余弦定理的三种证明

△ABC中的三个内角∠A，∠B，∠C的对边，分别用a,b,c表示.

余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即

c2=a2+b2-2abcosC,b2=a2+c2-2accosB,a2=b2+c2-2bccosA

证明：按照三角形的分类，分三种情形证明之.(1)在RtABC中，如图1-1 根据勾股定理: c=a+b

因为cosC=0,所以c=a+b-2abcosC

2

2

2

2

2

2

A

a222

,所以b=a+c-2accosB cb222

因为cosA=,所以a=b+c-2bccosA

c

因为cosB=

（2）在锐角△ABC中，如图1-2 作CDAB于点D，有

b

c

C a

B C

CD=asinB,BD=acosB，AD=AB-BD=c-acosB

b

b2=CD2+AD2=(asinB)2+(c-acosB)2=a2+c2-2accosB

同理可证：

A

c

B

D

c2=a2+b2-2abcosC, a2=b2+c2-2bccosA

（3）在钝角△ABC中，如图1-3

作CDAB，交AB的延长线于点D，则

CD=asinCBD=asinB,BD=acosCBD=-acosB， AD=AB+BD=c-acosB

b2=CD2+AD2=(asinB)2+(c-acosB)2=a2+c2-2accosB

按照（2）的方法可以证明：

b

a

c2=a2+b2-2abcosC, a2=b2+c2-2bccosA

综上所述，在任意的三角形中，余弦定理总是成立.

A

B D

证明：在△ABC中，令AB=c，AC=b，BC=a

aBCBAACbc

22222|a|(bc)b2bcc|b|2|b||c|cosA|c|2

即a=b+c-2bccosA

同理可证：c=a+b-2abcosC,b=a+c-2accosB

证明：对于任意一个ABC，建立直角坐标系如图所示， 那么A(bcosC,bsinC)，B(a,0)

因为余弦定理中涉及到c，我们自然想到计算AB的长度。 根据两点间的距离公式，我们有： 2222222222A c

B a b C

c2|AB|2(bcosCa)2(bsinC)2a2b22abcosC， 即cab2abcosC

222

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