泰勒公式证明

推荐第1篇：泰勒公式

华东师范大学数学系编《数学分析》第三版上册教案

第六章 微分中值定理及其应用

黔西南民族师专数学系

§3 泰勒公式

教学章节：第六章 微分中值定理及其应用——§3 泰勒公式 教学目的：掌握Taylor公式，并能应用它解决一些有关的问题.教学要求：（1）深刻理解Taylor定理，掌握Taylor公式，熟悉两种不同余项的Taylor公式及其之间的差异；

（2）掌握并熟记一些常用初等函数和Taylor展开公式，并能加以应用.（3）会用带Taylor型余项的Taylor公式进行近似计算并估计误差；会用代Peanlo余项的Taylor公式求某些函数的极限.教学重点：Taylor公式

教学难点：Taylor定理的证明及应用.教学方法：系统讲授法.教学程序：

引 言

不论在近似计算或理论分析中，我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数，这将会带来很大的方便.一般来说，最简单的是多项式，因为多项式是关于变量加、减、乘的运算，但是，怎样从一个函数本身得出我们所需要的多项式呢？

上一节中，讨论过“微分在近似计算中的应用”从中我们知道，如果函数f在点x0可导，则有有限存在公式；

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)0(xx0)

即在x0附近，用一次多项式p1(x)f(x0)f(x0)(xx0)逼近函数f(x)时，其误差为0(xx0).然而，在很大场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为0(xx0)，其中n为多项式次数.为此，有如下的n次多项式：

pn(x)a0a1(xx0)an(xx0)n

易见：

(n)(x0)(x0)pnpnpn(x0)，a2，„，an（多项式的系数由其各阶导数在a0pn(x0)，a11!2!n!x0的取值唯一确定）.对于一般的函数，设它在x0点存在直到n阶导数，由这些导数构造一个n次多项式如下：

f(x0)f(n)(x0)Tn(x)f(x0)(xx0)(xx0)n

1!n!f(k)(x0)称为函数f在点x0处泰勒多项式，Tn(x)的各项函数，（k＝1,2,„,n）称为泰勒系数.

k!问题 当用泰勒多项式逼近f(x)时，其误差为f(x)Tn(x)0((xx0)n)

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一、带有皮亚诺余项的泰勒公式

定理1 若函数f在点x0存在直至n阶导数，则有f(x)Tn(x)0((xx0)n)，即

f(x0)f(n)(x0)f(x)f(x0)(xx0)(xx0)n0((xx0)n)

1!n!即函数f在点x0处的泰勒公式；Rn(x)f(x)Tn(x)称为泰勒公式的余项.证明：设Rn(x)f(x)Tn(x), G(x)(xa)n.应用LHospital法则n1次, 并注意到f(n)(a)存在, 就有

(n1)Rn(x)Rn(x)f(n1)(x)f(n1)(a)f(n)(a)(xa) lim= lim(n1)limxaG(x)xaGxa(x)n(n1)2(xa)f(n1)(x)f(n1)(a)1(n) limf(a)0.xan!xa称Rn(x)(xa)n为Taylor公式的Peano型余项, 相应的Maclaurin公式的Peano型余项为Rn(x)(xn).并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Peano型余项的Taylor公式( 或Maclaurin公式 ).

注

1、若

nf(x)在点x0附近函数满足f(x)Pn(x)0((xx0))，其中pn(x)必定是f的泰勒多项式Tn(x).但pn(x)a0a1x(x)anxx(n，这并不意味着)00pn(x)并非f(x)的泰勒多项式Tn(x).（因为除f(0)0外，f在x＝0出不再存在其它等于一阶的导数.）；

n

2、满足条件f(x)Pn(x)0((xx0))的n次逼近多项式pn(x)是唯一的.由此可知，当fn满足定理1的条件时，满足要求f(x)Pn(x)0((xx0))的多项式pn(x)一定是f在x0点的泰勒多项式Tn(x)；

3、泰勒公式x0＝0的特殊情形――麦克劳林（Maclauyin）公式：

f(0)f(n)(0)nf(x)f(0)xx0(xn)

1!n!引申：定理1给出了用泰勒多项式来代替函数y＝f(x)时余项大小的一种估计，但这种估计只告诉我们当xx0时，误差是较(xx0)n高阶的无穷小量，这是一种“定性”的说法，并未从“量”上加以描述；换言之，当点给定时，相应的误差到底有多大？这从带Peano余项的泰勒公式上看不出来.为此，我们有有必要余项作深入的讨论，以便得到一个易于计算或估计误差的形式.

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二、带有Lagrange型余项的Taylor公式

定理2（泰勒） 若函数f在[a,b]上存在直到n阶的连续导函数，在(a,b)内存在n＋1阶导函数，则对任意给定的x,x0[a,b]，至少存在一点(a,b)使得：

f(x0)f(n)(x0)f(n1)()nf(x)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)n1 （1）

1!n!(n1)!f(n1)()(xx0)n1，记 证明：记R(x)f(x)T(x)，要证Rn(x)nn(n1)!Qn(x)(xx0)n1，不妨设x0x，则Rn(x),Qn(x)在[x0,b]上有直到n阶的连续导数，在(x0,b)内存在n1阶导数，又因为

Rn(x0)Rn(x0)Rn(n)(x0)0，Qn(x0)Qn(x0)Qn(n)(x0)0.故在区间[x0,x]上连续运用Cauchy中值定理n1次，就有

(x0)Rn(x)Rn(x)Rn(x0)Rn(1)Rn()Rn Qn(x)Qn(x)Qn(x0)Qn(1)Qn()Qn(x0)Rn(2)Rn(n)(n)Rn(n)(x0)Rn(n1)()(n)(n1)， (n)Q()Q(x)Q()Qn(2)nnn0n(n1)(n1)()，Qn(n1)()(n1)!， 其中，x0nn11x，Rn()ff(n1)()(xx0)n1 ， （2） 从而得到 Rn(x)(n1)!介于x0与x之间.注：（1）、当n＝0时，泰勒公式即为拉格朗日公式，所以泰勒定理可以看作拉格朗日定理向高阶导数方向的推广；

（2）、当x00时，则变为带拉格朗日型余项的麦克劳林公式

f(0)f(n)(0)nf(n1)(x)n1f(x)f(0)xxx (0,1)

1!n!(n1)! 5 华东师范大学数学系编《数学分析》第三版上册教案

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称这种形式的余项Rn(x)为Lagrange型余项.并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Lagrange型余项的Taylor公式.Lagrange型余项还可写为 f(n1)(a(xa)) Rn(x)(xa)n1, (0 , 1 ).

(n1)!a0时, 称上述Taylor公式为Maclaurin公式, 此时余项常写为

Rn(x)1f(n1)(x)xn1, 01.(n1)!三 函数的Taylor公式( 或Maclaurin公式 )展开: 1.直接展开: 例1 求 f(x)ex的Maclaurin公式.xx2xnex解：e1xn1, ( 01 ).1!2!n!(n1)!x例2 求 f(x)sinx的Maclaurin公式.x3x5x2m1m1解： sinxx( 1 )R2m(x), 3!5!(2m1)!x2m11 R2m(x)sinx(m), 01.(2m1)!2例3 求函数f(x)ln(1x)的具Peano型余项的Maclaurin公式 .解：f(n)(x)(1 )n1(n1)!(n)n1, f(0)(1 )(n1)!.n(1x)nx2x3n1x(1 )(xn). ln(1x)x23n例4 把函数f(x)tgx展开成含x5项的具Peano型余项的Maclaurin公式 .( 教材P179 E5, 留为阅读.) 2.间接展开: 利用已知的展开式, 施行代数运算或变量代换, 求新的展开式.例5 把函数f(x)sinx2展开成含x14项的具Peano型余项的Maclaurin公式 .x3x5x7( x7), 解 sinxx3!5!7!

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x6x10x14( x14). sinxx3!5!7!22例6 把函数f(x)cos2x展开成含x6项的具Peano型余项的Maclaurin公式 .x2x4x6( x6), 解：cosx12!4!6!4x426x6( x6), 注意, (kx)(x), k0 cos2x12x3!6!2

12x425x62( x6).  cosx(1cos2x)1x23!6!2例7 先把函数f(x)式,把函数g(x)解：f(n)1展开成具Peano型余项的Maclaurin公式 .利用得到的展开1x1在点x02展开成具Peano型余项的Taylor公式.35x(1)nn!(n)n f(0)(1)n!.,n1(1x) f(x)1xx2x3(1)nxn( xn); g(x)11135x135(x2)131

5(x2)113=15525n2nnn1(x2)( )(x2)(1 )( )(x2)+(x2).13131313例8 把函数shx展开成具Peano型余项的Maclaurin公式 ，并与sinx的相应展 开式进行比较.xx2xn( xn), 解： e11!2!n!xnxx2nx(1)(xn) ; e11!2!n!xexexx3x5x2m1x ( x2m1 ). shx23!5!(2m1)!x3x5(1)m1x2m1而 sinxx( x2m1).3!5!(2m1)!

四、常见的Maclaurin公式

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(1)带Penno余项的Maclaurin公式

xx21xxne2!n!0(xn)

sinxxx3x53!5!(1)x2m1m1(2m1)!0(x2m)

2x1x2x4mcos(1)mx0(x2m12!4!(2m)!) nln(1x)xx22x33(1)n1xn0(xn) (1x)1x(1)22!x(1)(n1)n!0(xn)

11x1xx2xn0(xn) 2）带Lagrange型余项的Maclaurin公式

x2x1xxnexe1)!xn12!n!(n xR，(0,1)

sinxxx3x5m1x2m1cosx2m13!5!(1)(2m1)!(1)m(2m1)!x xR，(0,1)cosx1x2x42m(1)mx(2m)!(1)m1cosx2m22!4!(2m2)!x xR，(0,1)ln(1x)xx2x3n1xnxn1n23(1)n(1)(n1)(1x)n1 x1，(0,1)(1x)1x(1)n2!x2(1)(n1)n!x(1)(n)n!(1x)n1xn1 x1，(0,1)

1xn12n1x1xxx(1x)n2 x1，(0,1)

五、常见的Maclaurin公式的初步应用 1.证明e是无理数: 例9 证明e是无理数.

证明：把ex展开成具Lagrange型余项的Maclaurin公式, 有

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111e e11, 01.2!3!n!(n1)!ep反设e是有理数, 即e (p和q为整数), 就有 n!e整数 + .

n1qpep对nq, n!en!也是整数.于是, n!整数 = 整数―整数 = 整数.但由qn1q01,  0ee3, 因而当 n3时，

en1不可能是整数.矛盾.2.计算函数的近似值: 例10 求e精确到0.000001的近似值.

1112!13!1n!e解 e(n1)!, 01.

注意到01,  0ee3, 有 R3n( 1 )(n1)!.为使3(n1)!0.000001, 只要取n9.现取n9, 即得数e的精确到0.000001的近似值为 e1112!13!19!2.718281.3.利用Taylor公式求极限: 原理: 例11 求极限 limaxax2x0x2, ( a0 ).解：axexlna1xlnax222lna( x2), ax1xlnax222lna( x2); axax2x2ln2a( x2).

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 limaxax2x0x2limx2ln2a( x2)x0x2ln2a.例12 求极限lim11x0x(xcotx).解：lim1x0x(1xcotx)lim1sinxxcosxx0xxsinx xx3(x3)x[1x2(x2)]lim3!2! x0x3(12!13!)x3(x3)lim1.x0x33例13 设f(x)在[a,b]上二阶可导，且f(a)f(b)0，则存在(a,b)，f()4(ba)2fb()fa(.)证明： x(a,b)，将函数f(x)在点a与点b处Taylor展开

f(x)f(a)f(a)(xa)f(1)2!(xa)2，a1x， f(x)f(b)f(b)(xb)f(2)2!(xb)2，x2b.令xab2代入得： f(abf(1)(ba)2f(2)f(a)2!4，f(ab22)f(b)2)(ba)2!4， 上述二项相减，移项并取绝对值得

f(b)f(a)(ba)2f(2)f(1)42

(ba)2f(22)f(1)(ba)424f()，

使得

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其中，f()max{f(1),f(2)}，取f()4f(b)f(a).

(ba)2例14 证明: x0时, 有不等式 ex1x.[作业] 教材P141 1， 2，3（1），4（1），5 （1）.

推荐第2篇：泰勒公式及其应用

泰勒公式及其应用

数学学院 数学与应用数学专业 2009级 杨立

指导教师 吴春

摘要:泰勒公式以一种逼近的思想成为数学分析中的一个重要知识，在分析和研究数学问题中有着重要的作用。本文研究了利用泰勒公式证明微分中值定理，求函数的极限，进行近似计算，求函数的高阶导数和偏导数等方面的应用，恰当的运用泰勒公式能够给我们的解题带来极大的方便。

关键词：泰勒公式；微分中值定理；极限；高阶导数；偏导数

Abstract: Taylor formula is an important knowledge of mathematics analysis in an approximation of the thought, and it plays an important role in the analysis and study of mathematical problems.This paper studies the application of the Taylor formula in proving differential mean value theorem, the limit of function, approximate calculation, the application of high order derivative for function and partial derivative, and using Taylor formula appropriate can bring great convenience to our problem.Keywords: Taylor formula; approximate calculation; limit; higher derivative; partial derivative

引言

泰勒公式最早是以泰勒级数的形式出现在泰勒1715年出版的著作《增量及其逆》中，但在该书中却没有给出具体的证明，直到19世纪由柯西给出了现在的形式及其严格的证明。泰勒公式是一种逼近的思想，集中体现了逼近法的精髓，可以将有理分式函数﹑无理函数和初等超越函数等复杂函数用简单的多项式函

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数来近似代替，而误差又能满足要求。这种化复杂为简单的功能，使其成为分析和研究数学其他问题的有力工具。也对函数性态的研究和函数值的近似计算带来了极大的方便。本文主要是通过给出实际例子体现其应用，并对这些方法做了归纳和总结。

1 泰勒公式及其证明

1.1 带佩亚诺余项的泰勒公式

若f(x)在xx0点有直到n阶连续导数，那么就有：

f\"(x0)f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)2

2!\'f(n)x0(xx0)nRn(x) (1.1)

n!n其中Rnxoxx0是余项，这就是fx在xx0点的带佩亚诺余项的泰勒公式[1]。 说明：

①此公式对函数fx的展开要求较低，只要求其在xx0点处n阶可导即可，展开的形式也比较简单。

②这种泰勒公式的实质是局部增量公式的升华，即可以把此函数局部地用线性函数代替改为用多项式代替，当xx0时用多项式代替这个函数所产生的误差xx0n是一个无穷小量。

③它难以说明误差范围，因此不适合对余项作定量估算，只能是一个定性估目的。

④特别地当x00时，有：

f\"(0)2f(n)(0)nf(x)f(0)f(0)xxxRn(x) (1.2)

2!n!\'这种佩亚诺项的泰勒公式也被称为麦克劳林公式。

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1.2 带拉格朗日余项的泰勒公式

若函数fx在xa,b上有直到n阶连续导数，并且fn1x在区间a,b内存在，那么就有：

f\"x02f(x)fx0fx0(xx0)xx0

2!\'f(n)x0nxx0Rnx (1.3)

n!fn1其中Rnxxx0n1被称为余项，此时介于x与x0之间，这就是函数n1!fx在xx0点的带拉格朗日余项的泰勒公式。

[2]说明：

①它对函数fx的展开要求较高，因为它要求对任意的xa,b都要成立，其形式也相对复杂。

②这种泰勒公式的实质是对拉格朗日微分中值定理的升华，它是一个定量估计值。

③运用这种泰勒公式逼近fx时，可以确定其大致的误差范围，但其误差是由fx的n1阶导数决定的，若a越接近于b，即区间a,b越小，那么误差就会越小，这种泰勒公式适合处理fx在区间上的问题，特别是在不等式的证明中应用起来比较方便。 1.3 简单的证明

我们知道f(x)f(x0)f(x0)(xx0)， 根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有：

x0limf(x0x)f(x0)f(x0)x，

其中误差是在x0即xx0的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：

P(x)A0A1(xx0)A2(xx0)2An(xx0)n

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来近似地表示函数fx且要写出其误差fxPx的具体表达式。

设函数Px满足：

P(x0)f(x0),P(x0)f(x0),P(x0)f(x0),,Pn(x0)fn(x0).于是可以依次求出A0,A1,A2,,An.显然，P(x0)A0，所以A0P(x0);

P(x0)A1,A1P(x0)

P(x0)2!A2,A2P(x0) 2!

Pn(x0)P(x0)n!An,An.

n!n至此，多项的各项系数都已求出，得：

f(x0)fn(x0)2P(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)n.

2!n!接下来就要求误差的具体表达式了。

设RnxfxPx，于是有：

Rn(x0)f(x0)P(x0)0.

n所以可以得出：Rn(x0)Rn(x0)Rn(x0)0.

根据柯西中值定理可得：

Rn(x)Rn(x)Rn(x0)Rn(1)（其中：(xx0)n10）， n1nn1(xx0)(n1)(x)(xx)0010这里1在x和x0之间； 继续使用柯西中值定理得：

n1x10Rn1Rnx0n10Rn2nn12x0n1，

第4页（共12页）

这里2在1与x0之间； 连续使用n1次后得出：

Rnxxx0这里在x0和x之间。

n1Rnn1， n1!但Rnn1xfn1xPn1x，由于Pn1x(n1)!An1，(n1)!An1是一个常数，

故Pn1x0，于是得Rnn1xfn1x。

fn1()综上可得，余项Rnx。 n1(n1)!(xx0)一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rnx写为Rn。

2 泰勒公式的应用

2.1 利用泰勒公式进行近似计算和误差估计

根据泰勒展开式的余项可以把握函数用泰勒公式近似的程度，但需要估计误差的范围，关键就在于对fn1值的估计。

如果存在M0，有fn1M，xx0,x0，那么我们就可以估计Rn(x)Mn1xx0，xx0,x0，从而当我们期望近似值的误差不超(n1)!Mn1xx0中解出n是多少就可以知道运用泰勒公

(n1)!过时，只需在不等式式应计算多少项即可，由此我们就可以近似地计算出某些复杂数的具体值。

例1 求exdx的近似值，精确到105。

012解 由于该被积函数的原函数不是初等函数，所以无法用牛顿-莱布尼茨公式来计算，因此我们要用泰勒公式来计算它的近似值。

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因为ex22nx4nx1x(1) 2!n!2将两边逐项积分，有

e01x2dx=1dxxdx00112102n1xx4dxdx

02!n!11111 =1(1)n32!5n!2n11111111 =131042216132993607560011.3105 75600121111110.746836。 所以exdx103104221613299360又因为总结：通过以上我们可以知道：只要给出一个数，知道它的误差范围，我们就可以利用泰勒公式较为简单的求出它的近似值。

例2 计算e的值，当n9时，误差不超过多少？ 解 在ex的麦克劳林展开式中，令x1可得：

11ee11, （01）

2!n!(n1)!330.000001 10!3628800111也就是说e11+2.718281,

2!3!9!当n9时，有：R9(1)其误差不超过106。

总结：利用泰勒公式我们可以轻易地判断出一个函数公式的误差范围。 2.2 利用泰勒公式证明中值问题

如果要证明的结论是至少存在一点ca,b，使得关于然后验证辅助函数满足a,b,f(a),f(b),c,f(c),f(c),,f(n)(c)代数式的证明。罗尔定理条件，由定理的结论即得命题的证明。

例2

设fx在a,b上三次可导，试证明：ca,b，使得：

第6页（共12页）

1ab3

(2.1) f(b)f(a)f(ba)f(c)(ba)242证明 设k为使得下式成立的实数：

1abf(b)f(a)f(ba)k(ba)30

(2.2) 242此时，问题可变为证明：ca,b，使得kfc。

设

1axg(x)f(x)f(a)f(xa)k(xa)30

(2.3) 242则g(x)g(b)0。

根据罗尔定理，a,b，使得g()0。 由(2.3)式，即：

aa(a)k2f()ff(a)0

(2.4) 8222这是关于k的方程，注意f()到在点

a处的泰勒公式： 22aa(a)1af()fff(c)0,ca,b

(2.5)

22222由(2.4) (2.5)两式可得：

k1a12(a)2fcf()(a) 8228则有：kf(c)，命题得证。

总结：解此类题最重要的就是辅助函数的确定，上面的例题使用的是原函数法，即通过恒等变形将结论化为以消除导数符号的形式或易积分的形式，用观察法或积分法求出原函数，为简便积分常数取作零，移项使等式一边为零，则另一边将结论中的c换成x即为所需的辅助函数。

例4设函数fx在闭区间1,1上具有三阶连续导数，且f(1)1，f(1)1，f(0)0，证明：在开区间1,1内至少存在一点，使得f()3

2第7页（共12页）

证明 由于函数f(x)在闭区间1,1上具有三阶连续导数，因此可以写出f(x)的二阶泰勒公式：

f(0)2f(x)x 2!3!f(0)2f(x)x(0 1)

f(0)2!3!f(x)f(0)f(0)x将x1,x1分别带入得：

f(1)f(0)f(0)f(1)f(0)f(2)，f(1)f(0) 2626其中01,21 两式相减可得：

f(1)f(1)f(1)f(2)

6由于fx在闭区间1,1上连续，由闭区间上连续函数的介值定理可知，在区间2,11,1内至少存在一点使得f(1)f(2)2f()，代入等式1f(1)f(2)f()1可得，即f()3。

63总结：例4用泰勒公式进行证明的优势是显而易见的，条件中函数为三阶可导的抽象函数，如果不用泰勒公式，条件和结论似乎风牛马不相及，证明难度可想而知。

2.3 泰勒公式在求函数极限中的应用

excosx2例５ 求lim的极限.x0x42分析：当x0时为求

型函数的极限，满足洛必达法则，若直接用洛必达法则求极限我们发现会有多次求导且计算过程也十分复杂，稍不注意就会出错。我们可以先用泰勒公式将分子展开，再求极限，这样就会简单许多。

解 在x00处，由佩亚诺余项的泰勒公式展开得：

x4e1xo(x4)

2!x22第8页（共12页）

x2x4cosx1o(x4)

2!4!因此 excosx2故 274xo(x4) 12744xo(x)ecosx2lim lim1244x0x0xx7



12x21例6 求limxx2Inx

xx分析：当x时，此函数为型未定式。虽然可以通过变换把其化为

001型，再用洛必达法则，但计算量较大。所以我们先将Inx展开，再求其极

x限。

2121111解 因为ln1o

xxx2x1所以limxx2lnx

xx111212

limo

xxx2x1 2通过以上两个例子，我们不难发现，在求一些未定型的极限时，如果用洛必达法则求导次数较多或化简过程较复杂时，不妨利用泰勒公式来求。在使用泰勒公式求极限时并不需要把各函数展开到n阶，那么函数到底应该展开到几阶，就成为了求解极限的关键。回顾上面两个例子我们可以发现：

当极限为分式时，若分子或分母中只需要展开一个，那么只需要将其展到另一个的同阶无穷小的阶数；若分子和分母都需要展开，可分别展到其同阶无穷小的阶数，即合并后的首个非零项的幂次的次数。

第9页（共12页）

当极限不为分式时，展开的阶数应与函数最高次幂相同。 2.4 泰勒公式在高阶导数方面的应用

例7 已知f(x)x3ln(1x)，求fn(0)(n4)。

解 ln(1x)的n3阶泰勒公式为：

n3x2n2xln(1x)x(1)o(xn2)

(2.6) 2n3则

nx5n2xf(x)x(1)o(xn).

(2.7) 2n34由于fx的n阶泰勒公式为：

f(0)2f(0)nf(x)f(0)f(0)xxxo(xn)

(2.8)

2!n!nf(0)(1)n2比较(2.7)(2.8)两式可知， n!n3n所以

fnn!(1)n2(n4) 0n3例8 设函数f(x)在上,有三阶导数，并且f(x)和f(x)在,上有界，证明：f(x)和f(x)在,上也有界。

证明 设M0,M3R,f(x)M0，f(x)M3， 则由泰勒公式可得：

f(x)f(1),1x,x1 26f(x)f(2)f(x1)f(x)f(x),1x,x1

26f(x1)f(x)f(x)两式相加得：

f(x1)f(x1)2f(x)f(x)f(1)f(2)

6第10页（共12页）

故有f(x)4M0两式相减得： M3,x, 3f(1)f(2)

6f(x1)f(x1)2f(x)故有f(x)M0M3,x,。 6综上可知，f(x)和f(x)在,上也有界。

3 总结

对于泰勒公式，我们已经非常熟悉，它的应用在当今数学研究发展的过程中起到了重要的作用。通过以上几个方面的研究，让我们知道泰勒公式是函数展开的一种形式，使我们对泰勒公式及其应用有了一个总体上得认识，也使我们在特定的题设条件下形成特定的解题思路，使解题达到事半功倍的效果，只有了解了这些知识，并在此基础上不断加强训练，不断行进总结，才能使我们牢固掌握泰勒公式，进而才能善于熟练运用。可以说这样的学习能使我们养成良好的数学思维习惯，灵活的从不同角度寻找解题途径，进而形成独特的解题技巧。在数学研究中，泰勒公式几乎是开辟计算捷径道路的基础，同时，也为今后进行泰勒公式的深入研究打下基础。泰勒公式在数学中的应用多种多样，恰当的运用泰勒公式能给我们解题带来很大的方便，想要掌握好泰勒公式的应用，需要综合各方面的知识，从题设和结论出发，找出能应用泰勒公式的条件，这样才能好的运用泰勒公式解决数学和生活中的问题，发挥它的优越性。

通过几个月的努力，我的论文基本完成了。在此，特别向吴老师表示崇高的敬意和衷心的感谢，是您不厌其烦的帮助我纠正和改进论文，才使我的论文得以完成，吴老师您严谨细致和一丝不苟的作风是我以后学习工作的榜样，您无私的教导给予了我无尽的启迪，您的鼓励和宽容让我拥有了面对挫折的信心，为我以后的学习工作埋下了一笔巨大的财富。感谢我的同学借电脑给我使用，还帮我找了不少素材。也感谢帮我修改英文翻译的同学。最后，在此感谢给我帮助和鼓励

第11页（共12页）

的老师﹑朋友﹑同学，正是有了你们的帮助和鼓励，才使得我的大学生活画上了一个圆满的句号，才有了如今我的成就。

参考文献：

[1] 裘姚泰,王承国,章仰文.数学分析学习指导[M].北京:科学出版社,2004.[2] 赵焕光,林长胜.数学分析(上册)[M].四川大学出版社,2006.[3] 胡国专.泰勒公式在微分学中的应用[J].赤峰学院学报.2012.8，28(8):12-13.[4] 牛旭.泰勒公式在求函数极限中的应用[J].大众科技.2011，146(10):69-70.[5] 杜道渊.泰勒公式在高等数学中的若干应用.北京电力高等专科学校学报[J].2012.11，383.[6] 赵中，张秀全.泰勒公式在高阶导数和高阶偏导数方面的应用[J].天中学刊.2011.4，26(2):81-82.[7] 张智云.浅析泰勒公式的应用[J].课例研究.2011,10(5):79-80.[8] 杨镛.泰勒公式的应用[J].学科研究.2012.8.18:143.

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推荐第3篇：泰勒公式的应用论文

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目 录

引言 ..................................................................................................................................................2 1．泰勒公式 .....................................................................................................................................3

1.1 泰勒多项式 .......................................................................................................................3 1.2 两种类型的泰勒公式 .......................................................................................................4 2．泰勒公式的应用 .........................................................................................................................6

2.1 利用泰勒公式求极限 .......................................................................................................6 2.2 利用泰勒公式证明不等式 .............................................................................................11 2.3 利用泰勒公式进行近似计算和误差估计 .....................................................................15 结束语 ............................................................................................................................................17 参考文献.........................................................................................................................................17 致 谢...........................................................................................................................................18

1

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泰勒公式及其应用

理学院

数学082

陈培贤

指导教师：卢晓忠

摘要：泰勒公式是数学分析中重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。运用泰勒公式可以有效地解决某些问题，在微积分的各个方面都有重要的应用。本文将介绍泰勒公式及其在求极限、不等式的证明、近似计算三方面的应用，从而能够对泰勒公式有更深入的了解，认识到泰勒公式的重要性。 关键词：泰勒公式; 佩亚诺余项; 拉格朗日余项;应用

引言

不论是进行近似计算还是理论分析，我们总希望用一些简单的函数来近似表示比较复杂的函数。多项式是比较简单的一种函数，它只包含加、乘两种运算，最适于使用计算机计算。因此，我们常用多项式来近似表示函数。泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的，泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式。

泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，微分学理论中最一般的情形是泰勒公式。它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。它建立了函数的增量，自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用。这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。

用泰勒公式可以很好的解决某些问题，如求极限、不等式证明、近似计算、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性等方面。比如在求某一初等函数的定积分时，由于此函数的原函数无法用初等函数表示，考虑到一般初等函数都可以近似地用泰勒公式表示，故可运用泰勒公式进行近似计算，并能满足一定的精确度。因此泰勒公式在数学实际应用中是一种重要的应用工具，用泰勒公式这一有力的工具能解决更多的数学实际问题。

在高等数学教材中，一般只讲泰勒公式及几个常用函数的麦克劳林公式，对其在解题中的应用介绍很少。但泰勒公式在解决一些问题中确实有十分重要的作用，因此在泰勒公式

2

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及其应用方面我们有必要进行归纳总结，并且有很大的空间。本文将从求极限、不等式的证明、近似计算三个方面介绍泰勒公式的应用。

1．泰勒公式

1.1 泰勒多项式

当f(x0)0，并且x很小时，有如下的近似等式

ydyf(x0)x

或

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)

上式就是用一次多项式来近似表达一个函数.在xx0处，这个一次多项式及其导数的值分别等于被近似表达的函数及其导数的值.但是，这种近似表达式存在不足之处.它所产生的误差仅是关于(xx0)的高阶无穷小，精确度不高.为了提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数.因此，可设想用高次多项式来近似表达函数.于是提出如下的问题：设函数f(x)在含有x0的开区间内具有直到n阶的导数，试找出一个关于(xx0)的n次多项式

2n

(1) P(x)aa(xx)a(xx)a(xx)n01020n0

用它来近似表达f(x)，要求它与f(x)之差是关于(xx0)n高阶的无穷小. 为了使求得的近似多项式与f(x)在数值与性质方面吻合得更好，如函数的单调性、凹凸性等.于是可进一步要求Pn(x)在x0处的函数值以及它的直到n阶的导数值与f(x)在x0处的函数值以及它的直到n阶的导数值分别相等，即要求

Pn(k)(x0)f(k)(x0)

(k0，1，，n)

(2)

按此要求，可求得(1)式中多项式的各个系数为

a0f(x0),a1f(x0),a2于是

11f(x0),,anf(n)(x0) 2!n!3

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Pn(x)f(x0)f(x0)(xx0)11f(x0)(xx0)2f2!n!(n)(x)(xx0)n

(3)

(3)式中的Pn(x)称为f(x)在x0处的泰勒多项式.那么Pn(x)与f(x)的吻合程度如何？是否是我们要找的多项式呢？即是否有

f(x)Pn(x)o((xx0)n)成立，这将从下文给出证明.

1.2 两种类型的泰勒公式

1.2.1 带有佩亚诺型余项的泰勒公式

定理1.1 若函数f在点x0存在直至n阶导数，则有f(x)Pn(x)o((xx0)n)，即

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)

1f(x0)(xx0)2 2!1(n)f(x0)(xx0)no((xx0)n)

(4) n!证明： 设 Rn(x)f(x)Pn(x)，Qn(x)(xx0)n， 现在只要证

limRn(x)0

xx0Q(x)n(n)(x0)Rn 由关系式(2)可知

Rn(x0)Rn(x0)0

(n1)(n)(x0)Qn并易知

Qn(x0)Qn(x0)0，Qn(x0)n!

因为f(n)(x0)存在，所以在点x0的某邻域U(x0)内f(x)存在n1阶导函数.于是

当xU(x0)且xx0时，允许接连使用洛必达法则n1次，得到

(n1)(x)Rn(x)RnRn(x)

lim limlim(n1)xx0Q(x)xx0Q(x)xx0Q(x)nnnf(n1)(x)f(x1)(x0)f(n)(x0)(xx0)limxx0n(n1)2(xx0)f(n1)(x)f(n1)(x0)1f(n)(x0) limn!xx0xx00证毕.

4

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定理所证的(4)式称为函数f(x)在点x0处的泰勒公式，Rn(x)f(x)Pn(x) 称为泰勒公式的余项，形如o((xx0)n)的余项称为佩亚诺型余项.所以(4)式又称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式.泰勒公式(4)在x00时的特殊形式：

f(0)2f(n)(0)nf(x)f(0)f(0)xxxo(xn).称为（带有佩亚诺余项

2!n!的）麦克劳林公式.1.2.2 带有拉格朗日型余项的泰勒公式

上面我们从微分近似出发，推广得到用n次多项式逼近函数的泰勒公式(4).它的佩亚诺型余项只是定性地告诉我们：当xx0时，逼近误差是较(xx0)n高阶无穷小.现在将泰勒公式构造一个定量形式的余项，以便于对逼近误差进行具体的计算或估计.定理1.2 （泰勒中值定理）

若函数f(x)在a，b上存在直至n阶的连续导函数，在a，b内存在(n1)阶导函数，则对任意给定的x，x0a，b，至少存在一点ξa，b，使得

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f(x0)(xx0)2 2!f(n)(x0)f(n1)(ξ)n (xx0)(xx0)n

1 (5)

n!(n1)!证明： 作辅助函数

f(n)(t) F(t)f(x)f(t)f(t)(xt)(xt)n，G(t)(xt)n1.

n!所要证明的(5)式即为

F(x0)f(n1)(f(n1)(ξ)ξ)

F(x0)G(x0)或（n1）!G(x0)(n1)!

不妨设x0＜x，则F(t)与G(t)在x0，x上连续，在x0，x内可导，且

f(n1)(t)F(t)(xt)n

n!5

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G(t)(n1)(xt)n0

又因F(x)G(x)0，所以由柯西中值定理证得

F(x0)F(x0)F(x)F(ξ)f(n1)(ξ) G(x0)G(x0)G(x)G(ξ)(n1)!其中ξx0，xa，b 证毕.(5)式同样称为泰勒公式，它的余项为

f(n1)(ξ)

Rn(x)f(x)Pn(x)(xx0)n1，ξx0(xx0)0＜＜1

(n1)!

称为拉格朗日型余项.所以(5)式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.注意到n0时，(5)式即为拉格朗日种植公式

f(x)f(x0)f(ξ)(xx0)

所以，泰勒中值定理可以看作拉格朗日中值定理的推广

当x00时，得到泰勒公式

f(0)2f(n)(0)nf(n1)(x)n1f(x)f(0)f(0)xxxx 0＜＜1 (6)

2!n!(n1)!(6)式也称为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式

2．泰勒公式的应用

2.1 利用泰勒公式求极限

极限是微积分的基础，极限运算是学习微积分的基本功。求极限有许多方法，其中用等价无穷小量替换求极限是一种常用、方便、有效的方法。但寻求等价无穷小量并非易事，在替换过程中也容易出错。对于未定式的极限问题，一般可以采用洛必达法则来求。但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛必达法则的情况，泰勒公式往往是比洛必达法则更为有效的求极限工具。利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项。当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限

2.1.1用泰勒公式寻求等价无穷小量及用等价无穷小量替换求极限

6

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命题：f(x)P(x)o((xx0)n)，P(x)f(x0)f(x0)(xx0)1f(x0)(xx0)2 2!1fn!(n)(x0)(xx0)n，若f(i)(x0) (i1，2，，n)不全为零，且当xx0时，

f(x)0.则当xx0时，P(x)与f(x)为等价无穷小.证明：因为f(i)(x0) (i1，2，，n)不全为零，设f(k)(x0)0，且f(j)(x0)0

o((xx0)n) (j1，2，，k1)，则有limxx0P(x)limxx0o((xx0)n)1(k)11f(x0)(xx0)kf(k1)(x0)(xx0)k1f(n)(x0)(xx0)nk!(k1)!n!o((xx0)n)(xx0)k1(k)11f(x0)f(k1)(x0)(xx0)f(n)(x0)(xx0)nkk!(k1)!n!

limxx00，所以

P(x)o((xx0)n)o((xx0)n)f(x)limlimlim(1)1.因此，当xx0时， xx0P(x)xx0xx0P(x)P(x)P(x)与f(x)为等价无穷小.证毕.由此命题可以看出，可以用泰勒公式求某一无穷小量，从而利用等价无穷小量替换求极限

例1 试说明求极限limx0tanxsinx时，为什么不能用tanx与sinx的等价无穷小xx3分别替换它们？

解： 我们用三阶的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式分别将tanx与sinx表示为

x3x33tanxxo(x)，sinxxo(x3)

33!x3x3x33o(x)，这说明函数tanxsinx与于是tanxsinx是等价无穷小（即是 222x3tanxsinx的主要部分）.因此只能用来替代tanxsinx，而不能用(xx)来替代它.

2例

2利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式，求极限lim2cosxln(1x)x

x0x2解： 因为分式函数的分母是x，我们只需将分子中的cosx与ln(1x)分别用二阶的

7

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麦克劳林公式表示：cosx1121xo(x2)，ln(1x)xx2o(x2) 于是 2!211cosxln(1x)x1x2o(x2)xx2o(x2)x

22!对上式作运算是把所有比x2高阶的无穷小的代数和仍记为o(x2)，就得

121xo(x2)xx2o(x2) 故 221x2cosxln(1x)x12 limlim22x0x02xxarcsin2x2arcsinx 例3 求极限lim

x0x39535 解： arcsin2x2arcsinx的泰勒展开式为xxo(x)

49x3x54则原式lim1 3x0x cosxln(1x)xx2.1.2 泰勒公式代换求极限应至少取到第几项

在高等数学中，有时求极限,用带佩亚诺余项的泰勒公式代换的方法求，许多高等教学教材中都有例子，但都没有说明取到哪一项才合适。因此，这一点必须弄清楚，否则在解题 过程中可能会出现错误以及一些不必要的麻烦，故给出以下定理。 定理2.1 设12及是xx0时的无穷小量，2f(x0)f(x0)(xx0)

f(n)(x0)(xx0)no((xx0)n)Pn(x)o((xx0)n) .如果lim

xx(xx)kn!00c0（c是常数，k是正整数），limxx01Pn(x)Pn(x)2存在，则lim1 lim1xxxx00的充要条件是n≥k.证明：必要性 若limxx0Pn(x)21Pn(x)12，则lim1lim1lim

xxxxxx0002Pn(x)故2Pn(x)o()，即o((xx0)n)o().因lim0，

xx0(xx0)k

，故与(xx0)k是同阶无穷小(xx0)，所以n≥k. c0（c是常数） 充分性 因与(xx0)k是同阶无穷小(xx0)，故当n≥k时，可以得到

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o((xx0)n)o()，又2Pn(x)o((xx0)n)，所以limxx012lim xx01[Pn(x)o((xx0)n)]Pn(x)Pn(x)o()lim1limlim1 xxxxxx000 证毕.推论1 设1及12是xx0时的无穷小量，2Pn(x)o((xx0)n)，如果

xx0lim(xx0)k（c是常数），limc0，

xx01Pn(x)存在且不等于零，则lim12xx0

limxx01Pn(x)的充要条件是n≥k. 证明：由定理2.1知limxx0Pn(x)12lim1的充要条件n≥k，也就是xx01xx0lim12xx0lim1的充要条件.即lim的充要条limxx0xx0P(x)1Pn(x)121n件.证毕.定理2.2 设1，2，均为xx0时的无穷小量，2Pn(x)o((xx0)n)，xx0lim1Pn(x)1Pn(x)12存在，如果lim（是常数），则 c0limlimckxxxxxx(xx0)000的充分条件是n≥k

1 证明：因limxx0(xx0)kc0，故与(xx0)k是同阶无穷小.当n≥k1时，

o((xx0)n)O() (xx0).即有界.又2Pn(x)o((xx0)n)，所以limxx012 1[Pn(x)o((xx0)n)]1Pn(x)o((xx0)n)1limlimlim，又1是无穷小量，xxxxxx000所以limxx0o((xx0)n)10，即limxx0P(x)12.证毕.lim1nxx0推论2 ，1，2均为xx0时的无穷小量，2Pn(x)o((xx0)n)，如果

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xx0lim(xx0)k，limc0（c是常数）

1Pn(x)xx0存在且不等于零，则limxx0lim 12xx01Pn(x)的充分条件是n≥k1.证明：由定理2.2知，limxx0P(x)12lim1n的充分条件是n≥k1.也就是 xx01xx0lim12xx0lim1的充分条件.即lim的充分条件.limxx0xx0P(x)1Pn(x)121n1(x1)3x1sin(x1)例1 求lim6

x1tan5(x1)解：这里x01，11(x1)3x1，2sin(x1)，tan5(x1).因为 6tan5(x1)即k5.故由定理2.1知sin(x1)的带有佩亚诺余项的泰勒公式lim10，5x1(x1)只要取到含(x1)5项即可.所以取

sin(x1)(x1)11(x1)3(x1)5o((x1)5) 即 3!5!11Pn(x)(x1)(x1)3(x1)5 因此,原式

3!5!1111Pn(x)(x1)3x1x1(x1)3(x1)5(x1)3x163!5!6limlim 55x1x1tan(x1)(x1)1(x1)51lim5! x1(x1)5120(ex1x)lnx例2 求lim

x1sin3(x1)解：这里x01，1lnx，2ex1sin3(x1) x，sin(x1).由于limx1(x1)3310，即k3.故由定理2.2知ex1的泰勒公式取到含(x1)31(x1)2项即可.取

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Pn(x)1(x1)1(x1)2，所以原式 2!1211(x1)(x1)xlnx3(x1)2lnx1lnx(x1)2!2! limlimlim33x1x1x12(x1)sin(x1)sin(x1)sin(x1)12

2.2 利用泰勒公式证明不等式

关于不等式的证明，我们以前学过了多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凹凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法.下面我们举例说明，泰勒公式也是证明不等式的一个重要方法.定理2.3 设函数yf(x)在x0点附近二阶可导，则

(1)若f(x)＞0，则有f(x)≥f(x0)f(x0)(xx0)

(2)若f(x)＜0，则有f(x)≤f(x0)f(x0)(xx0)等号当xx0是成立.

2.2.1 证明代数不等式

例1 证明设nN，则nnnnnnnn≤2nn，n≥2

1证明：设f(x)x x＞0，则f(x)xnn1nn11n，f(x)xnn12nn＜0

由定理3.3得 f(nnn)≤f(n)f(n)(nn)，f(nnn)≤f(n)f(n)(nn) 两式相加即得结论.例2 设xiR，i1，2，，n.xi1nia，≥2,求证

x3xnx1x2a1≥ 2ax1ax2ax3axn(n1)nxx1(ax)x证明：作函数f(x)，0＜x＜a，则f(x) 2ax(ax)f(x)(1)x2(ax)22x1(ax)2x(ax)2.注意到0＜x＜a，则

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nx1x2xna，因为xia，有x0，则可f(x)＞0.利用定理2.3，取x0nni1得

aaaf(x1)≥ffx1

nnnaaaf(x2)≥ffx2

nnn

aaaf(xn)≥ffxn

nnnn式相加得f(x1)f(x2)f(xn)≥nffx1x2xna

ax3xnx1x2a1n即≥n 2a(n1)nax1ax2ax3axnan原结论得证.2.2.2 证明含导函数不等式

ananp1x1p2x2pnxnf0b内二阶可导，例3 设f(x)在区间a，且f(x)≥，则p1p2pn≤

 p1f(x1)p2f(x2)pnf(xn)，其中p1，p2，，pn均为正数，x1，x2，，p1p2pnxna，b. 证明： 记x0p1x1p2x2pnxn，则x0a，b，由于f(x)在a，b内

p1p2pnf(ξ) 2！二阶可导，故f(x)在点x0处一阶泰勒公式成立.f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)2，ξ在x0与x之间.因为f(x)≥0，xa，b，所以f(x)≥f(x0)

f(x0)(xx0).分别取xx1，x2，，xn，则有

f(x1)≥f(x0)f(x0)(x1x0)

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f(x2)≥f(x0)f(x0)(x2x0)



f(xn)≥f(x0)f(x0)(xnx0)

以上各不等式分别乘以p1，p2，，pn得

p1f(x1)≥p1f(x0)p1f(x0)(x1x0) p2f(x2)≥p2f(x0)p2f(x0)(x2x0)



pnf(xn)≥pnf(x0)pnf(x0)(xnx0)

将上面n个不等式相加得

p1f(x1)p2f(x2)pnf(xn)≥(p1p2pn)f(x0)

f(x0)[p1x1p2x2pnxn(p1p2pn)x0] 因为x0p1x1p2x2pnxn，所以

p1p2pnp1f(x1)p2f(x2)pnf(xn)≥(p1p2pn)f(x0)则

f(x0)≤p1f(x1)p2f(x2)pnf(xn)，从而得

p1p2pnp1f(x1)p2f(x2)pnf(xn).结论得证.≤p1p2pnp1x1p2x2pnxnfp1p2pn例4 若函数f(x)在区间a，b上具有二阶导数，且f(a)f(b)0，则在a，b 内至少存在一点，使f()≥

4f(b)f(a)(ba)2成立.

证明：因为f(x)在a，b上具有二阶导数，所以f(x)在x0处一阶泰勒公式成立

f(ξ)(xx0)2 (1) 2！ab其中ξ在x与x0之间，x0a，b，在(1)式中取x0a，x，则有

2f(x)f(x0)f(x0)(xx0)13

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ξ1)abababf(f()f(a)f(a)aa，因为f(a)0，所以 22！22abf(ξ1)baab (2) f()f(a)，a＜ξ1＜222！2在(2)式中取x0b，x22ab，又因为f(b)0，所以 22abf(ξ2)baab＜ξ2＜b (3) f()f(b)，222！2(3)式减去(2)式并取绝对值得

11f(b)f(a)(ba)2f(ξ2)f(ξ1)≤(ba)2f(ξ2)f(ξ1)

88取f()Maxf(ξ1)，f(ξ2)，a，b，则

f(b)f(a)≤(ba)22f()即f()≥

181(ba)2f() 44f(b)f(a)(ba)2

证毕.

2.2.3 证明含定积分不等式

例5 设函数f(x)在区间a，b上二阶连续可导，且fab0，证明 2baM(ba)3f(x)dx≤，其中Mmaxf(x).

axb24ab处展开，得 2f(ξ)f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)2，其中ξ是x0与x之间的某个值.

2！证明： 将f(x)在x0因为ff(ξ)abf(x)f(x)(xx)(xx0)2 ，所以有0002！2上式在a，b作定积分，然后取绝对值

baf(x)dxf(ξ)2f(x)(xx)(xx)dx 000a2!b12baf(ξ)(xx0)2dx≤

M2ba(xx0)2dxM(ba)3 2414

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即baM(ba)3f(x)dx≤ 证毕.242.3 利用泰勒公式进行近似计算和误差估计

根据泰勒展开式的余项可以具体地估计出用泰勒公式近似地表示一个函数所产生的误

f(n1)(ξ)差.由拉格朗日型余项Rn(x)(xx0)n1，如果f(n1)(x)≤M，M为一定数，

(n1)!则其余项不会超过Mxx0(n1)!n1.由此可以近似地计算某些数值并估计它们的误差. 正弦函数及其近似多项式Pn(x) (n1，3，，19)通过计算机作出的图象如下图所示，可以看到sinx与其近似多项式Pn(x)的图形随着n的增大而变得贴近起来，也就是说，误差Rn(x)随着n的增大而变小.特别当x偏离原点较远时，选取阶数较高的麦克劳林多项式Pn(x)来近似表示sinx时，其精度就较高.

例1 求101的近似值 解： 10110011011 100711135由1x1xx2x(1x)2x4，0＜＜1

281612815

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可得到101101111111 10.049875625232100810016100此时误差R10R35113.90625105 ＜104128100100由此可见，精确度很高.例2 求定积分sinx0xdx的近似值.1解： 该被积函数的原函数不是初等函数，故用牛顿—莱布尼茨公式是无法求出其精确解的.考虑sinx的泰勒展开，能方便地求出其近似数.1315cosx7xxx，0＜＜1 3!5!7!sinx11cosx61x2x4x，0＜＜1 则 x3!5!7!11sinx1cosx1135dx(xxx)x6dx 所以000x33!55!7!1sinx11dx10.9461 可得0x33!55! sinxx此时误差RR6(x)0xdx1111cosx665xdx310≤＜.xdx07!07!77!1例3 (1) 计算e的值，使其误差不超过10；

6(2) 证明数e为无理数.

111e解：(1)当x1时有e11 0＜＜1.()

2!3!n!(n1)!e3故Rn(1)＜，当n9时，便有

(n1)!(n1)! R9(1)＜

336＜10.10!3628800从而略去R9(1)而求得e的近似值为 e111112.718285.2!3!9!(2)由()式得

en!e(n!n!34nn1).

n116

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倘若ep （p，q为正整数），则当n＞q时，n!e为正整数，从而上式左边为整数.因qee3为＜＜，所以当n≥2时右边为非整数，矛盾.从而e只能是无理数.n1n1n1

结束语

本文主要介绍了泰勒公式在求极限、不等式的证明、近似计算三方面的应用。在求极限方面，用泰勒公式求等价无穷小量并且讨论了替换求极限时应取到哪一项。不等式证明主要从三类不等式入手，用典型的例题加以阐述泰勒公式在这方面的应用。近似计算应该是泰勒公式最贴近实际的应用了，并能满足很高的精确度。但并不是所有的近似问题都可以用泰勒公式，它的限制条件比较多，必须是n阶连续可微函数，如果近似的阶数越小，则求出的误差也就会越大。

由于自己的水平能力有限，虽然已经学习了一些有关方面的知识，但在写论文的过程中还是碰到了许许多多的困难，所写的论文难免有不足之处。正是有了这些困难，才给自己解决问题的机会，才能锻炼自己的思维，培养自己的能力。

参考文献

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[9] 安丽微.泰勒公式及其应用[J].素质教育论坛,2009,(03).[10] 陈晓萌.泰勒公式在不等式中的应用[J].昌潍师专学报,2000,(02).[11] 潘劲松.泰勒公式的证明及应用[J].廊坊师范学院学报(自然科学版),2010,(04).[12] 赵小样.泰勒公式的证明及其应用推广[J].科技风,2008,(03).

Taylor formula and its application

Faculty of science

Mathematics 082

Chen pei-xian

Director: Lu xiao-zhong

Abstract: The Taylor formula is important in mathematical analysis , the theory has become an indispensable mathematical tool by the research function limits and estimation error , embodies the eence of the calculus “approximation method”.Use the Taylor formula can effectively solve some problems , have important applications in various aspects of the calculus .This article will introduce Taylor formula and its applications in three aspects of asks the limit，proof of inequalities and approximate calculation , allowing a deeper understanding in the Taylor formula , understanding the importance of the Taylor formula .

Keyword: Taylor formula Peano remainder Lagrange remainder applications

致 谢

本论文自始至终在指导教师卢晓忠老师的亲切关怀和悉心指导下完成的，卢老师严谨的学习与工作态度使我受益匪浅，也感染着每一位他所指导的学生。在本论文的撰写过程中给与我大量的指导和帮助。真挚地感谢卢晓忠老师对本论文的精心指导。

同时也感谢家人和同学在学习生活中对我的关怀和支持。

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推荐第4篇：多元函数的泰勒公式

第九节多元函数的泰勒公式

内容分布图示

★ 二元函数的泰勒公式

★ 例1

★ 关于极值充分条件的证明

★ 内容小结

★习题8—9

★ 返回

内容要点：

一、二元函数的泰勒公式

我们知道用一个一元函数的泰勒公式可以按任意给定的精度要求来近似表达这个函数.对多元函数也有类似的结果，即可以用一个多元多项式按任意给定的精度要求来近似表达一个多元函数.现以二元函数为例叙述如下：

定理1 设zf(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内连续且有直到n1阶的连续偏导数, (x0h,y0k)为此邻域内任一点, 则有

1f(x0h,y0h)f(x0,y0)hkf(x,y)hk00xxf(x0,y0) y2!y2

11hkf(x,y)hk00x(n1)!yn!xynn1f(x0h,y0k)

(01).

这个公式称为二元函数f(x,y)在点(x0,y0)的n阶泰勒公式.

推论1 设函数f(x,y)在区域D上具有连续的一阶偏导数，且在区域D内，有fx(x,y)0,fy(x,y)0，则函数f(x,y)在区域D内为一常数.

二、极值充分条件的证明

例题选讲：

例1（讲义例1）求函数f(x,y)ln(1xy)的三阶麦克劳林公式.

推荐第5篇：泰勒公式及其应用的提纲

目录

1.1泰勒公式的背景............（1）

1.2泰勒公式的意义...........（2）

1.3 不同类型的泰勒公式的余项的作用..........（5）

2.泰勒公式.......................（5）

2.1 带有皮亚诺余项的泰勒公式...............（6）

2.2带有拉格朗日型余项的泰勒公式...............（6）

3.二元函数的泰勒公式.................（8）

4.泰勒公式的应用................（10）

4.1 泰勒公式对于某些函数的应用................（10）

4.2用泰勒公式求极限...................（11）

4.3用泰勒公式求高阶导数...............（11）

4.4泰勒公式在证明不等式中的应用.........（12）

推荐第6篇：三角公式证明

公式表达式

乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理

判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根

b2-4ac>0 注：方程有一个实根

b2-4ac

三角函数公式

两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角

正切定理:

[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}

圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标

圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0

抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c\'*h

正棱锥侧面积 S=1/2c*h\' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c\')h\'

圆台侧面积 S=1/2(c+c\')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2

圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l

弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r

锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h

斜棱柱体积 V=S\'L 注：其中,S\'是直截面面积， L是侧棱长柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h

-----------------------三角函数积化和差 和差化积公式

记不住就自己推，用两角和差的正余弦：

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:

相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2

相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2

sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA

sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:

相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2

相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2

这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了

不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下

正加正 正在前

正减正 余在前

余加余 都是余

余减余 没有余还负

正余正加 余正正减

余余余加 正正余减还负

.

3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)

(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC

(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)

(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1

(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC

(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1

......

已知sinα=m sin(α+2β), |m|

解:sinα=m sin(α+2β)

sin(a+β-β)=msin(a+β+β)

sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβsin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1)

tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ

推荐第7篇：公式及证明

初中数学几何定理

1。同角（或等角）的余角相等。 2。对顶角相等。 3。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。 4。在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线是平行线。

5。同位角相等，两直线平行。 6。等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。 7。直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

8。在角平分线上的点到这个角的两边距离相等。及其逆定理。

9。夹在两条平行线间的平行线段相等。夹在两条平行线间的垂线段相等。

10。一组对边平行且相等、或两组对边分别相等、或对角线互相平分的四边形是平行四边形。

11。有三个角是直角的四边形、对角线相等的平行四边形是矩形。

12。菱形性质：四条边相等、对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

13。正方形的四个角都是直角，四条边相等。两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

14。在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。 15。垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对弧。平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 16。直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。

17。相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。

18．圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角。

19。切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

20。切线的性质定理①经过圆心垂直于切线的直线必经过切点。 ②圆的切线垂直于经过切点的半径。 ③经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

21。切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。连结圆外一点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角。

22。弦切角定理 弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

23。相交弦定理； 切割线定理； 割线定理；

初中数学几何一般证题途径：证明两线段相等

1.两全等三角形中对应边相等 2.同一三角形中等角对等边

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等

9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等

10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等

11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等

12.两圆的内（外）公切线的长相等 13.等于同一线段的两条线段相等

证明两个角相等

1.两全等三角形的对应角相等 2.同一三角形中等边对等角

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等 6.同圆（或等圆）中，等弦（或同弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

8.相似三角形的对应角相等 9.圆的内接四边形的外角等于内对角

10.等于同一角的两个角相等

证明两直线平行

1.垂直于同一直线的各直线平行 2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行

3.平行四边形的对边平行 4.三角形的中位线平行于第三边

5.梯形的中位线平行于两底 6.平行于同一直线的两直线平行 7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平等行于第三边

证明两条直线互相垂直

1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角

4.邻补角的平分线互相垂直 5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条

6.两条直线相交成直角则两直线垂直

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上

8.利用勾股定理的逆定理 9.利用菱形的对角线互相垂直

10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦 11.利用半圆上的圆周角是直角

证明线段的和差倍分

1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等

2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段

3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等

4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段

5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）

证明角的和差倍分

1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同 2.利用角平分线的定义

3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

证明线段不等

1.同一三角形中，大角对大边 2.垂线段最短

3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大

5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小 6.全量大于它的任何一部分

证明两角的不等

1.同一三角形中，大边对大角 2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角

3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大

4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大 5.全量大于它的任何一部分

证明比例式或等积式

1.利用相似三角形对应线段成比例 2.利用内外角平分线定理

3.平行线截线段成比例 4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理

5.与圆有关的比例定理：相交弦定理、切割线定理及其推论

6.利用比利式或等积式化得

证明四点共圆

1.对角互补的四边形的顶点共圆 2.外角等于内对角的四边形内接于圆

3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆（顶角在底边的同侧）

4.同斜边的直角三角形的顶点共圆 5.到顶点距离相等的各点共圆

二、空间与图形

A：图形的认识：

1：点，线，面

点，线，面：①图形是由点，线，面构成的。②面与面相交得线，线与线相交得点。③点动成线，线动成面，面动成体。

展开与折叠：①在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方体。②N棱柱就是底面图形有N条边的棱柱。

一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。

3视图：主视图，左视图，俯视图。

多边形：他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。

弧，扇形：①由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形。②圆可以分割成若干个扇形。

2：角

线：①线段有两个端点。②将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线只有一个端点。③将线段的两端无限延长就形成了直线。直线没有端点。④经过两点有且只有一条直线。比较长短：①两点之间的所有连线中，线段最短。②两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。

角的度量与表示：①角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。

角的比较：①角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。②一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。始边继续旋转，当他又和始边重合时，所成的角叫做周角。③从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

平行：①同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。③如果两条直线都与第3条直线平行，那么这两条直线互相平行。垂直：①如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。②互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

3：相交线与平行线

角：①如果两个角的和是直角,那么称和两个角互为余角；如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。②同角或等角的余角/补角相等。③对顶角相等。④同位角相等/内错角相等/同旁内角互补，两直线平行，反之亦然。

4：三角形

三角形：①由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。②三角形任意两边之和大于第三边。三角形任意两边之差小于第三边。③三角形三个内角的和等于180度。④三角形分锐角三角形/直角三角形/钝角三角形。⑤直角三角形的两个锐角互余。⑥三角形中一个内角的角平分线与他的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。⑦三角形中，连接一个顶点与他对边中点的线段叫做这个三角形的中线。⑧三角形的三条角平分线交于一点，三条中线交于一点。⑨从三角形的一个顶点向他的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。⑩三角形的三条高所在的直线交于一点。

图形的全等：全等图形的形状和大小都相同。两个能够重合的图形叫全等图形。全等三角形：①全等三角形的对应边/角相等。②条件：SSS/AAS/ASA/SAS/HL。勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，反之亦然。

5：四边形

平行四边形的性质：①两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。②平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫他的对角线。③平行四边形的对边/对角相等。④平行四边形的对角线互相平分。

平行四边形的判定条件：两条对角线互相平分的四边形/一组对边平行且相等的四边形/两组对边分别相等的四边形/定义。

菱形：①一组邻边相等的平行四边形是菱形。②领心的四条边相等，两条对角线互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角。③判定条件：定义/对角线互相垂直的平行四边形/四条边都相等的四边形。

矩形与正方形：①有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。②矩形的对角线相等，四个角都是直角。③对角线相等的平行四边形是矩形。④正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质。⑤一组邻边相等的矩形是正方形。

梯形：①一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形。②两条腰相等的梯形叫等腰梯形。③一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。④等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线星等，反之亦然。

多边形：①N边形的内角和等于（N-2）180度。②多边心内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，他们的和叫做这个多边形的内角和（都等于360度）

平面图形的密铺：三角形，四边形和正六边形可以密铺。

中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

B：图形与变换：

1：图形的轴对称

轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

轴对称图形：①角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。③等腰三角形的“三线合一”。

轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段/对应角相等。

2:图形的平移和旋转

平移：①在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。

旋转：①在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。②经过旋转，图形商店每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。3：图形的相似

比：①A/B=C/D，那么AD=BC，反之亦然。②A/B=C/D，那么A土B/B=C土D/D。③A/B=C/D=。。。=M/N， 那么A+C+。。。+M/B+D+。。。N=A/B。

黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC与BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比（根号5-1/2）。相似：①各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。②相似多边形对应

边的比叫做相似比。

相似三角形：①三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。②条件：AA/SSS/SAS。

相似多边形的性质：①相似三角形对应高，对应角平分线，对应中线的比都等于相似比。②相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

图形的放大与缩小：①如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

D：证明

定义与命题：①对名称与术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出他们的定义。②对事情进行判断的句子叫做命题（分真命题与假命题）。③每个命题是由条件和结论两部分组成。④要说明一个命题是假命题，通常举出一个离子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子叫做反例。

公理：①公认的真命题叫做公理。②其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，经过证明的真命题称为定理。③同位角相等，两直线平行，反之亦然；SAS/ASA/SSS，反之亦然；同旁内角互补，两直线；平行，反之亦然；内错角相等，两直线平行，反之亦然；三角形三个内角的和等于180度；三角形的一个外交等于和他不相邻的两个内角的和；三角心的一个外角大于任何一个和他不相邻的内角。④由一个公理或定理直接推出的定理，叫做这个公理或定理的推论。

推荐第8篇：导数公式证明

导数的定义：f\'(x)=lim Δy/Δx Δx→0（下面就不再标明Δx→0了） 用定义求导数公式 （1）f(x)=x^n

证法一：（n为自然数） f\'(x)=lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx =lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx =lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)] =x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1)=nx^(n-1)

证法二：（n为任意实数）

f(x)=x^n lnf(x)=nlnx (lnf(x))\'=(nlnx)\' f\'(x)/f(x)=n/x f\'(x)=n/x*f(x) f\'(x)=n/x*x^n f\'(x)=nx^(n-1)

（2）f(x)=sinx f\'(x)=lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx=lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx=lim cosxsinΔx/Δx=cosx

（3）f(x)=cosx f\'(x)=lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx=lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx =lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx=lim -sinxsinΔx/Δx=-sinx

（4）f(x)=a^x f\'(x)=lim (a^(x+Δx)-a^x)/Δx=lim a^x*(a^Δx-1)/Δx （设a^Δx-1=m，则Δx=loga^(m+1)）

=lim a^x*m/loga^(m+1)=lim a^x*m/[ln(m+1)/lna]=lim a^x*lna*m/ln(m+1) =lim a^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)]=lim a^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)] =lim a^x*lna/lne=a^x*lna

若a=e，原函数f(x)=e^x 则f\'(x)=e^x*lne=e^x

（5）f(x)=loga^x f\'(x)=lim (loga^(x+Δx)-loga^x)/Δx

=lim loga^[(x+Δx)/x]/Δx=lim loga^(1+Δx/x)/Δx=lim ln(1+Δx/x)/(lna*Δx) =lim x*ln(1+Δx/x)/(x*lna*Δx)=lim (x/Δx)*ln(1+Δx/x)/(x*lna) =lim ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/(x*lna)=lim lne/(x*lna)=1/(x*lna)

若a=e，原函数f(x)=loge^x=lnx则f\'(x)=1/(x*lne)=1/x （6）f(x)=tanx f\'(x)=lim (tan(x+Δx)-tanx)/Δx=lim (sin(x+Δx)/cos(x+Δx)-sinx/cosx)/Δx =lim (sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)/(Δxcosxcos(x+Δx)) =lim (sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔx+sinxsinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx)) =lim sinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2

（7）f(x)=cotx f\'(x)=lim (cot(x+Δx)-cotx)/Δx=lim (cos(x+Δx)/sin(x+Δx)-cosx/sinx)/Δx =lim (cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx)) =lim (cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx-cosxsinxcosΔx-cosxsinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx)) =lim -sinΔx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2

（8）f(x)=secx f\'(x)=lim (sec(x+Δx)-secx)/Δx=lim (1/cos(x+Δx)-1/cosx)/Δx =lim (cosx-cos(x+Δx)/(ΔxcosxcosΔx) =lim (cosx-cosxcosΔx+sinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx)) =lim sinxsinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=sinx/(cosx)^2=tanx*secx

（9）f(x)=cscx f\'(x)=lim (csc(x+Δx)-cscx)/Δx=lim (1/sin(x+Δx)-1/sinx)/Δx =lim (sinx-sin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx)) =lim (sinx-sinxcosΔx-sinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx)) =lim -sinΔxcosx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-cosx/(sinx)^2=-cotx*cscx

（10）f(x)=x^x lnf(x)=xlnx (lnf(x))\'=(xlnx)\' f\'(x)/f(x)=lnx+1 f\'(x)=(lnx+1)*f(x) f\'(x)=(lnx+1)*x^x （12）h(x)=f(x)g(x) h\'(x)=lim (f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx =lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x)-g(x+Δx))*f(x)]/Δx =lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+Δx)-f(x)*g(x+Δx)]/Δx =lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)/Δx+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/Δx=f\'(x)g(x)+f(x)g\'(x) （13）h(x)=f(x)/g(x) h\'(x)=lim (f(x+Δx)/g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx =lim (f(x+Δx)g(x)-f(x)g(x+Δx))/(Δxg(x)g(x+Δx)) =lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x)+g(x))*f(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx)) =lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx)) =lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/(Δxg(x)g(x+Δx)) =f\'(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g\'(x)/(g(x)*g(x))=[f\'(x)g(x)-f(x)g\'(x)]/(g(x)*g(x))x （14）h(x)=f(g(x)) h\'(x)=lim [f(g(x+Δx))-f(g(x))]/Δx =lim [f(g(x+Δx)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/Δx （另g(x)=u，g(x+Δx)-g(x)=Δu） =lim (f(u+Δu)-f(u))/Δx=lim (f(u+Δu)-f(u))*Δu/(Δx*Δu) =lim f\'(u)*Δu/Δx=lim f\'(u)*(g(x+Δx)-g(x))/Δx=f\'(u)*g\'(x)=f\'(g(x))g\'(x) 总结一下

（x^n）\'=nx^(n-1) （sinx）\'=cosx （cosx）\'=-sinx （a^x）\'=a^xlna （e^x）\'=e^x （loga^x）\'=1/(xlna) （lnx）\'=1/x (tanx)\'=(secx)^2=1+(tanx)^2 (cotx)\'=-(cscx)^2=-1-(cotx)^2 (secx)\'=tanx*secx (cscx)\'=-cotx*cscx (x^x)\'=(lnx+1)*x^x [f(x)g(x)]\'=f\'(x)g(x)+f(x)g\'(x) [f(x)/g(x)]\'=[f\'(x)g(x)-f(x)g\'(x)]/(g(x)*g(x)) [f(g(x))]\'=f\'(g(x))g\'(x)

推荐第9篇：泰勒

泰勒《课程与教学的基本原理》是特定时代的产物。一方面，泰勒从本世纪上半叶的哲学家和心理学家杜威、桑戴克、贾德和波特等人的学说中寻找理论依据，从现代课程理论先驱博比特和查特斯的研究成果中继承有用部分；另一方面，泰勒积极从事课程实践活动，尤其是投身于“八年研究”，从实践中汲取充分的养料。所以，泰勒的“课程原理”有它的理论背景和实践背景。

1918年，出版了第一本专门论述课程的书，那就是博比特的《课程》。人们一般认为它标志着课程作为专门研究领域的诞生。同时，全国教育协会“中等教育改组委员会”编著了《中等教育的主要原理》。从而拉开了美国20年代课程改革运动的序幕。

美国20年代课程改革运动的起因，在很大程度上是由于当时教育界人士和学生家长普遍认为：学校教育与当代生活不相干，因而没有实效。课程改革者几乎一致反对学校教育中与形式训练说有关的一切做法。他们认为，课程应该与当今事务有直接联系，应以功利为价值取向。因此，他们把泰罗在本世纪初提出的“科学管理原理”视为一种理想的模式。

泰罗的口号是“效率”。他强调“彻底的实际效用”。在科学管理原理中，“生产率”是一个核心概念；个体仅仅是整个生产系统中的一个要素。它的基本假设是：人是受经济利益驱动的；是一种可供操纵的生产工具。因此，若要提高生产率，就须用科学的原理来管理，即要分析工人的“特殊能力和限制条件，”以便使每个工人都处于自己最高效率和最大生产能力的状态。”

一些教育界人士对工厂企业的科学化管理运动，很快就作出反应。他们竟相仿效，并把这种“科学”方法运用于学校管理。所以，有人把这一时期称为“学校督导从教育者转变成经理的时期”。

效率运动不仅影响到学校管理，而且对课程理论也产生了深远影响。在效率运动的早期拥护者中，就有后来成为课程改革的学者博比特。事实上，现代课程领域的范围和研究导向，最早主要是由博比特确定的。

博比特后来在谈及自己的经历时说，引起他从事课程研究的原因，不只是为了学术研究，“而是由于感到这是一种社会需要”。正是由于上述这种“社会需要”，促成博比特的早期著作实质上遵循这样一条主线：把工业科学管理的原则运用于学校教育，继而又把它推衍到课程领域本身。这样，美国课程理论从一开始就依据这样的隐喻：学生是“原料”，是学校这架“机器”加工的对象。难怪后人称其为“学校工厂”（school一factory）。随后，博比特又把企业成本会计原理应用于学校的教学科目中。这样，学校课程的核心棗学科棗也围绕“效率”这个轨道运转。“效率等同于科学”，这就是当时一些课程理论工作者的看法。

博比特在现代课程理论史上的第一部专著《课程》中，将上述观点加以系统化和理论化。他认为：“教育实质上是一种显露人的潜在能力的过程，它与社会条件有着特殊的联系。”由于教育是要使学生为完美的成人生活作准备，因此，“我们首先应该根据对社会需要的研究来确定目标”。他指出，学习经验是达到目标的手段。为了使课程科学化，“我们必须使教育目标具体化”。因为“科学的时代要求精确性和具体性”。相应地，强调教育目标的具体化（particularization）和标准化（standardization），成了20年代初课程科学化运动的一个重要标志。

在博比特看来，课程是通过对人类活动的分析而被逐渐发现的东西，所以，“课程发现者首先是对人性和人类事务的分析者”。即要发现当代人类社会所需要的特定的“能力、态度、习惯、鉴赏力和知识的形式”。这种把人的活动分析成具体的和特定的行为单位的方法，即著名的“活动分析法”。

根据博比特《怎样编制课程》一书，可以把课程编制过程归纳成以下几个步骤： 1．对人类经验的分析。即把广泛的人类经验划分成一些主要的领域。通过对整个人类经验领域的审视，了解学校教育经验与其它经验的联系。

2．工作分析。即把人类经验的主要领域再进一步分析成一些更为具体的活动，以便一一列举需要从事哪些活动。

3．推导出目标。目标是对进行各种具体活动所需要的能力的陈述，同时也旨在帮助课程编制者确定要达到哪些具体的教育结果（博比特在《怎样编制课程》中，曾列举了人类经验的10个领域中的800多个目标）。

4．选择目标。即要从上述步骤得出的众多日标中选择与学校教育相关的、且能达到的目标，以此作为教育计划的基础和行动纲领。

5．制定详细计划。即要设计为达到教育目标而提供的各种活动、经验和机会。

推荐第10篇：泰勒公式在极限求解中的应用

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泰勒公式在极限求解中的应用

作者：刘靖 江飞

来源：《考试周刊》2013年第08期

摘 要： 泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，我们可以借助它解决很多问题.本文简述了泰勒公式在求解函数的极限中的应用.

关键词： 泰勒公式 极限 应用

1.泰勒公式

2.泰勒公式在求极限中的应用

用泰勒公式计算函数极限的实质是计算极限时忽略较高阶的无穷小，当在求函极限的过程中发现用其他方法较难时，可以考虑利用泰勒公式进行求解，尤其是■型极限的求解，此时只需把分子、分母展开到同阶的无穷小即可.

通过上面的几个例子，可以看出利用泰勒公式求解某些函数的极限很简洁、方便，从而能准确、高效地解决一些数学问题.

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2001：139-145.

[2]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2002.

[3]南京大学数学系.数学分析习题全解[M].合肥：安徽人民出版社，1999.

第11篇：海伦公式的证明

与海伦在他的著作\"Metrica\"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC = (a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

第12篇：狭义相对论公式及证明

狭义相对论公式及证明

单位符号单位符号

坐标：m(x, y, z) 力： NF(f)

时间：st(T)质量:kgm(M)

位移：mr动量:kg*m/s p(P)

速度：m/sv(u)能量: JE

加速度： m/s^2 a冲量：N*sI

长度：ml(L)动能：JEk

路程：ms(S)势能：JEp

角速度： rad/s ω力矩：N*mM

角加速度:rad/s^2α功率：WP

一：

牛顿力学（预备知识）

(一)：质点运动学基本公式：(1)v=dr/dt, r=r0+∫rdt

(2)a=dv/dt, v=v0+∫adt

(注：两式中左式为微分形式，右式为积分形式)

当v不变时，(1)表示匀速直线运动。

当a不变时，(2)表示匀变速直线运动。

只要知道质点的运动方程r=r(t)，它的一切运动规律就可知了。

(二)：质点动力学：

(1)牛一：不受力的物体做匀速直线运动。

(2)牛二：物体加速度与合外力成正比与质量成反比。

F=ma=mdv/dt=dp/dt

(3)牛三：作用力与反作与力等大反向作用在同一直线上。

(4)万有引力：两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。

F=GMm/r2,G=6.67259*10-11m3/(kg*s2)

动量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外力的冲量等于动量的变化)

动量守恒：合外力为零时，系统动量保持不变。

动能定理：W=∫Fds=Ek2-Ek1(合外力的功等于动能的变化)

机械能守恒：只有重力做功时，Ek1+Ep1=Ek2+Ep2

(注：牛顿力学的核心是牛二：F=ma,它是运动学与动力学的桥梁，我们的目的是知道物体的运动规律，即求解运动方程r=r(t),若知受力情况，根据牛二可得a,再根据运动学基本公式求之。同样，若知运动方程r=r(t),可根据运动学基本公式求a，再由牛二可知物体的受力情况。)

二：

狭义相对论力学：(注：γ=1/sqr(1-u2/c2),β=u/c, u为惯性系速度。)

(一)基本原理：(1)相对性原理：所有惯性系都是等价的。

(2)光速不变原理：真空中的光速是与惯性系无关的常数。

(此处先给出公式再给出证明)

(二)洛仑兹坐标变换：

X=γ(x-ut)

Y=y

Z=z

T=γ(t-ux/c2)

(三)速度变换：

V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c2)

V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c2))

V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c2))

(四)尺缩效应：△L=△l/γ或dL=dl/γ

(五)钟慢效应：△t=γ△τ或dt=dτ/γ

(六)光的多普勒效应：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)

(光源与探测器在一条直线上运动。)

(七)动量表达式：P=Mv=γmv, 即M=γm.

(八)相对论力学基本方程：F=dP/dt

(九)质能方程：E=Mc2

(十)能量动量关系：E2=E02+P2c2

(注：在此用两种方法证明，一种在三维空间内进行，一种在四维时空中证明，实际上他们是等价的。)

三：

三维证明：

(一)由实验总结出的公理，无法证明。

(二)洛仑兹变换：

设(x, y, z, t)所在坐标系(A系)静止，(X,Y, Z,T)所在坐标系(B系)速度为u,且沿x轴正向。在A系原点处，x=0,B系中A原点的坐标为X=-uT,即X+uT=0。可令x=k(X+uT),(1).又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k是与u有关的常数(广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k不再是常数。)同理，B系中的原点处有X=K(x-ut),由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=K.故有X=k(x-ut),(2).对于y, z, Y, Z皆与速度无关，可得Y=y,(3).Z=z(4).将(2)代入(1)可得：x=k2(x-ut)+kuT,即T=kt+((1-k2)/(ku))x,(5).(1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理，要确定k需用光速不变原理。当两系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有x=ct, X=cT.代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u), cT=kt(c-u).两式相乘消去t和T得：k=1/sqr(1-u2/c2)=γ.将γ反代入(2)(5)式得坐标变换：

X=γ(x-ut)

Y=y

Z=z

T=γ(t-ux/c2)

(三)速度变换：

V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c2))

=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c2)

=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c2)

同理可得V(y),V(z)的表达式。

(四)尺缩效应：

B系中有一与x轴平行长l的细杆，则由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t),又△t=0(要同时测量两端的坐标)，则△X=γ△x,即：△l=γ△L,△L=△l/γ

(五)钟慢效应：

由坐标变换的逆变换可知，t=γ(T+Xu/c2),故△t=γ(△T+△Xu/c2),又△X=0,(要在同地测量)，故

△t=γ△T.

(注：与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时，是不随坐标变换而变的客观量。)

(六)光的多普勒效应：(注：声音的多普勒效应是：ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).)

B系原点处一光源发出光信号，A系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。B系中光源频率为ν(b),波数为N，B系的钟测得的时间是△t(b),由钟慢效应可知，A△系中的钟测得的时间为△t(a)=γ△t(b),(1).探测器开始接收时刻为t1+x/c,最终时刻为t2+(x+v△t(a))/c,则△t(N)=(1+β)△t(a),(2).相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同，即ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N),(3).由以上三式可得：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b).

(七)动量表达式:(注：dt=γdτ,此时，γ=1/sqr(1-v2/c2)因为对于动力学质点可选自身为参考系，β=v/c)

牛二在伽利略变换下，保持形势不变，即无论在那个惯性系内，牛二都成立，但在洛伦兹变换下，原本简洁的形式变得乱七八糟，因此有必要对牛顿定律进行修正，要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。

牛顿力学中，v=dr/dt, r在坐标变换下形式不变，（旧坐标系中为（x, y, z）新坐标系中为(X,Y,Z)）只要将分母替换为一个不变量（当然非固有时dτ莫属）就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv为相对论速度。牛顿动量为p=mv, 将v替换为V，可修正动量，即p=mV=γmv。定义M=γm(相对论质量)则p=Mv.这就是相对论力学的基本量：相对论动量。（注：我们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算）

(八)相对论力学基本方程：

由相对论动量表达式可知：F=dp/dt,这是力的定义式，虽与牛二的形式完全一样，但内涵不一样。（相对论中质量是变量）

(九)质能方程：

Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv

=Mv2-∫mv/sqr(1-v2/c2)dv=Mv2+mc2*sqr(1-v2/c2)-mc2

=Mv2+Mc2(1-v2/c2)-mc2

=Mc2-mc2

即E=Mc2=Ek+mc2

(十)能量动量关系：

E=Mc2,p=Mv, γ=1/sqr(1-v2/c2),E0=mc2,可得：E2=E02+p2c

2四：

四维证明：

(一)公理，无法证明。

(二)坐标变换：由光速不变原理：dl=cdt,即dx2+dy2+dz2+(icdt)2=0在任意惯性系内都成立。定义dS为四维间隔，dS2=dx2+dy2+dz2+(icdt)2,(1).则对光信号dS恒等于0，而对于任意两时空点的dS一般不为0。dS2>0称类空间隔，dS2

由数学的旋转变换公式有：（保持y, z轴不动，旋转x和ict轴）

X=xcosφ+(ict)sinφ

icT=-xsinφ+(ict)cosφ

Y=y

Z=z

当X=0时，x=ut,则0=utcosφ+ictsinφ

得：tanφ=iu/c,则cosφ=γ, sinφ=iuγ/c反代入上式得：

X=γ(x-ut)

Y=y

Z=z

T=γ(t-ux/c2)

(三)(四)(五)(六)(八)(十)略。

(七)动量表达式及四维矢量：(注：γ=1/sqr(1-v2/c2),下式中dt=γdτ)

令r=(x, y, z, ict)则将v=dr/dt中的dt替换为dτ，V=dr/dτ称四维速度。

则V=(γv, icγ)γv为三维分量，v为三维速度，icγ为第四维分量。（以下同理）

四维动量：P=mV=(γmv, icγm)=(Mv, icM)

四维力：f=dP/dτ=γdP/dt=(γF, γicdM/dt)(F为三维力)

四维加速度：ω=/dτ=(γ4a,γ4iva/c)

则f=mdV/dτ=mω

(九)质能方程：

fV=mωV=m(γ5va+i2γ5va)=0

故四维力与四维速度永远“垂直”，（类似于洛伦兹磁场力）

由fV=0得：γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0(F, v为三维矢量，且Fv=dEk/dt(功率表达式)) 故dEk/dt=c2dM/dt即∫dEk=c^2∫dM,即:Ek=Mc2-mc2

故E=Mc2=Ek+mc2

关于第六条：

通过速度变换和质能方程（E=Mc2）可以导出两个坐标系间的能量变换公式（证明很简单，但很繁琐，就不写了）：E\'=γE(1-u*v/c2)

(注：u、v都是矢量，u为参考系速度，v为光源速度，*表示点乘，也可以写做： E\'=γE(1-uv（x）/c2))

上式对任意粒子都成立，对于光子：E=hν代入得：

ν\'=γν（1-ucosθ/c） (普遍公式)

对于θ=0可得：ν\'=νsqr((1-β)/（1+β）) （特例）

利用速度变换和动量关系（p=Mv）一样可导出两坐标系之间的动量变换公式：

p(x)\'=γp(x)(1-u/v(x))

p(y)\'=p(y)

p(z)\'=p(z)

动量变换与能量变换不仅仅适用于光子，对所有的粒子都是适用的。

第13篇：高中数学立体几何证明公式

线线平行→线面平行 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

线面平行→线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

线面平行→面面平行 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

面面平行→线线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

线线垂直→线面垂直 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

线面垂直→线线平行 如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

线面垂直→面面垂直 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

线面垂直→线线垂直 线面垂直定义：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。

面面垂直→线面垂直 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

三垂线定理 如果平面内的一条直线垂直于平面的血现在平面内的射影，则这条直线垂直于斜线。

第14篇：数列求和公式证明

1）1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6从左边推到右边

数学归纳法可以证

也可以如下做 比较有技巧性

n^2=n(n+1)-n

1^2+2^2+3^2+......+n^

2=1*2-1+2*3-2+....+n(n+1)-n

=1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)

由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/

3所以1*2+2*3+...+n(n+1)

=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3

[前后消项]

=[n(n+1)(n+2)]/3

所以1^2+2^2+3^2+......+n^2

=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2

=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]

=n(n+1)[(2n+1)/6]

=n(n+1)(2n+1)/6

2）1×2+2×3+3×4+...+n×（n+1）=？

设n为奇数,

1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=

=(1*2+2*3)+(3*4+4*5)+...+n(n+1)

=2(2^2+4^2+6^2+...(n-1)^2)+n(n+1)

=8(1^2+2^2+3^2+...+[(n-1)/2]^2)+n(n+1)

=8*[(n-1)/2][(n+1)/2]n/6+n(n+1)

=n(n+1)(n+2)/3

设n为偶数,

请你自己证明一下！

所以，

1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

设an=n×（n+1）=n^2+n

Sn=1×2+2×3+3×4+...+n×（n+1）

=(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+(1+2+3+……+n) =n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2

=n(n+1)(n+2)/3

数列求和的几种方法

1.公式法：

等差数列求和公式:

Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2

等比数列求和公式：

Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)

2.错位相减法

适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn

例如：an=a1+(n-1)dbn=a1·q^(n-1)Cn=anbn

Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4....+anbn

qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)

Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)

Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn)

=a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)Tn=上述式子/(1-q)

3.倒序相加法

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an)

Sn =a1+ a2+ a3+......+anSn =an+ a(n-1)+a(n-3)......+a1上下相加 得到2Sn 即 Sn= （a1+an)n/

24.分组法

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例如：an=2^n+n-1

5.裂项法

适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。常用公式：

（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

（5） n·n!=(n+1)!-n!

[例] 求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.

解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂项）

则Sn =1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）＝ 1-1/(n+1)＝ n/(n+1)

小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。注意： 余下的项具有如下的特点1余下的项前后的位置前后是对称的。2余下的项前后的正负性是相反的。

6.数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：

（1）证明当n取第一个值时命题成立；

（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

例：求证：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3) =

[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5证明： 当n=1时，有：1×2×3×4 + 2×3×4×5 = 2×3×4×5×(1/5 +1) = 2×3×4×5×6/5假设命题在n=k时成立，于是：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) =

[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5则当n=k+1时有：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=

[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=

(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5即n=k+1时原等式仍然成立，归纳得证

7.通项化归

先将通项公式进行化简，再进行求和。如：求数列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n项和。此时先将an求出，再利用分组等方法求和。

8.并项求和：

例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n（并项）

求出奇数项和偶数项的和，再相减。

第15篇：三角函数公式及证明

三角函数公式及证明

（本文由hahacjh@qq.com 编辑整理 2013.5.3）

基本定义

1.任意角的三角函数值：

在此单位圆中，弧AB的长度等于；

B点的横坐标xcos，纵坐标ysin ；

（由 三角形OBC面积

sinatana （02））

2.正切：

tansincos

基本定理

1.勾股定理： sin2cos21 1.正弦定理：asinA2=2bsinB2=

csinC= 2R （R为三角形外接圆半径）

A2.余弦定理：a=b+c-2bccos3.诱导公试:

cosAbca2bc222

2k

sincostancot

奇变偶不变，符号看相线

4.正余弦和差公式: ①sin(②cos(

)sincoscossin)coscossinsin

推导结论

1.基本结论

(sincos)221sin21cos2

tan1

2.正切和差公式：

tan()sin()sincoscossin

cos()coscossinsintantan1tantan

3.二倍角公式（包含万能公式）：

2sincos2tansin22sincos222sincos1tan2222

1tan21tan2cos2sin2cos2cossin2cos112sinsin2cos2tan2sin2cos22tan1tan2

sin221cos221cos22tan1tan22

cos

4.半角公式：（符号的选择由

2所在的象限确定） sin21cos21cos21cos1cos sin221cos21cos2 1cos 1cos2sin22 cos2 cos222cos22tan2sincoincos2coscossinsin21cossin222sin1cos2

22

1sin(cos2sin2)2cos2sin2

5.积化和差公式：

sincos121sin()sin()cossin12sin()sin()coscos2cos()cos() sinsin12cos()cos

6.和差化积公式：

①sin③cos sin2sin2cos22 ②sin ④cossin2cos22sin22 cos2cos2coscos2sinsin7.三角形面积公式

S⊿=aha=absinC=bcsinA=acsin=2abc4R2221111B

sinAsinBsinC=2R2 =asinBsinC2sinA2=bsinAsinC2sinB2=

csinAsinB2sinC2

=pr =p(pa)(pb)(pc) (海伦公式，证明见下文) (其中p 12(abc), r为三角形内切圆半径) 定理结论的证明

1.勾股定理的证明：

本证明选自《几何原本》(欧几里得)第I卷 命题47.

2.正弦定理的证明：

做三角形外接圆进行证明；需利用结论同弧所对的圆周角相等，及直径所对圆周角为直角；

同弧所对圆周角相等的证明：

本证明选自《几何原本》(欧几里得)第III卷 命题20.直径所对圆周角为直角的证明：

本证明选自《几何原本》(欧几里得)第III卷 命题31.3.余弦定理的证明：

本证明选自《几何原本》(欧几里得)第II卷 命题12,13.

4.诱导公式的证明：

同理可证

sin(cos(3232)sin()cos(2)sin(2)cos)sin

2)cos(2本证明选自人教版高中数学教材.5.正余弦和差公式的证明:

sin()sin(())可得sin()的结论

本证明选自人教版高中数学教材.5.海伦公式的证明:

本证明选自 http://wenku.baidu.com/

第16篇：泰勒原理

泰勒原理

泰勒原理

在泰勒出版的《课程与教学的基本原理》一书中,他开宗明义地指出,开发任何课程和教学计划都必须回答四个基本问题：

第一,学校应该试图达到什么教育目标(What educational purposes should the school seek to attain) ?

第二,提供什么教育经验最有可能达到这些目标(What educational experiences can be provided that are likely to attain these purposes) ?

第三,怎样有效组织这些教育经验(How can these educational experiences be effectively organized) ?

第四,我们如何确定这些目标正在得以实现(How can we determine whether these purposes are being attained) ?

这四个基本问题———确定教育目标、选择教育经验(学习经验)、组织教育经验、评价教育经验———构成了著名的“泰勒原理”。

围绕上述四个中心， 泰勒提出了课程编制的四个步骤或阶段：

（一）确定教育目标

教育目标是非常关键的。首先，要对教育目标做出明智的选择，这必须考虑学生的需要、当代社会生活、学科专家的建议等多方面的信息；其次，用教育哲学和学习理论对已选择出来的目标进行筛选；最后，陈述教育目标，每一个教育目标包括行为和内容两个方面，这样可以明确教育的职责。泰勒认为目标是有意识地想要达到的目的，也就是学校教职员工期望实现的结果。教育目标是选择材料、勾划内容、编制教学程序、以及制定测验和考试的准则。

（二）选择学习经验

教育目标确定之后，面临的问题是要决定哪些学习经验，因为只有通过经验，才会产生学习，从而才有可能达到教育目标。“学习经验”并不等同于一门学科所涉及的内容，也不等同于所从事的活动，而是指学生与环境中外部条件的相互作用。泰勒提出了五条选择学习经验的原则： （1） 为了达到某一目标，学生必须具有使他有机会实践这个目标所隐含的那种行为的经验；（2）学习经验必须使学生由于实践教育目标所隐含的那种行为而获得的满足感；（3）学习经验所期望的反应，是在有关学生力所能及的范围之内的；（4）有许多特定的经验可用来达到同样的教育目标；（5）同样的学习经验往往会产生几种结果。在教学过程中，学生不是被动接受知识的容器，而是积极主动的参与者，教师要创设各种问题情境，用启发的方式，引导学生主动探究问题，培养学生的创造思维能力和批判思维能力，并帮助学生把新知识与原有知识进行有意义的建构。因此，所选的学习经验应有助于培养学生的思维技能、有助于获得信息、有助于形成社会态度、有助于培养学生的学习兴趣。

（三）组织学习经验

在组织学习经验时，应遵守三个准则： 连续性（ continuity） 顺序性（sequence）和整合（integration）。连续性指直线式地陈述主要的课程要素；顺序性是强调每一后续经验以前面的经验为基础，同时又对有关内容加以深入、广泛的展开；整合性是指各种学习经验之间的横向关系，便于学生获得统一的观点，并把自己的行为统一的观点，把自己的行为与所学的课程内容统一起来。

（四）评价结果

评价是查明学习经验实际上带来多少预期结果的过程。评价的目的，就是要全面地检验学习经验在实际上是否起作用。并指导教师引起所期望的那种结果。而评价的过程实质上是一个确定课程与教学实际达到目标的程度的过程。教育评价至少包括两次评估：一次在教育计划早期进行，另一次在后期进行，以便测量在这个期间发生的变化。对于评价结果，泰勒认为，不应该只是一个单一的分数或单一的描述性术语，而应该是反映学生目前状况的一个剖析图，评价本身就是让教师、学生和有关人士了解教学的成效。

第17篇：泰勒原理

泰勒原理

确定教育目标、选择教育经验（学习经验）、组织教育经验、评价教育经验———构成了著名的“泰勒原理”。

泰勒原理

在泰勒出版的《课程与教学的基本原理》一书中,他开宗明义地指出,开发任何课程和教学计划都必须回答四个基本问题：

第一,学校应该试图达到什么教育目标(What educational purposes should the school seek to attain) ?

第二,提供什么教育经验最有可能达到这些目标(What educational experiences can be provided that are likely to attain these purposes) ?

第三,怎样有效组织这些教育经验(How can these educational experiences be effectively organized) ?

第四,我们如何确定这些目标正在得以实现(How can we determine whether these purposes are being attained) ?

这四个基本问题———确定教育目标、选择教育经验(学习经验)、组织教育经验、评价教育经验———构成了著名的“泰勒原理”。

围绕上述四个中心， 泰勒提出了课程编制的四个步骤或阶段：

（一）确定教育目标

教育目标是非常关键的。首先，要对教育目标做出明智的选择，这必须考虑学生的需要、当代社会生活、学科专家的建议等多方面的信息；其次，用教育哲学和学习理论对已选择出来的目标进行筛选；最后，陈述教育目标，每一个教育目标包括行为和内容两个方面，这样可以明确教育的职责。泰勒认为目标是有意识地想要达到的目的，也就是学校教职员工期望实现的结果。教育目标是选择材料、勾划内容、编制教学程序、以及制定测验和考试的准则。

（二）选择学习经验

教育目标确定之后，面临的问题是要决定哪些学习经验，因为只有通过经验，才会产生学习，从而才有可能达到教育目标。“学习经验”并不等同于一门学科所涉及的内容，也不等同于所从事的活动，而是指学生与环境中外部条件的相互作用。泰勒提出了五条选择学习经验的原则： （1） 为了达到某一目标，学生必须具有使他有机会实践这个目标所隐含的那种行为的经验；（2）学习经验必须使学生由于实践教育目标所隐含的那种行为而获得的满足感；（3）学习经验所期望的反应，是在有关学生力所能及的范围之内的；（4）有许多特定的经验可用来达到同样的教育目标；（5）同样的学习经验往往会产生几种结果。在教学过程中，学生不是被动接受知识的容器，而是积极主动的参与者，教师要创设各种问题情境，用启发的方式，引导学生主动探究问题，培养学生的创造思维能力和批判思维能力，并帮助学生把新知识与原有知识进行有意义的建构。因此，所选的学习经验应有助于培养学生的思维技能、有助于获得信息、有助于形成社会态度、有助于培养学生的学习兴趣。

（三）组织学习经验

在组织学习经验时，应遵守三个准则： 连续性（ continuity） 顺序性（sequence）和整合（integration）。连续性指直线式地陈述主要的课程要素；顺序性是强调每一后续经验以前面的经验为基础，同时又对有关内容加以深入、广泛的展开；整合性是指各种学习经验之间的横向关系，便于学生获得统一的观点，并把自己的行为统一的观点，把自己的行为与所学的课程内容统一起来。

（四）评价结果

评价是查明学习经验实际上带来多少预期结果的过程。评价的目的，就是要全面地检验学习经验在实际上是否起作用。并指导教师引起所期望的那种结果。而评价的过程实质上是一个确定课程与教学实际达到目标的程度的过程。教育评价至少包括两次评估：一次在教育计划早期进行，另一次在后期进行，以便测量在这个期间发生的变化。对于评价结果，泰勒认为，不应该只是一个单一的分数或单一的描述性术语，而应该是反映学生目前状况的一个剖析图，评价本身就是让教师、学生和有关人士了解教学的成效。 “

第18篇：泰勒简介

泰勒简介

18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor）， 于1685 年8月18日在英格兰德尔塞克斯郡的埃德蒙顿市出生。1701年，泰勒进剑桥大学的圣约翰学院学习。1709年后移居伦敦，获得法学学士学位。1712年当选为英国皇家学会会员，同年进入促裁牛顿和莱布尼兹发明微积分优先权争论的委员会。并于两年后获法学博士学位。从1714年起担任皇家学会第一秘书，1718年以健康为由辞去这一职务。1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。 最后在1731年1 2月29日于伦敦逝世。

由于工作及健康上的原因，泰勒曾几次访问法国并和法国数学家蒙莫尔多次通信讨论级数问题和概率论的问题。1708年，23岁的泰勒得到了“振动中心问题”的解，引起了人们的注意，在这个工作中他用了牛顿的瞬的记号。从1714年到1719年，是泰勒在数学牛顿产的时期。他的两本著作：《正和反的增量法》及《直线透视》都出版于1715年，它们的第二版分别出于1717和1719年。从1712到 1724年，他在《哲学会报》上共发表了13篇文章，其中有些是通信和评论。文章中还包含毛细管现象、磁学及温度计的实验记录。

在生命的后期，泰勒转向宗教和哲学的写作，他的第三本著作《哲学的沉思》在他死后由外孙W.杨于1793年出版。

泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世。这条定理大致可以叙述为：函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶导数值组成的无穷级数表示出来。然而，在半个世纪里，数学家们并没有认识到泰勒定理的重大价值。这一重大价值是后来由拉格朗日发现的，他把这一定理刻画为微积分的基本定理。泰勒定理的严格证明是在定理诞生一个世纪之后，由柯西给出的。

泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者。泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理 问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要 。他透过求解方程导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先河。此外，此书还包括了他于 数学上之其他创造性工作，如论述常微分方程的奇异解，曲率 问题之研究等。

1715年，他出版了另一名著《线性透视论》，更发表了再版的《线性透视原理》（1719） 。他以极严密之形式展开其线性透 视学体系，其中最突出之贡献是提出和使用「没影点」概念，这对摄影测量制图学之发展有 一定影响。另外，还撰有哲学遗作，发表于1793年。

第19篇：泰勒原理

泰勒原理

在泰勒出版的《课程与教学的基本原理》一书中,他开宗明义地指出,开发任何课程和教学计划都必须回答四个基本问题：

第一,学校应该试图达到什么教育目标(What educational purposes should the school seek to attain) ?

第二,提供什么教育经验最有可能达到这些目标(What educational experiences can be provided that are likely to attain these purposes) ?

第三,怎样有效组织这些教育经验(How can these educational experiences be effectively organized) ?

第四,我们如何确定这些目标正在得以实现(How can we determine whether these purposes are being attained) ?

这四个基本问题———确定教育目标、选择教育经验(学习经验)、组织教育经验、评价教育经验———构成了著名的“泰勒原理”。

围绕上述四个中心， 泰勒提出了课程编制的四个步骤或阶段：

（一）确定教育目标

教育目标是非常关键的。首先，要对教育目标做出明智的选择，这必须考虑学生的需要、当代社会生活、学科专家的建议等多方面的信息；其次，用教育哲学和学习理论对已选择出来的目标进行筛选；最后，陈述教育目标，每一个教育目标包括行为和内容两个方面，这样可以明确教育的职责。泰勒认为目标是有意识地想要达到的目的，也就是学校教职员工期望实现的结果。教育目标是选择材料、勾划内容、编制教学程序、以及制定测验和考试的准则。

（二）选择学习经验

教育目标确定之后，面临的问题是要决定哪些学习经验，因为只有通过经验，才会产生学习，从而才有可能达到教育目标。“学习经验”并不等同于一门学科所涉及的内容，也不等同于所从事的活动，而是指学生与环境中外部条件的相互作用。泰勒提出了五条选择学习经验的原则： （1） 为了达到某一目标，学生必须具有使他有机会实践这个目标所隐含的那种行为的经验；（2）学习经验必须使学生由于实践教育目标所隐含的那种行为而获得的满足感；（3）学习经验所期望的反应，是在有关学生力所能及的范围之内的；（4）有许多特定的经验可用来达到同样的教育目标；（5）同样的学习经验往往会产生几种结果。在教学过程中，学生不是被动接受知识的容器，而是积极主动的参与者，教师要创设各种问题情境，用启发的方式，引导学生主动探究问题，培养学生的创造思维能力和批判思维能力，并帮助学生把新知识与原有知识进行有意义的建构。因此，所选的学习经验应有助于培养学生的思维技能、有助于获得信息、有助于形成社会态度、有助于培养学生的学习兴趣。

（三）组织学习经验

在组织学习经验时，应遵守三个准则： 连续性（ continuity） 顺序性（sequence）和整合（integration）。连续性指直线式地陈述主要的课程要素；顺序性是强调每一后续经验以前面的经验为基础，同时又对有关内容加以深入、广泛的展开；整合性是指各种学习经验之间的横向关系，便于学生获得统一的观点，并把自己的行为统一的观点，把自己的行为与所学的课程内容统一起来。

（四）评价结果

评价是查明学习经验实际上带来多少预期结果的过程。评价的目的，就是要全面地检验学习经验在实际上是否起作用。并指导教师引起所期望的那种结果。而评价的过程实质上是一个确定课程与教学实际达到目标的程度的过程。教育评价至少包括两次评估：一次在教育计划早期进行，另一次在后期进行，以便测量在这个期间发生的变化。对于评价结果，泰勒认为，不应该只是一个单一的分数或单一的描述性术语，而应该是反映学生目前状况的一个剖析图，评价本身就是让教师、学生和有关人士了解教学的成效。

第20篇：泰勒原理

科学管理理论的简介

弗雷德里克·温斯洛·泰勒是美国古典管理学家，科学管理的创始人，被管理界誉为科学管理之父。在米德维尔工厂，他从一名学徒工开始，先后被提拔为车间管理员，技师，小组长，工长，设计室主任和总工程师。在这家工厂的经历使他了解工人们普遍怠工的原因，他感到缺乏有效的管理手段是提高生产率的严重障碍。为此，泰勒开始探索科学的管理方法和理论。

泰勒从“车床前的工人”开始，重点研究是企业内部具体工作的效率。在他的管理生涯中，他不断在工厂实地进行试验，系统地研究和分析工人的操作方法和动作所花费的时间，逐渐形成其管理体系——科学管理。泰勒在他的主要著作《科学管理原理》中所阐述了科学管理理论，使人们认识到了管理是一门建立在明确的法规、条文和原则之上的科学。泰勒的科学管理主要有两大贡献：一是管理要走向科学；二是劳资双方的精神革命。

泰勒认为科学管理的根本目的是谋求最高劳动生产率，最高的工作效率是雇主和雇员达到共同富裕的基础，要达到最高的工作效率的重要手段是用科学化的、标准化的管理方法代替经验管理。泰勒认为最佳的管理方法是任务管理法，他在书中这样写道：

广义地讲，对通常所采用的最佳管理模式可以这样下定义：

在这种管理体制下，工人们发挥最大程度的积极性；作为回报，则从他们的雇主那里取得某些特殊的刺激。这种管理模式将被称为“积极性加刺激性”的管理，或称任务管理，对之要作出比较。

泰勒还提出了一些新的管理任务：

第一，对工人操作的每个动作进行科学研究，用以替代老的单凭经验的办法。

第二，科学地挑选工人，并进行培训和教育，使之成长；而在过去，则是由工人任意挑选自己的工作，并根据各自的可能进行自我培训。

第三，与工人的亲密协作，以保证一切工作都按已发展起来的科学原则去办。

第四，资方和工人们之间在工作和职责上几乎是均分的，资方把自己比工人更胜任那部分工作承揽下来；而在过去，几乎所有的工作和大部分的职责都推到了工人们的身上。

科学管理不仅仅是将科学化、标准化引入管理，更重要的是提出了实施科学管理的核心问题——精神革命。精神革命是基于科学管理认为雇主和雇员双方的利益是一致的。因为对于雇主而言，追求的不仅是利润，更重要的是事业的发展。而事业的发展不仅会给雇员带来较丰厚的工资，而且更意味着充分发挥其个人潜质，满足自我实现的需要。正是这事业使雇主和雇员相联系在一起，当双方友好合作，互相帮助来代替对抗和斗争时，就能通过双方共同的努力提高工作效率，生产出比过去更大的利润来，从可使雇主的利润得到增加，企业规模得到扩大。相应地，也可使雇员工资提高，满意度增加。

泰勒在美国国会听证会上的证词中说：

科学管理的实质是一切企业或机构中的工人们的一次完全的思想革命——也就是这些工人，在对待他们的工作责任，对待他们的同事，对待他们的雇主态度的—次完全的思想革命。同时，也是管理方面的工长、厂长、雇主、董事会，在对他们的同事、他们的工人和对所有的日常工作问题责任上的一次完全的思想革命。没有工人与管理人员双方在思想上的一

次完全的革命，科学管理就不会存在。

这个伟大的思想革命就是科学管理的实质。

泰勒的科学管理理论，使人们认识到了管理学是一门建立在明确的法规、条文和原则之上的科学，它适用于人类的各种活动，从最简单的个人行为到经过充分组织安排的大公司的业务活动。科学管理理论对管理学理论和管理实践的影响是深远的，直到今天，科学管理的许多思想和做法至今仍被许多国家参照采用。

[编辑]科学管理理论的思想精要

泰勒对科学管理作了这样的定义，他说：“诸种要素——不是个别要素的结合，构成了科学管理，它可以概括如下：科学，不是单凭经验的方法。协调，不是不和别人合作，不是个人主义。最高的产量，取代有限的产量。发挥每个人最高的效率，实现最大的富裕。”这个定义，既阐明了科学管理的真正内涵，又综合反映了泰勒的科学管理思想。

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一、工作定额原理

在当时美国的企业中，由于普遍实行经验管理，由此造成一个突出的矛盾，就是资本家不知道工人一天到底能干多少活，但总嫌工人干活少，拿工资多，于是就往往通过延长劳动时间、增加劳动强度来加重对工人的剥削。而工人，也不确切知道自己一天到底能干多少活，但总认为自己干活多，拿工资少。当资本家加重对工人的剥削，工人就用“磨洋工”消极对抗，这样企业的劳动生产率当然不会高。

泰勒认为管理的中心问题是提高劳动生产率。为了改善工作表现，他提出：

(1)企业要设立一个专门制定定额的部门或机构，这样的机构不但在管理上是必要的，而且在经济上也是合算的。

(2)要制定出有科学依据的工人的“合理日工作量”，就必须通过各种试验和测量，进行劳动动作研究和工作研究。其方法是选择合适且技术熟练的工人；研究这些人在工作中使用的基本操作或动作的精确序列，以及每个人所使用的工具；用秒表记录每一基本动作所需时间，加上必要的休息时间和延误时间，找出做每一步工作的最快方法；消除所有错误动作、缓慢动作和无效动作；将最快最好的动作和最佳工具组合在一起，成为一个序列，从而确定工人“合理的日工作量”，即劳动定额。

(3)根据定额完成情况，实行差别计件工资制，使工人的贡献大小与工资高低紧密挂钩。

在制定工作定额时，泰勒是以“第一流的工人在不损害其健康的情况下，维护较长年限的速度”为标准，这种速度不是以突击活动或持续紧张为基础，而是以工人能长期维持的正常速度为基础。通过对个人作业的详细检查，在确定做某件事的每一步操作和行动之后，泰勒能够确定出完成某项工作的最佳时间。有了这种信息，管理者就可以判断出工人是否干得很出色。

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二、挑选头等工人

为了提高劳动生产率，必须为工作挑选头等工人，既是泰勒在《科学管理原理》中提出

的一个重要思想，也是他为企业的人事管理提出的一条重要原则。

泰勒指出，健全的人事管理的基本原则是使工人的能力同工作相适应，企业管理当局的责任在于为雇员找到最合适的工作，培训他们成为第一流的工人，激励他们尽最大的力量来工作。为了挖掘人的最大潜力，还必须做到人尽其才。因为每个人都具有不同的才能，不是每个人都适合于做任何一项工作的，这和人的性格特点、个人特长有着密切的关系。为了最大限度地提高生产率，对某一项工作，必须找出最适宜干这项工作的人，同时还要最大限度地挖掘最适宜于这项工作的人的最大潜力，才有可能达到最高效率。因此对任何一项工作必须要挑选出“第一流的工人”即头等工人。然后再对第一流的人利用作业原理和时间原理进行动作优化，以使其达到最高效率。

对于第一流工人，泰勒是这样说明的：“我认为那些能够工作而不想工作的人不能成为我所说的‘第一流的工人’。我曾试图阐明每一种类型的工人都能找到某些工作，使他成为第一流的工人，除了那些完全能做这些工作而不愿做的人。”所以泰勒指出，人具有不同的天赋和才能，只要工作合适，都能成为第一流的工人。而所谓“非第一流的工人”，泰勒认为只是指那些体力或智力不适合他们工作的人，或那些虽然工作合适但不愿努力工作的人。总之，泰勒所说的第一流的工人，就是指那些最适合又最愿意干某种工作的人。所谓挑选第一流工人，就是指在企业人事管理中，要把合适的人安排到合适的岗位上。只有做到这一点，才能充分发挥人的潜能，才能促进劳动生产率的提高。这样，重活、体力活，让力气大的人干，而精细的活只有找细心的人来做。

对于如何使工人成为第一流工人，泰勒不同意传统的由工人挑选工作，并根据各自的可能进行自我培训的方法，而是提出管理人员要主动承担这一责任，科学选择并不断地培训工人。泰勒指出：“管理人员的责任是细致地研究每一个工人的性格、脾气和工作表现，找出他们的能力；另一方面，更重要的是发现每一个工人向前发展的可能性，并且逐步地系统地训练，帮助和指导每个工人，为他们提供上进的机会。这样，使工人在雇佣他的公司里，能担任最高、最有兴趣、最有利、最适合他们能力的工作。这种科学地选择与培训工人并不是一次性的行动，而是每年要进行的，是管理人员要不断加以探讨的课题。”在进行搬运生铁的试验后，泰勒指出：现在可以清楚的是，甚至在已知的最原始的工种上，也有一种科学。如果仔细挑选了最适宜于干这类活计的工人，而又发现了干活的科学规律，仔细选出来的工人已培训得能按照这种科学去干活，那么所得的结果必然会比那些在“积极性加刺激性”的计划下工作的结果丰硕得多。可见，挑选第一流工人的原则，是对任何管理都普遍适用的原则。

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三、标准化原理

泰勒认为，科学管理是过去曾存在的多种要素的结合。他把老的知识收集起来加以分析组合并归类成规律和条例，于是构成了一种科学。工人提高劳动生产率的潜力是非常大的，人的潜力不会自动跑出来，怎样才能最大限度地挖掘这种潜力呢?方法就是把工人多年积累的经验知识和传统的技巧归纳整理并结合起来，然后进行分析比较，从中找出其具有共性和规律性的东西，然后利用上述原理将其标准化，这样就形成了科学的方法。用这一方法对工人的操作方法、使用的工具、劳动和休息的时间进行合理搭配，同时对机器安排、环境因素等进行改进，消除种种不合理的因素，把最好的因素结合起来，这就形成一种最好的方法。

泰勒还进一步指出，管理人员的首要责任就是把过去工人自己通过长期实践积累的大量

的传统知识、技能和诀窍集中起来，并主动把这些传统的经验收集起来、记录下来、编成表格，然后将它们概括为规律和守则，有些甚至概括为数学公式，然后将这些规律、守则、公式在全厂实行。在经验管理的情况下，对工人在劳动中使用什么样的工具、怎样操作机器，缺乏科学研究，没有统一标准，而只是凭师傅教徒弟的传授或个人在实际中摸索。泰勒认为，在科学管理的情况下，要想用科学知识代替个人经验，一个很重要的措施就是实行工具标准化、操作标准化、劳动动作标准化、劳动环境标准化等标准化管理。这是因为，只有实行标准化，才能使工人使用更有效的工具，采用更有效的工作方法，从而达到提高劳动生产率的目的；只有实现标准化，才能使工人在标准设备、标准条件下工作，才能对其工作成绩进行公正合理的衡量。

要让每个人都用正确的方法作业，对工人操作的每一个动作进行科学研究，用以代替传统的经验方法。为此应把每次操作分解成许多动作，并继而把动作细分为动素，即动作是由哪几个动作要素所组成的，然后再研究每项动作的必要性和合理性，去掉那些不合理的动作要素，并对保留下来的必要成分，依据经济合理的原则，加以改进和合并，以形成标准的作业方法。在动作分解与作业分析的基础上进一步观察和分析工人完成每项动作所需要的时间，考虑到满足一些生理需要的时间和不可避免的情况而耽误的时间，为标准作业的方法制定标准的作业时间，以便确定工人的劳动定额，即一天合理的工作量。

泰勒不仅提出了实行标准化的主张，而且也为标准化的制定进行了积极的试验。在搬运生铁的试验中，泰勒得出一个适合做搬运工作的工人，在正常情况下，一天至少可搬47.5吨铁块的结论；在铲具试验中，他得出铁锹每次铲物在重21磅时，劳动效率最高的结论；在长达26年的金属切削试验中，他得出影响切割速度的12个变数及其反映它们之间相关关系的数学公式等，为工作标准化、工具标准化和操作标准化的制定提供了科学的依据。

所以，泰勒认为标准化对劳资双方都是有利的，不仅每个工人的产量大大增加，工作质量大为提高，得到更高的工资，而且使工人建立一种用科学的工作方法，使公司获得更多的利润。

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四、计件工资制

在差别计件工资制提出之前，泰勒详细研究了当时资本主义企业中所推行的工资制度，例如日工资制和一般计件工资制等，其中也包括对在他之前由美国管理学家亨利·汤提出的劳资双方收益共享制度和弗雷德里克·哈尔西提出的工资加超产奖金的制度。经过分析，泰勒对这些工资方案的管理方式都不满意。泰勒认为，现行工资制度所存在的共同缺陷，就是不能充分调动职工的积极性，不能满足效率最高的原则。例如，实行日工资制，工资实际是按职务或岗位发放，这样在同一职务和岗位上的人不免产生平均主义。在这种情况下，“就算最有进取心的工人，不久也会发现努力工作对他没有好处，最好的办法是尽量减少做工而仍能保持他的地位”。这就不可避免地将大家的工作拖到中等以下的水平。又如在传统的计件工资制中，虽然工人在一定范围内可以多干多得，但超过一定范围，资本家为了分享迅速生产带来的利益，就要降低工资率。在这种情况下，尽管工人努力工作，也只能获得比原来计日工资略多一点的收入。这就容易导致这种情况：尽管管理者想千方百计地使工人增加产量，而工人则会控制工作速度，使他们的收入不超过某一个工资率。因为工人知道，一旦他们的工作速度超过了这个数量，计件工资迟早会降低。

于是，泰勒在1895年提出了一种具有很大刺激性的报酬制度——“差别工资制”方案。

其主要内容是：

(1)设立专门的制定定额部门。这个部门的主要任务是通过计件和工时的研究，进行科学的测量和计算，制定出一个标准制度，以确定合理的劳动定额和恰当的工资率，从而改变过去那种以估计和经验为依据的方法。

(2)制定差别工资率。即按照工人是否完成定额而采用不同的工资率。如果工人能够保质保量地完成定额，就按高的工资率付酬，以资鼓励；如果工人的生产没有达到定额就将全部工作量按低的工资率付给，并给以警告，如不改进，就要被解雇。例如，某项工作定额是10件，每件完成给0.1元。又规定该项工作完成定额工资率为125％，未完成定额率为80％，那么，如果完成定额，就可得工资为10×0.1×125%=1.25(元)；如未完成定额，例如哪怕完成了9件，也只能得工资为9×0.1×80%=0.72(元)。

(3)工资支付的对象是工人，而不是根据职位和工种，也就是说，每个人的工资尽可能地按他的技能和工作所付出的劳动来计算，而不是按他的职位来计算。其目的是克服工人“磨洋工”现象，同时也是为了调动工人的积极性。要对每个人在准时上班、出勤率、诚实、快捷、技能及准确程度方面做出系统和细微的记录，然后根据这些记录不断调整他的工资。

泰勒为他所提出的差别计件工资制，总结了许多优点，其中最主要有以下三点：

第一，有利于充分发挥个人积极性，有利于提高劳动生产率，能够真正实现“高工资和低劳动成本”。

第二，由于制定计件工资制与日工资率是经过正确观察和科学测定的，又能真正做到多劳多得，因此这种制度就能更加公平地对待工人。

第三，能够迅速地清除所有低能的工人，吸收适合的工人来工作。因为只有真正好的工人，才能做到又快又准确，可以取得高工资率。泰勒认为这是实行差别计件工资制最大的优点。

为此，泰勒在总结差别计件工资制实施情况时说：“制度(差别计件工资制)对工人士气影响的效果是显著的。当工人们感觉受到公正的待遇时，就会更加英勇、更加坦率和更加诚实，他们会更加愉快地工作，在工人之间和工人与雇主之间建立互相帮助的关系。”

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五、劳资双方的密切合作

泰勒在《科学管理原理》一书中指出：“资方和工人的紧密、组织和个人之间的合作，是现代科学或责任管理的精髓。”他认为，没有劳资双方的密切合作，任何科学管理的制度和方法都难以实施，难以发挥作用。

那么，怎样才能实现劳资双方的密切合作呢？泰勒指出，必须使劳资双方实行“一次完全的思想革命”和“观念上的伟大转变”。泰勒在《在美国国会的证词》中指出：“科学管理不是任何一种效率措施，不是一种取得效率的措施；也不是一批或一组取得效率的措施；它不是一种新的成本核算制度；它不是一种新的工资制度；它不是一种计件工资制度；它不是一种分红制度；它不是一种奖金制度；它不是一种报酬职工的方式；它不是时间研究；它不

是动作研究„„我相信它们，但我强调指出这些措施都不是科学管理，它们是科学管理的有用附件，因而也是其他管理的有用附件。”

泰勒进一步宣称，“科学管理在实质上包含着要求在任何一个具体机构或工业中工作的工人进行一场全面心理革命——要求他们在对待工作、同伴和雇主的义务上进行一种全面的心理革命。此外，科学管理也要求管理部门的人——工长、监工、企业所有人，董事会——进行一场全面的心理革命，要求他们在对管理部门的同事、对他们的工人和所有日常问题的责任上进行一场全面的心理革命。没有双方的这种全面的心理革命，科学管理就不能存在”；“在科学管理中，劳资双方在思想上要发生的大革命就是：双方不再把注意力放在盈余分配上，不再把盈余分配看做最重要的事情。他们将注意力转向增加盈余的数量上，使盈余增加到使如何分配盈余的争论成为不必要。他们将会明白，当他们停止互相对抗，转为向一个方面并肩前进时，他们的共同努力所创造出来的盈利会大得惊人。他们会懂得，当他们用友谊合作、互相帮助来代替敌对情绪时，通过共同努力，就能创造出比过去大得多的盈余。”

也就是说，要使劳资双方进行密切合作，关键不在于制定什么制度和方法，而是要实行劳资双方在思想和观念上的根本转变。如果劳资双方都把注意力放在提高劳动生产率上。劳动生产率提高了，不仅工人可以多拿工资，而且资本家也可以多拿利润，从而可以实现双方“最大限度的富裕”。

例如，在铁锹试验中，每个工人每天的平均搬运量从原来的16吨提高到59吨；工人每日的工资从1.15美元提高到1.88美元。而每吨的搬运费从7.5美分降到3.3美分，对雇主来说，关心的是成本的降低；而工人关心的则是工资的提高，所以泰勒认为这就是劳资双方进行“精神革命”，从事合作的基础。

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六、建立专门计划层

泰勒指出：“在老体制下，所有工作程序都由工人凭他个人或师傅的经验去干，工作效率由工人自己决定；”由于这与工人的熟练程度和个人的心态有关，即使工人能十分适应科学数据的使用，但要他同时在机器和写字台上工作，实际是不可能的。泰勒深信这不是最高效率，必须用科学的方法来改变。为此，泰勒主张：“由资方按科学规律去办事，要均分资方和工人之间的工作和职责”，要把计划职能与执行职能分开并在企业设立专门的计划机构。泰勒在《工厂管理》一书中为专门设立的计划部门规定了17项主要负责的工作，包括企业生产管理、设备管理、库存管理、成本管理、安全管理、技术管理、劳动管理、营销管理等各个方面。所以，泰勒所谓计划职能与执行职能分开，实际是把管理职能与执行职能分开；所谓设置专门的计划部门，实际是设置专门的管理部门；所谓“均分资方和工人之间的工作和职责”，实际是说让资方承担管理职责，让工人承担执行职责。这也就进一步明确厂资方与工人之间、管理者与被管理者之间的关系。

泰勒把计划的职能和执行的职能分开，改变了凭经验工作的方法，而代之以科学的工作方法，即找出标准，制定标准，然后按标准办事。要确保管理任务的完成，应由专门的计划部门来承担找出和制定标准的工作。

具体说来，计划部门要从事全部的计划工作并对工人发布命令，其主要任务是：(1)进行调查研究并以此作为确定定额和操作方法的依据。(2)制定有科学依据的定额和标准化的操作方法和工具。(3)拟订计划并发布指令和命令。(4)把标准和实际情况进行比较，以便进

行有效的控制等工作。在现场，工人或工头则从事执行的职能，按照计划部门制定的操作方法的指示，使用规定的标准工具，从事实际操作，不能自作主张、自行其是。泰勒的这种管理方法使得管理思想的发展向前迈出了一大步，将分工理论进一步拓展到管理领域。

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七、职能工长制

泰勒不但提出将计划职能与执行职能分开，而且还提出必须废除当时企业中军队式的组织而代之以“职能式”的组织，实行“职能式的管理”。

泰勒认为在军队式组织的企业里，工业机构的指令是从经理经过厂长、车间主任、工段长、班组长而传达到工人。在这种企业里，工段长和班组长的责任是复杂的，需要相当的专门知识和各种天赋的才能，所以只有本来就具有非常素质并受过专门训练的人，才能胜任。泰勒列举了在传统组织下作为一个工段长应具有的几种素质，即教育、专门知识或技术知识、机智、充沛的精力、毅力、诚实、判断力或常识、良好的健康情况等。但是每一个工长不可能同时具备这9种素质。但为了事先规定好工人的全部作业过程，必须使指导工人干活的工长具有特殊的素质。因此，为了使工长职能有效地发挥，就要进行更进一步细分，使每个工长只承担一种管理的职能，为此，泰勒设计出8种职能工长，来代替原来的一个工长。这8个工长4个在车间、4个在计划部门，在其职责范围内，每个工长可以直接向工人发布命令。在这种情况下，工人不再听一个工长的指挥，而是每天从8个不同头头那里接受指示和帮助。

泰勒的职能工长制是根据工人的具体操作过程进一步对分工进行细化而形成的。他认为这种职能工长制度有三个优点：(1)每个职能工长只承担某项职能，职责单一，对管理者培训花费的时间较少，有利于发挥每个人的专长。(2)管理人员的职能明确，容易提高效率。(3)由于作业计划由计划部门拟订，工具和作业方法标准化，车间现场工长只负责现场指挥与监督，因此非熟练技术的工人也可以从事较复杂的工作，从而降低了整个企业的生产费用。

尽管泰勒认为职能工长制有许多优点，但后来的事实也证明，这种单纯“职能型”的组织结构容易形成多头领导，造成管理混乱。所以，泰勒的这一设想虽然对以后职能部门的建立和管理职能的专业化有较大的影响，但并未真正实行。

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八、例外原则

所谓例外原则，就是指企业的高级管理人员把一般日常事务授权给下属管理人员，而自己保留对例外的事项一般也是重要事项的决策权和控制权，这种例外的原则至今仍然是管理中极为重要的原则之一。

泰勒认为，规模较大的企业不能只依据职能原则来组织和管理，而必须应用例外原则。所谓例外原则，是指企业的高级管理人员把一般的日常事务授权给下级管理人员去负责处理，而自己只保留对例外事项、重要事项的决策和监督权，如重大的企业战略问题和重要的人员更替问题等。泰勒在《工厂管理》一书中曾指出：“经理只接受有关超常规或标准的所有例外情况的、特别好和特别坏的例外情况、概括性的、压缩的及比较的报告，以便使他得以有时间考虑大政方针并研究他手下的重要人员的性格和合适性。”

泰勒提出的这种以例外原则为依据的管理控制方式，后来发展为管理上授权原则、分权化原则和实行事业部制等管理体制。

[编辑]科学管理理论的实践应用

泰勒的科学管理理论并不是脱离实际的，其几乎所有管理原理、原则和方法，都是经过自己亲自试验和认真研究所提出的。它的内容里所涉及的方面都是以前各种管理理论的总结，与所有管理理论一样，都是为了提高生产效率，但它是最成功的。它坚持了竞争原则和以人为本原则。竞争原则体现为给每一个生产过程中的动作建立一个评价标准，并以此作为对工人奖惩的标准，使每个工人都必须达到一个标准并不断超越这个标准，而且超过越多越好。于是，随着标准的不断提高，工人的进取心就永不会停止，生产效率必然也跟着提高；以人为本原则体现为这个理论是适用于每个人的，它不是空泛的教条，是实实在在的，是以工人在实际工作中的较高水平为衡量标准的，因此既可使工人不断进取，又不会让他们认为标准太高或太低。以人为本是科学发展的一个趋势，呆板或愚昧最终会被淘汰。

科学管理理论很明显地是一个综合概念。它不仅仅是一种思想，一种观念，也是一种具体的操作规程，是对具体操作的指导。它们是：首先，以工作的每个元素的科学划分方法代替陈旧的经验管理工作法；其次，员工选拔、培训和开发的科学方法代替先前实行的那种自己选择工作和想怎样就怎样的训练做法；再次，与工人经常沟通以保证其所做的全部工作与科学管理原理相一致；最后，管理者与工人应有基本平等的工作和责任范围。管理者将担负起其恰当的责任，而过去，几乎所有的工作和大部分责任都压在了工人身上。

20世纪以来，科学管理在美国和欧洲大受欢迎。90多年来，科学管理思想仍然发挥着巨大的作用。当然，泰勒的科学管理理论也有其一定的局限性，如研究的范围比较小，内容比较窄，侧重于生产作业管理。另外泰勒对于现代企业的经营管理、市场、营销、财务等都没有涉及。更为重要的是他对人性假设的局限性，即认为人仅仅是一种经济人，这无疑限制了泰勒的视野和高度。但这些也正是需要泰勒之后的管理大师们创建新的管理理论来加以补充的地方。

《泰勒公式证明.doc》

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