第五章大数定律与中心极限定理

第五章大数定律与中心极限定理

教学目的与要求

1.了解大数定律的思想方法，大数定律概念的本质内涵，熟悉几个大数定律的条件，分清其异同之处.2.了解随机变量序列的两种收敛的概念及其之间的关系.

3.熟悉中心极限定理并会应用中心极限定理解决一些实际问题.

教学重点 中心极限定理

教学难点 大数定律

教学方法 讲解法

教学内容

第一节切比雪夫不等式

定理5.1（切比雪夫不等式） 对任意的随机变量，若D存在，则对任意的正常数，有

P(a)D



2证明设是一个连续型随机变量，密度函数为p(x)，则

P(a)2

1D2(xa)2p(x)dx2xaxap(x)dx(xa)2p(x)dx

注：在上述的证明中，如果把密度函数换成分布列，把积分号换成求和号，即得到离散型情形的证明.

在切比雪夫不等式给出的估计中，只需要知道方差D及数学期望E两个数字特征就够了，因而使用起来比较方便.但因为没有完整用到随机变量的统计规律—分布函数或密度函数，所以一般来说，它给出的估计是比较粗糙的.

利用切比雪夫不等式可证明下列事实：

随机变量的方差D0的充要条件是取某个常数值的概率为1，即P(a)

1例 1.

第二节 大数定律

定义5.1设有一列随机变量,1,2,L,，如果对任意的0，有

limPn1n

则称随机变量序列{n}依概率收敛于，并记作

limnnp

或

np(n)

定义5.1若1,2,,n,是随机变量序列，如果存在常数列a1,a2,,an,，使对任意的0,有



limp

nii1an1nn

成立，则称随机变量序列{n}服从大数定理.

定理5.2（契贝晓夫大数定律）设1,2,是一列相互独立的随机变量序列，又设它们的期望,方差存在,且方差有界，即存在常数C0，使有

DiC,

则对任意的0，有 i1,2,

1n1n

limPiEi1nni1ni1

证明仍利用契贝晓夫不等式，有

P

1nnDiDinn11ni1i1 Einini12n22i1

因为{i}两两不相关，且由它们的方差有界即可得到

nn

DiDinC i1i1

从而有

1nC1n

0,nPiEi2nnni1i1

从而得证.

定理5.3（贝努里定理）设n是n重贝努里试验中事件A出现的次数，又A在每次试验中出现的概率为p(0p1)，则对任意的0，有

limPnnp1n

证明令

1,在第i次试验中A出现1ini0,在第i次试验中A不出现

则1,2,,n是n个相互独立的随机变量，且

Eip,Dip(1p)pq

而

n

于是 (i1,,n) i1ni

niEinpi1i1 npn

nnn

由契贝晓夫不等式有 n

nDinni1PnpPiEi22i1ni1n

从而有

Pnnpq1pqp220,n 2nnn

这就得证.

贝努里定理说明了大数次重复试验下所呈现的客观规律，所以也称为贝努里大数定律.注：贝努里大数定律实质上讨论了形如

Einni

i1i1

n

的随机变量，当n时的统计规律，其中的{i}是独立的服从同一个0—1分布的随机变量.

定理5.4（辛钦大数定律）设1,2,是一列独立同分布的随机变量，且数学期望存在：Eia,

则对任意的0,有 i1,2,

1nlimPia1nni1

成立.

定理的证明将在下一节中给出.

1n

辛钦大数定律表明.当n很大时，随机变量在n次观察中的算术平均值i会“靠近”ni1

它的期望，为寻求随机变量的期望提供了一条实际可行的途径.

借用数学分析中的“收敛”、“极限”这些术语，把上式所表示的关系式记成

p1n

limianni1

或

1npaini1(n)1n

并且称i依概率收敛于a，按这一记号和说法，贝努里大数定律表明了频率n/n依ni1

概率收敛于概率p，即

n

npp(n)

小结：大数定律是个比较抽象的概念，它是对随机变量序列而言，当这个序列独立，且它的前n项和与其数学期望差的绝对值小于正数的概率在n趋于无穷大时极限等于1这一现象定义的.若某一随机变量序列在一定的条件下满足这一结果，就称该序列服从大数定律.

作业

第三节中心极限定理

定理5..5若1,2,是一列独立同分布的随机变量，且

Eka,Dk(0),k1,2,

则有 22

nakx

limPnxet22dt

定理5.6（德莫佛—拉普拉斯（De Moivre _laplace）极限定理） 在n重贝努里试验中，事件A在每次试验中出现的概率为p(0p1),n为n次试验中事件A出现的次数，则

x

limPn

例 1,2,3

小结中心极限定理是本章的核心内容.也可以说，它是前两节理论的结晶.它表明当分布序列满足一定的条件时，序列就弱收敛于N(0,1)分布，而标准正态分布又有表可查.这样，在随机变量序列的n很大时，相关的概率问题就可以得到近似解决.

作业

xet22dt

第五章++大数定律与中心极限定理

第五章+大数定律与中心极限定理

第五章、大数定律与中心极限定理

第五章 大数定律和中心极限定理

第五章大数定律和中心极限定理

第五章 大数定律及中心极限定理

第五章 大数定律和中心极限定理

第五章 大数定律 中心极限定律

第五章大数定理与中心极限定理

第四章 大数定律与中心极限定理

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