奥数趣题

2020-03-04 02:07:36 来源：范文大全收藏下载本文

河岸的距离

两艘轮船在同一时刻驶离河的两岸，一艘从A驶往B，另一艘从B开往A，其中一艘开得比另一艘快些，因此它们在距离较近的岸500公里处相遇。到达预定地点后，每艘船要停留15分钟，以便让乘客上下船，然后它们又返航。这两艘渡轮在距另一岸100公里处重新相遇。试问河有多宽？

分析与解答

当两艘渡轮在x点相遇时，它们距A岸500公里，此时它们走过的距离总和等于河的宽度。当它们双方抵达对岸时，走过的总长度等于河宽的两倍。在返航中，它们在z点相遇，这时两船走过的距离之和等于河宽的三倍，所以每一艘渡轮现在所走的距离应该等于它们第一次相遇时所走的距离的三倍。在两船第一次相遇时，有一艘渡轮走了500公里，所以当它到达z点时，已经走了三倍的距离，即1500公里，这个距离比河的宽度多100公里。所以，河的宽度为1400公里。每艘渡轮的上、下客时间对答案毫无影响。

步行时间

某公司的办公大楼在市中心，而公司总裁温斯顿的家在郊区一个小镇的附近。他每次下班以后都是乘同一次市郊火车回小镇。小镇车站离家还有一段距离，他的私人司机总是在同一时刻从家里开出轿车，去小镇车站接总裁回家。由于火车与轿车都十分准时，因此，火车与轿车每次都是在同一时刻到站。

有一次，司机比以往迟了半个小时出发。温斯顿到站后，找不到他的车子，又怕回去晚了遭老婆骂，便急匆匆沿着公路步行往家里走，途中遇到他的轿车正风驰电掣而来，立即招手示意停车，跳上车子后也顾不上骂司机，命其马上掉头往回开。回到家中，果不出所料，他老婆大发雷霆：“又到哪儿鬼混去啦！你比以往足足晚回了22分钟„„”。

温斯顿步行了多长时间？

分析与解答

假如温斯顿一直在车站等候，那么由于司机比以往晚了半小时出发，因此，也将晚半小时到达车站。也就是说，温斯顿将在车站空等半小时，等他的轿车到达后坐车回家，从而他将比以往晚半小时到家。而现在温斯顿只比平常晚22分钟到家，这缩短下来的8分钟是如果总裁在火车站死等的话，司机本来要花在从现在遇到温斯顿总裁的地点到火车站再回到这个地点上的时间。这意味着，如果司机开车从现在遇到总裁的地点赶到火车站，单程所花的时间将为4分钟。因此，如果温斯顿等在火车站，再过4分钟，他的轿车也到了。也就是说，他如果等在火车站，那么他也已经等了30-4=26分钟了。但是惧内的温斯顿总裁毕竟没有等，他心急火燎地赶路，把这26分钟全都花在步行上了。

因此，温斯顿步行了26分钟。

付清欠款

有四个人借钱的数目分别是这样的：阿伊库向贝尔借了10美元；贝尔向查理借了20美元；查理向迪克借了30美元；迪克又向阿伊库借了40美元。碰巧四个人都在场，决定结个账，请问最少只需要动用多少美金就可以将所有欠款一次付清？

分析与解答

贝尔、查理、迪克各自拿出10美元给阿伊库就可解决问题了。这样的话只动用了30美元。最笨的办法就是用100美元来一一付清。

贝尔必须拿出10美元的欠额，查理和迪克也一样；而阿伊库则要收回借出的30美元。再复杂的问题只要有条理地分析就会很简单。养成经常性地归纳整理、摸索实质的好习惯。

一美元纸币

注：美国货币中的硬币有1美分、5美分、10美分、25美分、50美分和1美元这几种面值。

一家小店刚开始营业，店堂中只有三位男顾客和一位女店主。当这三位男士同时站起来付帐的时候，出现了以下的情况：

（1）这四个人每人都至少有一枚硬币，但都不是面值为1美分或1美元的硬币。

（2）这四人中没有一人能够兑开任何一枚硬币。

（3）一个叫卢的男士要付的账单款额最大，一位叫莫的男士要付的帐单款额其次，一个叫内德的男士要付的账单款额最小。

（4）每个男士无论怎样用手中所持的硬币付账，女店主都无法找清零钱。

（5）如果这三位男士相互之间等值调换一下手中的硬币，则每个人都可以付清自己的账单而无需找零。

（6）当这三位男士进行了两次等值调换以后，他们发现手中的硬币与各人自己原先所持的硬币没有一枚面值相同。

（7）随着事情的进一步发展，又出现如下的情况：

（8）在付清了账单而且有两位男士离开以后，留下的男士又买了一些糖果。这位男士本来可以用他手中剩下的硬币付款，可是女店主却无法用她现在所持的硬币找清零钱。于是，这位男士用1美元的纸币付了糖果钱，但是现在女店主不得不把她的全部硬币都找给了他。

现在，请你不要管那天女店主怎么会在找零上屡屡遇到麻烦，这三位男士中谁用1美元的纸币付了糖果钱？

分析与解答

对题意的以下两点这样理解：

（2）中不能换开任何一个硬币，指的是如果任何一个人不能有2个5分，否则他能换1个10分硬币。

（6）中指如果A，B换过，并且A，C换过，这就是两次交换。

那么，至少有一组解：是内德用纸币。

卢开始有10′3+25，账单为50 莫开始有50，账单为25

内德开始有5+25，账单为10 店主开始有10

此时满足1，2，3，4

第一次调换：卢拿10′3换内德的5+25 卢5+25′2内德10′3

第二次调换：卢拿25′2换莫的50 此时：

卢有50+5账单为50付完走人

莫有25′2账单为25付完走人

内德有10′3账单为10付完剩20，要买5分的糖

付账后，店主有50+25+10′2，无法找开10，但硬币和为95，能找开纸币1元。

生日会上的12个小孩

今天是我13岁的生日。在我的生日宴会上，包括我共有12个小孩相聚在一起。每四个小孩同属一个家庭，共来自A，B和C这三个不同的家庭，当然也包括我所在的家庭。有意思的是，这12个小孩的年龄都不相同，最大的13岁，换句话说，在1至13这十三个数字中，除了某个数字外，其余的数字都表示某个孩子的年龄。我把每个家庭的孩子的年龄加起来，得到以下的结果：

家庭A：年龄总数41，包括一个12岁的孩子。

家庭B：年龄总数m，包括一个5岁的孩子。

家庭C：年龄总数21，包括一个4岁的孩子。

只有家庭A中有两个孩子只相差1岁的孩子。

你能回答下面两个问题吗：我属于哪个家庭——A，B，还是C？每个家庭中的孩子各是多大？

分析与解答

因为只有家庭A中有两个孩子只相差1岁，所以我绝对不是C家庭的。（21-4-13=4，4=1+3，4与3相差1，与条件矛盾）

家庭A：年龄总数41，包括一个12岁的孩子，所以平均年龄大于10，又因为有两个孩子只相差1岁，所以家庭A中可能出现11，12或12，13。若包括11，12，则41-11-12=18=10+8，10，11，12皆差1岁，与条件矛盾。若包括12，13，则41-12-13=16=10+6或7+9，符合条件。

若A家庭为6，10，12，13。则C家庭为1，4，7，9。根据排除法，B家庭为2/3，5，8，11。

若A家庭为7，9，12，13，则C家庭为1，4，6，10。根据排除法，B家庭为2/3，5，8，11。

最短时间过桥问题

在漆黑的夜里，四位旅行者来到了一座狭窄而且没有护栏的桥边。如果不借助手电筒的话，大家是无论如何也不敢过桥去的。不幸的是，四个人一共只带了一只手电筒，而桥窄得只够让两个人同时通过。如果各自单独过桥的话，四人所需要的时间分别是1，2，5，8分钟；而如果两人同时过桥，所需要的时间就是走得比较慢的那个人单独行动时所需的时间。问题是，你如何设计一个方案，让用的时间最少。

分析与解答

（1）1分钟的和2分钟的先过桥（此时耗时2分钟）。

（2）1分钟的回来（或是2分钟的回来，最终效果一样，不赘述，此时共耗时3分钟）。

（3） 5分钟的和8分钟的过桥（共耗时2+1+8=11分钟）。

（4）2分钟的回来（共耗时2+1+8+2=13分钟）。

（5）1分钟的和2分钟的过桥（共耗时2+1+8+2+2=15分钟）。

此时全部过桥，共耗时15分钟。

1、小黄和小兰都想买《科学家的故事》这本书，小黄缺1分钱，小兰缺4角2分；用他们两人的钱合买一本，钱还是不够。问这本书的价钱是多少？

2、有一个人喝一杯牛奶，他先喝去半杯后用水加满，又喝去半杯后又用水加满，然后全部喝完。问他一共喝了多少牛奶多少水？

3、五年级有三个班，如果把甲班的一个学生调到乙班，两班人数相等，如果把乙班的一个学生调到丙班，丙班比乙班多两人。问甲班和丙班哪个班的人数多？多几人？

4、红盒子比白盒子大，蓝盒子比黄盒子大，比黑盒子小；黄盒子比白盒子大；黑盒子比红盒子小。请按从大到小的顺序排出这些盒子的顺序。

5、8个小朋友，围成一个圈做传手帕游戏，5号小朋友从1开始数数，数一个数，按箭头（逆时针）方向传一个人，当数到1074时，手帕应在几号小朋友手中？

6、王老师把31枚棋子分别装在五只口袋里，不论小朋友向王老师要几枚棋子（不超过31枚），王老师只要在其中一只或几只袋子里拿，就可以得到小朋友要的棋子数。这五只袋子里装的棋子各是几枚？

7、有人问一位老师：有多少学生听你的课？老师说：我的学生中有一半是研究数学的，四分之一是学音乐的，还有八分之一不知道干什么的，剩下的三位是妇女。就是这些。你知道一共有多少学生吗？

8、一个人带着两只桶去沟边取水，一只桶可盛3千克，另一只桶可盛5千克，现在要取4千克水，应该怎样取？

9、某部队射击训练规定：用步枪射击发给子弹10颗，每击靶心一次奖励2颗；用手枪射击发给子弹15颗，每击中靶心一次奖励子弹3颗。战士甲用步枪射击，乙用手枪，当他们把发的和奖励的子弹都打完时，两人射击的次数相等。甲击中靶心16次，乙击中靶心多少次？

10、用一个杯子盛满水向一个空罐里倒水。如果倒进2杯水，连罐共重0.6千克；如果倒进5杯水，连罐共重0.975千克，这个空罐重多少千克？

1.小机灵几岁

有位叔叔问“小机灵”几岁了，他说：“如果从我三年后年龄的2倍中减去我三年前年龄的2倍，就等于我现在的年龄。”

小朋友想一想，“小机灵”今年几岁了？

2.真假银元

一位商人有9枚银元，其中有一枚是较轻的假银元。你能用天平只称两次（不用法码），将假银元找出来吗？

答案是：

1.他三年后的年龄比三年前大3＋3=6（岁），他三年后的年龄的2倍减去他三年前年龄的2倍，差是6×2＝12（岁），这就等于“小机灵”现在的年龄。所以“小机灵”的年龄是：（3＋3）×2＝ 12（岁）。

2.先把银元分成三组，每组3枚。

第一次先将两组分别放在天平的两个盘里。如天平不平，那么假银元就在轻的那组里，如天平左右相平衡，则假银元就在末称的第三组里。

第二次再称有假银元那一组，称时可任意取2枚分别放在两个盘里，如果天平不平，则假银元就是轻的那一个。如果天平两端平衡，则末称的那一个就是假银元。

法国数学家柳卡·施斗姆生于瑞士，因数学上的成就，于1836年当选为法国科学院院士。他对射影几何与微分几何都作出了重要贡献。

在十九世纪的一次国际数学会议期间，有一天，正当来自世界各国的许多著名数学家晨宴快要结束的时候，法国数学家柳卡向在场的数学家提出困扰他很久、自认“最困难”的题目：“某轮船公司每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽约，并且每天的同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛。轮船在途中所花的时间来去都是七昼夜，而且都是匀速航行在同一条航线上。问今天中午从哈佛开出的轮船，在开往纽约的航行过程中，将会遇到几艘同一公司的轮船从对面开来?”问题提出后，果然一时难住了与会的数学家们。尽管为此问题大家进行过广泛的探讨与激烈的争论，但直到会议结束竟还没有人真正解决这个问题。这个有趣的数学问题，被数学界称为“柳卡趣题”。

其实，“柳卡问题”的解决并不困难，运用小学的数学知识就可以解决它，而且解法还十分新奇有趣。下面，就对这些趣解作一介绍。

一、游戏法

你可以组织班级中的同学和你一起来做个“解题”游戏。你扮成从哈佛开出的那艘轮船，其他同学扮成从纽约开往哈佛的轮船，让他们站在学校操场的一边，而你站在他们的对面。中间用六张小凳均匀分成七等份(相邻两张小凳间的距离约两步长)，用来表示一个昼夜的航程(白天一步，夜晚一步)。在你的口令声中，他们一个接一个地用相同的步幅，较均匀地向你这边走过来。前一个同学刚走到小凳处，后一位同学就开始出发，就犹如每天中午从纽约开出的轮船。当第一位同学走到你这边，你就立刻均匀地向对面走去，并记下迎面碰到的同学数。当你走到对面的时候，结果就出来了，一共遇到了15位同学。这就是说，将会遇到15艘同一公司的轮船从对面开来。不仅如此，如果你注意记录下与每一位同学相遇的地点的话，你会发现每到小凳处就会遇到一位同学，每到两张相邻小凳之间处也会遇到一位同学，加上出发时遇到的那位同学，一算便知在途中遇到15位同学。同学们，你们说这样的“解题”游戏是不是很有趣?

二、图表法

通过对“解题”游戏中相遇地点的记录，我们发现了一昼夜会遇到两艘从迎面开来的轮船。如果我们假设每半天的航程为“1”的话，那么从哈佛到纽约的全程就为1×2×7=14，这样可以列出每隔半天相遇两船的航程，如下表：

从表格中，可以一目了然地知道从哈佛出发的轮船，沿途将会遇到15艘同一公司的轮船从对面开来。

三、算术法

你在做“解题”游戏的过程中，可能已经看到“柳卡问题”也是一类相遇问题。如果设每艘轮船的速度是x海里／昼夜，一艘轮船刚与迎面驶来的轮船相遇时，同下一艘即将相遇的轮船间刚好相差一昼夜的航程(想一想，为什么)，即为x海里。因此，同下一轮船相遇的时间应是x÷(x+x)=0．5(昼夜)，也就是说一艘轮船可以在一昼夜遇到两艘从迎面驶来的轮船。那么，七昼夜一共可以遇到7×2=14(艘)从对面开来的轮船，加上出港时遇到的一艘，一共15艘轮船。同学们，你们说这样的算术解法是不是既简单又有趣呢?

四、图像法

如果我们用两条平行线分别表示哈佛和纽约这两座城市，O点代表从哈佛出发的轮船出发的那一天(假设是十五号)，O点的右侧数代表出发后的日期，O点的左侧数代表出发前的日期。过点。作一条垂轴OS垂直于这两条平行线，设OS与代表纽约的平行线交于A，A点就代表从哈佛出发的轮船出发的那一天(也是十五号)。我们将每艘轮船的出发日期与它到达日期之间用线段相连，这些线段都是长度相同的平行线段，表示它们各自的航行路程图线。最后我们将这艘从哈佛出发的轮船的出发时间与它的到达时间也用线段相连，不难发现这根线段的长度与上面的平行线段是等长的，这与条件“轮船都在同一航线上航行”相吻合。看!奇迹出现了，这条线段与从纽约出发的轮船的路程图线产生了15个交点，这15个交点的位置就是它们相遇的具体地点，因此“柳卡问题”的解应为15艘轮船。

五、转化法

我们先来考虑一个非柳卡问题：“如果该轮船公司要维持“柳卡问题”中提到的哈佛与纽约之间的正常航行。至少需要配备多少艘轮船?”要解决这一问题，可设一艘轮船第一天中午从哈佛出发，经过七天，第八天中午到达纽约，第九天中午从纽约出发，再过七天，第十六天又回到了哈佛，开始准备下一个来回的航行。这十六天中，每天中午需从哈佛发出一艘轮船，所以要想维持正常航行至少需要16艘轮船。

现在我们再来看“柳卡问题”。如果该轮船公司的16艘轮船都在航线上，其中一艘从哈佛出发时，它后面一艘正好回到哈佛，它们之间没有其他的轮船；这艘轮船到达纽约时，它前面一艘船正好从纽约出发，它们之间也没有其他的轮船。这样，在从哈佛到纽约的航程中，该轮船与本公司的其他15艘轮船都要相遇一次。因此，从哈佛出发的轮船沿途将会遇到15艘同一公司的轮船从对面开来。

小猪笨笨和小兔聪聪这天又到小鹿老师那儿去上数学课，小鹿老师给他俩出了一道趣味问题：“3只猫3分钟同时吃完3条鱼，问7只猫同时吃完7条鱼需要几分钟？100只猫同时吃完100条鱼又需要多少分钟？趣题1：能不能把一个正方形剪成6个大大小小的正方形？

趣题2：两支长度相等的蜡烛，第一支能点4小时，第二支能点3小时，同时点燃这两支蜡烛，几小时后第一支的长度是第二支的两倍？

趣题3：某数加上168得到一个正整数的平方,加上100也能得到一个正整数的平方.请问这个数是多少？趣题4：某人步行了5小时，先沿着平路走，然后上了山，最后又沿原路走回原地。假如他在平路上每小时走4千米，上山每小时走3千米，下山每小时走6千米，试求他5小时共走了多少千米？

趣题5：赵小姐的岁数有如下特点：（1）它的3次方是一个四位数，而4次方是一个六位数；（2）这四位数和六位数的各位数字正好是0-9这十个数字。问：赵小姐今年多少岁？

趣题6：在跑马场的跑道上，有A，B，C三匹马，A在一分钟内能跑两圈，B能跑三圈，C能跑四圈。现将三匹马并排在起跑线上，准备向同一个方向起跑。请问：经过几分钟，这三匹马又能并排地跑在起跑线上？

趣题7：有四个数，其中任意三个数相加，所得的和分别是84，88，99， 110，试求这四个数。

趣题8：在同一平面内，1个圆将平面分成2个部分，2个圆将平面最多分成4个部分，．．．，那么10个圆将平面最多分成多少部分? 趣题9：一个人从点M出发步行，前进20米就向右转15度，再前进20米，又向右转15度，......，照这样走下去，他能不能回到M点？如果能，他回到M点时，一共走了多少米？

趣题10：两枚不同的硬币相切，其中另一圆绕另一圆滚动，又回到起点时，该圆共自转几圈？趣题11：能不能把一个正方形剪成6个大大小小的正方形？

趣题12：两支长度相等的蜡烛，第一支能点4小时，第二支能点3小时，同时点燃这两支蜡烛，几小时后第一支的长度是第二支的两倍？

趣题13：某数加上168得到一个正整数的平方,加上100也能得到一个正整数的平方.请问这个数是多少? 趣题14：某人步行了5小时，先沿着平路走，然后上了山，最后又沿原路走回原地。假如他在平路上每小时走4千米，上山每小时走3千米，下山每小时走6千米，试求他5小时共走了多少千米？

趣题15：赵小姐的岁数有如下特点：（1）它的3次方是一个四位数，而4次方是一个六位数；（2）这四位数和六位数的各位数字正好是0-9这十个数字。问：赵小姐今年多少岁？

趣题16：在跑马场的跑道上，有A，B，C三匹马，A在一分钟内能跑两圈，B能跑三圈，C能跑四圈。现将三匹马并排在起跑线上，准备向同一个方向起跑。请问：经过几分钟，这三匹马又能并排地跑在起跑线上？趣题17：有四个数，其中任意三个数相加，所得的和分别是84，88，99， 110，试求这四个数。

趣题18：在同一平面内，1个圆将平面分成2个部分，2个圆将平面最多分成4个部分，．．．，那么10个圆将平面最多分成多少部分? 趣题19：一个人从点M出发步行，前进20米就向右转15度，再前进20米，又向右转15度，......，照这样走下去，他能不能回到M点？如果能，他回到M点时，一共走了多少米？

趣题20：两枚不同的硬币相切，其中另一圆绕另一圆滚动，又回到起点时，该圆共自转几圈？答案：

趣题1：剪成9个是容易的，把其中的四个视为一个时,剩下的一个就是5个了，故能剪成6个。趣题2：2．4小时趣题3：此数为156。

趣题4：此人在5小时中共走了20千米。趣题5：赵小姐今年十八岁。

趣题6：一分钟后，这时A跑完两圈，B跑完三圈，C跑完四圈，三匹马正好再一次在起跑线上处于平排状态。趣题7：这四个数依次是：43，39，28，17。趣题8：共92个。

趣题9：此人一共走了480米。趣题10：2圈。

趣题11：剪成9个是容易的，把其中的四个视为一个时,剩下的一个就是5个了，故能剪成6个。

趣题12：2．4小时

趣题13：此数为156。

趣题14：此人在5小时中共走了20千米。趣题15：赵小姐今年十八岁。

趣题16：一分钟后，这时A跑完两圈，B跑完三圈，C跑完四圈，三匹马正好再一次在起跑线上处于平排状态。

趣题17：这四个数依次是：43，39，28，17。趣题18：共92个。

趣题19：此人一共走了480米。

趣题20：2圈

“数字趣题”答案

“C”代表5；“O”代表2；“R”代表3；“N”代表0；“I”代表9。算式是5230+5230+5230+5230=20920。排列组合在打擂比赛中的运用？谢谢提供公式及思维方法？双方都五个人，共有多少种可能打法？ A队：A1，A2，A3，A4，A5； B队：B1，B2，B3，B4，B5。

一队出一人，胜者继续，败者下，直到分出胜负？

C(10,5)=252

可以先考虑双方的登场顺序是固定的，败北序列对应着对阵情况，当A5或B5出现时，不再继续排。由于对称，我们可以只求A队败北(再乘2)

A1~A5自然序，每个人之前看作有个空盒子，0~4个"相同小球"(B队前4名队员)放入这些盒子，盒子允许空，求分配数

这个算是标准问题了，补充5个相同球用隔板法 C44+C54+C64+C74+C84=C95=126 126*2=252

如果顺序事先没定好，类似的思路

2*A5*(C44+C54A51+C64A52+C74A53+C84A54)=2598240 登场顺序不固定

某队5人，与另一队0~4人任意排，其中队尾的人是前一队的 2*5*(A4+A5C51+A6C52+A7C53+A8C54)=2598240

打擂问题,登场顺序一般是固定的.(下设顺序固定) 无非两种情形,A胜或B胜.下只考虑A胜:分A出场人数为1,2,3,4,5.当A出场人数为1时,打败对手5人,故胜5场,负0场,共1种出场方法; 当A出场人数为2时,打败对手5人,故胜5场,负1场,共6场比赛,且最后一场胜,共C(5,1)种出场方法; 当A出场人数为3时,打败对手5人,故胜5场,负2场,共7场比赛,且最后一场胜,共C(6,2)种出场方法; 下面同理

故共有2[1+C(5,1)+C(6,2)+C(7,3)+C(8,4)]=252

1.有48个学生参加三项体育比赛，但参加的每项活动的人数不一样，而人数都有一个数字“6”，参加三项体育比赛的各有几人？

2.龙龙和亮亮去公园玩，想买门票，但钱都不够，龙龙缺4元8角，亮亮缺1分，两人钱合起来仍不够，公园门票多少钱？

3.三个人同时吃3个西红柿，用3分钟吃完，六个人同时吃6个西红柿要几分钟？

4.有10张卡片，正面朝上，每次翻动6张卡片，经过若干次翻动，卡片能否都反面朝上？

5.小张买了24瓶汽水，每4个空瓶可以换1瓶汽水，小张共能喝到几瓶汽水？

年龄问题

1.四个人年龄之和是77岁，年龄最小的10岁，年龄最大与最小的人年龄之和比另外两个人的年龄之和大7岁，问年龄最大的人多少岁？

2.爸爸在过50岁生日时，弟弟说：“等我长到哥哥现在的年龄时，我和哥哥的年龄之和等于那时爸爸的年龄”，那么哥哥今年多少岁？

3.甲、乙、丙平均年龄42岁，如果甲的年龄增加7岁，乙的年龄增加一倍，丙的年龄缩小一半，则三人岁数相等，问甲多少岁？

4.在一个家庭里，现在所有成员的年龄加在一起是73岁.家庭成员中有父亲、母亲、一个女儿和一个儿子.父亲比母亲大3岁，女儿比儿子大2岁.四年前家庭里所有的人的年龄总和是58岁.现在家里的每个成员各是多少岁？

5.10年前吴昊的年龄是他儿子年龄的7倍.15年后，吴昊的年龄是他儿子的2倍.现在父子俩人的年龄各是多少岁？ 1.过桥

今有a b c d 四人在晚上都要从桥的左边到右边。此桥一次最多只能走两人，而且只有一支手电筒，过桥是一定要用手电筒。四人过桥最快所需时间如下为：a 2 分；b 3 分；c 8 分；d 10分。走的快的人要等走的慢的人，请问如何的走法才能在 21 分让所有的人都过桥?

2.巧插数字

125 × 4 × 3 = 2000, 这个式子显然不等，可是如果算式中巧妙地插入两个数字“7”，这个等式便可以成立，你知道这两个7应该插在哪吗？

3.温馨四季

春夏 × 秋冬 = 春夏秋冬春冬 × 秋夏 = 春夏秋冬

式中春、夏、秋、冬各代表四个不同的数字，你能指出它们各代表什么数字吗？ 4.破车下山

一个破车要走两英哩的路，上山及下山各一英哩，上山时平均速度每小时15英哩问当它下山走第二个英哩的路时要多快才能达到平均速度为每小时30英哩？是45英哩吗？你可要考虑清楚了呦！

5.共卖多少鸡蛋

王老太上集市上去卖鸡蛋，第一个人买走蓝子里鸡蛋的一半又一个，第二个人买走剩下鸡蛋的一半又一个，这时蓝子里还剩一个鸡蛋，请问王老太共卖出多少个鸡蛋？

6.有多少人参加考试

试卷上有6道选择题，每题有3个选项，结果阅卷老师发现，在所有卷子中任选3张答卷，都有一道题的选择互不相同，请问最多有多少人参加了这次考试？

古埃及其创造的文明已经跨过了大约三千年历史。金字塔，这座当今世界上最古老的建筑，站立了五千年并且还将再站立千年。早期的埃及的统治者法老们是非常有权势的，金字塔就是为了保存他们的尸体而修造的坟墓。

关于为什么要选择金字塔这种形状作为墓地存在着许多理论（周刊1974）。在诸多理论中，实用主义理论认为金字塔是建造大型建筑的最容易的方法。另一种理论认为金字塔的倾斜代表太阳的光：逝去的统治者们能够顺着斜坡爬上天堂。这些伟大的建筑群对古埃及人的数学技能是一种无声的遗证，在当时他们没有金属卷尺测量器具，只能使用亚麻或棕榈纤维制成的测量绳。

古埃及人的计算体系是把数值累加在一起的加法。他们使用图画符号，例如绳子，花朵和手指。这些符号毫无关联地排列，绳子和花朵可以在两边变化。当符号牵涉多重用途时，符号被三个一组地排列。

材料

一个能够分割成两个相对称的图案或格子（可以画在黑板上。）

游戏人数：2 这个游戏比赛也可以两个小组进行，这样尽可能让全班同学参与。目的

埃及比赛的目的是为学生们在一条线上既提供了埃及计算体系，又提供关于左右对称的反射的练习。

游戏方法

一个或一组学生使用阿拉伯或罗马数字，另一个或一组学生使用埃及数字。第一组选择图案的一边并在图案某处的格子里写上一个阿拉伯数字。第二组必须用等值的埃及数字在图案的一边对应的格

子里做出回应。如果随便哪一方出现不相称的情景，第一组赢。如果第二组直到图案填满仍然无错，第二组赢。

游戏之后

埃及比赛游戏结束之后，让学生完成重大的日子和金字塔活动

2. 一个最普通的火柴游戏就是两人一起玩，先置若干支火柴於桌上，两人轮流取，每次所取的数目可先作一些限制，规定取走最後一根火柴者获胜。

规则一：若限制每次所取的火柴数目最少一根，最多三根，则如何玩才可致胜？

例如：桌面上有n=15根火柴，甲﹑乙两人轮流取，甲先取，则甲应如何取才能致胜？

为了要取得最後一根，甲必须最後留下零根火柴给乙，故在最後一步之前的轮取中，甲不能留下1根或2根或3根，否则乙就可以全部取走而获胜。如果留下4根，则乙不能全取，则不管乙取几根（1或2或3），甲必能取得所有剩下的火柴而赢了游戏。同理，若桌上留有8根火柴让乙去取，则无论乙如何取，甲都可使这一次轮取後留下4根火柴，最後也一定是甲获胜。由上之分析可知，甲只要使得桌面上的火柴数为4﹑8﹑12﹑16...等让乙去取，则甲必稳操胜券。因此若原先桌面上的火柴数为15，则甲应取3根。（∵15-3=12）若原先桌面上的火柴数为18呢？则甲应先取2根（∵18-2=16）。

规则二：限制每次所取的火柴数目为1至4根，则又如何致胜？

原则：若甲先取，则甲每次取时，须留5的倍数的火柴给乙去取。

通则：有n支火柴，每次可取1至k支，则甲每次取後所留的火柴数目必须为k+1之倍数。

规则三：限制每次所取的火柴数目不是连续的数，而是一些不连续的数，如1﹑3﹑7，则又该如何玩法？

分析：1﹑3﹑7均为奇数，由於目标为0，而0为偶数，所以先取者甲，须使桌上的火柴数为偶数，因为乙在偶数的火柴数中，不可能再取去1﹑3﹑7根火柴後获得0，但假使如此也不能保证甲必赢，因为甲对於火柴数的奇或偶，也是无法依照己意来控制的。因为〔偶-奇=奇，奇-奇=偶〕，所以每次取後，桌上的火柴数奇偶相反。若开始时是奇数，如17，甲先取，则不论甲取多少（1或3或7），剩下的便是偶数，乙随後又把偶数变成奇数，甲又把奇数回覆到偶数，最後甲是注定为赢家；反之，若开始时为偶数，则甲注定会输。

通则：开局是奇数，先取者必胜；反之，若开局为偶数，则先取者会输。

规则四：限制每次所取的火柴数是1或4（一个奇数，一个偶数）。

分析：如前规则二，若甲先取，则甲每次取时留5的倍数的火柴给乙去取，则甲必胜。此外，若甲留给乙取的火柴数为5之倍数加2时，甲也可赢得游戏，因为玩的时候可以控制每轮所取的火柴数为5（若乙取1，甲则取4；若乙取4，则甲取1），最後剩下2根，那时乙只能取1，甲便可取得最後一根而获胜。

通则：若甲先取，则甲每次取时所留火柴数为5之倍数或5的倍数加2。

3.北宋的一个夜晚，一家小酒店的老板正和伙计一起堆酒坛。因为近来生意特别好，酒坛自然也就多。老板一边在心里乐，一边盘算着如何发更大的财。他要把酒坛堆得整整齐齐，美观大方，吸引更多的顾客光临酒店。

酒坛堆得非常漂亮，一层一层整整齐齐。酒店门口的招幌迎风飘扬，使人不得不驻足逗留，忍不住想进店喝几盅。酒店老板得意扬扬之际，想数数酒坛一共有多少只。可是，数坛子也并不轻松，老板从前面绕到后面，又从后面绕到前面，刚刚擦干的汗水又冒出来了，伙计们都笑了

第二天。这堆酒坛果然吸引了不少顾客，老板望着酒坛，乐不可支。这时，一位衣冠楚楚的青年书生走了过来，面对酒坛，若有所思。老板心想：我昨天为了数清这堆酒坛，花了很大的功夫，这位青年相貌不凡，我倒要考考他看。

"年轻人，你知道这堆酒坛一共有多少个吗?"老板半开玩笑地问道。

"这很容易，只要你告诉我这堆酒坛最上面的那层一共几排，每排多少个，一共有几层。根本不用数，我马上就知道这堆酒坛的数目。"年轻人这么说话，显然有十足的把握。

"噢!"老板心想：这位年轻人真会说大话，不妨把他提的条件告诉他，看看他的能耐到底有多大。于是老板爽快地说：

"最上面那层酒坛是四排，每排8个，第二层是五排，每排9个„„" "好了，一共七层，"年轻人打断了老板的话，不加思索地报出了答案，"一共567个酒坛。对吗?" 老板一下子惊得连张开的嘴巴也忘记合拢了。这么快!老板马上把年轻人请进酒店，上茶，敬酒，招待得万分周到。老板真是打心眼佩服这位青年，又是请教姓名，又是讨教数坛的方法。

这位青年就叫沈括。优越的家庭生活条件使他有机会读书，加上他好奇心强，肯钻研，于是他就成了很有才学的人。沈括回答老板说："我数这坛子的方法其实非常简单，因为最中间那层共77个，共七层，只要再乘7，最后加上常数28就行了。" 沈括从小对筹算很感兴趣，读了许多数学名著。后来自己写成了一本数学专著《隙积术》，专门研究高阶等差级数的求和问题。沈括数坛的方法就是利用了高阶等差级数求和的方法，要比单纯地数方便多了。数学上还可能碰到数字更大，项数更多的题目，用这种方法便可一下子迎刃而解。

这天，哥儿俩登上了开往新疆乌鲁木齐的火车．在火车上，聪聪缠着智慧哥哥讲故事．智慧哥哥讲了一个“商人与赶驼人”的故事．

从前，有一位波斯商人，长年在外经商．他从阿拉伯把宝石、香料运到中国来卖，又从中国买了丝绸、瓷器运回波斯．后来，商人的年纪大了，想找一个管家，替他在外面做买卖．于是他决定最后一次到东方来．这次他带着自己的儿子，还雇了一个年轻人赶骆驼．一路上晓行夜宿，经历了艰苦的长途跋涉，终于到达了长安．赶驼人想要了工钱再去找别的活儿干，商人对他说：“你和我儿子先替我算两笔账，再走吧．”

第一笔账：一块红宝石卖1587个金币，一块蓝宝石卖3997个金币，一块翡翠卖1002个金币，一块黄玉卖2800个金币，这四块宝石共值多少钱？

商人的话音刚落，赶驼人便很快接下来答道：“四块宝石共值金币9386个．”

聪聪听到这里，递给智慧哥哥一张纸，上面写着他列的算式：

1587＋3997＋1002＋2800

＝1587＋(4000－3)＋(1000＋2)＋(3000－200)

＝(1587＋4000＋1000＋3000)＋(－3＋2－200)

＝9587－20

1＝9386．

智慧哥哥说：“赶驼人正是这样算的．把1587看成被加数，心算过程是在被加数的千位加8，百位减2，个位减1，就得到了运算结果．这种方法在速算中称为‘加减余补法’．”

智慧哥哥接着往下讲：

第二笔账：在12个小盒子里装有珍珠：第一个盒内有61粒，第二个盒内有58粒，以后依次为

59、

53、6

4、70、6

2、

57、

58、

57、

55、56粒．问这12个盒内共有多少粒珍珠？

又是赶驼人先算出结果：12个盒内共有珍珠710粒．不一会儿，聪聪的算式也出来了：

61＋58＋59＋53＋64＋70＋62＋57＋58＋57＋55＋56

＝(60＋l)＋(60－2)＋(60－1)＋(60－7)＋(60＋4)＋(60＋10)＋(60＋2)＋(60－3)＋(60－2)＋(60－3)＋(60－5)＋(60－4)

＝720＋1－2－1－7＋4＋10＋2－3－2－3－5－

4＝720－10

＝710．

智慧哥哥说：“这种速算方法叫‘基本数求和法’．在这道题里，60是基本数．算题时，我们只要记住每个加数与基本数的差，当加数大于基本数时差为正，当加数小于基本数时差为负，利用基本数的总额与差的总额，便可算出结果．”

聪聪想了想，写出了一个公式，并命名为基本数求和法计算公式：

总和＝基本数×项数＋累计差．

智慧哥哥看了鼓励他说：“很好，我们在学习中就是应该这样，从个别事物中去发现规律性的东西．”

“后来怎么样了？”聪聪急于知道故事的结局．

“商人很高兴，加倍付给了赶驼人工钱，并问他：‘你还愿意继续在我这儿干活吗？’年轻人同意留下．从此，年轻人成了商人的管家，替商人外出经商，赚了很多钱．”

一、多少敌兵多少狗？

一队敌兵一群狗，人头狗头七十六，二百条腿齐步走，多少敌兵多少狗？答：敌兵有52人，狗有24只。二、兄弟三分牛

相传古印度有一老人，临死前把三个儿子叫到跟前，嘱咐说："我不行了，快要见真主去了，没有别的东西留给你们，只有19头牛，你们分了吧。老大分总数的二分之一，老二分总数的四分之一，老三分总数的五分之一。"说完不久他就咽了气，到"真主"哪儿报到去了。遵照父亲的遗嘱，怎样分才好呢？

答：老大分10头牛，老二5头牛，老三4头牛。

三、猫和狗谁先到达终点？

狗和猫赛跑。规定同时同地出发各跑完100尺后，再返回原出发地，狗蹦一次为3尺，猫跳一次为2尺；狗蹦二次，猫就可跳三次；请问聪明的同学们，猫和狗准先到达终点？

答：猫先到达终点。

印度宰相发明了一种妙趣无穷的国际象棋，国王舍罕决定重赏他．国王把宰相召进宫里，对他说：“你发明了这种绝妙的游戏，我要重重地奖赏你，你要什么，凡是你想得到的，我都可以满足你的要求！”

宰相想了想，微笑着对国王说道：“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我1粒麦子，在第二个小格内2粒，第三个小格内4粒，第四个小格内8粒，照这样下去，每一小格是前一小格的2倍，请把摆满棋盘64个小格的所有麦子都赏给您的仆人吧！”

国王吩咐侍从抬来一袋麦子，开始按达依尔宰相的要求往棋盘上放麦子，一格一格地放下去，每一格都是前一格数量的2倍，照这样，越到后面麦子的数量越大，当侍从把所需麦粒仔细算完以后，国王竟被这个数目吓呆了，因为他没有

23463 1＋2＋2＋2＋2＋„＋2＝18 446 744 073 709 551 615粒麦粒

如果按宰相的要求，国王必须有一个高4米、宽10米的粮仓装麦子，这个粮仓有3000万公里长，能绕地球赤道700圈，可以把地球全部表面（包括海洋）铺上2米厚的小麦层，这是一个多么巨大的数字啊！它相当于全世界两千多年小麦产量的总和．

这么多麦子，国王怎么能拿得出来呢？所以国王无法兑现奖赏．海滩上有一堆桃子，是两只猴子的共有财产。

猴子性急，有时也很正直。

第一只猴子来到海滩后想要取走自己的一份，于是便把桃子均分为两堆，发现还多一个，便把多余的一个扔进大海，取走自己应得的一份。

第二只猴子来到海滩后也想取走自己的一份。猴子总归是猴子，它无法知道伙伴已取走一份。于是第二只猴子又把桃子均分为两堆，发现还多一个，便把多余的一个扔进大海，取走自己应得的一份。

如果原有的桃子数不小于100，那么第一只猴子至少可以取走几个桃子呢？

用算术去解也许不容易，用“列出代数式”的方法去试试看：

如果第二只猴子取走的桃子数用A表示，那么，取走前它所面临的桃子数应为2A+1；（想一想，为什么？）

第一只猴子留下的桃子数既然为（2A+l），那么，它取走的桃子数也应为2A+1；

第一只猴子取走前，它所面临的桃子数应为（2A+1）+（2A+1）+1，即4A+3。

这说明，海滩上原有桃子数为4A+3，但这堆桃子不少于100个，所以A不小于25。因此第一只猴子至少可以取走51（=2×25+1）个桃子。

回顾整个解题过程，我们总是一步步地“先把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来”，也就是说，“列出代数式”对解题起到了重要作用。

思考：如果这堆桃子是3只猴子的共有财产，问题又该如何解决呢？如果是4只、5只猴子的共有财产呢？ 4. 问题：如果3只猫在3分钟内捉住了3只老鼠，那么多少只猫将在100分钟内捉住100只老鼠?

这是一个古老的趣题，常见的答案是这样的：如果3只猫用3分钟捉住了3只老鼠，那么它们必须用1分钟捉住1只老鼠。于是，如果捉1只老鼠要花去它们1分钟时间，那么同样的3只猫在l00分钟内将会捉住100只老鼠。

遗憾的是，问题并不那么简单。刚才的解答实际上利用了某个假定，它无疑是题目中所没有谈到的。这个假定认为这3只猫把注意力全部集中于同一只老鼠身上，它们通过合作在1分钟内把它捉住，然后再联合把注意力转向另—只老鼠。

但是，假设3只猫换一个做法，每只猫各追捕1只老鼠，各花3分钟把它们捉住。按照这种设想，3只猫还是用3分钟捉住3只老鼠。于是，它们要花6分钟去捉住6只老鼠，花9分钟捉住9只老鼠，花99分钟捉住99只老鼠。现在我们面临着一个计算上的困难，同样的3只猫究竟要花多长时间才能捉住第100只老鼠呢?如果它们还是要足足花上3分钟去捉住这只老鼠，那么这3只猫得花l02分钟捉住102只老鼠。要在100分钟内捉住100只老鼠──这是题目关于猫捉老鼠的效率指标，我们肯定需要多于3只而少于4只的猫，因此答案只能是需要4只猫，虽然这有点浪费。

显然，对于3只猫是怎样准确地计算猫捉老鼠这种行动的时间，这个趣题没做任何交代。因此，如果允许答案不唯一，那么，答案可以是丰富多彩的，3只、4只、甚至更多。如果要求答案唯一的话，这个问题的唯一正确答

案是：这是一个意义不明确的问题，由于没有更多关于猫是怎样捕捉老鼠的信息，因此无法回答这个问题。

这个简单的趣题启示我们，在解答一个数学问题（也包括其他问题）前，一定要仔细领会题目所给出的全部信息，既不要曲解题义，也不要人为添加条件以迎合所谓的标准答案。当然这个趣题也给了我们一个有益的人生启示──只有合作才能产生最佳的工作效益。 5.A1。兄弟赛跑

兄弟俩进行100米短跑比赛。结果，哥哥以3米之差取胜。也就是说，哥哥到达终点时，弟弟才跑了97米。兄弟俩决定再赛一次。这一次哥哥从起点线后退3米开始起跑。假设第二次比赛两人的速度仍保持不变，谁蠃了第二次比赛?

A2。蛀虫蛀书

书架上摆着三本书，从左到右分别是I、II、III卷。有一只蛀虫在里面啃书。每本书内页厚2英寸，封面（包括封底）是1英寸厚。如果蛀虫从第I卷封面开始蛀，直到蛀穿第III卷封底，蛀虫共蛀了多长

A3。两车相遇

甲车和乙车分别从甲地和乙地相向开出，已知乙车的速度为1400米/分钟。如果两车同时开出，则两车在途中一加油站相遇。如果甲车先开1分钟后，乙车才开出，两车在距离加油站600米的地方相遇。问：如果乙车先开出1分钟，则相遇点距离加油站多少米？

A4。几人及格

有100人参加考试，共5道题。第

1、

2、