电大离散数学证明题参考题

五、证明题

1．设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于3的奇数．证明图G与它的补图G中的奇数度顶点个数相等． 证明：设GV,E，V,E．则E是由n阶无向完全图Kn的边删去E所得到的．所以对于任意结

点uV，u在G和G中的度数之和等于u在Kn中的度数．由于n是大于等于3的奇数，从而Kn的每个结点都是偶数度的（n1 (2)度），于是若uV在G中是奇数度结点，则它在G中也是奇数度结点．故图G与它的补图G中的奇数度结点个数相等．

k条边才能使其成为欧拉图．

2证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k是偶数．

又根据定理4.1.1的推论，图G是欧拉图的充分必要条件是图G不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图． k故最少要加条边到图G才能使其成为欧拉图． 2

五、证明题

1．试证明集合等式：A (BC)=(AB)  (AC)．

证：若x∈A (BC)，则x∈A或x∈BC，

即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C．

即x∈AB且x∈AC，

即x∈T=(AB)  (AC)，

所以A (BC) (AB)  (AC)．

反之，若x∈(AB)  (AC)，则x∈AB且x∈AC，

即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C，

即x∈A或x∈BC，

即x∈A (BC)，

所以(AB)  (AC) A (BC)．

因此．A (BC)=(AB)  (AC)．

2．对任意三个集合A, B和C，试证明：若AB = AC，且A，则B = C．

证明：设xA，yB，则AB，

因为AB = AC，故 AC，则有yC，

所以B C．

设xA，zC，则 AC，

因为AB = AC，故AB，则有zB，所以CB．

故得B = C．

3、设A，B是任意集合，试证明：若AA=BB，则A=B．

许多同学不会做，是不应该的．我们看一看

证明：设xA，则AA，

因为AA=BB，故BB，则有xB，所以AB．

设xB，则BB，

因为AA=BB，故AA，则有xA，所以BA．

故得A=B．

2．设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加

1．试证明命题公式 (P(QR))PQ与（PQ）等价．

证：(P(QR))PQ(P(QR))PQ

((PQR)P)Q

PQ（吸收律）

(PQ)（摩根律）

2．试证明(x)(P(x)R(x))(x)P(x)(x)R(x)．

分析：前提：(x)(P(x)R(x))，

结论：(x)P(x)(x)R(x) ．

证明(1) (x)(P(x)R(x))P

(2) P(a)R(a)ES(1)(存在指定规则)

(3) P(a)T(2)（化简）

(4) (x)P(x)EG(3)(存在推广规则)

(5)R(a)T(2)（化简）

(6) (x)R(x)EG(5)(存在推广规则)

(7) (x)P(x)(x)R(x)T(4)(6)（合取引入）

2．设集合A={1,2,3,4}，B={2, 4, 6, 8}，判断下列关系f：A→B是否构成函数，并说明理由．

(1) f={,,,}；(2) f={,,}；

(3) f={,,,}．

解：(1) f不能构成函数．

因为A中的元素3在f中没有出现．

(2) f不能构成函数．

因为A中的元素4在f中没有出现．

(3) f可以构成函数．

因为f的定义域就是A，且A中的每一个元素都有B中的唯一一个元素与其对应，满足函数定义的条件．

三、公式翻译题

1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式．

解：设P：今天是天晴；

则命题公式为： P．

问：“今天不是天晴”的命题公式是什么？

2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．

解：设P：小王去旅游，Q：小李去旅游，

则命题公式为：PQ．

注：语句中包含“也”、“且”、“但”等连接词，命题公式要用合取“”．

3．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．

解：设P：他去旅游，Q：他有时间，

则命题公式为：PQ．

注意：命题公式的翻译还要注意“不可兼或”的表示．

例如，教材第164页的例6 “T2次列车5点或6点钟开．”怎么翻译成命题公式？这里的“或”为不可兼或．

4．请将语句“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式．

解：设P(x)：x是人，Q(x)：x努力工作．

谓词公式为： (x)(P(x) Q(x))．

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