2020-03-03 23:12:51 来源:范文大全收藏下载本文
直线与平面平行
高考要求
2掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理,灵活运用线面平行的判定定理和性质定理实现“线线”“线面”平行的转化
例1如下图,两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,M∈AC,
例3已知正四棱锥P—ABCD的底面边长及侧棱长均为13,M、N分别是PA、BD上的点,且PM∶MA=BN∶ND=5∶8 (1)求证:直线MN∥平面PBC;
(2)求直线MN与平面ABCD所成的角
N∈FB且AM=FN,求证:MN∥平面BCE
E
例2如下图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,侧面对角线AB
1、BC1上分别有两点E、F,且B1E=C1F求证:EF∥平面ABCD
学生练习
1设有平面α、β和直线m、n,则m∥α的一个充分条件是() Aα⊥β且m⊥βBα∩β=n且m∥n ∥n且n∥αDα∥β且mβ
2那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是()
A异面BCD
3两条直线a、b满足a∥b,bα,则a与平面α的关系是() Aa∥αBa与α相交C与α不相交Daα
小结:
112)证明两直线都与第三条直线平行3)同一法,即先过一直线上的一点作另一条直线的平行线,然后证明所作直线与第一条直线重合
(4)应用两平面平行的性质定理,设法使两直线成为两平行平面与第三个平面的交线2(1)根据定义,用反证法证明2)证明直线在平面3)证明直线在与已知平面平行的平面内4)向量法,证明直线的一个方向向量,能用已知平面内的一个基底表示, 或与平面的法向量垂直小结:
1证明两直线平行的常用的方法有(12)证明两直线都与第三条直线平行3)同一法,即先过一直线上的一点作另一条直线的平行线,然后证明所
作直线与第一条直线重合
(4)应用两平面平行的性质定理,设法使两直线成为两平行平面与第三个平面的交线
(12)证明直线在平面外且与平面内的某一条直线平行3)证明直线在与已知平面平行的平面内4)向量法,证明直线的一个方向向量,能用已知平面内的一个基底表示, 或与平面的法向量垂直(1)根据定义用反证法证明(2)证明一平面内的两相交直线与另一平面平行(或与另一平面内的两条相交直线平行)(3)证明两平面都垂直于同一条直线例1证法一:过M作MP⊥BC,NQ⊥BE,P、Q为垂足,连结PQ ∵MP∥AB,NQ∥AB,∴MP∥又NQ=
2 BN=
2CM=MP, ∴MPQN是平行四边形
∴MN∥PQ,PQØ平面BCE而MN平面BCE, ∴MN∥平面BCE
证法二:过M作MG∥BC,交AB于点G(如下图),连结NG∵MG∥BC,BCØ平面BCE, MG平面BCE,
∴MG∥平面BCEBG又
GA=CMMA=BNNF
,∴GN∥AF∥BE, 同样可证明GN∥平面BCEMG∩NG=G,
∴平面MNG∥平面BCEMNØ平面MNGE∴MN∥平面BCE点评:证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法:①利用直线和平面平行的判定定理,通过“线线”平行,证得“线面”平行;②利用两平面平行的性质定理,通过“面面”平行,证得“线面”平行
例2证法一:分别过E、F作EM⊥AB于点M,FN⊥BC于点N,连结MN∵BB1⊥平面ABCD, C1∴BB1⊥AB,BB1⊥BCA∴EM∥BB1,FN∥BBEM∥FN又B=CFN
1E1F,∴EM=故四边形MNFE是平行四边形∴EF∥MN又MN在平面ABCD中, ∴EF∥平面ABCD
证法二:过E作EG∥AB交BBB1于点G,连结GF,则1EB1A1∵BC1E=C1F,B1A=C1B,∴
1FCBFG∥B1C1∥BCEG∩FG=G,AB∩BC=B, 11∴平面EFG∥平面ABCDEF在平面EFG中,∴EF∥平面
点评:证明线面平行的常用方法是:证明直线平行于平面内的一条直线;证明直线所在的平面与已知平面平行(1)证明:∵P—ABCD是正四棱锥,∴ABCD是正方形连结AN并延长交BC于点E,连结PE
∵AD∥BC,∴EN∶AN=BN∶BN∶ND=PM∶MA,
∴EN∶AN=PM∶MAMN∥又∵PE在平面PBC内,∴MN∥平面PBC
(2)解:由(1)知MN∥PE,∴MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角设点P在底面ABCD上的射影为O,连结OE,则∠PEO为PE与平面ABCD所成的角
由正棱锥的性质知PO=PB2
OB2由(1)知,BE∶AD=BN∶ND=5∶8,∴BEPEB中,∠PBE=60°,
PB=13,BE=6
58,
根据余弦定理,得PE=91
2918在Rt△POE中,PO=2
,PE=8,
PO
∴sin∠PEO=PE故MN与平面ABCD所成的角为
点评:证线面平行,一般是转化为证线线平行线与面所成的角MN与平面ABCD所成的角,计算困难,而平移转化为PE与平面ABCD用向量法求角,后面有专门的介绍1.答案:D
2.解析:设α∩β=l,a∥α,a∥β,过直线a作与α、β都相交的平面γ,记α∩γ=b,β∩γ=c,则a∥b且a∥c,
∴b∥c又bα,α∩β=l,∴b∥la∥l答案:C 3.答案:C
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