
C
D
ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，AF与BE相交于G，DF与CE相交于H，连结EF、GH。求证：EF、
AF
ED
22、如图，在□ABCD中，E、F、G、H分别是四条边上的点，且满足BE=DF,CG=AH,连接EF、GH。求证：EF与GH互相平分。
AB
F
D
推荐第5篇：四边形的证明练习题
四边形的证明练习题
1．如图，P是正方形ABCD内一点，∠BPC=135°，PB=2，PC=1，把△PBC绕点B逆时针旋转90°到
△EBA位置．
(1)问△PBE与△PAE各是什么形状的三角形?请说明理由；（4分） (2)你能求出PA的长吗?试试看．（4分）
22题图
2．如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC，AC、BD相交于点G，过点A作AE∥DB
交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE、BF相交于点H． (1)图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线）(3分) (2)证明四边形AHBG是菱形；(3分)
(3)若使四边形AHBG是正方形，还需在Rt△ABC的边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件．（不必证明）(2分)
F
题图
A
E
3． 如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，CF⊥BE交BD于点G，F是垂足，求证：四边形ABGE是等腰梯形。
D
B
4．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，CG⊥AB于G，对角线AC⊥BC于点O，EF是中位线，求证CC＝EF.
5．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，过C作CE∥AB且CE＝AB，连结DE交BC于F．求证：DF＝EF．
6．如图，梯形ABCD中，AD＝18cm，BC＝21cm，点
点Q从C点开始沿CB边向B以2m/s秒，求：
（1）t为何时，四边形ABQP为矩形？
（2）t为何时，四边形PQCD为等腰梯形？
ADB
推荐第6篇：四边形证明专题训练
2013年平行四边形证明专题训练
1、已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，求证：DE＝BF
2、如图，在□ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知点E、F分别为AO、OC的中点，•证明:四边形BFDE是平行四边形．
3、已知：如图，在□ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，E在AD上，BE＝12 cm，CE＝5 cm．求□ABCD的周长和面积．
4、已知：如图，在□ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF。求证：DE＝BF。（12分）
（1）求证：BE＝ DF；
（2）若AC，EF将平行四边形ABCD分成的四部分的面积相等，指出E点的位置，并说明理由．
6、平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD相交于O.(1) 图中有哪些三角形全等? 有哪些相等的线段?
(2) 若平行四边形ABCD的周长是20cm,△AOD的周长比△ABO的周长大6cm.求AB,AD的长.
5、如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过O点作直线EF分别交BC、AD于E、F．
A
D
B
7、如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE延长线上的点，且EF=DE，则图中的平行四边形有哪些？说说你的理由．
8、如图所示,已知在平行四边形ABCD中,E是边DA的延长线上一点, 且AE=AD,连结EC,分别交AB,BD于点
F,G,证明:AF=BF.9、已知：在□ABCD中，∠A的角平分线交CD于E，若DE:EC3:1，AB的长为8，求BC的长。
10、如图，已知四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于F,∠ADC的平分线DG交边AB于G.（1）求证：AF=GB;（2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG为等腰三角形，并说明理由。
E
A
FB
D
C
A B
11、已知：如图， □ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，•H，•求证：•四边形EFGH是矩形．
12、已知：如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF＝CE 求证：（1）△ABC是等腰三角形；
（2）当∠A＝90时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你判断的结论。
13、如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F.求证：BE=CF.14、如图,EB=EC,EA=ED,AD=BC, ∠AEB=∠DEC,证明:四边形ABCD是矩形.
15、已知：如图ABC中，AD是BAC的角平分线，DE∥AC，DF∥AB。证明：四边形AEDF是菱形。对于这道题，小林是这样证明明的。证明：因为AD平分BAC，所以∠1＝∠2,
因为DE∥AC，所以∠2＝∠
3因为DF∥AB，所以∠1＝∠4 又AD=AD,所以△AED≌△AFD.所以AE＝AF,DE=DF.所以四边形AEDF是菱形.
老师说小林的解题过程有错误，你能看出来吗？
⑴请你帮小林指出他的错误是什么？（先在解答过程中划出来，再说明他错误的原因）⑵请你帮小林做出正确的解答。
16、如图，已知AD是Rt△ABC斜边BC上的高，∠B的平分线交AD于M，交AC于E点，∠DAC的平分线交CD于点N，证明四边形AMNE是菱形。
17、如图,矩形ABCD中,O是AC与BD的交点,过O点的直线EF 与AB、CD延长线分别交于E、F.(1)证明:△BOE≌△DOF.(2)当EF与AC满足什么条件时,四边形AECF是菱形,为什么?
A
BF
A
BCD
18、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，M、N、P、Q分别为AD、BC、BD、AC的中点。求证：MN和PQ互相平分。
P
Q
A
M
D
19、如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是48cm．求：
（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．
B
N
C
A
O
B
D
C
20、（2011年江西省）如图，四边形ABCD为菱形，已知A(0，4)，B(－3，0)．(1)求点D的坐标；(2)求经过点C的反比例函数解析式．
21、已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．
（1）求四边形CEFB的面积；
（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；
（3）若BEC15，求AC的长．
推荐第7篇：中考22题四边形证明
2011年中考第二轮专题复习
（中考解答题22题四边形证明题专题训练）
B90°，C45°，AD1，BC4，E为AB的中点，EF∥DC1．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，
交BC于点F，求EF的长．
A E F
C
2．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB6，AE9，DE2，求EF的长．
3．（本题满分10分）
A
D F
B
C
公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测得BCCD10米，BC120°，A45°．请你求出这块
草地的面积．
B
C
4．如图，四边形ABCD与四边形DEFG都是矩形，顶点F在BA的延长线上，边DG与AF交于点H，AD4，DH5，EF6，求FG的长．
5.如图，在△ABC中，ACB90°，ACBC．CE⊥BE，CE与AB相交于点F.AD⊥CF于点D，且AD平分FAC.请写出图中两对全等三角形，并选择其中一对加以证明.．．
C
第4题
E
B
A
6．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AEAC．
（1）求证：BGFG；
（2）若ADDC2，求AB的长．
G
C
7．（本题7分）
如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，连结PA、PC． （1）证明：PABPCB；
24题图
（2）在BC上取一点E，连结PE，使得PEPC，连结AE，判断△PAE的形状，并说明理由．
D
8．（本题满分10分，每小题满分各5分）
如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，ABDC8，B60°，BC12，联结AC． （1）求tanACB的值；
（2）若M、N分别是AB、DC的中点，联结MN，求线段MN的长．
C
（第24题）
B
9．（本小题满分8分）
图
4C
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，C90°，E为CD的中点，EF∥AB交BC于点F．（1）求证：BFADCF；
（2）当AD1，BC7，且BE平分ABC时，求EF的长．
第2题图
10．（本题满分12分，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分5分）
已知梯形ABCD中，AD//BC，ABAD (如图7所示)．BAD的平分线AE交BC 于点E，联结DE．
D (1) 在图7中，用尺规作BAD的平分线AE(保留作 图痕迹，不写作法)，并证明四边形ABED是菱形； (2) 若ABC60，EC2BE，求证：EDDC．
11.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为边AB、AD的中点，连接EF、OE、OF.求证：四边形AEOF是菱形.F
12.已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．
（1）求证：BE = DF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊
四边形？并证明你的结论．
D
F
13．(6分)
已知：正方形ABCD中，E、F分别是边CD、DA上的点，且CE=DF，AE与BF交于点M． （1）求证：△ABF≌△DAE；
（2）找出图中与△ABM相似的所有三角形（不添加任何辅助线）．
B
M
B
O
D
B
图
3C
第19题图
A
FDEC
B
14．（7分）如图所示，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE，DG． （1）求证：BEDG．
（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由．
15．为了向建国六十周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级（3）班开展了手工制作竞赛，每
个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第
一、二个步骤是：①先裁下了一张长的矩形纸片ABCD，②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处，……
请你根据①②步骤解答下列问题： （1）找出图中∠FEC的余角； （2）计算EC的长． ．
16．（本小题满分8分）
已知：如图，在ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC． （1）求证：BEDG；
（2）若B60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论．
17．（本小题满分8分）
B
E F
第21题图
C B
F
E C
A
D
BC20cm，6mc宽AB1
A B
F
C
G
D
如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落到点B的位置，AB与CD交于点E． （1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；
（2）若AB8，DE3，P为线段AC上任意一点，PGAE于G，PHEC于H．试求PGPH的值，并说明理由．
C
P
B
推荐第8篇：四边形的证明与计算
四边形的证明与计算
（时间：100分钟总分：100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．下列命题正确的是（）
A．对角线互相平分的四边形是菱形；
B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形；
D．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.2．平行四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D四个角的度数比可能是（）
A．1：2：3：4B．2：3：2：3C．2：2：3：3D．1：2：2：
33．如果菱形的边长是a，一个内角是60°，那么菱形较短的对角线长等于（）
1A．2aB
．2aC．aD
4．用形状、大小完全相同的图形不能进行密铺的是（）
A．任意三角形B．任意四边形C．正五边形D．正四边形
5．已知一个等腰梯形的下底与上底之差等于一腰长，•则这个等腰梯形中的较小的角的度数为（）
A．30°B．60°C．45°D．75°
6．已知四边形ABCD中，在①AB∥CD；②AD=BC；③AB=CD；④∠A=∠C四个条件中，不能推出四边形ABCD是平行四边形的条件是（）．
A．①②B．①③C．①④D．②③
7．如图1，ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC=12，BD=10，则AB的长m•取值范围是（）
A．1
5
（1）(2)(3)(4)
8．如图2，两张宽度相等的纸条交叉重叠，重合部分是（）
A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形
9．如图3，ABCD中，P是对角线BD上的任意一点，过点P作EF∥BC，HG∥AB，•则下列说法不正确的是（）
A．SAEPG=SPHCFB．图中有3对全等三角形
C．图中共有9个平行四边形D．SAEFD≠SGHCD
10．如图4，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，•E为垂足，连结DF，则∠CDF等于（）
A．80°B．70°C．65°D．60°
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．如图5，ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于E，且AD=a，AB=b，用含a、b的代数式表示EC，则EC=________．
(5)(6)(7)(8)
12．如图6，平行四边形ABCD中，E是BC中点，且AE=9，BD=12，AD=10，则该平行四边形的面积是_________．
13．已知菱形的周长为20cm，两对角线之和为14cm，则菱形的面积为_____cm2．
14．以边长为2cm的正方形的对角线为边的正方形的面积为________cm2．
15．一个多边形的每个外角都是36°，则这个多边形的边数是________．
16．矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD，若矩形的周长为48cm，则矩形ABCD的面积为_______cm2．
17．如图7，若将四根木条钉成矩形木框，再变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的度数为_______．
18．如图8，菱形ABCD的对角线长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_______．
三、解答题（本大题共46分，19～23题每题6分，24题、25题每题8分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．如图，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，•垂足分别为E、F．求证：（1）△BDE≌CDF．（2）△ABC是直角三角形时，四边形AEDF是正方形．
20．如图，ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且AE=CF，问：四边形EBFD是平行四边形吗？为什么？
21．如图，圆A、圆B、圆C、圆D、圆E、圆F相互外离，它们的半径都是1，顺次连结这
六个圆心，得到六边形ABCDEF．
求：（1）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．（2）求图中阴影部分的面积之和．
22．如图，ABCD中，O是对角线AC的中点，EF⊥AC交CD于E，交AB于F，问四边形AFCE是菱形吗？请说明理由．
23．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，
求梯形的面积．
24．如图，正方形ABCD和正方形A′OB′C′是全等图形，则当正方形A•′OB′C′绕正方形ABCD的中心O顺时针旋转的过程中．
（1）四边形OECF的面积如何变化．
（2）若正方形ABCD的面积是4，求四边形OECF的面积．
25．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P•从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB以3cm/s的速度向点B运动．P、Q同时出发，当其中一点到达顶点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为ts，•问t为何值时．
（1）四边形PQCD是平行四边形．（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形．
答案:
一、选择题
二、
推荐第9篇：中点四边形猜想与证明
中点四边形猜想与证明
大连市第四十四中学初二八班***
猜想：四边形中点连线为平行四边形
即：如图1-1，在四边形ABCD中，E、F、G、H为四边中点
求证：四边形EFGH为平行四边形
证明：如图∵E、F为AD、AB的中点
∴EF//BD（三角形的中位线平行于第三边）
同理：HG//BD
∴HG//EF（如果两条直线都与第三条直线平行
，那么这两条直线也互相平行）
同理：EH//FG
∴四边形EFGH是平行四边形
（两组对边分别平行的四边形是平行
四边形）
FH
图1-1图1-2 B
那么：由已知条件：EF=HG=1/2BDFG=EH=1/2AC(三角形中位线定理)因为“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，
所以当EF=GF时，即1/2BD=1/2AC，即BD=AC时，平行四边形EFGH是菱形
猜想：当一个四边形的两条对角线相等时，其中点四边形是菱形。
例如：矩形的对角线相等
则：如图1-2，在矩形ABCD中，E、F、G、H为四边中点。
求证：四边形EFGH是菱形
证明：∵E、F为AD、AB的中点
∴EF=1/2BD（三角形的中位线等于第三边的一半）
同理：HG=1/2BD
∴HG=EF=1/2BD（等量代换）
同理：EH=FG=1/2AC
∴四边形EFGH是平行四边形
（两组对边分别相等的四边形是平行
四边形）
∵AC=BD
∴1/2AC=1/2BD
即：EF=GF
∴平行四边形EFGH是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）
同理上结论思路：
由已知条件：EF//HGFG//EH(三角形中位线定理)
因为“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，
所以当∠EFG=90°时，即∠1=90°，即∠AOB=90°时，平行四边形EFGH是矩形。
猜想：当一个四边形两对角线互相垂直时，其中点四边形为矩形。
例如：菱形的对角线互相垂直。
则：如图1-3，在菱形ABCD中，E、F、G、H为四边中点。
求证：四边形EFGH是矩形
证明：∵E、F为AD、AB的中点
∴EF//BD（三角形的中位线平行于第三边）
同理：HG//BD
∴HG//EF（如果两条直线都与第三条直线平行，
那么这两条直线也互相平行）
同理：FG//AC；EH//FG
∴四边形EFGH是平行四边形
（两组对边分别平行的四边形是平行
四边形）
∵四边形ABCD是菱形
∴∠AOB=90°（菱形的对角线互相垂直）
∴∠FNO=∠AOB=90°（两直线平行，内错角相等）
∴∠EFG=∠FNO =90°（两直线平行，同位角相等）
∴平行四边形EFGH是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
BF
H
图1-3图1-
4那么：因为正方形同时是矩形和菱形，所以满足同时使中点四边形为矩形和菱形的四边形，
其中点四边形则可能是正方形。
猜想：当一个四边形的两对角线相等且互相垂直时，其中点四边形是正方形。
例如：正方形的对角线相等且互相垂直。
则：如图1-4，在正方形ABCD中，E、F、G、H为四边中点。
求证：四边形EFGH是正方形
证明：∵E、F为AD、AB的中点
∴EF//BD；EF=1/2BD（三角形的中位线平行于
第三边且等于第三边的一半）
同理：HG//BD；HG=1/2BD
∴HG//EF（如果两条直线都与第三条直线平行，
那么这两条直线也互相平行）
HG=EF=1/2BD（等量代换）
同理：EH//AC//FG；EH=FG=1/2AC
∴四边形EFGH是平行四边形
（两组对边分别平行的四边形是平行
四边形）
∵四边形ABCD是正方形
∴∠AOB=90°（正方形两对角线互相垂直）
AC=BD（正方形两对角线相等）
∴∠FNO=∠AOB=∠FNO =90°
（两直线平行，内错角相等；
两直线平行，同位角相等）
1/2AC=1/2BD
即：EF=GF
∴平行四边形EFGH是正方形
（有一个角是直角且有一组邻边相等的四边形是正方形）
2010/4
推荐第10篇：四边形几何证明综合应用
1.已知：如图，E、F在ABCD的对角线BD上，BF＝DE， B
求证：四边形AECF是平行四边形．
C
2．如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE＝PB.（１）求证：① PE＝PD ； ② PE⊥PD； （２）设AP＝x, △PBE的面积为y.
① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.
B
E
D
3.如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E 与A，D不重合），
G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．
（1）证明四边形EGFH是平行四边形； （2）在（1）的条件下，若EFBC，且EF证明平行四边形EGFH 是正方形．
E
H
D
BC，
2B
F
C
4．如图，在直角梯形ABCD中,AD//BC,∠B=900,AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm,动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动.点P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动.设运动时间为t秒.求:
(1).t为何值时,四边形PQCD为平行四边形? (2).t为何值时,四边形ABQP为矩形?
5．如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∠1＝15°． (1)求∠2的度数．(2)求证：BO＝BE．
A
B
C
6．已知：如图，D是△ABC的边BC上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，
且BF＝CE．当∠A满足什么条件时，四边形AFDE是正方形?请证明你的结论．
7．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．
8．已知：如图，在正方形ABCD中，AC、BD交于点O，延长CB到点F，使
BF＝BC，连结DF交AB于E．求证：OE＝()BF(在括号中填人一个适当的常数，再证明)．
9．(12分)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得
到△FEC．
(1)试猜想线段AE与BF有何关系?说明理由．
(2)若△ABC的面积为3 cm2，请求四边形ABFE的面积．(3)当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形?说明理由．
10.已知：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD相交与点O。求证：OB=OC
11、如图，△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC，
求证：四边形AEDF是菱形。
12、如图所示，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C
′′于E，AD=8，AB=4，求△BED的面积。
13、如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点（点G
与C、D
不重合），以ＣG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连结DE交BG的延长线于H。
（1）求证：①△BCＧ≌△DCE 。②ＢＨ⊥ＤＥ.（2）试问当点G运动到什么位置时，BH垂直平分ＤＥ？请说明理由。
14．四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，AC⊥和□ABCD的面积。
15．□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB=4， 求□ABCD的面积。（10分）
16．AE//BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD.求证：四边形ABCD是菱形。
17．等腰梯形ABCD中，它的周长为29，AD//BC，∠1=∠C，AD=5， △ABE的周长是多少？
18．直线l是线段AB的垂直平分线，C是直线l上一动点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F。 （1）求证：CE = CF；
（2）当C运动到什么位置时，四边形CEDF成为正方形？请说明理由。（11分）
19．梯形ABCD中，AD//CB，AD=2，BC=8，AC=6，BD=8， 求梯形ABCD的面积。
20．四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE.（1）求证：四边形ACED是等腰梯形； （2）求梯形ACED的周长和面积。
21、如图，在平行四边形ABCD中，E、A、C、F四点在一条直线，且AE=CF 求证：DE=BF
E
22、在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别为AD、BC的中点，E、F分别为BM、CM的中点。
（1）求证：四边形MENF是菱形 （2）若四边形MENF是正方形， 则梯形ABCD的高与底边BC有何关系？
23、平行四边形的周长为20cm ，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=2 cm，AF=3 cm，求
平行四边形ABCD的面积。（5分）
24、如图，菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E、F为垂足，AE=ED，求∠EBF的度数。
（5分）
25、在梯形ABCD中，DC∥AB，E是DC延长线上一点，BE∥AD，BE=BC，∠E=50o，
试求梯形ABCD的各角的度数。请问此时梯形ABCD是等腰梯形吗？为什么？（5分）
26、如图，已知在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AB⊥AD，底AD=6，斜腰CD的垂直平分线EF交AD于G，交BA的延长线于F，连结CG，且∠D=45o，（1）试说明ABCG为矩形；（2）求BF的长度。(6分)
27、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，∠C=30°，AD=2，BC=8。求：梯形两腰AB、CD的长。
B
第15题图形
A
D
C
28、已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，DE//AC，交BC的延长线于点E，EF⊥AB于点F，求证：AD=CF。
B
29、如图已知△ABC，过顶点A作∠B、∠C的平分线的垂线，AF⊥BF于F，AE⊥CE于E．
求证：EF//BC．
30、四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG． （1）求证：AE=CG；
（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，
并证明你的猜想．
31、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM
的平分线，CE⊥AN，垂足为点E， （1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？ 并给出证明．
N
32、等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，DE⊥BC于E，AE=BE．BF⊥AE于F，请你
判断线段BF与图中的哪条线段相等，先写出你的猜想，再加以证明．（6分）（1）猜想：BF=______．
（2）证明：
33、矩形ABCD中，O是AC与ＢＤ的交点，过O点的直EF与AB、CD的延长线分别交于E、F。
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）EF
与AC
满足么条件时，四边形AECF
第11篇：数学四边形证明经典题
数学选讲四边形证明经典题.2.已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．
（1）求证：BE = DF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊
四边形？并证明你的结论．
A
B
F
D M
B
D 3.如图，ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），
AD，作BEAD，垂足为E，连结CE，过点E作EFCE，交BD于F． （1）求证：BFFD；
（2）A在什么范围内变化时，四边形ACFE是梯形，并说明理由；
（3）A在什么范围内变化时，线段DE上存在点G，满足条件DGDA，并说明理由．
4连结
4.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是线段AD上的一个动点(E与A、D不重合)，G、F、H分别是BE、BC、CE的中点．
(1)试探索四边形EGFH的形状，并说明理由．
(2)当点E运动到什么位置时，四边形EGFH是菱形?并加以证明．
(3)若(2)中的菱形EGFH是正方形，请探索线段EF与线段BC的关系，并证明你的结论．
E
D(第29题图)
5.如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE、等边△BCF．
C
(1)求证：四边形DAEF是平行四边形；
(2)探究下列问题：(只填满足的条件，不需证明)
①当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是矩形； ②当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是菱形；
③当△ABC满足_________________________条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在． 6.如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过A作AG⊥EB于G，AG交BD于点F，则OE＝OF，对上述命题，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，
说明理由。
A
D
A
B
CD
E
G
B
问题一图
1F第2题图
C
7、在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且＞0），阅读下列材料，然后回答下面的问题：
如上图，连结BD∵
AEBE
＝
FCBF
＝
GCDG
＝
AHHD
＝k（k
AEBE
＝
AHHD
，
FCBF
＝
GCDG
∴EH∥BD，FG∥BD
①连结AC，则EF与GH是否一定平行，答：； ②当k值为时，四边形EFGH是平行四边形；
③在②的情形下，对角线AC和BD只需满足条件时，EFGH为矩形； ④在②的情形下，对角线AC和BD只需满足条件时，EFGH为菱形；
8.如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且EF∥AC，在DA的延长线上取一点G，使AG＝AD，EG与DF相交于点H。求证：AH＝AD。
S
B
P
AB
例1图
第4题图
9、如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，∠ACD＝60，点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点。
（1）求证：△PQS是等边三角形； （2）若AB＝8，CD＝6，求SPQS的值。
（3）若SPQS∶SAOD＝4∶5，求CD∶AB的值。
10.将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑行，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q。
探究：设A、P两点间的距离为x。
（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的关系？试证明你观察得到的结论； （2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为定义域；
（3）当点P在线段AC上滑行时，△PCQ是否可能成为等腰三角形，如果可能，指出所有能使△PCQ成
y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的
为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x值；如果不可能，请说明理由（题目中的图形形状大小都相同，供操作用）。
A
D
A
D
A
D
BC
BC
BC
11、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．
求证：CE＝CF．
12、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F． 求证：AE＝AF.
第12篇：证明方法四边形必备初中
证明线段垂直
一．相交线、平行线： 1．相交直线邻补角相等。
2．a垂直b，c平行a，则c垂直b
二．三角形中：
1．等腰三角形三线合一。 2．勾股定理逆定理。
3．三角形三条边上的高所在直线交于同一点。
三．四边形中：
1．菱形对角线互相垂直。 2．矩形邻边互相垂直。
四．圆中： 1．垂径定理。 2．切线性质定理。 3．圆周角定理推论。
4．相交两圆连心线垂直平分公共弦。
五．图形运动：
1．图形翻折，对称轴垂直平分对应点连线。
六．角度计算：
证明线段平行
一．相交线、平行线： 1．同位角相等。 2．内错角相等。 3．同旁内角互补。 4．平行线的传递性。
5．垂直同一条直线的两条直线平行。
6．比例线段。
二．三角形中： 1．三角形中位线。
三．四边形中：
1．平行四边形对边平行。 2．梯形两底平行。 3．梯形中位线平行两底。
四．图形运动：
1．图形平移对应边平行，对应点连线平行。 2．图形翻折对应点连线平行。
五．平面直角坐标系：
1．一次函数斜率相等，两直线平行。 六．向量：
1．向量a=k向量b，k不等于0，向量a，向量b不为0向量，向量a所在直线与向量b所在直线平行或重合。
证明角相等的方法 一．相交线、平行线： 1．对顶角相等。
2．等角的余角（或补角）相等。
3．两直线平行，同位角相等、内错角相等。 4．凡直角都相等。
5． 角的平分线分得的两个角相等。
二．三角形中：
1．等腰三角形的两个底角相等。
2．等腰三角形底边上的高（或中线）平分顶角（三线合一）。 3．三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相邻的内角之和 。 4．全等形中，一切对应角都相等。 5．相似三角形的对应角相等。
三．四边形中：
1．平行四边形对边相等，对角线相互平分。 2．菱形的每一条对角线平分一组对角。 3．等腰梯形在同一底上的两个角相等。
四．圆中：
1．在同圆或等圆中，若有两条弧相等或有两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等。 2．在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等.。
3．圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 4．圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；并且每一个外角都等于它的内对角。 5．三角形的内心的性质：三角形的内心与角顶点的连线平分这个角。 6．正多边形的性质：正多边形的外角等于它的中心角.。
7．从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角。 五．角运算：
1．利用等量代换、等式性质 证明两角相等。 2．利用三角函数计算出角的度数相等。
证明线段相等的方法 一．常用轨迹中：
1．两平行线间的距离处处相等。
2．线段中垂线上任一点到线段两端点的距离相等。 3．角平分线上任一点到角两边的距离相等。
4．若一组平行线在一条直线上截得的线段相等，则在其它直线上截得的线段也相等。
二．三角形中：
1．同一三角形中，等角对等边。（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等） 2．任意三角形的外心到三顶点的距离相等。 3．任意三角形的内心到三边的距离相等。
4．等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边。 5．直角三角形中，斜边的中点到直角顶点的距离相等。 6．有一角为60°的等腰三角形是等边三角形。
7．过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。
8．同底或等底的三角形，若面积相等，则高也相等。同高或等高的三角形，若面积相等，则底也相等。
三．四边形中：
1．平行四边形对边相等，对角线相互平分。
2．矩形对角线相等，且其的交点到四顶点的距离相等。 3．菱形中四边相等。
4．等腰梯形两腰相等、两对角线相等。
5．过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。
四．正多边形中：
1．正多边形的各边相等。且边长
2．正多边形的中心到各顶点的距离(外接圆半径R )相等、各边的距离(边心距 ) 相等。 且
五．圆中：
1．同圆或等圆的半径相等、直径相等；等弧或等圆心角、等圆周角所对的弦、弦心距相等。 2．同圆或等圆中，等弦所对的弦心距相等，等弦心距所对的弦相等。 3．任意圆中，任一弦总被与它垂直的半径或直径平分。 4．自圆外一点所作圆的两切线长相等。
5．两相交或外切或外离圆的二公切线的长相等；两外离圆的二内公切线的长也相等。 6．两相交圆的公共弦总被连心线垂直平分。 7．两外切圆的一条外公切线与内公切线的交点到三切点的距离相等。 8．两同心圆中，内圆的任一切线夹在外圆内的弦总相等且都被切点平分。
六．全等形中：
1．全等形中，一切对应线段（对应的边、高、中线、外接圆半径、内切圆半径……）都相等。
七．线段运算：
1．对应相等线段的和相等；对应相等线段的差相等。
2．对应相等线段乘以的相等倍数所得的积相等；对应相等线段除以的相等倍数所得的商相等。
3．两线段的长具有相同的数学解析式，或二解析式相减为零，或相除为1，则此二线段相等。
第13篇：特殊四边形的证明经典必考题
特殊四边形的证明姓名：
1、如图，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=2AB，求证：∠AOD=120° A
OD
BC
2、探究证明：
（1）如图，四边形ABCD的对角线为AC、BD，且AC=BD，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、AD边上的中点，猜想四边形EFGH是什么样的图形，并证明；
A
EH
D
F
CGB
（2）如图，四边形ABCD的对角线为AC、BD，且AC⊥BD，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、AD边上的中点，猜想四边形EFGH是什么的图形，并证明；
A
E
B
F
CGHD
（3）如果将一个四边形每个边的中点依次连接起来形成的四边形叫做这个四边形的中点四边形，那么自己讨论证明平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形的中点四边形的形状，并总结一个四边形的中点四边形的形状由原来四边形的什么来决定；
3、如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AB=6，BC=8，P是AD上一点，且PH⊥AC，PK⊥BD，求PH+PK的值；
A
H
O
BPDC
4、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC⊥BD与点O，∠BAC=60°，若
，求此梯形的
面积；
A
O
BDC
5、如图，平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD与点E，AB=8，BC=10，则
D
AED
O
AC
B
6、如图，菱形对角线AC、BD交于点O，且AC=8，BD=6，过O做OH⊥AB与点H，则；
7、如图，在ABCD中，AE、DF分别为∠BAD和∠ADC的平分线，AE、DF相交于点G；
（1）求证：AE⊥DF AD（2）若AD=10，AB=6，AE=4，求DF的长；
BCFE
CHB
8、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB的中点；
求证：四边形BCDE是菱形
DC
AEB
9、在正方形ABCD中，E为对角线上一点，连接EB、ED，
（1）求证：∠CDE=∠CBE
（2）延长BE交AD与点F，若∠DEB=140°，求∠AFE的度数；
DF
EA
CB
10、已知等腰梯形的底边长分别为2㎝和8㎝，高为4㎝，则一腰长为
211、已知菱形的两条对角线长分别为12㎝和6㎝，那么这个菱形的面积为。
12、矩形一个角的平分线分矩形一边为1㎝和3㎝两部分，则这个矩形的面积为
13、下列说法正确的是 （）
A.一组对边相等的四边形是平行四边形
B.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C.一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形
D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形
14、平行四边形两个邻角的角平分线所成的角是（）
A .锐角B.直角C.钝角D.不能确定
15/△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC，DF∥AB。
求证：四边形AEDF是菱形。
16、如图所示，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C，BC交AD于E，AD=8，AB=4，求△
BED的面积。 ′′
17、如图，O为平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，EF经过点O，且与边CD、AB分别交于点E、F，则图中的全等三角形有 ()
A.2对B.3对C.5对D.6对
18、如图，在梯形ABCD中AＤ∥ＢＣ，对角线AC⊥ＢＤ，且ＡＣ＝12，ＢＤ＝9，则AD+BC= （）
A.20B.21 C.15D.2
419、四边形ABCD，仅从下列条件中任取两个加以组合，使得ABCD是平行四边形，一共有多少种不同的
组合？（）
AB∥CDBC∥ADAB=CDBC=AD
A、2种B、3种C、4种D、6种
第14篇：四边形证明及计算提高练习
特殊四边形证明及计算提高练习
平行四边形
1．（2012•威海）（1）如图①，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．
求证：AE=CF．
（2）如图②，将▱ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I． 求证：EI=FG．
2．（2007•黑龙江）在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．若点P在BC边上（如图1），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB．
请直接应用上述信息解决下列问题：
当点P分别在△ABC内（如图2），△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明．
3．（2006•泰安）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若∠BAD的平分线与FC的延长线交于点G，则△ACG是等腰三角形吗？并说明理由．
4．如图，以△ABC三边为边在BC同侧作三个等边△ABD、△BCE、△ACF．请回答下列问题：
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形．
菱形
5．（2010•盘锦）如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．
（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF=CD；
（2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；
（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
6．（2009•龙岩）在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A⇒B⇒C向终点C运动，连接DM交AC于点N．
（1）如图1，当点M在AB边上时，连接BN：
①求证：△ABN≌△ADN；
②若∠ABC=60°，AM=4，∠ABN=α，求点M到AD的距离及tanα的值．
（2）如图2，若∠ABC=90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．
7．（2001•河北）如图，在菱形ABCD中，AB=10，∠BAD=60度．点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动；设点M移动的时间为t秒（0≤t≤10）．
（1）点N为BC边上任意一点，在点M移动过程中，线段MN是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分并说明理由；
（2）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动，在什么时刻，梯形ABNM的面积最大并求出面积的最大值；
矩形
8．（2002•无锡）已知：如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，E、F分别是AB、CD的中点．
（1）在边AD上取一点M，使点A关于BM的对称点C恰好落在EF上．设BM与EF相交于点N，求证：四边形ANGM是菱形；
（2）设P是AD上一点，∠PFB=3∠FBC，求线段AP的长．
9．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．
（1）如图1，证明平行四边形ECFG为菱形；
（2）如图2，若∠ABC=90°，M是EF的中点，求∠BDM的度数；
（3）如图3，若∠ABC=120°，请直接写出∠BDG的度数．
10．如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6．△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE、AC和BE相交于点O．
（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；
（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为点R．四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积．
11．（2005•淮安）已知：平行四边形ABCD的对角线交点为O，点E、F分别在边AB、CD上，分别沿DE、BF折叠四边形ABCD，A、C两点恰好都落在O点处，且四边形DEBF为菱形（如图）．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在四边形ABCD中，求的值．
12．如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．
（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；
（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；
（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．
13．如图：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．
（1）判断△BEC的形状，并说明理由？
（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；
（3）求四边形EFPH的面积．
正方形
14．（2012•黑龙江）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，若点D在线段BC上，以AD为边长作正方形ADEF，如图1，易证：∠AFC=∠ACB+∠DAC；
（1）若点D在BC延长线上，其他条件不变，写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系，并结合图2给出证明；
（2）若点D在CB延长线上，其他条件不变，直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式．
15．（2012•常德）已知四边形ABCD是正方形，O为正方形对角线的交点，一动点P从B开始，沿射线BC运动，连接DP，作CN⊥DP于点M，且交直线AB于点N，连接OP，ON．（当P在线段BC上时，如图1：当P在BC的延长线上时，如图2）
（1）请从图1，图2中任选一图证明下面结论：①BN=CP；②OP=ON，且OP⊥ON；
（2）设AB=4，BP=x，试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系．
16．（2011•阜新）如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB=PE，连接PD，O为AC中点．
（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；
（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；
（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．
17．如图，四边形ABCD是正方形，点P是BC上任意一点，DE⊥AP于点E，BF⊥AP于点F，CH⊥DE于点H，BF的延长线交CH于点G．
（1）求证：AF﹣BF=EF；
（2）四边形EFGH是什么四边形？并证明；
（3）若AB=2，BP=1，求四边形EFGH的面积．
18．如图，在正方形ABCD中，点M在边AB上，点N在边AD的延长线上，且BM=DN．点E为MN的中点，DE的延长线与AC相交于点F．试猜想线段DF与线段AC的关系，并证你的猜想．
19．以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，试探究：
（1）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？
第15篇：初三 四边形证明复习及习题
初三（
）班
姓名：
学号：
一、【考点链接】
1、n边形的内角和为
2、平面图形的镶嵌：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个_________时，就拼成一个平面图形.某商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（） A．4种B．3种C．2种D．1种
3、平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质：
4、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的判定定理，具体“2010版公式定理汇编”
_ 四边形
5、中点四边形
如图：四边形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，顺次连结E、F、G、H，得到： ⑴.四边形一定是形
⑵.当AC与BD满足_______时，四边形EFGH为矩形；
F ⑶.当AC与BD满足_______时，四边形EFGH为菱形；
D
⑷.当AC与BD满足___ ____时，四边形EFGH为正方形。
二、【中考演练】
6、在下列命题中，是真命题的个数有（）
①两条对角线互相垂直的四边形是矩形②两条对角线相等的四边形是菱形
③两条对角线相等的四边形是平行四边形④两条对角线互相平分的梯形是等腰梯形 ⑤两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D A 0个B.1个C.2个D.3个
7、下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是()A.AB∥CD，AD=BC
B.AB=AD，CB=CD
B
C.∠B=∠C，∠A=∠DD.AB=CD，AD=BC
8、如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）
A D A、当AB=BC时，它是菱形B、当AC⊥BD时，它是菱形 C、当∠ABC=900时，它是矩形D、当AC=BD时，它是正方形
9、若正方形的一条对角线长为2cm，则这个正方形的面积是
10、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相 交于点O，以下四个结论：①ABCDCB ，②OA=OD ， ③BCDBDC，④SAOB=SDOC，其中正确的是（） A.①②B.①④C.②③④D.①②④
11、如图，菱形ABCD的周长为52cm，其中对角线AC长24cm 求：（1）对角线BD的长度；（2）菱形ABCD的面积．
A
B
12.如图，梯形ABCD中，AD∥BC, ∠1=∠2.求证： 四边形ABCD是等腰梯形.13.如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AFCE，DFBE，DF∥BE． 求证：（1）△AFD≌△CEB．
C （2）四边形ABCD是平行四边形．
F
14已知：在△ABC中，ABAC，ADBC，垂足为点D，AN是△ABC外角CAM的平分线，CEAN，垂足为点E． （1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
15（08科研）如图，梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2CD，E、F分别是AB、BC中点，EF与BD相交于点M。 （1）求证：△EDM∽△FBM
（2）若梯形ABCD的面积等于18，求△EDM的面积
★
★
A
C
FB
第16篇：九年级数学上四边形证明测试题
九年级数学上四边形证明测试题
一、精心选一选，相信自己的判断！（每小题3分，共30分）
1、四边形的四个内角中，最多时钝角有
A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个
2、四边形具有的性质是
A对边平行B轴对称性C稳定性D不稳定性
3、一个多边形的每一个外角都等于72，则这个多边形的边数是
A四边B五边C六边D七边
4、下列说法不正确的是
A平行四边形对边平行B两组对边平行的四边形是平行四边形
C平行四边形对角相等D一组对角相等的四边形是平行四边形
5、一个等腰梯形的两底之差为12，高为6，则等腰梯形的锐角为
A30B 45C 60D 75
6、平行四边形的两条对角线将此平行四边形分成全等三角形的对数是
A 2 对B3对C 4对D 5 对
7、菱形具有而平行四边形不具有的性质是
A .内角和是360°；B.对角相等；C.对边平行且相等；D.对角线互相垂直.8、平行四边形各内角的平分线围成一个四边形，则这个四边形一定是
A.矩形；B.平行四边形；C.菱形；D.正方形
9、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC= a cm，∠A=60°，BD平分∠ABC，则这个梯形的周长是 0
A.4a cm；B.5a cm；
C.6a cm；D.7a cm；
10、等边三角形的一边上的高线长为
23cmB
A3cmB2.5cm
C
2cmD
4cm
二、耐心填一填：（把答案填放相应的空格里。每小题3分，共24分）。
11.中，对角线相交于点O，AC⊥CD，
AO = 3，BO = 5，则CO =_____，CD=______，AD =________
12.中，AB、BC、CD的长度分别为2x+1，
3x，x+4的周长是_____________ B13.在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，若△ABC的周长为30 cm，则△DCE的周长为__________ 1 4.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠B=40，则∠A=_____，∠C=____，∠D=_____.15.菱形的对角线长分别为24和10，则此菱形的周长为___________，面积为____________.
16.已知中，∠A -∠B = 30°，则∠C = __________，∠D = __________.
17.判定一个四边形是正方形主要有两种方法，一是先证明它是矩形，然后证明______________，二是先证明它是一个菱形，再证明_____________________.
18.如图，已知四边形ABCD是一个平行四边形，则只须 补充条件__________________，就可以判定它是一个菱形
三、解答证明题：：（本大题共6小题，共66分）
B
D
19．（11分）在平行四边形ABCD中，BC = 2AB，E为BC中点，求∠AED的度数；
B
20．（11分）如图，四边形ABCD中，AD = BC，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为E、F，BE = DF，求证：四边形ABCD是平行四边形；D
21．（11分）如图：在⊿ABC中，∠BAC =90，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证：四边形AEFG是菱形；
BC
22．（11分）如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边，延长AB到E，使AE = AC，以AE为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为92，求正方形边长；
F
23．（11分）如图AD是⊿ABC边BC边上的高线，E、F、G分别是AB、BC、AC的中点，求证：四边形EDGF是等腰梯形；
C24．（11分）如图，AC、BD是矩形ABCD的对角线，AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，AE为∠BAD的平分线，交GC的延长线于E，求证：BD = CE；
九年级数学上证明
（三）测试
参考答案
解答证明题：：（本大题共6小题，共46分 证19：∵ E为BC中点，
∴BE = EC =
BC，
2∵BC = 2AB
∴AB = BE = EC = DC
∴∠BAE =∠BEA，∠CED =∠CDE ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠B +∠C =180
∴∠BAE +∠BEA+∠CED +∠CDE +∠B +∠C =360 ∴2（∠BEA +∠CED）+180=360 ∴∠BEA +∠CED =90
∴∠AED =180（∠BEA +∠CED）=1809090 其他证法正确的也给分。
20．证：∵BE = DF，EF = EF，
∴BE + EF = DF + EF∴BF = ED B
∵AD = BC，AE⊥BD，CF⊥BD，∴⊿AED≌⊿CFB∴AD = BC
∴∠ADB =∠CBD∴AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形21．证：
∵CE平分∠ACB，EA⊥CA，EF⊥BC ∴AE = FE
C∵∠1 =∠2
∴⊿AEC≌⊿FEC ∴AC = FC ∵CG = CG
∴⊿ACG≌⊿FCG ∴∠5 =∠7 =∠B ∴GF∥AE
∵AD⊥BC，EF⊥BC ∴AG∥EF ∴
∵AG =GF（或AE = EF）
∴四边形AGFE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形） 用其他方法证明也可。 22．解：设正方形的边长为x
∵AC为正方形ABCD的对角线
B
F
∴AC =2x
∴S菱形AEFCAECB∴x9
∴x3舍去x
3答：正方形的边长为3。
23．证：∵F、G、E分别为AB、AC、BC的中点，∴FG ∥BC，FE ∥GC∴EF = GC =
2xx2x29
21AC 2
C
∵在Rt⊿ADC中，
∵DG为斜边AC边上的中线∴DG =
1AC 2
∴EF = DG∵FG ∥BC
∴FG ∥DE且FGDE
∴四边形EDGF是等腰梯形。（其他证法合理也给分）24．证：∵矩形ABCD的对角线AC、BD
∴AC = BD
且有：AB = DC，∠BAD =∠CDA =90AD = AD
∴⊿BAD≌⊿CDA ∴∠1 =∠4 ∵AH⊥BD
∴∠2 +∠3 =90，而∠1 +∠2 =90 ∴∠3 =∠1 =∠4 ∵AE平分∠BAD
∴∠3 +∠5 =∠6 +∠4 ∴∠5 =∠6
∵AH⊥BD，EG⊥BD ∴AH∥GE ∴∠5 =∠E ∴∠E =∠6 ∴AC = CE = BD ∴BD = CE
第17篇：直线型(四边形)证明专题训练
1如图6，在正方形ABCD中，G是BC上的任意一点，（G与B、C两点不重合），E、F是AG上的两点（E、F与A、G两点不重合），若AF=BF+EF，∠1=∠2，请判断线段DE与BF有怎样的位置关系，并证明你的结论.在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED． （1）求证：△BEC≌△DEC；
F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数．
A
2B
E
F
D
C
图6
2平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O,分别与AB,CD的延长线交于点E,F.求证：四边形AECF是平行四边形.
如图，已知：ABCD中，BCD的平分线CE交边AD于
E
，ABC的平分线BG
交CE于F，
交AD于G．求证：AEDG．
E G
图7
B C 3如图，已知平行四边形ABCD，DE是ADC的角平分线，交BC于点E． （1）求证：CDCE；
（2）若BECE，B80，求DAE的度数．
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形.
A
D
B
C
5．如图，分别以Rt△ABC
的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE。已知∠BAC=30º， EF⊥AB，垂足为F，连结DF。 （1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形。
6.如图，在□ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E．F．已知BE=BP．求证：(1)∠E=∠F(2)□ABCD是菱形．
AE
6，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF．求证：△ACE≌△ACF．
图
47已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2． （1）求证：AB＝BC；
（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD．
8如图已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF． (1) 求证：四边形AECF是平行四边形； (2) 若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长 ．
9如图，在□ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作AGDB交CB的延长
线于点G． A
（1）求证：DE∥BF；
D （2）若∠G＝90，求证四边形DEBF是菱形．
10如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，B 交BC于点F．
⑴求证：△ABF≌△ECF ⑵若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．
11如图，E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点，且AE=DF。求证：BE=CF
12.如图，矩形ABCD的对角线相交于点
O，DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠ACB＝30，菱形OCED的面积为83，求AC的长．
A
D
E
13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，
BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．⑴说明四边形ACEF是平行四边形；
⑵当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．
第25题图
14.如图，P是矩形ABCD下方一点，将△
PCD绕P点顺时针旋转60°后恰好D点与A点重合，得到△PEA，连接EB，问△ABE是什么特殊三角形？请说明理由.15.如图，在梯形ABCD中，DC‖AB，AD=BC, BD平分ABC,A60.
过点D作DEAB，过点C作CFBD，垂足分别为E、F，连接EF，求证
：△DEF为等边三角形.16.如图，四边形ABCD是等腰梯形，
AD∥BC,点E,F在BC上，且BE=CF,连接DE,AF.求证：DE=AF.
AD
B
E
F
C
17.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB＝45°，CD ＝2，BD⊥CD ．过点C作CE⊥AB于E，交对
角线BD于F．点G为BC中点，连结EG、AF． (1)求EG的长；
(2)求证：CF ＝AB ＋AF．
18.如图，在等腰△ABC中,点
D、E分别是两腰AC、BC上的点，连接AE、BD相交于点O， ∠1＝∠2．
(1)求证：OD＝OE；(2)求证：四边形ABＥD是等腰梯形；(3)若AB＝3DE, △DCE的面积为
2, 求四边形ABED的面积．
24
题图
24.如图,在直角梯形ABCD中，AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,且AE⊥BC.
⑴ 求证：AD=AE；
⑵ 若AD
=8，DC=4，求AB
的长.
第18篇：怎样证明一个四边形是梯形
怎样证明一个四边形是梯形？
答：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，梯形的定义明确指出，作为一种特殊四边形的梯形，必须具备两个条件，即“一组对边平行”和“另一组对边不平行”，因此判定一个四边形是否是梯形，也必须以是否满足这两个条件为依据，二者缺一不可．
证明两线平行的方法比较多，难点是如何判定两线不平行．
【例1】已知：如图1在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，A′、B′、C′、D′分别为AO、BO、CO、DO的中点．
求证：四边形A′B′C′D′是梯形．
分析一：由A′、D′分别是AD、DO的中点，易知A′D′∥AD．由B′、C′分别是BO、CO的中点，易知B′C′∥BC．
又AD∥BC，
∴A′D′∥B′C′，
由A′、B′分别是AO、BO的中点，得A′B′∥AB，
由C′、D′分别是CO、DO的中点，得C′D′∥CD，
又AB与CD不平行，
∴A′B′与C′D′也不平行．
综上所述，四边形A′B′C′D是梯形．
分析二：本题还可以通过证明A′D′∥B′C′且A′D′≠B′C′来判定四边形A′B′C′D′是梯形，即
由A′、D′分别为AO、DO的中点，得
由B′，C′分别为BO、CO的中点，得
∵AD∥BC且AD≠BC，
∴A′D′∥B′C′且A′D′≠B′C′，
∴四边形A′B′C′D′是梯形．
证明：略．
从以上分析中不难看出，证明一个四边形是梯形有两种方法，一种方法是证明四边形的一组对边平行而另一组对边不平行；另一种方法是证明四边形的一组对边平行且不相等，如果在证题过程中忽视了“一组对边不平行”的条件，只由“一组对边平行”来判定四边形是梯形显然是错误的．
【例2】 已知：如图2，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，E、F分别为OA、OD的中点．
求证：四边形EBCF是等腰梯形．
证明：∵E、F分别是OA、OD的中点，
∴EF∥AD，
又四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴EF∥BC，
∵E、F分别为OA、OD的中点，
又 AD=BC，
∴ EF≠BC
由 EF∥BC，EF≠BC．得
四边形EBCF是梯形，
∴ EO=FO，
又 ∠1=∠2，BO=OC，
∴ △EBO≌△FCO
∴ EB=FC，
∴ 四边形EBCF是等腰梯形．
分析：如果只证明了EF∥BC就判定四边形EBCF是梯形，不符合梯形的定义，应继续证明另一组对边EB与CF不平行，或继续证明EF≠BC都可以判定四边形EBCF是梯形，即
证明：略．
第19篇：四边形证明思路格式填空训练
四边形证明书写格式训练
班级姓名
1.如图正方形ABCD中，E为BC的中点，AE与BD相交于点F，求证CF⊥DE
证明：∵BD正方形ABCD的对角线
∴AB=， ∠1 =∠
∵BF=BF
∴△ABF△CBF（）
∴∠3 = ∠
∵AB=,∠ABC=∠DCB，BE=∴△ABE△DCE（）
∴∠5 = ∠
∵Rt△ABE中∠3+∠5=°
∴∠4+ ∠6=
∴CF⊥DE
2.如图，已知：P是正方形ABCD的CD边
上一点，∠BAP的平分线交BC于Q，求证：
AP=DP+BQ．
证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠1=∠B=90°
把△ABQ绕点A逆时针旋转90°到△ADE的位置，
∴∠2=∠，∠4=∠B=90°， ∠E=∠，DE=BQ，
AB与AD重合，B、D两点重合， ∵∠4+∠1=∴点E、D、P三点共线
∵AD∥
∴∠5=∠DAQ=∠6+∠7 又∵∠6=∠3，∠3=∠2 ∴∠5 =∠2+∠7=∠PAE ∴∠E=∠PAE
∴△AEP中PA=∴PA=DP+DE=DP+BQ
3.如图，在正方形ABCD的边BC上任取一点M，
过点C
作
CN⊥DM交AB
于N，设正方形对角线交
点为O，试确定OM与
ON之间的关系，并说明理由
答：OM=ON；OM⊥ON．
证明：∵四边形ABCD是正方形
∴DC=BC，∠DCM=∠NBC=90°
又∵CN⊥DM交AB于N
∴∠2+∠3=°
而Rt△CDM中∠3+∠4=°
∴∠2=∠
∴△DCM≌△CBN（）
∴CM=BN，
∵正方形ABCD中OC=OB，
∠OCM=∠OBN=45°
∴△OCM≌△OBN（） ∴OM=ON，∠5=∠而AC⊥BD，∠5+∠6=° ∴∠+∠6=90°． 即∠MON=90°．
∴OM与ON的关系是OM=ON；OM⊥ON．
4.如图在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，求∠CEF的大小 解：连接AC，
∵在菱形ABCD中，AB=CB，∠B=60°
∴△ABC是三角形 ∴∠BAC=60°，AB=AC ∵∠EAF=60°
∴∠BAC-∠3=∠EAF-∠3 即：∠2=∠∵AB∥
∴∠5=∠BAC=° ∴∠5=∠B
∵∠2=∠，AB=AC，∠5=∠∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴AE=AF，
又∠EAF=60°，
则△AEF是等边三角形， ∴∠6=60°，
又∠AEC=∠B+∠BAE=80°，
∴∠CEF=∠AEC-∠6=80°-60°=20°
5.如图，四边形ABCD是正方形，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．猜想图中线段BG、DE的数量和位置关系，并说明理由．
答：猜想BG=DE，且BG⊥DE．
证明：∵四边形ABCD、CEFG是正方形， ∴∠3=∠4=°，BC=CD，CE=CG， ∴∠3+∠5=∠4+∠即∠BCG=∠DCE，
∴△BCG≌△DCE（） ∴∠1=∠2，BG=DE，
∵Rt△BCH中∠1+∠∠BHC=∠6
∴∠2+∠BHC=∠2+∠6=°
∴∠DOG=∠2+∠6=90°， ∴BG⊥DE．
6.如图，正方形ABCD中，E、F为BC，CD的上点且∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF 证明：如图，把△ABE逆时针旋转90°得到△ADG，
∴BE=GD，AE=AG，∠1=∠
4∵正方形ABCD中∠BAD=90°，∠2=45° ∴∠1+∠3=45°=∠2 ∴∠4+∠3=∠2 ∴∠2=∠FAG
在△AEF和△AGF中，
AE=AG
，∠2=∠FAG，
AF=AF
∴△AEF≌△AGF（） ∴EF=GF
即EF=GD+DF∴EF=BE+DF
7.正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．
（1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；
（2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成
立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；
解：（1）AP=EF，AP⊥EF，理由如下： 连接AC，
∵四边形ABCD是正方形 O是BD的中点 ∴点A,O,C在同一直线上 ， AC=BD， AC⊥BD
∵OA=OC=AC， OB=OD=BD ∴OA=OB=OC=OD
∵△BCO中OB=OC， PE⊥BC
∴E是BC的中点 同理F是CD的中点 ∴EF是△BCD的中位线 ∴EF∥BD ，EF=BD ∵AC⊥，OA=BD ∴OA⊥EF, OA=EF 即AP=EF ，AP⊥EF
（2）题（1）的结论仍然成立，理由如下： 延长AP交BC于N，延长FP交AB于M； ∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°
∴四边形BEPM是又∵∠2=∠3=° ∴∠3=∠4=° ∴BE=EP
∴矩形MBEP是正方形
∴MB=BE，∠5=∠FPE=90°； ∴AB-BM=BC-即AM=CE
而矩形CEPF中CE=PF ∴AM=PF
∴△AMP≌△FPE（） ∴AP=EF，∠6=∠7=∠8 ∵Rt△PEF中∠7+∠9=90° ∴∠8+∠9=90°，即AP⊥EF， 故AP=EF，且AP⊥EF．
8.如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
证明：（1）∵
ABCD对角线交于点O∴OA = OC
∵△EAC为等边三角形
∴
EO⊥AC即：AC⊥BD
故ABCD是菱形
(2)∵△EAC为等边三角形， OA = OC∴∠∠AEC = 30°∵∠AED = 2∠EAD∴∠EAD = 15°∴∠ADB = 45°
∴∵
∠ADC = 2∠ADB = 90°
ABCD为菱形
故：ABCD为正方形
9.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，
（1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明． （1）证明：∵在△ABC中AB=AC，
AD⊥BC，
∴∠2=∠BAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线， ∴∠3=∠CAM
∴∠DAE=∠2+∠3=×180°=90°， 又∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC=∠CEA=90°， ∴四边形ADCE为矩形．
（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．（答案不唯一） 理由：∵AB=AC，∠BAC=90° ∴∠5=∠B=45°
∵∠∠BAC=45°
∴∠5=∠=45°，∴DC=AD， ∵四边形ADCE为矩形， ∴矩形ADCE是正方形． ∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．
10.如图，已知在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，EF⊥BC于F，求证：四边形AEFG为菱形． 解：∵AE⊥CA，EF⊥BC，CE平分∠ACB， ∴AE=EF，∠=∠2 ∵AD⊥BC，EF⊥BC ∴AD∥EF ∴∠2=∠∴∠1=∠3 ∴AE=AG
∴四边形AEFG为平行四边形， 又∵AE=AG，
∴四边形AEFG为菱形．
11.如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，BE和CF交于点P．求证：AP=AB．
证明：延长CF、BA交于点M， ∵四边形ABCD为正方形
∴AD=CD=BC，∠4=∠D=∠BCD=90° ∵DF=AD,CE=CD ∴CE=
∵BC=CD，∠BCE=∠D，
CE=DF
∴△BCE≌△CDF() ∴∠1=∠∵∠3+∠=∠BCD=90°
∴∠3+∠=90°
∴∠BPM=∠3+∠1=90° 又∵FD=FA，∠D=∠，∠5=∠6，
∴△CDF≌△AMF() ∴CD=AM．
∵CD=AB，∴AB=AM．
∴PA是Rt△BPM斜边BM上的中线， ∴AP=BM= AB=AM 即AP=AB．
12.如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90度．将Rt△ABC绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC，点E在AC
上，再将
Rt△ABC沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF．连接AD．
（1）求证：四边形AFCD是菱形； （2）连接BE并延长交AD于G，连接CG，请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形，为什么？
（1） 证明：∵Rt△DEC
是由Rt△ABC绕点C旋转60°得到的，
∴AC=，∠1=∠ACD=° ∴△ACD是三角形 ∴AD=DC=
又∵Rt △ABF是Rt△ABC沿AB折叠的 ∴AC=，∠2=∠ABC=°
∴∠FBC是平角∴点F、B、C三点共线， ∵∠ACB=°
∴等腰△AFC是三角形 ∴AF=FC=AC
∴AD=DC=FC=AF∴四边形AFCD是 （2） 四边形ABCG是矩形
证明：由（1）知△ACD是三角形
DE⊥AC于E ∴AE=∵AG//BC ∴∠3=∠∠4=∠∴△AEG≌（） ∴AG=
∴四边形ABCG是平行四边形 而∠ABC=
∴平行四边形ABCG是矩形
第20篇：四边形的证明与计算寒假（版）
明优教育
四边形的证明与计算
1、（2013•宁夏）在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F；求证：DF=DC．
2、（13年山东青岛、21）已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点
（1）求证：△ABM≌△DCM
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD：AB=____________时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）
3、（2013•张家界）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
4、（2013•遵义）如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．
（1）求证：CM=CN；
（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求
5、（2013•眉山）在矩形ABCD中，DC=
2接BF．
（1）求证：△DEC∽△FDC；
（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．
的值． ，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连
6、如图，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分
别交BD于M、N，连接EF、EN．
（1）求证：EN⊥AF；
（2）若AB＝10，EF＝8，求四边形MEFN的面积．
7、如图，已知平行四边形ABCD，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN
⊥AD于N，交BD于F，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB : AE的值．
8、如图，O是正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，
使CF＝CE，连接DF交BE的延长线于点G，连接OG．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）OG与BF有什么数量关系？证明你的结论；
（3）若GE·GB＝4－22，求正方形ABCD的面积．
9、已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2．
（1）若CE＝1，求BC的长；
（2）求证：AM＝DF＋ME．
10、如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝2∠BCD＝2α，点E在AD上，点F在DC上，且∠BEF＝∠A．
（1）∠BEF＝____________（用含α的代数式表示）；
（2）当AB＝AD时，猜想线段EB、EF的数量关系，并证明你的猜想；
（3）当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AE＞AB，AB＝mDE，AD＝nDE”，其他条件不变（如图2），求
的代数式表示）．
EB 的值（用含m、n EF
11、如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（3，3）．将
正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0º＜α＜90º），得到正方形ADEF，
ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．
（1）求证：△AOG≌△ADG；
（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；
（3）当∠1＝∠2时，求直线PE的解析式．
12、如图，正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，DE＝CF，AF与BE相交于O，DG⊥AF，垂足为G．
（1）求证：AF⊥BE；
（2）试探究线段AO、BO、GO的长度之间的数量关系；
（3）若GO : CF＝4 : 5，试确定E点的位置．
13、已知：在正方形ABCD中，点E是边CD上的动点（不与端点C、D重合），CD＝mDE．AE的垂直平分线分别交AD、AE、BC于点F、H、G，交AB的延长线于点P．
（1）如图1，当m＝2时，FHFH
＝ ________， ＝ ________；
AHPH
（2）如图2，当m＝3时，求证：FH＋PG＝HG；
（3）当m为何值时，G是HP的中点．
14、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝BC＝6，AD＝3．点M为边BC的中点，以M为顶点作∠EMF＝∠B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，连接EF．
（1）求证：△MEF∽△BEM；
（2）若△BEM是等腰三角形，求EF的长；
（3）若EF⊥CD，求BE的长．
15、在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE＝PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．
（1） 当点P与点C重合时（如图①）．求证：
△BOG≌△POE；（4分） 1∠ACB，
2（2）通过观察、测量、猜想：BF=▲，PE
并结合图②证明你的猜想；（5分）
