11.1直线方程教案

2020-03-02 14:10:07 来源：范文大全收藏下载本文

11．1 （２）直线方程（点法向式）

一、教学内容分析

本节的重点是直线的点法向式方程以及一般式方程的推导及应用.在上一堂课的基础上，通过向量垂直的充要条件（对应坐标的关系式）推导出直线的点法向式方程.引导同学发现直线的点方向式方程、点法向式方程都可以整理成关于x、y的一次方程axbyc0（a、b不全为零）的形式.本节的难点是通过对直线与二元一次方程关系的分析，初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想！从而培养学生用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）的研究能力.

二、教学目标设计

在理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程的基础上，进一步探究点法向式方程以及一般式方程；学会分类讨论、数形结合等数学思想，形成探究能力.

三、教学重点及难点

直线的点法向式方程以及一般式方程；

四、教学过程设计

一、复习上一堂课的教学内容

二、讲授新课

（一）点法向式方程

1、概念引入

从上一堂课的教学中，我们知道，在平面上过一已知点P，且与某一方向平行的直线l是惟一确定的．同样在平面上过一已知点P，且与某一方向垂直的直线l也是惟一确定的．

2、概念形成

 直线的点法向式方程

在平面上过一已知点P，且与某一方向垂直的直线l是惟一确定的.建立直角坐标平面，设P的坐标是(x0,y0)，方向用非零向量n(a,b)表示.

 直线的点法向式方程的推导

设直线l上任意一点Q的坐标为(x,y)，由直线垂直于非零向量n，故PQn.根据PQn的充要条件知PQn0，即：a(xx0)b(yy0)0①；反之，若(x1,y1)为方程⑤的任意一解，即a(x1x0)b(y1y0)0，记(x1,y1)为坐标的点为Q1，可知PQ1n，即Q1在直线l上.综上，根据直线方程的定义知，方程⑤是直线l的方程，直线l是方程①的直线.我们把方程a(xx0)b(yy0)0叫做直线l的点法向式方程，非零向量n叫做直线l的法向量.



3、概念深化

从上面的推导看，法向量n是不唯一的，与直线垂直的非零向量都可以作为法向量.若直线的一个方向向量是(u,v)，则它的一个法向量是(v,u).

4、例题解析

例1 已知点A1，2，B3，4，求AB的垂直平分线l的点法向式方程.解由中点公式，可以得到AB的中点坐标为1,3，AB4,2是直线l的法向量，所以，AB的垂直平分线l的点法向式方程.4x12y30 [说明]关键在于找点和法向量！

例2已知点A(1,6),B(1,2)和点C(6,3)是三角形的三个顶点，求（1）BC边所在直线方程；

（2）BC边上的高AD所在直线方程.解（1）因为BC边所在直线的一个方向向量BC＝（7，5），且该直线经过点B(1,2)，所以BC边所在直线的点方向式方程为

x1y2 75（2）因为BC边上的高AD所在的直线的一个法向量为BC＝（7，5），且该直线经过点A(1,6)，所以高AD所在直线的点法向式方程为

7(x1)5(y6)0

５、巩固练习练习11.1（2）

（二）一般式方程

1、概念引入

由直线的点方向式方程和点法向式方程，我们可以发现，平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示；那么每一个关于x,y的二元一次方程axbyc0（a，b不同时为表示一条直线呢？

2、概念形成

 直线的一般式方程的定义

0）是否都直线的点方向式方程和直线的点法向式方程经过整理，成为x,y的二元一次方程axbyc0.反之，任意二元一次方程axbyc0(a,b不全为0)都是直线方程么？回答是肯定的.首先，当b0时，方程可化为axb(y)0，根据直线点法向式方程可知，这是过点(0,)，以(a,b)为一个法向量的直线；当b0时，方程为axc0，由于a0，方程化为x直线.所以二元一次方程axbyc0(a,b不全为0)是直线的方程，叫做直线的一般式方程.３、例题解析

例1 ABC中，已知A(1,2)、B(3,4)，求AB边的中垂线的一般式方程.cbcbcc，表示过点(,0)且垂直于x轴的aa解直线过AB中点D(1,3)，nAB(4,2)，则其点法向式方程为4(x1)2(y3)0，整理为一般式方程2xy50.[说明]点法向式方程化为一般式方程.例2（1）求过点A(2,5)且平行于直线l1:4x3y90的直线方程；（2）求过点B(3,4)且垂直于直线l2:3x7y60的直线方程.解（1）解一：n(4,3),d(3,4)，又直线过点A(2,5)，故直线的方程为4(x2)3(y5)化简得4x3y230.解二：n(4又,3),直线过点A(2,5)，故直线的点法向式方程为4(x2)3(y5)0化简得4x3y230.解三：设与l1:4x3y90平行的直线方程为4x3yc0，又直线过点A(2,5)故4(2)35c0，c23，所以直线的方程是4x3y230.（2）解一：l1的法向量n1(3,7)为所求直线的方向向量，又直线过点B(3,4)，故直线的方程为7(x3)3(y4)化简得7x3y330.解二：设与l2:3x7y60垂直的直线方程为7x3yc0，又直线过点B(3,4)故733(4)c0，c33，所以直线的方程是7x3y330.[说明]一般地，与直线axbyc0平行的直线可设为axbyc0(其中cc)；而与直线axbyc0垂直的直线可设为bxayc0.例3能否把直线方程2x3y50化为点方向式方程？点法向式方程？若能，它的点方向式方程和点法向式纺方程是否唯一？并观察x、y的系数与方向向量和法向量有什么联系？解： x1y1x1y1x2、、32323y

13、x4y1……

6422(x1)3(y1)0、4（x+4）+6(y-1)=0……

能够化成点方向式的形式，并且有无数个！

所有的方向向量之间存在：一个非零实数，使得d1d23,2；易得点法向式方程也是不唯一的，并且有无数个！

所有的法向量之间存在：一个非零实数，使得n1n22,3

变式：直线axbyc0的方向向量可以表示为b,a

直线axbyc0的法向量可以表示为a,b

[说明]注意直线的一般式方程和点方向式方程与点法向式方程的联系.

三、巩固练习练习11.1（3）补充练习

1、（1）若直线过两点A(a,0),B(0,b)，则a,b分别叫做该直线在x,y轴上的截距.当ab0时，求直线AB的方程；

（2）若过点P(4,3)的直线l在两坐标轴上截距相等，求直线l的方程.

2、已知直线l过点P(2,3)且与x,y轴分别交于A,B两点.

（1）若P为AB中点，求直线l的方程；（2）若P分AB所成的比为2，求l的方程.

3、已知直线l的方程为：(a2)x(12a)y43a0(常数aR) （1）求证:不论a取何值，直线l恒过定点；

（2）记（1）中的定点为P，若lOP（O为原点），求实数a的值.

4、ABCD中，三个顶点坐标依次为A(2,3)、B(2,4)、C(6,1)，求（1）直线AD与直线CD的方程；（2）D点坐标.

5、．过点P(5,4)作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5个单位面积，求直线l的方程.

6、已知两直线a1xb1y10和a2xb2y10都通过P(2,3),求证：经过两点Q1(a1,b1)，Q2(a2,b2)的直线方程是2x3y10.

四、课堂小结１.直线的点法向式方程和一般方程的推导；

２．直线的点方向式方程、点法向式方程和一般方程这三种形式方程之间的互相之间的联系.３、确定直线方程的几个要素

五、课后作业

习题11.1 A组5,6,7；B组3，4习题11.1 A组8 补充作业：

1.直线3xy20的单位法向量是___________.2.直线l的一般式方程为2x3y70，则其点方向式方程可以是__________；点法向式方程可以是_____________.3.过P(4,3)且垂直y轴的直线方程是_______________.4.若直线(2m)xmy30的法向量恰为直线xmy30的方向向量，求实数m的值.5.已知点P(2,1)及直线l:3x2y50，求：

（1）过点P且与l平行的直线方程；（2）过点P且与l垂直的直线方程.6.正方形ABCD的顶点A的坐标为(4,0)，它的中心M的坐标为(0,3)，求正方形两条对角线AC,BD所在的直线方程.7.已知A,B,C的坐标分别为(1,3),(b,0),(0,c)，其中b,c均为正整数，问过这三点的直线l是否存在？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.8.设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)

（1）证明：直线l过定点；

（2）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程.

六、教学设计说明

在上一堂课的基础上，通过向量垂直的充要条件（对应坐标的关系式），引导学生自主推导出直线的点法向式方程.通过对直线与二元一次方程关系的分析，引导学生经历由特殊到一般的思维过程，培养学生的探究能力.