三角函数习题

推荐第1篇：陕西省高考三角函数习题+答案

2007-2012年陕西高考三角函数题集及答案

2007年

4.已知sinα=544，则sinα-cosα的值为

51313（A）-(B)-(C)(D)5555

17.（本小题满分12分）设函数f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈R,且函数y=f(x)的图象经过点,2，

（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合.解：（Ⅰ）f(x)abm(1sin2x)cos2x， 由已知fπ

4m1sinπ

2cosπ

22，得m1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)1sin2xcos2x12xπ

4，

当sinπ

2x41时，f(x

)的最小值为1 由sin2xπ

41，得x值的集合为xxkπ3π

8，kZ．

2008年

3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，

c，若cbB120，则a等于（

A

B．2C

17．（本小题满分12分）

已知函数f(x)2sinxxx

4cos4

24．

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及最值；

（Ⅱ）令g(x)fxπ

3，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．

解：（Ⅰ）f(x)sinx2

2sin2xxxxπ

4)sin222sin23． f(x)的最小正周期T2π

14π．

2当sinx

2π

31时，f(x)取得最小值2；当sinx

2π

31时，f(x)取得最大值2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)2sinx

2π

3．又g(x)fπ

x3． 4）

x1ππxπ

g(x)2sinx2sin2cos．

233222

xx

g(x)2cos2cosg(x)．

22

函数g(x)是偶函数．

2009年

的值为

cos2sin252（B）（C）(D) 2335.若3sincos0,则

17． 已知函数f(x)Asin(x),xR（其中A0,0,0距离为



）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的

2

,2).，且图象上一个最低点为M(

2

3

(Ⅰ)求f(x)的解析式；（Ⅱ）当x[,]，求f(x)的值域.122

2

,2)得A=2.

17、解（1）由最低点为M(

3T22

2 由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即T，

222T

224,2)在图像上的2sin(2)2,即sin()1 由点M(3334112k,kZ2k故 326



又(0,),,故f(x)2sin(2x)

2667

2x[,] （2）x[,],

1226367当2x=，即x时，f(x)取得最大值2；当2x

62666

即x时，f(x)取得最小值-1，故f(x)的值域为[-1,2]

2010年

3.对于函数f(x)=2sinxcosx，下列选项中正确的是 【B】



A.f(x)在（4，2）上是递增的B.f(x)的图象关于原点对称

C.f(x)的最小正周期为2D.f(x)的最大值为2 17.（本小题满分12分

如图，A，B是海面上位于东西方向相距53

海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？



解：由题意知海里，DBA

906030,DAB45,ADB105

在DAB中，由正弦定理得DB

DBAB



sinDABsinADB

ABsinDAB5(3sin455(3sin45



sinADBsin105sin45cos60sin60cos

45

2011年

2

27．设集合M={y|y=cosx—sinx|,x∈R},N={x||x—i为虚数单位，x∈R},则M∩N为

A．（0,1） B．（0,1] C．[0,1） D．[0,1] 18．（本小题满分12分）

叙述并证明余弦定理。

18．解余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍。或：在ABC

中，a,b,c为A,B,C的对边，有

a2b2c22bccosA b2a2c22accosB c2a2b22abcosC

证法一 如图

a2BCBC

(ACAB)(ACAB)

AC2ACABAB

AC2ACABCOSAAB

22

b22bccosAc2

即abc2bccosA 同理可证bac2accosB

c2a2b22abcosC

证法二 已知ABC中A,B,C所对边分别为a,b,c,以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则, C(bcosA,bsinA),B(c,0)

a2BC2(bcosAc)2(bsinA)2

bcosA2bccosAcbsinA

b2a2c22accosB

同理可证

b2c2a22cacosB,cab2abcosC.2012年

7、设函数f(x)xex，则

（A） x1为f(x)的极大值点（B）x1为f(x)的极小值点 （C） x1为f(x)的极大值点（D）x1为f(x)的极小值点

16.、函数f(x)Asin(x)1（A0,0）的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为。

26（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；



（Ⅱ）设(0,)，则f()2，求的值。

22

推荐第2篇：数学三角函数

1.（2010·天津高考理科·Ｔ7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，

若a2b2

，sinCB，则A= ()

（A）300（B）600（C）1200（D）1500

2.（2010·北京高考文科·Ｔ7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构

方形所组成，该八边形的面积为()

（A）2sin2cos2；

（B

）sin

3（C

）3sin

1（D）2sincos1

3.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a,b,c，若∠C=120

°，c,则（）

A、a>bB、a

4.（2010·北京高考理科·Ｔ１0）在△ABC中，若b = 1，

，C则a=。

5.（2010·广东高考理科·Ｔ11）已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若

则sinC=.6.（2010·山东高考理科·Ｔ15）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，2，3成的正c

，若ab

2，sinBcosBA的大小为．

7.（2010·江苏高考·Ｔ１3）在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b

aatanCtanC的值是_________。 6cosC，则btanAtanB

8.（2010·辽宁高考文科·Ｔ17）在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.(Ⅰ)求A的大小；

（Ⅱ）若sinB +sinC=1,试判断△ABC的形状.9.（2010·浙江高考文科·Ｔ18）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为

a,b,c,

设S为△ABC

的面积，满足S

（Ⅰ）求角C的大小； 2(ab2c2)。

4（Ⅱ）求sinAsinB的最大值。

10.（2010·辽宁高考理科·Ｔ17）在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，

且2asinA(2ac)sinB(2cb)sinC.

（Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）求sinBsinC的最大值.

11.（2010·浙江高考理科·Ｔ18）在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，1已知cos2C

4(I)求sinC的值；

(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长．

一、选择题

1.（2011·浙江高考文科·Ｔ5）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若acosAbsinB，则sinAcosAcos2B (A)-11(B)(C)-1(D) 1 222.（2011·安徽高考理科·Ｔ14）已知ABC 的一个内角为120o，并且三边长

构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为_______________

3.（2011·福建卷理科·Ｔ14）如图，△ABC中，

AB=AC=2，

BC=D 在BC边上，∠ADC=45°，

则AD的长度等于______.4.（2011·福建卷文科·Ｔ14）若△ABC的面积为，BC=2，C=60，则边AB的长度等于_____________.

5.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ16）在V

ABC中，B60,ACAB2BC的最大值为6.（2011·新课标全国文科·Ｔ15）△ABC中，B=120°，AC=7，AB=5，则△

ABC

的面积为_________

7.（2011·北京高考理科·T9）在ABC中，若b5,B

sinA；a4,tanA2，则

8.（2011·北京高考文科·T9）在ABC中，若b5,B1,sinA，则43a9.（2011·安徽高考文科·Ｔ16）在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，

，

，12cos(BC)0，求边BC上的高

10.（2011·辽宁高考文科·Ｔ17）（本小题满分12分）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，asinAsinBbcos2A2a．

（I）求b；（II）若c2=b

2a2，求B． a

cosA-2cosC2c-a.=cosBb11.（2011·山东高考理科·Ｔ17）（本小题满分12分） 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知

（Ⅰ）求sinC1的值；（Ⅱ）若cosB=，b=2, 求△ABC的面积S.sinA

4cosA-2cosC2c-a.=cosBb12.（2011·山东高考文科·Ｔ17）（本小题满分12分） 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知

sinC的值； sinA

1（Ⅱ）若cosB=，ABC的周长为5，求b的长.4（Ⅰ）求

13.（2011·湖南高考理科·T17）（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC.（1）求角C的大小；

（2）求sinAcos(B

4)的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小.

14.（2011·陕西高考理科·T18）（本小题满分12分）

叙述并证明余弦定理．

【思路点拨】本题是课本公式、定理、性质的推导，这是高考考查的常规方向和考点，引导考生回归课本，重视基础知识学习和巩固．

15.（2011·天津高考文科·Ｔ16）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，

已知B=C,2b=.

（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）cos(2A)的值 4

16.（2011·浙江高考理科·Ｔ18）（本题满分14分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.

1已知sinAsinCpsinBpR,且acb2.4

5（Ⅰ）当p,b1时，求a,c的值； 4

(Ⅱ)若角B为锐角，求p的取值范围；

推荐第3篇：余弦定理 三角函数

对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它

们夹角的余弦的两倍积，若三边为a,b,c 三角为A,B,C ，则满足性质——a^2 = b^2 + c^22·a·c·cosB

c^2 = a^2 + b^2c^2) / (2·a·b)

cosB = (a^2 + c^2a^2) / (2·b·c)

（物理力学方面的平行四边形定则中也会用到）

第一余弦定理（任意三角形射影定理）

设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a＝b·cos C＋c·cos B， b＝c·cos A＋a·cos C， c＝a·cos B＋b·cos A。

编辑本段余弦定理证明

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA 

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) 

cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

倍角公式

tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]

cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2

sin2A=2sinA*cosA

三倍角公式

sin3a=3sina-4(sina)^3

cos3a=4(cosa)^3-3cosa

tan3a=tana*tan(π/3+a)*tan(π/3-a)

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)

2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) )

2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)

-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2

cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB

积化和差公式

sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]

cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]

sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]

诱导公式

sin(-a)=-sin(a)

cos(-a)=cos(a)

sin(pi/2-a)=cos(a)

cos(pi/2-a)=sin(a)

sin(pi/2+a)=cos(a)

cos(pi/2+a)=-sin(a)

sin(pi-a)=sin(a)

cos(pi-a)=-cos(a)

sin(pi+a)=-sin(a)

cos(pi+a)=-cos(a)

tgA=tanA=sinA/cosA

万能公式

sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))

cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))

tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))

其它公式

a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中，tan(c)=b/a]a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中，tan(c)=a/b]1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2

1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2

推荐第4篇：三角函数详解

2008．（本小题满分12分）

已知函数f(x)2sin

x4cos

x4

2

x4

．

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及最值；



π

，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由． 3x2



2sin

2

（Ⅱ）令g(x)fx

解：

（Ⅰ）f(x)sin

x4

)sin

x2

xπ

2sin223x



． 

f(x)的最小正周期T

2π12

4π．

当sin

x2



πxπ

时，取得最小值；当 21sinf(x)1时，f(x)取得最大值2．

323

x2

ππ

．又g(x)fx． 33

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)2sin

1

g(x)2sin

2



ππxxπx2cos． 2sin

23322

xx

g(x)2cos2cosg(x)．

22

函数g(x)是偶函数．

2009．（本小题满分12分）

已知函数f(x)Asin(x),xR（其中A0,0,0交点中，相邻两个交点之间的距离为(Ⅰ)求f(x)的解析式；（Ⅱ）当x[【解】

（Ⅰ）由最低点为M(

23

,2)得A2．



223

）的图象与x轴的

,2).



2

，且图象上一个最低点为M(

,



122

]，求f(x)的值域

由x轴上相邻两个交点之间的距离为由点M(故

43

23



2

得

T2





2

，即T，∴

43

2T



2



2．

,2)在图象上得2sin(2

23

)2，即sin(

116

)1，

2k



2

，kZ，∴2k．

又0（Ⅱ）∵x[

当2x

当2x6,2，∴6，故f(x)2sin(2x6[6)． 122]，∴2x73,6]， 

6276，即x6时，f(x)取得最大值2； 2，即x时，f(x)取得最小值1，

故f(x)的值域为[1,2]．

2010.（本小题满分12分

如图，A，B

是海面上位于东西方向相距53海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点

相距C点的救援船立即即前往营救，其航行

速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

解：由题意知海里，

DBA906030,DAB45,

ADB105

在DAB中，由正弦定理得

ABsinDAB

sinADBDBsinDABABsin

ADB DBsin105sin45cos60sin60cos45

2，

（海里）

又DBCDBAABC30(9060)60,BC海里，

在DBC中，由余弦定理得

CDBDBC2BDBCcosDBC

222

= 30012002CD30（海里），则需要的时间t12900 1（小时）。 30

30

答：救援船到达D点需要1小时。

注：如果认定DBC为直角三角形，根据勾股定理正确求得CD，同样给分。

2011．（本小题满分12分）

叙述并证明余弦定理。

解余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦

之积的两倍。或：在ABC中，a,b,c为A,B,C的对边，有

abc2bccosA

222bac2accosB 222

cab2abcosC 222

证法一 如图 2aBCBC (ACAB)(ACAB) 22AC2ACABAB

2

2AC2ACABCOSAAB

b2bccosAc 22即a2b2c22bccosA 同理可证b2a2c22accosB cab2abcosC 222

证法二 已知ABC中A,B,C所对边分别为a,b,c,以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则C(bcosA,bsinA),B(c,0),

bcosA2bccosAcbsinA

bac2accosB 22222222aBC22(bcosAc)(bsinA) 22

同理可证 bca2cacosB,

cab2abcosC.222222

2012.（本小题满分12分）

函数f(x)Asin(x

间的距离为

26)1（A0,0）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之，

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）设(0,

2)，则f(

2)2，求的值．

【解析】（Ⅰ）∵函数fx的最大值是3，∴A13，即A2。 ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为

故函数fx的解析式为f(x)2sin(2x)1。 6

1（Ⅱ）∵f()2sin()12，即sin()， 6622

∵0，∴，∴，故。 6636623

，∴最小正周期T，∴2。

推荐第5篇：三角函数口诀

二、《三角函数》

三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割中心记上数字1，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角，顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小，变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变，将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值，余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用1加余弦想余弦，1 减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集

推荐第6篇：高考题三角函数

北京15．（本小题共13分）

已知函数f(x)4cosxsin(x（Ⅰ）求f(x)的最小正周期：

,上的最大值和最小值。 646)1。

（Ⅱ）求f(x)在区间

全国5．设函数f(x)cosx(＞0)，将yf(x)的图像向右平移

的图像与原图像重合，则的最小值等于（C）

317．（本小题满分l0分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．3个单位长度后，所得A．1B．3C．6D．9

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知A—C=90°，

b，求

新课标12．函数y

1x1C．的图像与函数y2sinx(2x4)的图像所有交点的横坐标

之和等于（D）

A．2B．4C．6D．8

16．在

ABC中，B60,ACAB

2BC的最大值为）

安徽（9）已知函数f(x)sin(2x)，其中为实数，若f(x)|f(

且f(

2)f()，则f(x)的单调递增区间是C 6)|对xR恒成立，(A) k,k(kZ)36(B) k,k(kZ) 2

(C)

2k,k(kZ) 63

(D) k











,k(kZ) 2

（14）已知⊿ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则⊿ABC的面积为

福建3.若tan=3，则

sin2

cosa

A.2B.3C.4D.6

的值等于D

10.已知函数f(x)=e+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C，给出以下判断：

①△ABC一定是钝角三角形9.对于函数f（x）=asinx+bx+c(其中，a,bR,cZ),选取a,b,c的一组值计算f（1）和f ②△ABC可能是直角三角形 ③△ABC可能是等腰三角形 ④△ABC不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是B

A.①③B.①④C.②③D.②④

广东15.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O外一点p分别作圆的切线

和割线交圆于A,B，且PB=7，C是圆上一点使得BC=5， ∠BAC=∠APB, 则AB

16.（本小题满分12分）

已知函数f(x)2sin(x

31



6),xR.(1)求f(

5

4)的值；



(2)设,0,,f(3a),f(32),求cos()的值.

21352

湖北

3．3．已知函数f(x)



xcosx,xR，若f(x)1，则x的取值范围为B

106

A．x|kC．{x|k





xk,kZ3xk

56

B．x|2k









x2k,kZ 3

56

,kZ}



6

,kZ}D{x|2k



6

x2k

16．（本小题满分10分）

设ABC的内角A、B、C、所对的边分别为a、b、c，已知a1.b2.cosC（Ⅰ）求ABC的周长 （Ⅱ）求cosAC的值

14.湖南

15、如图4， EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则 （1）P（2）P（B|A）=______ （A）=______；

11.如图2，A,E是半圆周上的两个三等分点，直径BC4，

ADBC

,垂足为D, BE与AD相交与点F，则AF的长为。

17.（本小题满分12分）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinAacosC.（I）求角C的大小；（II

Acos(B

江西17．（本小题满分12分）

在VABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，已知sinCcosCsin（1）求sinC的值；

（2）若ab(ab)，求边c的值．

山东17．（本小题满分12分）

在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知（I）求

sinCsinA

cosA-2cosC

cosB

=2c-ab







)的最大值，并求取得最大值时角A,B的大小．

C

．

．

的值；

（II）若cosB=

1

4，b=2，ABC的面积S。

陕西18．（本小题满分12分）

叙述并证明余弦定理。

上海

11、在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB3,BD1，则ABAD

1

52

。

四川6.在ABC中．sinsinBsinCsinBsinC.则A的取值范围是(A)(0，

17、

已知函数f(x)sin(x

7

4

6](B)[



6

，)(c)(0，



](D) [



，)

)cos(x

34

),xR

(1)求f(x)的最小正周期和最小值； （2）已知cos(a)

天津

6．如图，在△ABC中，D是边AC

C,2D

,BD

B2CBD D，则的值为

4

5,cos()

45

,(0



)，求证：[f()]20

上的点siCn，

且

AB

A

．

3

3B

．

66

C

．D

．

14．已知直角梯形ABCD中，AD//BC,ADC90,AD2,BC1,P是腰DC上的



动点，则PA3PB的最小值为

__5__________.15．（本小题满分13分）

已知函数f(x)tan(2x



4),

（Ⅰ）求f(x)的定义域与最小正周期；



（II）设0,



4

，若f(



)2cos2,求的大小．

浙江18．（本题满分14分）在ABC中，角A.B.C所对的边分别为a,b,c．

已知sinAsinCpsinBpR,且ac（Ⅰ）当p

54

,b1时，求a,c的值；

14b．

（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围；

重庆18．（本题满分14分）在ABC中，角A.B.C所对的边分别为a,b,c．

已知sinAsinCpsinBpR,且ac（Ⅰ）当p

54

,b1时，求a,c的值；

14b．

（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围；

16．（本小题满分13分）

设aR，fxcosxasinxcosxcos2求函数f(x)在[

江苏

15、在△ABC中，角A、B、C所对应的边为a,b,c （1）若sin(A



6

)2cosA, 求A的值；（2）若cosA

13

,b3c，求sinC的值.



x满足ff0，

32

11

4,24

]上的最大值和最小值.

推荐第7篇：三角函数测验题

离婚协议书范本

男方：叶镇强，男，汉族，1981年8月9日生，住河源市紫金县紫城镇金富大楼B1501，身份证号码：441621198109093516

女方：黄凤华，女，汉族，1985年1月11日生，住河源市紫金县紫城镇金富大楼B1501，身份证号码：441621198501114449

男方与女方于2008年8月认识，于2010年11月1日在紫金县民政局登记结婚，婚后于2011年7月8日生育一儿子，名叶彦豪。因性格不合致使夫妻感情确已破裂，已无和好可能，现经夫妻双方自愿协商达成一致意见，订立离婚协议如下：

一、男女双方自愿离婚。

二、子女抚养、抚养费及探望权： 儿子由男方抚养，随同男方生活，抚养费由男女双方共同负责，女方每月支付抚养费600元，在每月5号前付清；直至付到18周岁止，18周岁之后的有关费用双方日后重新协商。（也可一次性付清抚养费）。

在不影响孩子学习、生活的情况下，女方可探望男方抚养的孩子。(女方每月可探望儿子或带儿子外出游玩，但应提前通知男方，男方应保证女方每月探望的时间不少于一天。)

三、夫妻共同财产的处理：

⑴存款：双方名下现有银行存款共4000元，双方各分一半，为2000元。分配方式：男方应在离婚当天一次性支付2000元给女方。

（2）其他财产：男女双方各自的私人生活用品及首饰归各自所有。

（3）电脑归女方拥有。

四、债务的处理：

双方确认在婚姻关系存续期间有共同债务260000元，女方应每月的1-5日付男方1000元，作为偿还债务，直至还清为止。

五、协议生效时间的约定：

本协议一式三份，自婚姻登记机颁发《离婚证》之日起生效，男、女双方各执一份，婚姻登记机关存档一份。

六、如本协议生效后在执行中发生争议的，双方应协商解决，协商不成，任何一方均可向紫金县人民法院起诉。

男方：叶镇强、女方：黄凤华

签名：______签名：_______年 月 日_年_月_日

推荐第8篇：三角函数教案设计

第四章

三角函数

总 第1教时

4.1-1角的概念的推广（1） 教学目的：

推广叫的概念，引入正角、负角、零角；象限角、坐标上的角的概念；终边相同角的表示方法。

让学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义，以及相应的表示方法。

从“射线绕其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化的观点审视事物；通过与数（轴）的类比，理解“正角”“负角”“零角，让学生感受图形的对称美、运动美。 教学重点：

理解并掌握正角、负角、零角、象限角的定义； 掌握总边相同角的表示方法及判定。

教学难点：把终边相同角用集合和符号语言正确的表示出来。 过程：

一、提出课题：“三角函数”

回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。

二、角的概念的推广

回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”

讲解：“旋转”形成角（P4） 突出“旋转”

注意：“顶点”“始边”“终边” “始边”往往合于轴正半轴

“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 记法：角或

可以简记成

由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。 1( 角有正负之分

如：(=210(

(=(150(

(=(660( 2( 角可以任意大

实例：体操动作：旋转2周（360(×2=720(） 3周（360(×3=1080(） 3( 还有零角

一条射线，没有旋转

三、关于“象限角”

为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角

角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）

例如：30(

390( (330(是第Ⅰ象限角

300(

(60(是第Ⅳ象限角

585(

1180(是第Ⅲ象限角

(2000(是第Ⅱ象限角等

四、关于终边相同的角

1．观察：390(，(330(角，它们的终边都与30(角的终边相同 2．终边相同的角都可以表示成一个0(到360(的角与个周角的和

390(=30(+360(

(330(=30((360(

30(=30(+0×360(

1470(=30(+4×360(

(1770(=30((5×360(

3．所有与(终边相同的角连同(在内可以构成一个集合

即：任何一个与角(终边相同的角，都可以表示成角(与整数个周角的和 4．（P6例1）例1 在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．

(1)-120°；(2)640°；(3)-950°12′． 解：(1)-120°=240°-360°，

所以与-120°角终边相同的角是240°角，它是第三象限角； (2)640°=280°+360°，

所以与640°角终边相同的角是280°角，它是第四象限角； (3)-950°12′=129°48′-3×360°，

所以与-950°12′角终边相同的角是129°48′，它是第二象限角．

（P5）

五、小结： 1( 角的概念的推广,用“旋转”定义角

角的范围的扩大

2(“象限角”与“终边相同的角”

六、作业：

P7

练习

1、

2、

3、4

习题1.4

总

第2课时

4.1-2

角的概念的推广(2) 教学目的：

进一步理解角的概念，能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合； 能进行角的集合之间的交与并运算； 讨论等分角所在象限问题。 教学重点与难点：

角的集合之间的交与并运算； 判断等分角的象限。 过程：

复习、作业讲评.

新课： 例

一、（P6例2）

写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示)．

解：在0°到360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°，270°角(图4-4)．因此，所有与90°角终边相同的角构成集合

S1={β|β=90°+k·360°，k∈Z}={β|β=90°+2k·180°，k∈Z}， 而所有与270°角终边相同的角构成集合 S2={β|β=270°+k·360°，k∈Z}

={β|β=90°+180°+2k·180°，k∈Z} ={β|β=90°+(2k+1)180°，k∈Z}， 于是，终边在y轴上的角的集合 S=S1∪S2 ={β|β=90°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=90°+(2k+1)180°，k∈Z} ={β|β=90°+180°的偶数倍}∪{β|β=90°+180°的奇数倍} ={β|β=90°+180°的整数倍}={β|β=90°+n·180°，n∈Z}． 例

二、（P6例3）、写出与下列各角终边相同的角的集合S,并把S 中适合不等式 -360o≤β

(1)60o

(2)-21o

(3)363o14ˊ 解：(1)S={β|β=60°+k·360°，k∈Z}． S中适合-360°≤β＜720°的元素是 60°-1×360°=-300°， 60°+0×360°=60°， 60°+1×360°=420°．

(2)-21°不是0°到360°的角，但仍可用上述方法来构成与-21°角终边相同的角的集合，即

S={β|β=-21°+k·360°，k∈Z}． S中适合-360°≤β＜720°的元素是 -21°+0×360°=-21°， -21°+1×360°=339°， -21°+2×360°=699°．

(3)S={β|β=363°14′+k·360°，k∈Z}． S中适合-360°≤β＜720°的元素是 363°14′-2×360°=-356°46′， 363°14′-1×360°=3°14′， 363°14′+0×360°=363°14′． 例

三、用集合表示：（1）第二象限的集合；（2）终边落在y轴右侧的角的集合。 解：（1）因为在0o~360o范围内，第二象限角的范围为90o

（2）因为在-180o~180o范围内，y轴右侧的角的范围为-90o

(二)习题4.1 .5(1)已知α是锐角,那么2α是

( ) (A)第一象限角.

(B)第二象限角.(C)小于180o的角.

(D)不大于直角的角.练习：课本第7页练习5,习题4.1 .5(2)

作业：习题4.1.3 (2)、(4)、(6)、(8) , 4

总 第3教时

4.2-1弧度制（1） 教学目的：

理解1弧度的角及弧度的定义，掌握弧度制与角度制互化，并能熟练的进行角度与弧度的换算；熟记一些的数角的弧度数。并进而建立角的集合与实数集一一对应关系的概念。

通过弧度制的学习，使学生认识到角度与弧度都是度量角的制度，二者虽单位不同，但却是相互联系、辩证统一的；在弧度制下角的加、减运算可以象十进制一样进行，而不需要进行角度制与十进制之间的转化，化简了六十进制给角的加减、运算带来的诸多不便，体现了弧度制的简洁美。

教学重点：使学生理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。

教学难点：

1、弧度制的概念及其与角度的关系，

2、角的集合与实数集一一对应关系。

过程：

一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。

二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制，它的单位是rad 读作弧度

定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

如图：(AOB=1rad

，(AOC=2rad

周角=2(rad

正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0； 角(的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径）

用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）

用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。

三、角度制与弧度制的换算

抓住：360(=2(rad

∴180(=( rad

∴ 1(=

例一

把化成弧度

解：

∴

例二

把化成度

解：

注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进行；

2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略

如：3表示3rad sin(表示(rad角的正弦

3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P9表）

4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。

任意角的集合

实数集R

四、练习（P11 练习

1、2）

例三

用弧度制表示：1(终边在轴上的角的集合

2(终边在轴上的角的集合

3(终边在坐标轴上的角的集合

解：1(终边在轴上的角的集合

2(终边在轴上的角的集合

3(终边在坐标轴上的角的集合

五、小结：1．弧度制定义

2．与弧度制的互化

六、作业： 课本 P11

练习

3、4

P12习题4.2

2、3

总 第4教时

4.2-2弧度制（2） 教学目的：

加深学生对弧度制的理解，理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活的在具体应用中运用弧度制解决具体的问题。

通过弧度制与角度制的比较使学生认识到映入弧度制的优越性，激发在学生的学习兴趣和求知欲望，培养良好的学习品质。

教学重点:弧度制下的弧长公式，扇形面积公式及其应用。 教学难点：弧度制的简单应用。

1、

过程：

一、复习：弧度制的定义，它与角度制互化的方法。

口答

二、由公式：

比相应的公式简单

弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积

例一 （课本P10例三） 利用弧度制证明扇形面积公式其中是扇形弧长，是圆的半径。

证：

如图：圆心角为1rad的扇形面积为：

弧长为的扇形圆心角为

∴

比较这与扇形面积公式

要简单

例二 直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长

⑴

⑵

解：

⑴：

⑵：

∴

例三

如图，已知扇形的周长是6cm，该扇形 的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 解：设扇形的半径为r，弧长为，则有

∴ 扇形的面积 例四

计算

解：∵

∴

∴

例五

将下列各角化成0到的角加上的形式 ⑴

⑵

解：

例六

求图中公路弯道处弧AB的长（精确到1m） 图中长度单位为：m

解： ∵

∴

三、练习：P11

6、7、

8、

9、10

四、作业： 课本 P11 -12

P12-13

习题4.2

5—14

总 第5教时

4.3-1任意角的三角函数（定义） 教学目的：

生掌握任意角的三角函数的定义，熟悉三角函数的定义域及确定方法； 理解(角与(=2k(+((k(Z)的同名三角函数值相等的道理。

重点难点：三角函数的定义域及确定方法，终边相同角的同名三角函数值相等。 过程：

一、提出课题：讲解定义：

设(是一个任意角，在(的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y） 则P与原点的距离（见图4-10） 2．比值叫做(的正弦

记作：

比值叫做(的余弦

记作：

比值叫做(的正切

记作：

比值叫做(的余切

记作：

比值叫做(的正割

记作：

比值叫做(的余割

记作：

注意突出几个问题： ①角是“任意角”，当(=2k(+((k(Z)时，(与(的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。

②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。（下面有例子说明）

③三角函数是以“比值”为函数值的函数

④，而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定（今后将专题研究）

⑤定义域：

二、例题：

例一 已知(的终边经过点P(2,(3)，求(的六个三角函数值

解：

∴sin(=(

cos(=

tan(=(

cot(=(

sec(=

csc(=(

例二

求下列各角的六个三角函数值

⑴ 0

⑵ (

⑶ ⑷

解：⑴

⑵ ⑶的解答见P16-17

⑷ 当(=时

∴sin=1

cos=0

tan不存在

cot=0

sec不存在

csc=1 例三

求函数的值域

解： 定义域：cosx(0 ∴x的终边不在x轴上

又∵tanx(0 ∴x的终边不在y轴上

∴当x是第Ⅰ象限角时， cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2

„„„„Ⅱ„„„„,|cosx|=(cosx |tanx|=(tanx ∴y=(2

„„„„ⅢⅣ„„„,

|cosx|=(cosx |tanx|=tanx ∴y=0 例四

⑴ 已知角(的终边经过P(4,(3),求2sin(+cos(的值

⑵已知角(的终边经过P(4a,(3a),(a(0)求2sin(+cos(的值

解：⑴由定义 ：

sin(=(

cos(= ∴2sin(+cos(=(

⑵若

则sin(=(

cos(= ∴2sin(+cos(=(

若

则sin(=

cos(=( ∴2sin(+cos(=

三、小结：定义及有关注意内容

四、作业： 课本 P19 练习1

P20习题4.3

总 第6教时 4.3-2三角函数线

教学目的：

理解有向线段的概念、正弦线、余弦线、正（余）切线。 要求学生掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。

过程：

一、复习三角函数的定义，指出：“定义”从代数的角度揭示了三角函数是一个“比值”

二、提出课题：从几何的观点来揭示三角函数的定义： 用单位圆中的线段表示三角函数值

三、新授： 介绍（定义）“单位圆”—圆心在原点O，半径等于单位长度的圆 作图：（图4-12 ）

设任意角(的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，角(的终边也与单位圆交于P，坐标轴正半轴分别与单位圆交于A、B两点

过P(x,y)作PM(x轴于M，过点A(1,0)作单位圆切线，与(角的终边或其反向延长线交于T，过点B(0,1)作单位圆的切线，与(角的终边或其反向延长线交于S 简单介绍“向量”（带有“方向”的量—用正负号表示） “有向线段”（带有方向的线段）

方向可取与坐标轴方向相同，长度用绝对值表示。 例：有向线段OM，OP

长度分别为

当OM=x时

若

OM看作与x轴同向

OM具有正值x

若

OM看作与x轴反向

OM具有负值x

有向线段MP,OM,AT,BS分别称作

(角的正弦线,余弦线,正切线,余切线

四、例题：

例一．利用三角函数线比较下列各组数的大小： 1( 与

2( tan与tan

3( cot与cot 解：如图可知：

，

tan tan cot cot 例二

利用单位圆寻找适合下列条件的0(到360(的角 1( sin(≥

2( tan(

解： 1(

2(

30(≤(≤150(

30((90(或210((270( 例

三、求证：若时，则sin(1sin(2 证明：

分别作(1,(2的正弦线x的终边不在x轴上

sin(1=M1P1

sin(2=M2P2 ∵

∴M1P1 M2P2

即sin(1sin(2

五、小结：单位圆，有向线段，三角函数线

六、作业： 课本 P15

练习

P20习题4.3

补充：解不等式：()

1(sinx≥

2( tanx

3(sin2x≤

推荐第9篇：三角函数教案

三角函数

1教学目标

⑴: 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形

⑵: 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． ⑶: 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．

2学情分析

学生在具备了解直角三角形的基本性质后再对所学知识进行整合后利用才学习直角三角形边角关系来解直角三角形。所以以旧代新学生易懂能理解。

3重点难点

重点：直角三角形的解法

难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用 以实例引入，解决重难点。

4教学过程 4.1 第一学时 教学活动 活动1【导入】

一、复习旧知，引入新课

一、复习旧知，引入新课

1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？

答：(1)、三边之间关系 ： a2 +b2 =c2 (勾股定理) (2)、锐角之间关系：∠A+∠B=90° (3)、边角之间关系

以上三点正是解的依据．

3、如果知道直角三角形2个元素，能把剩下三个元素求出来吗？经过讨论得出解直角三角形的概念。

复习直角三角形的相关知识，以问题引入新课

注重学生的参与，这个过程一定要学生自己思考回答，不能让老师总结得结论。

PPT，使学生动态的复习旧知

活动2【讲授】

二、例题分析教师点拨

例1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b= ， a= ，解这个直角三角形． 例2在Rt△ABC中， ∠B =35o，b=20，解这个直角三角形

活动3【练习】

三、课堂练习学生展示

完成课本91页练习

1、Rt△ABC中，若sinA= ,AB=10，那么BC=_____，tanB=______．

2、在Rt△ABC中，∠C=90°，a= ，c= ，解这个直角三角形.

3、如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA= AB=15，求△ABC的周长和tanA的值

4、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=72°，c=14，解这个直角三角形（结果保留三位小数）.活动4【活动】

四、课堂小结

1)、边角之间关系 2)、三边之间关系

3)、锐角之间关系∠A+∠B=90°．

4)、“已知一边一角，如何解直角三角形？”

活动5【作业】

五、作业设置

课本 第96页习题28．2复习巩固第1题、第2题．

推荐第10篇：高中数学三角函数公式

两角和公式

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)倍角公式

tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA•CosA

Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A=2Cos^2 A—1=1—2sin^2 A 三倍角公式

sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA

tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 半角公式

sin(A/2) = √{(1--cosA)/2}cos(A/2) = √{(1+cosA)/2}

tan(A/2) = √{(1--cosA)/(1+cosA)}

tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 和差化积

sin(a)+sin(b) = 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]sin(a)-sin(b) = 2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]cos(a)+cos(b) = 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]cos(a)-cos(b) = -2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB 积化和差

sin(a)sin(b) = -1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]cos(a)cos(b) = 1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]sin(a)cos(b) = 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)] cos(a)sin(b) = 1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式

sin(-a) = -sin(a)cos(-a) = cos(a)sin(π/2-a) = cos(a)cos(π/2-a) = sin(a)sin(π/2+a) = cos(a)cos(π/2+a) = -sin(a)sin(π-a) = sin(a)cos(π-a) = -cos(a)sin(π+a) = -sin(a)cos(π+a) = -cos(a)tanA = sinA/cosA 万能公式

sin(a) = [2tan(a/2)] / {1+[tan(a/2)]^2}

cos(a) = {1-[tan(a/2)]^2} / {1+[tan(a/2)]^2} tan(a) = [2tan(a/2)]/{1-[tan(a/2)]^2}

其它公式

a·sin(a)+b·cos(a) = [√(a^2+b^2)]*sin(a+c) [其中，tan(c)=b/a]a·sin(a)-b·cos(a) = [√(a^2+b^2)]*cos(a-c) [其中，tan(c)=a/b]

1+sin(a) = [sin(a/2)+cos(a/2)]^2;1-sin(a) = [sin(a/2)-cos(a/2)]^2;;公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）= sinαcos（2kπ＋α）= cosαtan（2kπ＋α）= tanα公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanα公式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanα公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanα公式五：

利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanα公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2+α）= cosαcos（π/2+α）= -sinαsin（π/2-α）= cosαcos（π/2-α）= sinαsin（3π/2+α）= -cosαcos（3π/2+α）= sinαsin（3π/2-α）= -cosαcos（3π/2-α）= -sinα

第11篇：三角函数变换公式

两角和公式

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ –cosαsinβ

tan(α+β) = (tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)tan(α-β) = (tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)cot(α+β) = (cotαcotβ-1)/(cotβ+cotα)cot(α-β) = (cotαcotβ+1)/(cotβ-cotα) 和差化积

sinα+sinβ= 2sin[(α+β)/2] cos[(α-β)/2]sinα-sinβ= 2cos[(α+β)/2] sin[(α-β)/2]cosα+cosβ= 2cos[(α+β)/2] cos[(α-β)/2]cosα-cosβ= -2sin[(α+β)/2] sin[(α-β)/2]tanα+tanβ=sin(α+β)/cosαcosβ

=tan(α+β)(1-tanαtanβ)

tanα-tanβ=sin(α-β)/cosαcosβ

=tan(α-β)/(1+tanαtanβ)

积化和差

sinαsinβ = -[cos(α+β)-cos(α-β)] /2cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2 锐角三角函数公式

正弦：sin α=∠α的对边/∠α 的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边 同角三角函数的基本关系

tanα= sinα/ cosα ；cotα= cosα/ sinα；secα＝1 /cosα ；cscα＝1/ sinα； 倒数关系:

tanα ·cotα＝1sinα ·cscα＝1cosα ·secα＝1商的关系：

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα平方关系：

sin2(α)＋cos2(α)＝11＋tan2(α)＝sec2(α)1＋cot2(α)＝csc2(α) 二倍角公式：

正弦sin2α=2sinαcosα

余弦cos2a=cos2(a)-sin2(a) =2Cos2(a)-1

=1-2Sin2(a)

正切tan2α=（2tanα）/（1-tan2(α)）

半角公式

tan(α/2)=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)cot(α/2)=sinα/(1-cosα)=(1+cosα)/sinα.sin2(α/2)=(1-cos(α))/2cos2(α/2)=(1+cos(α))/2诱导公式

sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (-α)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotα tan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα 诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限 万能公式

sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))²]

cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1+(tan(α/2))²]tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²]三倍角公式

sin3θ= 3sinθ-4sin3θ cos3θ=4cos3θ-3cosθ sin3θ= (3sinθ- sin3θ)/4 cos3θ=(3cosθ+cos3θ)/4 一个特殊公式 （sinα+sinβ）*（sinα-sinβ）=sin（α+β）*sin（α-β） 证明：（sinα+sinβ）*（sinα-sinβ）=2 sin[(α+β)/2] cos[(α-β)/2] *2 cos[(α+β)/2] sin[(α-β)/2]=sin（α+β）*sin（α-β） 其它公式

(1) (sinα)²+(cosα)²=1(2)1+(tanα)²=(secα)²(3)1+(cotα)²=(cscα)²

(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

证:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论

(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2) =cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)cos²A+cos²B+cos²C=1-2cosAcosBcosC(8)sin²A+sin²B+sin²C=2+2cosAcosBcosC

第12篇：三角函数公式表

角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。 起源

“三角学”，英文Trigonometry，法文Trigonometrie，德文Trigonometrie，都来自拉丁文 Trigonometria。现代三角学一词最初见于希腊文。最先使用Trigonometry这个词的是皮蒂斯楚斯( Bartholomeo Pitiscus,1516-1613)，他在1595年出版一本著作《三角学:解三角学的简明处理》，创造了这个新词。它是由τριγωυου(三角学)及μετρει υ(测量)两字构成的，原意为三角形的测量，或者说解三角形。古希腊文里没有这个字，原因是当时三角学还没有形成一门独立的科学，而是依附于天文学。因此解三角形构成了古代三角学的实用基础。

早期的解三角形是因天文观测的需要而引起的。还在很早的时候，由于垦殖和畜牧的需要，人们就开始作长途迁移；后来，贸易的发展和求知的欲望，又推动他们去长途旅行。在当时，这种迁移和旅行是一种冒险的行动。人们穿越无边无际、荒无人烟的草地和原始森林，或者经水路沿着海岸线作长途航行，无论是那种方式，都首先要明确方向。那时，人们白天拿太阳作路标，夜里则以星星为指路灯。太阳和星星给长期跋山涉水的商队指出了正确的道路，也给那些沿着遥远的异域海岸航行的人指出了正确方向。就这样，最初的以太阳和星星为目标的天文观测，以及为这种观测服务的原始的三角测量就应运而生了。因此可以说，三角学是紧密地同天文学相联系而迈出自己发展史的第一步的

同角三角函数的基本关系式

倒数关系: tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝

1商的关系：

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

平方关系： sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α

诱导公式

sin（－α）＝－sinα

sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα

sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα

sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα cos（－α）＝cosα

tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα

sin（3π/2－α）＝－cosα sinα

sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα cot（2π－α）＝－cotα

cos（3π/2－α）＝－tan（2π－α）＝－tanα tan（3π/2－α）＝cotα

cot（3π/2－α）＝tanαsin （2kπ＋α）＝sinα

sin（3π/2＋α）＝－

cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα

cot（π/2＋α）＝－tanα cot（π＋α）＝cotα

两角和与差的三角函数公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ tan（α＋β）＝——————1－tanα ·tanβ

tanα－tanβ tan（α－β）＝——————1＋tanα ·tanβ

半角的正弦、余弦和正切公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α

2tanα tan2α＝—————1－tan2α

三角函数的和差化积公式

α＋βα－β sinα＋sinβ＝2sin—－－·cos—－—22α＋βα－β

cosα

cot（2kπ＋α）＝cotα

cos（3π/2＋α）＝sinα( 其中k∈Z)

tan（3π/2＋α）＝－cotα

cot（3π/2＋α）＝－tanα 万能公式

2tan(α/2)

sinα＝——————1＋tan2(α/2)1－tan2(α/2) cosα＝——————1＋tan2(α/2)2tan(α/2) tanα＝——————1－tan2(α/2)

三角函数 的降幂公式

三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin3α＝3sinα－4sin3α cos3α＝4cos3α－3cosα

3tanα－tan3α tan3α＝——————1－3tan2α

三角函数的积化和差公式

sinα ·cosβ＝-[sin（α＋β）＋sin（α－β）]

21sinα－sinβ＝2cos—－－·sin—－—22α＋βα－β cosα＋cosβ＝2cos—－－·cos—－—22α＋βα－β cosα－cosβ＝－2sin—－－·sin—－—22

cosα ·sinβ＝-[sin（α＋β）－sin（α－β）]21

cosα ·cosβ＝-[cos（α＋β）＋cos（α－β）]21

sinα ·sinβ＝－ -[cos（α＋β）－cos（α－β）]2

化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）

目录

余弦定理 余弦定理性质 余弦定理证明余弦定理的作用 其他 余弦定理 余弦定理性质 余弦定理证明余弦定理的作用 其他

展开

编辑本段余弦定理

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

编辑本段余弦定理性质

对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质——a^2 = b^2 + c^22·a·c·cosBc^2 = a^2 + b^2c^2) / (2·a·b)cosB = (a^2 + c^2a^2) / (2·b·c)

（物理力学方面的平行四边形定则中也会用到）第一余弦定理（任意三角形射影定理）

设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A。

编辑本段余弦定理证明平面向量证法

∵如图，有a+b=c (平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）

∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)（以上粗体字符表示向量）又∵Cos(π-θ)=-CosC

∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC即 CosC=(a^2+b^2-c^2)/2*a*b

同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。

平面几何证法

在任意△ABC中做AD⊥BC.

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2

b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2b^2=c^2+a^2-2ac*cosBcosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

编辑本段余弦定理的作用

(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角；(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边.

(3)已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。(见解三角形公式，推导过程略。)

判定定理一(两根判别法)：

若记m(c1,c2)为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取减号的值

①若m(c1,c2)=2,则有两解；②若m(c1,c2)=1,则有一解；③若m(c1,c2)=0,则有零解(即无解)。

注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。判定定理二(角边判别法):一当a>bsinA时

①当b>a且cosA>0(即A为锐角)时,则有两解；

②当b>a且cosA0(即A为锐角)时,则有一解；

④当b=a且cosA

①当cosA>0(即A为锐角)时,则有一解；

②当cosA

解三角形公式

例如：已知△ABC的三边之比为5：4：3，求最大的内角.解 设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=5:4:3.

由三角形中大边对大角可知：∠A为最大的角.由余弦定理cos A=0

所以∠A=90°.

再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=60度,求BC之长.解 由余弦定理可知

BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cos A

第13篇：三角函数专题学案

三角函数专题学案（2012）

考纲要求：

1、任意角的概念、弧度制

（1）了解任意角的概念和弧度制的概念；

（2）能进行弧度与角度的互化.2、三角函数

（1）理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；

（2）能利用单位园中的三角函数线推导出

2,的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出

ysinx,ycosx,ytanx的图像，了解三角函数的周期性；

（3）理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2]的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x轴交点等），理解正切函数在区间(,)内的单调性； 2

222（4）理解同角三角函数的基本关系式：sinxcosx1,sinxtanx； cosx

（5）了解函数yAsin(x)的物理意义；能画出yAsin(x)的图像，了解参数A,,对函数图像变化的影响；

（6）体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题；

3、三角恒等变换

（1）两角和与差的三角函数公式

①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；

②会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式；

③会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；

（2）简单的三角恒等变换

能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括汇出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）；

4、解三角形

（1）正弦定理和余弦定理

掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；

（2）应用

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.学习过程

一、探究高考，把握规律

（表一）近五年全国新课标卷三角函数部分对比

规律总结：

（表二）2011年全国高考试题三角函数部分对比

规律总结：

二、网络构建，知识打包

三、教材回归，高考链接

1、（必修四69页A8）已知tan3,计算

4sin2cos

;（2）sincos;（3）(sincos)2.5cos3sin

sin2

高考链接：（2011福建卷3）若tan=3，则的值等于

cos2a

（1）

A.2B.3C.4D.6

2、（必修四39页例5）求函数ysin(x高考链接（2011安徽9）

已知函数f(x)sin(2x)，其中为实数，若f(x)f()对xR恒成立，且f()f()，



),x[2,2]的单调递增区间.

6

2则f(x)的单调递增区间是

（A）k





,k





（B）(kZ)k,k(kZ) 62

（C）k







6,k

2

（D）k,k(kZ) (kZ)23

3、（必修四127页例2）

4

5,(,),cos,是第三象限角，求cos()的值.521

31

高考链接：（2011广东卷16）已知函数f(x)2sin(x),xR.36

5

（1）求f()的值；

已知sin（2）设,0,

106

,f(3a),f(32),求cos()的值． 21352

四、题海拾贝，提升能力

1．（2007宁、海卷9

）若

cos2cossin的值为（）

π

sin

4

1

2Ｃ．

Ａ．

Ｂ．

12

Ｄ．

2．（2008宁、海卷1）已知函数y2sin(x)(0))在区间0，2的图像如下： x

那么

＝（） A．

1B．

2C．

D．

1

33．（2009宁、海卷5）有四个关于三角函数的命题：

p1：xR, sin2p3: x0,其中假命题的是

x12x+cos=p2: x、yR, sin(x-y)=sinx-siny

22

2p4: sinx=cosyx+y=

2（A）p1，p4（B）p2，p4（3）p1，p3（4）p2，p

44．（2010宁、海卷9）若cos

，是第三象限的角，则

51tan1tan



（A）

1

1（B）（C）2（D）2 2

25．（2011宁、海卷5）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y2x上，则cos2= （A）

4334（B）（C）（D） 5555

6．（2011北京卷15）（本小题共13分）已知函数f(x)4cosxsin(x



6

)1.

（Ⅰ）求f(x)的最小正周期：



（Ⅱ）求f(x)在区间,上的最大值和最小值。

64

第14篇：反三角函数(教案)

第4节 反三角函数（2课时）

第1课时

[教材分析]：反三角函数的重点是概念，关键是反三角函数与三角函数之间的联系与区别。内容上，自然是定义和函数性质、图象；教学方法上，着重强调类比和比较。

另外，函数与反函数之间的关系，是本节内容中的一个难点，同时涉及上学期内容，可能是个值得复习的机会。

[课题引入]：在辅助角公式中，我们知道

其中cosasinxbcosxa2b2sinx，

aab22,sinbab22，这样表述相当烦琐，我们想是否有比较简明的方法来表示辅助角呢？这就是我们今天要引入的问题——反三角函数。

[教学过程]：

师：首先我们回顾一下，什么样的函数才有反函数？

答：一一对应的函数具有反函数，最典型的例子就是单调函数具有反函数（但反之不真）。师：我们知道正弦函数ysinx在定义域R上是周期函数，当然不是一一对应的，因而没有反函数。但是，如果我们截取其中的一个单调区间，比方说我们研究函数：

ysinx,x,，这个函数是单调函数，因而有反函数。

22师：现在我们来求这个函数的反函数，那么求反函数有哪些步骤？（反解，互换x,y） （这里我们使用符号arcsin表示反解）反解得xarcsiny，互换得yarcsinx，其中x1,1,y,，这就是要求的反正弦函数。

221． 反正弦函数的图象

反正弦函数yarcsinx，x1,1与函数ysinx,x个函数图象关于直线yx对称。 2． 反正弦函数的性质（由函数图象可得）

因此两,互为反函数，

22，1，值域为①定义域为1,； 22，1上单调递增； ②yarcsinx在定义域1xarcsinx ③yarcsinx是奇函数，即对任意x1,1，有arcsin3． 反正弦函数的恒等式

①由“一一对应”的性质知：对任意值x1,1，在,上都有唯一对应的角22arcsinx，使得它的正弦值为x，即得恒等式sinarcsinxx,x1,1；

②由“一一对应”的性质知：对任意角x在1，1上都有唯一对应的值sinx，,，

22,。 22sinxx,x使得它的反正弦值为x，即得恒等式arcsin例题选编：

[例1]：求下列反三角函数值： （1）arcsin31 ； （2）arcsin0 （3）arcsin 22解：利用恒等式1来理解题意（1）： 记arcsin33sinx3sinx，也就是在,上找xsinarcsin22222一个角x，使得sinx3；（2）（3）类似。 2说明：对于特殊值的反正弦函数值的处理，利用恒等式1理解是一种本人以为较为机械的方法；但不知是否适合于初学者，有待讨论。可能直接让他们感受概念会来得更为简单些吧，实际上教材P98的思路有点类似于本文的处理方式。 [例2]：用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x ： （1）sinx3,x,， 5221,x,， 422（2）sinx（3）sinx3,x0, 3解：利用恒等式2来理解题意：

sinx（1）33sinxarcsin3，arcsin而x,，故有xarcsin；

555223sinxarcsin3，而xarcsin,，故不能直接利用恒3322（3）sinx等式2，需要利用诱导公式，将角度转化到,上，此时涉及讨论： 22若x0,33，则 arcsinsinxarcsinxarcsin332若x,，则x0,，故有 223sinxarcsin3xarcsin3 arcsin333sinxarcsinarcsin即xarcsin3。 3[例3]：化简下列各式：

（1）arcsinsin （2）arcsinsin95sin3.49  （3）arcsin6解：此题直接利用恒等式2，当区间不满足要求时，需要利用诱导公式转化区间。 （1），，由恒等式2得arcsinsin； 9229955转化了； arcsinsin，这里将6666（2）arcsinsinsin3.49arcsinsin0.49 sin30.49arcsin（3）arcsinsin0.490.49。 arcsin[例4]：判断下列各式是否成立： （1）arcsin3312k,kZ ； （2）arcsin； （3）arcsin22332（4）arcsinarcsin； （5）sinarcsin22

3322（6）sinarcsin1010 解：（1）对；（2）错；（3）当k0时对；（4）错，[例5]：写出下列函数的定义域和值域：

（1）y2arcsinx； （2）yarcsinxx 解：（1）

31,1；（5）错；（6）对。

2x1,1x0,1，由反正弦函数的单调性知y0, （2）xx1,1x21515,， 22这是典型的复合函数求值域问题，由ux2x1,1和反正弦函数的单调性可知： 41yarcsin,

42[例6]：求下列函数的反函数： （1）ysin2x,x, 443, 22（2）y2sinx,x（3）y21arcsinx 2sin2x2x，解：（1）反解得arcsinyarcsin（恒等式2的运用，注意区间）

互换x,y即得反函数为y1arcsinx 2sinxarcsinsinxx，互换x,y即得反函（2）反解得arcsinarcsin数为yarcsin。 （3）

作业：P99 练习

1、

2、3

[课题总结]： [试题选编]： y2x2

第15篇：三角函数线教案

三角函数线及其应用

教学目标

1．使学生理解并掌握三角函数线的作法，能利用三角函数线解决一些简单问题． 2．培养学生分析、探索、归纳和类比的能力，以及形象思维能力． 3．强化数形结合思想，发展学生思维的灵活性． 教学重点与难点

三角函数线的作法与应用． 教学过程设计

一、复习

师：我们学过任意角的三角函数，角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是如何定义的？

生：在α的终边上任取一点P（x，y），P和原点O的距离是r（r＞0），那么角α的六个三角函数分别是 （教师板书）

师：如果α是象限角，能不能根据定义说出α的各个三角函数的符号规律？

生：由定义可知，sinα和cscα的符号由y决定，所以当α是第

一、二象限角时，sinα＞0，cscα＞0；当α是第

三、四象限角时，sinα＜0，cscα＜0．cosα和secα的符号由x决定，所以当α是第

一、四象限角时，cosα＞0，secα＞0；当α是第

二、三象限角时，cosα＜0，secα＜0．而tanα，cotα的符号由x，y共同决定，当x，y同号时，tanα，cotα为正；当x，y异号时，tanα，cotα为负．也就是说当α是第

一、三象限角时，tanα＞0，cotα＞0；当α是第

二、四象限角时，tanα＜0，cotα＜0．

师：可以看到，正弦值的正负取决于P点纵坐标y，余弦值的正负取决于P点的横坐标x，而正切值的正负取决于x和y是否同号，那么正弦、余弦、正切的值的大小与P点的位置是否有关？

生：三角函数值的大小与P的位置无关，只与角α的终边的位置有关． 师：既然三角函数值与P点在角α的终边上的位置无关，我们就设法让P点点位于一个特殊位置，使得三角函数值的表示变为简单．

二、新课

师：P点位于什么位置，角α的正弦值表示最简单？ 生：如果r=1，sinα的值就等于y了． 师：那么对于余弦又该怎么处理呢？ 生：还是取r=1．

师：如果r=1，那么P点在什么位置？

生：P点在以原点为圆心，半径为1的圆上．

师：这个圆我们会经常用到，给它起个名字，叫单位圆，单位圆是以原点为圆心，以单位长度为半径的圆． （板书） 1．单位圆

师：设角α的终边与单位圆的交点是P（x，y），那么有sinα=y，cosα=x．

师：我们前面说的都是三角函数的代数定义，能不能将正弦值、余弦值等量几何化，也就是用图形来表示呢？因为数形结合会给我们的研究带来极大的方便，请同学们想想，哪些图形与这些数值有关呢？

（同学可能答不上来，教师给出更明确的提示．）

师：sinα=y，cosα=x，而x，y是点P的坐标，根据坐标的意义再想一想．

师：对点来说，是它的位置代表了数，点本身并不代表数．能不能找到一个图形，自身的度量就代表数？

生：可以用面积，比如一个正数可以对应着一个多边形的面积，每一个多边形的面积对应着唯一一个正数． 师：很好．但这是一个二维的图形，而且多边形的边数也不确定，我们还应遵循求简的原则．有没有简单的图形呢？

生：是不是能用线段的长度来表示？ 师：说说你的理由．

生：线段的长度与正数是一一对应的，所以每一个正数可以用一条线段来作几何形式． 师：正数可以这样去做，零怎么办呢？能用线段来表示吗？ 生：（非常活跃）当然行了，让线段两个端点重合，线段长就是零了．

师：可以画这样一个示意图，线段一个端点是A，另一个端点是B，当A，B重合时，我们说AB是0；当A，B不重合时，我们说AB是一个正实数．那么负数怎么办呢？能不能想办法也用线段AB表示？

生：线段的长度没有负数．

生：我能不能这样看，A点在直线l上，B点在l上运动，如果B在A的右侧，我就说线段AB代表正数；如果B和A重合，就说线段AB代表0；如果B在A的左侧，就说线段AB代表负数．

（教师不必理会学生用词及表述的漏洞．主要是把学生的注意力吸引到对知识、概念的发现上来．）

师：正数与正数不都相等，负数和负数也不都相等，你只是规定了正负还不够吧？！

生：可以再加上线段AB的长度．这样所有的实数都能对应一条线段AB，以A为分界点，正数对应的点B在A的右侧，而且加上长度，B点就唯一了．

师：他的意见是对线段也给了方向．与直线规定方向是类似的．那么如何建立有向线段与数的对应关系？ （板书） 2．有向线段

师：顾名思义，有方向的线段（即规定了起点与终点的线段）叫做有向线段，那么如何建立有向线段与数的对应关系呢？这需要借助坐标轴．平行于坐标轴的线段可以规定两种方向．如图2，线段AB可以规定从点A（起点）到点B（终点）的方向，或从点B（起点）到点A（终点）的方向，当线段的方向与坐标轴的正方向一致时，就规定这条线段是正的；当线段的方向与坐标轴的正方向相反时，就规定这条线段是负的．如图中AB=3（长度单位）（A为起点，B为终点），BA=-3（长度单位）（B为起点，A为终点），类似地有CD=-4（长度单位），DC=4（长度单位）．

师：现在我们回到刚才的问题，角α与单位圆的交点P（x，y）的纵坐标恰是α的正弦值，但sinα是可正、可负、可为零的实数，能不能找一条有向线段表示sinα？

生：找一条有向线段跟y一致就行了，y是正的，线段方向向上，y是负的，线段方向向下，然后让线段的长度为｜y｜． 师：理论上很对，到底选择哪条线段呢？我们不妨分象限来看看．

生：如果α是第一象限的角，过P点向x轴引垂线，垂足叫M（无论学生用什么字母，教师都要将其改为M），有向线段MP为正，y也是正的，而且MP的长度等于y，所以用有向线段MP表示sinα=y．

（图中的线段随教学过程逐渐添加．）

生：如果α是第二象限角，sinα=y是正数，也得找一条正的线段．因为α的终边在x轴上方，与第一象限一样，作PM垂直x轴于M，MP=sinα．

师：第

一、二象限角的正弦值几何表示都是MP，那么第

三、四象限呢？注意此时sinα是负值．

生：这时角α的终边在x轴下方，P到x轴的距离是｜y｜=-y．所以还是作PM垂直x轴于M，MP方向向下，长度等于-y，所以sinα=y．

师：归纳起来，无论α是第几象限角，过α的终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，交x轴于M，有向线段MP的符号与点P的纵坐标y的符号一致，长度等于｜y｜．所以有MP=y=sinα．我们把有向线段MP叫做角α的正弦线，正弦线是角α的正弦值的几何形式． （板书）

3．三角函数线

（1）正弦线——MP 师：刚才讨论的是四个象限的象限角的正弦线，轴上角有正弦线吗？

生：当角α的终边在x轴上时，P与M重合，正弦线退缩成一点，该角正弦值为0；当角α终边与y轴正半轴重合时，M点坐标为（0，0），P（0，1），MP=1，角α的正弦值为1；当α终边与y轴负半轴重合时，MP=-1，sinα=-1，与象限角情况完全一致． 师：现在来找余弦线．

生：因为cosα=x（x是点P的横坐标），所以把x表现出来就行了．过P点向y轴引垂线，垂足为N，那么有向线段NP=cosα，NP是余弦线． 师：具体地分析一下，为什么NP=cosα？

生：当α是第

一、四象限角时，cosα＞0，NP的方向与x轴正方向一致，也是正的，长度为x，有cosα=NP；当α是第

二、三象限角时，cosα＜0，NP也是负的，也有cosα=NP． 师：这位同学用的是类比的思想，由正弦线的作法类比得出了余弦线的作法，其他同学有没有别的想法？

生：其实有向线段OM和他作的有向线段NP方向一样，而且长度也一样，也可以当作余弦线．

师：从作法的简洁及图形的简洁这个角度看，大家愿意选哪条有向线段作为余弦线？ 生：OM． （板书）

（2）余弦线——OM 师：对轴上角这个结论还成立吗？ （学生经过思考，答案肯定．）

师：我们已经得到了角α的正弦线、余弦线，它们都是与单位圆的弦有关的线段，能不能找到单位圆中的线段表示角α的正切呢？

生：肯定和圆的切线有关系（这里有极大的猜的成分，但也应鼓励学生．）

坐标等于1的点，这点的纵坐标就是α的正切值． 师：那么横坐标得1的点在什么位置呢？ 生：在过点（1，0），且与x轴垂直的直线上． 生：这条直线正好是圆的切线．（在图3-（1）中作出这条切线，令点（1，0）为A．） 师：那么哪条有向线段叫正切线呢？不妨先找某一个象限角的正切线．

生：设α是第一象限角，α的终边与过A的圆的切线交于点T，T的横坐标是1，纵坐标设为y′，有向线段AT=y′，AT可以叫做正切线．

师：大家看可以这样做吧？！但第二象限角的终边与这条切线没有交点，也就是α的终边上没有横坐标为1的点．

生：可以令x=-1，也就是可以过（-1，0）再找一条切线，在这条切线上找一条有向线段表示tanα．

师：我相信这条线段肯定可以找到，那么其他两个象限呢？

生：第三象限角的正切线在过（-1，0）的切线上找，第四象限角的正切线在过（1，0）的切线上找．

师：这样做完全可以，大家可以课下去试，但我们还是要求简单，最好只要一条切线，我们当然喜欢过A点的切线（因为这条直线上每个点的横坐标都是1），第

一、四象限角与这条直线能相交，AT是正切值的反映，关键是第

二、三象限的角． （如果学生答不出来，由教师讲授即可．） 师（或生）：象限角α的终边如果和过A点的切线不相交，那么它的反向延长线一定能和这条切线相交．因为△OMP∽△OAT，OM与MP同号时，OA与AT也同号；OM与MP异号时，OA与AT也异号，

（板书）

（3）正切线——AT 师：的确像刚才同学们说的，正切线确实是单位圆的切线的一部分，那么轴上角的正切线又如何呢？注意正切值不是每个角都有．

生：当角α终边在x轴上时，T和A重合，正切线退缩成了一个点，正切值为0；当角α终边在y轴上时，α的终边与其反向延长线和过A的切线平行，没有交点，正切线不存在，这与y轴上角的正切值不存在是一致的． 师：可以看到正切线的一个应用——帮助我们记忆正切函数的定义域．现在我们归纳一下任意角α的正弦线、余弦线、正切线的作法．

设α的终边与单位圆的交点为P，过P点作x轴的垂线，垂足为M，过A（1，0）点作单位圆的切线（x轴的垂线），设α的终边或其反向延长线与这条切线交于T点，那么有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．

利用三角函数线，我们可以解决一些简单的有关三角函数的问题． （板书）

4．三角函数线的应用

例1 比较下列各组数的大小：

分析：三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值．比较两个三角函数值的大小，可以借助三角函数线． （由学生自己画图，从图中的三角函数线加以判断．）

（画出同一个角的两种三角函数线）． 师：例1要求我们根据角作出角的三角函数线，反过来我们要根据三角函数值去找角的终边，从而找到角的取值范围． （板书）

例2 根据下列三角函数值，求作角α的终边，然后求角的取值集合．

分析：

P1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，因而角α的取值集合为

（3）在单位圆过点A（1，0）的切线上取AT=-1，连续OT，

（4）这是一个三角不等式，所求的不是一个确定的角，而是适合

三、小结及作业

单位圆和三角函数线是研究三角函数的几何工具，它是数形结合思想在三角函数中的体现．我们应掌握三角函数线的作法，并能运用它们解决一些有关三角函数的问题，注意在用字母表示有向线段时，要分清起点和终点，书写顺序要正确． 作业

（1）复习课本“用单位圆中的线段表示三角函数”一节．

（2）课本习题P178练习第7题；P192练习十四第9题；P194练习十四第22题；P201总复习参考题二第20题． 课堂教学设计说明

关于三角函数线的教学，曾有过两个设想：一是三种函数线在同一节课交待，第二节课再讲应用；另一个设想是，第一节课只出正弦线、余弦线及它们的应用，第二节课引入正切线，及三线综合运用，如比较函数值的大小、给值求角、解简单的三角不等式，证明一些三角关系式．本教案选择了前者，原因是利于学生类比思维．在实际教学中，由于教师水平不同，学生的水平也不相同，教案中的例题可能讲不完，或根本不讲，但是宁可不讲例题，也要让学生去猜、去找三角函数的几何形式，我希望把三角函数线的发现过程展现给学生，教师不能包办代替．

数形结合思想是中学数学中的重要数学思想，在教学中应不失时机地加以渗透．通过三角函数线的学习，使学生了解数形结合的“形”不单有函数图象，还有其他的表现形式．至于在解决有关三角函数的问题时用函数图象还是用三角函数线，则要具体情况具体分析，如证明等式sin2α+cos2α=1，研究同一个角的正余弦值的大小关系，都以三角函数线为好．

第16篇：三角函数教学反思

本课教学虽然是复习课，但是学生兴趣盎然，通过本节课的学习把学生学习的三角形单元的各个零散的知识点进行系统梳理，形成知识网络.还通过解决一些实际问题加深对所学知识的理解和运用，还通过一些题组练习区别学生容易混淆的知识点。这样一边整理知识点，一边应用这些知识点解决实际问题，使学生在不知不觉中把三角形的不同知识点有机的联系起来，形成一个完整的知识网络。

1.探索与实践环节

设计目的是让学生感受到复习课，不仅是已学知识的整理复习，同时还是所学知识的延续，更是探索新知的起点。我设计的题目是应用三角形的内角和来探索n边形的内角和，同时也想渗透一点完全归纳法的思想，当然并不是要让学生知道完全归纳法。

2.数学的发展史环节

主要是让学生了解三角形知识的发展史，既是数学的发展史。通过神秘的金字塔中三角形知识的运用，让学生体会到数学历史以及学习数学的快乐，增强学习数学浓厚兴趣。

3.评价与反思环节

设计目的是让学生初步感受更深层次的数学学习评价，让学生逐渐明白学习数学不仅仅只有通过单元测试卷这种书面的形式来评价自己的学习能力和水平，还有更多的评价方法和评价标准，特别是要提醒学生，评价自己是否掌握了学习数学的方法往往比做对了一道题更为重要。

本课重视建构知识网络，发展了学生观察、推理的能力，使学生在复习整理旧知识的同时还能有所获有所得，真正体现了新课提出的练中获得新知，提高了学生的分析综合能力。但是本节课在教学中还没有完全让学生自主回顾、有效参与旧知的整理。

第17篇：锐角三角函数说课稿

《锐角三角函数复习课》说课稿

初三十班

赵景花

各位评委老师，大家好。今天我说课的课题是人教版九年级数学下册28章《锐角三角函数复习课》。对于本节课，我将从教材内容、学情、教学目标、教学方法和学法、教学准备、教学环节、作业、板书设计等几个方面加以说明。

一、教材内容分析

本节教材是人教版初中数学新教材九年级下第28章内容，是初中数学的重要内容之一。一方面，这是在学习了直角三角形两锐角关系、勾股定理等知识的基础上，对直角三角形边角关系的进一步深入和拓展；另一方面，又为解直角三角形等知识奠定了基础。因此，本节课不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。本节重点是对锐角三角函数知识中考考点进行全面的分析，掌握。这些知识点是学生必须掌握，能够拿到的分数的部分，保证每个学生不失分。

二、学情分析

九年级学生的思维活跃，接受能力较强，具备了一定的数学探究活动经历和应用数学的意识。并且学生已经掌握直角三角形中各边和各角的关系，能灵活运用相似图形的性质及判定方法解决问题，有较强的推理证明能力，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础。心理上九年级学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。

学生要得出直角三角形中边与角之间的关系，需要观察、思考、交流，进一步体会数学知识之间的联系，感受数形结合的思想，体会锐角三角函数的意义，提高应用数学和合作交流的能力。

三、教学目标

根据教学内容和学情确定本节课的教学目标：

1.知识与技能：理解锐角三角函数的定义，并熟记特殊角的锐角三角函数值进行计算；能用锐角三角函数知识解直角三角函数，解决实际问题。并体会锐角三角函数简化综合题运算过程的意义。

2.过程与方法： 经历锐角三角函数知识的复习总结过程，归类中考考点，培养学生观察分析探究问题和自学能力。

3、情感态度价值观：通过复习，归纳，总结，体会数学的合理性和严谨性及各知识之间的

联系。使学生养成积极思考，总结，综合知识点的好习惯。

四、教学方法和学法分析

1教法：学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者，教学的一切活动都必须以强调学生的主动性、积极性为出发点。根据这一教学理念，结合本节课的内容特点和学生的学情情况，本节课采用启发式、探究式教学法。倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和合作交流的形式发现、分析和解决问题，给学生充分展示自我空间，让学生去联想、探索，从真正意义上完成对知识的自我建构。

2学法：本节课的学习方法采用自学探究、互助合作、讨论交流方法。本节课数学活动贯穿始终，既有学生自主探究的，也有小组合作交流的，目的让学生从自主探究中发展，从合作交流中提高。

五、教学准备：制作课件，几何画板

六、教学过程：

教学过程分为：

一、知识点复习；

二、考点分类，加之例题分析，以练习，讲解，总结环节进行；

三、总结学习经验。考点一：锐角三角函数定义

考点二：特殊角的锐角三角函数进行计算 考点三：锐角三角函数之间的联系与转化 考点四：解直角三角形的应用

考点五：锐角三角函数在综合运算中的简化功能

我觉得教学中，不仅要教会学生知识，解题的方法，还要在教学中让学生体会解题思想，和解题经验，解题感悟。这些无形的感悟，会激发学生克服学习困难，增加学生学习数学的兴趣与积极自主思考解决问题的能力。所以，我在教学中通过不同的解法，分析角度的比较，让学生形成自己的学习，解题体会。激发学生学习数学的热情。

第18篇：高中三角函数公式

高中三角函数公式大全

2009年07月12日 星期日 19:27

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tan(A-B) =tanAtanB1-tanAtanBtanAtanB1tanAtanBcotAcotB-1cotBcotAcotAcotB1cotBcotA cot(A+B) =cot(A-B) =倍角公式 tan2A =2tanA1tanA2

Sin2A=2SinA•CosA

Cos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A 三倍角公式

sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana·tan(半角公式 sin(A2A2A2A2A23+a)·tan(

3-a) )=1cosA21cosA21cosA1cosA1cosA1cosA1cosAsinA

cos()=

tan()=

cot(tan()=)=

sinA1cosA=

和差化积

sina+sinb=2sinab2cos

ab2 sina-sinb=2cosab2sin

ab2 cosa+cosb = 2coscosa-cosb = -2sintana+tanb=ab2ab2coin

ab2ab2sin(ab)cosacosb12121212

积化和差

sinasinb = -cosacosb = sinacosb = cosasinb = [cos(a+b)-cos(a-b)] [cos(a+b)+cos(a-b)] [sin(a+b)+sin(a-b)] [sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式

sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(cos(sin(cos(2-a) = cosa -a) = sina +a) = cosa +a) = -sina 222sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =万能公式

2tana2a2a2a2sinacosa

sina=1(tan1(tan

)))22cosa=1(tan

22tana2a2tana=1(tan

)2其它公式

a•sina+b•cosa=(a2b2)×sin(a+c) [其中tanc=a•sin(a)-b•cos(a) = 1+sin(a) =(sin1-sin(a) = (sin1sina1cosaa2a2ba]

ab(ab)×cos(a-c) [其中

22tan(c)=] +cos)2

2a-cos)2

2a其他非重点三角函数 csc(a) =sec(a) =

双曲函数 sinh(a)=e-e2ee2sinh(a)cosh(a)a-aa-a

cosh(a)=

tg h(a)=

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosα tan（2kπ＋α）= tanα cot（2kπ＋α）= cotα 公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π＋α）= -sinα cos（π＋α）= -cosα tan（π＋α）= tanα cot（π＋α）= cotα 公式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

sin（-α）= -sinα cos（-α）= cosα tan（-α）= -tanα cot（-α）= -cotα 公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα tan（π-α）= -tanα cot（π-α）= -cotα 公式五：

利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π-α）= -sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）= -tanα cot（2π-α）= -cotα 公式六：

2±α及232±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（cos（tan（cot（sin（cos（tan（cot（sin（cos（tan（cot（sin（+α）= cosα +α）= -sinα +α）= -cotα +α）= -tanα -α）= cosα -α）= sinα -α）= cotα -α）= tanα +α）= -cosα +α）= sinα +α）= -cotα +α）= -tanα -α）= -cosα 22222223232323232cos（tan（cot（323232-α）= -sinα -α）= cotα -α）= tanα

(以上k∈Z)

这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用

A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) =A2B22ABcos()×sin

tarcsin[(AsinBsin)AB2ABcos()22

三角函数公式证明（全部） 2009-07-08 16:13 公式表达式

乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理

判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根

b2-4ac>0 注：方程有一个实根

b2-4ac

三角函数公式

两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角

正切定理: [(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]} 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标

圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c\'*h

正棱锥侧面积 S=1/2c*h\' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c\')h\' 圆台侧面积 S=1/2(c+c\')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l

弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=S\'L 注：其中,S\'是直截面面积， L是侧棱长

柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h -----------------------三角函数 积化和差 和差化积公式 记不住就自己推，用两角和差的正余弦：

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

这两式相加或相减，可以得到2组积化和差: 相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2 相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2

sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

这两式相加或相减，可以得到2组积化和差: 相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2 相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2

这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了

不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下 正加正 正在前

正减正 余在前

余加余 都是余

余减余 没有余还负

正余正加 余正正减

余余余加 正正余减还负 .3.三角形中的一些结论：(不要求记忆) (1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC (2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) (3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1 (4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC (5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ...........................已知sinα=m sin(α+2β), |m|

sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβ sin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1) tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ

第19篇：三角函数教学设计

正弦函数的图像和性质

一、教材分析

二、教法分析

三、学法和能力培养

四、教学程序

五、板书说明

六、效果及评价说明

一、教材分析

4.8节是在前面已经学习过正、余弦函数的图象、三角函数的有关概念和公式基础上进行的，其知识和方法将为后续内容的学习打下基础，有承上启下的作用。本节课是数形结合思想方法的良好素材。 因此，本节课在教材中的知识作用和思想地位是相当重要的。

课时安排 4.8节教材安排为4课时,我计划用5课时 目标和重、难点

1．教学目标

教学目标的确定，考虑了以下几点：

（1）大多数学生对数学科特别是函数内容的学习有畏难情绪，所以在内容上要降低深难度。

（2）学会方法比获得知识更重要，本节课着眼于新知识的探索过程与方法，巩固应用主要放在后面的三节课进行。

2． 重、难点

由以上教学目标可知，本节重点是师生共同探索，正、余函数的性质，在探索中体会数形结合思想方法。

难点是：函数周期定义、正弦函数的单调区间和对称性的理解。 如何克服难点呢？

其一，抓住周期函数定义中的关键字眼，举反例说明；

其二，利用函数的周期性规律，抓住“横向距离”和“k∈Z"的含义，充分结合图象来理解单调性和对称性

二、教法分析

（一）教法说明 教法的确定基于如下考虑：

（1）只有学生自己获取的知识，他才能灵活应用，所以要注重学生的自主探索。 （2）教师始终要注意的是引导学生探索，而不是自己探索、学生观看，所以教师要引导，而且只能引导不能代办，否则不但没有教给学习方法，而且会让学生产生依赖和倦怠。

1 所以，根据以人为本，以学定教的原则，我采取以问题为解决为中心、启发为主的教学方法，形成教师点拨引导、学生积极参与、师生共同探讨的课堂结构形式，营造一种民主和谐的课堂氛围。

（二） 教学手段说明：

（1）精心设计课堂提问，整个课堂以问题为线索，带着问题探索新知。

（2）事先制作正弦函数、余弦函数性质表，让学生当堂完成表格的填写； （3）制作幻灯片演示正、余弦函数图象和性质，也可以使教学更生动形象和连贯。

三、学法和能力培养

为了培养学法，充分关注学生的可持续发展，教师要转换角色，站在初学者的位置上，和学生共同探索新知，共同体验数形结合的研究方法，体验周期函数的研究思路；帮助学生实现知识的意义建构，帮助学生发现和总结学习方法，使教师成为学生学习的高级合作伙伴。

因此

1.本节要教给学生看图象、找规律、思考提问、交流协作、探索归纳的学习方法。2.通过本课的探索过程，培养学生观察、分析、交流、合作、类比、归纳的学习能力及数形结合（看图说话）的意识和能力。

四、教学程序

（一）导入

引出数形结合思想方法，强调其含义和重要性，告诉学生，本节课将利用数形结合方法来研究，会使学习变得轻松有趣。

（二）新知探索 教学过程如下：

师生共同研究得出正弦函数的性质 1．定义域、值域 2．周期性

3．单调性 （重难点内容） 为了突出重点、克服难点

（1）利用多媒体动态演示函数性质，充分体现数形结合的重要作用； （2）单调区间的探索过程是：

先在靠近原点的一个单调周期内找出正弦函数的一个增区间，由此表示出所有的增区间，体现从特殊到一般的知识认识过程。

** 教师结合图象帮助学生理解并强调 “距离”(“长度”)是周期的多少倍

2 4．对称性

因为奇偶性是特殊的对称性，掌握了对称性，容易得出奇偶性，所以着重讲清对称性。体现了从一般到特殊的知识再现过程。

5．最值点和零值点

有了对称性的理解，容易得出此性质。

（三）巩固练习

补充和选作题体现了课堂要求的差异性。

（四）结课

五、板书说明

既要体现原则性又要考虑灵活性

1.板书要基本体现整堂课的内容与方法，体现课堂进程，能简明扼要反映知识结构及其相互联系；能指导教师的教学进程、引导学生探索知识；同时不完全按课本上的呈现方式来编排板书。即体现系统性、程序性、概括性、指导性、启发性、创造性的原则；（原则性）

2.使用幻灯片辅助板书，节省课堂时间，使课堂进程更加连贯。（灵活性）

六、效果及评价说明

（一）知识诊断

（二）评价说明

1．针对学生情况对课本进行了适当改编、细化，有利于难点克服和学生主体性的调动.2． 根据课堂上师生的双边活动，作出适时调整、补充（反馈评价）；根据学生课后作业、提问等情况，反复修改并指导下节课的设计（反复评价）。 希望很久以后留在学生记忆中的不是知识本身，而是方法与思想，是学习的习惯和热情.

第20篇：三角函数研究性学习

研究性学习

班级： 小组： 组长： 组员：

开题报告

三角学的起源与发展

三角学之英文名称 Trigonometry ，约定名于公元1600年，实际导源于希腊文trigono (三角)和metrein (测量)，其原义为三角形测量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的的一门学科。早期的三角学是天文学的一部份，后来研究范围逐渐扩大，变成以三角函数为主要对象的学科。现在，三角学的研究范围已不仅限于三角形，且为数理分析之基础，研究实用科学所必需之工具

一、课题提出的背景

运用数学知识解决现实生活中的实际问题是一项很重要的数学能力，也是新课程标准对学生能力的基本要求。九年级下册锐角三角函数内容不仅是初中数学教学的重点，而且是培养学生运用能力的理想材料，锐角三角函数解实际问题渗透了数形结合的数学思想，通过测量，工程技术等问题，转化为解直角三角形的应用题和数学活动，有助于培养学生的空间想象能力和运用数学的能力，更好地培养学生理论和实践相结合的意识。学生在学习本部分内容时，对概念的形成难以理解，更不能把实际问题抽象成数学模型，造成对实际问题的解决无所适从，学生作业练习中更出现严重错误，利用数学知识解决实际问题的能力欠缺，导致学生对数学学习没有乐趣和积极性，因此，本人把锐角三角函数解决实际问题作为课题进行研究，培养学生数学运用能力。

二、所要解决的主要问题

1、通过实际问题培养学生经历概念的形成能力。

2、研究如何培养学生数形结合的数学思想。

3、研究如何培养学生对实际问题的分析和解决能力。

4、培养学生良好的解决问题的数学思想和方法，使学生对实际问题的探索充满乐趣。

三、课题的理论价值和实践意义

理论价值：本课题的研究有助于学生养成利用数学知识解决现实问题的良好习惯，掌握基本的数学思想和方法，真正体会数学知识的实际意义，培养学生良好的数学意识。

实践意义：本课题的研究体现了数学教学的实际意义和新课程基本要求，提高学生数学学习兴趣，培养数学应用能力。

四、研究内容

1、对学生数学的应用能力进行调查，找出影响应用能力的因素。

2、通过锐角三角函数概念的学习，探索学生经历概念的形成过程。

3、对学生进行图形语言和数学符号语言相结合练习，培养学生数形结合的思想方法。

4、通过一定量的实际问题，培养学生对实物的观察，画出数学图形，培养学生空间想象能力。

5、研究学生解决实际问题过程中学生自主探索，合作交流的能力，寻求多样化的解题方法，培养学生的创新意识。

研究报告

两角和与差的三角函数〃典型例题分析

例

1 化简下列式子：

(1)sin100°sin(-160°)+cos200°cos(-280°) (2)cos(15°-A)·sec15°-sin(165°+A)·csc15°

分析 (1)本题中四个角都不相同，初看起来不能利用公式，如果先利用诱导公式将角度化为小于90°的角，就会发现其内在关系． 4

(2)由于两角和或差的三角函数公式中没有关于两割的函数的式子，因此，应首先将原式化为含有两弦函数的式子． 解：(1)原式=-sin80°·sin20°-cos20°cos80° =-(cos80°cos20°+sin80°sin20°) =-cos(80°-20°) =-cos60° =4sinA 评注 (1)(2)两题共同特点是：不能直接用两角和与差的三角函数公式，但通过基本的三角变换(化负角为正角、化大角为小角、化切割为弦)之后，公式的特征已显现出来．所以，在解题分析时不仅要掌握基本公式，还应掌握一些更基本、更常用的方法． cosβ的值． 求sin2α的值．

分析 (1)已知α的范围及tgα的值，由同角三角函数关系式可求sinα和cosα的值，同理可求得α+β的正弦，再用已知角α及α+β来表示未知角β后利用两角差余弦公式求得．

(2)此题思路与(1)相同，不同的是在应用同角三角函数关系式求某一角的三角函数值时需认真分析α+β和α-β的范围．最后应用的是两角和的正弦公式求sin2α．

因此cosβ=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα

5 同理，cos（α＋β）＝-4/5 于是sin2α=sin[(α-β)+(α+β)] =sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β) 评注 对于此类问题，如果直接利用公式将cos(α+β)，cos(α-β)sin(α+β)展开为单角α、β的三角函数形式组成方程组进行计算，则运算量很大，所以，解决此类给值求值问题，主要是考查运用两角和差公式进行三角变换的能力．

例3 已知A、B、C为锐角，tgA=1，tgB=2，tgC=3，求A+B+C的值．

分析 给出A、B、C的范围及正切值，求A+B+C时，首先必须确定A+B+C的范围，然后求出A+B+C的某一三角函数值，由以上两方面写出A+B+C的大小．在求A+B+C的正切值时，由于只有两角和的正切公式，所以必须先求出A+B的正切值，然后再一次应用公式求A+B+C的正切值． 解：∵A、B、C为锐角， ∴0°＜A+B+C＜270°

又tgA=1，tgB=2，由公式可得： 故 A+B+C=π．

评注 给出三角函数值求角时，必须先确定角的范围．通常情况下，角的范围尽可能缩小到最小程度，以避免多余情形的产生．

6 分析 因为cos(α-β)应用公式后含有α、β的正弦之积与余弦之积，所以可以从已知条件出发，通过平方即会出现sinα·sinβ 和cosα·cosβ．

① 的平方+②的平方得：

评注 对于形如asinα-bsinβ=m，acosα-bcosβ=n，这种类型的条件求值问题要看所求的问题而定，通常所采取的三角变换有：平方后相加(或减)；和差化积；两式相乘等．再如：已知sinx+siny=1，求cosx+cosy的取值范围．可先设t=cosx+cosy，两式平方后相加得：t2=1+2cos(x-y)， 最大值为______．

分析 (1)所求函数中角不同，应用诱导公式可化为同角，然后再应用两角和(或差)的正弦(或余弦)化为一个角的一种三角函数，在一定范围内由单调性得出最大值，也可直接展开后求解．

(2)同(1)相似，首先化为一个角的三角函数，在求单调区间不能忽视函数定义域．

解：(1)原函数可化为： (2)原函数可化为：

评注 对于函数表达式中异角形式而要讨论函数性质问题，首先要 应用上一章方法求解．一般情况下，y=asinx+bcosx可引入一个辅助角。 求三角函数最值的方法

7

三角函数的最值是三角函数中最基本的内容，也是历年高考命题的热点。对这类问题只要我们找到恰当的方法，就可以快速地求解。

一、函数法

对于形如y=af 2(x)+bf (x)+c (其中f (x)=sinx cosx 或

tanx等)型的函数，可构造二次函数y=at2+bt+c 利用在某一区间上求二次函数最值的方法求解。

例

1、求函数Y=cos2x+sinx在区间解：令sinx=t

 x

上的最值 4422, 22125444

 ty=cos2x+sinx=--sin2x+sinx+1=--t2+t+1=--(t- - )2+

22这是一个关于t (t, )

的二次函数，其图象是开口方向

22向下的抛物线的一部分，因此 当t=

即 x=

时

ymax=5

4126当t=-

12

2 即 x=- 时

ymin=

422

二、数形结合法 对于形如 y= absinx

型的函数，往往可用数形结合法来求最值

cdcosx例2.求函数的最小值。

8 解： ）连线的斜率。如图，它的几何意义是圆x2+y2=1上的点B与点A（－1，显然，当AB是圆O的切线时，直线AB的斜率取得极值。易知∠BAC=30°， 所以

三、换元法

对于形如y=a(sinx+-cosx)+bsinxcosx+c 型的函数，可采用换元法求解 例3 求函数y＝(1＋sinx)(1＋cosx)的值域．

解: 原函数即为 y＝1＋sinx＋cosx＋sinxcosx，

。

∴原函数即为

四、缩放法

例4.已知

，求函数

的最小值。

9 解: 由平均值不等式，有

，

可知，当

五、向量法

例5.求函数，即时，函数M有最小值。

的最大值。 解: 由于，因此可设，

根据，有，

所以 ，即

。

结题报告

研究过程和成果

（一）充分挖掘数学内容的本质

三角函数的概念与以前所学一次函数，反比例函数和二次函数不同，它反映的不是数与数值的对应关系，而是角度与数值之间的对应关系，学生初次接触这种对应关系，理解起来很困难，而这

10 种对应关系对学生深刻理解函数的概念又有很大帮助。因此，我在教学过程中加强了对锐角三角函数所反映的角度与数值之间的对应关系的刻化，让学生对变量的性质以及变量之间的对应关系有更深刻地认识，加深函数概念的理解。

（二）加大学生的思维空间，发展学生的能力

在培养学生过程中，一方面继续保持原有的通过设置“观察”、“思考”、“讨论”、“探究”、“归纳”等项目来扩大学生探索交流的空间，发展学生的思维能力。同时，结合基础内容的知识特点，又考虑到学生年龄特征，在教学过程中，将数学结论的探索过程完全留给学生，为学生提供更广阔的探索空间，开阔思路，发展学生的思维能力，有效改变学生学习方式。

（三）加强教研与实际的联系

锐角三角函数是解直角三角形的基础，解直角三角形的理论又为解决一些实际问题提供了强有力的工具。解直角三角形为锐角三角函数提供了与实际紧密联系的沃土。例如，利用确定山坡上所铺设的水管的长度问题引正弦函数，结合使用梯子攀登墙面问题引出角直角三角形的概念与方法，等等，再有利用背景丰富有趣的几个实际问题，从不同的角度展示了解直角三角形在实际中的广泛应用，一方面可以让学生体会锐角三角函数和解直角三角形的理论来源于实际，是实际的需要，另一方面也让学生看到它们

11 在解决实际问题中所起的作用，感受由实际问题抽象出数学问题，通过解决数学问题得到数学问题的答案，再回到实际问题的这种实践——理论——实践的认识过程。这个认识过程符合人的认知规律，有利于调动学生学习数学的积极性，丰富有趣的实际问题也能激发学生的学习兴趣。

（四）注意数形结合，自然体现数与形之间的联系

数形结合是重要的数学思想和方法，本知识又是数形结合的理想材料。例如，对于锐角三角函数的概念，利用学生对直角三角形的认识以及相似三角形的有关知识引入的，结合几何图形来定义锐角三角函数的概念，将数形结合起来，有利于学生理解锐角三角函数的本质，再例如，解直角三角形在实际中有着广泛的作用，在将这些实际问题抽象成数学问题并利用锐角三角函数解直角三角形时，离不开几何图形，这时往往需要根据题意画出几何图形，通过分析几何图形得到边、角之间的关系，再通过计算，推理等使实际问题得到解决。因此，我在培养学生能力过程中，注意加强数形结合，在引入概念、推理论证、化简计算、解决实际问题时，都需要尽量画图来帮助分析，通过图形帮助找到直角三角形的边、角之间的关系，加深对直角三角形本质的理解。 课题研究的结论与思考

1、课题《九年级锐角三角函数解决实际问题》的研究结论应尽量把角直角三角形与实际问题联系起来，减少单纯解直角三角形的习题，在解决实际问题时，应使学生养成“先画图，再思考”的习惯。

2、研究过程中不要简单地将解直角三角形的应用分为几种类型，而应注意问题的多样性，有时解决一个问题，往往可以用不同的三角函数关系式，这时应引导学生合理地选择关系式。

3、在课题学习和研究过程中，学生应充分发表意见，利用适量的开放题，提高学生的思维水平，通过总结交流反思，总结对数学的认识，开展小组活动，加强学生的合作能力，提供成果展示机会，加强学生的交流能力及学习数学的自信心。

《三角函数习题.doc》

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