第五章大数定律和中心极限定理

2020-03-03 03:06:44 来源：范文大全收藏下载本文

第五章大数定律和中心极限定理

我们知道，概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的数学分之。但是，只有对大量随机现象进行观测时，随机现象的统计规律性才会呈现出来。为了考察“大量”的随机现象，就导致了极限定理的研究。概率论中极限定理的内容是很广泛的，其中最主要的是大数定律和中心极限定理。

5.1 大数定理

在引入大数定理之前,我们先证明一个重要的定理

.5.1.1 切贝雪夫不等式

对于任何具有有限方差的随机变量X都有

其中 是任一正数。

证设是的分布函数,则显然有

切贝雪夫不等式也可以表示成

式只利用随机变量的数学期望及方差。由于切贝雪夫不等就可对X的概率分布进行估计，因此它在理论研究及实际应用中有价值。从切贝雪夫不等式还可以看出，当方差越小时，事件发生的概率也越小，从而可知，方差确实是一个描述随机变量与其期望值离散程度的一个量。

例1 设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为0.7，假定灯的开、关是相互立的，使用切贝雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6800到7200盏之间的概率。

解令这时表示在夜晚同时开着的灯数目，则服从n=10000，p=0.7的二项分布，，由切贝雪夫不等式可得

事实上，这个概率的近似值表明，在10000盏灯中，开着的灯数在6800到7200的概率大于0.95。而实际此概率的精确值可由贝努里公式求得为0.99999。由此可知，切贝雪夫不等式虽可用来估计概率，但精度不够高，它的重要意义是在理论上的应用，在大数定律的证明中，用切贝雪夫不等式可使证明非常简洁。

5.1.2 贝努里大定理

设是重贝奴里试验中事件，都有出现的次数，而

是事件在每次试验中出现的概率，则对任意

在证明这个定理之前，先看看它的具体含义。是重贝努里试验中出现的次数,则便是这次试验中出现的频率，上式表明，当次数很大时，事件出现的频率与事件A出现的概率p的偏差超过任意正数 的可能性很小，或者基本上说，是不可能的。也就是说，要从理论上证明：对于任意的   ，有它等价于。

贝努里大数定律是研究这种极限定理的第一个定律，也是一个从理论上证明随机现象的频率具有稳定性的定律。下面我们给出由贝奴里在1713年发表的这个定律的证明。

证设是第次试验中事件其中发生的次数，由服从参数为的(0-1)分布

, 相互独立,

且

，从而知

由切贝雪夫不等式有

因此

亦即

贝努里大数定律证明了在大量重复实验时，随机事件的频率在它的概率的附近摆动，若事件或者说事件的概率很小，则正如贝努里定律所指出的，事件很少发生。的频率也很小，“概率很小的随机事件在个别试验中是几乎不能发生的”这一原理称为小概率事件的实际不可能性原理。它在国家经济建设中有着广泛的应用。至于“小概率”小到什么程度才能看作实际上不可能发生，则要视具体情况的要求和性质而定。例如，自动车床加工零件出现次品的概率为0.01，若零件的重要性不大而价格又低，则完全可允许有1%的次品率，即可忽视100个零件中出现一个次品的可

能性。但如果制造一批降落伞出现的次品的概率为0.01，显然在这种情况下，这1%的忽视也是绝对不允许的，因为它可能危及这百分之一跳伞者的生命。贝努里大数定律还提供了通过试验来确定事件概率的方法。既然频率

与概率有较大偏差的可能性很小，那么我们就可以通过做试验确定某事件发生的频率并把它作为相应概率的估计，这种方法称为参数估计，它是数理统计中主要的研究课题之一。参数估计的一个重要理论基础就是大数定律。设数

，有是一个互相独立的随机变量序列，是一个常数，若对于任意正，则称序列依概率收敛于a。因此，由贝奴里大数定律可得：设是次独立试验中事件出现的次数，而是事件在每次试验中出现的概率,则频率依概率收敛于概率。

人们在事件中还发现，除了频率具有稳定性之外，大量观察值的平均值也具有稳定性。这就是切贝雪夫大数定律。

5.1.3 切贝雪夫大数定律设随机变量相互独立,

每一随机变量都有数学期望和有限的方差

公共上界c,即，并且它们有，则对任意的   ，皆有

证因相互独立，所以

又因

，由切贝雪夫不等式可得

所以

于是,