用反证法证明

推荐第1篇：用反证法证明不等式

用反证法证明不等式

一、反证法的含义

反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果．这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立．”这种证明的方法，叫做反证法．

二、反证法的严密性

数学证明方法可分为直接证法和间接证法，从原命题所给的条件出发，根据已有的公理、定义、法则、公式，通过一系列的推理，一直推到所要证明的命题的结论，这种证法叫做直接证法．有些命题不易用直接证法去证明，这时可通过证明它的等价命题真，从而断定原命题真，这种证法叫做间接证法．数学中常用的间接证法有反证法．

既然反证法是间接证法，那么反证法也是通过证明原命题的等价命题从而证明原命题的．

三、反证法证题的步骤

用反证法证题一般分为三个步骤：

1、假设命题的结论不成立；

2、从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；

3、由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．

即：提出假设——推出矛盾——肯定结论．

四、反证法的分类

反证法中有归谬法和穷举法两种．

原命题的结论的否定只有一种情况，只要把这种情况推翻，就可以肯定原命题结论成立，这种反证法叫做归谬法；如果原命题的结论的否定不止一种情况，那么就必须把这几种情况一一否定，才能肯定原命题结论成立，这种反证法叫做穷举法．

五、反证法中常见的矛盾形式

（1）与已知条件即题设矛盾；

（2）与假设即反设矛盾；

（3）与已知的定义、公理和定理矛盾，即得出一个恒假命题；`

（4）自相矛盾．

六、反证法的适用范围

（1）已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少；

（2）命题的结论以否定形式出现时；

（3）命题的结论以“至多”、“至少”的形式出现时；

（4）命题的结论以“唯一”的形式出现；

（5）命题的结论以“无限”的形式出现时；

（6）关于存在性命题；

（7）某些定理的逆定理．

总之，正难则反，直接的东西较少、较抽象、较困难时，其反面常会较多、较具体、较容易．

反证法有进也用于整个命题论证过程的某个局部环节上．

七、用反证法证明不等式举例

例 已知、

、、

，且

.求证：、

、、

中至少有一个是负数.选题意图：本题考查利用反证法证明不等式.

证明：假设、

、、

都是非负数，

∵

∴

又

∴

这与已知

.矛盾.， .∴、

、、

中至少有一个是负数.

推荐第2篇：专题：不等式的证明——反证法

专题：不等式的证明问题 ——反证法

反证法证明不等式  方法介绍：

从否定结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证实否定的结论是错误的，从而肯定原结论是正确的。 规律点拨：

① 必须先否定结论，当结论的反面呈现多样性时，要分类讨论各种可能的情况。

② 否定结论之后，必须要从否定的结论出发进行逻辑推理，得出矛盾。

③ 推导出的矛盾多种多样。可能与已知矛盾、与假设矛盾、与公理事实相矛盾等等。动笔前先审视题目中可能利用的矛盾类型，可以令思路更清晰。

④ 当结论是：“都是。。。。”、“都不是。。。”、“至少。。。”、“至多。。。”等形式时常用反证法。  典型题例

1.设a，b，cR，且abc0，

abbcac0，abc0。求证：

1ba

、

1ab

中至少有一个小于2。

4.已知a、b、c(0,1)，求证：

(1a)b、(1b)c、(1c)a不能同时大于1/4.

5.a，b，cR，求证：

a2c、b2a、c2b三个式子中至

少有一个不小于1。

a，b，c均大于零。

2.设

f(x)xpxq(p,qR)

证明：f(1)、f(2)、f(3)中至少有一个不小于1/2。

3.已知a0，b0且ab2，求证：

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推荐第3篇：反证法

第1课时反证法

一、学前准备

1、复习回顾

两点确定条直线；过直线外一点有且只有条直线与已知直线平行；过一点有且只有条直线与已知直线垂直。

2、看故事并回答：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么？王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的吗?答：。

他运用了怎样的推理方法? 答：。

3、自学课本，写下摘要：

反证法：在证明一个命题时,人们有时先假设不成立,从这样的假设出发,经过得出和已知条件矛盾,或者与等矛盾,从而得出假设的结论不成立,即所求证的命题的结论正确.这种证明方法叫做反证法.反证法证题的基本步骤：

1．命题的结论的反面是正确的；（反设）

2．从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与矛盾；（归缪）

3．由判定假设不正确，从而命题的结论是正确的.（结论）

二、自学、合作探究

1、用具体例子体会反证法的含义及思路

思考：在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°.

222求证；a＋b≠c.

有些命题想从已知条件出发，经过推理，得出结论是很困难的，因此，人们想出了一种证明这种命题的方法，即反证法.

222假设a＋b＝c，则由勾股定理的逆定理可以得到∠C＝90°，这与已知条件∠

222222C≠90°产生矛盾，因此，假设a＋b＝c是错误的.所以a＋b≠c是正确的.

什么叫反证法?

2、由上述的例子归纳反证法的步骤

1．

2．

3．

推荐第4篇：放缩法、反证法证明不等式10

放缩法、反证法证明不等式

教学目标：

掌握放缩法和反证法证明不等式 教学难点：

放缩法和反证法 教学过程：

一、简要回顾已经学习过的几种不等式证明的方法

提出课题：放缩法与反证法

二、放缩法： 例

一、若a, b, c, dR+，求证：1证：记m =

abcd2

abdbcacdbdacabcd

abdbcacdbdac∵a, b, c, dR+

∴mabcd1

abcdabcacdabdabcabcd2 ababcddc

∴1

即原式成立

m例

二、当 n >2 时，求证：logn(n1)logn(n1)

1证：∵n >2

∴logn(n1)0,logn(n1)0

logn(n21)logn(n1)logn(n1) ∴logn(n1)logn(n1)

222lognn1

222

2∴n >2时, logn(n1)logn(n1)1 例

三、求证：

证：

∴11112 122232n21111 n2n(n1)n1n11111111111122 2222223n1nn123n

三、反证法：

1例

四、设0

4111证：设(1  a)b >, (1  b)c >, (1  c)a >, 4441则三式相乘：ab

①

641(1a)a又∵0

∴0(1a)a 24同理：(1b)b11, (1c)c 4

41 与①矛盾 642以上三式相乘： (1  a)a•(1  b)b•(1  c)c≤∴原式成立

例

五、已知a + b + c >0，ab + bc + ca >0，abc >0，求证：a, b, c >0

证：设a

∵abc >0, ∴bc

又由a + b + c >0, 则b + c = a >0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc

与题设矛盾

又：若a = 0，则与abc >0矛盾，

∴必有a >0 同理可证：b >0, c >0

四、作业：证明下列不等式：

1． 设x >0, y >0,a2． lg9•lg11

xyxy, b，求证：a

1xy1x1y3．logn(n1)logn(n1)1

1140 abbcca111121(nR,n2) 5．nn1n2n11111 6．2n1n22n7．设0 b >c, 则8．若x, y >0，且x + y >2，则

1y1x和中至少有一个小于2 xy

推荐第5篇：浅谈反证法

浅谈反证法

摘要：在数学的诸多证明方法中,有一种被称为“数学家最精良的武器之一”的间接证明方法,这就是反证法。它与一般证明方法不同，反证法又可分为归谬反证法和穷举反证法两种。只要抓住要领，反证法就能使一些不易直接证明的问题变得简单、易证，它在数学证题中确有奇效。本文阐述反证法的概念、步骤，依据及分类。反证法如何正确的作出反设及导出矛盾，及何时宜用反证法，反证法在中学中最常用的证明的题型展示，反证法的综合思路分析。 关键词：反证法数学学习

正文：

一：反证法的概念

一般地，假设原命题不成立,经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明了原命题成立.

二：反证法的证明过程

① 反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立;

② 归谬：从假设出发，经过正确的推理证明，得出矛盾;

③ 结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确

三：反证法的适用范围

(1) 直接证明困难的

(2) 否定性命题

(3) 唯一性问题

(4) 至多、至少型命题

四：理论依据

从逻辑角度看，命题“若p则q”的否定，是“p且非q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么“p且非q”为假，因此可知“若 p则q”为真。像这样证明“若p 则q”为真的证明方法，叫做反证法。

五：常用词语

原词语等于大于 （>）小于 （

否定词语至少有两个一个也没有至少有n+1个

原词语任意的任意两个所有的能

否定词语某个某两个某些不能

推荐第6篇：高中数学反证法

反证法解题

反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是：

第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；

第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；

第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。

Ⅰ、题组：

1.已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0 ______。

A.至多一个实根B.至少一个实根C.一个实根D.无实根

2.已知a

A.a>ab>abB.ab>ab>aC.ab>a>abD.ab>ab>a

3.已知α∩β＝l，aα，bβ，若a、b为异面直线，则_____。

A.a、b都与l相交B.a、b中至少一条与l相交

C.a、b中至多有一条与l相交D.a、b都与l相交

4.四面体顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_____。

5.A.150种B.147种C.144种D.141种

S 例1.如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB 上一点。求证：AC与平面SOB不垂直。

2222例2.若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0， x＋(a－1)x＋a＝0, x＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。

例3.给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝222221x1 (其中x∈R且x≠)，证明：①.经过这个函数ax1a

图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴；②.这个函数的图像关于直线y＝x成轴对称图像。 练习：

1.已知f(x)＝x，求证：当x1≠x2时，f(x1)≠f(x2)。1|x|

2.已知非零实数a、b、c成等差数列，a≠c，求证：

1、

1、1不可能成等差数列。abc

3.已知f(x)＝x＋px＋q，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于1 。

24.求证：抛物线y＝x－1上不存在关于直线x＋y＝0对称的两点。22

5.已知a、b∈R，且|a|＋|b|

推荐第7篇：4.6反证法

新仓中学2013学年2012学年2012学年2012学年第二学期第五 章第 5.7（1） 节

推荐第8篇：直接证明与间接证明反证法习题课学案

2.2.2直接证明与间接证明—反证法

班级：姓名：

【学习目标】：

（1）了解间接证明的一种方法—反证法及其思维过程，特点

（2）通过反证法的学习，体会直接证明与间接证明之间的辩证关系，掌握对立与统一的思想和方法 （3）通过反证法的学习，培养慎密思维的习惯，，开拓数学视野，认识数学的科学价值和人文价值。

【学习过程】：

1：反正法是的一种基本方法，假设原命题，经过正确的推理，最后的出，应此说明假设，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法。

2：用反证法证明命题的步骤，大体上分为：

（1）反证：假设原命题的结论，即假设结论的反面成立； （2）归谬：从出发，通过推理论证，得出矛盾； （3）结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。 课堂练习

例1：求证：两条相交直线有且只有一个交点例

：

已

知

a,b,c

是互不相等的实数，求证：

yax22bxc,ybx22cxa和ycx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有

两个不同的交点，

变式训练：若下列三个方程：x24ax4a30,x2(a1)xa2=0，x22ax2a0

中至少有一个方程有实根，求a的范围。

例3：求证当x2bxc20有两个不相等的非零实根时bc0

变式训练：已知实数p满足不等式(2p1)(p2)0，用反证法证明：关于x的方程x22x5p20无实根

【课后检测】： 校本教材P75课时作业

推荐第9篇：高二文反证法

§2.2.2反证法

滕州一中东校韩霞

教材分析

推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.反证法是继前面学习完推理知识后的证明方法中的一种间接证明问题的基本方法，它弥补了直接证明的不足，完善了证明方法，有利于培养学生的逆向思维能力.课时分配

本节内容用1课时完成，使学生了解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤.

教学目标

重点：理解反证法的推理依据；掌握反证法证明命题的方法；反证法证明题的步骤.

难点：掌握反证法的证明步骤，体会反证法证明命题的思路方法.

知识点：

1、反证法的概念

2、反证法证明题的基本方法.能力点：培养学生通过事物的结论的反面出发，进行推理，使之引出矛盾，从而证明事物的结论成立的简单推理能力与思维能力.

教育点： 通过反证法的学习,让学生形成逆向思维的模式,体验数学方法的多样性.

自主探究点：通过学生动手及简单实例,让学生充分体会反证法的数学思想,并学会简单应用.考试点：掌握反证法证明命题的方法.

易错易混点：否定结论时应对结论全盘否定，不能部分否定.

拓展点：初步掌握反证法的概念，理解反证法证题的基本方法，培养学生用反证法简单推理的技能.教具准备：多媒体课件

课堂模式：采用设问、引导、启发、发现等教学方法.

一．引入新课

故事：王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷爬上树去摘果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么? 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.问题1:王戎是怎样知道李子是苦的呢？

问题2:你认为他的判断方法正确吗？他运用了怎样的推理方法？

（1）学生经过思考，知道王戎是这样判断出李子是苦的：假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.

（2）我们不妨把这则故事改编成数学中证明题的格式，即写出“已知、求证、证明过程”来总结王戎的推理方法：

而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.【设计说明】让学生能够从具体的例子中，感受到反证法的存在.【设计意图】爱因斯坦说：“兴趣是最好的导师.”这样引入让学生明确数学来源于生活、科研的需要，同时又能解决生活中的问题，激发了学生兴趣，增强学生求知欲.

二．探究新知

问题1：上面的证明方法和我们上节课学习的综合法和分析法相同吗？上面这种证明方法在数学中叫做什么呢？

生：不同, 综合法和分析法是直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推理证明结论的真实性.上面这种证明方法不是从正面证明命题的真实性，而是证明命题的反面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到证明的目的.它是一种间接证明方法，反证法就是一种常用的间接证明方法.【设计意图】让学生知道在数学证明方法中，还有这样一种证明方法反证法，它是与直接证明不同的一种证明方法.

问题2：在学习命题的知识时，我们主要学习了哪些词的否定？

【设计意图】让同学们能回忆起某些特殊词的否定，为后面的题目做铺垫.

三.理解新知

例1．已知a0，证明x的方程axb有且只有一个根.证明：由于a0，因此方程至少有一个根x

ba

.

ax1b,(1)ax2b,(2)

如果方程不只一个根，不妨设x1,x2是它的两个不同的根，即

（1）-（2）a(x1x2)0

因为x1x2，所以应有a0，这与已知矛盾，故假设错误.所以，当a0时，方程axb有且只有一个根.

问题3：根据反证法的定义，你能总结出用反证法证明题目的步骤吗？ 学生讨论后总结：反证法证明题的步骤：

（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。 （2）从假设出发，经过推理，得出矛盾.

（3）由矛盾假设不正确，从而肯定命题的结论正确.

【设计意图】通过教师设问，学生思考、探究、类比，学生得出了反证法的概念，初步明确反证法的步骤.练习：用反证法证明：一个三角形内，不能有两个钝角.

证明：假设ABC中，有两个钝角，即A900,B900，于是AB1800，更有

ABC180，这与三角形内角和定理矛盾.∴一个三角形内，不能有两个钝角．

四．运用新知

例

2、已知直线a,b和平面，如果a,b,且a//b，求证a// 证明：因为a//b，所以经过直线a,b确定一个平面.因为a,而a, 所以,是两个不同的平面.因为b,且b,所以b

下面用反证法证明直线a与平面没有公共点.假设直线a与平面有公共点P，则Pb 即点P是直线a,b的公共点，这与a//b矛盾.所以a//.问题4：你能总结在什么情形下应用反证法呢？

师生共同总结：①直接证明困难;②需分成很多类进行讨论．

③结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”---类命题；

④结论为 “唯一”类命题；

【设计意图】教师从例题分析中小结反证法知识，提高学生的解题能力.练习：平面交平面于直线a，直线b在平面内，直线c在平面内，abA,c//a

求证：b,c是异面直线.证明：假设b,c不是异面直线，则b,c平行或相交若c//b,c//a,a//b这与abA矛盾.

b不平行于c，若cbB， Bb,Bc

B是，的公共点，又=a Ba,则c与a相交，与c//a矛盾.

b,c是异面直线

【设计意图】通过两个练习，巩固本节课所学知识，加深印象.问题5：你能总结反证法的矛盾有哪些种?

(1)与已知条件矛盾，（2）与公理、定理、定义矛盾,(3)与假设矛盾

【设计意图】同学们对反证法的学习已经有了一些认识，而反证法引出矛盾没有固定的模式，需要认真观察、分析，洞察矛盾.五.课堂小结

（1）、反证法的一般步骤； （2）、反证法的关键：在正确的推理下得出矛盾，可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等； （3）、反证法适合证明哪些命题？否定性问题、存在性、唯一性命题，至多至少问题，结论的反面比原结

论更具体、更易于研究和掌握的问题.六.布置作业

必做：

1、应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（） （1）结论相反判断，即假设；（2）原命题的条件； （3）公理、定理、定义等；（4）原结论

A、（1）（2）B、（1）（2）（4）C、（1）（2）（3）D、（2）（3）

2、命题“ABC中，若AB则ab”的结论的否定应该是（） A、abB、abC、abD、ab

3、命题“关于x的方程axb,(a0)的解是唯一的”的结论的否定是（） A、无解B、两解C、至少两解D、无解或至少两解

4、命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（） A、有两个内角是直角B、有三个内角是直角

C、至少有两个内角是直角D、没有一个内角是直角

5、对一个命题的证明，下列说法错误的是（） Ａ．若能用分析法，必能用综合法

Ｂ．若用综合法或分析法证明难度较大时，可考虑分析法与综合法的合用等方法 Ｃ．若用直接证法难度较大时，可考虑反证法 Ｄ．用反证法就是要证结论的反面成立

6、已知a,b,c均为实数，且ax2y求证：a,b,c中至少有一个大于0.选做：

1、已知a,b,c是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax22bxc0，

bx2cxa0,cx2axb0至少有一个方程有两个相异实根.

,by2z



,cz2x



6，

2.已知：f(x)xpxq，f(1)f(3)2f(2)2 求证：f(1),f(2),f(3)中至少有一个不小于

1

2.

答案：必做：1.C、2.B、3.D、4.C、5.Ｄ．

6.证明：假设a,b,c都不大于0，即a0,b0,c0，得abc0，而abcx1y1z130，即abc0，与abc0矛盾，a,b,c中至少有一个大于0.选做：1.证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，

22

2则14b4ac0,24c4ab0,34a4bc0.

222

相加有abbcca0① 由题意a,b,c是互不相等的非零实数，∴①式不能成立.

222

∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.2.证明：假设f(1),f(2),f(3)都小于

f(1)

12

,f(2)f(1)

12

,f(3)

12

12

，则

，

12

即有

12

12

,

12

f(2),

12

f(3)

12

∴2f(1)f(3)2f(2)2与已知f(1)f(3)2f(2)2矛盾， ∴假设不成立，即原命题成立.

七.教后反思：

亮点是:设计合理,重点突出,难点突破,充分体现教师为主导,学生为主体的双主体课堂地位,充分调动学生的积极性,教师合理清晰的引导思路,使学生的数学思维得到培养和提高,教学内容容量与难度适中,符合学情,并关注学生的个体差异,使不同程度的学生都得到不同效果的收获.

不足是: 对于反证法的熟练掌握还需以后随着进一步的学习深入，逐步加强和提高.

八、板书设计

的

推荐第10篇：反证法”教学案例

反证法”教学案例

数学组 梁华超

教学内容：人教版九年义务教育四年制几何第三册第14—16页。 教学目的：

1、知识技能：了解反证法，掌握反证法证题的过程。

2、过程方法：通过学生装的独立思考、交流合作，让学生装经历问题解决的过程，体验解决问题策略的多样性。

3、情感态度：让学生感情感悟数学与日常生活的联系，激发学生学习数学的兴趣。

重点难点：反证法证明命题的过程 教学方法：互动式教学 教学过程：

（一） 导入（3分钟）：

师：中国古代有一个成语故事——自相矛盾，哪一位同学能讲述这个故事呢？

（让学生讲这个故事）

师：这个故事蕴含什么道理？

生：这个故事告诉我们要实事求是，不要夸大其辞。

师：很好，虽然这个故事是贬义的，但在数学中，我们常常借鉴这种“以子之矛，攻子之盾”的做法来证明数学命题，这就是我们今天要学习的“反证法”。（板书课题）

（二）掀起你的盖头来——认识反证法（10分钟）。师：请同学们试证明命题“400人中至少有两个人的生日相同。”（课件演示）

（让学生分组讨论后交流）

生：写出每个人的生日，对比一下就知道了。 师：可以，有没有比他更简单的方法呢？

生：假设400人中每两人的生日不同，那么一年会有400天，这与一年有365天不符合，因此是不可能的。

师：很好，这位同学没有从正面去证明，而是从结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。它的特点是快捷、方便，请同学们尝试证明命题：一个三角形中不可能有两个直角。（让学生模仿1的证明方式，尝试证明此命题。）

生：假设有两个直角，则三角形的内角和就大于180度，这与三角形内角和定理矛盾，因此原命题成立

师：很好，通过以上两个命题的证明，同学们能不能归纳出反证法的证题步骤，各小组分开讨论，看看哪一个小组的结论最合理。（让学生分组讨论后进行交流）

生：我们小组的讨论结果是：

（1）假设命题的结论不成立；

（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

师：很好，其他小组有没有补充的（让同学们各抒己见，互相补充，归纳出反证法证明命题的步骤） 师：在这三个步骤中，最重要的是第一步，如果找不到问题的反面，证明就没有力度，同学们在运用反证法的时候要注意这个问题。下面我们一起来证明一个命题，大家仔细体会反证法的证明过程： 已知：A、B、C三点在同一条直线上。 求证：过A、B、C三点不能作圆。

(引导学生分析，写出假设，推出错误的结论，教师板书证明过程。)

（三）小试牛刀——尝试反证法（12分钟）。师：下面我们做一组练习

练习1：用反证法证明下列命题（多媒体显示）。 ① 一个三角形中不可能有两个钝角。 ② 梯形的两条对角线不能互相平分。 ③ 两条直线相交，交点只有一个。

（让学生分组讨论，合作完成以上3个命题的证明，熟练反证法的证明过程）。练习2：已知：如图三角形ABC中，D、E两点分别在AB、AC上。

求证：CD、BE不能互相平分。

（让学生独立思考完成，进一步巩固训练，然后交流解题思路）

（四）举一反三——妙用反证法（13分钟）。

1、诸葛亮与反证法（3分钟）。

师：设计情景： 三国时代，蜀国丞相兼军师诸葛亮屯兵阳平时，派大将魏延领兵去攻打魏国，只留下少数老弱军士守城，不料魏国大都督司马懿率大队兵马杀来，靠几个老弱兵士出城迎战，犹如鸡蛋碰石头，怎么办？诸葛亮冷静思考之后，传令打开城门，让老弱军士在城门口洒扫道路，自己则登上城楼，摆好香

C

案，端坐弹琴，态度从容，琴声优雅。司马懿来到城前，见此情景，心中疑惑，他想：“诸葛亮一生聪明过人，谨慎有余，从不冒险。今天如此这般，与其一生表现矛盾，恐怕城内必有伏兵，故意诱我入城，决不中计也！”于是急令退兵。这就是家喻户晓的“空城计”。

② 展开讨论：诸葛亮面临的问题是什么？从正面考虑该如何解决这个问题？诸葛亮是如何考虑的？

③名家点评：诸葛亮利用了司马懿的心理上的矛盾，才以“不守城”来达到暂时“守住城”的目的。诸葛亮从问题（守住城）的反面（不守城）考虑，来解决用直接或正面的方法（用少数老弱军士去拼杀）很难或根本无法解决的问题，在历史上传为美谈。这就是家喻户晓的“空城计”。

2、律师与反证法（10分钟）。

师：①设置情景：这是生活中的一个真实的案例：一公司老总在某酒店设宴款待自己的朋友，他们点的菜中有一道叫做水煮鸡围虾，酒宴过半，客人突然提出这道菜中有一只红头大苍蝇，要求酒店方面给予赔偿，双方为此争执不休，酒店经理为了证实那不是苍蝇，情急之下，把这个疑似红头苍蝇的东西吃了下去。对方一看证物被毁，更加有恃无恐，一纸诉状将酒店告上法庭，酒店经理对自己的冲动很后悔，深知庭审对自己将非常不利，但事情已无法挽回，为打赢官司，他们聘请了一个著名的律师为自己辩护。法庭上，双方律师围绕着是不是红头苍蝇展开辩论，原告律师自恃证据确凿，咄咄逼人，形式对被告很不利。这时，被告律师站了起来，要求对原告方提问，法官允许后，被告律师问：“你真的看到一只红头大苍蝇吗？”“是的。”“你肯定是红色的吗？”“是的，我肯定。”接着，被告律师用了一个巧妙的方法证实了原告说了谎话，这个方法就是我们今天学习的反证法。假如你是被告方律师，你会怎么证实原告说的是谎话呢？ ②开讨论：让学生以小组为单位合作探讨，寻找最佳方法。 ③模拟法庭：让各个小组的代表说出自己的做法，发言的同学作为“律师”，不发言的同学作为“法官”，看看哪位“律师”的说法能让“法官”们信服。 ④真相大白：不少小组的做法非常接近律师的方法，让我们看看这位律师的做法：把提前准备的五只红头大苍蝇放到酒精锅里，当庭开煮，几分钟后，呈现在众人面前的是五只黑色的大苍蝇，法官当场宣布：原告败诉。反证法在社会实践中和数学各个领域中都有着广泛的应用，它还是创造发明的一种工具，例如无理数和非欧几何的发现都得益于反证法。

（五）矢志不渝——情系反证法（3分钟）。（课件演示）。

师：我们在感受反证法的快捷、方便的同时，不能忘记那些利用反证法作出突出贡献的科学家，让我们一起来认识矢志不渝——情系反证法的俄国科学家

讲述数学家利用反证法发现非欧几何的故事。

1815年 俄国 罗巴切夫斯基础过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

1826年 非欧几何遭到讥讽和打击 高斯 欧洲数学之王。 1856年 在苦闷和抑郁中度过生命的最后一段路程。 1868年 几何学中的哥白尼。

1893年 喀山大学世界史上第一个为数学家立的雕塑。

师：通过讲述上面的故事，同学们有什么感触？

生：我们了解了反证法背后的辛酸历史，学习数学家坚持真理畏权势、锲而不舍的奋斗精神。师：在科学探索的征途中，一个人经得住一时的挫折和打击并不难，难的是勇于长期甚至终生在逆境中奋斗。我们再学习数学知识的同时，更应该学习数学家的这种品质，这也是我们学习数学的真谛。

（六）小结：

师：通过本节课的学习，同学们有哪些收获？（2分钟） 生：了解反证法证明命题的过程。 生：感受了反证法的妙用。

生：感受到数学家不畏权势，坚持真理，锲而不舍的奋斗精神。 师：同学们总结的很好。本节课表现较好的是

1、

3、

4、8组。

（让学生归纳总结本节课的收获，根据学生的回答教师及时补充，并对表现突出的小组和个人给予表扬和鼓励。）

（七）作业（2分钟）：

用反证法证明下列命题：

①等腰三角形的底角必定是锐角。 ②直径是圆上的最大弦。

师：通过本节课的学习，我们了解了反证法在生活中有广泛的应用，由于时间的关系，我们不能一一列举，课后以小组为单位收集相关的资料，以《生活中的反证法》为题写一篇小论文，时间两个周，届时我们将评选出优秀论文若干篇。

教学反思：

1、准确定位教学目标。新课程标准十分重视学生“双基”的培养，也十分关注学生的学习过程以及情感、态度、能力等方面的发展，在设计教学目标时，我从三个方面即知识技能目标、过程性目标和情感态度目标进行了详细准确的定位。体现了“立足双基，着眼发展”的教育理念。

2、创造性的使用教材。教材的内容相对来说比较简单，具有一定的权威性，但同时又肯有相对的滞后性、封闭性、静止性等缺陷，不能适应新课程的要求。因此，再设计本节课时，以课本的基本内容为蓝本，结合学生的认知规律和生活经验，改造和充实所教的内容，尤其是诸葛亮与反证法、律师与反证法、科学家的故事的引入，体现了学数学、用数学的思想，注重对学生的情感态度和价值观的教育。努力使课堂教学充满趣味性、挑战性，让学生感知数学来源于生活，同时又服务于生活。

3、突出学生的主体地位。课堂上教师把学习的主动权交给学生，让学生学会参与、学会发现、学会应用、学会创新。本节课师生围绕情景-问题-解决的思路，步步深入地经历了问题解决的过程。课堂气氛自始至终和谐、生动、自然，既有学生的独立思考，更有师生间的相互交流、激烈的讨论。

作者： 梁华超 来源： 本站原创

第11篇：反证法讲课稿

29.2反证法 讲学稿

[【学习目标】

知识与能力：通过实例，体会反证法的含义

过程与方法：了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题.情感、态度、价值观：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性.【学习重难点】

体会反证法证明命题的思路方法，用反证法证明简单的命题既是教学重点又是教学难点.【学习过程】

一． 学前准备：

1.自学课本80页到81页，写下疑惑摘要：

2.求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°

二、自学、合作探究

1、用具体例子让学生体会反证法的思路

思考：在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°. 求证；a2＋b2≠c2. 有些命题想从已知条件出发，经过推理，得出结论是很困难的，因此，人们想出了一种证明这种命题的方法，即反证法. 假设a2＋b2＝c2，则由勾股定理的逆定理可以得到∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90°产生矛盾，因此，假设a2＋b2＝c2是错误的.所以a2＋b2≠c2是正确的.

2、由上述的例子归纳反证法的步骤

1．假设命题的结论的反面是正确的；

2．从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、巳证的定理、定义或已知条件矛盾；

3．由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论是正确的.

三、例题讲解

例1．求证两条直线相交只有一个交点.

例二．试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.

1

四、学习体会

通过本节课的学习，同学们体会了在证明命题另一种方法，即反证法，它是当有的命题从已知条件出发，经过推理，很难得出结论时，人们想出的一种证明命题的方法，希望同学们能运用这种方法证明一些简单的命题.

五、自我测试

1.求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么他们所对的边也不等.

2.求证：一个五边形不可能有4个内角为锐角.

六、板书设计

七、自我提高

1．“a

A．a≠b B．a>b C．a=b D．a=b或a>b 2．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（ ） A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c C．a⊥b D．a与b相交

3．用反证法证明命题“在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等”时，应假设___________．

4．用反证法证明“若│a│

6．如下左图，直线AB，CD相交，求证：AB，CD只有一个交点．

2 证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有_____条直线，这与“过两点_______”矛盾，所以假设不成立，则________．

7．完成下列证明．

如上右图，在△ABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角．

证明：假设结论不成立，则∠B是______或______．

当∠B是____时，则_________，这与________矛盾；

当∠B是____时，则_________，这与________矛盾．

综上所述，假设不成立．

∴∠B一定是锐角．

8．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，•应先假设这个三角形中（ A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60° C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°

9．若用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45•°”时，应假设_______________．

10.已知：如图，设点A、B、C在同一条直线l上.求证：经过A、B、C三点不能作一个圆.

11.三角形内角中至多有一个内角是钝角.

12.求证：圆内两条不是直径的弦不能互相平分.

）

13.求证：一个三角形中不能有两个直角.

八、学（教）后感 学习目标】

知识与能力：通过实例，体会反证法的含义

过程与方法：了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题.情感、态度、价值观：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性.【学习重难点】

体会反证法证明命题的思路方法，用反证法证明简单的命题既是教学重点又是教学难点.【学习过程】

二． 学前准备：

1.自学课本80页到81页，写下疑惑摘要：

2.求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°

二、自学、合作探究

1、用具体例子让学生体会反证法的思路

思考：在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°. 求证；a2＋b2≠c2. 有些命题想从已知条件出发，经过推理，得出结论是很困难的，因此，人们想出了一种证明这种命题的方法，即反证法. 假设a2＋b2＝c2，则由勾股定理的逆定理可以得到∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90°产生矛盾，因此，假设a2＋b2＝c2是错误的.所以a2＋b2≠c2是正确的.

2、由上述的例子归纳反证法的步骤

1．假设命题的结论的反面是正确的；

2．从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、巳证的定理、定义或已知条件矛盾；

3．由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论是正确的.

三、例题讲解

例1．求证两条直线相交只有一个交点.

例二．试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.

四、学习体会

通过本节课的学习，同学们体会了在证明命题另一种方法，即反证法，它是当有的命题从已知条件出发，经过推理，很难得出结论时，人们想出的一种证明命题的方法，希望同学们能运用这种方法证明一些简单的命题.

五、自我测试

1.求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么他们所对的边也不等.

2.求证：一个五边形不可能有4个内角为锐角.

六、板书设计

七、自我提高

1．“a

A．a≠b B．a>b C．a=b D．a=b或a>b 2．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（ ） A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c

5 C．a⊥b D．a与b相交

3．用反证法证明命题“在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等”时，应假设___________．

4．用反证法证明“若│a│

6．如下左图，直线AB，CD相交，求证：AB，CD只有一个交点．

证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有_____条直线，这与“过两点_______”矛盾，所以假设不成立，则________．

7．完成下列证明．

如上右图，在△ABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角．

证明：假设结论不成立，则∠B是______或______．

当∠B是____时，则_________，这与________矛盾；

当∠B是____时，则_________，这与________矛盾．

综上所述，假设不成立．

∴∠B一定是锐角．

8．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，•应先假设这个三角形中（ ） A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60° C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°

9．若用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45•°”时，应假设_______________．

10.已知：如图，设点A、B、C在同一条直线l上.求证：经过A、B、C三点不能作一个圆.

6

11.三角形内角中至多有一个内角是钝角.

12.求证：圆内两条不是直径的弦不能互相平分.

13.求证：一个三角形中不能有两个直角.

八、学（教）后感

第12篇：反证法教学反思

“反证法”是初中数学学习中一种特殊的证明方法，对于一些证明体它有着独特，简便，实用的方法。故反证法的学习非常重要，在反思本节内容的教学中得出以下几点体会：

1、分清所证命题的条件和结论

如证明命题“一个三角形中不可能有两个角是直角”其中条件是“一个三角形”（）结论是“不能有两个角是直角”（）

2、熟记步骤

第一步：假设即假设命题的结论的反面为正确的。如引用上述命题即“假设能有两个叫是直角不妨设”

第二步：推理后发现矛盾。一般利用假设进行推理如继上可知发现这与三角形内角和定理相矛盾，所以假设不成立，故一个三角形中不能有两个角是直角，即为第三步：推翻假设，证明原命题成立。

3、抓住重点，突破难点

反证法的重点是能写出结论的反面，同时也是难点。如“写出线段AB,CD互相平分的反面”，线段AB,CD互相平分具体指：“AB平分CD且CD平分AB”。他的反面应包括以下三种情况：

（1）AB平分CD但CD不平分AB；

（2）CD平分AB但AB不平分CD；

（3）AB不平分CD且CD不平分AB.统称为“AB，CD不互相平分”，而学生往往只考虑第（3）种情况，即AB，CD互相不平分。

4、注重规范

在用反证法证明的命题中经常会出现文字命题。如证明命题“梯形的对角线不能互相平分”时切记一定要先用数学语言写出“已知”和“求证”即已知：梯形ABCD中，AC，BD是对角线；求证：AC，BD不能互相平分。然后再按一般步骤证明。

反证法不仅能提高学生的演绎推理能力，而且在后继的学习中有着不可忽视的作用，虽然在初中教材中所占篇幅很少，但本人认为不应轻视，应让学生掌握其精髓，合理的去运用。

第13篇：关注反证法在立体几何证明题中的应用

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关注反证法在立体几何证明题中的应用 作者：王健

来源：《数理化学习·高三版》2012年第10期

第14篇：用分析法证明

用分析法证明

证明：分析法

要证明1/(√2+√3)>√5-2成立

即证√3-√2>√5-

2也就是√3+2>√5+√2

(√3+2)²>(√5+√2)²

7+4√3>7+2√10

即证4√3>2√10

2√3>√10

√12>√10

由于12>10，则易知上式成立，

所以1/(√2+√3)>√5-2

若|x|

试用分析法证明|(x-y)/(1-xy)|

1证明：要证|(x-y)/(1-xy)|

需证|x-y|

需证|x-y|^2

需证(x-y)^2

需证x^2-2xy+y^2

需证x^2+y^2

需证1+(xy)^2-(x^2+y^2)>0

需证(1-x^2)-y^2(1-x^)>0

需证(1-x^2)(1-y^2)>0

|x|

得到x^2

1-x^2>01-y^2>0

所以(1-x^2)(1-y^2)>0

所以|(x-y)/(1-xy)|

2要使√ac-√bd>√(a-b)(c-d)

必使ac-2√acbd+bd>(a-b)(c-d)

化简得-2√acbd>-ad-bc

即ad+bc>2√acbd

又因为a>b>0,c>b>0,

由均值不等式得

3a²-b²=tan²α+2tanαsinα+sin²α-tan²α+2tanαsinα-sin²α

=4tanαsinα

左边=16tan²αsin²α

=16tan²α(1-cos²α)

=16tan²α-16tan²αcos²α

=16tan²α-16sin²α/cos²α*cos²α

=16tan²α-16sin²α

右边=16(tan²α-sin²α)

所以左边=右边

命题得证

4、

】

(根6+根7)平方=13+2*根42

2倍的跟2=根8

(根8+根5)平方=13+2根40

2*根42-2*根40大于0

故成立。

补充上次的题。(根3+根2)(根5-根3)不等于1就行了，不必繁琐求大于1.前提是0(1/a)+1/(1-a)>=4

1/>=4

00=0

0=0

0=0成立

其上均可逆

证毕

第15篇：用业绩证明

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用业绩证明

作者：

来源：《销售与市场·成长版》2012年第12期

一年一度，又到了一个做总结的时节。作为一年的盘点，不管你交给公司一份怎样“全面”的总结“作业”，私下里给自己，还是该做一次坦白的评价。

一般来说，外界怎样评价一个人呢？大致会有几个方面：一是简历，你受过什么教育、训练，在什么公司，做过什么职位；二是见识，你对问题、事物的见解；三是业绩，尤其是可识别的业绩；四是世界观，你对人、对人生、对工作的基本态度；五是处境，这也很能说明问题。

那么，自己怎样评价自己呢？作为一个营销从业者，尤其是一线销售人——业绩，业绩，还是业绩。

只有业绩才能说明问题，不管是自己的能力，还是自己的努力。所谓“知人者智，自知者明”，如果你是业务员或者基层主管，那么，你成功开发了多少市场？成功提升了多少市场？成功推广了多少新产品、升级产品？成功建立了多少重点市场？成功建立了多少、多大的区域市场？

如果你是中级主管，那么，你对自己的下属团队做了什么？对上级做了什么？对公司做了什么？对客户做了什么？看看业务员和基层主管的工作，再看看上级关注的工作，就可以明白自己该做什么。

如果你想知道自己的未来，那么，看看自己所做出的业绩，有多少具有生命力——能够持久，能够积累，能够支持未来吗？

业务人员一路走来，所走过的路由业绩决定。一个人曾经做过什么一点都不重要，重要的是做成过什么，做到了什么程度。这个世上，恐怕没有什么职业比营销更看重“结果”，更加“现实”或者说冷酷。在这个职业里，最后的真相往往是没有业绩就意味着没有能力，“怀才不遇”就意味着缺乏才能，评价的逻辑不是因为有能力而有业绩，而是因为有业绩而有能力。业绩反映了能力的有效性，业绩也反映了劳动力的价值。当一个人或者一个组织做不出业绩的时候，要么是能力不足，要么就是能力退化了。所以，没有业绩，难谈能力。

第16篇：用三段论证明

用三段论证明

在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如上例中的“知识分子都是应该受到尊重的”;含有小项的前提叫小前提，如上例中的“人民教师是知识分子”。三段论(syllogism)是传统逻辑中的一类主要推理。又称直言三段论。古希腊哲学家亚里士多德首先提出了关于三段论的系统理论。

形式逻辑间接推理的基本形式之一，由大前提和小前提推出结论。如‘凡金属都能导电’(大前提)，‘铜是金属’(小前提)，‘所以铜能导电’(结论)。这称为三段论法或三段论式。

三段论属于一种演绎逻辑，是不同于归纳逻辑的，具有较强的说服力。

小前提：函数x-1在[1,∞)上是增函数大前提：根号内的x在[0,∞)上是增函数结论：函数f(x)=根号x-1在[1,∞)上是增函数厉害吧哈哈

2(1)如果有一个前提是否定判断，则大前提为全称判断;(2)如果大前提是肯定判断，则小前提为全称判断;(3)如果小前提是肯定判断，则结论为特称判断;(4)任何一个前提都不能是特称否定判断;(5)结论不能是全称肯定判断;麻烦哪位大虾帮小弟证明下这五点可以吗

3四格规则：中项在大前提中作谓项，在小前提中作主项。

1、前提之一否定，大前提全称。

2、大前提肯定，则小前提全称。

3、小前提肯定，则结论特称。

4、前提中不得有特称否定判断。

5、结论不能是全称肯定判断。证明1：如果两个前提中有一个是否定的，结论也必然是否定的(前提之一否定，结论是否定的);结论否定，则大项周延(否定判断的谓项周延);大项在第四格中处于前提的主项，只有全称时主项周延;所以，大前提必须全称。证明2：如果大前提肯定，在大前提中中项不周延(肯定判断谓项不周延);只有小前提全称，中项才周延一次(全称判断主项周延);三段论要求中项至少周延一次;所以，大前提肯定，则小前提全称。证明3：如果小前提肯定，小项在前提中不周延(肯定判断谓项不周延);如果结论全称，则在结论中小项周延，违反了在前提中不周延的项在结论中也不得周延规则;所以：小前提肯定，则结论特称。证明4：如果大前提否定，结论必要否定(前提之一否定，结论是否定的);则大项在结论中周延(否定判断的谓项周延);如果大前提特称，大项在前提中不周延(特称判断的主项不周延);这样，就违反了在前提中不周延的项在结论中也不得周延规则;因此，大前提不能是特称否定。如果小前提否定，大前提必肯定(两个否定的前提推不出结论);则中项在大前提中不周延(肯定判断谓项不周延);小前提否定，中项在小前提中也不周延(特称判断的主项不周延);三段论规则要求中项在前提中至少周延一次;因此，小前提不能是特称否定。所以，前提中不得有特称否定判断。证明5：如果结论是全称肯定判断，则小项在结论中周延(全称判断主项周延);则大项在结论中不周延(肯定判断谓项不周延);则小前提必否定才使小项在前提中周延(在前提中不周延的项在结论中也不得周延);但如果小前提否定，结论必然否定(前提之一否定，结论是否定的)与结论为肯定判断矛盾;所以，结论不能是全称肯定判断。

4

在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如上例中的“知识分子都是应该受到尊重的”;含有小项的前提叫小前提，如上例中的“人民教师是知识分子”。三段论(syllogism)是传统逻辑中的一类主要推理。又称直言三段论。古希腊哲学家亚里士多德首先提出了关于三段论的系统理论。

形式逻辑间接推理的基本形式之一，由大前提和小前提推出结论。如‘凡金属都能导电’(大前提)，‘铜是金属’(小前提)，‘所以铜能导电’(结论)。这称为三段论法或三段论式。

三段论属于一种演绎逻辑，是不同于归纳逻辑的，具有较强的说服力。

第17篇：证明(开发票用)

证明

XX县税务局：

____________采购石子，方量：_________方，单价：_______元/方，共计_________元（大写：____________元），，需办理相关手续，请批准！

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第18篇：证明不等式的基本方法—反证法与放缩法

§4.2.3证明不等式的基本方法—反证法与放缩法

【学习目标】

能熟练运用反证法与放缩法来证明不等式。

【新知探究】

1．反证法的一般步骤：反设——推理——导出矛盾（得出结论）；

2．放缩法：欲证AB，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量使得

，要注意放缩的适度， BB1,B1B2...A（或AA1,A1A2...B）

常用的方法是：①舍去或加上一些项；②将分子或分母放大（或缩小）．





1n21n(n1); 1

n21n(n1)

【自我检测】

1．设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1； ②a+b=2；③a+b>2；④a2+b2>2；⑤ab>1，其中能推出:“a、b中至少有一个实数大于1”的条件是____________.2．A1

nN)的大小关系是．

【典型例题】

例1.已知x,y0,且xy2,求证：

变式训练：若a,b,c都是小于1的正数，求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a不可能同时大于

- 1 –“学海无涯苦作舟，书山有路勤为径” 1x1y中至少一个小于2。 ,yx1

4例2.已知实数a,b,c，abc0,abbcca0,abc0,求证：a0,b0,c0.

变式训练：课本P29页，习题2.3第4题 例3.已知a,b,cR,求证1aabdb

bcac

cbdd

dac2.

变式训练：

xy

1xy

32设x0、y0，A例4．求证：1

122,B1n2x1xy1y，则A、B大小关系为________。 2(nN)

例5．已知f(x)x2pxq，求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不少于 12。

- 2 –“天下事，必作于细”

第19篇：不等式中的反证法

反证法

反证法大家都很熟悉，这里就不多说了，不等式中很少遇见反证法，要用到反证法解决的问题要么很简单能几步秒，要么就是很难，下面看几道例题。

例1 已知12个实数a1,a2,...a12满足：

a2(a1a2a)30,

a3(a2a3a)40,

......

a11(a1a)0.0a1112

求证：从这些数中至少可以找到3个正数和3个负数。

证明：用反证法证明，不妨设a1,a2,...,a12中至多有两个负数，则存在连续的四个数都是非

ak

1、负实数（这一点可以从最坏情形抽屉证明）。不失一般性，可以设这四个连续的数为ak、

ak

2、ak3，由题设我们有

ak1(akak1ak2)0ak2(ak1ak2ak3)0

又ak10,ak20,所以

(akak1ak2)0 (aaa)0k2k3k1

两式相加得akak30，与ak0,ak30矛盾！所以从a1,a2,...,a12中至少可以找到3个正数和3个负数。

例2

第20篇：反证法经典两例

反证法经典两例

求证：上帝不是万能的 .

证明：假设上帝是万能的，

那么上帝能造出一块他自己都搬不动的石头，否则上帝就不是万能的;

但是上帝又举不起这块石头，这与假设矛盾，所以假设不能成立，即上帝不是万能的。

求证：一切皆有可能是错的.

证明：假设一切皆有可能是对的，

那么上帝是万能的，否则一切皆有可能就是错的；

但是上帝不是万能的，这与假设矛盾，所以假设不能成立，即一切皆有可能是错的！

《用反证法证明.doc》

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