初中奥数题目_几何不等式

2020-03-04 02:10:51 来源：范文大全收藏下载本文

九年级数学竞赛专题几何不等式

一、选择题

1．已知线段a,b,c的长度满足a a; D．bBC，则∠B的取值范围是（） A．0°

3．在锐角三角形ABC中，a = 1, b = 3，那么第三边c的变化范围是（） A．2 y > z ; B．x = z > y C．x = z

二、解答题

1．如图，已知△ABC中，AB > AC，AD是中线，AE是角平分线。求证：（1）2AD ∠DAC；（3）AE

2．如图，已知△ABC ，AB=AC，AD是中线，E为∠ABD内任一点。求证：∠AEB > ∠AEC。

- 16．如图，已知△ABC中，AB > AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F。求证：AB + CF > AC + BE。

7．如图，已知在凸四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，且AC⊥BD，OA > OC，OB > OD。求证： BC + AD > AB + CD。

8．如图，已知在线段BC同侧作两个三角形△ABC和△DBC，使AB=AC，DB > DC且AB + AC = DB + DC，设AC与DB交于E。求证：AE > DE。

- 3答案

一、1．A 2．A 3．D 4．B 5．A 略解：

1．由A答案c – a c，a + c > b, b + c > a，因此可以组成三角形，B、C、D答案均可举出反例：

如a = 1, b = 3, c = 6时，满足B和C，但不能组成三角形，当a = 1, b = 2, c = 5时，满足C，但不能组成三角形。 2．因为AB > BC 所以∠C > ∠A = 58°

所以∠B=180°-∠C-∠A=180°-58°-∠C

令∠B=40°，则∠C=82°，符合条件，故排除B。

3．若∠C是最大角，则∠C

所以c 22 所以22

4．易证△ABD≌△ACEBD=EC，即x = z 又因为∠AEB=∠C+∠3=∠B+∠3 > ∠B 所以AB > AE 又∠1=∠2 所以BD > DE即x > y，所以x = z > y 选B

5．根据两边之和大于第三边和条件a≤b

a 2 3 4 5 6 7 b 7 7 7 7 7 7 c 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 10 10 10 10 11 11 11 12 12 13 所以共有21个，选A 2222- 5∠2即∠3 180°-∠CAE-∠4 即∠AEB > ∠AEC

3．略证：

过E作ED平行且等于BC，连结DF，DC（如图）所以BCDE是平行四边行

所以DC平行且等于BE，所以∠1=∠A 因为AB=AC，AE=FC 所以BE=AF=DC 所以△AEF≌△CFD 所以EF=DF 在△EFD中，EF+DF > DE 所以2EF > BC即EF >

1∠BAC 21BC 21BC 2当E、F为AB、AC中点时，EF=所以EF≥1BC 2

4．略证：连结BE（如图）

因为BC > AB，BC > AC，

- 6

易证△AOD≌△AOD，△COB≌△COD（SAS）所以AD=AD，CB= CB 在△CDE中，CE+DE > CD ① 在△ABE中，AE + BE > AB ② ①+②得 AE + DE + BE + CE > AB + CD 所以A D + BC > AB + CD 所以AD + BC > AB + CD

8．略证：由已知可得

2BD > BD + DC = AB + AC = 2AC, 所以BD > AC 在BD上截取DF=AC，连结AF、AD（如图）因为BD+DC=2AC，所以DC+BF=AC=AB，

所以在△BAF中，AF> AB – BF = DC 在△BADC与△ADF中， AD=AD，AC=DF，AF > CD，所以∠1 > ∠2 所以AE > DE

9．略证：延长BA到D使AD=AC，连结DC，作∠DCE=∠ACP，且CE=CP，连结DE、EP（如图）

易证△ADC是等边三角形，△DCE≌△ACP 所以AC=CD=AD，

所以∠ECP=∠DCA-∠DCE+∠ACP=60° 且DE=AP 所以△CEP是等边三角形所以CP=EP 所以PA+PB+PC=DE+PE+PB > DA + AB 所以PA+PB+PC > AC + AB

10．略证：这里只证明（1）

利用勾股定理可以证明

2b2c22ma\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'12a] 2b2c2a2(bc)2a2a2bcbc∴m 242442ab2c2a2又m 242a- 89 -

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