数学几何

已知△ABC，分别以AB ,AC为边在△ABC外侧作△ABD和△ACE，使AB=AD，AC=AE，且∠BAD=∠EAC，BE，CD交于点P。当∠BAD=90时，若∠BAC=45，∠BAP=30，BD=2，求CD的长。、

∵ AD=AB, AC=AE, ∠DAC=90°+45°=135°=∠EAB ∴ ⊿ADC ≌ ⊿ABE 则 ∠ADC=∠ABE ∴ ADBP共圆 （AP同侧相等） 则 ∠DPB=∠DAB=90° ; ∠BDP=∠BAP=30°, （同弧上圆周角相等） ∠ADC=45°-∠BDP=15° ∠PAC=∠BAC-∠BAP=45°-30°=15° ∠ACD=180°-∠ADC-∠DAB-∠BAC=180°-15°-90°-45°=30° DP=DB*con30°=2*√3/2=√3 根据正弦定理 DP/sin∠DAP=AP/sin∠ADC AP=√3 / sin120° * sin15°=√3/sin60° *sin15°=2sin15° AP/sin∠ACP=PC/sin∠PAC PC=AP/sin30° * sin15°=2sin15° / 1/2 * sin15°=4sin²15°=2（1-con30°） =2（1-√3/2)=2-√3 CD=DP+PC=√3+2-√3=2

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