10.2 排列与组合练习题

2020-03-01 19:34:41 来源：范文大全收藏下载本文

§10.2 排列与组合

一、选择题

1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为

()．

A．42B．30C．20D．12

解析可分为两类：两个节目相邻或两个节目不相邻，若两个节目相邻，则有

1A2若两个节目不相邻，则有A2由分类计数原理共有2A6＝12种排法；6＝30种排法．

12＋30＝42种排法(或A27＝42)．答案 A

2．a∈N*，且a

27－a78

A．A827－aB．A34－aC．A34－aD．A34－a 解析A834－a＝(27－a)(28－a)„(34－a)．答案 D

3．从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有()

A．252个B．300个 C．324个D．228个

113

解析(1)若仅仅含有数字0，则选法是C2可以组成四位数C23C4，3C4A3＝12×6＝72个；

2123

(2)若仅仅含有数字5，则选法是C1 3C4，可以组成四位数C3C4A3＝18×6＝108个；

113

(3)若既含数字0，又含数字5，选法是C3C4，排法是若0在个位，有A3＝6种，

若5在个位，有2×A22＝4种，故可以组成四位数C3C4(6＋4)＝120个．根据加法原理，共有72＋108＋120＝300个．答案 B

4．2013年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有() A．1 440种C．1 282种

B．1 360种D．1 128种

解析采取对丙和甲进行捆绑的方法：

如果不考虑“乙不在正月初一值班”，则安排方案有：A66·A2＝1 440种， 124如果“乙在正月初一值班”，则安排方案有：C11·A4·A2·A4＝192种，

若“甲在除夕值班”，则“丙在初一值班”，则安排方案有：A55＝120种．

则不同的安排方案共有1 440－192－120＝1 128(种)．答案 D

5．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有()．

A．16种B．36种C．42种D．60种

解析若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A34种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共

2322C23A4种方法，由分类计数原理知共A4＋C3A4＝60种方法．

答案 D

6．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()．

A．30种B．35种C．42种D．48种

解析法一可分两种互斥情况：A类选1门，B类选2门或A类选2门，B类

221选1门，共有C13C4＋C3C4＝18＋12＝30(种)选法．

3法二总共有C37＝35(种)选法，减去只选A类的C3＝1(种)，再减去只选B类的

C34＝4(种)，共有30种选法．答案 A

7．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是()． A．24B．48C．72D．96

222223解析 A55－2A2A3A2－A2A2A3＝48.

答案 B

二、填空题

8．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且

1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．(以数字作答)

23解析①只有1名老队员的排法有C12·C3·A3＝36种． 112②有2名老队员的排法有C22·C3·C2·A2＝12种；

所以共48种．答案 48

9．将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A班，那么不同的分配方案种数是________．

解析将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排一名学

3212

生有C2其中甲同学分配到A班共有C2因此满足条4A3种分配方案，3A2＋C3A2种方案．32212件的不同方案共有C24A3－C3A2－C3A2＝24(种)．

答案 24

10．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求男、女医生都有，则不同的组队方案共有________种．

解析分1名男医生2名女医生、2名男医生1名女医生两种情况，或者用间接法．

221

直接法：C15C4＋C5C4＝70.

间接法：C39－C5－C4＝70.答案70

11．有五名男同志去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不同的住宿安排有________种(用数字作答)．解析甲、乙住在同一个房间，此时只能把另外三人分为两组，这时的方法总数

22C15C4C2313

是C3A3＝18，而总的分配方法数是把五人分为三组再进行分配，方法数是23

＝90，故不同的住宿安排共有90－18＝72种．答案 72

12．某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有________种不同的调度方法(填数字)．解析先从除甲、乙外的5辆车任选2辆有C25种选法，连同甲、乙共4辆车，排列在一起，选从4个位置中选两个位置安排甲、乙，甲在乙前共有C24种，最后，

222安排其他两辆车共有A22种方法，∴不同的调度方法为C5·C4·A2＝120种．

答案 120

三、解答题

13．有六名同学按下列方法和要求分组，各有不同的分组方法多少种？ (1)分成三个组，各组人数分别为

1、

2、3；

(2)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为

1、

2、3； (3)分成三个组，各组人数分别为

2、

2、2；

(4)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为

2、

2、2； (5)分成四个组，各组人数分别为1,1,2,2；

(6)分成四个组去参加四项不同的活动，各组人数分别为

1、

2、2.

解析(1)即C16C5C3＝60.

233

(2)即C16C5C3A3＝60×6＝360.22C26C4C2

(3)即315.

A322

(4)即C26C4C2＝90.

12C1C26C54C2

(5)即2·2＝45.

A2A2122

(6)C16C5C4C2＝180.

14．要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同

的选法？

(1)至少有1名女生入选；(2)至多有2名女生入选；(3)男生甲和女生乙入选；(4)男生甲和女生乙不能同时入选；(5)男生甲、女生乙至少有一个人入选．

解析 (1)C512－C7＝771； 1423(2)C57＋C5C7＋C5C7＝546； 3(3)C22C10＝120； 23(4)C512－C2C10＝672； 5(5)C512－C10＝540.

15．在m(m≥2)个不同数的排列p1p2„pm中，若1≤i＜j≤m时pi＞pj(即前面某数大于后面某数)，则称pi与pj构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列(n＋1)n(n－1)„321的逆序数为an.如排列21的逆序数a1＝1，排列321的逆序数a2＝3，排列4 321的逆序数a3＝6.(1)求a

4、a5，并写出an的表达式； (2)令bn＝

anan＋1

＋，证明2n＜b1＋b2＋„＋bn＜2n＋3，n＝1,2，„.an＋1an

nn＋12

解析 (1)由已知条件a4＝C25＝10，a5＝C6＝15，则an＝Cn＋1＝

(2)证明 bn＝

1anan＋1nn＋21

2＋2nn＋2an＋1ann＋2n

∴b1＋b2＋„＋bn

111111111

－＋－＝2n＋21－＋－＋－＋„＋

32435n－1n＋1nn＋2113