2020-03-02 17:03:38 来源:范文大全收藏下载本文
知识框架
数学运算问题一共分为十四个模块,其中一块是容斥原理问题。
在公务员考试中,根据集合的个数,容斥原理问题一般只有两集合容斥关系和三集合容斥关系两种类型,两集合容斥关系一般只要采用公式法就可轻松解决,三集合容斥关系又可分为标准型、图示标数型、整体重复型三类,对应解题方法分别是公式法、文氏图法、方程法。无论集合中的元素怎么变化,同学只要牢牢把握这两类型,就能轻松搞定容斥原理问题。 核心点拨
1、题型简介
容斥原理是在不考虑重叠的情况下,先将所有对象的数目相加,然后再减去重复的部分,从而使得计算的结果既无遗漏又无重复。掌握容斥原理问题,可以帮助同学们解决多集合元素个数的问题。
2、核心知识
(1)两个集合容斥关系
(2)三个集合容斥关系 A、标准型公式
B、图示标数型(文氏图法)
画图法核心步骤: 1 画圈图;
2 数字(先填最外一层,再填最内一层,然后填中间层); ③做计算。 C、整体重复型
A、B、C分别代表三个集合(比如“分别满足三个条件的元素数量”); W代表元素总量(比如“至少满足三个条件之一的元素的总量”); x代表元素数量1(比如“满足一个条件的元素数量”); y代表元素数量2(比如“满足两个条件的元素数量”); z代表元素数量3(比如“满足三个条件的元素数量”)。
3、核心知识使用详解
(1)容斥原理问题要清楚容斥原理公式中各项的实际含义,与题中的数据准确对应。 (2)容斥原理问题的关键在于把文字转化为文氏图,在图中应准备反应题中集合之间的关系。 (3)容斥问题的难度在于题中集合可能较多,某些集合之间的关系可能不确定,这需要仔细的分析,抓住不确定的。
夯实基础 1.两个集合容斥关系
例1:(2007年中央第50题) 小明和小强参加同一次考试,如果小明答对的题目占题目总数的,小强答对了27道题,他们两人都答对的题目占题目总数的,那么两人都没有答对的题目共有(
)。
A.3道 B.4道 C.5道 D.6道 【答案】 D 【解析】 [题钥]
由于不知道这次考试题目的总数,所以可先设题目总数即元素总量为。
“小明答对的题目占题目总数的”,相当于集合A为。
“小强答对了27道题”,相当于集合B为27。
“他们两人都答对的题目占题目总数的”,相当于集合。
“两人都没有答对的题目”,相当于求集合。
[解析]
根据题意,
确定元素总量W:;
确定集合A:;
确定集合B:27;
确定集合:;
代入两集合公式:
==
因为和均为题数,须均为正整数,所以必须为12的倍数,而且由选项知:3≤≤6
当W=12时,=-16,不合题意;
当W=24时,=-5,不合题意;
当W=36时,=6,符合题意。
所以,两人都没答对的题目为6道。
因此,选B。 2.三个集合容斥关系
例2:(浙江行测真题) 某专业有学生50人,现开设甲、乙、丙三门选修课。有40人选修甲课程,36选修乙课程,30人选修丙课程,兼选甲、乙两门课的有28人,兼选甲、丙两门课的有26人,兼选乙、丙门课程的有24人,甲、乙、丙三门课程均选的有20人,问三课均未选的有多少人?(
) A.1人 B.2人 C.3人 D.4人 【答案】 B 【解析】 [题钥]
“某专业有学生50人”,相当于元素总量W为50。
“有40人选修甲课程”,相当于集合A为40。
“36选修乙课程”,相当于集合B为36。
“30人选修丙课程”,相当于集合C为30。
“兼选甲、乙两门课的有28人”,相当于集合=28。
“兼选甲、丙两门课的有26人”,相当于集合=26。
“兼选乙、丙门课程的有24人”,相当于集合=24。
“甲、乙、丙三门课程均选的有20人”,相当于集合=20。
“问三课均未选的有多少人?”相当于求集合。
[解析]
根据题意,
确定元素总量W:50
确定集合A:40 确定集合B:36
确定集合C:30
确定集合:28
确定集合:26
确定集合:24
确定集合:20
代入三集合标准型公式:
=50-(40+36+30-28-24-26+20)
=2
因此,选B。 例3:(国家行测真题)
某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中,准备参加注册会计师考试的有63人,准备参加英语六级考试的有89人,准备参加计算机考试的有47人,三种考试都准备参加的有24人,准备选择两种考试参加的有46人,不参加其中任何一种考试的有15人。问接受调查的学生共有多少人?(
) A.120 B.144 C.177 D.192 【答案】 A 【解析】 [题钥]
观察题目,属于三个集合容斥关系中的标数型问题,可采用文氏图法求解。 [解析]
本题属于标数型问题,可采用文氏图法求解,如下图所示。
图中,黑色部分是准备参加两种考试的学生,灰色部分是准备参加三种考试的学生。计算总人数时,黑色部分重复计算了一次,灰色部分重复计算了两次,所以接受调查的学生共有:
63+89+47-24×2-46+15=120人。
因此,选A。 例4:(浙江2004-20) 某班有35个学生,每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的一个课外活动小组。现已知参加英语小组的有17人,参加语文小组的有30人,参加数学小组的有13人。如果有5个学生三个小组全参加了,问有多少个学生只参加了一个小组?(
) A.15人 B.16人 C.17人 D.18人 【答案】 A 【解析】 [题钥]
“某班有35个学生,每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的一个课外活动小组”,相当于元素总量W为35。
“参加英语小组的有17人”,相当于集合A为17。
“参加语文小组的有30人”,相当于集合B为30。
“参加数学小组的有13人”,相当于集合C为13。 “如果有5个学生三个小组全参加了”,相当于元素数量3为5。
“问有多少个学生只参加了一个小组?”,此类题目属于整体重复型问题,可采用方程法求解。
[解析]
根据题意,设:
参加一个小组的人数为x,即元素数量1为x;
参加两个小姐的人数为y,即元素数量2为y;
确定元素总量W:38
确定集合A:17
确定集合B:30
确定集合C:13
确定元素数量3:5
代入公式,列方程:
因此,选A。
进阶训练
1.两个集合容斥关系
例5:某校学生参加数学竞赛的有120名男生,80名女生,参加英语竞赛的有120名女生,80名男生。已知该校总共有260名学生参加竞赛,其中75名男生两科竞赛都参加了,那么参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生人数是多少人?(
) A.15 B.20 C.25 D.30 【答案】 A 【解析】 [题钥]
假设260名学生当中有m名男生、n名女生,同时参加了教学和英语竞赛的女生人数为x。
对于男生:
“m名男生”,相当于元素总量为m。
“参加数学竞赛的有120名男生”,相当于集合为120。
“参加英语竞赛的”,“80名男生”,相当于集合为80。
“其中75名男生两科竞赛都参加了”,相当于集合为75。
对于女生:
“n名女生”,相当于元素总量为n。
“参加数学竞赛的”、“80名女生”,相当于集合为80。
“参加英语竞赛的有120名女生”,相当于集合为120。
同时参加了教学和英语竞赛的女生人数,相当于集合为x。
“已知该校总共有260名学生参加竞赛”,可知260名学生都参加了竞赛,没有“数学竞赛和英语竞赛都没参加”的情况。相当于集合
、集合
为0。
[解析]
根据题意,设:
260名学生当中有m名男生、n名女生; 同时参加了教学和英语竞赛的女生人数为x。
对于男生:
确定元素总量:m
确定集合:120
确定集合:80
确定集合:75
确定集合:0
对于女生:
确定元素总量:n
确定集合:80
确定集合:120
确定集合:x
确定集合:0
男女生总数,即m+n=260。
代入两集合公式,列方程:
则有
即同时参加了教学和英语竞赛的女生人数为65。
由于参加数学竞赛的女生有80名,
则参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生人数:
80-65=15名。
因此,选A。 2.三个集合容斥关系
例6:(广州2007-33) 如右图所示,每个圆纸片的面积都是36,圆纸片A与B、B与C、C与A的重叠部分面积分别为
7、
6、9,三个圆纸片覆盖的总面积为88,则图中阴影部分的面积为?( )
A.66 B.68 C.70 D.72 【答案】 C 【解析】 [题钥]
“三个圆纸片覆盖的总面积为88”,相当于元素总量W为88,集合为0。 “每个圆纸片的面积都是36”,相当于集合A、集合B、集合C都为36。
“圆纸片A与B、B与C、C与A的重叠部分面积分别为
7、
6、9”,相当于集合为6,集合为9。
为7,集合要求“阴影部分的面积”,可先求出集合。
[解析]
根据题意,
确定元素总量W:88
确定集合A:36
确定集合B:36
确定集合C:36
确定集合:7
确定集合:6
确定集合:9
确定集合:0
代入公式:
=(88-0)-(36+36+36-7-6-9)
=2
“由中间向外围”进行数据标记,进行简单加减运算,如下图过程所示:
据图可知,阴影部分的面积为:22+25+23=70。
因此,选C。 例7:(江苏2009A类-19) 某调查公司就甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查,有89人看过甲片,有47人看过乙片,有63人看过丙片,其中有24人三部电影全看过,20人一部也没有看过,则只看过其中两部电影的人数是(
)。 A.69 B.65 C.57 D.46 【答案】 D 【解析】 [题钥]
“某调查公司就甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查”、“20人一部也没有看过”,相当于元素总量W为125-20=105。
“有80人看过甲片”,相当于集合A为89。
“有47人看过乙片”,相当于集合B为47。
“有63人看过丙片”,相当于集合C为63。
“其中有24人三部电影全看过”,相当于元素数量3为24。
求解“只看过其中两部电影的人数”,此类题目属于整体重复型问题,可采用方程法求解。
[解析] 根据题意,设:
只看过其中一部电影的人数为x,即元素数量1为x;
看过其中两部电影的人数为y,即元素数量2为y;
确定元素总量W:125-20=105
确定集合A:89
确定集合B:47
确定集合C:63
确定元素数量3:24
代入公式,列方程:
因此,选D。
例8:建华中学共有1600名学生,其中喜欢乒乓球的有1180人,喜欢羽毛球的有1360人,喜欢篮球的有1250人,喜欢羽毛球的有1040人,问以上四项球类运动都喜欢的至少有几人? A.20 B.30 C.40 D.50 【答案】 B 【解析】 [题钥]
观察题目,发现采用公式法,文氏图法都是比较麻烦的。那么逆向考虑,看下各项活动都不喜欢的人有多少人,当这各项活动都不喜欢的人互不重叠的时候,可满足四项活动都喜欢的人最少。
[解析]
根据题意,可知:
不喜欢乒乓球的有:1600-1180=420人; 不喜欢羽毛球的有:1600-1360=240人;
不喜欢篮球的有:1600-1250=350人;
不喜欢足球的有:1600-1040=560人;
若这些人互不重叠则可满足四项运动都喜欢的人最少,为:
1600-(420+240+350+560)=30人。
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