导数与微分(教案)

2020-03-02 14:21:45 来源：范文大全收藏下载本文

重庆工商大学融智学院

《微积分》教案

（上册）

章节名称：第三章导数与微分主讲教师：联系方式：

岳斯玮 15178738810

《微积分》（上册）教案

第三章导数与微分

本章教学目标与要求

理解导数的概念，会利用导数定义求导数。了解导数的物理意义（速度），几何意义（切线的斜率）和经济意义（边际），掌握基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则，复合函数求导法则。掌握反函数和隐函数求导法，对数求导法。理解可导性与连续性的关系。了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。理解微分的概念，导数与微分之间的关系，以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。了解导数在经济中的应用

本章教学重点与难点

1．导数概念及其求导法则； 2．隐函数的导数； 3．复合函数求导；

4．微分的概念，可微和可导的关系，微分的计算

§3.1 导数的概念

教学目的与要求

1.理解函数导数的概念及其几何意义.2.掌握基本初等函数的导数，会求平面曲线的切线和法线.3.了解导数与导函数的区别和联系.4.理解左右导数的概念、可导与连续的关系.教学重点与难点

1.函数导数的概念、基本初等函数的导数

2.函数导数的概念、利用定义求函数在某一点的导数

教学过程

一、引例

导数的思想最初是由法国数学家费马(Fermat)为研究极值问题而引入的，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线．这是由英国数学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼茨(Leibniz)分别在研究力学和几何学过程中建立起来的．

下面我们以这两个问题为背景引入导数的概念．

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1．瞬时速度

思考：已知一质点的运动规律为ss(t)，t0为某一确定时刻，求质点在t0时刻的速度。在中学里我们学过平均速度

s，平均速度只能使我们对物体在一段时间内的运动大致t情况有个了解，这不但对于火箭发射控制不够，就是对于比火箭速度慢的多的火车、汽车运行情况也是不够的，火车上坡、下坡、转弯、穿隧道时速度都有一定的要求，至于火箭升空那就不仅要掌握火箭的速度，而且要掌握火箭飞行速度的变化规律. 不过瞬时速度的概念并不神秘，它可以通过平均速度的概念来把握.根据牛顿第一运动定理，物体运动具有惯性，不管它的速度变化多么快，在一段充分短的时间内，它的速度变化总是不大的，可以近似看成匀速运动.通常把这种近似代替称为“以匀代不匀”.设质点运动的路程是时间的函数 s(t)，则质点在 t0到 t0t 这段时间内的平均速度为

vs(t0t)s(t0)

t可以看出它是质点在时刻t0速度的一个近似值，t越小，平均速度 v 与 t0时刻的瞬时速度越接近.故当t0时，平均速度v就发生了一个质的飞跃，平均速度转化为物体在t0时刻的瞬时速度，即物体在 t0时刻的瞬时速度为

vlimvlimt0_s(t0t)s(t0) （1）

t0t思考：按照这种思想和方法如何计算自由落体的瞬时速度？因为自由落体运动的运动方程为：

s12gt， 2按照上面的公式，可知自由落体运动在t0时刻的瞬时速度为

112g(t0t)2gt0s(tt)s(t0)12v(t0)lim0lim2lim(gt0gt)gt0。 t0t0t00tt2这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式.

2．切线的斜率

思考：圆的的切线的定义是什么？这个定义适用于一般的切线吗？

引导学生得出答案：与圆只有一个交点的直线叫做圆的切线，但这个定义只适用于圆周曲线，并不适用于一般的曲线.因此，曲线的某一点的切线应重新定义.（1）切线的概念

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曲线C上一点M的切线的是指：在M外另取C上的一点N，作割线MN，当点N沿曲线C趋向点M时，如果割线MN绕点M转动而趋向极限位置MT，直线MT就叫做曲线C在点M处的切线。简单说：切线是割线的极限位置。这里的极限位置的含义是：只要弦长MN趋于0，NMT也趋向于0.（如图所示）

（2）求切线的斜率

设曲线C为函数yf(x)的图形，M(x0,y0)C，则y0f(x0)，点N(x0x,y0y)为曲线C上一动点，割线MN的斜率为：

yf(x0x)f(x0) xx根据切线的定义可知，当点N沿曲线C趋于M时，即x0，割线的斜率趋向于切线的

tan斜率。也就是说，如果x0时，上式的极限存在，则此极限便为切线的斜率记为k，即

ktanlimf(x0x)f(x0)y

（2） limx0xx0x3.边际成本

设某产品的成本C是产量x的函数CC(x)，试确定产量为x0个单位时的边际成本。用前两例类似的方法处理得：

CC(x0x)C(x0)表示由产量x0变到x0x时的平均成本，如果极限 xxCC(x0x)C(x0)

（3）

limx0xx存在，则此极限就表示产量为x0个单位时成本的变化率或边际成本。

思考：上述三个问题的结果有没有共同点？

上述两问题中，第一个是物理学的问题，第二个是几何学问题，第三个是经济学问题，分属不同的学科，但问题都归结到求形如

lim

x0f(x0x)f(x0）

（4）

x68

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的极限问题.事实上，在学习物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中，尽管其背景各不相同，但最终都归化为讨论形如（4）的极限问题.为了统一解决这些问题，引进“导数”的概念.

二、导数的定义

1．导数的概念

定义

设函数yf(x)在点x0的某邻域内有定义，当自变量x在点x0处取得增量x（点x0x仍在该邻域内）时，函数相应地取得增量yf(x0x)f(x0)，如果极限

f(x0x)f(x0)y limx0xx0xlim存在，则这个极限叫做函数f(x)在点x0处的导数，记为

y\'xx0,f(x0),dydxxx0或df(x)dxxx0

当函数f(x)在点x0处的导数存在时，就说函数f(x)在点x0处可导，否则就说f(x)在点x0处不可导.特别地，当x0时，点x0处的导数为无穷大.关于导数有几点说明：

（1）导数除了定义中的形式外，也可以取不同的形式，常见的有

y，为了方便起见，有时就说yf(x)在xf(x0)limh0f(x0h)f(x0)

hf(x)f(x0)

xx0f(x0)lim（2）

xx0yf(x0x)f(x0)反映是自变量 x 从x0改变到x0x时，函数f(x)的xxy\'平均变化速度，称为函数f(x)的平均变化率；而导数f(x0)lim反映的是函数f(x)x0x在点x0处的变化速度，称为函数f(x)在点x0处的变化率。

2．导函数的概念

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上面讲的是函数在某一点处可导，如果函数yf(x)在开区间I的每一点都可导，就称函数yf(x)在开区间I上可导，这时，xI，都对应f(x)的一个确定的导数值，就构成一个新的函数，这个函数叫做yf(x)的导函数，记作：

y\',f\'(x),即，导函数的定义式为：

dydf(x)。或dxdxf(xx)f(x)f(xh)f(x)或f(x)lim.

x0h0xh在这两个式子中，x可以取区间I的任意数，然而在极限过程中，x是常量，x或h才ylim是变量；并且导数f(x0)恰是导函数f(x)在点x0处的函数值.\'\'3.单侧导数的概念

我们知道在极限有左、右极限之分，而导数实质是一个“比值”的极限。因此，根据左右极限的定义，不难得出函数左右导数的概念。

定义

极限limx0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)和lim分别叫做函数x0xxf(x)在点x0处的左导数和右导数，记为f(x0)和f(x0).如同左、右极限与极限之间的关系，显然：

函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是左导数f(x0)和右导数f(x0)都存在并且相等.还应说明：如果f(x)在开区间(a,b)上可导，且f(a)和f(b)都存在，就说f(x)在闭区间[a,b]上可导.

三、按定义求导数举例

1．根据定义求函数的导数的步骤

根据导数的定义可以总结出求函数某一点的步骤为： ① 求增量：yf(xx)f(x)

yf(xx)f(x) xxy③ 求极限：ylim

x0x2．运用举例 ② 算比值： 70

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例

1求yC的导数（C为常数）.解求增量yCC0

y0 xy取极限

lim0

x0x作比值

所以

(C)0

即常量的导数等于零.

例

2求函数yx(xN)的导数.解 y(xx)xnxnnn1n\'xn(n1)n2x(x)2(x)n， 2!yn(n1)n2nxn1xx(x)n1， x2!yy\'limnxn1，

x0x即

(xn)\'nxn1

注意：以后会证明当指数为任意实数时，公式仍成立，即

(x)x1.\'例如：(x)(R)

12x1\'，(x)1x2

例3 求f(x)sinx的导数.解

(sinx)lim\'f(xh)f(x)sin(xh)sinxlim

h0h0hhhsinh2cosx limcos(x)h0h22即

(sinx)\'cosx.用类似方法，可求得

(cosx)\'sinx. 71

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例4 求ylogax(a0,a1)的导数.

hloga(1)loga(xh)logaxx 解 y\'limlimh0h0hhhloga(1)x11hxlimlog(1)h limah0hxxh0xx1logae x所以

(logax)\'特别地，当ae时，有

1logae x(lnx)\'例5 教材例3.4

1 x

四、导数的几何意义

由前面对切线问题的讨论及导数的定义可知：函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)在几何上表示曲线yf(x)在点M（x0,f(x0)）处的切线的斜率。因此，曲线yf(x)在点M（x0,f(x0)）处的切线方程为

\'yy0f(x0)(xx0). 思考：曲线某一点处切线和法线有什么关系？能否根据点M处切线的斜率求点M处的法线方程？

根据法线的定义：过点M（x0,f(x0)）且垂直于曲线yf(x)在该点处的切线的直线叫做曲线yf(x)在点M（x0,f(x0)）处的法线.如果f(x0)0，根据解析几何的知识可知，切线与法线的斜率互为倒数，则可得点M处法线方程为：

yy0例6 求双曲线y程.

1(xx0).f(x0)11在点(,2)处的切线的斜率，并写出该点处的切线方程和法线方

2x 72

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解

根据导数的几何意义知，所求的切线的斜率为：

ky\'所以切线的方程为

121()\'x121x2124

1y24(x)，

2即 4xy40.法线的方程为

11y2(x)，

42即

2x8y150.

五、可导与连续的关系

定理函数在某点处可导，则一定在该点连续.证明：因为如果函数yf(x)在点x处可导，即

yf(x0)x0x， lim从而有

yf(x0)x，

其中，0(x0)，于是

yf(x0)xx，

因而，当x0时，有y0。这说明函数f(x)在点x处连续。

思考：定理的逆命题成立吗？

例7 讨论函数f(x)x在x0处是否可导。解

因f(0)limf(0x)f(0)xlim1，

h0h0xxf(0x)f(0)xf(0)limlim1，

h0h0xx即f(x)在点x0处的左导数、右导数都存在但不相等，从而f(x)x在x0处不可导。

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注意：通过例7可知，函数f(x)x在原点（0,0）处虽然连续，但该点却不可导，所以函数在某点处可导，则一定连续，反之不一定成立.

课堂小结

1.导数的表达式：limf(x0x)f(x0)y limx0xx0x2.基本初等函数的导数：

(C)\'0 (x)nxn\'n1 (sinx)\'cosx (cosx)\'sinx

(logax)\'11logae (lnx)\' (ax)\'axlna (ex)\'ex xx3.可导与连续的关系：函数在某点处可导，则一定在该点连续，反之不一定成立。 4.导数的几何意义：函数某一点处的导数值，在几何表示为曲线在此点的切线的斜率。

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§3.2 求导法则与导数的基本公式

教学目标与要求

1.掌握并能运用函数的和、差、积、商的求导法则 2.理解反函数的导数并能应用；

3.理解复合函数的导数并会求复合函数的导数； 4.掌握隐函数的求导方法； 5.掌握并能运用对数求导法；

6.熟记求导法则以及基本初等函数的导数公式。

教学重点与难度

1.会用函数的和、差、积、商的求导法则求导； 2.会求反函数的导数； 3.会求复合函数的导数

4.会求隐函数的导数以及能运用对数求导法。

教学过程

前面，我们根据导数的定义，求出了一些简单函数的导数。但是，如果对每一个函数都用定义去求它的导数,有时候将是一件非常复杂或困难的事情。因此，本节介绍求导数的几个基本法则和基本初等函数的导数公式。鉴于初等函数的定义，有了这些法则和公式，就能比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数。

一、函数的和、差、积、商求导法则

1.函数的和、差求导法则

定理1 函数u(x)与v(x)在点x处可导，则函数yu(x)v(x)在点x处也可导，且

y\'[u(x)v(x)]\'u\'(x)v\'(x)。

同理可证：[u(x)v(x)]u(x)v(x) 即证。

\'\'\' 75

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注意：这个法则可以推广到有限个函数的代数和，即

\'\'[u1(x)u2(x)un(x)]\'u1\'(x)u2(x)un(x)，

即有限个函数代数和的导数等于导数的代数和。

例1 教材例3.9

2.函数积的求导公式

定理2 函数u(x)与v(x)在点x处可导，则函数yu(x)v(x)在点x也可导，且

y\'[u(x)v(x)]\'u\'(x)v(x)u(x)v\'(x)。

注意：1）特别地，当uc（c为常数）时，

y\'[cv(x)]\'cv\'(x)，

即常数因子可以从导数的符号中提出来。而且将其与和、差的求导法则结合，可得：

y\'[au(x)bv(x)]\'au\'(x)bv\'(x)。

2）函数积的求导法则，也可以推广到有限个函数乘积的情形，即

\'\'(u1u2un)\'u1\'u2unu1u2unu1u2un。

例2 求下列函数的导数。

1）y3x2x5x4sinx；

2）y3x4lnx5cosx。解 1） 323

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2）y\'4x45sinx x3例3 求下列函数的导数（教材例3.10）。

sinx；

2）yx1）yx4xlnxcosx

解

1） 3y\'(x34xsinx)\'(x3)\'4[(x)\'sinxx(sinx)\'] 2sinx3x4(sinxxcosx)3x4xcosx2xx2122）

y\'(x3lnxcosx)\'(x3)\'lnxcosxx3(lnx)\'cosxx3lnx(cosx)\'13x2lnxcosxx3cosxx3lnxsinxxx2(3lnxcosxcosxxlnxsinx)

3.函数商的求导法则

定理3 函数u(x)与v(x)在点x处可导，且v(x)0，则函数y导，且

u(x)在点x处也可v(x)u(x)\'u\'(x)v(x)u(x)v\'(x)y[]。

v(x)v2(x)\'

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注意：特别地，当uc（c为常数）时，

c\'cv\'(x)y[]2(v(x)0)。

v(x)v(x)\'

思考：请各位同学总结一下三角函数的导数公式。

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总结：根据上一节中求出的正弦和余弦的导数公式，可得三角函数的导数为：

二、反函数的导数

想一想：在基本初等函数中，还有那么函数没有求导法则？

在基本初等函数中，我们还有反三角函数和指数函数的导数求法没有讨论，如何求呢？易知，反三角函数和指数函数分别是三角函数和对数函数的反函数。能否通过三角函数和对数函数的导数来求反三角函数和指数函数呢？这是可以的，这就是我们下面将要介绍的反函数的导数：

定理4 设函数yf(x)在某一区间是单调连续，在区间任一点x处可导，且f(x)0，则它的反函数xf1(y)在相应区间内也处处可导，且

[f1(x)]\'或

1 f\'(x)[f(x)]\'1

[f1(x)]\'1证因为函数yf(x)在某一区间内是单调连续函数，可知其反函数xf应区间内也是单调连续函数。

当yf(x)的反函数xf的单调性知xf11(y)在相

1(y)的自变量y取得改变量y(y0)时，由xf(y)(yy)f1(y)0，于是

x1 yyx

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又因为xf1(y)连续，所以当y0时，x0。由条件知f(x)0，所以

[f1(y)]\'lim故

x111 lim\'y0yx0yyf(x)limx0xx11\'或。 [f(x)]f\'(x)[f1(x)]\'[f1(x)]\'即证。

例6 求下列反三角函数的导数。

1）yarcsinx；

2）yarccosx；

3）yarctanx；

4）yarccotx。

例7 求函数ya(a0,a1)的导数。

解由于ya(x(,))为对数函数xlogay(y(0,))的反函数，根据反函数的导数法则得 xxy\'(ax)\'所以，指数函数的导数公式为

1xylnaalna \'(logay)(ax)\'axlna

特别地，当ae时，有

(ex)\'ex

三、复合函数的求导法则

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综上，我们对基本初等函数的导数都进行讨论，根据基本初等函数的求导公式，以及求导法则，就可以求一些较复杂的初等函数了。但是，在初等函数的构成过程中，除了四则运算外，还有复合函数形式，例如：ysin2x。

思考：如果ysin2x，是否有(sin2x)cos2x？

因此，要完全解决初等函数的求导法则还必须研究复合函数的求导法则。

定理设函数u(x)在点x处有导数ux(x)，函数yf(u)在对应点u处有导数yuf(u)，则复合函数yf[(x)]在点x处也有导数，且 \'\'\'\'\'(f[(x)])\'f\'(u)\'(x)

简记为dydydu\'\'\'yuux。 或yxdxdudx（证明略）

注意：（1）复合函数的求导法则表明：复合函数对自变量的的导数等于复合函数对中间变量求导乘以中间变量对自变量求导。这种从外向内逐层的求导的方法，形象称为链式法则。

（2）复合函数的求导法则可以推广到有限个中间变量的情形。例如，设yf(u)，

ug(v),v(x)，则

dydydudv\'\'\'\'yuuvvx 或yxdxdudvdx（3）在熟练掌握复合函数的求导法则后，求导时不必写出具体的复合步骤。只需记住哪些变量是自变量，哪些变量是中间变量，然后由外向内逐层依次求导。

例8

教材例3.15 例9

教材例3.16 例10 求幂函数yx的导数。

例11 教材例3.17（抽象函数求导）例12 求下列函数的导数。

1）yf()；

2）ye1xf(x)。

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四、隐函数的导数及对数求导法

1.隐函数的导数

（1）隐函数的概念

函数yf(x)表示两个变量y与x之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同的方式表达。例如ysinx,ylnx1等，用这种方式表达的函数称为y是x得显函数。而有些函数自变量x与因变量y之间的对应规律是由一个包含x，y的方程F(x,y)0来确定的，例如xy1,y5yx0等，用这种方式表达的函数称为y为x的隐函数。

（2）隐函数的求导方法

1）可以化为显函数的隐函数：先化为显函数，再用前面所学的方法求导。

2）不易或不能化为显函数的隐函数：将方程两边同时对自变量x求导，对与只含x的项，按通常的方法求导，对于含有y以及y的函数的项求导时，则分别作为x的函数和x的复合函数求导。这样求导后，就得到一个含有x，y，y的等式，从等式中解出y，即得隐函数的导数。

（3）隐函数求导举例

例13 （教材例3.18）由方程exye0确定y是x得函数，求y的导数。解

将方程中的y看成x的函数yf(x)，利用复合函数的求导法则，将方程两边同时对x求导得

y2235\'\'eyy\'yxy\'00，

解出y\'yy(xe0)。 yxe

例1

4教材例3.19

2.对数求导法

（1）方法

对于某些类型的函数，可以采用先取对数，变成隐函数，利用隐函数的求导方法：对x求导,解出y的方法求导。即所谓的对数求导法。

82 \'《微积分》（上册）教案

（2）适用范围：

对数求导法对幂指函数y[f(x)]g(x)与多个函数乘积的形式特别方便。它可以使积、商导数的运算化为和、差的导数运算。

例1

5求函数yx(x0)的导数。

例16 教材例3.22

课堂小结

想一想：求导法则、基本初等函数的公式、反函数求导法则、复合函数的求导法则？

通过本节以及上一节学习，到目前为止。我们已经学习了全部初等函数的求导公式和函数的求导法则，以及反函数、复合函数、隐函数的求导法则。从而解决了初等函数的求导问题。这些公式和法则是基础，所以，必须要牢记和熟记。归纳如下：

1.求导法则

（1）[uv]uv

（2）(uv)uvuv \'\'\'\'\'\'u\'u\'vuv\'(v0) （3）(cu)cu（c为常数）

（4） ()vv2\'\'c\'cv\'（5）()2（c为常数）

vv（6）[f\'1(y)]\'\'\'1(f\'(x)0) \'f(x)ux，其中yf(u),u(x) （7）yxyu 83

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2.基本初等函数的导数公式

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§3.3 高阶导数

教学目标与要求

1.高阶导数的定义以及求法； 2.熟记一些常见函数的高阶导数公式。

教学重点与难点

高阶导数的求法

教学过程

一、回顾一阶导数的相关概念

1．导数的定义 2．到函数的概念

二、高阶导数

1.高阶导数的定义

思考：什么是变速直线运动物体的加速度？

前面讲过，若质点的运动方程ss(t)，则物体的运动速度为v(t)s(t)，或v(t)ds，dt而加速度a(t)是速度v(t)对时间t的变化率，即a(t)是速度v(t)对时间t的导数：a(t)dvdtdds由上可见，加速度是s(t)的()或v(t)(s(t))，

dtdt导函数的导数，这样就产生了高阶导数，一般地，先给出下列定义：

定义若函数yf(x)的导函数f(x)在x点可导，就称f(x)在点x的导数为函数

d2yddyyf(x)在点x处的二阶导数，记为y,f(x)或2()，即

dxdxdx\'\'\'\'f\'(xx)f\'(x)yf(x)lim，

x0x\'\'\'\'此时，也称函数yf(x)在点x处二阶可导。

关于高阶导数有以下几点说明：

1）若yf(x)在区间I上的每一点都二次可导，则称f(x)在区间I上二次可导，并称f(x),xI为f(x)在I上的二阶导函数，简称二阶导数；

《微积分》（上册）教案

2）仿上定义，由二阶导数f(x)可定义三阶导数f(x)，即

f\'\'(xx)f\'\'(x)。 yf(x)limx0x\'\'\'\'\'\'由三阶导数f(x)可定义四阶导数f导数f(n)(4)(x)，一般地，可由n1阶导数f(n1)(x)定义n阶(x)；

3）二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数，高阶导数与高阶导函数分别记为：f(n)(x0)， y(n)dny(x0)，ndxxx0dnf或dxnxx0与f(n)(x),y(n)dnydnf(x),n或n；

dxdxd2s

4）开始所述的加速度就是s对t的二阶导数，依上记法，可记或s(t)； 2dt

5）未必任何函数所有高阶都存在；

6）由定义不难知道，对yf(x)，其导数（也称为一阶导数）的导数为二阶导数，二阶导数的导数为三阶导数，三阶导数的导数为四阶导数，一般地，n1阶导数的导数为n阶导数，否则，因此，求高阶导数是一个逐次向上求导的过程，无须其它新方法，只用前面的求导方法就可以了。

2.求高阶导数举例

例

1yaxbxc，求y,y,y解

y2axb例2 教材例3.23

例3 ye，求各阶导数。解

ye，ye，ye，y

即(e)

例

4ysinx，求各阶导数。解 ysinx,x(n)xxx(4)x2(4)。

y2ay0,y(4)0。

ex，显然易见，对任何n，有y(n)ex，

ex。

ycosxsinx(2)

《微积分》（上册）教案

ysinxsinx()sinx(2

ycosxsinx(2)

2)sinx()sinx(3)

22

y(4)sinxsinx(2)sinx(4

„„

一般地，有y(n)sin(xn2)

)，即 (sinx)(n)sinx(n)。

22

同样可求得 (coxs)(n)cosx(n

2)。

例

5yln1(x)，求各阶导数。解

yln1(x)，y1121y，y，，

1x(1x)2(1x)

3 y(4)123，„„ 4(1x)(n)

一般地，有

y(1)n1(n1)! n(1x)(n)

即

(ln(1x))(1)n1(n1)!。

(1x)n例6

yx，为任意常数，求各阶导数。解

yx，yx

y一般地，

y(4)1,y(1)x2，y(1)(2)x3，

(1)(2)(3)x4，

(1)(2)(n1)xn (1)(2)(n1)xn。 (n)即

(x)(n)当k为正整数时，

nk时，(x)

nk时，(x)

nk时，(x)kkk(n)k(k1)(k2)(kn1)xkn；

(k)k!(n!)； 0。 (n) 87

《微积分》（上册）教案

注意：上述例子中，所得的结论是一些常见函数的高阶导数公式，因此。请各位同学牢记，以后直接作为公式应用。为了便于同学们掌握，特归纳如下：

课堂小结

1.二节导数的定义是什么？ 2.常见函数的高阶导数公式。

《微积分》（上册）教案

§3.4 函数的微分

教学目标与要求

1.理解函数微分的定义以及可微与可导的关系； 2.知道微分的几何意义；

3.掌握微分的基本公式和运算法则。

教学重点与难点

1．微分的定义的理解；

2．微分的基本公式和运算法则的运用。

教学过程

一、微分的定义

1.微分的定义

思考：在学习微分之前，请同学们想一想，导数有何实际意义？

根据导数的知识，知道导数表示函数相对于自变量的变化快慢的程度。在实际生活中，还会经常遇到与导数密切相关的一种问题，即在运动或变化过程中，当自变量有一个微小的改变量时，要计算相应的函数改变量。但是，通常，计算函数的改变量是比较困难的，因此，希望能找到函数改变量的一个便于计算的近似表达式，这样就引入了微分学中的另一个重要概念——微分。

那么，微分的定义是什么呢？首先，我们通过一个简单的例子来体会一下微分的思想。引例：一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由x0变到x0x(x0)，如图所示，问此薄片的面积改变了多少？

《微积分》（上册）教案

设正方形的边长为x，面积为S，则有Sx。因此，当薄片受温度变化的影响时面积改变量可以看成是当自变量x由由x0变到x0x(x0)时，函数Sx相应的改变量

22x0x(x)2。 S。即S(x0x)2x022从上式可以看出，S由两部分构成： 1）第一部分2x0x是x的线性函数；

2）第二部分(x)，当x0时，是比x高阶的无穷小。

于是，当x很小时，面积S的增量S可以近似地用其线性主部2x0x来代替。即2S2x0x。

数学上，这样的例子有很多，

思考：是否所有函数的y都可以分成两部分：一部分是x的线性部分，其余部分是x的高阶无穷小？

并不是所有函数的y都具有上述特点，数学上，将具有上述特性的函数的x的线性部分称为函数的微分。因此，微分的定义如下; 定义

设函数yf(x)在某区间内由定义，x及xx在这区间内，如果函数的增量yf(xx)f(x)可以表示为

yAxo(x)，

其中A是不依赖x的常数，而o(x)是x的高阶无穷小量。则称函数yf(x)在点x处可微，并称Ax为函数yf(x)在点x处的微分，记为dy或df(x)，即

dyAx或df(x)Ax。

《微积分》（上册）教案

如果改变量y不能表示为yAxo(x)的形式，则称函数yf(x)在点x处不可微或微分不存在。

根据微分定义，易知：

2．微分与导数的关系

注意：

《微积分》（上册）教案

综上可知，求微分的问题可归结为求导数的问题，因此求导数与求微分的方法称为微分法。

二、微分的几何意义

设函数yf(x)的图形如图所示，过曲线yf(x)上一点M(x,y)处作切线

tanf(x) MT，设MT的倾角为，则

当自变量x有增量x时，切线MT的纵坐标相应地有增量

QPtanxf(x)xdy

因此，微分dy点M(x,f(x)x几何上表示当自变量x有增量x时，曲线yf(x)在对应y)处的切线MT的纵坐标的增量.由dy近似代替y就是用点M处的纵坐标的增量QP近似代替曲线yf(x)的纵坐标的增量QN。由图可知，函数的微分dy与函数的增量y相差的量在图中以PN表示，当x0时，变动的PN是x的高阶无穷小量.因此，在点M的邻近，可以用切线段来近似代替曲线段。简称“以直代曲”。

《微积分》（上册）教案

三、微分的基本公式与运算法则

由微分的定义dyf(x)dx可以看出，要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘以自变量的微分。因此，利用函数求导的基本公式和运算法则，可得出求函数微分的基本公式和运算法则.为使用方便，列出如下.

\'1.微分公式

（1） dC0

（C为任意常数）

（2）d(x（3）d(a)x1dx

（为任意实数）

)xlnadx

（0且1）特殊

d(ex)exdx x（4）d(loga（5）

x)11dx （0且1）特殊

d(lnx)dx xlnaxd(sinx)cosxdx

d(cosx)sinxdx

22d(tanx)secxdx

d(cotx)cscxdx

d(secx)secxtanxdx

d(cscx)cscxcotxdx

（6）d(arcsinx)11x2dx(1x1) dx(1x1) d(arccosx)11x211dx d(arctanx)dx

d(arccotx)1x21x2

2．微分的运算法则

d(uv)dudv

d(Cu)Cdu

（C为任意常数） d(uv)udvvdu

uvduudvd 2vv

（证明略）

《微积分》（上册）教案

3．复合函数的微分法则

设函数yf(u),u(x)分别关于u和x可导，则由复合函数的求导法则可知

\'\'\'yxyuuxf\'(u)\'(x)

于是，根据微分的定义有

\'dyyxdxf\'(u)\'(x)dx

并且du(x)dx。所以，dyf(u)du或dyyudu。

注意：由此可见不管自变量u是自变量还是中间变量，微分的形式dyf(u)du总保持不变，我们称此性质为微分形式的不变性。

\'\'\'\'4．微分的运算举例

例3 教材例3.27

例4 教材例3.28

《微积分》（上册）教案

课堂小结

1.微分的概念； 2.微分的几何意义； 3.微分的基本公式 4.微分的运算法则。

《微积分》（上册）教案

§3.5 导数与微分的简单应用

教学目标与要求

1.掌握导数在经济学中的应用：边际分析与弹性分析 2.了解微分的应用：近似计算与误差分析

教学重点与难点

理解并能运用边际分析与弹性分析

教学过程

一、导数在经济学中的应用

边际与弹性是经济学中的两个重要概念。从实质上讲，它们都是变量的某种增量比的极限。由于增量比值的极限总与导数有关，而许多经济函数又均可视为一个连续、可导的函数，因此可利用导数的概念来研究经济变量的边际和弹性。在经济学中，常把用导数研究经济变量边际和弹性的方法，称为边际分析与弹性分析。下面我们就具体来介绍边际分析与弹性分析.

（一）边际与边际分析

1．函数的变化率与边际函数

在经济学中，常常用到平均变化率与边际这两个概念。设函数yf(x)可导，在数量关系上，

1）平均变化率指的是函数值的改变量与自变量的改变量的比值，如果用函数形式来表示的话，就是yf(x0x)f(x0)，它表示在(x0,x0x)内f(x)的平均变化速度。 xxy\'2）而边际则是自变量的改变量x趋于零时的极限，即f(x)，可以说，导数应用

x\'在经济学上就是边际，f(x)在点xx0的导数f(x0)称为f(x)在点xx0的边际函数值，f\'(x0)表示f(x)在点xx0处的变化速度。

值得注意是：

对于经济函数f(x)，经济变量x在x0有一个改变量x，则经济变量y的值也有一个相应的改变量为

yf(x0x)f(x0)f\'(x0)x

特别是，当x1时，则yf(x0)。这就说明当x在x0改变“一个单位”时，y相应地近似改变f(x0)个单位。在实际应用中，经济学家常常略去“近似”而直接说y改变f(x0)

97 \'\'\'《微积分》（上册）教案

个单位，这就是边际函数值的含义。

2．边际成本

设某产品生产q个单位时的总成本为C = C ( q )，当产量达到q 个单位时，任给产量一个增量q，相应的总成本将增加CC(qq)C(q)，于是再生产q个单位时的平均成本为(总成本在产量从q变到q+q时的平均变化率)：

CCC(qq)C(q) qq如果总成本为C = C ( q )在q可导，那么，

C(q)limC(qq)C(q)

q0q称为产量为q个单位时的边际成本，一般记为： CM(q)C(q)。

边际成本的经济意义是：当产量达到q 个单位时，再增加一个单位的产量，即。 q1时，总成本将增加C(q)个单位（近似值）例1 设一企业生产某产品的日产量为800台，日产量为q个单位时的总成本函数为：

C(q)0.1q22q5000

求（1）产量为600台时的总成本；

（2）产量为600台时的平均总成本；

（3）产量由600台增加到700台时总成本的平均变化率；

（4）产量为600台时的边际成本，并解释其经济意义。

解（1）C(600)0.16002600500042200；

（2）C(600)

（3）

2C(600)211 6003CC(700)C(600)132 q100

（4）CM(600)0.26002122

这说明，当产量达到600台时，再增加一台的产量，总成本大约增加122。 3．边际收益

设某商品销售量为q个单位时的总收入函数为R = R (q)，当销量达到q 个单位时，再给销量一个增量q，其相应的总收入将增加RR(qq)R(q)，于是再多销售q个单位时的平均收益为：

《微积分》（上册）教案

RRR(qq)R(q) qq如果总收入函数R = R (q)在q可导，那么，

R(q)limR(qq)R(q)

q0q称为销售量为q个单位时的边际收入，一般记为：RM(q)R(q)

边际收入的经济意义是：销售量达到q个单位的时候，再增加一个单位的销量，即q1时，相应的总收入增加R(q)个单位。

例3设某种电器的需求价格函数为：q1204p。其中，p为销售价格，q为需求量。求销售量为60件时的边际收益，销售量达到70件时，边际收益如何？并作出相应的经济解释。（单位：元）

1q)

41\'于是，销售量为60件时的总收入为：R(q)30p（元）；

41所以，销售量为60件时的边际收益为：RM(60)R(60)30600。

2解由已知总收入函数为： Rpqq(30这说明，当销售量达到60件时，再增加一件的销量，不增加总收入。

销售量为70件时的边际收益为：RM(70)R(70)301705。

2这说明，当销售量达到70件时，再增加一件的销量，总收入会减少5元。

4．边际利润

设某商品销售量为q个单位时的总利润函数为L = L (q)，当销量达到q 个单位时，再给销量一个增量q，其相应的总利润将增加LL(qq)L(q)，于是再多销售q个单位时的平均利润为：

L如果总利润函数在q可导，那么，

L(qq)L(q)

qL(q)limL(qq)L(q)

q0q称为销售量为q个单位时的边际利润，一般记为：LM(q)L(q)

边际利润的经济意义是：销售量达到q个单位的时候，再增加一个单位的销量，即q1 99

《微积分》（上册）教案

时，相应的总利润增加L(q)个单位。

由于总利润、总收入和总成本有如下关系：

L(q)R(q)C(q)

因此，边际利润又可表示成：L(q)R(q)C(q)

例3 设生产q件某产品的总成本函数为：

C(q)150034q0.3q2

如果该产品销售单价为：p = 280元／件，求

（1）该产品的总利润函数L(q)；

（2）该产品的边际利润函数LM(q)以及销量为q420个单位时的边际利润，并对此结论作出经济意义的解释。（3）销售量为何值时利润最大？

解（1）由已知可得总收入函数：R(q)pq280q，因此总利润函数为：

L(q)R(q)C(q)280q150034q0.3q2

1500246q0.3q

（2）该产品的边际利润函数为：LM(q)L(q)2460.6q；

2LM(420)2460.6420 6

这说明，销售量达到420件时，多销售一件该产品，总利润会减少6元。

（3）令L(q)0，解得q410（件），又L(410) 0.60，所以当销售量q410件时，获利最大。

（二）弹性与弹性分析

1．弹性函数

在引入概念之前，我们先看一个例子：

有甲、乙两种商品，它们的销售单价分别为p1 = 12元，p2 = 1200元，如果甲、乙两种商品的销售单价都上涨10元，从价格的绝对改变量来说，它们是完全一致的。但是，甲商品的上涨是人们不可接受的，而对乙商品来说，人们会显得很平静。

就其原因，就是相对改变量的问题。相比之下，甲商品的上涨幅度为83.33％，而乙商品的涨幅只有0.0083％，乙商品的涨幅人们自然不以为然。

在这一部分，我们将给出函数的相对变化率的概念，并进一步讨论它在经济分析中的应用。

100

《微积分》（上册）教案

定义设f ( x )在x0处可导，那么函数的相对改变量

yf(x0x)f(x0)与自变y0f(x0)yxy量的相对改变量的比值：0称为函数y = f ( x )从x0到x0x之间弧弹性，令

xx0x0yyx0，0xx0的极限称为y = f ( x )在x0的点弹性，一般就称为弹性。并记为

EyExxx0。即EyExxx0limxyx0f(x0)0。

x0xf(x)f(x0)0y = f ( x )在任一点x的弹性记为：

EyExf(x)x，并称其为弹性函数。 f(x)EyyEyx一般来说，，因此函数的弹性反映了自变量相对改变量对相应函数yExxEx值的相对改变量影响的灵敏程度。即

EyExxx0表示当自变量在点xx0处变化1%时，函数f(x)近似地变化EyExxx0%，在实际应用问题中解释弹性的具体意义时，略去“近似”二字。

例

4教材例3.32

2．需求弹性和供给弹性（1）需求弹性

定义

1设某种商品的需求量为Q，销售价格为p，若需求函数为Qf(p)在p0处可导，称QQ0为该商品在p0到p0p两点间的需求弹性，记为

pp0(p0,p0p)_QQ0Qp0

pp0pQ0 101

《微积分》（上册）教案

而极限limQQ0p0Qp0称为该商品在p0处的需求弹性，limf\'(p0)p0ppp0pQf(p0)00QQ0p0。 f\'(p0)p0ppf(p)00\'记为pp0lim一般地，若需求函数Qf(p)可导，任意一点的需求弹性为：f(p)需求弹性函数，记为

p，称其为f(p)f\'(p)p f(p)注意：一般情况下，Qf(p)是减函数，价格高了，需求量反而会降低，为此0。

另外，Qp，其经济解释为：在销售价格为p的基础上，价格上涨1％，相应的需Qp求量将下降％。

例

5教材例3.33

（2）供给弹性

定义

2设某种商品的供给量为Q，供给价格为p，若供给函数为Q(p)在p0处可导，称QQ0为该商品在p0到p0p两点间的供给弹性，记为

pp0(p0,p0p)_QQ0Qp0

pp0pQ0而极限limQQ0p0Qp0lim\'(p0)称为该商品在p0处的供给弹性，p0ppp0pQf(p0)00QQ0p0\'(p0)。

p0ppf(p)00\'记为pp0lim一般地，若供给函数Q(p)可导，任意一点的供给弹性为：(p)供给弹性函数，记为

p，称其为f(p)\'(p)

102

p f(p)《微积分》（上册）教案

注意：一般情况下，供给函数Qf(p)是增函数，价格高了，供给量会增加，为此0。

另外，Qp，其经济解释为：在供给价格为p的基础上，价格上涨1％，相应的供Qp给量将增加％。

（3）用需求弹性分析总收益的变化

在商品经济中，经营者关心的是提价（p0）或降价（p0）对总收益的影响。而根据我们需求弹性的概念，可以分析出价格变动是如何影响销售收益的。具体分析为：根据前面的知识可知：总收益R是商品价格p与销售量Q的乘积，即R=Qp。又因为需求弹性为Q(p)\'pdQp。所以pdQQdp。 QdpQ根据函数的微分知，当价格p变化很小的时候，收益的改变量

R(Qp)d(Qp)QdppdQQdpQdp(1)Qdp

即R(1)Qdp(1)Qp。

由此，我们给出三类商品的经济分析：（1）富有弹性商品

若||1，则称该商品为富有弹性商品。

对于富有弹性商品，适当降价会增加总收入。如果价格下降10％，总收入将相对增加10(||1)％。

富有弹性商品也称为价格的敏感商品，价格的微小变化，会造成需求量较大幅度的变化。（2）单位弹性商品

若1，则称该商品为具有单位弹性的商品。

单位弹性的商品，对价格作微小的调整，并不影响总收入。（3）缺乏弹性商品

若||1，则称该商品为缺乏弹性商品。

对于缺乏弹性商品，适当涨价会增加总收入。如果价格上涨10％，总收入将相对增加10(1||)％。

例6

教材例3.34 例7 设某商品的需求价格函数为：q1.5e并进一步做出相应的经济解释。

 p5，求销售价格p9时的需求价格弹性， 103

《微积分》（上册）教案

解 Eqpp9 0.3e p5p1.5e p5p9 1.8，由于Eqp|p91.81，这是一种富有弹性的商品，价格的变化对需求量有较大的影响，在p9的基础上，价格上涨10％，需求量将下降18％，总收入下降8％，当然价格下降10％，需求量将上升18％，总收入上升8％。通过以上分析，价格p9时应当作出适当降价的决策。

二、微分的应用

设函数yf(x)在点x0处可微。则根据微分的定义有近似公式：

yf(x0x)f(x0)f\'(x0)x

（1）

或

f(x0x)f(x0)f\'(x0)x

（2）

并且，近似公式（1）通常用来计算函数的改变量y的近似值，常用于误差估计；近似公式（2）常用于计算函数yf(x)在点x0附近的近似值f(x0x)。下面我们就分别来介绍两个近似公式的应用。

1．近似计算

在近似计算某点处的近似值时，对近似公式（2）常作如下的变换：令x0=0，xx，得到如下更简单的近似公式：当x很小时，有

f(x)f(0)f\'(0)x

例8 教材例3.35 例9 教材例3.36 例10 教材例3.37 例11 教材例3.38