直线方程教案模板doc

推荐第1篇：直线方程教案

Ⅰ.课题导入

［师］同学们，我们前面几节课，我们学习了直线方程的各种形式，以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之这条直线上的点的坐标都是这个方程的解。这是这个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫做这个方程的直线。现在大家回忆一下，我们都学习了直线方程的哪些特殊的形式。我们学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式等形式，对直线方程的表示形式有了一定的认识.现在，我们来回顾一下它们的基本形式.点斜式的基本形式：y－y1＝k（x－x1）适用于斜率存在的直线.斜截式的基本形式：y＝kx＋b适用于斜率存在的直线；

两点式的基本形式：直线；

截距式的基本形式：

yy1xx1（x1≠x2，y1≠y2）适用于斜率存在且不为0的y2y1x2x1xy＝1（a，b≠0）适用于横纵截距都存在且不为0的直线.ab在使用这些方程时要注意它们时要注意它们的限制条件。

那么大家观察一下这些方程，都是x,y的几次方程啊？［生］都是关于x，y的二元一次方程.那么我们原来在代数中学过二元一次方程它的一般形式是什么呀？（板书）Ax＋By＋C＝0 我们现在来看一次这几种学过的特殊形式，它们经过一些变形，比如说去分母、移项、合并，这样一些变形步骤。能不能最后都化成这个统一的形式呢？比如说y＝kx＋b，xayb＝1，这些我们最终都可以吧它们变成这种形式。剩下的两种形式的变形留给同学们课下自己去完成。那么在学习这些直线的特殊形式的时候，应该说各有其特点，但是也有些不足。在使用的过程中有些局限性。比如说点斜式和斜截式它们的斜率都必须存在，两点式适用于适用于斜率存在且不为0的直线，截距式适用于横纵截距都存在且不为0的直线.那么我们现在想一想有没有另外一种形式，可以综合他们各自的一些特点，也就是这些方程最后化成一个统一的形式。能不能代表平面直角坐标系中的直线。要解决这些问题呢，要分两个方面进行讨论。

1.直线和二元一次方程的关系

（1）在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程.一个方面：是不是平面上的任意直线，表示它的方程都可以写成Ax＋By＋C＝0的形式，刚才大家做了一些练习，当然这只是特殊形式，是不是所有的直线都可以写成这种形式呢？直线按斜率来分类可以分几类？斜率存在和斜率不存在。这两类是不是都可以转化成一元二次方程的形式。当倾斜角不等于90°是斜率存在，直线方程可以写成y＝kx＋b的形式。可以转化成kx-y＋b=0和Ax＋By＋C＝0比较发现什么？A=k B=-1 C=b 。当倾斜角等于90°斜率不存在，直线方程可以写成x=x0的形式。可以转化成x-x0=0和Ax＋By＋C＝0比较发现什么？A=1 B=0 C=-x0 好，我们就把它分为这两种情况，当斜率存在的时候我们一般把它设成一个简单的斜截式，斜截式经过变形就可以化成一般的形式。而对于斜率不存在的时候，它的方程形式就是x=x0直线方程也可以转化成这样的一个形式。那么由此可以下这样一个结论：平面上的任意的一条直线，表示它的方程最后都可以转化成二元一次方程的形式。刚才我们从这个角度考虑，就是直线都可以转化成二元一次方程，现在我们反过来看，是不是任意的一个二元一次方程最终在直角坐标系下都能够表示直线。

（2）在平面直角坐标系中，任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.因为x，y的二元一次方程的一般形式是Ax＋By＋C＝0，其中A、B不同时为0，在B≠0和B＝0的两种情况下，二元一次方程可分别化成直线的斜截式方程y＝－示与y轴平行或重合的直线方程x＝－

ACx和表BBC.A也就是说Ax＋By＋C＝0 （A，B不同时为零）大家想想如果AB都等于零这个直线方程就没了。现在我们考虑一下，这个方程能不能经过一些适当的变形，变成我们熟悉的形式，而确定它就是一个在平面直角坐标系中就是一条直线呢？By＝-Ax-C 斜截式方程，斜率是 是y轴上的截距。二元一次方程通过变形在直角坐标系下都表示一条直线。那么我们从两个方面在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程.在平面直角坐标系中，二元一次方程都表示一条直线.根据上述结论，我们可以得到直线方程的一般式.我们就把代数中的二元一次方程定义为直线的一般式方程。

定义：我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0（其中A,B不同时为0）叫做直线的一般式方程。 我们在学习前面直线的几种特殊形式的方程，一眼就可以看出这条直线的某些特点，比如说点斜式就可以看出它的斜率还有过一个定点，还有两点式可以看出它过两个定点。那么我们怎么通过直线的一般式方程观察直线的一些特点呢？比如说A=0表示什么样一条直线？y=-平行于x轴的直线，也有可能与x轴重合。如果要平行于y轴这个系数要满足什么样的条件？如果旦旦是c等于零，通过原点的直线。假如AB都不等于零它的斜率我们怎么看出来？这些直线的特点我们要能掌握住。我们对直线的一般式方程有了一定的了解。直线的一般式方程和和那几种特殊的形式之间有一个互相的转化，那么我们来看一个例子，通过一些转化来解决实际问题。

［例1］已知直线经过点A(6，－４），斜率为－

4，求直线的点斜式和一般式方程.3分析：本题中的直线方程的点斜式可直接代入点斜式得到，主要让学生体会由点斜式向一般式的转化，把握直线方程一般式的特点.解：经过点A(6，－４)，并且斜率等于－

4的直线方程的点斜式是： 3y＋４＝－4（x－6） 3化成一般式得：４x＋3y－12＝0 同学们在以后解题时，可能求直线方程的时候，求出不一定是一般式，可能是点斜式、两点式等等，如题目没有特殊要求我们都要把各种形式化成一般式。对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x，y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项，含y项、常数项顺序排列.

推荐第2篇：11.1直线方程教案

11．1 （２）直线方程（点法向式）

一、教学目标

在理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程的基础上，进一步探究点法向式方程；学会分类讨论、数形结合等数学思想，形成探究能力。

二、教学重点及难点

本节的重点是直线的点法向式方程的推导及应用。在上一堂课的基础上，通过向量垂直的充要条件（对应坐标的关系式）推导出直线的点法向式方程。

本节的难点是通过对直线与二元一次方程关系的分析，初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想！从而培养学生用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）的研究能力。

三、教学过程 复习上一堂课的教学内容 讲授新课

（一）点法向式方程

1、概念引入

从上一堂课的教学中，我们知道，在平面上过一已知点P，且与某一方向平行的直线l是惟一确定的．同样在平面上过一已知点P，且与某一方向垂直的直线l也是惟一确定的。

2、概念形成 直线的点法向式方程

在平面上过一已知点P，且与某一方向垂直的直线l是惟一确定的。建立直角坐标平面，设P的坐标是(x0,y0)，方向用非零向量n(a,b)表示。那么如何根据条件求出直线l的方程呢？ 直线的点法向式方程的推导

设直线l上任意一点Q的坐标为(x,y)，由直线垂直于非零向量n，故PQn.根据PQn的充要条件知PQn0，即：a(xx0)b(yy0)0⑤；反之，若(x1,y1)为方程⑤的任意一解，即a(x1x0)b(y1y0)0，记(x1,y1)为坐标的点为Q1，可知PQ1n，即Q1在直线l上。综上，根据直线方程的定义知，方程⑤是直线l的方程，直线l是方程①的直线。

我们把方程a(xx0)b(yy0)0叫做直线l的点法向式方程，非零向量n叫做直线l的法向量。

3、例题解析

- 1

推荐第3篇：11.1直线方程教案

11．1（1） 直线方程（点方向式）

一、教学目标

理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程；加强分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养；体验探究新事物的过程，树立学好数学的信心。

二、教学重点及难点 重点

1.理解直线的方向向量概念

2.能根据已知条件求出直线的点方向式方程 3.理解直线方程的解与直线上点坐标之间的关系

4.通过建立直线的点方向式方程，体会使用向量可简化推到过程且有明确的几何意义 难点

理解直线方程的定义。通过推导直线的点方向式方程，从中体会向量知识的应用和坐标法的含义。通过对直线与二元一次方程关系的分析，初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想。从而培养学生用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）的研究能力。

三、教学过程 回顾

在初中平面几何里，我们定性的研究直线的平行，垂直或直线相交所成角是否相等。在函数教学中，直线是一次函数的图像。在本章中，我们进一步用定量的方法来研究直线。 讲授新课

（一）直线方程

定义：对于坐标平面内的一条直线l，如果存在一个方程f(x,y)0，满足 （1）直线l上的点的坐标(x,y)都满足方程f(x,y)0； （2）以方程f(x,y)0的解(x,y)为坐标的点都在直线l上。 那么我们把方程f(x,y)0叫做直线l的方程。

从上述定义可见，满足（1）、（2），直线l上的点的集合与方程f(x,y)0的解的集合就建立了对应关系，点与其坐标之间的一一对应关系。

推荐第4篇：直线与方程教案

平面解析几何 第一讲 直线方程 知识归纳：

一、直线的倾斜角与斜率

1、确定直线的几何要素是：直线上两不同的点或直线上一点和直线的方向两个相对独立的条件

注意：表示直线方向的有：直线的倾斜角（斜率）、直线的方向向量、直线的法向量

2、直线的倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角。

注意：①从用运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x 轴绕交点按逆时针方向转到与直线重合时所成的角；

②规定：直线与x 轴平行或重合时，直线的倾斜角为00 ③直线倾斜角α的取值范围是：00≤α

④在同一直角坐标系下，任何一条直线都有倾斜角且唯一，倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等。

3、直线的斜率：倾斜角不是900的直线，它的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，即k =tan α(α≠900) 。它从另一个方面反映了直线的倾斜程度。 注意：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率，当α=00时，k =0；当000；当α=900时，k 不存在，当900

1、给出下列命题：①若直线倾斜角为α，则直线斜率为tan α；②若直线倾斜角为tan α，则直线的倾斜角为α； ③直线的倾斜角越大，它的斜率越大；④直线的斜率越大，其倾斜角越大；⑤直线的倾斜角的正切值叫做直线的斜率。其中正确命题的序号为 例

2、已知直线的倾斜角为α，且sin α=4，求直线的斜率k 5

4、直线斜率的坐标公式

经过两点P 的直线的斜率公式：k =y 1-y 2 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1≠x 2) x 1-x 2 注意：①斜率公式与两点的顺序无关，即k =y 1-y 2=y 2-y 1(x ≠x ) 12 x 1-x 2 x 2-x 1 ②特别地：当y 1=y 2, x 1≠x 2时，k =0；此时直线平行于x 轴或与x 轴重合；当y 1≠y 2, x 1=x 2时，k 不存在，此时

直线的倾斜角为900，直线与y 轴平行或重合。

例

3、已知点P (2,1),Q (m , -3) ，求直线P , Q 的斜率并判断倾斜角的范围。

例

4、（三点共线问题）已知A (-3, -5), B (1,3), C (5,11) 三点，证明这三点在同一条直线上 例

5、（最值问题）已知实数x , y ，满足2x +y =8，当2≤x ≤8时，求y 的最大值和最小值 x

5、直线的方向向量：已知P 是直线l 上的两点，直线上的向量PP 及与它平行的向量都1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1≠x 2) 12称为直线的方向向量。直线PP 与x 轴不垂直时，x 1≠x 2，此时，向量12的坐标是

1也是直线PP 的方向向量，且它PP 1212 x 2-x 1 1，其中k 为直线PP 的斜率 (x 2-x 1, y 2-y 1) ，即（1，k ）12x 2-x 1

6、直线的法向量：如果向量n 与直线l 垂直，则称向量n 为直线l 的法向量。

二、直线的方程

1、定义：一般地，以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上点的坐标都是这个方程的解，这是，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。

2、直线方程的几种形式 （1）点斜式：

问题：若直线l 经过点P ，且斜率为k ，求直线l 的方程。 0(x 0, y 0) 解析：设点P (x , y ) 是直线l 上不同于点P 的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式，得k =y -y 0，可化为0 x -x 0、斜率为k 的直线l 的方程。 y -y 0=k (x -x 0) ，即为过点P 0 方程y -y 0=k (x -x 0) 是由直线上一点及其斜率确定的，把这个方程叫做直线的点斜式的方程，简称点斜式。 注意：①k =y -y 0与y -y 0=k (x -x 0) 是不同的，前者表示直线上缺少一个点x ≠x 0，后者才是整条直线； x -x 0 ②当直线l 的倾斜角为00时，tan 00=0，即k =0，这时直线l 的方程为y =y 0 ③当直线的倾斜角为900时，直线l 斜率不存在，这时直线l 与y 轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示，它的方程是x =x 0。即：局限性是不能表示垂直于x 轴的直线。 ④经过点P 的直线有无数条，可分为两类情况： 0(x 0, y 0) ⅰ、斜率为k 的直线，方程为y -y 0=k (x -x 0) ⅱ、斜率不存在的直线，方程为x -x 0=0或写为x =x 0 例

6、根据条件写出下列各题中的直线的方程

①经过点P ，倾斜角α=450，②经过点P , 2) ，斜率为2 ③经过点(4,2) ，且与x 轴平行 1(-2,3) 1(1④经过点(-2, -3) ，且与x 轴垂直 （2）斜截式：

问题：已知直线l 的斜率是k ，与y 轴的交点是P (0,b ) ，代入直线方程的点斜式，得直线l 的方程y -b =k (x -0) ，也就是y =kx +b ，我们称b 是直线l 在y 轴上的截距。

这个方程是由直线l 的斜率k 和它在y 轴上的截距确定的，所以叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。 注意：①b ∈R ②局限性：不表示垂直于x 轴的直线

③斜截式方程和一次函数的解析式相同，都是y =kx +b ，但有区别：当斜率不为0时，y =kx +b 是一次函数，当k =0时，y =b 不是一次函数；一次函数y =kx +b （k =0） 必是一条直线的斜截式方程。 例7、求倾斜角是直线y =+1的倾斜角的1，且在y 轴上的截距为-5的直线的方程。 4 （3）两点式：

问题：已知直线l 经过两点P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1≠x 2) ，求直线l 的方程 解析：因为直线l 经过两点P ≠1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1

x 2，) 所以它的斜率k =y 2-y 1，代入点斜式，得 x 2-x 1 y -y 1= y 2-y 1 (x -x 1) ，当y 2≠y 1时，方程可以写成y -y 1=x -x 1 x 2-x 1y 2-y 1x 2-x 1 这个方程是由直线上两点确定的，所以叫做直线的两点式方程，简称两点式。 注意：①方程y -y =y 2-y 1(x -x ) 与方程y -y 1=x -x 1比较，后者比前者表示直线的范围更小了，前者不能 11 x 2-x 1 y 2-y 1 x 2-x 1 表示斜率不存在的直线，后者除此外，还不能表示斜率为0的直线；局限性：不能表示垂直于坐标轴的直线。 ②两点式方程与这两个点的顺序无关。 例

8、已知点A (-5, 0) ，B (3,-3) ，求直线AB 的方程

例

9、一条光线从点A (3,2) 出发，经x 轴反射，通过点B (-1, 6) ，求入射光线和反射光线所在直线的方程 （4）截距式：

问题：已知直线l 与x 轴的交点为(a , 0) ，与y 轴的交点为(0,b ) ，其中a ≠0, b ≠0，求直线l 的方程。 解析：因为直线l 经过A (a , 0) 和B (0,b ) 两点，将这两点的坐标代入两点式，得如果直线与x 轴的交点为(a , 0) ，则称a 为直线在x 轴上的截距。

以上直线方程是由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的，所以叫做直线的截距式方程，简称截距式

注意：方程x +y =1中a ≠0, b ≠0，所以它不能表示与坐标轴平行（重合）的直线，还不能表示过原点的直 a b y -0x -a ，即为x +y =1 = b -00-a a b 线。

例

10、过两点A (-1,1) ，B (3,9)的直线在x 轴上的截距为 （5）一般式方程：

以上几种形式的直线方程都是二元一次方程，即平面上任何一条直线都可以用一个关于x y 的二元一次方程表示； 而关于x y 的二元一次方程，它都表示一条直线。因此我们把x y 的二元一次方程 Ax +By +C =0(其中 A,B 不同时为0) 叫做直线的一般式方程，简称一般式。

注意：①直线的一般式方程能表示所有直线的方程，这是其他形式的方程所不具备的。 ②直线的一般式方程成立的条件是A,B 不同时为0。

③虽然直线的一般式有三个系数，但是只需两个独立的条件即可求直线的方程， 若A ≠0, 则方程可化为x +B y +C =0; 若B ≠0，则方程可化为A x +y +C =0，即y =-A x -C ; A A B B B B 若A =0，B ≠0时，方程化为y =-C , 它表示与x 轴平行或重合的直线； B 若A ≠0，B =0时，方程化为x =-C ，它表示一条与y 轴平行或重合的直线； A 若ABC ≠0时，则方程可化为 x -A + 因此只需要两个条件即可。 y =1-B ④直线方程的其他形式都可以转化为一般式，因此在解题时若没有特殊说明，应把最后结果互为直线的一般式 例

11、设直线l 的方程为(m -2m -3) x +(2m +m -1) y =2m -6，根据下列条件分别确定m 的值 （1）l 在x 轴上的截距为 -3 （2）l 的斜率是 -1 （6）点向式：

问题：设直线l 经过点P ，v =(a , b ) 是它的一个方向向量，求直线l 的方程 0(x 0, y 0) 解析:设P (x , y ) 是直线l 上的任意一点，则向量P 与v 共线，根据向量共线的充要条件，存在唯一实数t ，0P x =x 0+at ①，使P ，即(x -x 0, y -y 0) =t (a , b ) ，所以⎧方程组①称为直线的参数式方程。 0P =tv ⎨ ⎩y =y 0+bt 2 2 如果直线l 与坐标轴不平行，则ab ≠0，于是可得 x -x 0y -y 0 =t , =t ，消去参数t ，得到直线l 的普通方程 a b x -x 0y -y 0 这个方程称为直线l 的点向式方程，a , b 叫做直线l 的方向数。 = a b 思考：若给出直线的一般式方程Ax +By +C =0，如何确定直线的方向向量？ （7）点法式：

问题：设直线l 有法向量n =(A , B ) ，且经过点P ，求直线l 的方程 0(x 0, y 0) 解析：设P (x , y ) 是直线l 上的任意一点，则有P ，即P 0P ⊥n 0P ⋅n =0 因为PP 0=(x -x 0, y -y 0) ，n =(A , B ) ，所以有A (x -x 0) +B (y -y 0) =0 这个方向是由直线l 上一点P 及直线l 的法向量n 确定的，称为直线l 的点法式。 0(x 0, y 0) 思考：若给出直线的一般式方程Ax +By +C =0，如何确定直线的法向量？

三、直线的位置关系（同一平面上的直线）

1、平行与垂直 （1）两条直线平行的判定

①当两条直线的斜率存在时，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式为例来研究直线平行的判定

设两条直线分别为，则l 1, l 2的倾斜角相等，即由α1=α2，l 1：y =k 1x +b 1 l 2：y =k 2x +b 2 若l 1//l 2，

可得tan α1=tan α2，也即k 1=k 2，此时b 1≠b 2；反之也成立。 所以有l 1//l 2⇔k 1=k 2且b 1≠b 2 ②当两条直线的斜率都不存在时，二者的倾斜角均为900，若不重合，则它们也是平行直线 注意：当不考虑斜率，即给出直线的一般式时，有如下结论： 设两条直线分别为l 1：A 1x +B 1y +C 1不为0） 或l 1//l 2⇔A （可用直线的方向向量或法向量解释） 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1≠0或AC 12-A 2C 1≠0例

12、已知点A (2,2) 和直线l ：3x +4y -20=0，求过点A 和直线l平行的直线。（引出平行直线系方程） （2）两条直线垂直的判定

①当两条直线的斜率存在且不为0时，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式为例来研究直线平行的判定 设两条直线分别为，l 1：y =k 1x +b 1 l 2：y =k 2x +b 2 则得直线l 1的方向向量为：a =(1, k 1) l 2的方向向量为：b =(1, k 2) ，所以有l 1⊥l 2⇔a ⊥b ⇔a ⋅b =0⇔1⨯1+k 1⋅k 2=0 即l 1⊥l 2⇔k 1⋅k 2=-1 注意： 或用两条直线的倾斜角推倒：即tan α2=tan(900+α1) =- =0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 可得l 1//l 2⇔A 1=B 1≠C 1（其中分母 A 2 B 2 C 2 1 ，得到k 1⋅k 2=-1 tan α1

②两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零，则两条直线垂直。 由①②得，两条直线垂直的判定就可叙述为：一般地，l 1⊥l 2⇔k 1⋅k 2=-1或一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零。

注意：当不考虑斜率，即给出直线的一般式时，有如下结论： 设两条直线分别为l 1：A 1x +B 1y +C 1 例

14、已知两直线l 1：x +my +6=0，l 2： (m -2) x +3y +2m =0，当m 为何值时，直线l 1与l 2：①平行 ②重合 ③垂直

例

15、已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点D 的坐标

例

16、求证：不论m 为取什么实数，直线(2m 2-1) x +(m 2-1) y =m 2-5总通过某一定点 =0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 可得l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 2B 1=0 例

13、求与直线3x +4y +1=0垂直且过点（1，2）的直线方程（引出垂直直线系方程） ) 例

17、已知直线ax -y +2a +1=0，（1）若x ∈(-1（2）若a ∈(-, 1, 1) 时，y >0恒成立，求a 的取值范围； 16 时，恒有y >0，求x 的取值范围

四、到角、夹角 （1）到角公式

定义：两条直线l 1和l 2相交构成四个角，他们是两对对顶角，为了区别这些角，我们把直线l 1绕交点按逆时针方向旋转到与l 2重合时所转的角，叫做l 1到l 2的角， 如图，直线l 1到l 2的角是θ1， l 2到l 1的角是θ2(θ1>0, θ2>0, θ1+θ2=π)

推倒：设已知直线方程分别是l 1：y =k 1x +b 1 l 2：y =k 2x +b 2.l 1到l 2的角是θ ① 若1+k 1⋅k 2=0，即k 1⋅k 2=-1，那么θ= π 2 ② 若1+k 1⋅k 2≠0，设l

1、l 2的倾斜角分别为α1, α2，则tan α1=k 1, tan α2=k 2 由图1）的θ=α2-α1，所以tan θ=tan(α2-α1) 由图2）的θ=π-(α1-α2) =π+(α2-α1) ， 所以tan θ=tan*π+(α2-α1)+=

tan π+tan(α2-α1) 0+tan(α2-α1) ==tan(α2-α1)

1-tan πtan(α2-α1) 1-0 于是tan θ=tan(α2-α1) = tan α2-tan α1k -k =21 1+tan α2tan α11+k 1k 2

即tan θ= k 2-k 1 就是l 1到l 2的角θ1+k 1k 2 （2）夹角公式

定义：由（1）得，l 2到l 1的角是π-θ，所以当l 1与l 2相交但不垂直时，在θ和π-θ中有且只有一个角是锐角，我们把其中的锐角叫做两条直线的夹角，记夹角为α，则tan α=当直线l 1⊥l 2时，直线l 1与l 2的夹角为 k 2-k 1 ，即为夹角公式 1+k 1k 2 π 2 例

18、等腰三角形一腰所在直线l 1的方程是x -2y -2=0，底边所在直线l 2的方程是x +y -1=0，点(-2,0) 在另一腰上，求这条腰所在直线l 3的方程

五、两条直线的交点坐标：

1、设两条直线分别为l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 则l 1与l 2是否有交点，只需看方程组

⎧A 1x +B 1y +C 1=0是否有唯一解 ⎨ ⎩A 2x +B 2y +C 2=0 若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行； 若方程组有无穷多解，则两直线重合

例

19、求经过两直线2x -3y -3=0和x +y +2=0的交点且与直线3x +y -1=0平行的直线方程。 经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0与l 2:A 2x +B 2y +C 2=0交点的直线系方程为其中λ是待定系数，在这个方程中，无论λ取什么实数，A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0，都得到A 2x +B 2y +C 2=0，因此，它不能表示直线l 2。

2、对称问题

（1）点关于点的对称，点A(a，b) 关于P , y 0)的对称点B （m ，n ），则由中点坐标公式0(x 0 m =2x 0-a , n =2y 0-b ，即B （2x 0-a , 2y 0-b ） 。

（2）点关于直线的对称，点A (x 0, y 0)关于直线l :Ax +By +C =0（A、B 不同时为0）的对称点

A ' (x 1, y 1)，则有AA ’的中点在l 上且直线AA ’与已知直线l 垂直。

（3）直线关于直线的对称，一般转化为点关于直线的对称解决，若已知直线l 1与对称轴l 相交，则交点必在与l 1对称的直线l 2上，然后再求出l 1上任意不同于交点的已知点P 1关于对称轴对称的点P 2，那么经过交点及点

P 2的直线就是l 2；若直线l 1与对称轴l平行，则在l 1上任取两不同点P

1、P 2，求其关于对称轴l 的对称

点P

1、P 2，过P

1、P 2的直线就是l 2。

例题20、已知直线l :x +y -1=0，试求①点P(4,5)关于l 的对称坐标；②直线l 1:y =2x +3关于直线 ' ' ' ' l 的对称的直线方程。 例题21、求函数y =

六、两点间的距离，点到直线间的距离 +的最小值。

P （1）两点间的距离：已知P 1P 2=1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2) 则

（2）点到直线的距离: l 已知点P ，求点P 0(x 0, y 0)，直线l :Ax +By +C =0（A、B 不同时为0）0到直线的距离。 解法一：如图，作P 0Q ⊥l 于点Q ，设Q (x 1, y 1) ， 若A,B ≠O, 则由k 1=- A B (, 得k P 0Q = B A k 1k P 0Q =-1) ， ⎧Ax +By +C =0 ⎪

B ⎨B y -y =(x -x ) 从而直线P 的方程为，解方程组Q y -y =(x -x 0) 得0000⎪A ⎩A ⎧B 2x 0-ABy 0-AC x =⎪⎪1A 2+B 2 ⎨2 ⎪y =A y 0-ABx 0-BC 1⎪⎩A 2+B 2 ∴d =PQ ==0 Ax 0+By 0+C ==A 2+B 2 容易验证当A=0或B=0时，上式仍然成立。

l 解法二：如图，设A ≠0,B ≠0，则直线l 与x 轴和y 轴都相交，过点P 0分别作x 轴和y 轴的平行线，交直线

于R 和S ，则直线P 0R 的方程为y =y 0，R 的坐标为（- By 0+C , y 0）； A x , -直线P 0S 的方程为x =x 0，S 的坐标为（-0 Ax 0+C ）， B 于是有P 0R =- Ax 0+By 0+C By 0+C -x 0=, A A = Ax 0+By 0+C Ax 0+C P -y 0= , RS =0S =- B B 0+By 0+C 。

=d ，由三角形面积公式可得d ⋅RS =P 设PQ 00R ⋅P 0S .于是得d = 因此，点P 0(x 0, y 0)到直线l :Ax +By +C = 0的距离d =上式仍成立。 注意: P 0R ⋅P 0S RS = 容易验证，当A=0或B=0时，

①若给出的方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离； ②点到直线的距离是点到直线上的点的最短距离；

③若点在直线上，则点到直线的距离为0，但距离公式仍然成立，因为此时Ax 0+By 0+C =0。 （3）两平行线间的距离。

定义；两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长，即一条直线上的点到另一条直线的距离。

两条平行直线l 1:Ax +By +C 1=0与l 2:Ax +By +C 2= 0的距离公式d = 推导过程：设P 则P 到l 2:Ax +By +C 2=0的距离

0(x 0, y 0)为直线l 1:Ax +By +C 1=0上任意一点，0为d = ，又因为P 0在l 1:Ax +By +C 1=0上，所以Ax 0+By 0+C 1=0，即Ax 0+By 0=-C 1, 所以d = 注意：应用此公式时，要把两直线化为一般式，且x、y 的系数分别相等。

例题

22、求经过点A(-1,2)与B(-,0) 的直线上一点C （5，n ）到直线x +y =1的距离。 例题

23、求经过点A （1，2）且到原点的距离等于1 的直线方程。 例题

24、已知三角形ABC 中，点A （1，1），B （m ）（1

例题

25、求过点P （1，2）且与A （2，3），B(4,-5)两点距离相等的直线方程。 作业：

1、设θ∈( 52 π 2 , π) ，则直线x cos θ+y sin θ+1=0的倾斜角α为（ ） (B ) θ (C ) θ+ (A ) θ- π 2 π 2 (D ) π-θ

2、设P （x ，y ）是曲线C ：x 2+y 2+4x +3=0上任意一点，则 y 的取值范围是 ( ) x A ．[-3, 3] B ．(-∞, -3]⋃*, +∞) C ．[-3, ] D ．(-∞, -]⋃*, +∞) 3333

3、已知M (2，－3) ，N (－3，－2) ，直线l 过点A (1，1) 且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 3 或k ≤－4 4 3 B .－4≤k ≤ 4 33 C .≤k ≤4D .－≤k ≤4 44

4．过点P （6，－2）且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线的方程是 A ．2x +3y -6=0 C ．x -y +3=0 B ．2x +3y -6=0或3x +4y -12=0 D ．x +2y -2=0或2x +3y -6=0

5、若直线l 经过点(1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2, 则直线l 的条数为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

6、如图所示，直线l 1：ax －y ＋b=0与l 2：bx －y ＋a=0(ab≠0,a ≠b) 的图象只可能是( )

7、若三点A(3,a)、B(2,3)、C(4,b)在一条直线上, 则有 ( ) (A)a=3,b=5 (B)b=a+1 (C)2a－b=3 (D)a－2b=3

8、直线l 经过原点和点(－1, －1), 则它的倾斜角是 a A.π5ππ5ππ B.C.或 D.－ 44444 9.已知直线l 1：A 1x +B 1y +C 1＝0与直线l 2：A 2x +B 2y +C 2＝0相交，则方程λ1（A 1x ＋B 1y ＋C 1）＋λ2（A 2x +B 2y +C 2） 2 =0,(λ1≠0) 表示 （ ） +λ22

A.过l 1与l 2交点的一切直线 B.过l 1与l 2的交点，但不包括l 1可包括l 2的一切直线 C.过l 1与l 2的交点，但包括l 1不包括l 2的一切直线 D.过l 1与l 2的交点，但既不包括l 1又不包括l 2的一切直线 10.方程(a －1) x －y +2a +1=0(a ∈R ) 所表示的直线 ( ) A.恒过定点(－2,3) B.恒过定点(2，3) C.恒过点(－2,3) 和点(2，3) D.都是平行

11、过点(-1，) 且与直线3x -y +1=0的夹角为 π

的直线方程是（ ） 6 A、x -3y +4=0 B、x +1=0或x +3y -2=0 C、x+1=0或x -y +4=0 D、y =或x +3y -2=0

12、直线x cos α+3y +2=0的倾斜角的取值范围是_________。

13、直线l 的方向向量为（-1，2），直线l 的倾斜角为

14、已知直线L 过P （-2，3）且平行于向量d=（4，5），则直线L 的方程为。

15、已知点M (a , b ) 在直线3x +4y = 15上，则

16、△ABC 的三个顶点A(－3,0),B(2,1),C(－2,3).求：

（1）BC 所在直线的方程; （2）BC 边上中线AD 所在直线的方程; （3）BC 边的垂直平分线DE 的方程.

17、求到两直线l 1： 3x +4y -5=0和 l 2：6x +8y -9=0距离相等的点P (x , y ) 满足的方程

推荐第5篇：11.1直线方程教案

11．1 （２）直线方程（点法向式）

一、教学内容分析

本节的重点是直线的点法向式方程以及一般式方程的推导及应用.在上一堂课的基础上，通过向量垂直的充要条件（对应坐标的关系式）推导出直线的点法向式方程.引导同学发现直线的点方向式方程、点法向式方程都可以整理成关于x、y的一次方程axbyc0（a、b不全为零）的形式.本节的难点是通过对直线与二元一次方程关系的分析，初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想！从而培养学生用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）的研究能力.

二、教学目标设计

在理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程的基础上，进一步探究点法向式方程以及一般式方程；学会分类讨论、数形结合等数学思想，形成探究能力.

三、教学重点及难点

直线的点法向式方程以及一般式方程；

四、教学过程设计

一、复习上一堂课的教学内容

二、讲授新课

（一）点法向式方程

1、概念引入

从上一堂课的教学中，我们知道，在平面上过一已知点P，且与某一方向平行的直线l是惟一确定的．同样在平面上过一已知点P，且与某一方向垂直的直线l也是惟一确定的．

2、概念形成

 直线的点法向式方程

在平面上过一已知点P，且与某一方向垂直的直线l是惟一确定的.建立直角坐标平面，设P的坐标是(x0,y0)，方向用非零向量n(a,b)表示.

 直线的点法向式方程的推导

设直线l上任意一点Q的坐标为(x,y)，由直线垂直于非零向量n，故PQn.根据PQn的充要条件知PQn0，即：a(xx0)b(yy0)0①；反之，若(x1,y1)为方程⑤的任意一解，即a(x1x0)b(y1y0)0，记(x1,y1)为坐标的点为Q1，可知PQ1n，即Q1在直线l上.综上，根据直线方程的定义知，方程⑤是直线l的方程，直线l是方程①的直线.我们把方程a(xx0)b(yy0)0叫做直线l的点法向式方程，非零向量n叫做直线l的法向量.



3、概念深化

从上面的推导看，法向量n是不唯一的，与直线垂直的非零向量都可以作为法向量.若直线的一个方向向量是(u,v)，则它的一个法向量是(v,u).

4、例题解析

例1 已知点A1，2，B3，4，求AB的垂直平分线l的点法向式方程.解 由中点公式，可以得到AB的中点坐标为1,3，AB4,2是直线l的法向量， 所以，AB的垂直平分线l的点法向式方程.4x12y30 [说明]关键在于找点和法向量！

例2已知点A(1,6),B(1,2)和点C(6,3)是三角形的三个顶点，求 （1）BC边所在直线方程；

（2）BC边上的高AD所在直线方程.解（1）因为BC边所在直线的一个方向向量BC＝（7，5），且该直线经过点B(1,2)，所以BC边所在直线的点方向式方程为

x1y2 75（2）因为BC边上的高AD所在的直线的一个法向量为BC＝（7，5），且该直线经过点A(1,6)，所以高AD所在直线的点法向式方程为

7(x1)5(y6)0

５、巩固练习练习11.1（2）

（二）一般式方程

1、概念引入

由直线的点方向式方程和点法向式方程，我们可以发现，平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示；那么每一个关于x,y的二元一次方程axbyc0（a，b不同时为表示一条直线呢？

2、概念形成

 直线的一般式方程的定义

0）是否都直线的点方向式方程和直线的点法向式方程经过整理，成为x,y的二元一次方程axbyc0.反之，任意二元一次方程axbyc0(a,b不全为0)都是直线方程么？回答是肯定的.首先，当b0时，方程可化为axb(y)0，根据直线点法向式方程可知，这是过点(0,)，以(a,b)为一个法向量的直线；当b0时，方程为axc0，由于a0，方程化为x直线.所以二元一次方程axbyc0(a,b不全为0)是直线的方程，叫做直线的一般式方程.３、例题解析

例1 ABC中，已知A(1,2)、B(3,4)，求AB边的中垂线的一般式方程.cbcbcc，表示过点(,0)且垂直于x轴的aa解 直线过AB中点D(1,3)，nAB(4,2)，则其点法向式方程为4(x1)2(y3)0，整理为一般式方程2xy50.[说明]点法向式方程化为一般式方程.例2（1）求过点A(2,5)且平行于直线l1:4x3y90的直线方程； （2）求过点B(3,4)且垂直于直线l2:3x7y60的直线方程.解 （1）解一：n(4,3),d(3,4)，又直线过点A(2,5)，故直线的方程为4(x2)3(y5)化简得4x3y230.解二：n(4又,3),直线过点A(2,5)，故直线的点法向式方程为4(x2)3(y5)0化简得4x3y230.解三：设与l1:4x3y90平行的直线方程为4x3yc0，又直线过点A(2,5)故4(2)35c0，c23，所以直线的方程是4x3y230.（2）解一：l1的法向量n1(3,7)为所求直线的方向向量，又直线过点B(3,4)，故直线的方程为7(x3)3(y4)化简得7x3y330.解二：设与l2:3x7y60垂直的直线方程为7x3yc0，又直线过点B(3,4)故733(4)c0，c33，所以直线的方程是7x3y330.[说明]一般地，与直线axbyc0平行的直线可设为axbyc0(其中cc)；而与直线axbyc0垂直的直线可设为bxayc0.例3能否把直线方程2x3y50化为点方向式方程？点法向式方程？若能，它的点方向式方程和点法向式纺方程是否唯一？并观察x、y的系数与方向向量和法向量有什么联系？ 解： x1y1x1y1x2、、32323y

13、x4y1……

6422(x1)3(y1)0、4（x+4）+6(y-1)=0……

能够化成点方向式的形式，并且有无数个！

所有的方向向量之间存在：一个非零实数，使得d1d23,2； 易得点法向式方程也是不唯一的，并且有无数个！

所有的法向量之间存在：一个非零实数，使得n1n22,3

变式：直线axbyc0的方向向量可以表示为b,a

直线axbyc0的法向量可以表示为a,b

[说明]注意直线的一般式方程和点方向式方程与点法向式方程的联系.

三、巩固练习练习11.1（3） 补充练习

1、（1）若直线过两点A(a,0),B(0,b)，则a,b分别叫做该直线在x,y轴上的截距.当ab0时，求直线AB的方程；

（2）若过点P(4,3)的直线l在两坐标轴上截距相等，求直线l的方程.

2、已知直线l过点P(2,3)且与x,y轴分别交于A,B两点.

（1）若P为AB中点，求直线l的方程；（2）若P分AB所成的比为2，求l的方程.

3、已知直线l的方程为：(a2)x(12a)y43a0(常数aR) （1）求证:不论a取何值，直线l恒过定点；

（2）记（1）中的定点为P，若lOP（O为原点），求实数a的值.

4、ABCD中，三个顶点坐标依次为A(2,3)、B(2,4)、C(6,1)，求（1）直线AD与直线CD的方程；（2）D点坐标.

5、．过点P(5,4)作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5个单位面积，求直线l的方程.

6、已知两直线a1xb1y10和a2xb2y10都通过P(2,3),求证：经过两点Q1(a1,b1)，Q2(a2,b2)的直线方程是2x3y10.

四、课堂小结 １.直线的点法向式方程和一般方程的推导；

２．直线的点方向式方程、点法向式方程和一般方程这三种形式方程之间的互相之间的联系.３、确定直线方程的几个要素

五、课后作业

习题11.1 A组5,6,7；B组3，4习题11.1 A组8 补充作业：

1.直线3xy20的单位法向量是___________.2.直线l的一般式方程为2x3y70，则其点方向式方程可以是__________；点法向式方程可以是_____________.3.过P(4,3)且垂直y轴的直线方程是_______________.4.若直线(2m)xmy30的法向量恰为直线xmy30的方向向量，求实数m的值.5.已知点P(2,1)及直线l:3x2y50，求：

（1）过点P且与l平行的直线方程；（2）过点P且与l垂直的直线方程.6.正方形ABCD的顶点A的坐标为(4,0)，它的中心M的坐标为(0,3)，求正方形两条对角线AC,BD所在的直线方程.7.已知A,B,C的坐标分别为(1,3),(b,0),(0,c)，其中b,c均为正整数，问过这三点的直线l是否存在？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.8.设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)

（1） 证明：直线l过定点；

（2） 若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程.

六、教学设计说明

在上一堂课的基础上，通过向量垂直的充要条件（对应坐标的关系式），引导学生自主推导出直线的点法向式方程.通过对直线与二元一次方程关系的分析，引导学生经历由特殊到一般的思维过程，培养学生的探究能力.

推荐第6篇：直线的方程教案

《直线的方程》教案

一、教学目标

知识与技能：理解直线方程的点斜式的特点和使用范围

过程与方法：在知道直线上一点和直线斜率的基础上，通过师生探讨得出点斜式方程 情感态度价值观：养成数形结合的思想，可以使用联系的观点看问题。

二、教学重难点

教学重点：点斜式方程

教学难点：会使用点斜式方程

三、教学用具：直尺，多媒体

四、教学过程

1、复习导入，引入新知

我们确定一条直线需要知道哪些条件呢？（直线上一点，直线的斜率）

那么我们能不能用直线上这一点的坐标和直线的斜率把整条直线所有点的坐标应该满足的关系表达出来呢？这就是我们今天所要学习的课程《直线的方程》。

2、师生互动，探索新知

探究一：在平面直角坐标系中，直线L过点P（0,3），斜率K=2，Q(X,Y)是直线L上不同于点P的任意一点，如ppt上图例所示。 通过上节课所学，我们可以得出什么？

由于P,Q都在这条直线上，我们就可以用这两点的坐标来表示直线L的斜率，可以得出公式：Y-3\\X-0=2 那我们就可以的出方程Y=2X+3 所以就有L上的任意一点坐标（X,Y）都满足方程Y=2X=3,满足方程Y=2X+3的每一个（X,Y）所对应的点都在直线L上。

因此我们可以的出结论：一般的如果一条直线l上任意一点的坐标(x,y)都满足一个方程，满足该方程的每一个数对（x,y）所确定的点都在直线l上，我们就把这个方程称为l的直线方程，因此，当我们知道了直线上的一点p（x,y），和它的斜率，我们就可以求出直线方程。

3、知识剖析，深化理解

我们刚刚知道了如何来求直线方程，那现在同学来做做这一个例子。 设 Q(X,Y)是直线L上不同于点P的任意一点，由于点P,Q都在L，求直线的方程。 设点P（X0，,Y0），先表示出这个直线的额斜率是Y-Y0\\X-X0=K，然后可以推得公式Y-Y0=K(X-X0) 那如果当X=X0，这个公式就没有意义，还有就是分母不能为零，所以这里要注意（X不能等于X0）

1） 过点

，斜率是K的直线L上的点，其坐标都满足方程（1）吗？ P(X0,Y0)

(X0,Y0)

，斜率为K的直线L上吗？ 2） 坐标满足方程（1）的点都在经过P那么像这种由直线上一个点和一个斜率所求的方程，就称为直线方程的点斜式。 直线的点斜式是不是满足坐标平面上所有的直线呢？

小组讨论：当直线与X轴垂直时，倾斜角为直角时，直线方程怎么写？（Y-Y0=KX） 当直线与Y轴垂直时，倾斜角为零时，直线方程怎么写？（Y=K(X-X0) 那我们带入与X垂直的一条线上的坐标（3,0）（3,1），斜率为K，算出（Y=3K,Y=3K+1）

点斜式就不满足这个条件的直线，大家子啊照例做做下一个，还是不一样是吧，这个点斜式不能满足。（它只能满足斜率存在的直线。）

4、巩固提高：做一做习题1的第一小题：经过点p（1,3）斜率为1,求出方程，并且画图。（Y=X+2）

5、课堂小结：这节课我们学习了直线方程的点斜式方程，知道了这种方程也有他的局限性，就是不使用斜率不存在的直线，那怎么办呢？我们下节课继续学习。课后大家预习后边的内容，巩固今天所学习的知识。

6、板书：点斜式的概念及图形。

推荐第7篇：11.1直线方程教案[优秀]

11．1 （１）直线方程（点方向式）

一、教学内容分析

本节的重点是直线的方程的概念、直线的点方向式方程．用向量方法推导直线方程是二期课改的亮点之一，体现了从几何角度出发，除两点确定一条直线外，确定直线需要两个独立的条件：点和方向.利用给定的条件，通过向量平行的充要条件（对应坐标的关系式）推导出直线的点方向式方程.本节的难点是理解直线方程的定义.通过推导直线的点方向式方程，从中体会向量知识的应用和坐标法的含义.通过对直线与二元一次方程关系的分析，初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想！从而培养学生用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）的研究能力.

二、教学目标设计

理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程；加强分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养；体验探究新事物的过程，树立学好数学的信心.

三、教学重点及难点

直线的方程的概念、直线的点方向式方程；理解直线方程以及点方向式方程的推导.

四、教学过程设计

一、解析几何发展史

解析几何的主要思想：用坐标表示点，用方程表示曲线，把几何图形代数化，并能够参与代数运算.

二、讲授新课

（一） 直线方程

定义：对于坐标平面内的一条直线l，如果存在一个方程f(x,y)0，满足（1）直线l上的点的坐标(x,y)都满足方程f(x,y)0；（2）以方程f(x,y)0的解(x,y)为坐标的点都在直线l上.那么我们把方程f(x,y)0叫做直线l的方程.从上述定义可见，满足（1）、（2），直线l上的点的集合与方程f(x,y)0的解的集合就建立了对应关系，点与其坐标之间的一一对应关系.

（二） 点方向式方程

1、概念引入

在几何上，要确定一条直线需要一些条件，如两个不重合的点（不重合的两点确定一条直线），又如一个点和一个平行方向（原因是过已知点作平行于一条直线的直线有且只有一条）等等.我们将这些条件用代数形式描述出来，从而建立方程.若此方程满足直线方程定义中的（1）、（2），就找到了直线的方程.

2、概念形成

 直线的点方向式方程的定义 在平面上过一已知点P，且与某一方向平行的直线l是惟一确定的，我们在直角坐标平面中求该直线的方程．  直线的点方向式方程的推导

建立平面直角坐标系，设P的坐标是(x0,y0)，方向用非零向量d(u,v)表示.

设直线l上任意一点Q的坐标为(x,y)，由直线平行于非零向量d，故PQ//d.根据PQ//d的充要条件，得v(xx0)u(yy0)①；反之，若(x1,y1)为方程①的任意一解，即v(x1x0)u(y1y0)，记(x1,y1)为坐标的点为Q1，可知PQ1//d，即Q1在直线l上.综上，根据直线方程的定义知，方程①是直线l的方程.当u0且v0时，方程①可化为

xx0yy0②.值得注意的是：方程②不能表示过P(x0,y0)且与坐标uv轴垂直的直线．事实上当u0时v0，方程①可化为xx00③，表示过P(x0,y0)且与x轴垂直的直线；当v0时u0，方程①可化为yy00④，表示过P(x0,y0)且与y轴垂直的直线.

xx0yy0我们把方程叫做直线l的点方向式方程，非零向量d叫做直线l的方向向量.uv

3、概念深化

从上面的推导看，方向向量d是不唯一的，与直线平行的非零向量都可以作为方向向量.由点方向式易得，过不同的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的方程是(y2y1)(xx1)(x2x1)(yy1)0.

4、例题解析

例1 观察下列直线方程，并指出各直线必过的点和它的一个方向向量.①x3y5; ② 4x47y6; ③x1; ④y2.34解 ①经过点3,5，它的一个方向向量是d3,4；

x4y6②化简得到：，从中可见该直线经过点4,6，一个方向向量是d7,4； 74③经过点1,0，它的一个方向向量是d0,1； ④经过点1,2，它的一个方向向量是d1,0．

[说明]通过直线的点方向式方程，可以判断一条直线经过的一个点和它的方向向量.

6，B3，1和C4，5，求经过点A且与BC平行的直线l的点方向式方程？ 例2 已知点A4，解：BC7,4 ，

所以过点A且与BC平行的直线l的点方向式方程是x4y6． 74变式1 求经过点B、C两点的直线l的点方向式方程.解： BC7,4 ，x3y1． 74x4y5思考：有没有别的表达方式？ 74 是否一样呢 ？ 不妨化简，得到的都是：4x7y190

变式2 在ABC中，求平行于BC边的中位线MN所在直线的点方向方程.

1517解 AB的中点为M,，AC的中点为N4,，则MN,2，

2222x所以MN所在直线的点方向方程是

15y22． 722[说明]这些题目的解法关键在于找点和方向向量！

五、课堂小结

1.直线方程的定义

2.直线的点方向式方程的推导.3．用向量方法推导直线方程的主要思想 4．确定直线方程的几个要素

六、课后作业

习题11.1 A组1，2，3，4 ；B组1，2

推荐第8篇：解析几何直线方程教案(好)

直线方程

知识框架图

直线的倾斜角与斜率点斜式斜截式直线的方程两点式直线方程的综合运用截距式一般式两直线相交的判定及求相交两直线所成的角及求法两直线垂直的条件直线两直线的位置关系平行两直线平行的条件重合两直线重合的条件点在直线上的条件点到直线的位置关系点到直线距离的求法平行直线系直线系垂直直线系共点直线系其交点

直线的倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角。

规定当直线和x轴平行或重合时，其倾斜角为0，所以直线的倾斜角的范围是0180或0。

2、直线的斜率:倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，即ktan90。

（1）斜率的计算公式 （2）每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率存在于不存在这两种情况，否则会出现漏解。

（3）斜率是用来表示倾斜角不等于90的直线对于x轴的倾斜程度的。

直线方程的几种形式

1、点斜式：过已知点x0,y0，且切斜率为k的直线方程可以写成点斜式：yy0kxx0。

2、斜截式：若已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程可以写成斜截式：ykxb

3、两点式：若已知直线经过x1,y1和x2,y2两点，且x1直线的方程可以写成两点式：

yy1y2y1xx1x2x1x2,y1y2，则

4、斜截式：若已知直线在想x轴、y轴上的截距分别是a、ba0,b0,则直线方程可以写成斜截式：

xayb1。

5、特殊位置的直线方程：y轴所在直线的方程为x0；平行于y轴的直线方程为：xaa0；x轴所在直线的方程为y=0；平行于x轴的直线方程为ybb0

6、一般式：任何一条直线的方程均可写成一般式AxByC0A、B不同时为0的形式。反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。 两直线的平行于垂直 设两直线方程分别为

l1:yk1xb1或A1xB1xC10；l2:yk2xb2或A2xB2yC0A1,B1,C1,A2,B2,C2全部为零

的

，

当

1、l1//l2k1k2且b1b2或k1k2且b1b2或A1A2B1B2A1A2B1B2C1C2。特别

C1C2时两直线重合。

2、l1l2k1k21或A1A2B1B20

两直线的夹角

1、把两相交直线中的直线l1以逆时针方向绕交点旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角，它是向角，其范围是0。

2、直线l1与l2的夹角，是指由l1与l2相交所成的四个角的最小角（或

0,l不大于直角的角），又称为1和l2所成的角，它的取得范围是2。

点到直线的距离公式

设点Px0,y0和直线l:AxByC0.

1、若点d2p不在直线2l上，则点。

p到

l的距离为Ax0By0CAB点p在直线l上也满足

2、两平行线l1:AxByC10,l2:AxByC2直线系方程

0的距离为dC1C2AB22

具有某一个共同性质的一簇直线称为直线系，它的方程称为直线系方程，直线系方程通常只含有一个独立参数，常见的直角系有如下两类：

1、平行系

（1）斜率为k0（常数）的直线系：yk0xbb为参数 （2）平行

于

已

知

直

线A0xB0y0A0,B0是不全为零的常数的直线系：A0xB0yC0C0。

2、垂直直线系 （1）与斜率为k0k0（2）垂直

0的直线垂直的直线系：y1xb(b为参数）k0 线

于已知直A0xB0yC0A0、B0是不全为零的常数的直线系：B0x-A0y0为参数

3、过已知点的直线系

（1）以斜率k作为参数的直线系：yy0kxx0，直线过定点x0,y0;ykxb0,直线过定点0,b0。其中过定点且平行于y轴或与y轴重合的直线不在直线系内。 过两条直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20的交点的直线系：

2A1xB1yC1A2xB2yC20为参数，其中直线l不在直线系内。

推荐第9篇：直线的参数方程教案[推荐]

直线的参数方程

（一）

三动式学案 黄建伟

教学目标：

1.联系向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用．

2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、从特殊到一般的推理等数学思想．

3.通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研 的科学精神、严谨的科学态度、合作学习的习惯． 教学重点：联系向量等知识，写出直线的参数方程．

教学难点：通过向量法，建立参数t与点在直角坐标系中的坐标x,y之间的联系．

教学方式：启发、探究、交流与讨论. 教学手段：多媒体课件． 教学过程：

一、课前任务驱动

1.已知直线l:y3x1的倾斜角为，则tan______ sin______; cos_______ 2．已知直线经过点 M0(x0,y0)，斜率为k，则直线的方程为__________

3.已知向量a(2,3)，则a=______向量a的单位向量e=________,设ate，则t=_______.

4已知点M0(x0,y0)，M(x,y)，单位向量e(cos,sin)，向量M0Mte，则

1 x_______________

y___________

5.已知直线l:xy10与抛物线yx2交于A,B两点，求线段AB的长度和点M(1,2)到A,B两点的距离之积．

二、课堂师生互动

一、探究直线参数方程

问题一：经过点 M0(x0,y0)，倾斜角为2的直线l的普通方程是？请写出来。

2 问题二：已知直线l上一点M0(x0,y0)，直线l的倾斜角为，直线上的的动点M(x,y)，设e为直线l的单位方向向量（单位长度与坐标轴的单位长度相同），那么我们能利用表示出直线l单位方向向量e吗？请表示出来。

问题三：根据向量的共线定理，则存在实数t使得你能根据这个式子将有关x,y的等式表M0Mte，示出来吗？请写出来。

思考以下问题：

直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？

x2tcos10练习1：直线（t为参数）的倾斜角是（ ） y1tsin10A.80 B.170 C.10 D.100

x3tsin20练习2：直线（t为参数）的倾斜角是（ ） y1tcos20A.20 B.70 C.110 D.160

练习3：直线l:xy10的一个参数方程（过点M(1,2)）是___________

3 

二、探究直线参数方程参数的几何意义

xx0tcos问题一：由M0Mte，你能得到直线l的参数方程（t为参数）

yy0tsin中参数t的几何意义吗？t的取值范围是多少？

三、探究直线参数方程参数的运用

（一）探究过程

直线l:xy10的一个参数方程（过点M(1,2)）是___________ (1)当y0时，对应的参数t1=_______;对应的点A为_________.(2)当x2时，对应的参数t2=______;对应的点B为________.(3)AB=___________;t2t1=____________ (4)MAMB=_________;t2t1=__________ 结论1：

结论2：

xx0tcos探究：直线  （t为参数）与曲线yf(x)交于M1,M2两点，yytsin0

4 对应的参数分别为t1,t2，设点M(x0,y0)。 （1）曲线的弦M1M2的长是多少？ （2）MM1MM2是多少？

（二）例题讲练

例1.已知直线l:xy10与抛物线yx2交于A,B两点，求线段AB的长度和点M(1,2)到A,B两点的距离之积．

课堂练习：

41、已知过点P(2,0)，斜率为的直线和抛物线y22x相交于A,B两点，求

3PAPB的值。

课堂小结：

1、知识小结

5

2．思想方法小结

三、课后培育自动

1.经过点M(1，5)且倾斜角为参数方程是( ) 1111x1tx1tx1tx1t2222A. B.C. D.

3333y5y5y5y5tttt2222x22tt为参数上与点P2，

2、直线3距离等于2的点的坐标是 .y32t的直线，以定点M到动 点P的位移t为参数的3xtcosx42cos

3、直线与圆相切，则______ ytsiny2sin

4、经过点P(−1，2)，倾斜角为 4 的直线 l与圆 x2 +y2 = 9相交于A，B两点，求PAPBPA +PB和PAPB的值。

推荐第10篇：《23 直线的参数方程》教案

选修4-4 2-3直线的参数方程（第二课时）

一、教学目标：

知识与技能：掌握直线的参数方程。

过程与方法：.通过直线参数方程的应用，培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会数形结合、转化等数学思想。

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二重难点：教学重点：对直线的参数方程的考查。

教学难点：直线的参数方程中参数t的几何意义。

三、教学方法：自主学习与合作交流.

四、教学过程

（一）复习引入：

（1）经过定点M(x0,y0)，倾斜角为的直线的参数方程为

xx0tcos  （t为参数）。

yy0tsin【师生活动】教师提出如下问题让学生加强认识： ①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？

②参数t的取值范围是什么？ ③参数t的几何意义是什么？ 总结如下：①x0,y0，是常量，x,y,t是变量； ②tR；

③由于|e|1，且M0Mte，得到M0Mt，因此t表示直线上的动点M到定点M0的距离．当M0M的方向与数轴（直线）正方向相同时，t0；当M0M的方向与数轴（直线）正方向相反时，t0；当t0时，点M与点M0重合．

xx0tcos（2）直线  （t为参数）与曲线yf(x)交于M1,M2两点，yy0tsin对应的参数分别为t1,t2。

1 （1）曲线的弦M1M2的长是多少？

（2）线段M1M2的中点M对应的参数t的值是多少？

（）1M1M2t1t2，

（2）tt1t2 2【设计意图】复习直线的参数方程，体会参数的几何意义。

（二）基础练习

x3tsin20(t为参数）1．直线 的倾斜角为________________。 ytcos20x＝1＋3t，2．已知直线l1： (t为参数)与直线l2：2x－4y＝5相交于点B，求By＝2－4t点坐标 ________。

【师生活动】教师投影展示问题，学生单独解答，师生共同予以纠正、完善。 【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程。

（三）直线的参数方程应用，强化理解

1、例题：已知直线l过P(－1,2)，且倾斜角A,B两点，

(1)求直线l的参数方程；(2)求点P到A，B两点的距离的积； (2)求线段AB的长；(3)求AB的中点M的点的坐标；

【师生活动】先由学生思考并动手解决，教师适时点拨、引导。

【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决有关线段长度问题，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力。

（四）高考在线——直线参数的应用技巧

34，与抛物线yx2交于

x12t,1．(2009广东理)（坐标系与参数方程选做题）若直线l1:(t为参数)与

y2kt.2 xs,直线l2:（s为参数）垂直，则k 。

y12s.【考点定位】本小题考查参数方程化为普通方程、两条直线垂直问题，基础题。 2.（2010.福建高考）

2x3t2在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为，在极坐标(t为参数）y52t2系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆的方程为25sin

（1）求圆的直角坐标方程；

（2）设圆与直线交于点A,B若点P的坐标为

3,5，求PAPB。

【考点定位】本小题考查极坐标化为普通方程、直线与圆锥曲线的参数方程的综合应用，中等题。

【师生活动】先由学生独立思考并动手解决，教师指导自查，互查。 【设计意图】通过本题训练，会使学生有一定的提升，一：高考题很有针对性，二：高考题难易得当，三：高考题起导向作用。要找出高考的考点和考试题型，再针对学生的不足加以强化。

（五）归纳总结，提升认识

【师生活动】先让学生从知识、思想方法以及对本节课的感受等方面进行总结．教师在学生总结的基础上再进行概括。 1．知识小结

本节课继续学习直线的参数方程，并进行了简单应用，体会了直线参数方程在解决有关问题时的作用。 2．思想方法小结

在研究直线参数方程过程中渗透了数形结合、转化等数学思想。

（六）布置作业 39页，第1题

第11篇：直线的两点式方程教案

直线的两点式方程教案

一、教学目标

1、知识与技能

（1）握直线方程的两点的形式特点及适用范围； （2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。

2、过程与方法

让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。

3、情态与价值观

（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化； （2）培养学生用联系的观点看问题。

二、教学重点、难点：

1、重点：直线方程两点式。

2、难点：两点式推导过程的理解。

三、教学设想

问

题

1、利用点斜式解答如下问题：

（1）已知直线l经过两点P1(1,2),P2(3,5),求直线l的方程.（2）已知两点P1(x1,x2),P2(x2,y2)其中(x1x2,y1y2)，求通过这两点的直线方程。

设计意图

遵循由浅及深，由特殊到一般的认知规律。使学生在已有的知识基础上获得新结论，达到温故知新的目的。 师生活动

教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程： （1）y232(x1) y2y1x2x1（2）yy1(xx1)

教师指出：当y1y2时，方程可以写成

yy1y2y1 xx1x2x1(x1x2,y1y2)

由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式 问

题

2、若点P1(x1,x2),P2(x2,y2)中有x1x2，或y1y2，此时这两点的直线方程是什么？

设计意图

使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式。

师生活动

教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当x1x2时，直线与x轴垂直，所以直线方程为：xx1；当y1y2时，直线与y轴垂直，直线方程为：yy1。

问

题

3、例题教学

已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a0,b0，求直线l的方程。

设计意图

使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形。

师生活动

教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l的方程？那种方法更为简捷？然后由求出直线方程：

xayb1

教师指出：a,b的几何意义和截距式方程的概念。

问

题

4、例题教学

已知三角形的三个顶点A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。

设计意图

让学生学会根据题目中所给的条件，选择恰当的直线方程解决问题。

师生活动

教师给出中点坐标公式，学生根据自己的理解，选择恰当方法求出边BC所在的直线方程和该边上中线所在直线方程。在此基础上，学生交流各自的作法，并进行比较。

5、课堂练习

学生独立完成，教师检查、反馈。

6、小结

增强学生对直线方种四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）互相之间的联系的理解。

教师提出：

（1）到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？ （2）要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？

7、布置作业

巩固深化，培养学生的独立解决问题的能力。 学生课后完成

第12篇：直线的方程(二) 教案示例

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直线的方程(二)·教案示例

目的要求

1．掌握直线方程的两点式和截距式，并能运用这两种形式求出直线的方程． 2．培养学生的数形结合的数学思想． 内容分析

本节课的重难点是关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k＝0时对两点式的讨论及变形． 直线方程的两点式可由点斜式导出．对于直线方程的两点式的理解，应明确以下几点： (1)当直线平行于坐标轴时，即当直线没有斜率(x1＝x2)或斜率为0(y1 ＝y2)时，不能用两点式yy1xx1求出它的方程，但可以把两点式y2y1x2x1

化为整式形式：(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)就可以利用它求出过平面内任意两个已知点的直线的方程．

若x1＝x2，y1≠y2，则有x2－x1＝0即x＝x1； 若y1＝y2，x1≠x2，则有y－y1＝0即y＝y1．

(2)若已知两点恰好在坐标轴上(非原点)，则可用两点式的特例截距式写出直线的方程．由于由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．

(3)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式．

本节课有两个例题．例2是直线方程的截距式的推导，即直线方程的两点式的应用．例3是两点式方程的灵活应用．

教学过程

1．复习提问．

(1)什么叫直线方程的点斜式？它是如何导出的？ (2)已知直线分别经过下列两点，求直线的方程． ①A(2，1)、B(0，－3)； ②A(0，5)、B(5，0)； ③A(－4，－5)、B(0，0)；

④A(x1，y1)、B(x2，y2)，(x1≠x2)． 让学生口答上述解题过程和答案． 2．讲授新课．

(1)直线方程的两点式推导

针对上述第④小题师生共同归纳：

已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤： ①利用直线的斜率公式求出斜率k， ②利用点斜式写出直线的方程．

如第④小题：k＝y2y1(x≠x2)，x2x11

y2y1(x－x1)(Ⅰ)x2x1 ∴l的方程为：y－y1＝亿库教育网

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http://www.daodoc.com 当y1≠y2时，方程(Ⅰ)可以写成yy1xx1，(Ⅱ)y2y1x2x1

由于(Ⅱ)这个方程是由直线上两点确定的，因此叫做直线方程的两点式． (2)组织讨论

①(Ⅰ)式与(Ⅱ)式有何区别与联系？为什么把方程(Ⅱ)作为直线方程的两点式？

学生甲1：(Ⅱ)式是由(Ⅰ)式导出的，它们表示的直线范围不同．(Ⅰ)式中只需x1≠x2，它不能表示倾斜角为90°的直线的方程；(Ⅱ)式中x1≠x2且y1≠y2，它不能表示倾斜角为0°或90°的直线的方程，但(Ⅱ)式相对于(Ⅰ)式更对称、形式更美观、更整齐，便于记忆．

②两点式公式运用时应注意什么？ 学生乙1：应注意分类．

已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)

yy1xx1a若x1≠x2且y1≠y2，则直线l方程为；y2y1x2x1

b若x1＝x2且y1≠y2，则直线l方程为x＝x1； c若x1≠x2且y1＝y2，则直线l方程为y＝y1．

③(Ⅱ)式变形为(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)可用于求过平面上任意两点的直线方程吗？ 学生丙1：可以．

(3)讲解例2即直线方程的截距式推导．

已知直线l与x轴交于P1(a，0)，与y轴交于P2(0，b)，其中a≠0，b≠0，求直线l的方程． 解：因为直线l经过P1(a，0)和P2(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得

y0xa=b00axy就是+=1ab(Ⅰ)(Ⅱ)

点评：(Ⅱ)这个方程形式对称、美观．其中a是直线与x轴交点的横坐标，称a为直线在x轴上的截距，简称横截距；b是直线与y轴交点的纵坐标，称b为直线在y轴上的截距，简称纵截距．

因为方程(Ⅱ)是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，所以方程(Ⅱ)式叫做直线方程的截距式． (4)组织讨论

①a、b表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？

学生甲2：a、b表示的截距分别是直线与坐标轴x轴交点的横坐标，与y轴交点的纵坐标，而不是距离． ②截距式不能表示平面坐标系下哪些直线？

学生乙2：截距式不能表示平面坐标系下在x轴上或y轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式．

(5)口答练习(用投影仪打出) 下列直线方程的截距式是怎样的〉 ①横截距为2，纵截距为3； ②横截距为－5，纵截距为＋6； ③横截距为－2，纵截距为－3； ④横、纵截距都为－3． (6)讲解例3：

三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、C(0，2)(如图7－16)，求这个三角形三边所在直线的方程．

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分析：根据A、B、C三点坐标的特征，求AB所在的直线的方程应选用两点式；求BC所在的直线的方程应选用斜截式；求AC所在的直线的方程应选用截距式．

y0x(5)解：AB边所在直线的方程，由两点式得：＝即3x303(5) 2(3)＋8y＋15＝0，BC边所在直线的方程，由斜截式得：y＝x+203 xy即5x＋3y－6＝0，AC边所在直线的方程，由截距式得：＝1即52

2x－5y＋10＝0．

(7)反馈练习(用投影仪打出) ①求经过点P(4，5)且在两坐标轴上截距相等的直线的方程．

②直线l过(0，0)且平分平行四边形ABCD的面积．已知平行四边形两个顶点B(1，4)、D(5，0)，求直线l的方程．

③一直线l过P(－5，－4)且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求此直线的方程． (8)小结． ①填表：

方程名称已知条件直线方程示意图应用范围两点式截距式 ②特例：

Ⅰ)倾斜角α＝0°时，直线l的方程为y＝y1；

Ⅲ)直线l过原点(0，0)且倾斜角α≠90”时，直线l方程为y＝kx(其中k为直线l的斜率)． ③注意事项

对于“截距相等”或“横截距是纵截距多少倍”等相关问题应分两类讨论： Ⅰ)过原点(0，0)， Ⅱ)不过原点(0，0)． 布置作业

习题7．2第

6、

7、

8、

9、10题．

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http://www.daodoc.com Ⅱ)倾斜角α＝90°时，直线l的方程x＝x1；

第13篇：直线点斜式方程公开课教案

直线的点斜式方程

备课人：曾文龙

一、教学目标 知识与技能：（1）理解直线方程的点斜式的形式特点和适用范围；

（2）能正确利用直线的点斜式公式求直线方程。

过程与方法：（1）在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程； （2）学生通过探究直线点斜式方程形成过程，锻炼严谨的数学思维。

情感态度价值观：进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。

二、教学重难点

重点：理解并掌握直线的点斜式方程形式特点和适用范围。 难点：能正确利用直线的点斜式方程求直线方程

三、教学过程 Ⅰ 问题提出

1.

已知直线上两点P能否求出直线的斜率？特别的什么样的直线 1(x1,y1)，P2(x2,y2)，没有斜率？

ky2y

1 (x1x2)

x2x1直线垂直于x轴(即倾斜角为90°)时斜率不存在

2.

在平面直角坐标系中，已知直线的斜率能否确定其位置？ 3.

如果不能,再附加一个什么条件，直线的位置就确定了？

已知直线上的一点和直线的倾斜角（斜率）可以唯一确定一条直线。

4.

既然直线上一点P0(x0,y0)和其斜率k可以唯一确定一条直线，那么能否用它们来 表示这条直线的方程？ Ⅱ新知探究

直线的点斜式方程

引例

已知直线l过点P0(3,2)且斜率为3，点P(x,y)是l上不同于P0的一点，则x、y 满足怎样的关系式？

y23 x3归纳

已知直线l经过点P0(x0,y0)，且斜率为k，设点P(x,y)是直线l上不同于P0的任 意一点，那么x、y应该满足什么关系式？

yy0yyk(xx) k00xx0OyPP0x问题1

直线l上点P(x,y)满足kyy0，即yy0k(xx0)，那么直线l上每一

xx0个点的坐标都满足这个方程吗？

问题2

满足方程yy0k(xx0)的点是否都在直线l上？为什么？

知识生成：我们把方程yy0k(xx0)为叫做直线的点斜式方程，它表示经过点

P0(x0,y0)，斜率为k的一条直线。

点斜式

yy0k(xx0) 公式特点：同类坐标之差，k与横坐标相乘 几何特点：点P0和斜率k确定直线

适用范围：已知点和斜率，求直线方程，斜率不存在时不能用。 练一练：①求经过点P(1,2)，斜率为3的直线点斜式方程。

解

将点P(1,2)，斜率k3代入点斜式方程得

y23(x1) 所以直线方程为：y23x3

②求过点P(2,4)，且倾斜角为45的直线点斜式方程。

解 斜率ktan451，将点P(2,4)代入点斜式方程得

y4x2

③已知直线方程为y33(x4)，则这条直线经过的已知点及倾斜角分别是

A (4,3);60° B (-3,-4);30° C (4,3);30° D (-4,-3);60°

④ 方程yk(x2)表示一条什么样的直线？

经过点(2,0)且不垂直x轴的直线

想一想：经过点P0(3,2)，且与x轴平行的直线方程是什么？

分析：此时直线倾斜角为0，ktan00，所以直线方程为y20，即y2，

归纳

当直线l与y轴垂直时，直线的方程是什么？

y

yy00或yy0 问题3

x轴所在的直线方程是什么？

y0

想一想：经过点P0(3,2)，且与y轴平行的直线方程是什么？

OP0x

分析：此时直线倾斜角为90， 直线斜率不存在，方程不能用点斜式来表示，直线方程

y 为 x3

归纳

当直线l与x轴垂直时，直线的方程是什么？

P 0

xx00或xx0 问题4

y轴所在的直线方程是什么？

x0

问题5 所有直线是否都可以用点斜式表示？哪些直线不行？

当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示

Ⅲ 例题讲解

例1 直线l经过点P1(2,3)，P2(1,6)，求直线方程？

例2 求下列直线的方程

(1) 经过点A(2,5)，且与直线y2x7平行的直线方程 (2) 经过点B(1,1)，且与x轴平行的直线方程 (3) 经过点C(1,1)，且与x轴垂直的直线方程

练习：教材P95页 1,2 作业：教材P100页习题3.2 A组

1 (1)、(2)、(4)， 5, 10 Ⅳ小结

1. 本节课我们学习了哪些知识点？

2.直线点斜式、斜截式的形式特点和适用范围是什么？

点斜式：

O x yy0k(xx0)

xx00或xx0 当斜率不存在时：直线方程为：

第14篇：3.2.2《直线的两点式方程》教案

3.2.2 直线的两点式方程

教学目标

1、知识与技能

（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围； （2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。

2、过程与方法

让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。

3、情态与价值观

（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化； （2）培养学生用联系的观点看问题。 教学重点、难点：

1、重点：直线方程两点式。

2、难点：两点式推导过程的理解。教学过程：

一、复习准备：

1． 写出下列直线的点斜式、斜截式方程.①经过点A(-2,3),斜率是-1；②已知直线经过两点程.设计意图：遵循由浅及深，由特殊到一般的认知规律。使学生在已有的知识基础上获得新结论，达到温故知新的目的。

,求直线的方

二、讲授新课：

1.直线两点式方程的教学:

① 探讨:已知直线l经过p1(x1,y1),p2(x2,y2) (其中x1x2,y1y2)两点,如何求直线的点斜式方程?

yy1y2y1(xx1) x2x1两点式方程:由上述知, 经过p1(x1,y1),p2(x2,y2) (其中x1x2,y1y2)两点的直线方程为yy1xx1

⑴,

我们称⑴为直线的两点式方程,简称两y2y1x2x1- 1

（3）要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？

4．布置作业：①课本100页A组第9题，101页第11题，B组第1题（通用）

②课时作业A组1-9(通用)，10（985，实验班）

课时作业B组（985，实验班）

- 3 -

第15篇：直线的斜截式方程教案

直线的斜截式方程

教学目标

1、进一步复习斜率的概念，了解直线在y轴上的截距的概念；

2、李姐直线直线的斜截式方程与点斜式方程的关系；

3、初步掌握斜截式方程及其简单应用；

4、培养学生应用公式的能力。

教学重点

直线的斜截式方程。

教学难点

直线的斜截式方程及其应用。 教学过程

（一）复习引入

（1）提问：请同学们写出直线的点斜式方程，并说明（x，y），（x1，y1），k的几何意义。

（答案：直线的点斜式方程是y－y1=k（x－x1）；（x，y）是已知直线上的任意一点的坐标，（x1，y1）是直线上一个已知点的坐标，k是直线的斜率。） （2）已知直线l的斜率为k，与y轴的交点是（0，b），求直线l的方程。 （答案：y=kx+b）

（二）讲解新课

（1）直线在y轴上的截距

一条直线与y轴交点的纵坐标，叫做这条直线在y轴上的截距。 例如，引例中直线l与y轴交于点（0，b），则b就是直线l在y轴上的截距。 在这里特别要注意：截距是坐标的概念，而不是距离的概念。 （2）直线的斜截式方程

如果已知直线l的斜率是k，在y轴上的截距是b，那么直线l的方程是y=kx+b。 由于这个方程是由直线的斜率和直线在y轴上的截距确定的，所以叫做直线方程的斜截式。

这个方程的导出过程就是引例的解题过程。这是我们同学们自己推导出来的。 （3）我们来认识一下这个方程 ①它和一次函数的解析式相似而不相同

在一次函数的解析式中，k不能为0，而直线的斜截式方程没有这个限制。 ②练一练

根据直线l的斜截式方程，写出它们的斜率和在y轴上的截距： （1）y=3x－2，

k=_________，b=_________ 21（2）yx,

k=_________，b=_________ 33（3）y=－x－1，

k=_________，b=_________ （4）y3x2，

k=_________，b=_________

1

小结：通过练一练中的这些题目，告诉我们：掌握斜截式方程的第一个要求是要能够根据直线的斜截式方程写出直线的斜率和在y轴上的截距。 （4）直线的斜截式方程的应用 例1 求与y轴交于点（0，－4），且倾斜角为150°的直线方程。 解：直线与y轴交于点（0，－4），



直线在y轴上的截距是－4 .

又直线的倾斜角为150°，

直线的斜率ktan1503

3将他们代入斜截式方程，得

y化简，得 3x4， 33x2y120

这就是与y轴交于点（0，－4），且倾斜角为150°的直线方程。 例2 已知直线l过点（3,0），在y轴上的截距是－２，求直线l的方程。 解：直线l过点（3,0），在y轴上的截距是－２，



直线l过点（3,0）和（0，－２）。 将它们代入斜率公式，得

202k

033又知，直线l在y轴上的截距是－２，即b=－２.将它们代入斜截式方程，得

2

yx2

3化简，得

2x3y60

这就是所求直线l的方程.

小结：通过这两个例题，告诉我们：如果知道了直线的斜率和在y轴上的截距就可以直接写出直线的斜截式方程，如果题目没有直接给出这两个条件，那么久必须利用已知，找到这两个条件，然后再利用斜截式求直线方程.讲评：老师在带领学生做过练一练之后和讲解了两个例题之后所做的小结很好，它点明了直线的斜截式方程应用的要点，同时也明确了这一节课的重点内容.（5）练习

教材

P76练习1-3.

（三）布置作业

学生学习指导用书

直线的斜截式方程

2

教学设计说明

本教案的前一课时学习了直线的点斜式方程，本节开始直接利用点斜式方程引出斜截式方程，这种引入方法，既复习了前一节的内容，又引出了新课，直截了当并且显得很自然，同时还讲清了直线的斜截式方程与点斜式方程的关系。因为学生常常误认为截距是距离，实际上，截距是坐标的概念，是一个可正，可负，可零的实数，教案对此专门进行了提醒，十分必要。教案还在练一练与例题之后分别给出了小结，这对学生掌握直线的斜截式方程及其应用很有帮助。

第16篇：高中直线的两点式方程教案

直线的两点式方程

一、教学目标

1、知识与技能：（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。

2、过程与方法 让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。

3、情态与价值观 （1）认识事物之间的普遍联系与相互转化； （2）培养学生用联系的观点看问题。

二、教学重点、难点

教学重点：掌握直线的两点式方程。

教学难点：直线的两点式方程的推导过程和理解它。

三、教具 ：三角板。学具：三角尺。

四、教学过程

（一）复习导入

上节课我们学习了直线的点斜式方程，现在同学们利用点斜式解答如下问题：①已知直线l经过两点P1,2),P2(3,5),求直线l的方程.②已知两点1(其中(x1x2,y1y2)，求通过这两点的直线方程。 P1(x1,x2),P2(x2,y2)y2y13yy(xx1) 学生解得：①y2(x1)；②1x2x1

2（二）新课讲解

1、直线两点式方程推导

教师指出：对于上面的②当y1y2时，方程可以写成

yy1xx1(x1x2,y1y2)

y2y1x2x1由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式。 思考；若点P中有x1x2，或y1y2，此时这两点的直线方1(x1,x2),P2(x2,y2)程是什么？

教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当x1x2时，直线与x轴垂直，所以直线方程为：xx1；当y1y2时，直线与y轴垂直，直线方程为：yy1； 使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式。告诉学生经过点P的所有直线的方程可以写成： 1(x1,x2),P2(x2,y2)(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)0

2、例题讲解 例

1、已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a0,b0，求直线l的方程。

解得直线方程：

教师指出：a,b的几何意义和截距式方程的概念。

例

2、已知三角形的三个顶点A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。

教师给出中点坐标公式，学生根据自己的理解，选择恰当方法求出边BC所在的直线方程和该边上中线所在直线方程。在此基础上，学生交流各自的作法，并进行比较。

3、课堂练习

课本107页的1.2.3题

4、课堂小结

先问学生：这节课学到哪些知识？可以解决哪些问题？让学生自由发言，教师再作补充。

5、作业

课本110页第1和第3题。

五、教学反思

本节主要讲授了直线的亮点是方程，是一节讲解课。

本节的知识内容是在学生学习了直线的点斜式方程的基础上引进的，所以在教学过程中，教师不仅可以了解学生掌握旧知的情况，同时还要引导学生过渡到新知。在解决问题的时候，教师要留给学生充分的思考与交流的时间，让学生开阔思路，培养学生的逻辑能力。

在教学设计上，不仅关注学生的思考过程，还要关注学生的思考习惯，本节的推理逻辑性较强，让学生动手、动脑、动笔去推导公式，让学生体会到数学的严谨性，并获得数学活动的经验，提高机自己的逻辑思维能力。

不足之处就是引用的例题不够理想，只是按照教材顺序进行，自己未能创新。 xy1 ab

第17篇：直线的方程教学反思

找教案

在进行《直线的方程》一章教学时，笔者遇到了这样一个问题：就是我们反复在讲直线方程的5种形式，包括点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，但是到了学生那里，只要求到直线方程，则十有八九是利用斜截式，即设直线的方程为y = kx + b，然后根据题目的已知条件求出相应的k和b．学生这样做固然也能把直线的方程求出来，但对于有些问题而言显然不是最好的方法．虽然在课上也强调对于不同的条件，要合理选择相应类型的直线方程，以简化计算，但是还有相当部分学生老是抱着斜截式不放．

我在想，是什么原因导致学生始终也摆脱不了这种“k、b情结”呢？原来，学生在初中阶段已经学过一次函数，当初一次函数的解析式的形式就是y = kx + b．我并没有贬低初中老师的意思，相反，我真的太佩服我们的初中老师了，在他们的辛勤耕耘下，我们的学生都成了一个个“训练有素”的解题高手，只要求到直线的方程，想也不要想，设为y = kx + b．殊不知，如今行情已经变了，需要“与时俱进”一下了．

由此，我们就得出了这样一个结论，教学中间的很多东西需要强调，但有时候强调得过了头，反而会适得其反，还是那句老话：过犹不及！就像一次函数的解析式，初中老师强调得过了头，我们高中老师在教《直线的方程》这一部分时就看出后遗症了．这么一强调，学生的中考成绩是有保证了，但是思维严重僵化，不懂变通，不愿接受新知识，当然更不用谈什么创新了．大概中国基础教育缺乏对学生创新能力的培养，由此也可窥见一斑吧．另外，要解决上面的问题，我认为在教学时还要补充讲一个东西，那就是函数图像及其解析式和曲线及其方程之间的联系与区别．初中讲直线，是将其视为一次函数，它的解析式是y = kx + b，图像是一条直线；高中讲直线，是将其视为一条平面曲线（更确切地讲是点的轨迹），它的方程是二元一次方程，而y = kx + b只是直线方程的一种形式．作为函数解析式的y = kx + b，x是自变量，y是因变量，只有当自变量x的值取定，因变量y的值才能确定，它们的地位是“不平等”的．而作为直线方程的y = kx + b，x和y是直线上动点的横坐标和纵坐标，它们的地位是平等的．函数的解析式一定可以转化为曲线的方程，但曲线的方程却不一定能够转化为函数的解析式．

第18篇：高二数学教案：直线的方程

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直线的方程（1）

【教学目标】1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特例；

2.能通过待定系数（直线上的一个点的坐标(x1,y1)及斜率k，或者直线的斜率k及在y轴上的截距b）求直线方程；3.掌握斜率不存在时的直线方程，即xx1．

【教学重点】直线的点斜式、斜截式方程的推导及运用.【教学难点】直线的点斜式的推导。 【教学过程】

（一）复习：（1）直线的倾斜角和斜率的概念；

（2）直线上两个不同点(x1,y1),(x2,y2)，x1x2，求此直线的斜率k．

（二）新课讲解： 1．点斜式

问题引入：已知直线l经过点P1(x1,y1)，且斜率为k，求直线l的方程.设点P(x,y)是直线l不同于点P1(x1,y1)的任意一点，根据直线的斜率公式， 得：kyy1xx1，可化为yy1k(xx1)．

可以验证：直线l上每一个点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在直线l上.

这个方程就是过点P1，斜率为k的直线l的方程，叫做直线方程的点斜式．

2．两种特殊的直线方程

（1）直线l经过点P1(x1,y1)的倾斜角为0，则ktan00，直线l的方程是yy1； （2）直线l经过点P1(x1,y1)的倾斜角为90，则斜率不存在，因为直线l上每一点的横坐标都等于x1，直线l的方程是xx1．

此时不能使用直线方程的点斜式求它的方程，这时直线l的方程是xx1。 3．问：kyy1xx1与yy1k(xx1)表示同一直线吗？．

（三）例题分析：

例1．一条直线经过点P1(2,3)，倾斜角为45，求这条直线方程，并画出图形。

解：∵直线经过点P1(2,3)，且斜率ktan451， 代入点斜式，得：y3x2，即xy50．

xy50

y

5 O x

例2．直线l斜率为k，与y轴的交点是P(0,b)，求直线l的方程。

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解：代入直线的点斜式，得：ybk(x0)，即ykxb．

说明：（1）直线l与x轴交点(a,0)，与y轴交点(0,b)，称a为直线l在x轴上的截距，称b为直线l在y轴上的截距；

（2）这个方程由直线l斜率k和它在y轴上的截距b确定，叫做直线方程的斜截式；

（3）初中学习的一次函数ykxb中，常数k是直线的斜率，常数b为直线在y轴上的截距（b可以大于0，也可以等于或小于0）．

例3．已知直线l经过点P(2,1)，且倾斜角等于直线y2x1的倾斜角的2倍，求直线l的方程．

解：设已知直线的倾斜角为，则直线l的倾斜角为2，

2tan4 ∵tan2， ∴ktan2， 21tan3又∵直线l经过点P(2,1)， ∴直线l的方程为y1(x2)， 3即所求的直线方程为4x3y110． 4例4．求直线y3(x2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转30所得的直线方程。

解：设直线y3(x2)的倾斜角为，则tan3，

又∵[0,180)，

∴120，

∴所求的直线的倾斜角为1203090，

所以，所求的直线方程为x2．

例5：已知直线过点P（-2，3），且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程。

分析：关键是求斜率k.解：因为直线与x轴不垂直，所以可设直线的方程为y-3=k(x+2) 令x=0得y=2k+3;令y=0得x=12（|2k3）(3k3k3k2 由题意得：

2)|4,

2)8,无解；若（2k3）(3k2)8,解得：k12,k92若（2k3）(

所求直线的方程为y312(x2)和y392(x2)

即x2y40和9x2y120规律：已知直线过一个点常选用直线方程的点斜式。

（四）．课堂练习：1．课本第39页练习1，2，3；

 2．求直线yxcot1,(,)的倾斜角；

2 3．求过点(2,1)且倾斜角满足sin

45的直线方程.

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（五）．小结：要求直线方程，通过待定系数：直线上的一个点的坐标(x1,y1)及斜率k，或者直线的斜

率k及在y轴上的截距b，代入点斜式或斜截式求出直线方程.

（六）．作业：课本第44页第1题（1）（3）（5）

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第19篇：回归直线方程教学设计

直线的回归方程教学设计

一、课题引入

引言：我们知道，通过散点图可以判断两个变量之间是否具有“正相关”或“负相关”，但这只是一个定性的判断，更多的时候，我们需要的是定量的刻画．

问题1：下列两个散点图中,两个变量之间是否具有线性相关关系？理由呢？是正相关还是负相关？

设计意图：回顾上节课所学内容，使学生的思想、知识和心理能较快地进入本节课课堂学习的状态．

师生活动：学生回答，图1没有线性相关关系，图2有线性相关关系，因为图1中的所有点都落在某一直线的附近．通过问题，使学生回忆前2节课核心概念：线性相关关系、正相关、负相关等，为后续学习打基础．

二、本节课的新知识

问题2：通过上一节课的学习，我们认为以“偏差”最小的直线作为回归直线比较恰当，那你能用代数式来刻画“从整体上看，各点与此直线的偏差最小”吗？

设计意图：几何问题代数化，为下一步探究作好准备，经历“几何直观”转化为“代数表达”过程，为引出“最小二乘法”作准备．

师生活动：先展示上一节课的讨论结果：学生提出的如下四种可能性：图3(1)表示每一点到直线的垂直距离之和最短，图3(2)表示每一点到直线的“偏差”之和最短，图3(3)表示经过点最多的直线，图3(4)表示上下点的个数“大概”一样多的直线．通过上一节课的分析，我们认为选择偏差之和最短比较恰当，即图3（2）．

设回归直线方程为为型：

，（xi，yi）表示第i个样本点，将样本数据记

，学生思考，教师启发学生比较下列几个用于评价的模

模型3：

．

师生一起分析后，得出用模型3来制定标准评价一条直线是否为“最好”的直线

222较为方便． Q=（y1－bx1－a）+（y2－bx2－a）+„+（yn－bxn－a）=

问题3：通过对问题2的分析，我们知道了用Q=最小来表示偏差最小，那么在这个式子中，当样本点的坐标（xi，yi）确定时，a,b等于多少，Q能取到最小值呢？

设计意图：体会最小二乘法思想，不经历公式化简无法真正理解其意义，而直接从n个点的公式化简，教学要求、教学时间、学生能力都没达到这个高度．因而由具体到抽象，由特殊到一般，将是学生顺利完成这一认知过程的一般性原则．通过这个问题，让学生了解这个式子的结构，为后续的学习打下基础，同时渗透最小值的思想

师生活动：偏差最小从本质上来说是

2最小，为了处理方便，我们采用n个偏差的平方和Q=（y1－bx1－a）2+（y2－bx2－a）+…+（yn－bxn－a）2表示n个点与相应直线在整体上的接近程度：记Q=（向学生说明的意义）．通过化简，得到的其实是关于a、b的二元二次函数求最值的问题，一定存在这样的a、b，使Q取到最小值． （1）在此基础上，视

为的二次函数时，可求出使Q为最小值时的的值的线性回归方程系数公式：

（2）教师指出，

称为样本点的中心，可以证明回归直线一定过样本点

上述方法求回归直线的方法， 的中心，所以可得是使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，由于平方又叫二乘方，所以这种使距离平方最小的方法，叫做最小二乘法．

问题4：这个公式不要求记忆，但要会运用这个公式进行运算，那么，要求,的值，你会按怎样的顺序求呢？

设计意图：公式不要求推导，又不要求记忆，学生对这个公式缺少感性的认识，通过这个问题，使学生从感性的层次上对公式有所了解．

师生活动：由于这个公式比较复杂，因此在运用这个公式求,时，必须要有条理，先求什么，再求什么，比如，我们可以按照

、n、、

、

、顺序来求，再代入公式．我们一般可以列如下表格进行分布计算：

三、知识深化：

问题5：你能根据表一所提供的样本数据，求出线性回归方程吗？

表一：人体的脂肪百分比和年龄

设计意图：公式形式化程度高、表达复杂，通过分解计算，可加深对公式结构的理解．同时，通过例题，反映数据处理的繁杂性，体现计算器处理的优越性．

师生活动：步骤一，可让学生观察公式，充分讨论，通过计算：n、、、、五个数据带入回归方程公式得到线性回归方程，体会求线性回归方程的原理与方法．

由此可以得到回归直线方程为：

步骤二，教师分析求线性回归方程的基本步骤，然后带领学生用卡西欧FX-991 ES计算器求出线性回归方程并画出回归直线，教师可协同学生，对计算器操作方式提供示范，师生共同完成．

问题6：利用计算器，根据以下表中的数据，请同学们独立解决求出表中两变量的回归方程：

设计意图：让学生独立体验运用计算器求回归直线方程，在重复求解回归直线的过程中，使学生掌握用计算器求回归直线的操作方法。回归直线为：=0.6541x-4.5659

回归直线为：=0.4767x+4.9476 回归直线为：= 0.5765x - 0.4478 问题7：同样问题背景，为什么回归直线不止一条？回归方程求出后，变量间的相关关系是否就转变成确定关系？

设计意图：明确样本的选择影响回归直线方程，体现统计的随机思想．同时，明确其揭示的是相关关系而非函数的确定关系，而且最小二乘法只是某一标准下的一种数据处理方法，使学生更全面的理解回归直线这一核心概念． 案例：卖出热茶的杯数与当天气温的关系

下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表（用计算器直接求回归直线）：

（1）求回归方程；（2）按照回归方程，计算温度为10度时销售杯数．为什么与表中不同？如果某天的气温是－5℃时，预测这天小卖部卖出热茶的杯数．

让学生完整经历求回归直线的过程．其中第2问，让学生体会到即使是相比下“最优”的所获得的回归直线，也存在着一定的误差，从中体会无论方法的优劣，统计学中随机性无法避免．而在预测值的计算中，体现了回归直线的应用价值．

通过对案例的分析，说明事件、样本数据、回归直线方程三者关系： 1．数据采样本身就具有随机性，同样23岁的人，脂肪含量可能9.5%，也有可能30%，这种误差我们称之为随机误差，随机误差是不可避免的．

2．回归分析是寻找相关关系中非确定关系中的某种确定性，虽然一个数据具有随机误差，但总体还是具有某种确定的关系．

3．在数据采样都符合统计要求的情况下，取三个回归直线方程中的任意一个都是合理的，不存在哪条最合适的问题，但一般情况下，选择数据多一些的比较合理．

四、小结：

问题8：请同学们回顾一下我们怎样求出回归直线方程？事件、样本数据与回归直线三者之间有怎样的关系？ 师生活动：

1.求样本数据的线性回归方程的方法 (1)直接运用公式

(2)借助计算器或计算机(使用方法见学案) 2.样本数据与回归直线的关系

第20篇：公开课教案直线的点向式方程

公 开 课 教 案

课题：直线的点向式方程. 授课人：罗华光（邻水职中） 教学目标：

1．理解直线的点向式方程的推导过程，掌握直线的点向式方程.2．会运用直线的点向式方程. 3．培养学生数形结合的思想和转化的思想和能力.4．培养学生分析问题，解决问题的能力.教学重点：直线的点向式方程.教学难点：直线的点向式方程的推导.教学方法：讲授法.教学过程：

一、复习回顾

在第七章我们学习了向量共线（或平行）的概念，如图9-1.线（或平行）的直线，

是一定点，是过点

与共为上的任一点，由向量共线（或平行）可知，一定存在一个实数，使＝ ，

二、问题情境

已知直线过一个一点且和一个非零向量共线（或平行），这条直线是否唯一确定？.（学生动手验证）今天我们来推导已知直线过一个点且和一个非零向量共线（或平行）的直线的方程(教师将导入语叙述到这时板书课题)

三、建构数学

在直角坐标系中，已知点

(

，

)(图9－1)，我们来求过点

，并且与非零向量共线（或平行）的直线的方程.其中叫做直线的方向向量.

设 (，＝)是一动点，点，∈

∈的充分必要条件是与共线（或平行），即

，

(1)

将(1)换用坐标表示，得 (－

消去参数，得 (－

)－

，(

－－

)＝(，)， 即 (2)

)＝0

(3)

在方程(2)中，如果≠0，(

≠0可得到 ，

)，方向向量为＝(

(4) ，

)的直线的点向式方程.

方程(3)和(4)都叫做通过特别地， 当＝0(此时≠0，否则为零向量)时，则由(3)式得到方程＝(

，

，

它表示通过

当＝0(此时

)，且平行于轴的直线(图9–2(1)).

＝

， ≠0，)则由(3)式得到方程(

，

它表示通过)，且平行轴的直线(图9–2(2)).

有了直线的点向式方程，只要知道直线上一点的坐标和一个方向向量，就可以直接根据直线的点向式方程求出直线的点向式方程.

四、数学应用

例1．分别说出下列直线经过的一个点M0和它的一个方向向量v的坐标：

(1)x21y1

3(2)

x2y10

解：（1）点M0（2，1），

方向向量v（－1，3）

（2）点M0（0，－1）， 方向向量v（－2，0）

例2．直线l经过点M0（－1，2），一个方向向量为v（1，－3），写出l的点向式方程

解：直线l的点向式方程是

五、课堂小结

通过今天的教学，大家应该:

1．知道除一个点和一个非零向量可以确定一条直线.

2．掌握直线的点向式方程.

(1)记住并理解方程中各字母的含义；

(2)注意平行于轴和平行于轴的直线方程；

(3)会用它求直线的点向式方程.

x11y23.

六、课外作业

P51

1、2题

《直线方程教案模板doc.doc》

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