理论力学各章小结

《理论力学》内容小结

第一章 质点运动学

一、运动的描述方法

1．参考系——描述物体运动时被选作参考的另一物体叫参考系。

2．运动与静止——相对于参照坐标系而言，运动质点的坐标是时间t的函数，如质点坐标为常数，则为静止。 3．运动学方程

（a）矢量形式rr(t)

(b)坐标形式

Ⅰ直角坐标xf1(t)，yf2(t)，zf3(t)

Ⅱ平面极坐标rr(t)，(t)

4．轨道——运动质点在空间一连串所占据的点形成的连续曲线，其方程可由上述运动学方程消去t而得。

二、速度与加速度 dvd2rdr1．矢量形式v，a2

dtdtdt2．分量形式（平面）

；加速度 ，，yⅠ直角坐标

速度xyx，横向加速度r2r ；径向加速度，横向速度rⅡ平面极坐标

径向速度rrr2v2dvdv，法向速度0；切向加速度Ⅲ自然坐标

切向速度s，法向加速度 s，或vdtds

三、平动参考系

1．匀速直线运动参考系

vv0v（绝对速度＝牵连速度＋相对速度）

aa（绝对加速度＝相对加速度） 2．加速直线运动参考系

vv0v

aa0a（绝对加速度＝牵连加速度＋相对加速度） 第二章 质点动力学

一、质点运动微分方程 1． 自由质点 ,t) （a）矢量形式

mrF(r,r（b）分量形式

Fy，mFx，mFz yxzⅠ直角坐标

m2r)F )F，m(rrrⅡ平面极坐标

m(r2v2dvⅢ自然坐标 mFn，0Fb F，mdt2． 非自由质点——取消约束，代以约束范作用力，就可把非自由质点视为自由质点，再和约束方程联立求解。 3． 理想线约束

v2dvFnRn mF，mdt

二、功与能 1． 功 WBABFdrFxdxFydyFzdz是一个线积分，一般随路径而异

A2． 能——物体作功的本领，功是能量变化的量度 3． 动能Ek4． 势能 1mv2，m是质点的质量，v是质点的速度 2如FV，则力所作的功与路径无关，只与两端点的位置有关，这种力叫保守力，在保守力场中，函数V(x,y,z)就是质点在(x,y,z)点上相对于某一规定零点的势能。

三、质点动力学的几个基本定理与守恒定律 1． 动量定理与动量守恒定律

动量pmv dpd(mv)动量定理F

dtdtC2，zC1，yC3 动量守恒定律F0，p恒矢量，或x2． 角动量定理与角动量守恒定律

对一点的角动量Jrp 力矩MrF d)yFzzFyzym(yzdtdJdxz)zFxxFz 角动量定理 M

或 m(zxdtdtdm(xyyx)xFyyFxdt角动量守恒定律M0，J恒矢量，或 yxC6 xzC4，zxC5，xyzyyz3． 动能定理与机械能守恒定律

12动能定理 dEkd(mv)Fdr

2机械能守恒定律——对保守力成立，EkVE

第三章 质点系动力学

一、质点系

1． 质点系是由许多相互间存在作用的质点所组成的系统。 2． 内力和外力

质点系中质点间相互作用的力叫内力； 其他物体对质点系内质点的作用力叫外力；

质点系中任何两个质点间相互作用的内力满足牛顿第三运动定律，故对整个质点系而言，内力的总和为零，即

n(i)(i)

FFij0

i1j1ji对任意参考点，内力矩之和也为零，即

n(i)(i)MrijFij0

i1j1ji3． 质心——质点系的全部质量可认为集中在某一点上，这点叫质点系的质心（刚体也是这样）。其直角坐标为

xCmxii1nnimi1，yCmyii1nniimi1，zCmzi1nnii

iimi1对质量连续分布的系统而言，上式中的求和应改为积分。

二、动量定理与动量守恒定律

1． 质点系动量对时间的变化率等于作用在质点系上诸外力的矢量和，这关系叫质点系的动量定理，即

dpdnn(e)miviFi

dtdti1i12． 质心运动定理——质点系质心的运动，就好像一个质点的运动一样，此质点的质量等于质点系的质量，而作用在此质点上的力等于作用在质点系上所有诸外力的矢量和，即

n(e)r

m CFii13． 动量守恒定律——质点系不受外力作用而运动或虽受外力作用，但外力矢量和等于零，

n(e)则它的动量为一恒矢量。即Fi0，则pmvCmivi恒矢量。

ni1i

1三、质点系角动量定理与动量守恒定律 1． 质点系对惯性系中任一固定点O的角动量对时间的变化率，等于质点系所有外力对同一点的力矩的矢量和，这关系叫质点系的角动量定理，即

n(e)dJdnrimiviriFiM

dtdti1i1对质心来讲，角动量定理的表达式与对固定点相同。

2． 角动量守恒定律——质点系如不受外力作用，或虽受外力作用，但对某固定点的力矩的矢量和为零，则对此固定点而言，角动量为一恒矢量，即如M0，则J恒矢量。 质点系动能定理与机械能守恒定律

1． 质点系动能的微分等于诸外力及诸内力所作元功之和，这关系叫质点系的动能定理，即

nnn12(e)dEkdmiviFidriFi(i)dri

i1i12i12． 柯尼希定理——质点系中各质点的动能为质点系全部质量集中在质心并随质心平动的动能及各质点对质心运动时动能之和，即

n1122EkmvCmivi

2i123． 机械能守恒定律——如内力及外力都是保守力，则质点系的机械能守恒，即EkVE。

四、变质量物体的运动

1．变质量物体的运动方程

dvdma．m(vu)F

dtdtdb．如u0，则(mv)F

dtdvc．如uv，则mF

dt

五、质心坐标系与实验室坐标系

1． 质心坐标系——以质心为原点的坐标系，在此坐标系中可观测散射（碰撞）之类问题，常为理论工作者所采用。

2． 实验室坐标系——以实验室作为参考系的坐标系，常为实验工作者所采用。 第四章 有心力作用下质点的运动

一、有心力

1． 力心——作用力恒通过的某一固定点叫力心。 2． 一般性质

ａ.有心力F(r)是保守力。

2h常数，如为直角坐标系，则mh，即r2b．有心力的角动量守恒，mryxh。 xyc．质点受有心力作用，必在一平面上运动，这时用极坐标较方便。 3．轨道微分方程（比耐公式）

d2uF1u

hu， ud2mr224．平方反比引力——行星的运动

a.轨道方程——圆锥曲线，且原点在力心上。

rh2k2112hEkmcos(0)24

故偏心率e12Ehk2m2，以此与圆锥曲线的标准式相比较，知E0，e1，轨道为椭圆；E0，e1，轨道为抛物线；E0，e1，轨道为双曲线。 5．开普勒定律

a．行星绕太阳作椭圆运动，太阳位于其中的一个焦点上。

b．行星和太阳之间的联线（矢径），在相等时间内所扫过的面积相等。

c．行星运行时，周期的平方和轨道的半长轴的立方成正比。

6．万有引力定律——可由牛顿定律和开普勒三定律推出。

7．宇宙速度

a．第一宇宙速度v1

b．第二宇宙速度v2gr7.9km/s，绕地球转。

2gr11.2km/s，脱离地球的最小速度。

c．第三宇宙速度v316.7km/s，脱离太阳系的最小速度。

二、两体问题

1． 两物体相互在引力作用下运动时，每一物体绕两者的质心作圆锥曲线运动，而此质心则作惯性运动。

2． 把物体看作不动，而把另一物体看成绕它作圆锥曲线运动时，可在利用动力学方程时视后者的质量减小到，且

111，叫折合质量。 mM3a13a2Mm13． 开普勒第三定律的修正 2/2

12Mm2第五章 刚体力学

一、刚体各种可能的运动

1．平动——刚体各点的速度和加速度相同，但不一定是直线运动，平动有3个独立变量，与质点同。

2．定轴运动——转动轴上诸点不动，其它各点都绕轴线上某点作圆周运动。定轴转动只有1个独立变量。 3．平行于一平面的运动——各点均始终在平行于某固定平面的平面内运动。可分解为平动及定轴转动的组合，故有3个独立变量。 4．定点转动——在运动中，刚体内只有一点始终保持不动，也有3个独立变量。 5．一般运动——可视为平动与定点转动的组合，有6个独立变量。

二、角速度矢量

1．有限转动——两个不同时的有限转动，不遵守矢量加法的交换律（或称对易律），故有限角位移不是矢量。

2．无限小转动——两个不同时的无限小转动，遵守矢量加法的交换律，故无限小角位移是矢量，即

d1d2d2d1

d3．角速度相加遵守矢量加法的交换律，故角速度是矢量，。

dt4．线速度与角速度间的关系vr。



三、刚体运动微分方程与平衡方程

1．力系的简化——空间的任意力系总可化为通过某一点（简化中心）的一个力F及力偶

矩为M的一个力偶。

2．刚体运动的微分方程

n(e)

a．质心运动定理

mrFiF

i1dLb．角动量定理

M （对定点或对质心）

dt(e)c．动能定理dTFidri

ni13．刚体平衡方程

 F0， M0

四、转动惯量

1．刚体绕一直线的转动惯量

式中ri为质点mi到转动轴线的垂直距离，Imiri或Ir2dm或Imk2，k为2i0n回转半径。也可写为

IIxx2Iyy2Izz22Iyz2Izx2Ixy

22式中 Ixx(yz)dm，Iyy(zx)dm，Izz(xy)dm为刚体对x轴、y2222轴和z轴的转动惯量，而

IyzIzyyzdm，IzxIxzzxdm，IxyIyxxydm为惯量积，、、为转动轴线的方向余弦。 2．惯性椭球与惯量主轴 a．惯性椭球方程

IxxxIyyyIzzz2Iyzyz2Izxzx2Ixyxy1

b．选取惯量椭球主轴为坐标轴，惯量积全部等于零，这些轴叫惯量主轴。 3．均匀刚体的对称轴就是惯量主轴。

五、刚体的角动量及转动动能——以定点O或质心C上的惯量主轴为坐标轴时

角动量：LLxiLyjLzkI1xiI2yjI3zk

动能：T

六、定轴转动

1．运动学

a．刚体内一点的线速度viri，ri是刚体内某质点到转动轴的垂直距离。 222122(I1xI2yI3z2) 2vi2iriri，ainri2 b．刚体内一点的加速度aivri2．动力学

Izz a．角动量定理

MzIzzb．机械能守恒定律

1Izz2VE

2七、平面平行运动 1．运动学

a．这时刚体可用一截面来代表，且可把运动分解为随基点A的平动加上绕通过A且垂直于固定平面的轴线的定轴转动。

b．刚体平面运动时任一点的速度与加速度

r(r) vvAr，aaAc．转动瞬心——在任一瞬时，截面上速度v为零的那一点。它在截面上的轨迹叫本体轨迹，在固定平面上的轨迹叫空间轨迹。 2．动力学

CFy CFx，myxa．质心运动定理

mIzzMz

b．对质心的角动量定理

Izzc．机械能守恒定律

112mvCIzz2VE 2

2八、定点转动

1．运动学 a．转动瞬轴

定点转动时，角速度矢量虽通过定点O，但它在空间的取向，却随时间而改变，故称这种转动轴为转动瞬轴。 b．刚体内一点的速度和角速度

r(r)

vr，ac．定点转动的角动量

LxIxxLyIyxLIzzxIxyIyyIzyIxzxIyzy

，或LI

IzzzI为对定点O的惯量张量。

d．转动能

1122TL(IxxxIyyyIzzz22Iyzyz2Izxzx2Ixyxy)

222．动力学（略）

第六章 非惯性系中质点的运动

一、加速平动参考系中的力学 1．惯性力 （虚拟力）

F惯＝ma0， a0为非惯性系S相对于惯性系S的加速度。

2．非惯性系S中的运动方程

maFF惯

二、转动参考系中质点的运动 1．平面转动参照系

质点运动绝对速度 vvr（绝对速度＝相对速度＋牵连速度） r(r)2ωv（绝对加速度＝相对加速度＋牵连绝对加速度aaω加速度＋科里奥利加速度） 平面问题中角速度恒沿k方向，k



2．空间转动参考系

质点运动绝对速度 vvr（绝对速度＝相对速度＋牵连速度）

r(r)2ωv（绝对加速度＝相对加速度＋牵连绝对加速度aaω加速度＋科里奥利加速度） 空间问题中角速度的大小和方向都可以改变。 3．转动参考系动力学 rm(r)2mωv

运动方程 maFmω 4．质点相对于地球的运动方程 Fx2mysinmxFy2m(xsinzcos) ymcosmzFzmg2my第七章 虚功原理与达朗伯原理

一、约束的类别与广义坐标 1．约束的类别

a．定常约束与非定常约束——由几何约束方程中是否显含时间t而定。不含t的为定常约束，含t的则为非定常约束。

b．可解约束与不可解约束——由约束方程能否用等式就足以表示而定。除等式外还需要用不等式来表示的是可解约束，用等式就足以表示的是不可解约束。

c．几何约束与微分约束——由约束方程中是否含有速度投影而定。凡只含有坐标和时间的是几何约束，而同时含有坐标、时间和速度投影的是微分约束，又叫运动约束。

d．凡只受几何约束的力学系统叫完整系，凡同时受有几何约束与微分约束的力学系统或受有可解约束的力学系统叫不完整系。 2．广义坐标与自由度 对完整系而言，力学系统由于约束的存在而使独立坐标减少。这些独立坐标的数目叫力学系统的自由度。用来表示这些独立变量的参数则叫广义坐标，通常用q表示，它不一定是长度。

二、虚功原理

1．实位移与虚位移

a．实位移——质点由于运动实际上发生的位移（由于时间t发生变化所致）。

b．虚位移——想象中可能发生的位移，决定于质点所在的位置及加于其上的约束（δt=0）。由约束方程能否用等式就足以表示而定。除等式外还需要用不等式来表示的是可解约束，用等式就足以表示的是不可解约束。

2．理想约束——诸约束力在任意虚位移上所作的虚功之和为零时的约束为理想约束（Firi0）。光滑面、光滑曲线、光滑铰链、刚性杆、不可伸长的绳等都是理想约束。 Ni13．虚功原理

a．力学系统如受N个外力作用而平衡，则对理想、不可解约束来讲，此N个外力所作的虚功之和等于零，即

WFiri0

Ni1

b．利用虚功原理不能求约束反作用力，但用未定乘子法可求。

4．达朗伯原理

a．达朗伯原理——将动力学问题化为静力学问题

r

FiFimi,2,N) i0，

(i1

b．达朗伯——拉格朗日方程

在理想约束的条件下，有

(Fmr)riiii0 Ni1

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