高数_第1章_极限计算方法总结

极限计算方法总结

一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：

数列极限、函数极限，课本42页的表格必须认真填写并掌握。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：lim10；lim(3x1)5；limqn0,当q1等。 2x2n(n1)n定义证明按着总结的四个步骤来，缺一不可！（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则

定理1 已知 limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在， 且（1）lim[f(x)g(x)]AB（2）limf(x)g(x)AB

（3）limf(x)A,(此时需B0成立)

说明：极限号下面的极限过程是一致的；同g(x)B时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 3．两个重要极限

sinx(11)xe

1 （2） lim(1x)xe ； lim（1） limxxx0x0x说明：（1）不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式。

（2）一定注意两个重要极限成立的条件。

例如：lim1sin3x1，lim(12x)x0x03x12xe，lim(13)e；等等。

xxx34．等价无穷小

定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当x0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：

x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1x)～ex1 。

说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时（g(x)0），仍有上面的等价 关系成立，例如：当x0时，

定理4 如果函数

e3x1 ～ 3x ；ln(1x2) ～ x2。

f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是xx0时的无穷小，且f(x)～f1(x)，

f1(x)f1(x)f(x)g(x)～g1(x)，则当lim存在时，lim也存在且等于lim。

xx0g(x)xx0g(x)xx0g(x)115．连续性

定理5 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x0是函数f(x)的定义去间内

的一点，则有limxxf(x)f(x0) 。求极限的一个方法。

06．极限存在准则

定理6（准则1） 单调有界数列必有极限。

定理7（准则2） 已知{xn},{yn},{zn}为三个数列，且满足：

（1） ynxnzn,(n1,2,3,)（2） limyna，limznnan

则极限limxn一定存在，且极限值也是a ，即limxannn。

二、求极限方法举例

1． 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限

例1 lim3x12x1x1

解：原式=lim(3x1)222x1(x1)(3x12)lim3x3x1(x1)(3x12)34 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 limnn(n2n1)

n解：原式=limn[(n2)(n1)]分子分母同除以nn2n1lim3n312112nn例3 lim(1)n3nn2n3n

上下同除以3n(1)n1解：原式lim3n1 (2。 3)n12． 利用函数的连续性（定理6）求极限 1例4 limx2exx2

1解：因为x是函数f(x)x2ex02的一个连续点，

1 所以

原式=22e24e 。

3． 利用两个重要极限求极限 例5 lim1cosxx03x2

。

xx2sin22lim21lim解：原式=x0x0x26 。 3x212()22sin2注：本题也可以用洛比达法则(第三章) 例6

2xlim(13sinx)

x016sinx3sinxx13sinx6sinxx解：原式=lim(13sinx)x0lim[(13sinx)x0]e6 。

例7 lim(nn2n) n1解：原式=lim(1n3)n1n13n3n1lim[(1n3)n1n13]3nn1e3 。

4． 利用定理2求极限

2例8 limxsinx01 x解：原式=0 （定理2的结果）。

5． 利用等价无穷小代换（定理4）求极限

例9 limx0xln(13x)2

arctan(x)22x0

解：x0时，ln(13x)～3x，arctan(x)～x， 原式=limx3x3 。 2xexesinx例10 lim

x0xsinxesinx(exsinx1)esinx(xsinx)lim1 。 解：原式=limx0x0xsinxxsinx注：下面的解法是错误的：

(ex1)(esinx1)xsinxlim1 。

原式=limx0x0xsinxxsinx

正如下面例题解法错误一样：

tanxsinxxxlimlim0 。

33x0x0xx 3

例11

1tan(x2sin)x limx0sinx2xsin解：当x0时，111是无穷小，tan(x2sin)与x2sin等价， xxxx2sin

所以，

原式=limx01xlimxsin10 。

（最后一步用到定理2）

x0xx5． 利用极限存在准则求极限

例20 已知x1xn 2,xn12xn,(n1,2,)，求limnn解：易证：数列{xn}单调递增，且有界（0

xn存在，limxna。对已知的递推公式 xn12xnn两边求极限，得：

a2a，解得：a2或a1（不合题意，舍去）

所以 limxn2。

n例21 lim(n1n1n21n21211nn2)

1nn2解： 易见：nn2n12n22nn12

因为 limnnnn21，limnnn11221

1nn2所以由准则2得：lim(n1n12n2)1 。

上面对求第一章极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法，如用洛必达、定积分求极限等，后面再作介绍。

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