基本不等式教案模板

推荐第1篇：《基本不等式》教案

《基本不等式》教学设计

教材：人教版高中数学必修5第三章

一、教学目标

1．通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；

2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；

3．结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想； 4．借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式方法与策略．

以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节．

二、教学重点和难点

重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．

三、教学过程： 1．动手操作，几何引入

的证明过程； 的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会

如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统

一、代数和几何是紧密结合、互不可分的．

探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？ 在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条

直角边长为，

．于是，

， 那么正方形的边长为4个直角三角形的面积之和正方形的面积由图可知，即

．

．

探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为和（），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？

通过学生动手操作，探索发现：2．代数证明，得出结论

根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论： 若若，则，则

． ．

学生探讨等号取到情况，教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论：

（1）若，则

；（2）若

，则

请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明． 证法一（作差法）：

，当（在该过程中，可发现证法二（分析法）：由于要证明 只要证明 即证 即 ， ，

，

，该式显然成立，所以

，当

时取等号．

时取等号．

的取值可以是全体实数）

，于是

得出结论，展示课题内容 基本不等式: 若若，则，则

（当且仅当（当且仅当

时，等号成立） 时，等号成立）

深化认识： 称为的几何平均数；称

为

的算术平均数

基本不等式又可叙述为：

两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 3．几何证明，相见益彰

探究三：如图，弦，连接． 是圆的直径，点是上一点，，．过点作垂直于的根据射影定理可得：由于Rt中直角边

斜边

，

于是有当且仅当点 与圆心重合时，即

时等号成立．

故而再次证明： 当时，

（当且仅当

时，等号成立）

（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性） 4．应用举例，巩固提高

例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化） 对于（1）若，

（定值），则当且仅当

时，

有最小值

；

（2）若（定值），则当且仅当时，有最大值．

（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神．）

例2.求变式1.若，求的值域．

的最小值．

的函数图象，使学生再次感受在运用基本不等式解题的基础上，利用几何画板展示数形结合的数学思想． 并通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．

练一练（自主练习）：

1.已知2.设，且，且

，求

，求的最小值． 的最小值．

5．归纳小结，反思提高 基本不等式：若，则

（当且仅当

时，等号成立）

若，则（当且仅当时，等号成立）

（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）； （2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法． 媒体展示，渗透思想： 若将算术平均数记为

，几何平均数记为

利用电脑3D技术，在空间坐标系中向学生展示基本不等式的几何背景：

平面

在曲面

的上方

6．布置作业，课后延拓 （1）基本作业：课本P100习题

组

1、2题

（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流． （3）探究作业： 现有一台天平，两臂长不相等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量．这种说法对吗？并说明你的结论．

《基本不等式》教学设计说明

一、内容和内容解析

本节课是人教版高中数学必修5中第三章第4节的内容。主要是二元均值不等式。它是在系统地学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一，为后续的学习奠定基础。要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的优良素材，所以基本不等式应重点研究。

教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。

就知识的应用价值上来看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；另外，在解决函数最值问题中，基本不等式也起着重要的作用。

就内容的人文价值上来看，基本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳，有助于培养学生创新思维和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体。

二、教学目标和目标解析

教学目标：了解基本不等式的几何背景，能在教师的引导下探究基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何解释，并能解决简单的最值问题；借助于信息技术强化数形结合的思想方法。

在教师的逐步引导下，能从较为熟悉的几何图形中抽象出基本不等式，实现对基本不等式几何背景的初步了解。

学生已经学习了不等式的基本性质，可以运用作差法给出基本不等式的证明，同时，介绍并渗透分析法证明的思想方法，从而完成基本不等式的代数证明。

进一步通过探究几何图形，给出基本不等式的几何解释，加强学生数形结合的意识。

通过应用问题的解决，明确解决应用题的一般过程。这是一个过程性目标。借助例1，引导学生尝试用基本不等式解决简单的最值问题，体会和与积的相互转化，进一步通过例2，引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，并用几何画板展示函数图形，进一步深化数形结合的思想。结合变式训练完善对基本不等式结构的理解，提升解决问题的能力，体会方法与策略。

三、教学问题诊断

在认知上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数、式的大小比较，也具备了一定的平面几何的基本知识。但是，倘若教师不加以引导，学生并不能自觉地通过已有的知识、记忆去发展和构建几何图形中的相等或不等关系，这就需要教师逐步地引导，并选用合理的手段去激活学生的思维，增强数形结合的思想意识。

另外，尽可能引领学生充分理解两个基本不等式等号成立的条件，为利用基本不等式解决简单的最值问题做好铺垫。在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式件，同时又要注意区别基本不等式

的使用条件为

使用的前提条

。因此，在教学过程中，借助例题落实学生领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用。而对于“一正二定三相等”的进一步强化和应用，将放于下一个课时的内容。

四、教学支持条件分析

为了能很好地展示几何图形,体会基本不等式的几何背景,教学中需要有具体的图形来帮助学生理解基本不等式的生成，感受数形结合的数学思想，所以，借助于几何画板软件来加强几何直观十分必要，同时演示动画帮助学生验证基本不等式等号取到的情况，并用电脑3D技术展示基本不等式的又一几何背景，加深对基本不等式的理解，增强教学效果。

五、教学设计流程图

教学过程的设计从实际的问题情境出发，以基本不等式的几何背景为着手点，以探究活动为主线，探求基本不等式的结构形式，并进一步给出几何解释，深化对基本不等式的理解。通过典型例题的讲解，明确利用基本不等式解决简单最值问题的应用价值。数形结合的思想贯穿于整个教学过程，并时刻体现在教学活动之中。

六、教法和预期效果分析

本节课通过6个教学环节，强调过程教学，在教师的引导下，启动观察、分析、感知、归纳、探究等思维活动，从各个层面认识基本不等式，并理解其几何背景。课堂教学以学生为主体，基本不等式为主线，在学生原有的认知基本上，充分展示基本不等式这一知识的发生、发展及再创造的过程。

同时，以多媒体课件、几何画板、电脑3D技术作为教学辅助手段，赋予学生直观感受，便于观察，从而把一个生疏的、内在的知识，变成一个可认知的、可交流的对象，提高了课堂效率。

通过这节课的学习，引领学生多角度、多方位地认识基本不等式，并了解它的几何意义充分渗透数形结合的思想；能在教师的引导下，主动探索并了解基本不等式的证明过程，强化证明的各类方法；会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题并注意等号取到的条件。在教学过程中始终围绕教学目标进行评价，师生互动，在教学过程的不同环节中及时获取教学反馈信息，以学生为主体，及时调节教学措施，完成教学目标，从而达到较为理想的教学效果。

推荐第2篇：基本不等式教案

基本不等式

【教学目标】

1、掌握基本不等式，能正确应用基本不等式的方法解决最值问题

2、用易错问题引入要研究的课题，通过实践让同学对基本不等式应用的二个条件有进一步的理解

3、会应用数形结合的数学思想研究问题 【教学重点难点】

教学重点: 基本不等式应用的条件和等号成立的条件 教学难点：基本不等式等号成立的条件 【教学过程】

一、设置情景，引发探究 问题一：x1有最小值吗？ x2问题二：x31x322正确吗？

二、合作交流，研究课题

R中，a+b≥2ab，a+b≥2ab，当且仅当a=b时取到等号。 22

22a2b2ab2 R中，当且仅当a=b时取到等号。 ab，1122ab注意：

1、公式应用的条件

2、等号成立的条件

三、实例分析，深化理解 例

1、求所给下列各式的最小值 （1）ya 1(a3) a31(a3)3235,a3

1当且仅当a3a31a4时，ymin5。a3x22x2(1x1) （2）y2x2ya3(x1)21x11 y2(x1)22(x1)在(-1,0)上单调递减，在[0,1]上单调递增， 当且仅当x11(1x1)x0时，y有最小值1。 22(x1)11+的最小值.xy总结：想求和的最小值，乘积为定值

例

2、已知正数x、y满足x+2y=1，（1）求xy的最大值（2）求解：（1）1=x+2y22xy，∴xy

1； 8 （2）∵x、y为正数，且x+2y=1，

1111∴+=（x+2y）（+） xyxy2yx=3++≥3+22，

xy当且仅当

22yx=，即当x=2－1，y=1－时等号成立.

2xy∴11+的最小值为3+22.（目的：发现同学中的等号不成立的错解） xy总结：想求乘积的最大值，和为定值

四、总结提高，明确要点

五、布置作业，复习巩固

教学反思：加强利用均值不等式及其他方法求最值的练习，在求最大（小）值时，有三个问题必须注意：第一，注意不等式成立的充分条件，即x＞0，y＞0（x+y≥2xy）；第二，注意一定要出现积为定值或和为定值；第三，要注意等号成立的条件，若等号不成立，利用均值不等式x+y≥2xy不能求出最大（小）值.

推荐第3篇：基本不等式

基本不等式

一、教学内容：

本节课是人教版高中数学必修5中第三章第4节的内容。主要是二元均值不等式。它是在系统的学习了不等式关系和不等式性质、掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基础不等式之一，为后续的学习奠定基础。并且是后面研究最值问题所必须的工具。基本不等式不仅是一门数学问题，而且在知识体系中具有承上启下的作用，具有很重要的作用。

二、教学目标

教学目标：让学生初步了解不等式的几何背景，探究不等式的证明过程。 让学生学习了解不等式的基本性质，并且在老师引导下初步掌握不等式的证明过程。

进一步探究，深入了解不等式证明过程和基本方法。

三、教学问题诊断

从认知上来说，通过课堂学习，学生基本可以掌握课堂上所学习的关于不等式的基本内容，并且也具备了一定的几何知识。但是，如果老师不在深入的引导，学生的并不等通过课堂所学内容灵活的构建和学习不等式中相关内容，甚至形成一定程度的枷锁效应。所以此时老师应该充分的引导学生，增强其对基本不等式的理解，发散学生的思维，让其具有充分可初步自学的能力。

四、教学支持条件分析

为了更好地展示几何图形，让学生更形象更直接的理解几何图形中的基本不等式的基本关系，形成基本的知识框架，可以借助多媒体几何软件或动画帮助学生理解，也可以通过一些数学模型器材帮助学生。

五、教学流程

1.动手操作，几何引入

2.探讨证明

3互动引导，深入探究

4.课后分析，加强巩固

六、教学分析

通过这节课的学习，引领学生多角度、多方位地认识基本不等式，并了解它的几何意义充分渗透数形结合的思想；能在教师的引导下，主动探索并了解基本不等式的证明过程，强化证明的各类方法。在教学过程中始终围绕教学目标进行评价，师生互动，在教学过程的不同环节中及时获取教学反馈信息，以学生为主体，及时调节教学措施，完成教学目标，从而达到较为理想的教学效果。

推荐第4篇：“基本不等式”(第一课时)教案

基本不等式教学设计（第一课时）

阮

晓

锋

一、教学目标

1.知识与技能目标： 学会推证基本不等式，了解基本不等式的应用。

2.过程与方法目标：通过代数、几何背景探究抽象出基本不等式；

3．情感与价值目标：通过学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。

二、教学重点和难点

重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索其证明过程； 难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．

三、教学过程：

1．设置情景，引入新课

如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明。

探究一：在这张“弦图”中借助面积能找出一些相等关系和不等关系吗？

问题1：它们有相等的情况吗？何时相等？

结论：一般地，对于正实数a、b，我们有ab2ab 当且仅当a=b时等号成立.

2．代数证明，推出结论

问题2：你能给出它的代数证明吗？（请同学们用代数方法这个不等式的证明．）

证明（作差法）：

∵，当（在该过程中，可发现a,b取值可以是全体实数） 问题3：当 a,b为任意实数时，上式还成立吗？

2222给出

时取等号．

重要不等式：对任意实数a、b，我们有ab2ab（当且仅当a=b时等号成立） 特别地，若a>0且b>0可得abab，即基本不等式:若a>0且b>0，则

abab（当且仅当a=b时等号成立） 2abab（当且仅当a=b时等号成立） 2深化认识：

(1)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.(2)若称ab为a、b的算术平均数,称ab为它们的几何平均数，则基本不等式又可2叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 3．动手操作、几何证明，相见益彰 探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为a和b（ab），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？（通过学生动手操作，探索发现）

探究三：如图，AB是圆O的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b．过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD．根据射影定理可得：CD大于直角边CD，于是有

ACBCab由于RtCOD中斜边OD

abab当且仅当点C与圆心O重合时，即a=b时等号成立.2（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性） 4．应用举例，巩固新知 例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

（通过例1的讲析，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化） 方法：一般地，对于x,yR我们有：

142（1）若xy=p（p为定值），则当且仅当a=b时，x+y有最小值2xy； （2）若x+y=s（s为定值），则当且仅当a=b时，xy有最大值s． 上述应用基本不等式求最值的方法可简记为：

在“一证、二定、三相等”的前提下有“积定和最小，和定积最大”。

例2.设x0,y0，且2xy2，求xy的最大值．

1的最小值.x21思考题：若x2,你能求出x的最小值吗？能求出其最大值吗？若能请求出来.

x2变式题.若x2，求x5．归纳小结，反思提高

22重要不等式：若a、bR，则ab2ab（当且仅当ab时等号成立）

基本不等式：若a、bR，则

abab（当且仅ab等号成立） 2运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法．

在“一证、二定、三相等”的前提下有“积定和最小，和定积最大”。

6．布置作业，课后延拓

（1）基本作业：课本P100-101习题组

2、4题 （2）提高作业：求yx1的值域． x（3）探究作业：

现有一台天平，两臂长不相等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量．这种说法对吗？并说明你的结论．

推荐第5篇：基本不等式的证明 教案

课题：基本不等式的证明(1)

斜桥中学肖剑

一、教材分析

不等式是高中的重点也是难点,而本节内容又是该章的重中之重，是《考试说明》中八个C级考点之一。基本不等式的证明方法（比较法、分析法、综合法）为我们证明不等关系提供了主要的方法及应用。用基本不等式求函数最值也是高考的一个热点。

二、教学目标

1.知识目标：⑴知道算术平均数和几何平均数的概念

⑵探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法；

⑶能利用基本不等式证明简单的不等关系。

2.情感目标：通过不等式基本性质的探究过程，培养学生合作交流的思维品质，渗透不等式

中的数学美，激发学生学习兴趣，陶冶学生的数学情操。

3.能力目标:⑴通过对基本不等式证明的理解，体会三种证明方法，能准确用三种证明中简

单的方法证明其它不等式问题。

⑵体会类比的数学思想方法，培养其观察、分析问题的能力和总结概括的能力

三、教学重、难点

以学生探索发现定理来得出重点，以学生小组讨论，教师点拨来突破难点。

四、教学方法

以学生自主探究为住，教师归纳总结，采用启发式教学。

五、教学过程

1、创设情境、导入新课

利用多媒体显示下面不等式，由学生完成比较大小。

34294

423

32222

2、问题探究、讲授新课

提出问题：能否发现什么规律？

通过比较，学生不难得出，两数和的一半大于两数积的算术平方根。从而得出数学表达式abab。从而得出本节课的第一个重点：基本不等式的定理。 这样由学生自主探索、

2发现新知，可让他们体会获得成功的愉悦感。在这里，如果学生漏掉a和b是正数，可对他们进行修正，并可扩充到a0，b0。同时讲明取“＝”当且仅当的含义，接着可向学生讲

解算术平均数和几何平均数的概念。

得出这个定理后，下面我可利用多媒体生动地向学生展示该不等式的几何证明即不等式的几何意义同时强调取等号时的位置，这样可提高他们学习数学的兴趣。展示完后，我便可提问，刚才我们是从图中直观地看出这个不等式是正确的，但我们数学是需要严谨的逻辑证明，同学们可用哪些方法去证明呢？这便是本节课的第二个重点，也是难点。在此，可鼓励学生发挥集体的力量，一人不行两人，两人不行四人，大家一起探讨，这样以学生为主体，使他们全都参与到课堂中去，使课堂达到高潮。在学生的讨论过程中，我也深入到学生中去，并做适当的点拨。

通过学生的讨论，学生不难得出用作差的方法证明该不等式，对此，我对他们进行鼓励、肯定，竖立他们学习数学的自信心。同时向他们讲明作差比较是我们高中阶段证明不等式的重要方法之一。最后我用多媒体展示书写过程，帮他们再次强化该方法的书写步骤。对于分析法，我估计学生可能会想到思路，会说出大致的证明过程，但对该方法的理解还是很模糊的，在这里，我首先向他们介绍这就是分析法，是我们证明不等式的另一个重要方法，接着讲解该方法，即从结论出发，推到已知结论或恒等式或公理，最后由我在黑板上完成书写，帮他们学会规范的书写，即“要证，只要证”的形式

要证abab

2只要证2abab

只要证0ab2ab

只要证0ab 2

因为最后一个不等式成立，所以ab ab成立，当且仅当ab，即ab时取\"\" 2

对于综合法，在证明这道题时，如果学生没有先想到，就把本方法在最后的方法中讲，因为综合法在本题中不易想到从哪个式子开始证明，但有了比较法和分析法后，学生自然能想到从哪个式子开始证明，同时讲清综合法的特点，即由条件，推倒结论。

讲完三种证明方法后，留一定时间给学生，让他们自己去感悟一下三种方法的特点及书写过程，加深他们的印象。

b2a2

最后，我以巩固本节课所学知识为目的，让学生比较:与ab的大小(其中ab

a,bR)，在这里，我认为比较两个变量的大小，可引导学生利用我们上课一开始比较具体数大小的方法，代几个具体的数去比较。这种方法在我们以后做填空题中比较大小是一种捷径。而本题的证明可利用我们今天课上所讲的三种方法，我打算让两位学生在黑板板演，以检验他们掌握情况与书写格式是否合理。如时间还有剩余，可由学生完成例一，帮他们巩固基本不等式定理。

例一1．设a,b为正数，证明下列不等式成立：

ba12（2） a2 aba

162．已知函数yx，x(2,)，求此函数的最小值。 x2（1）

六、回顾反思：

本节课的最后，由学生思考今天所学到了哪些知识，这些知识可解决哪些问题？

七、板书设计

基本不等式

一、定理

abab （a0，b0）

2二、证明方法

⑴作差法

⑵分析法

⑶综合法

三、探索 ab比较2a2b2的大小 2

如何证明

例一

推荐第6篇：不等式的基本性质教案

课题：不等式的基本性质 课型：新授课 教学目标：

知识与技能：了解实数的基本事实，能够比较两个实数的大小，掌握不等式的基本性质并运用基本性质证明一些简单的不等式。

过程与方法：通过对基本不等式的基本性质的证明，使学生在不等式证明中逐渐掌握基本性质，并有运用基本性质的意识。能够用类比的方法从等式的基本性质来推出不等式的基本性质。

情感态度与价值观：通过类比等式的基本性质来联系不等式的基本性质，是学生掌握类比的数学方法。

教学重点：比较两个实数的大小关系，掌握不等式的基本性质。 教学难点：通过运用基本性质来证明不等式。 教学过程：

一．新知引入

以人们常用的长与短，多与少，轻与重等现实中存在的数量上的不等关系来引入数学中人们用不等式来表示事物的不等关系。

说明研究不等式的出发点是实数的大小关系，并举例说明： （i） 设存在a,b两个实数，它们在数轴上的对应的点分别是A,B，当A在点B的左边时，a与b有着怎样的大小关系？（a

（ii） 设存在a,b两个实数，它们在数轴上的对应的点分别是A,B，当A在点B的右边时，a与b有着怎样的大小关系？ (a>b) （i）（ii）边说边在黑板上画出数轴，呈现出相应的图形，并让全班一起回答，把答案写在对应图形的右边。

由上面两个实数的不等关系以及已经学过的等式关系，得出实数a,b存在的三种大小关系并且构成了实数的基本事实。

a>b a-b>0.ab（或a

二．练习巩固

例1． 比较(x3)(x2)和(x4)(x9)的大小.（答案：>）

让学生思考片刻，让学生说出解答的过程，并在黑板上写出详细过程。最后总结比较两个实数的大小关系，可以通过考察它们的差与0的大小关系来解答，并说明这种方法是作差比较法。

三．以旧推新

在学习和证明不等式的过程中，我们需要广泛运用基本性质，那么不等式有哪些基本性质？我们要怎么去研究和运用不等式的基本性质？

提示语发问，引起学生思考，并且加以引导：我们已经知道实数的基本事实以及两个实数的三种关系，而这三种关系又可以分为相等关系和不等关系。既然如此，它们之间应该会有一定的联系，那我们可不可以试着用等式的基本性质来推出不等式的基本性质？ 回顾等式的基本性质，让一些同学回答，教师再进行完善，并写在黑板的草稿区。 由等式的对称性和传递性容易得到不等式的两个性质： 性质1：a>bbb,b>ca>c （单向传递性）

由等式的加减法和乘法运算法则是否可以推出不等式的相应的性质？尝试和学生一起思考，先在黑板试着写出不等式的相应性质，并让学生在已有的经验上去说明其正误。

尝试写出：

a>bac>bc a>bac>bc 学生很容易判断前者是成立的，而后者不一定成立，与c的取值有关，从而总结得出以下性质：

性质3：a>bac>bc 性质4：a>b，c>0ac>bc a>b，c

性质5：a>b>0anbn(nN,n2) 性质6：a>b>0nanb(nN,n2)

给学生演示性质5,6的证明过程。

说明这些基本不等式是不等式证明和运用的基础，提醒学生在运用这些性质时要注意实数的符号（是否大于0）。

四．推论证明

利用不等式的基本性质还可以得出不等式的相关推论。 性质3推论：

（i） 如果a+b>c，那么a>c-b （ii） 如果a>b,c>d,那么a+c>b+d （iii） 如果a>b,c>d,那么a-d>b-c 对这3个推论都让学生思考运用不等式的基本性质进行证明，1分钟后，教师在黑板上演示推论（i）(ii)的证明过程，并强调运用的是哪个性质，推论（iii）让一个学生根据前面的演示来回答解答过程，并要说出是依据什么性质。教师板书过程。 性质4推论：

（i） 如果a>b>0,c>d>0，那么ac>bd （ii） 如果a>b>0,c>d>0，那么

ab dc让学生思考片刻证明过程，推论（i）让学生回答解答过程及依据，教师完善并板书。 推论（ii）由教师引导思考过程和方向：

要证ab1111，即证，在已知c>d>0的前提，问学生的证法。 dcdcdc学生可能会运用函数的单调性质来证明，说明这个方法可行，并要求学生思考运用不等式的基本性质该怎么证明，引导学生回顾比较实数大小的方法并运用基本性质证明。

让学生回答11的证明过程： dc由c>d>0，得出cd>0,c-d>0,

111cd0, 则0， cddccd11 dcaa0 dc接着证明推论（ii）： 由a>0及性质4，得由a>b>0, c>0,

1ab0及性质4，得0 cccab 由性质2得，。

dc五．小结与作业

小结：回顾本节课的内容，重复比较两个实数大小的方法是作差比较法，回顾不等式的基本性质及其推论，强调证明不等式的过程中要熟练运用这些基本性质及其推论。

作业：课后习题1.1的第1-4题。

推荐第7篇：基本不等式说课稿

基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。以下是小编整理的基本不等式说课稿，希望对大家有帮助！

尊敬的各位考官大家好，我是今天的X号考生，今天我说课的题目是《基本不等式》。

接下来我将从教材分析、学情分析、教学重难点、教学方法、教学过程等几个方面展开我的说课。

一、说教材

我认为要真正的教好一节课，首先就是要对教材熟悉，那么我就先来说一说我对本节课教材的理解。《基本不等式》在人教A版高中数学必修五第三章第四节，本节课的内容是基本不等式的形式以及推导和证明过程。本章一直在研究不等式的相关问题，对于本节课的知识点有了很好的铺垫作用。同时本节课的内容也是之后基本不等式应用的必要基础。

二、说学情

教材是我们教学的工具，是载体。但我们的教学是要面向学生的，高中学生本身身心已经趋于成熟，管理与教学难度较大，那么为了能够成为一个合格的高中教师，深入了解所面对的学生可以说是必修课。本阶段的学生思维能力已经非常成熟，能够有自己独立的思考，所以应该积极发挥这种优势，让学生独立思考探索。

三、说教学目标

根据以上对教材的分析以及对学情的把握，结合本节课的知识内容以及课标要求，我制定了如下的三维教学目标：

(一)知识与技能

掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。

(二)过程与方法

经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。

(三)情感态度价值观

在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。

四、说教学重难点

并且我认为一节好的数学课，从教学内容上说一定要突出重点、突破难点。而教学重点的确立与我本节课的内容肯定是密不可分的。那么根据授课内容可以确定本节课的教学重点是：基本不等式的形式以及推导过程。而作为高中内容，命题的严谨性是必要的，所以本节课的教学难点是：基本不等式的推导以及证明过程。

五、说教法和学法

那么想要很好的呈现以上的想法，就需要教师合理设计教法和学法。根据本节课的内容特点，我认为应该选择讲授法，练习法，学生自主思考探索等教学方法。

六、说教学过程

而教学方法的具象化就是教学过程，基于新课标提出的教学过程是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。我试图通过我的教学过程，打造一个充满生命力的课堂。

(一)新课导入

教学过程的第一步是新课导入环节。

我先PPT出示的是北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的。

提问：你能在这个图中找到不等关系么?

引出课题。

通过展示会标并提问的形式，一方面可以引发学生的好奇心和求知欲，激发学生的学习兴趣;另一方面直入课题，可以很好的过渡到今天的主题内容：推导基本不等式。

(二)新知探索

接下来是教学中最重要的新知探索环节。

1.通过导入的问题，学生思考：通过赵爽弦图推可以发现哪些不等关系呢?

学生小组探究：利用赵爽弦图推导出基本不等式。

之后请学生把证明过程进行板书：

(2)“探究”，几何证明。

分析法是从结果入手，由果索因;几何法是由几何中的不等关系，进行证明。此类不等式的证明分析法理解简单，几何法稍难。学生通过两种证明过程，加深基本不等式的理解，还练习了证明方法。

至此本节课的主要教学内容已经完成，学生在我层次性问题的引导下，一步步通过自己的思考和探索，发现基本不等式，通过不同的方法证明了基本不等式。重点得以突出，难点得以突破。

(三)课堂练习

当然一节课只得出结论还是不够的，作为一节数学课要及时对知识进行应用。所以我设计了如下两道课堂练习：

(2)一段长为36m的篱笆围成矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时菜园面积最大?最大面积是多少?

这样的问题能够兼顾到本节课的所有主要内容，并且问题具有层次性，能让学生初步感知基本不等式应用中“积定和最小，和定积最大”的规律，为后续基本不等式的应用做好了铺垫，利于学生的思维发展。

(四)小结作业

在课程的最后我会提问：今天有什么收获?

引导学生回顾：基本不等式以及推导证明过程。

本节课的课后作业我设计为开放性问题：思考还有什么方法能够证明基本不等式?可以利用书本资料，也可以上网查阅资料。

这样的作业设置能够有效激发学生思考，不限制学生的思维，真正做到以学生为主体，让学生学会自主学习。

各位评委老师，上午好！我是来应聘高中数学的一号考生，我今天说课的题目是《基本不等式》，下面我将从说教材，说学情，说教法，说学法，说教学过程，说板书设计六个方面展开我的说课，下面开始我的说课！

一、说教材。

1教材的地位和作用：

《基本不等式》是人教版高中数学必修五第三章第四节的内容。本节主要内容是基本不等式的证明和简单应用。它是在学完不等式性质，不等式的解法及线性规划等知识的基础上，对不等式的进一步研究，在不等式的证明和求最值的过程中有着广泛的应用。

2教学目标：

（1） 知识与技能：学生能写出基本不等式，会应用基本不等式解决相关问题。

（2） 过程与方法：学生通过观察图形，推导、证明等过程，培养观察、分析、归纳、

总结的能力。

（3） 情感态度与价值观：学生领略数学的实际应用价值，感受数学学习的乐趣。

3教学重难点：

重点：理解基本不等式的本质并会解决实际问题。

难点：基本不等式几何意义的理解。

二、说学情。

为了更好地实现教学目标，我将对学生情况进行一下简要分析。对于高一年级的学生来说，他们对不等式的知识有了一定的了解，但对基本不等式的理解运用能力不足。这一阶段的学生正处在由抽象思维到逻辑思维的过渡期，对图形的观察、分析、总结可能会感到比较困难。这都将成为我组织教学的考虑因素。

三、说教法。

科学合理的教学方法能使教学效果事半功倍，达到教育学的和谐完美与统一。根据本节课的特点并结合新课改的要求，在本节课中，我将采用讲授法、演示法、引导启发法等教学方法。

四、说学法。

教师的教是为了学生更好地学，结合本节内容，我将学法确定为自主探究法、分析归纳

法。充分调动学生的眼、手、脑等多种感官参与学习，既培养了他们的学习兴趣，又使他们感受到了学习的乐趣。

五、说教学过程。

首先，我将利用多媒体战士2002年国际数学家大会的会标，让同学们边观察边思考：图上有哪些相等或不等关系？通过展示来激发学生的学习兴趣。接下来是新授环节。

我将会标抽象成几何图形，正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形，让学生自主探究，比较三角形面积之和与正方形面积的大小，从而让学生自主推导出不等式a 2+b 2>2ab，再通过引导启发，让学生自己将结论补充完整。接下来，我会提问：你们能给出它的证明吗？给两分钟的时间让学生自主探究。然后用讲授法给出基本不等式的常用形式ab≤a+b(a>0,b>0)，并给出具体的证明过程，强调等号成立的条件。基本不2

等式的证明是本节课的重点，先通过学生的自主探究，再通过我的讲授，学生可以更快地理解这一知识点。接下来是探究基本不等式的几何意义。先由学生自主思考两分钟的时间，然后通过我的讲授，让学生理解基本不等式的几何意义，最后通过几何画板动态演示，让学生更直观地感受基本不等式的几何意义。这样就突破了基本不等式的几何意义这一难点。接下来是巩固练习环节。

这个环节，我将利用两个例题对刚才所讲的知识进行巩固练习。

例1：证明（1）x +1≥2(x >0) x

（2）a +1≥2a (a ≥0)

例2：（1）用篱笆围一个面积为100m的矩形菜园。问矩形长宽各为多少时，所用篱笆最短？

（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问长宽各为多少时面积最大？第一个例题不是课本例题，它比课本例题简单，这样循序渐进，有利于学生理解不等式的内涵，此处a、b不仅仅是一个字母，而是一个符号，可以是具体数字，也可以是一个多项式。对于这个例题，多数学生会仿照课本上的思路用分析法进行证明。

第二个例题是利用基本不等式求最值进而解决实际问题，体现了基本不等式的应用价值，而且例题包含了公式的正向应用和逆向应用，锻炼了学生的灵活使用能力。

下面是小结环节。我将让学生用两分钟的时间回顾本节课所学习的内容，并自己总结出本节的知识点。这样不但能巩固本节所学知识，而且能培养学生分析、归纳、总结的能力。22

然后是布置作业。为了在课后对所学的知识进行巩固，我将布置课后习题第2题，第4题作为练习题。

推荐第8篇：基本不等式练习题

基本不等式练习题

一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若aR，下列不等式恒成立的是（）

A．a21aB121C．a296aD．lg(a1)lg|2a| 2a

12.若0ab且ab1，则下列四个数中最大的是（）

Ａ．1Ｂ．

2xa2b2Ｃ．2abＤ．a3.设x>0,则y33x的最大值为（）

Ａ．3Ｂ

．3 Ｃ．

3Ｄ．－1

4.设x,yR,且xy5,则3x3y的最小值是()

A.10

B.

C.

D.5.若x, y是正数，且141，则xyxy有（）

Ａ．最大值16 Ｂ．最小值11 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值 1616

6.若a, b, c∈R，且ab+bc+ca=1, 则下列不等式成立的是（）

A．a2b2c22B．(abc)23

C

．1

a1

b1

cD

．abc7.若x>0, y>0,且x+y4,则下列不等式中恒成立的是（）

A．11111B．1C

2D．1 xy4xyxy

8.a,b是正数，

则

Ａ

．

ab,22ab三个数的大小顺序是 （） ab ab2abab2abＢ

．2ab2ab

2ababＤ

．ab22ababab2Ｃ

．9.某产品的产量第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，设这两年平均增长率为x，则有（）

Ａ．xpqpqpqpqＢ．xＣ．xＤ．x 2222

10.下列函数中，最小值为4的是（）

Ａ．yxＢ．ysinx

x

Ｃ．yex4eＤ．

x

4(0x) sinx

ylog3x4loxg 3

二、填空题, 本大题共4小题，每小题3分，满分12分，把正确的答案写在题中横线上.

11.函

数y的最大值为12.建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和

池壁每m2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为_________元.13.若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是.

14.判断下列不等式的证明过程中的正误，并指出错因。（1）若a、b∈R，则

baba

＋≥2＝2（） abab



（2）若x,yR，则lgx＋lgy≥2lgxlgy（）

（3）若x0，则x＋

4

4≥－2x＝－4（） xx

（4）若x∈R，则2x＋2x≥22x2x＝2（）

三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出

必要的文字说明、证明过程和演算步骤.15..16.设a, b, c(0,),且a+b+c=1，求证：(1)(1)(1)8.

a

1b

1c

17.已知正数a, b满足a+b=1（1）求ab的取值范围;的最小值.

18.

2）求ab

ab

（

基本不等式

1.若a,bR，则aba

b2

2（当且仅当ab时取“=”）

2.若a,bR*，则ab2ab（当且仅当ab时取“=”）

3.若

x0，则

x

2 (当且仅当x

x1时取“=”）;若x0，则x12 (当且仅当

x

x1时取“=”）

注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植

时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”。

应用一：求最值

例1：求下列函数的值域

（1）y＝3x＋

12x

（2）y＝x＋

x

解：（1）y＝3x＋

2≥22x

3x·

2＝2x

6∴值域为[6 ，+∞）

（2）当x＞0时，y＝x＋ ≥2

x

1x· ＝2；

x

x· =－2

x

11

当x＜0时， y＝x＋ = －（－ x－ ）≤－2

xx

∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

1.已知2.当3.若

4已知

时，求

x

，求函数y4x2

1的

最大值 4x

5yx(82x)的最大值。

x,yR且2xy1，求

11的最小值 xy

a,b,x,yR且

ab

1，求xy

xy的最小值

应用二：利用均值不等式证明不等式

5.已知

6.正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

7.已知a、b、cR，且



a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca

111

abc1。求证：1118

abc

应用三：均值不等式与恒成立问题

8.已知

x0,y0且

19

1，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。 xy

应用四：实际应用题及比较大小

1ab

)，则P,Q,R的大小关系是例：若ab1,Palgb,Q(lgalgb),Rlg(

22

分析：∵ab1 ∴lga0,lgb0Q（lgalgb)algbp

ab1Rlg()lgablgabQ∴R>Q>P。

22

9.建造一个容积为18m, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为多少元.

推荐第9篇：基本不等式练习题

3.4基本不等式

重难点：了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题． 考纲要求：①了解基本不等式的证明过程．

②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题． 经典例题：若a，b，c都是小于1的正数，求证：

，

，

不可能同时大于．

当堂练习： 1.若，下列不等式恒成立的是

（

）

A．2.若

B．且

C．

D．

，则下列四个数中最大的是

（

）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．2ab

Ｄ．a

的最大值为

（

）

Ｃ．的最小值是(

)

C.

D.

Ｄ．－1

3.设x>0,则Ａ．

3Ｂ．4.设

A.10

B.5.若x, y是正数，且，则xy有

（

）

Ａ．最大值16

Ｂ．最小值

Ｃ．最小值16

Ｄ．最大值 6.若a, b, c∈R，且ab+bc+ca=1, 则下列不等式成立的是

（

） A．

B．

C．

D．

7.若x>0, y>0,且x+y4,则下列不等式中恒成立的是

（

）

A．

B．

C．

D． 8.a,b是正数，则Ａ．

三个数的大小顺序是 （

）

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

9.某产品的产量第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，设这两年平均增长率为x，则有（

）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

10.下列函数中，最小值为4的是

（

） Ａ．Ｃ．11.函数

Ｂ．

Ｄ．的最大值为

.

12.建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为

元.13.若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是

.14.若x, y为非零实数，代数式15.已知：

的值恒为正，对吗？答

.

, 求mx+ny的最大值.16.已知．若、, 试比较与

的大小，并加以证明.17.已知正数a, b满足a+b=1（1）求ab的取值范围;（2）求

的最小值.18.设正整数n都成立.

.证明不等式 对所有的

参考答案：

经典例题：

【 解析】

证法一

假设

，

，

同时大于

，

∵ 1－a>0，b>0，∴ 同理，

≥，

.三个不等式相加得

.

，不可能，

∴ (1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能同时大于证法二

假设，，同时成立，

∵ 1－a>0，1－b>0，1－c>0，a>0，b>0，c>0，∴ ，

即. （*）

又∵ ≤，

同理∴≤，≤

≤，

与（*）式矛盾，

故当堂练习： 不可能同时大于.1.A; 2.B; 3.C; 4.D; 5.C; 6.A; 7.B; 8.C; 9.C; 10.C;11.;

12.3600 ;

13.15． ;

14.对;

16.【 解析】 ．

∵ 、，

∴ ． 当且仅当＝时，取“＝”号．

当时，有．

∴ ．．

即．

当时，有．

即

17.(1)

(2)

18．【 解析】

证明

由于不等式对所有的正整数k成立,把它对k从1到n(n≥1)求和,得到

又因 因此不等式

以及

对所有的正整数n都成立.

推荐第10篇：不等式的基本性质优秀教案

课时课题：第二章 第二节不等式的基本性质

课

型：新授课 授课人： 授课时间： 教学目标：

1.经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。2.掌握不等式的基本性质，并能初步运用不等式的基本性质将比较简单的不等式转化为“x＞a”或“x＜a”的形式。

3.能说出不等式为什么可以从一种形式变形为另一种形式，发展其代数变形能力，养成步步有据、准确表达的良好学习习惯。

教学重难点：

重点：探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用.难点：能根据不等式的基本性质进行化简.教学过程：

一、复习引入，导入新课

师：我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？ 生：记得.

等式的基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式.

等式的基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式.师：不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是否也有相似之处呢？本节课我们将加以验证.设计意图：通过回顾等式的性质，为本节课类比等式的性质去探索不等式的性质做好铺垫，并且从学生已有的数学经验出发，有助于学生建立新旧知识之间的联系，让学生养成梳理知识体系的习惯。

二、情境导入：童言无忌（课件）

三岁的小凯幼儿园回家开始缠着他的爸爸说：“爸爸，你比我大多少岁啊？”爸爸放下手中的报纸笑眯眯的答道：“我比可爱的小凯大25岁呀，怎么了？”小凯高兴地跑开道：“再过25年我就和爸爸一样大唠”。 留下错愕的爸爸沉浸在“百感交集”中„„„„

设计意图：学生对故事很感兴趣，体会到不相等的两个量的比较要在“公平”的情况下进行，即要加同时加，要减同时减。

三、新知探究

教师活动：展示课件，请同学们完成填空，并探究规律。

1、用“﹥”或“﹤”填空，并总结其中的规律：

（1） 5>3, 5+2 3+2 , 5－2 3－2 ; （2）–1、>（2）

板书：不等式的性质1 不等式的两边加（或减）同一个数(或式子)，不等号的方向不变.字母表示为： 如果a＞b，那么a±c >b±c 解决“童言无忌”的问题

2、继续探究，接着又出示（3）、（4）题：

(3) 6＞2, 6×5 2×5 , 6×（-5） 2×（-5） ; (4) -2

当不等式的两边同乘以一个正数时,不等号的方向不变； 当不等式的两边同乘以一个负数时,不等号的方向改变。

板书：不等式的性质2 不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.字母表示为：如果a>b,c>0,那么ac >bc.

3、继续探究，接着又出示（5）、（6）题：

(5) 6＞2,

6×(-5)____2×(-5)

6÷ (-5)____2÷ (-5) ; (6) –2

(-2) ÷(-6)____3÷ (-6) 会发现: 当不等式的两边同乘或同除以同一个负数时,不等号的方向______; 板书：不等式的性质 3 不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

字母表示为：如果a＞b，c＜0,那么ac

l2l2 的正确性 4.用不等式的基本性质解释416l2l2l2l

2师：在上节课中，我们知道周长为l的圆和正方形，它们的面积分别为和，且有存

416416在，你能用不等式的基本性质来解释吗？

生：∵4π＜16 l2l2

∴ ，又∵l20

416l2l2

根据不等式的基本性质2，两边都乘以l得

4162设计意图：通过自主探究，对比不等式的变化让学生得出不等式的基本性质.。这样，既教给学生类比，猜想，验证的问题研究方法，又培养了学生善于动手、善于观察、善于思考的学习习惯。通过两道题目的训练提升学生利用不等式基本性质解决问题的能力。并进一步熟悉不等式的基本性质。

5.例题讲解

将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：

（1）x－5＞－1;

（2）－2x＞3;

生：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得

x＞－1+5

即x＞4;

（2）根据不等式的基本性质3，两边都除以－2，得

x＜－3; 2说明：在不等式两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时，要注意数的正、负，从而决定不等号方向的改变与否.程序说明：教师对题目进行分析，并引导学生题目的处理方法，如何才能将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式，即“将不等式的转化为左边只含有系数和次数均为1的未知数，右边只含有常数的形式”.6.合作探究 多媒体课件展示

讨论下列式子的正确与错误.

（1）如果a＜b，那么a+c＜b+c;

（2）如果a＜b，那么a－c＜b－c;

（3）如果a＜b,那么ac＜bc;

（4）如果a＜b,且c≠0,那么

ab.cc

师：在上面的例题中，我们讨论的是具体的数字，这种题型比较简单，因为要乘以或除以某一个数时就能确定是正数还是负数，从而能决定不等号方向的改变与否.在本题中讨论的是字母，因此首先要决定的是两边同时乘以或除以的某一个数的正、负.

本题难度较大，请大家全面地加以考虑，并能互相合作交流.

生：（1）正确

∵a＜b，在不等式两边都加上c，得

a+c＜b+c;

∴结论正确.

同理可知（2）正确.

（3）根据不等式的基本性质2，两边都乘以c，得

ac＜bc,

所以正确.

（4）根据不等式的基本性质2，两边都除以c，得

所以结论错误.

师：大家同意这位同学的做法吗？

生：不同意.

师：能说出理由吗？

生：在（1）、（2）中我同意他的做法，在（3）、（4）中我不同意，因为在（3）中有a＜b,两边同时乘以c时，没有指明c的符号是正还是负，若为正则不等号方向不变，若为负则不等号方向改变，若c=0，则有ac=bc,正是因为c的不明确性，所以导致不等号的方向可能是变、不变，或应改为等号.而结论ac＜bc.只指出了其中一种情况，故结论错误.

在（4）中存在同样的问题，虽然c≠0,但不知c是正数还是负数，所以不能决定不等号的方向是否改变，若c＞0,则有

ab ccabab,若 c＜0，则有,而他只说出了一种情况，所以结果错误.cccc

师：通过做这个题，大家能得到什么启示呢？

生：在利用不等式的性质2和性质3时，关键是看两边同时乘以或除以的是一个什么性质的数，从而确定不等号的改变与否.

师：非常棒.我们学习了不等式的基本性质，而且做过一些练习，下面我们再来研究一下等式和不等式的性质的区别和联系，请大家对比地进行.

生：不等式的基本性质有三条，而等式的基本性质有两条.

区别：在等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时，所得结果仍是等式；在不等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时会出现两种情况，若为正数则不等号方向不变，若为负数则不等号的方向改变.联系：不等式的基本性质和等式的基本性质，都讨论的是在两边同时加上（或减去），同时乘以（或除以，除数不为0）同一个数时的情况.且不等式的基本性质1和等式的基本性质1相类似.

设计意图: 让学生通过尝试练习与交流讨论，加深对性质的理解和运用。题目中的不等式变形中，将同加、减、乘（或除以）具体数字换成了表示数的字母，渗透了分类讨论的数学思想，加大了难度，有助于学生能力的提升，为解不等式作好铺垫.在这个环节的教学过程中，放手让学生展示、说理、点评、争论，充分发挥学生学习的主体作用.程序说明：学生先独立练习，再小组交流、指导、检查，最后小组选派代表展示，其他小组进行点评、补充、质疑.

四、训练反馈

1.填空：如果a>b,那么

（1）3a 3b； （不等式性质 ） （2）-a -b； （不等式性质 ） （3）-a+2 -b+2 ； （不等式性质 ）

ab（4）1 1.（不等式性质 ）

222.用“＜” “＞”填空：

（1）若3x＞3y,则x y; （2）若-2x＜-2y,则x y; （3）若5x+1＜5y+1,则x y.3.（1）若3x＞6，则x ；

（2）若3x＞6，则x ；

（3）若4x5＞9，则4x 95，即4x 4，得x 1.4.判断下列各题的结论是否正确？并说明理由.（1）若ax＞b，且a＞0，则x＞b；

a（2）若ax＞b，且a＜0，则x＞b；

a（3）若a＞b，则ac2＞bc2； （4）若ac2＞bc2，则a＞b.5.若xay的条件是 . A．a>0 B．a

（二）训练二

6.有人说:因为5>3,所以5a>3a,你认为对吗？为什么？ 7.把下列不等式化为x＞a或x＜a的形式：

（1）2x5＞3 （2）3x2＞4

程序说明：学生先独立练习，再小组交流、指导、检查，最后小组选派代表展示，其他小组进行点评、补充、质疑.

设计意图: 分层测评，意在尊重个体差异，面向全体，激发学生的学习热情，挖掘每一个学生的潜能，让不同层次的学生得到不同程度的发展.

五、课时小结

教师活动：

1.本节课你学习了那些新知识？

2.在数学思想或方法上，你有什么感悟？ 3.在小组学习中，你觉得应该注意些什么？ 4.你还有什么困惑吗？

学生活动：畅所欲言，说出自己对本节课学习的感受和收获。

（预设问题）

1.等式与不等式的基本性质有什么相同点和不同点？

2.对不等式进行变形要特别注意什么

设计意图：让学生通过总结反思，一是为了进一步引导学生反思自己的学习方式，有利于培养归纳、总结的习惯，让学生自主构建知识体系；二是为了激起学生感受成功的喜悦，激励学生以更大的热情投入到以后的学习中去。比较不等式基本性质与等式基本性质的异同，不仅有利于学生认识不等式，而且可以使学生体会知识之间的内在联系，整体上把握知识，发展学生的辨证思维。

六、限时作业

课本P42习题2.2 知识技能 2 设计意图：通过作业来规范学生题目完成的规范性.

七、教学反思：

本节课设计旨在让学生经历通过实验、猜测、验证，发现不等式性质的探索过程．用类比和实验探究法作为主要方法贯穿整个课堂教学之中，并以多媒体作为辅助教学手段．让学生充分进行讨论交流，在自主探索和合作学习中掌握不等式的性质．这样就能有效地突破本节课的难点，为学生今后的学习打下坚实的基础．

教学过程中贯穿了一条“创设情境，引出新知—实验讨论，得出性质—探究辨析，突破难点—运用性质，解决问题”的线索，使学生真正成为学习的主人．在师生交流合作中营造互动的氛围，让学生积极主动地参与教学的整个过程，使他们的学习态度、情感意志和个性品质等都得到不同程度的提高．

为了突破教学难点，让学生能熟练准确地运用“不等式性质3"，本课设计了多样化的练习以巩固所学知识．在学生回答、板演、讨论的过程中，课堂气氛被激活，教学难点被突破，使学生在轻松愉快的氛围中扎实地掌握性质并灵活运用．同时，学习伙伴之间进行了思维的碰撞和沟通.

第11篇：基本不等式教学反思

基本不等式教学反思

我对这节课做了如下的反思：

一．在教学过程中要充分发挥学生的主体地位

在课堂上，无论是新教师还是老教师，通常会把自己当做课堂上的主人而过多的会忽略学生的主体地位；或者学生会因为长时间的习惯于听老师来讲解而忘记自己是课堂的主人。

在这节课中，我设计了多个让学生讨论的环节，但是当我说了同学们可以和自己的同桌讨论一下自己获得的结论之后教室里还是会很安静。这样的课堂活动经过了一分钟后，我不得不自己来讲解我设计好的问题。此时我感觉到这节课已经失败了，因为我占据了本该属于学生的时间。

二．要设计好教学问题

在教学中应合理设计教学中所要用的问题，我设计的学生互动环节为什么没有成功呢？我想很大的原因是我没有设计好问题，在提问题时没有明确我要求他们要给我什么样的结果。在这节课中，我大部分的问题都是这样问的：请同学们自己首先来做一下这道题目，然后跟自己的同桌讨论一下自己的结果是否正确。当学生听到这样的问题时，他们首先会自己一个人去完成题目，而不会跟自己的伙伴合作完成。而且在数学教学中对问题的梯度设计很重要，因为新课程很强调概念的形成过程，而概念的产生是一个抽象的过程，所以在教学时要非常好的展示给学生概念是怎么产生的，而这个教学环节就要求教师能够设计好问题的梯度。 三．要学会设计有深度的问题

在本节课的教学中，我问的最多的问题就是：同学们明白了没有啊，或者对不对啊，是不是这样的啊这些肤浅的问题。而从课堂效果看，这些问题并没有调动学生的学习积极性，学生也只是机械的回答一下：是或者不是，对或者不对。使学生跟老师之间的沟通成了一种机械的问答过程。所以在以后的教学中我应该更加重视对问题深度的要求。

以上就是我对本节课的教学反思：多发挥学生的主体性地位，设计好教学问题并且要学会提有深度的教学问题。

第12篇：基本不等式的证明

课题：基本不等式及其应用

一、教学目的

(1)认知：使学生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)和

abab(a、b∈R+，当且仅当a=b时取“=”号)，并能应用它们证明一些不等

2式．

(2)情感：通过对定理及其推论的证明与应用，培养学生运用综合法进行推理的能力．

二、教学重难点

重点：两个基本不等式的掌握；

难点：基本不等式的应用。

三、教材、学生分析

教材分析：两个基本不等式为以后学习不等式的证明和求函数的最大值或最小值提供了一种

方法，基本不等式的理解和掌握对以后的解题是很有帮助的。

学生分析：学生在上新课之前都预习了本节内容，对上课内容有一定的理解。所以根据这一

情况多补充了一些内容，增加了课堂容量。

四、教学过程

（一）引入新课

客观世界中，有些不等式关系是永远成立的。例如，在周长相等时，圆的面积比正方形的面积大，正方形的面积又比非正方形的任意矩形的面积大。对这些不等关系的证明，常常会归结为一些基本不等式。今天， 我们学习两个最常用的基本不等式。

（二）推导公式

1．奠基

如果a、b∈R，那么有(a－b)2≥0①

把①左边展开，得

a2－2ab＋b2≥0，

∴a2＋b2≥2ab．

②

②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍．这就是课本中介绍的定理1，也就是基本不等式1，对任何两实数a、b都成立．由于取“=”号这种特殊情况，在以后有广泛的应用，因此通常要指出“=”号成立的充要条件．②式中取等号的充要条件是什么呢？

学生回答：a=b，因为a=ba+b=2ab 2

2充要条件通常用“当且仅当”来表达．“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以②式可表述为：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)．

以公式①为基础，运用不等式的性质推导公式②，这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法．以公式②为基础，用综合法可以推出更多的不等式．现在让我们共同来探索．

2．探索

公式②反映了两个实数平方和的性质，下面我们研究两个以上的实数的平方和，探索可能得到的结果．先考查三个实数．设a、b、c∈R，依次对其中的两个运用公式②，有

a2＋b2≥2ab；

b2＋c2≥2bc；

c2＋a2≥2ca．

把以上三式叠加，得

a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca

③

（当且仅当a=b=c时取“=”号)．

以此类推：如果ai∈R，i=1，2，„，n，那么有

22a12a2ana1a2a2a3ana

1④

(当且仅当a1=a2=„=an时取“=”号)．

④式是②式的一种推广式，②式就是④式中n=2时的特殊情况．③和④式不必当作公式去记，但从它们的推导过程中可以学到一种处理两项以上的和式问题的数学思想与方法——迭代与叠加．

3．练习

222求证：a+b+c+3≥2（a+b+c）

4．基本不等式

2直接应用基本不等式1可以得到基本不等式2

如果a、b、∈R，那么abR，在公式②中用a替换a，用替换b，立即得+到

22a））2ab 即ab2ab ∴abab⑤

2(当且仅当a=b时取“=”号)．

这就是课本中基本不等式2 我们把ab和ab分别叫做正数a、b的算术平均数和几何平均数。

25、公式小结

(1)我们从公式①出发，运用综合法，得到许多不等式公式，其中要求同学熟练掌握的是公式①、②、③、⑤．它们之间的关系可图示如下： 展开 迭代、叠加①

配方

② ③ 降换

次元

⑤

(2)上述公式的证法不止综合法一种．比如公式②，在课本上是用比较法证明的．但是不论哪种推导系统，其理论基础都是实数的平方是非负数．

(3)四个公式中，②、⑤是基础，最重要．它们还可以用几何法证明．

+222几何法：构造直角三角形ABC，使∠C=90°，BC=a，AC=b(a、b∈R)，则a＋b=c表

示以斜边c为边的正方形的面积．而

1

2ab4ab4SABC 2

如上左图所示，显然有c421ab 2

∴a＋b≥2ab 22

(当且仅当a=b时取“=”号，这时Rt△ABC等腰，如上右图)．这个图是我国古代数学家赵爽证明勾股定理时所用过的“勾股方圆图”，同学们在初中已经见过． 公式

示：

abab也可以用几何法证明，它的几何意义是半径大于等于半弦，如下图所2

（三）例题

1、已知x，y∈R，证明：+xy2，并指出等号成立的条件。yx

2、已知a,b∈R，并且ab=4，求证：ab8，并指出等号成立的条件。2

23、已知x，y∈R，并且x+y=1，求证：xy≤+1 4

（其中一题作为练习）

（四）应用

下面我们来解决开始上课时所提到的：在周长相等时，正方形的面积又比非正方形的任意矩形的面积大。

求证：在周长相等的矩形中，正方形的面积最大。

证明：设矩形的长和宽分别a，b(a，b为正数，且a≠b)， 同样周长的正方形的边长为ab， 2

\'可计算得矩形的面积S=ab，正方形的面积S(ab2)， 2

由基本不等式2，得abab0（因为a≠b等号不成立）。 2

ab2)(ab)2，即S′>S.2又由不等式性质，得(

（五）作业

练习册P10/6

第13篇：基本不等式说课

基本不等式

一、教材分析

1.地位和作用

本节课是人教版高中数学必修5中第三章第4节的内容。二元均值不等式。这是在学习了“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究。在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用，具有承上启下的作用。同时本节知识渗透数形结合等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。

2.教学目标：

（1）知识与技能:掌握均值不等式的推导与证明，会用均值不等式解决简单的证明和最值问题。

（2）过程与方法：利用数形结合的思想，探究均值不等式。

（3）情感、态度与价值观:培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。

3.重点和难点

重点：用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索均值不等式的证明过程及其简单应用；

难点：均值不等式等号成立条件以及应用均值不等式求最值。

二．教学分析：

本节课的教学通过学生拼接风车模型，在发挥学生主观能动性的同时引导学生发现问题，思考交流概括归纳结论并加深理解应用于实例当中，培养学生发现问题、分析问题、解决问题及应用的能力。

三、教学流程

1.动手操作，几何引入（风车模型，自行拼接）

2.代数证明，得出结论（运用勾股定理与平方和公式）

3.几何证明，相见益彰（此环节给出基本不等式的几何解释，使学生多方位了解基本不等式）

4.自我尝试，巩固提高

5.归纳小结，反思提高

6.分层作业，全面提高

四、教学分析

通过这节课的学习，引领学生多角度、多方位地认识基本不等式，并了解它的几何意义充分渗透数形结合的思想；使学生主动探索并了解基本不等式的证明过程，强化证明的各类方法。同时，使学生会用均值不等式解决简单的证明和最值问题。

第14篇：基本不等式复习学案

高三数学复习学案第六章 不等式、推理与证明姓名：班级：主备人：赵锁恩

第四节

A.1B.3C.5D.7

基本不等式

三.基本不等式的应用

10.（2011.日照质检）已知正数a,b,c满足a2bc1，则

一.基本不等式成立的条件

1.（2011.茂名期末）下列结论中，正确的序号有：（1）x

111

的最小值为_____ abc

11111.（2012.白山一摸）函数yloga(x3)1(a0,且a1)的图象恒过定点A，若定点A2 ；（2）当x0x（3）当x0且x1时，lgx2；2xx

lgx（4）当x(0,)时，sinx4sinx4；（5）x25x242 ；（6）2x

12x2 二.利用基本不等式求最值

2.（2009.湖南）若x0，则x2

x的最小值为________

3.（2011.重庆）函数f(x)x

x2

(x2)在xa处取最小值，则a_______ 4.（2012.九江模拟）函数f(x)x2

2x1x2

2x1

,x(0,3)，则（）A.f(x)有最大值7

4B.f(x)有最小值1

C.f(x)有最大值1D.f(x)有最小值1

5.（2009.重庆）已知a0,b0，则

1a1

b

2ab的最小值是（） A.2B.22C.4D.5

6.（2013.福建）若2x

2y

1，则xy的取值范围是（）

A.[0,2]B.[2,0]C.[2,)D.(,2]

7.（2011.天津）已知log2aloga

b

2b1，则39的最小值是______

8.（2011.浙江）若正实数x,y满足x,y满足x2y2

xy1，则xy的最大值是______

9.（2012.韶关一摸）当点(x,y)在直线x3y20上移动时，表达式3x

27y

1的最小值为（）

十年磨剑为一搏，六月试锋现真我。在直线mxny10，其中mn0，则1m2

n的最小值为______

12.(2010山东)若对任意x0,xx23x1

a恒成立，则a的取值范围是__________________ 13.（2012.大连二模）已知x0,y0，且

2x1

y

1，若x2ym22m恒成立，则实数m的取值范围是（） A.m4或m2B.m2或m4C.2m4D.4m2

14.（2012长春模拟）已知M是ABC内的一点，且2,BAC30,

若MBC,MCA,MAB的面积分别为

114

2，x，y，则xy

的最小值为______

15.（2012.烟台二模）设a,bR，则“ab1”是“4ab1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

16.（2008.浙江）已知a0,b0，且ab2，则（）

A.ab

1B.ab12222

C.ab3

D.a

b22

17.（2010.安徽）若a0,b0，且ab2，，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立

的是__________________（写出所有正确命题的序号） （1）ab1 （2）ab

2 （3）a

b22（4）a3b33 （5）1a

1b

2

把奋斗留在今天，把结果留给命运。

第15篇：基本不等式与不等式基本证明

课时九 基本不等式与不等式基本证明

第一部分：基本不等式变形技巧的应用

基本不等式在求解最值、值域等方面有着重要的应用，利用基本不等式时，关键在对已知条件的灵活变形，使问题出现积（或和）为定值，以便解决问题，现就常用技巧给以归纳。

技巧一：加减常数

例

1、求函数yx

点评：当各项符号不确定时，必须分类讨论，要保证代数式中的各项均为正。

技巧二：巧变常数

例

2、已知0x

点评：形如f(x)x(1ax)或f(x)x2(1ax2)等可有两种变形方法：一是巧乘常数；二是巧提常数，应用时要注意活用。

技巧

三、分离常数

例

3、已知x

5452121x1(x1)的值域。 ，求函数y＝x（1－2x）的最大值。 ，则f(x)x3x32x4542有（） 32A、最大值B、最小值C、最大值D、最小值

32点评：通过加减常数，分离出一个常数是分式函数求值域常用的方法，这里一定要加减好“常数”，以利于问题的解决。

技巧

四、活用常数

例

4、若x,yR且满足

点评：通过配凑“1”并进行“1”的代换，整理后得到基本不等式的形式，减少了使用基本不等式的次数，有效地避免了等号不能同时取到的麻烦。

技巧

五、统一形式

例

5、已知a,b,cR，求(abc)(4x16y1，求x＋y的最小值。1

ab1

c)的最小值。

点评：根据分母的特点，进行结构调整为统一的形式，这样便能快速求解。含有根号的问题也要注意形式的统一（如求函数yxx2(0x1)可变形为y第二部分：均值定理证明不等式的方法技巧

22

。 x(1x)等）

1．轮换对称型

例1 若a,b,c是互不相等的实数，求

证：abc

222

abbcac.

点评：分段应用基本等式，然后整体相加(乘)得结论，是证明轮换对称不等式的常用技

巧。

2．利用“1”的代换型

111

已知a,b,cR,且 abc1,求证 9.

abc例2

点评：做“1”的代换。

.

3.逆向运用公式型

a,bR,ab1求证： a



12

b

12

2.

例3已知

点评：依据求证式的结构，凑出常数因子，是解决此类问题的关键。为脱去左边的根号，

a

12,b

将

11

转换成 1a,1b,然后逆向运222

用均值不等式： 若

a,bR则 ab



ab2

.

4．挖掘隐含条件证明不等式

111

a,bR,ab1求证：11.

ab9 例4 已知

a,bR,ab1

12

ab说明a,bR,ab1的背后隐含ab

4ab

2点评:由于

着一个不等式ab

.

5．用均值不等式的变式形式证明不等式

ab例5已知a,b,cR,求证：



bc

22

ca

22



2abc.

点评：本题的关键在于对ab,bc,ca的处理， 如果能找出

ab与ab间的关系，问题就可以

222222

解决，注意到



ab2ab2ab

22





ab2

2ab

22

ab 其中a,b,cR即可。解题时要注意a

b2ab的

ab

变式应用。常用



ab2

(其中a,bR)来解决有关根式不等式的问题.



第16篇：《基本不等式》教学反思

本节课，教师能较好的分析把握教学内容，教学设计新颖合理，教学组织合理有效，较好的达成了教学目标，教学效果良好。本节课有如下主要亮点：

第一，教学线索清晰。教学中以基本不等式的获得和应用为明线，以数学思想方法的渗透和体会为暗线。在本节课的学习和教学中，明暗线索交相呼应，学生不断的在知识学习的过程中体会数学思想方法的作用，甚至能在例题教学中尝试让学生运用思想方法策略性的思考和学习，学生在知识学习的同时更有对数学认识上的提升，这就使得学生的学习过程自然流畅。

第二，注重知识的本质认识和理解。本节课，就基本不等式这一核心知识而言，教师通过对教学材料的有效处理，为学生呈现了多角度认识知识的机会，特别是设计了基本不等式和重要不等式关系的认识和思考环节，使得学生认识到本节课的两个不等式的和谐、一致。这样的设计促进了学生对基本不等式的本质的认识，利于学生理清本节课的核心知识，而教师在轻松自然间不着痕迹的很好的突出了教学重点，同时也为广大教师提供了一些如何认识基本不等式的新视角。

第三，注重学生参与的实质性、坚持知识获得的生成性。整堂课，教师始终做到学生知识的获得来自于实质的数学活动和生成的深刻性。在本节课，我们可以从学生的情感参与、行为参与、认知参与三个维度观察到，通过学生参与真实意义的数学活动，保证了学生生成的自然合理，并将生成成为知识获得的前提，这样的学习是科学有效的。

当然本节课也还存在一些不足：

整堂课表现出缺少引导学生适时对学习进行反思，这样就失去了一些能让学生体会或可能形成学习策略的机会。尽管教师在核心知识的教学中已经较重视知识的本质认识和理解，但在教学过程中的某些时刻还是表现稍有急躁，没有将知识获得的过程持续完美。从整体上看，整节课的探究水平还是显得稍低尚处于引导探究层次。究其原因，是传统讲授式教学习惯在不经意间的反映。

第17篇：基本不等式教学设计

基本不等式

一、教学设计理念：

注重学生自主、合作、探究学习，用新课程理念打造新的教学模式.

二、教学设计思路： 1.教学目标确定

这节课的目标定位分为三个层面：

第一层面：知识与技能层面，①了解两个正数的算术平均数和几何平均数的概念；②要创设几何和代数两个方面的背景，从数形结合的高度让学生了解基本不等式；③引导学生从不同角度去证明基本不等式；④用基本不等式来证明一些简单不等式.

第二层面：过程与方法，通过掌握公式的结构特点，适当运用公式的变形，能够提高学生分析问题和解决问题的能力，加强学生的实践能力，渗透数学的思想方法.

第三层面：情感、态度与价值观，①通过具体问题的解决，让学生去感受日常生活中存在大量的不等关系，鼓励学生用数学观点进行归纳，抽象，使学生感受到数学美，走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维方式；②通过问题的解决，激发学生探究精神和科学态度，同时去感受数学的运用性，体会数学的奥妙，数学的简洁美，激发学生学习数学的兴趣.2.教学过程

本节课我设计了五个环节：

第一个环节：创设情境，引入新课.我设计了两个情境：一个是天平测量的问题，另一个是让学生动手操作折纸试验，从不同的角度体验和理解基本不等式，让学生能够体会数学与生活紧密联系，激发学生学习兴趣，为后面学习作铺垫.

第二个环节：探究交流，发现规律.我在问题的情境中，让学生带着不同的数据去比较几何平均数和算术平均数的大小，并通过小组折纸试验，通过这样合作交流的方式让学生初步感受到几何平均数和算术平均数之间的大小关系.第三个环节：启发引导、形成结论.本节课的重要任务就是对基本不等式进行严格的证明，包括了比较法，综合法和分析法，而学生对作差比较法是比较熟悉的，综合法和分析法的过程要加强引导，并组织学生去探究这两种方法之间的关系，并规范证明过程，为今后学习证明方法打下基础.

第四个环节：训练小结，巩固深化.学习基本不等式最终的目的体现在它的运用上，首先在例题选择上，注重让学生充分认识 和 间的关系，给出一般的结论，在练习中我选择了题组形式，目的是与让学生强化对基本不等式成立条件包括等号成立的条件.

第五个环节：研究拓展，提高能力.我设计了一道关于例题的变式题，目的是让学生感受到，通过适当的变形将其化为例题中出现的形式，体现化归的思想，最后设计三道思考题，两道进一步巩固化归思想及应用基本不等式的条件，一道需要分类讨论，让学有余力的学生提供更好展示自己能力的机会，得到进一步提高.

最后我通过问题式的小结，让学生自行归纳我们这节课当中学到的知识，特别是最后一问中，让学生去总结在使用基本不等式的时候要注意哪些条件.虽然我没有点出“一正二定三相等”这样的结论，但已潜移默化为我们下一节课使用基本不等式求最值问题作了铺垫，起到承前启后的作用.

三、本节课重点

重点：应用数形结合的思想和日常生活中例子理解基本不等式，并从不同的角度探索不等式的证明过程.

难点：灵活使用化归思想把问题转化为运用基本不等式，以及基本不等式成立条件中包括等号成立的条件.

在这一节中的主要任务就是让学生从不同的角度去探索基本不等式的证明过程，包括它的成立条件，在这一节课中我的总体想法是通过互动，发现规律，直接猜想，指定验证，得出结论，最后灵活运用这个结论来解决问题.

四、本节课亮点：

1.积极引导学生自主探究问题，解决问题.2.灵活运用转化与化归的思想.3.实现课堂三大转变：

①变教学生学会知识为指导学生会学知识；

②变重视结论的记忆为重视学生获取结论的体验和感悟； ③变模仿式学习为探究式学习.

4.课堂小结采取问题式小结给学生留下满口香.

导入新课

探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？?

（教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情）?? 推进新课

师 同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？?

【三维目标】：

一、知识与技能

1.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题 2.进一步掌握用基本不等式求函数的最值问题；

3.审清题意，综合运用函数关系、不等式知识解决一些实际问题． 4.能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题．

二、过程与方法

本节课是基本不等式应用举例的延伸。整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。

三、情感、态度与价值观

1.引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

2.进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性

【三维目标】：

一、知识与技能

1.探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法；2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；

3.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号\"≥\"取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

4.理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释；

二、过程与方法

1.通过实例探究抽象基本不等式；

2.本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质

三、情感、态度与价值观

1.通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣

2.培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力

、知识结构解读

1．教材对基本不等式 的推导给出了三种证法，即作差法、分析法和综合法，同时引导同学们探讨基本不等式的几何解释．

2．基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．应用基本不等式时一定要注意其成立的条件．基本不等式的应用过程蕴涵了函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想及化归与转化等数学思想．

二、重点、难点解读

本节的重点内容是掌握\"两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数\"；掌握\"两个正数的和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值\"的结论． 难点是正确理解和使用基本不等式求某些函数的最值或证明不等式．

三、知识点精析

1．基本不等式的定义（详见课本）

基本不等式可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数． 注意：不等式 成立的条件是 ． 2．基本不等式的几何证明

已知在 中，如右图所示， 为斜边 上的高， 为 的外接圆的圆心， 的延长线交 于点 ． ， ，证明： ．

一、教学目标

1．知识与技能

探究基本不等式的证明过程，初步理解基本不等式

2．过程与方法

通过对基本不等式的不同角度的探究，渗透数形结合及转化的数学思想．

3．情感、态度与价值观：

通过本节学习，激发学生学习和应用数学知识的兴趣，形成积极探索的学习风气．

二、教学重点 用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程

教学难点 对基本不等式 的探究

三、教学资源 普通高中数学课程标准（实验） 人教A版教材必修5

中学数学周刊2005年第10期 百度

四、教学方法与手段

启发学生探究，多媒体辅助教学

五、教学过程

（一）创设情境：

如图1是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表着中国人民的热情好客．

你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？

设计意图：创设问题情境，为问题的引出做铺垫

（二）新知探究： 图1

将风车抽象成图2

设直角三角形的两条边长为a、b,那么正方形 的边长为 .这样,4个直角三角形的面积和为2ab,正方形面积为 .由于4个直角三角形的面积和小于正方形ABCD的 面积，我们就得到了一个不等式

当直角三角形变为等腰直角三角形, 图2

即 时,正方形EFGH缩为一个点,这时有

此时，a、b代表正方形的边长，显然是正数，如果我们推广到一般情况，对于任意的实数．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；

3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣

【教学重点】

应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程；

【教学难点】

基本不等式 等号成立条件

【教学过程】

1.课题导入

基本不等式 的几何背景：

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系

2.讲授新课

1．探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为 。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为 。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式： 。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有 。

2．得到结论：一般的，如果

3．思考证明：你能给出它的证明吗？

证明：因为

当

所以， ，即

4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式

特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得 ，

通常我们把上式写作：

2）从不等式的性质推导基本不等式

用分析法证明：

要证 (1)

只要证 a+b (2)

要证（2），只要证 a+b- 0 （3）

要证（3），只要证 （ - ） （4）

显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。

3）理解基本不等式 的几何意义

探究：课本第110页的《基本不等式》说课稿

一、教材分析

1、本节课的地位、作用和意义

基本不等式又称为均值不等式，选自普遍高中课程标准实验教科书(北京师范大学出版社出版) 必修5 ，第3章第3节内容。学生在初中学习了完全平方公式、圆、初步认识了不等式，同时，在本章前面两节学习了比较大小、一元二次不等式等，这些给本节课提供了坚实的基础；基本不等式是后面基本不等式与最大（小）值的基础，在高中数学中有着比较重要的地位，在工业生产等有比较广的实际应用。

2、本节课的教学重点和难点

我通过解读新课标和分析教材，认为：

重点：通过对新课程标准的解读，教材内容的解析，我认为结果固然重要，但数学学习过程更重要，它有利于培养学生的数学思维和探究能力，所以均值不等式的推导是本节课的重点之一；再者，均值不等式有比较广的应用，需重点掌握，而掌握均值不等式，关键是对不等式成立条件的准确理解，因此，均值不等式以及其成立的条件也是教学重点。

突出重点的方法：我将采用①用分组讨论，多媒体展示、引导启发法来突出均值不等式的推导；用重复法（在课堂的每一环节，以各种方式进行强调均值不等式和其成立的条件），变式教学来突出均值不等式及其成立的条件。

难点：很多同学对均值不等式成立的条件的认识不深刻，在应用时候常常出错误，所以，均值不等式成立的条件是本节课的难点。

突破难点的方法：我将采用用重复法（在课堂的每一环节，以各种方式进行强调均值不等式和其成立的条件），变式教学等等来突破均值不等式成立的条件这个难点。

二、教学目标分析

1、知识与技能目标

（1）学会推导基本不等式： 。

（2）理解 的几何意义。

（3）能3分钟内写出基本不等式，并说明其成立的条件，准确率为95%

2、过程方法与能力目标

（1）探索并了解均值不等式的证明过程。

（2）体会均值不等式的证明方法。

3、情感、态度、价值观目标

（1）通过探索均值不等式的证明过程，培养探索、研究精神。

（2）通过对均值不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学态度，勇于提出问题、分析问题的习惯。 “探究” 基本不等式的证明（1）

【三维目标】：

一、知识与技能

1.探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法；

2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；

3.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

4.理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释；

二、过程与方法

1.通过实例探究抽象基本不等式；

2.本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质

三、情感、态度与价值观

1.通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣

2.培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力

【教学重点与难点】：

重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程；

难点：理解基本不等式 等号成立条件及 “当且仅当 时取等号”的数学内涵

【学法与教学用具】：

1.学法：先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出基本不等式。从生活中实际问题还原出数学本质，可积极调动地学生的学习热情。定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案

2.教学用具：直角板、圆规、投影仪（多媒体教室）

【授课类型】：新授课

【课时安排】：1课时

【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

1.提问： 与 哪个大？

2.基本不等式 的几何背景：

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系）。

二、研探新知

重要不等式 ：一般地，对于任意实数、，我们有 ，当且仅当 时，等号成立。

证明:

所以

第18篇：基本不等式教学设计

《基本不等式》教学设计

3.4.1基本不等式

教材分析

本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续的学习奠定基础。 要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。

教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。

就知识的应用价值上来看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、归纳猜想、演绎推理、分析法证明等在各种不等式研究问题中有着广泛的应用；另外它在如“求面积一定，周长最小；周长一定，面积最大”等实际问题的计算中也经常涉及到。

就内容的人文价值上来看，基本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。

课程目标分析

依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况，特确定如下目标：

1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题；理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→ 剖析归纳证明→ 几何解释→ 应用（最值的求法、实际问题的解决）的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律

《基本不等式》教学设计

的方法，体验成功的乐趣。

3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

教学重、难点分析

重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式abab的证明过程及应用。 2难点：

1、基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；

2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。

教法分析

本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究；启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。以现代信息技术多媒体课件作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。

教学准备

多媒体课件、板书

教学过程

教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。 具体过程安排如下：

一、创设情景，提出问题；

设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实．基于此,设置如下情境: 上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，

《基本不等式》教学设计

颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。 [问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？

本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式a2b22ab。在此基础上，引导学生认识基本不等式。

二、抽象归纳：

一般地，对于任意实数a,b，有a2b22ab，当且仅当a＝b时，等号成立。 [问] 你能给出它的证明吗？

学生在黑板上板书。

特别地，当a>0,b>0时，在不等式a2b22ab中，以a、b分别代替a、b，得到什么？

设计依据：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础.答案： abab(a,b0)。 2【归纳总结】

如果a,b都是正数，那么abab，当且仅当a=b时，等号成立。 2ab称为a,b的算术平均数，ab称2我们称此不等式为基本不等式。 其中为a,b的几何平均数。

三、理解升华：

1、文字语言叙述：

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

2、联想数列的知识理解基本不等式

已知a,b是正数，A是a,b的等差中项，G是a,b的正的等比中项，A与G有无确定的大小关系？

两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。

《基本不等式》教学设计

3、符号语言叙述： 若a0,b0，则有ababab，当且仅当a=b时，ab。 22[问] 怎样理解“当且仅当”？（学生小组讨论，交流看法，师生总结）

“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：

当a=b时，取等号，即ababab； 2仅当a=b时，取等号，即ababab。

24、探究基本不等式证明方法： [问] 如何证明基本不等式？

（意图在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华，前面是从几何图形中的面积关系获得不等式的，下面用代数的思想，利用不等式的性质直接推导这个不等式。）

2 方法一：作差比较或由(ab)0展开证明。

方法二：分析法（完成课本填空）

设计依据：课本是学生了解世界的窗口和工具，所以，课本必须成为学生赖以学会学习的文本.在教学中要让学生学会认真看书、用心思考，养成讲讲议议、动手动笔、仔细观察、用心体会的好习惯，真正学会读“数学书”。 要证abab

① 2只要证ab

② 要证②,只要证ab

0

③ 要证③,只要证()20 ④

显然, ④是成立的。当且仅当a=b时, ④中的等号成立 。 点评：证明方法叫做分析法,实际上是寻找结论的充分条件,执果索因的一种思维方法.

《基本不等式》教学设计

5、探究基本不等式的几何意义：借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生abab(a,b0)2的几何解释，通过数形结合，赋予不等式探究不等式abab(a,b0)2几何直观。进一步领悟不等式中等号成立的条件。

如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，CD⊥AB，AC=a,CB=b，CD

Dab

abab2abOCAB几何解释实质可认为是：在同一半圆中，半径不小于半弦（直径是最长的弦）；或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高。

四、探究归纳

下列命题中正确的是

①对于任意实数a,b，均有ab2ab；

②当x0时，由于1x22x，当且仅当1x2时，即x=1时，等号成立。所以函数y1x2(x0)的最小值为2；

π4π4(0,)的最小sinx4③当x(0,)时，有；所以函数ysinx在

2sinx2sinx值为4。

以上命题均是根据基本不等式的使用条件中的难点和关键处设置的，目的是利用学生原有的平面几何知识，进一步领悟到不等式abab成立的条件2a0,b0，及当且仅当ab时，等号成立。这些“陷阱”要让学生自己往里跳，然后自己再从中爬出来，完全放手让学生自主探究，老师指导，师生归纳总结。

《基本不等式》教学设计

结论：

若两正数的乘积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值； 若两正数的和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的乘积有最大值。 简记为：“一正、二定、三相等”。

五、领悟练习：

公式应用之一：

1(1)若x0,x的最小值为________,此时x_________.

x(1) 若a>0,b>0,且a+b=2,则ab的最大值为_______,此时a=_____,b=_____。

公式应用之二：（最优化问题）

设计意图：新颖有趣、简单易懂、贴近生活的问题,不仅极大地增强学生的兴趣，拓宽学生的视野，更重要的是调动学生探究钻研的兴趣，引导学生加强对生活的关注，让学生体会：数学就在我们身边的生活中

(1) 在学农期间，生态园中有一块面积为100m2的矩形茶地，为了保护茶叶的健康生长，学校决定用篱笆围起来，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？

(2)现在学校仓库有一段长为36m的篱笆，要围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？

六、反思总结，整合新知：

通过本节课的学习你有什么收获？取得了哪些经验教训?还有哪些问题需要请教？

设计意图：通过反思、归纳，培养概括能力；帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平.老师根据情况完善如下：

一个不等式：若a0,b0，则有abab。 2ab，当且仅当a=b时，2ab两种思想：数形结合思想、归纳类比思想。

《基本不等式》教学设计

三个注意：基本不等式求函数的最大(小)值是注意：“一正二定三相等”

七、布置作业：P114习题1.2.3

八、课下思考：类比基本不等式，当a,b,c均为正数，猜想会有怎样的不等式？

第19篇：基本不等式教学设计

基本不等式教学设计

10141510244 数学与应用数学 钟林

课题：人教A版必修5第3章4节，基本不等式

【教学目标】

1.通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想。

2.进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力。3.结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想。

4.借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例2及其变式引导学生

ab领会运用基本不等式ab的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最

2值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略。

【重点难点】

重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式abab的证明过程。

2难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式。

【教学设计】

（一）问题导入

欣赏2002年国际数学家大会会徽，会徽是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能发现它是什么图形构成的吗？请根据会徽探索一些常见相等或不等关系。

探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？ 在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为，a,b。

22ab那么正方形的边长为。

于是，4个直角三角形的面积之和S12ab。 正方形的面积S2a2b2。 由图可知S2S1，即a2b22ab。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形EFGH缩为一个点，这时 a2b22ab

所以a2b22ab。

探究二：如下图所示的梯形中，EF是梯形ABCD的中位线，梯形ABGH相似于梯 形GHDC。

梯形ABCD的上底是a，下底是b。让同学们自主研究GH和EF的大小关系。

ab因为EF是中位线，所以EF，

2由相似，可以得出GHab， 同样因为相似，有

AGABa， GDGHb又因为ab，所以AGGD，即AGAE，

ab。 2显然，当AB逐渐趋近CD的时候，GH也逐渐向EF靠近， 当AB=CD的时候，即ABCD是矩形的时候，GH与EF重合。

ab即，当且仅当ab时，ab。

2ab所以，ab，当且仅当ab时，等号成立。

2所以GHEF,即ab

（二）概念深入

根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：

若a,bR，则a2b22ab。（当且仅当a=b时，等号成立）

ab。（当且仅当a=b时，等号成立） 2请同学们运用代数法证明： 作法一（作差法）： 若a,bR，则aba2b22ab(ab)20ab2ab22

当且仅当a=b时，等号成立。且发现这里且a和b可以是全体实数、单项式、多项式。

作法二（分析法）：

要证明abab， 2只需证明ab2ab， 即证ab-2ab0， 即为a-b20，该式显然成立，所以，当ab时取等号。

于是有这样的结论：

称ab为a,b的几何平均数；称基本不等式abab为a,b的算术平均数， 2ab又可叙述为： 2两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数

作法三（几何法）：

如图，AB是圆O的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b．过点C作 垂直于AB的弦DE，连接AD,BD。 从而有CDab,ODab。 2ab。 2ab当且仅当C点与圆心O点重合时，即a=b时，ab

2故再次证明：

aba0,b0,ab，当且仅当a=b时，等号成立。

2ab也说明了ab的几何意义：半径不小于半弦。

2由于直角三角形COD中，直角边CD

（三）例题讲解

例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）

对于x,yR，

（1）若xyp（定值），则当且仅当xy时，xy有最小值2p；

s2（2）若xys（定值），则当且仅当xy时，xy有最大值。

4（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神。）

1例2.求yx(x0)的值域。

x1变式1.若x2，求x的最小值．

x21在运用基本不等式解题的基础上，利用几何画板展示yx(x0)的函数

x图象，使学生再次感受数形结合的数学思想。

ab并通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式ab的三个限制

2条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略。

（四）归纳小结&课后作业 基本不等式：

若a,bR，则a2b22ab。（当且仅当a=b时，等号成立）

ab。（当且仅当a=b时，等号成立） 2（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）； （2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法。

作业：A组第4题，B组第1题，第2题

若a,bR，则ab

第20篇：基本不等式教学设计

《基本不等式》教学设计

3.4.1基本不等式

开江中学 魏江兰

目标分析

依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况，特确定如下目标：

1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题；理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→ 剖析归纳证明→ 几何解释→ 应用（最值的求法、实际问题的解决）的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。

3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

教学重、难点分析

重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式abab的证明过程及应用。 2难点：

1、基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；

2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。

教法分析

本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究；启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。以现代信息技术多媒体课件作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。

《基本不等式》教学设计

教学准备

多媒体课件、板书

教学过程

教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。 具体过程安排如下：

一、创设情景，提出问题；

设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实．基于此,设置如下情境: 上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？

本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式a2b22ab。在此基础上，引导学生认识基本不等式。

二、抽象归纳：

一般地，对于任意实数a,b，有a2b22ab，当且仅当a＝b时，等号成立。 [问] 你能给出它的证明吗？

证明：因为a2b22ab(ab)20，即a2b22ab.（当ab时取等号）

特别地，当a>0,b>0时，在不等式a2b22ab中，以a、b分别代替a、b，得到什么？

设计依据：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础.

《基本不等式》教学设计

答案： abab(a,b0)。 2你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？ 证明：（分析法）：由于a,bR，于是要证明 ab2ab，

只要证明 ab2即证

2ab，

ab2ab0，即 (ab)20，

所以abab，（当ab时取等号）

【归纳总结】

如果a,b都是正数，那么abab，当且仅当a=b时，等号成立。 2ab称为a,b的算术平均数，ab称2我们称此不等式为基本不等式。 其中为a,b的几何平均数。

文字语言叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

探究基本不等式的几何意义：借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生探究abab(a,b0)2的几何解释，通过数形结合，赋予不等式不等式abab(a,b0)2几何直观。进一步领悟不等式中等号成立的条件。

如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，CD⊥AB，AC=a,CB=b，CD

Dab

abab2abOCAB几何解释实质可认为是：在同一半圆中，半径不小于半弦（直径是最长的弦）；或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高。

《基本不等式》教学设计

4．应用举例，巩固提高

我们可以用两个重要不等式来解决什么样的问题呢？

例1（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化） 对于（1）若（2）若，

（定值），则当且仅当（定值），则当且仅当

时，时，

有最小值有最大值

； ．

（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神．）

1例 2：当x0时，求yx的最小值？x1变式1：当x0时，yx有最值吗？

x1变式2：当x1时，yx有最值吗？

x通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．

练一练（自主练习）：课本练习5．归纳小结，反思提高

《基本不等式》教学设计

基本不等式：若若

，则，则

（当且仅当（当且仅当

时，等号成立） 时，等号成立）

（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）；（2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法（一正二定三相等）． 6．布置作业，课后延拓

（1）基本作业：课本P100习题组

1、

2、3题

（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流．

《基本不等式教案模板.doc》

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