中学数学中变式教学的设计
2020-03-03 12:36:34 来源：范文大全收藏下载本文
中学数学中变式教学的设计
姓名：郑丽朋
江泽民主席指出:“创新是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力，一个民族缺乏独创能力，就难以屹立于世界民族之林” 。人才的培养，已成为民族振兴的关键。学校教育是以课堂教学为主，教学过程既是学生在教师指导下的认知过程，也是学生自我获得发展的过程，同时它还是培养学生创造力的过程。因此，教师如何通过课堂教学，渗透创新教育思想，激发学生的创造欲望，培养学生创造思维能力就成了教学的一个关键。数学正是一门培养创造思维能力的基础课，在数学教学中培养学生的创造思维能力，发展创造力是时代对我们教育提出的要求。为实现这个目标，必须在教学过程中，进行变式教学，让学生从不同的角度，多方位，多层次，去观察、去分析、探索。
所谓变式教学，即教学中变换问题的条件和结论、变换问题的形式，而不换问题的本质，并使本质的东西更全面，使学生不迷恋于事物的表象，而能自觉地注意到从本质看问题。另一方面，在平时的教学中，教师过分强调程式化和模式化，例题教学中给学生归纳了各种类型，并要求按部就班地解题，不许越雷池一步，要求学生解答大量重要性练习題，减少了学生自己思考和探索的机会。这种灌输式的教学使学生的思维缺乏应变能力，表现出思维僵化及思维的惰性，变式教学可使学生注意从事物之间的联系和矛盾上来看问题，在一定程度上可克服和减少这一现象。
现从以下几种方法阐述，本人在教学过程中如何利用变式教学，培养学生思维的灵活性。
(一)一图多变
例：如图，在以AB为直径的半园内有一点P，AP、BP的延长线交半园于C、D，求证：AP•AC＋BP•BD为定值。
分析：过P作PM⊥AB， P、D、A、M及P、C、M、B共圆 据割线定理知：
AP•AC＝AM•AB，BP•BD＝BM•BA 两式相加得：
AP•AC＋BP•BD＝AM•AB＋BM•AB＝AB(AM＋MB)＝AB2(定值) 变題1：当P点落在半园上，原结论是否成立？
分析：由于AP与AC重合，BP与BD重合，故原结论成立。
变题2：当P点落在半圓外，且夹在过A点，B点的切线内，原结论是否成立？
分析：由C、M、B、P共圓知 AP•AC＝AM•AB„„(1) 由A、M、D、P共圓知 BP•BD＝BM•AB„„(2) 由(1)＋(2)得AP•AC＋BP•BD＝AB2(AM＋BM)＝AB2定值 变题3：如右图，当P点落在半圆外，且在过A或B的半圆切线上，原结论是否成立？
分析：如右图，显然有AB⊥BP、BC⊥AP易证AC•AP＝AB2。 变題4：当P点落在半圓外，且在过点A点B的两切线之外时，原结论是否成立？
分析：这时BP的延长线在以AB为直径的另一个半圓上连
1 结BC、AD且过P作PM⊥AB 由P、C、B、M及P、A、D、M两个四点共圓，这时有 AP•AC＝AM•AB，BP•BD＝BA•BM ∴AP•AC＋BP•BD＝AM•AB＋BA•BM＝AB(AM＋BM)≠AB2不成立，但若把式子改为： AP•AC－BP•BD＝AM•AB－BA•BM＝AB(AM－BM)≠AB2，(定值仍为AB2) 从本題的延伸过程中，使学生看到某些因素的不断变化，从而产生一个个新的图形，从这些图形的演变过程中，学生可以找出他们之间的联系与区别，特殊与一般的关系，从而可以使学生收到触类旁通的效果，
(二)一题多解
一题多解，实质上是发散性思维，也是一种创造性思维，教师若能在授课中引导学生多角度、多途径思考，纵横联想所学知识，以沟通不同部分的数学知识和方法，对提高学生思维能力和探索能力大有好处，防止学生的思维惰性。
例：设a、b、c为△ABC的三条边，求证：a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca) 除教学参考书中介绍的一种证法外，我们可以引导学生用以下几种方法。 证法1：∵a、b、c为△ABC的三条边 ∴a＜b＋c b＜a＋c c＜a＋b
∴a2＋b2＋c2＜a(b＋c)＋b(a＋c)＋c(b＋a) 即a2＋b2＋c2＜2(a b＋b c＋c a) 证法2：∵ a、b、c为△ABC的三条边 ∴∣a－b∣＜c a2－2ab＋b2＜c2
同理b2－2bc＋c2＜a2 c2－2ca＋a2＜b2 以上三式相加得
2(a2＋b2＋c2) －2(ab＋bc＋ca)＜a2＋b2＋c2 即a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca) 证法3：据余弦定理：
∴a2＋b2－c2＜2ab
同理a2＋b2－c2＜2bc a2＋b2－c2＜2ca 以上三式相加得：
a 2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca) 方法4：构造以a＋b＋c为边长的正方形，在此大正方形内分别作边长为a、b、c的小正方形各两个(右图中阴影部分) 显然大正方形面积大于６个小正方形的面积和 即(a＋b＋c) 2＞2(a2＋b2＋c2) 即∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＞2a2＋2b2＋2c2 ∴a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca) 通过一题多解的训练，不仅能开阔学生的视野，拓宽思路，而且可以加强了知识的纵向发展和横向联系，可以沟通代数、几何、三角各个方面的知识，克服学生单向思维的定势，使学生感受到数学美的存在，真正体验到“题小天地大，勤思办法多”的乐趣，从而培养了学生创新思维的能力。
(三)一题多变
2 “变题” 即改变原来例题中的某些条件或结论，使之成为一个新例题．这种新例题是由原来例题改编而来的，称之为“变题”． “变题”已经成为中学数学教学中的热点，每年的“高考”试题中都有一些“似曾相识题”，这种“似曾相识题”实际上就是“变题”
例：已知双曲线两个焦点的坐标为F1(－5，0)F2(5，0)双曲线上一点P到F
1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。
解：因为双曲线的焦点在X轴上，所以设它的标准方程为 b2x2－a2y2＝a2b2(a＞0，b＞0) ∵a＝3，c＝5 ∴b2＝52－32＝16 所以所求的双曲线的标准方程为16x2－9y2＝144 本题是在已知坐标系下，根据双曲线的定义解决的，而双曲线上任意一点，(顶点除外)与两焦点連线均形成一个三角形，因而我们可将问题与三角形联系起来，把题设条件作如下改变。
变题1：在△ABC中，已知│BC│＝10且∣AB∣－∣AC∣的绝对值等于6，求顶点A的轨迹方程
解:以BC所在直线为X轴,BC的中垂线为Y轴,建立直角坐标系 设A点坐标为(x,y)(y≠0),则
││AB│-│AC││=6 a=3 c=5 则b2 =c2-a2 =16 故所求的双曲线方程为16x2 –9y2＝144(y≠0) 在变题1的基础上,再将题设条件与方程有关知识联系起来,可以得到相应的变式如下： 变题2：在△ABC中,a.b.c是角A.B.C所对的边,a=10,且方程x2 –(b-c)x=9=0有两个相等的实数根,求△ABC的顶点A的轨迹方程。
变题3：在△ABC中,a.b.c是角A.B.C所对的边,a=10, 且│Sin B-SinC│=3/5SinA 求顶点A的轨迹方程
上面几种变式是将双曲线的定义与三角形、二次方程的知识有机结合而形成的，如将其与平面几何知识结合，则又有相应的变式：
变题4 ：已知动圆P与定圆F1：x2 +y2+10x+16=0 F2：x2 +y2-10x-56=0都内切，且圆F
1、圆F2都在圆P内，求点P的轨迹方程。
解：已知定圆F1：x2 +y2+10x+16=0 圆心F1(-5,0),半径 r1=3 定圆F2：x2 +y2-10x-56=0 圆心F2(5,0),半径 r2=9 则│F1 F2│=10 设动圆P与圆F1、F2都分别相切于A.B，则
│PF1 │-│PF2 │=(│PA│-│F1 A│)- (│PB│-│F2 B│)= │F2 B│ -│ F1 A│ =9-3 =6
∴点P的轨迹是以F1 F2为焦点的双曲线的右支 ∵2a=6,2c=10, b2 =c2-a2 =16 ∴点P的轨迹方程为16x2 –9y2＝144(x≥3) 将此题与2001年高考题第14题：双曲线16x2 –9y2＝144的两个焦点F1、F2点，点P在双曲线上，若P F1⊥PF2则点P到X轴的距离为＿＿＿＿，进行组合可得一个综合性问题：
22变题5：已知双曲线16x –9y＝144的右支上有一点P，F1、F2分别为左、右两焦点，∠F1PF2＝θ，S△F1PF2＝S (1)若已知∣PF1∣·∣PF2∣＝32试求θ (2)S＝16试求θ
(3)设△F1PF2为钝角三角形，求S的取值范围
由上述例题可见，一题多变，由浅而深，由易入难，学生们的课堂气氛紧张而又活跃。在平时的教学中，可以说有较多的题型都可以创改，如条件的改变、结论的延伸、语言的变化等等。若能充分挖掘例、习题的潜在功能，定能提高学生综合应用知识能力及解题的技巧和能力，培养学生思维的深刻性、广阔性、灵活性，减轻学生学习负担。
3 (四)多题一解：
平时常碰到一些题目，表面上看相互各异，但实质上结构却是相同，因而它们可用同一种方法去解答。让学生训练这样的题组，可使他们不迷恋表面现象，而是透表求里，自觉地注意到从本质上看问题，必然导致思维向深刻性发展。 题1：已知是等腰三角形BCD的底边CD的延长线上一点，求证 ：AC·AD＝AB2－BC2
分析：在△ABC和△ABD中由余弦定理 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA ∵BC＝BD ∴AC、AD是方程x2－(2AB·cosA )＋AB2－BC2＝0的两个根，据韦达定理知AC·AD＝AB2－BC2
题二：设P是正△ABC外接圆弧上
任意一点
求证：PB＋PC＝PA PBPC＝PA2－PB2 分析：∵∠BPA＝∠APC＝60º 在△ABP和△APC中，由余弦定理知
AB2＝PA2＋PB2－2PA·PB·cos60º AC2＝PA2＋PC2－2PA·PC·cos60º
∵AB＝AC∴知PB、PC是方程x2－PA·x＋PA2－PB2＝0的两根椐韦达定理PB＋PC＝PA PB－PC＝PA2－PB2 题三：设P为定角∠BAC的平分线上一点，过A、P两点任作一圆交AB、AC于M、N，求证AM＋AN为定值
证明：设∠PAM＝∠PAN＝a 在△AMP和△ANP中，由余弦定理 PM2＝AM2＋PA2－2AM·PA·cosa PN2＝AN2＋PA2－2AN·PA·cosa 由于PM＝PN 所以AM、AN是方程x2－(2PA·cosa )x＋PA2－PM2＝0的两根,由违达定理得: AM＋AN＝2PA•COSa(定值) 以上三例是用同一种解法，从 实践了从事物之间同与异矛盾的统一中认识事物的本质，因而培养了学生思维的深刻性。
(五)一题多问
在立体几何的教学中，对正方体A B C D－A′B′C′D′提问题，可以有以下九个问题： ① Ａ到ＣＢ的距离。
② Ｂ与平面AB′C间的距离。 ③ A′D到B′C的距离。 ④ A′B′与AC′间的距离。 ⑤ AB与平面A′CD之间的距离。 ⑥ AC与A′D所成角的大小。
⑦ AB与平面AB′C所成角的大小。
⑧ 截面A C C′A′与B D D′B′所成角的大小。 ⑨ 面AB′C与平面A′B′C所成角的大小。
结果，引起学生热烈的讨论，课堂气氛活跃。象这样的变式训练，符合学生的认识规律，
4 既可以培养学生思维的灵活性、深刻性，又提高了课堂教学效率，增大了课堂教学容量。 教学实践表明，利用以上方法，进行多变、多问、多解、多用相结合的教学方法，符合学生的认识规律，可以提高学生的学习热情，激发学生的学习兴趣，充分调动学生的学习积极性和主动性。变式训练，避免学生死记硬背，培养举一反三的能力，帮助学生走出题海战术，减轻学生的负担。更重要的是，长期的变式训练，可以提高学生的数学思维品质，提高学生理解、探索和应用的能力，对学生今后独立工作习惯的形成有很大的益处。
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