三角函数变换公式

两角和公式

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ –cosαsinβ

tan(α+β) = (tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)tan(α-β) = (tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)cot(α+β) = (cotαcotβ-1)/(cotβ+cotα)cot(α-β) = (cotαcotβ+1)/(cotβ-cotα) 和差化积

sinα+sinβ= 2sin[(α+β)/2] cos[(α-β)/2]sinα-sinβ= 2cos[(α+β)/2] sin[(α-β)/2]cosα+cosβ= 2cos[(α+β)/2] cos[(α-β)/2]cosα-cosβ= -2sin[(α+β)/2] sin[(α-β)/2]tanα+tanβ=sin(α+β)/cosαcosβ

=tan(α+β)(1-tanαtanβ)

tanα-tanβ=sin(α-β)/cosαcosβ

=tan(α-β)/(1+tanαtanβ)

积化和差

sinαsinβ = -[cos(α+β)-cos(α-β)] /2cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2 锐角三角函数公式

正弦：sin α=∠α的对边/∠α 的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边 同角三角函数的基本关系

tanα= sinα/ cosα ；cotα= cosα/ sinα；secα＝1 /cosα ；cscα＝1/ sinα； 倒数关系:

tanα ·cotα＝1sinα ·cscα＝1cosα ·secα＝1商的关系：

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα平方关系：

sin2(α)＋cos2(α)＝11＋tan2(α)＝sec2(α)1＋cot2(α)＝csc2(α) 二倍角公式：

正弦sin2α=2sinαcosα

余弦cos2a=cos2(a)-sin2(a) =2Cos2(a)-1

=1-2Sin2(a)

正切tan2α=（2tanα）/（1-tan2(α)）

半角公式

tan(α/2)=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)cot(α/2)=sinα/(1-cosα)=(1+cosα)/sinα.sin2(α/2)=(1-cos(α))/2cos2(α/2)=(1+cos(α))/2诱导公式

sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (-α)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotα tan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα 诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限 万能公式

sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))²]

cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1+(tan(α/2))²]tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²]三倍角公式

sin3θ= 3sinθ-4sin3θ cos3θ=4cos3θ-3cosθ sin3θ= (3sinθ- sin3θ)/4 cos3θ=(3cosθ+cos3θ)/4 一个特殊公式 （sinα+sinβ）*（sinα-sinβ）=sin（α+β）*sin（α-β） 证明：（sinα+sinβ）*（sinα-sinβ）=2 sin[(α+β)/2] cos[(α-β)/2] *2 cos[(α+β)/2] sin[(α-β)/2]=sin（α+β）*sin（α-β） 其它公式

(1) (sinα)²+(cosα)²=1(2)1+(tanα)²=(secα)²(3)1+(cotα)²=(cscα)²

(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

证:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论

(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2) =cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)cos²A+cos²B+cos²C=1-2cosAcosBcosC(8)sin²A+sin²B+sin²C=2+2cosAcosBcosC

高中数学三角函数公式

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