2020-03-03 00:39:03 来源:范文大全收藏下载本文
放缩法证明不等式
在学习不等式时,放缩法是证明不等式的重要方法之一,在证明的过程如何合理放缩,是证明的关键所在。现例析如下,供大家讨论。 例1:设a、b、c是三角形的边长,求证
abc≥3 bcacababc证明:由不等式的对称性,不妨设a≥b≥c,则bca≤cab≤abc
且2cab≤0, 2abc≥0
∴
∴abcabc3111
bcacababcbcacababc2abc2bac2cab2abc2bca2cab≥0
bcacababccabcabcababc≥3 bcacababc2bac无法放缩。所以在运用放
cab[评析]:本题中为什么要将bca与abc都放缩为cab呢?这是因为2cab≤0,
2abc≥0,而2bac无法判断符号,因此缩法时要注意放缩能否实现及放缩的跨度。
例2:设a、b、c是三角形的边长,求证
abc(bc)2(ca)2(ab)2≥ bccaab1 [(ab)2(bc)2(ca)2]
3证明:由不等式的对称性,不防设a≥b≥c,则3abc0,3bca≥bccca
bca0
左式-右式3abc3bca3cab(bc)2(ca)2(ab)2 bcacab3bca3cab(ca)2(ab)2 abab2(bca)3bca3cab(ab)2(ab)2(ab)2≥0 ababab ≥ ≥[评析]:本题中放缩法的第一步“缩”了两个式了,有了一定的难度。由例
1、例2也可知运用放缩法前先要观察目标式子的符号。
例3:设a、b、cR且abc1求证
111≤1 1ab1bc1ca证明:设ax3,by3,cz3.且 x、y、zR. 由题意得:xyz1。
∴1abxyzx3y3
∴x3y3(x2yxy2)x2(xy)y2(yx)(xy)2(xy)≥0 ∴x3y3≥x2yxy2
∴1abxyzx3y3≥xyzxy(xy)xy(xyz)
∴
1z1≤
xy(xyz)xyz1abyx11≤,≤ ∴命题得证.xyzxyz1bc1ca同理:由对称性可得[评析]:本题运用了排序不等式进行放缩,后用对称性。
39例4:设a、b、c≥0,且abc3,求证a2b2c2abc≥
22证明:不妨设a≤b≤c ,则a≤1又∵(44。∴a0。 33ab23a23434)≥bc,即()≥bc,也即bc(a)≥(3a)2(a)。 2223833∴左边(abc)22(abbcca)abc
23434 92a(bc)bc(a)≥92a(3a)(3a)2(a)
2383
3416339(3a)[(3a)(a)a]9(3a)[a2a4]9(a32a2a12)8338899393a(a22a1)a(a1)2≥
2282893 ∴a2b2c2abc≥
22[评析]:本题运用对称性确定符号,在使用基本不等式可以避开讨论。
例5:设a、b、cR,pR,求证:
abc(apbpcp)≥ap2(abc)bp2(abc) cp2(abc)
证明:不妨设a≥b≥c>0,于是
左边-右边ap1(bca2abca)bp1(cab2bcab)cp1(abc2cabc)
ap1(ab)[(ab)(bc)]bp1(ab)(bc)cp1[(ab)(bc)](bc)ap1(ab)2(ab)(bc)(ap1bp1cp1(bc)2
≥(ab)(bc)(ap1bp1cp1) 如果p1≥0,那么ap1bp1≥0;如果p1<0,那么cp1bp1≥0,故有 (ab)(bc)(ap1bp1cp1)≥0,从而原不等式得证.
例6:设0≤a≤b≤c≤1,求证:
abc(1a)(1b)(1c)≤1
bc1ca1ab1abcabc≤,再证明以 bc1ca1ab1ab1证明:设0≤a≤b≤c≤1,于是有下简单不等式
abcab1c1(1a)(1b)(1c)≤1,因为左边(1a)(1b)(1c)
ab1ab1ab1
11c[1(1ab)(1a)(1b)],再注意(1ab)(1a)(1b)≤(1abab)
ab1 (1a)(1b)(1a)(1b)(1a)(1b)(1a2)(1b2)≤1得证.
在用放缩法证明不等式A≤B,我们找一个(或多个)中间量C作比较,即若能断定A ≤C与C≤B同时成立,那么A≤B显然正确。所谓的“放”即把A放大到C,再把C放大到B,反之,所谓的“缩”即由B缩到C,再把C缩到A。同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度,放不能过头,缩不能不及。
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