(数学分析习题答案)第二章

第二章 数列极限

P.27习题

2．按N定义证明： （1）limnn1n1

1nn1n1n11证明

因为 n1nn111n1n，所以0，取

N1，nN，必有lim.故3nn22n

（2）n2n122lim32

3nn证明 因为 2n1322n32(2n1)3}22n3n2(nn1)225n2n2252n3n 3nn2n1，nN，有

2(n1)，于是0，取

Nmax{1,323n.所以lim3nn2n122n2 n!limn0（3）nn

n!3证明 因为 nN1n0n!nnn(n1)1nnn1nn1nlim211nnn，于是0，取

n!n，nN，必有nlimsin0n!nn.所以

n0

n（4）n0

sinn0sinnn，于是0，取

N，nN，必有证明 因为sinn0nlimsinn.所以nann0

lim（5）n0(a1)

(h0)，于是

n(n1)2n(n1)2n1nhhhh22，从而 证明 因为a1，设a1han(1h)nnan0nannn(n1)2h22(n1)h2，所以0，取

limnanN2h21，nN，n有an02(n1)h2.故

n0 3．根据例2，例4和例5的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列：

11nlimlimlim33nn；（1）（2）n；（3）nn

111limnlimlimnlim10nnnn2；2 （4）n3；（5）（6）n；（7）lim1nnlim11n0解 （1）（2）（3）limlimnnn2a12），无穷小数列.

（用例2的结果，3110，（用例5的结果，a3）

，（用例2的结果，a3），无穷小数列.

nnn3lim13n（4）n11lim0qn33），（用例4的结果，，无穷小数列.11lim0qn22），（用例4的结果，，无穷小数列.

nlim12n（5）nn（6）nlimnnlim10112，（用例5的结果，a10）.

nlim12（7）n1a12）.

,（用例5的结果，4．证明：若n证明 因为nlimana，则对任一正整数 k ，有klimanka

，于是，当kNlimana，所以

0,N0,nN,|ana|limanka|anka|nkN时，必有，从而有，因此k.5．试用定义1证明：

1n(1){n}发散.（1）数列n不以1为极限；（2）数列证明（用定义1证明） 数列

{an}不以 a 为极限（即nlimana）的定义是：

00，N0，n0N，|an0a|0

102，N0，取n0N2N，有 （1）取1n011N21N1N2N12(N1)11201，故数列n不以1为极限.

102另证（用定义1’证明） 取，则数列n中满足n2的项（有无穷多个）1U(1;0)(12,32)显然都落在1的邻域之外，故数列n不以1为极限.

11nn(1)(1){1,2,,4,,6,}{n}{n}135（2）数列=，对任何aR，取0，则数列中所有满足“n 为偶数，且na1”的项（有无穷多个），都落在 a 的邻域U(a;0)(a1,a1)之外，故数列{n(1)n}不以任何数 a 为极限，即数列{n(1)n}发散.

n(1)1n的极限是1.6．证明定理2.1，并应用它证明数列limana定理2.1 数列{an}收敛于 a 充要条件是：{ana}为无穷小数列.（即n的充要条件是nlim(ana)0）

，由数列极限的定义，0,N0,nN，有

lim(ana)0证明 （必要性）设n|ana||(ana)0|limana，所以 n.（充分性）设nlim(ana)0，由数列极限的定义，0,N0,nN，有

limana|(ana)0||ana|，所以n.

nn(1)n(1)(1)111nnn是无穷小数的极限是1.因为下面证明：数列n(1)1n的极限是1.列，所以数列7．证明：若n证明

设limanalimanan，则nlim|an||a|.当且仅当 a 为何值时反之也成立？

，由数列极限的定义，0,N0,nN，

lim|an||a||an||a||ana|{(1)}.n，所以也有n.但此结论反之不一定成立，例如数列当且仅当 a = 0 时反之也成立.设n|an||an|lim|an|0，于是0,N0,nN，，所以nlimana.

123nn38．按N定义证明： （1）lim(n1nn)0lim； （2）

n0

n1,nan2nnliman1n（3）n，其中|n1n|1n1n为偶数n为奇数

1n.于是0，取

n)0证明 （1）因为nN，必有

n1nN12，|n1n|，从而nlim(n1.123n（2）因为

N1n3n(n1)2n3n12n2nn2n21n，于是0，取123nn3123nn3，nN，必有

01n，所以

1n

limn0

（3）因为当 n 为偶数时，|an1||an1|nnn12n1n112nnnn1nnnN121n当 n 为奇数时，管n 为偶数还是奇数，都有|an1|1n，故不

|an1|n.于是0，取，nN，必有，所以 nliman1.

P.33习题

1．求下列极限： ⑴ 根据P.24例2

，a0，可得 1113332n3n11nnlimlimn4n32n3n1344223nn

nlim1na0lim12nn2⑵ nlim(n1n22n)0

，|q|1，可得 23232⑶根据P.25例4 (2)3(2)n1nnn1limqnn0()1)n1nlimn32lim13n3(3

nlim111n1nlim(nnn)limnn12nnn⑷

这是因为由P.29例1若limn

alim(11nlimanan，则

limnan.于是由

n)1，得11n11.n⑸ nlim(n12n10)10，因为nlimna1（a0）

11limn1111121n213121321213n2limn2131n22n13⑹ 2．设nanbn3

limana，nlimbnb，且ab.证明：存在正数N，使得当nN时，有

ab2.aab2b证明 由ab，有

.因为nab2limana，由P.24保号性定理2.4，

ab2存在N10，使得当nN1时有N20，使得当nN2时有abanbn2.

an.又因为nlimbnb，所以，又存在

bnab2.于是取Nmax{N1,N2}，当nN时，有3．设{an}为无穷小数列，{bn}{bn}为有界数列，证明：

{anbn}为无穷小数列.

|b|M,n1,2,{a}为有界数列，所以存在M0，使得n.由n为

|an|M.从而当nN时，有无穷小数列，知0,N0,nN，|anbn||an||bn|Mlimanbn0{ab}M，所以n，即nn为无穷小数列.4．求下列极限 证明 因为111111111limlimnn1223n(n1)1223nn11lim11nn11（1）

21242822n222111n482112n21（2）因为

1122，而

nn12lim2n24n22821(n)，于是nn2222lim21nnlim221n，从而

22（3）

n 32n11lim2nn222557792n12n32n3lim3223lim33n1nnnn22222222

1（4）当n2时，2limn11n1n12n11nn1limn12，，而

nlimnn11，所以n11n1.01n21(n1)21(2n)2n1n21n1n20,(n)（5）因为，所以

1110lim22nn2(n1)(2n)

n11222n1n2（6）因为nnlimnnn2n1nn2nn12nn21，

lim111nn1且limn1n12，所以

12nn 1{anbn}1n225．设{an}与{bn}中一个是收敛数列，另一个是发散数列，证明是发散数列.an(bn0)b{ab}又问nn和n是否必为发散数列.证明 （用反证法证明）不妨设收敛，则bn(anbn)an{an}是收敛数列，

{bn}{bn}是发散数列.假设数列

{anbn}收敛，这与是发散数列矛盾，所以，数列

{anbn}发散.同理可得数列{anbn}发散.an(bn0){anbn}bn{a}{b}和不一定是发散数列.例如，若n是无穷小数列，n是有an(bn0)b{ab}界的发散数列.则nn和n是无穷小数列，当然收敛.

bn(an0)limana0{b}a{ab}但是，有下列结果：如果n，n是发散数列，则nn和n一定是发散数列.6．证明以下数列发散：

nn(1)n1 （1）证明 设an(1)nnn1，则

a2n2n2n11,(n)，而

a2n12n12n1，

nn(1)n1发散.由P.33，定理2.8 知（2）证明 nn(1)n

(1)n 的偶数项组成的数列a2n2n，发散，所以n(1)n发散.ncos4 （3）证明 设ancosn4，则子列 a8n11,(n)，子列

a8n47．判断以下结论是否成立（若成立，说明理由；若不成立，举出反例）： （1）若{a2k1}和{a2k}都收敛，则{an}收敛.解 结论不一定成立.例如，设an(1)nncos11,(n)4发散.，故

an(1)n，则

a2k1，

a2k11都收敛，但发散.{a2k1}注 若和{a2k}都收敛，且极限相等（即k和

{a3k}lima2k1lima2kk），则

{an}收敛.（2）若{a3k2}，{a3k1}k都收敛，且有相同的极限，则

k{an}收敛.

，则由数列极限的定义，知0，K10，kK1，|a3k2a|；同样也有K20，kK2，|a3k1a|；kK3|a3ka|Nmax{3K1,3K2,3K3}K30，，.取，当nN时，对任

|aa|意的自然数 n ，若n3k2，则必有kK1，从而n；同样若n3k1，则

|aa|kK3|aa|必有kK2，从而也有n；若n3k，则必有，从而n.所证明 设k以k，即n收敛.8．求下列极限：

（1）k24解 因为

113335lim132n12nlima3k2lima3k1lima3kalimana{a}

2n12n0135246

2n32n1(2n1)(2n1)0557(2n3)(2n1)lim13242n12n12n1

lim12n113而k0，所以

2n12nk

Sn13242n12n24352n2n1，设另解 因为24， Tn24352n2n1，则SnTn.于是SnSnTnSn12n1，所以

Sn12n1.（2） 答案见教材P.312提示.（3）k解 lim[(n1)n],01

0(n1)nn[(11n)1]n[(11n)1]

nn1n10,(n)

所以，lim[(n1)kn]0

1另解 因为10，所以(n1)(n1)n1，于是

n1(n1)nn1，

0,(n).从而0(n1)nn（4） 答案见教材P.312提示.

19．设limnna1,a2,amnn为 m 个正数，证明：

na1a2anmax{a1,a2,am}max{a1,a2,am}nnn

nn证明 因为 而nlimna1a2annnmax{a1,a2,am}

n1，所以nlimna1a2anmax{a1,a2,am}nn

10．设n（1）limnlimana，证明： ； （2）若

a0,an0[nan]na，则

limnnan1.nannan1证明

（1）因为limnan1nn[nan]nan[nan]1，所以

n[nan].由于

1[nan]limanalimalimaannnnnn，且，从而.（2）因为 na2annlimana0n，由P.29 定理2.4，存在N0，使得当nN时，有n32aa2.于是 .

ann32alimna2，并且

nlimn32na1，所以limnan1

P.38习题

1lim1nn1．利用

ne求下列极限：

n1lim1nnnn1limnnlim111n1n1n11n11e（1） 1lim1nn（2）n111lim11ennn

nn1lim1nn1（3）1lim1n2n（4）n11n1limn11n12n12n1e

1lim1n2n2n1lim1n2ne

，且an0,n1,2,，则注：此题的求解用到事实（P.29例1）：若nlimnlimanaana.n1lim12nn （5）

n11n单调增加，且有上界 3，于是 解 因为数列1112nnnn112nn2n31,(n)，所以

1lim121nn

2．试问下面的解题方法是否正确：求n解 不正确.因为极限nlim2nnlim2n

lim2nlim2n是否存在还不知道（事实上极限n不存在），所以设是错误的.3．证明下列数列极限存在并求其值： （1）设a12,an1{an}a2an,n1,2,

{an}证明

先证数列a1的有界性，用数学归纳法证明：2是

2an222{a}的一个上界.22，假设an2，则an1其次证明即a{an}{an}an1an单调增加.

{an}，所以n有上界2.a(2an)2anann0aan2anan，所以n1，

，在

an12an2单调增加.从而极限存在，设

limanan的两端取极限，得2lima22a，解之得 a = 0 (舍去) 和 2，所以nn.

an1注：{an}的单调增加也可以如下证明：

an2anan2an221，所以

an1an.

1还可以如下得到：an2（2）设a121412n1221412n21n1an1

c(c0),an1can,n1,2,

证明 先证数列{an}的有界性，用数学归纳法证明：{an}的一个上界是 1 + c .a1c1c，假设an1c，则an1can2c1c2c11c2，所以{an}有上界1 + c.其次证明{an}单调增加（用数学归纳法证明）.a1an1anccca2，假设

can1，于是can1can，从而{an}1can，即anan1.故{an}单调

2增加.所以极限存在，设14c2nlimanan，在

an1can2的两端取极限，得aca，

liman2解之得 a.由于an > 0 ，所以 a > 0 .故 n(c0),n1,2,.（3）ancn!

证明 先证an1cn1{an}从某一项以后单调减少.取自然数 N 使得 N > c ，于是当nN时，cn(n1)!{an}cn1cn1n!cn1ancN1anan，即从第N项开始

{an}{an}单调减少.

limana由于在an1的各项都大于零，所以an{an}有下界0.从而极限存在.设n.

，的两端取极限，得a0a，故a0，即nliman0nn1111nn1为递增数列的结论，证明为递增数列.4．利用1n2an1n1n1，要证：an1an,n2,3,，即 证明 设nnn1111111nnn1， 为递增数列，所以有因为nnn1n2n1即nan1n1nn1nn1，于是

n1n2n1nn2n2n2ann1n1n1n1n1.

nnn其中用到事实：n1n1n2nn(n2)(n1)21.收敛： 5．应用柯西收敛准则，证明以下数列

{an}22（1）证明 不妨设nm，则有 ansin1sin22sinn2n

sinn212m1n|anam|sin(m1)2m1sin(m2)2m2

12m2sin(m1)21m1sin(m2)2m2sinn2n12n

11111111m1nm1m1nm1nm2222222

111m12mm 221N，n,mN，有|anam|，由柯西收敛准则，{an}收敛.所以，0，取23（2）证明 不妨设nm，则有 an112121n2

1n1(n1)n2|anam|1m(m1)1(m1)211(m2)2

1n1m1n1m (m1)(m2)1m1m11m11m211n1所以，0，取收敛.

N，n,mN，有|anam|，由柯西收敛准则，{an}6．证明：若单调数列证明 不妨设{an}{an}含有一个收敛子列，则

{ank}{an}收敛.

{ank}是单调增加数列，是其收敛子列.于是有界，即存在M0，使得ankM,k1,2,.对单调增加数列{an}中的任一项am必有

单调增加有上界，从而收敛.

anliml1liman0nan0an17．证明：若，且，则n

ananliml1limlr1nanan1n1证明 因为，所以存在 r 使得.于是由数列极限

anraran1a的保号性定理（P.29），存在N0，当nN时，n1，n.从而有aN1ranN2amamkM，即{an}raN3r2nN1an， 因此，

0anaN1rnN10,(n)， 故

liman0.8．证明：若{an}为递增有界数列，则nlimansup{an}；若{an}为递减有界数列，则n.又问逆命题成立否？

证明 证明过程参考教材P.35，定理2.9（单调有界定理）.

11an1n逆命题不一定成立.例如数列

n为奇数n为偶数n，limaninf{an}limansup{an}1，但{an}不单调.9．利用不等式 bn1an1(n1)an(ba),ba0，证明：

n11111nn为递减数列，并由此推出n为有界数列.

n1a1证明 设n1n，由不等式 bn1an1(n1)an(ba)，有

bn1an1nanbnan1anban1，于是bn1nanbnan1anb，bnnanannan1b.a111n在上式中令

nnn,b11n1n1，ba，得

nnan111nn1n1

nnnnn1nn1n1n1nnn1nnn

n1nnn11n1nn1nannn

n111即an1an，故n为递减数列.nn111111111n而n1n14，所以n为有界数列.e(11n)n310．证明：

n

1n1证 由上题知1n为递减数列，于是对任何mn有， 1n1m11n11n，令m，取极限得，

n111ne n1nnn11111又因为nn11131nn1nn ①②

1e1n由①、②得

n111nn，从而

1n)n3ne(1e(11n)n3n

a2a1b1211．给定两正数 a1 与 b1 ( a1 > b1 )，作出其等差中项b2a1b1，一般地令an1anbn2与等比中项

，

bn1anbn,n1,2,

limanlimbn证明：n与n皆存在且相等.证明 因为a1b1，所以有可得{bn}单调增加.于是有下界，在{bn}an1anbn2anbn2anan2an，即{an}单调减少.同样

，即{an}单调减少有

a1an1anbnbn1b1单调增加有上界，故

limann与nlimbn皆存在.2an1anbnlimanlimbnn的两端取极限，可得n

ansup{an,an1,}12．设{an}为有界数列，记，

aninf{an,an1,}

证明：⑴ 对任何正整数n，⑵ {an}anan；

为递减有界数列，

{an}{an}{an}aam为递增有界数列，且对任何正整数n，m有n；

⑶ 设a和a分别是⑷ {an}和

的极限，则aa；

收敛的充要条件是aa

ansup{an,an1,}aninf{an,an1,}an证 ⑴ 对任何正整数n，⑵ 因为n为递减有界数列.由

asup{an,an1,}sup{an1,an2,}an1{a}，n1,2,，所以naninf{an,an1,}inf{an1,an2,}an1，知

{an}为递增有界数列.对任何正整数n，m，因为ananmanmam{an}为递减有界数列，

{an}为递增有界数列，所以有

.

alimanamaamaamn⑶ 因为对任何正整数n，m有n，令n得，，即，alimamamm令得，故aa.⑷ 设{an}limana|aa|收敛，n.则0，N0，nN，n，aana.于是有

aana，从而

alimanan.同理可得alimanan，所以aa

limanaalimanaaan反之，设.由， n，得0，N0，nN，

有aana及

aana，从而

aananana

P.40 总练习题

1．求下列数列的极限： （1）nlimnn33n

3n解 当n3时，有n3，于是

3limnn33nnn3n3nn233n23,n(n)，所以

nn33

（2）ne

解 设e1h，则当n6时，

e(1h)1nhnnlimn5nn(n1)2!5hh2nn(n1)(n5)6!h6

0ne5n，

limne5n于是6!nn(n1)(n2)(n3)(n4)(n5)h60,(n)，所以

n5nn0

解法2 用P.39习题7的结论.设而limne5nnanlimanan1e，

nlimne5nen15n(n1)e1，从liman0n.

limne5nnlim(nn(e15解法3 用P.27习题2⑸的结果

)n)05 an11e(11n)5解法4

用单调有界定理.令lim(1nanne5n，则an(11n)e5.因为1n)1e5，所以存在N0，当nN时，，从而当nN时，an1an1e(11n)15{a}{a}.于是从nN起数列n递减，且有下界0，因此n收敛.设

1e(11n)an5limanan，在等式an1a1ea的两端取极限，得

，所以a0.（3）n解 nlim(n22n1n)

nlim(n22n1limn1n2nn)lim[(n21n10n

n1)(nn1)]

n12．证明： （1）limnqn20(|q|1)

证明 当q0时，结论成立.

1当0|q|1时，有|q|二项式定理，当n3时有0nq2n11，令|q|n1h,h0qn1(1h)n，于是有

3!h3，而由牛顿

(1h)n(n1)(n2)2，从而

n2n(1h)n3!n(n1)(n2)0h3(n)，所以

limnqn2n0

limnqn2nlim(nn(1|q|)n)(sgnq)2n0另解 用P.27习题2⑸的结果limlgnn

（2）n0,(1)

证明 因为lgxx,x0，于是 0lgnn2lgnn2nnn2120,(n)limlgnn，所以

n0.lim1n!（3）nn0

nnn!3.证明 先证明不等式：

nn!3成立，当 n + 1 时 用数学归纳法证明，当n1时，显然不等式成立；假设

nnn1n(n1)!(n1)n!(n1)(n1)33n1nnn

n13n1311nnn13n1 1nnn!03成立.由此可得故不等式

n另解 用数学归纳法证明不等式：n!nn!3n0,(n)lim1n!，所以

nn0

n

3．设nlimlimana，证明：

naa1a2an（1）n（又问由此等式能否反过来推出n，于是有0,N10,nN1，

limana证明 因为nN1时，有 limanan|ana|） 2.从而当a1a2annaa1a2annan

|a1a||a2a||aN1a|nAnnN1An2n2|aN11a||aN12a||ana|n

其中A|a1a||a2a||aN1a|AlimAn是一个定数.再由

n0，知存在

2.因此取Nmax{N1,N2}，当nN时，有 N20，使得当nN2时，na1a2annaAn222.

lima1a2annn反过来不一定成立.例如练习：设limannan(1)limn0不收敛，但

nn.

a1a2an，证明：

n

(2) 若，则

证明 先证算术平均值—几何平均值—调和平均值不等式：

nan0(n1,2,)lima1a2anan1a11a21anna1a2ana1a2ann

n算术平均值—几何平均值不等式：

1a1a2ana1a22a1a2ann

对任何非负实数a1，a2有

1(a1a2)2，其中等号当且仅当a1a2时成立.由

111此推出，对4个非负实数a1，a2，

a3，a4有

1(a1a2a3a4)4[(a1a2)2(a3a4)2]2(a1a22a3a42)2

a1a222a3a42a1a2a3a4n按此方法继续下去，可推出不等式

a1a2an

a1a2ann4对一切n2（

kk0,1,2,）都成立，为证其对一切正整数n都成立，下面采用所谓的反向归纳法，即证明：若不等式对某个n(2)成立，则它对n1也成立.设非负实数1a1,a2,,an1，令

an11n1(a1a2an1)，则有

n1)(a1a2an1)n(a1a2an1n1)n1n(a1a2an1a1a2an1

1整理后得对一切正整数n都成立.(a1a2an1)n11n1(a1a2an1)，即不等式对n1成立，从而

n1几何平均值—调和平均值不等式a1yi11a21anna1a2an的证明，可令xi，再对yi（i1,2,,n）应用平均值不等式.

lim11limana0naa.由上一小题的n由an0(n1,2,)，知n.若a0，则结论，有

aa2annna1a2an1a,(n)111na1a2an

limn1a11a21annlim11a11a2n1ann11aa而limnn，所以

a1a2ana.liman0aa0若，即n，则0,N10,nN1，n.从而当nN1时，有

na1a2annna1a2aN1aN11annN1nna1a2aN1nnnN1

a1a2aN1N1na1a2aN1N1nA

，于是存在N20，使得当其中Aa1a2aN1，是定数，故

limnA12nN2时，nA2.因此取Nmax{N1,N2}，当nN时，有

，故4．应用上题的结论证明下列各题：

111123n0limn（1）n

nna1a2annA2limna1a2an0

证明 令（2）limnann1n，则nlimanlim1n101213n1n0n，所以nlim.a1(a0)

liman1an1,n2,3,aa1证明 令，，则n，从而

limnnalimnna1a2anliman1n （3）limnnn1

annn1,n2,3,证明 令a11，limnnliman1，则n，于是

nlimnn1234nlimna1a2anliman1n123n1n.lim1n!（4）nn0

1n,n1,2,证明 令nnanliman0，则n，所以

lim1n!limlimnn!n1123nnlimnn1121nlim1nn0

（5）nne

n1nann1证明 令limnn!limn11n12nn1,n2,3,34limane，则n，所以

n1nnnnnn!limn345n2234n1nlimnn1n1e

另证 令limnn!nnanlimnnn!n,n1,2,limanan1an，则

n1lim1nn1limanan1en1e.于是

nanlim3na2a1na3a2nan1n.lim123nn（6）n1

lim123证明 因为nlimbn1bnnlimnn1a3nnn，所以

nlimnnn1

(bn0)（7）若，则

nlimnnbna

证明 nlimnbnlimbn1bnnbn1bn1b2b3b2b3nb1limnlimnb1nb1b2bnb1b2bnn

limn1a

limann（8）若n证明 设limannlim(anan1)da01，则

nd

(aa0)(a2a1)(anan1)alim01nnnn lima0nnlim(a1a0)(a2a1)(anan1)n{bn}n0lim(anan1)dn

5．证明：若都存在且相等.{an}为递增数列，为递减数列，且

lim(anbn)0nmilanlimbn，则n与n证明

因为

ManbnMlim(anbn)0n，所以{anbn}有界，于是存在M0，使得.从而有anMbnMb1， bnanMa1M，因此{an}{bn}为递增有上界数列，nnn为递减有下界数列，故

limann与

limbnn都存在.又因为limanlimbnlim(anbn)0limanlimbnn，所以 n.6．设数列{an}满足：存在正数M，对一切 n 有

An|a2a1||a3a2||anan1|M

证明：数列{an}与{An}都收敛.证明 数列{An}单调增加有界，故收敛.由柯西收敛准则，0,N0，当mnN时，|AmAn|.于是

|aman||amam1||am1am2||an1an|AmAn

所以由柯西收敛准则，知数列

{an}收敛.

11aaa0,0,a1an1n2an2a, n1,2,， 7．设，证明：数列{an}收敛，且其极限为

1an2ananan1an，故数列证明

因为an1an{an}有下界

.1112112anaan{a}{a}2，于是n1，即数列n单调减少，从而数列n收敛.设nlimanAan1，由

1an22an，得2anan1an，两端取极限得，222AA，解得A，所以nan2a1b12limanan1bn18．设a1b10，记{an}bn.

2an1bn1an1bn1，.

2，n2,3,.证明：数列与{bn}的极限都存在且等于bn2an1bn1an1bn1an1bn1an1bn1(an1bn1)2an1bn1an1bn12证 因为 an1bn1

an2an1bn1an1bn1an1bn1bn数列{an}是递减的：

an1anbn2，所以anan2bnan1bn12，n2,3,

an，n1,2, an{an}数列有下界：{bn}{bn}an1bn120limana{an}n1,2,，，所以收敛，设n.2an1bn1an1an1bn1bn2an1bn1an1bn1数列数列是递增的：有上界：an，n2,3,

bnana1limbnb{bn}n1,2,，，所以收敛，设n.an1bn12bn令n在an的两端取极限，得ab.2an1bn1an1bn1两端分别相乘，得anbnan1bn1，n2,3, an1bn12与所以有anbna1b1，n2,3,，令n取极限得aba1b1，从而a

a1b1

(数学分析教案)第二章

第二章统计调查习题答案

第二章习题 带答案

党课第二章习题及答案

环境监测第二章部分习题答案

第二章习题

第二章习题

第二章习题

第二章习题

第二章习题

《(数学分析习题答案)第二章.doc》

将本文的Word文档下载到电脑，方便收藏和打印

推荐度：

点击下载文档