海伦公式证明
推荐第1篇：海伦公式的证明
与海伦在他的著作\"Metrica\"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC = (a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
推荐第2篇：海伦公式
海伦公式
与海伦在他的著作\"Metrica\"(《度量论》）中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为下述推导[1]
cosC = (a^2+b^2-c^2）/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√（1-cos^2 C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2）^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2）^2]
=1/4*√[（2ab+a^2+b^2-c^2）（2ab-a^2-b^2+c^2）]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
证明⑵
中国宋代的数学家秦九韶在1247年也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。
秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。
所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以
q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2}
当P=1时，△ 2=q,
△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2}
因式分解得
△ ^2=1/4[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2）^2]
=1/4[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2]
=1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=1/4[2p（2p-2a）（2p-2b）（2p-2c)]
=p(p-a)(p-b)(p-c)
由此可得：
S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p=1/2(a+b+c)
这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。
S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2} .其中c>b>a.
根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：
已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积
这里用海伦公式的推广
S圆内接四边形= 根号下（p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中p为周长一半，a,b,c,d，为4边）
代入解得s=8√ 3
证明⑶
在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c
O为其内切圆圆心，r为其内切圆半径，p为其半周长
有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1
r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2）=r
∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2
∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2）
=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2
=ptanA/2tanB/2tanC/2
=r
∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3
∴S^2=p^2r^2=(pr^3）/(tanA/2tanB/2tanC/2）
=p(p-a)(p-b)(p-c)
∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)
推荐第3篇：海伦公式的几种证明与推广
海伦公式的几种证明与推广
古镇高级中学付增德
高中数学必修⑤第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重要且优美的公式——海伦公式〔Heron\'s Formula〕：假设有一个三角形，边长分别为a,b,c,，三角形的面积S可由以下公式求得：
s
(pa)(pb)(pc)，而公式里的p
1
2(abc)，称为半周长。
图
1C
海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。海伦公式形式漂亮，结构工整，有多种变形，如：S=
p(pa)(pb)(pc)
22
2
===
14141
4(abc)(abc)(acb)(bca)(a
2
=
14
[(ab)c][c14
4ab
2
2
(ab)]
2
2
b
2
2
c
2
2ab)[(a
2
2
b
42
c
4
2
2ab)]
4
=
(a
2
bc)
22
2ab
2
2ac
2
2bc
22
abc
12
absinC和余弦定理
教课书中并以习题形式出现，给出的参考答案是利用三角形面积计算公式s
12
12
12
c
2
a
2
b
2
2abcosC的证明过程：sabsinC=ab1cosnC=
2
ab1(
a
2
b
2
c
2
2ab
)
2
下略。我国南宋著名数学家秦九韶也发现了与海伦公式等价的“三斜求积”公式，中国古代的天元术发展水平非常高，笔者猜想秦九韶在独立推出“三斜求积”公式过程中，利用了解方程的方法，因此海伦公式可以作如下推证，从三角形最基本的面积公式SABC
12
aha入手，利用勾股定理，布列方程组求高。
如图2，
B
图2
C
x2y2c2
222
2acb22
在△ABC中，AD为边BC上的高，根据勾股定理，有xzb解方程，得y，
2a
yzaz
a
b
c
2a
，xc
y
c
(
a
c
b
2a
)
12a
4ac
22
(a
c
b)下略。在求
22
高的方法上，我们也可以用斯特瓦尔特定理，根据斯氏定理，△ABC顶点A于对边BC上任一点D间的距离AD有下列等式确定：AB
AD
DCAC
BDAD
BCBDDCBC，等式改写为
AB
DCBC
AC
BDBC
BC
DCBC
BDBC
aa
22
而当点D是顶点A的正射影时,有
BDDC
ABcosBACcosC
cb
22
bc
22
，利用比例的性质，变形得
BDBC
a
c
22
b
2a
，
DCBC
a
b
22
c
2a
，代入即求出高AD。推证海伦公式也可以考虑应用三角函数
的恒等式，容易证明下列三角恒等式：若∠A+∠B+∠C =180°那么
ABACBCtata+tantantan+tan=1，
222222
zz
C
图
3如图3,在△ABC中，内切圆⊙O的半径是r,则tan
A2
rx
, tan
B2
ry
,tan
C2
rz
,代入恒等式
tan
A2
tan
B2
+tan
A2
tan
C2
+tan
B2
tan
C2
=1，得
r
xy
r
xz
r
yz
1，两边同乘xyz，有等式
r(xyz)xyz„„„①
又，bca(xz)(xy)(yz)2x ，所以，x
z
abc
bca
，同理y
acb
，
。„„„②于是△ABC的面积S
12
(abc)r=
12
(yzxzxy)r=(xyz)r
=(xyz)r=
14
，把①、②式代入，即得S(xyz)xyz
(abc)(abc)(bca)(acb)
三角形的面积和三边有如此优美和谐的关系，我们不禁会类比猜想，简单四边形的面积和它的四条
边又是什么关系呢？由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设四条边长分别为a,b,c,d，且p
abcd
,则S四边形=(pa)(pb)(pc)(pd)
现根据猜想进行证明。
证明：如图，延长DA，CB交于点E。设EA = eEB = f
○○
∵∠1+∠2 =180∠2+∠3 =180 ∴∠1 =∠3∴△EAB～△ECD ∴
fae
=
efc
=
bd
，
SEABS四边形
ABCD
=
bd
b
解得： e =
b(abcd)d
b
③f =
b(adbc)d
b
④由于S四边形ABCD =
d
bb
S△EAB
将③，④跟b =
b(dd
b)b
代入海伦公式公式变形，得：
∴S四边形ABCD =
db
4eb
22
(e
b
f
)
4b
d
b
b(abcd)(d
(db
42
224
b)
22
=
d
4b
b)
[(
b(abcd)(d
b)
22
b(d(d
22
b)
22
b)
b(adbc)(d
22
b)
22
)]
b
=
4b
(d
b)
4(ab
cd)(d
22
b)[(abcd)(d
2222
b)(adbc)]
22
=
4(d
b)1
4(abcd)(d
22
b)[{abcd}{d
2222
b}{adbc}]
2222
=
4(d
b)1
4(abcd)(d
22
b)(ab
2222
cd
22
d
b
2db
22
ad
22
bc)
22
=
4(d
b)1
4(abcd)(d
22
b)[b(a
2222
b
d
c)d(d
222
b
a
c)
=
4(d1
b)
(d
b)[4(abcd)(c
2222
d
b
a)]
22
=4
(2ab2cdc
d
b
a)(2ab2cdd
22
b
a
c)
=4
ac)(bd)][(bd)(ac)]
2222
(abcd)(abdc)(adcb)(bdca)
=4
=(pa)(pb)(pc)(pd)所以，海伦公式的推广得证。
图4
参考文献
［1］ 七市高中选修教材编写委员会．数学问题探究[M]．北京：生活·读书·新知三联书店，2003：14～
２６．
［2］ 王林全．初等几何研究教程[M]．广州：暨南大学出版社，１９９６．
推荐第4篇：海伦公式原理简介
原理简介
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。
假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
而公式里的p为半周长：
p=(a+b+c)/2
——————————————————————————————————————————————
注1：\"Metrica\"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。
——————————————————————————————————————————————
由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。 编辑本段证明过程 证明（1）
与海伦在他的著作\"Metrica\"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为
cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√(1-cos^2 C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 证明（2）
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。
秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。
所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以
q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}
当P＝1时，△ 2＝q,
△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} 因式分解得
△ ^2=1/16[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2] =1/16[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2] =1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) =1/16(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) =1/16 [2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)] =p(p-a)(p-b)(p-c) 由此可得：
S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p=1/2(a+b+c)
这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。
S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} .其中c>b>a.
根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：
已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积
这里用海伦公式的推广
S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边）
代入解得s=8√ 3 证明（3）
在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c O为其内切圆圆心，r为其内切圆半径，p为其半周长 有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1 r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r ∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2 ∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2) =[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2 =ptanA/2tanB/2tanC/2 =r ∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3
∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2) =p(p-a)(p-b)(p-c) ∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c) 证明(4) 通过正弦定理:和余弦定理的结合证明 (具体可以参考证明方法1) 编辑本段推广
关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：
设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c)/2,则
S△ABC
=1/2 aha
=1/2 ab×sinC
= r p
= 2R^2sinAsinBsinC
= √[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中，S△ABC =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。 编辑本段海伦公式在解题中有十分重要的应用。
一、海伦公式的证明
证一 勾股定理
如右图
勾股定理证明海伦公式
。
证二：斯氏定理
如右图。
斯氏定理证明海伦公式
证三：余弦定理
分析：由变形② S = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明。
证明：要证明S =
则要证S =
=
= ab×sinC
此时S = ab×sinC/2为三角形计算公式，故得证。
证四：恒等式
恒等式证明(1)
恒等式证明(2) 证五：半角定理
∵由证一，x = = －c = p－c
y = = －a = p－a
z = = －b = p－b
∴ r3 = ∴ r =
∴S△ABC = r·p = 故得证。
二、海伦公式的推广
由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p= ,则S四边形=
现根据猜想进行证明。
证明：如图，延长DA，CB交于点E。
设EA = e EB = f ∵∠1+∠2 =180° ∠2+∠3 =180° ∴∠1 =∠3 ∴△EAB～△ECD ∴ = = =
解得： e = ① f = ②
由于S四边形ABCD = S△EAB
将①，②跟b = 代入公式变形④，得到： ∴S四边形ABCD = 所以，海伦公式的推广得证。
编辑本段例题：
C语言版：
如图四边形ABCD内接于圆O中，SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2.求：四边形可能为等腰梯形。 解：设BC = x 由海伦公式的推广，得： (4－x)(2＋x)2 =27
x4－12x2－16x＋27 = 0
x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1) = 0 (x－1)(x3＋x2－11x－27) = 0 x = 1或x3＋x2－11x－27 = 0 当x = 1时，AD = BC = 1 ∴ 四边形可能为等腰梯形。 在程序中实现(VBS): dim a,b,c,p,q,s a=inputbox(\"请输入三角形第一边的长度\") b=inputbox(\"请输入三角形第二边的长度\") c=inputbox(\"请输入三角形第三边的长度\") a=1*a b=1*b c=1*c p=(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c) q=sqr(p) s=(1/4)*q msgbox(\"三角形面积为\"&s), ,\"三角形面积\" 在VC中实现
#include #include main() int a,b,c,s; printf(\"输入第一边\\n\"); scanf(\"%d\",&a); printf(\"输入第二边\\n\"); scanf(\"%d\",&b); printf(\"输入第三边\\n\"); scanf(\"%d\",&c); s=(a+b+c)/2; printf(\"面积为:%f\\n\",sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))); C#版：
using System; using System.Collections.Generic; using System.Text; namespace CST09078 cla Program static void Main(string[] args)
double a, b, c, p, s;
Console.WriteLine(\"输入第一条边的长度：\\n\"); a = Convert.ToDouble(Console.ReadLine()); Console.WriteLine(\"输入第二条边的长度：\\n\"); b = Convert.ToDouble(Console.ReadLine()); Console.WriteLine(\"输入第三条边的长度：\\n\"); c = Convert.ToDouble(Console.ReadLine()); p =(a+b+c)/2; s = Math.Sqrt(p*(pb)*(p - c)); Console.WriteLine(\"我算出来的面积是{0}\", s); Console.Read();
推荐第5篇：求三角形面积——海伦公式
证明：海伦公式：若ΔABC的三边长为a、b、c，则
SΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4(这是海伦公式的变形，“负号“－”从a左则向右经过a、b、c”，负号从x轴负轴向正轴扫描一个周期！我觉得这么记更简单，还设个什么l=(a+b=c)/2啊，多此一举！)
证明：设边c上的高为 h,则有
√(a^2－h^2)＋√(b^2－h^2)=c
√(a^2－h^2)=c－√(b^2－h^2)
两边平方，化简得：
2c√(b^2－h^2)=b^2+c^2-a^2
两边平方，化简得：
h=√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))
SΔABC=ch/2
=c√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))/2
仔细化简一下，得：
SΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4
用三角函数证明！
证明：
SΔABC=absinC/2
=ab√(1-(cosC)^2)/2————（1）
∵cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
∴代入（1）式，（仔细）化简得：
SΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4
推荐第6篇：海伦秦九韶公式
【教学设计】人教版数学九年级上册《海伦─秦九韶公式》
【教学对象】九年级学生
【教材分析】本节内容是初中数学的第21章，是阅读与思考部分中的内容，《初中数学新课程标准》中并没有做要求。教材中只占用一页篇幅，叙述了秦九韶公式与海伦公式的记载历史，并未给出证明和应用。本节内容之前学生已经学习了解三角形，它是三角形面积公式的延续与拓展，又是后续研究三角形面积相关知识的基础。本节课的主要设置对象为数学学习程度较好的学生——在完成《初中数学新课程标准》中要求的学习之后仍有余力的同学，意在引领学生运用所学知识对海伦公式进行证明，并让同学们从中体会到数学之美。
【学情分析】初三学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的勾股定理、三角形面积公式以及平方差公式和完全平方公式。
【教学目标】
1、知识与技能：
（1）理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同；
（2）会证明秦九韶公式与海伦公式，并理解海伦公式的本质； （3）会用海伦公式解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题。
2、过程与方法：
（1）经历证明秦九韶公式及海伦公式的全过程，培养学生严谨的数学逻辑思维；
（2）提高学生应用海伦公式解决涉及三角形三边与面积之间关系问题的能力。
3、情感态度价值观：（1）体会到数学的简洁美；（2）体会数学以不变应万变的魅力。
【教学重点】证明秦九韶海伦公式的过程。
【教学难点、关键】海伦公式的本质。
【教学方法】引导探究、实例运用。
【教学过程设计】
一、回顾旧知
1、三角形面积公式。通过提问，让学生回答出已经学习过的公式，板书：1/2*底*高
2、复习课本例题。复习已知三边的具体值求三角形面积的方法。
二、已知三边a，b，c，求三角形面积
利用已知三边具体值求三角形面积的方法推导出已知三边a，b，c求三角形面积的公式
在黑板上演示推导的全过程，让学生清楚地看到新知识的形成过程。
板书演示推导过程，得到秦九韶公式。ppt展示并讲授秦九韶的著作《九章算术》以及他的伟大成就。
老师擦掉公式，让学生试着默写出秦九韶公式，大部分学生无法完整默写。提出疑问：秦九韶公式不够简洁不方便记忆的弊端。学生和老师继续探索，简化秦九韶公式。板书演示海伦公式的推导过程，由此得到海伦公式：S=√[p*（p-a）*（p-b）*（p-c）] 其中p=1/2*（a+b+c）；PPT展示海伦记载该公式历史
通过上述证明向学生们揭示秦九韶公式与海伦公式的本质是一样的。
设计意图：在推导过程中自然地解释海伦公式中为什么令p=1/2*（a+b+c）。体会海伦公式简洁的魅力，并了解一些数学家的故事。
三、海伦公式的本质
例题：已知三角形三边为分别为m，n，l其周长记为C，求该三角形面积。那么我们可以得C=m+n+l利用刚刚学习的海伦公式可知S=√[C/2*（C/2-a）*（C/2-b）*（C/2-c）]
老师让同学间相互出题，随意变换三角形的三边字母或者周长的字母解决问题。海伦公式的实质：
设计意图：通过简单例题引发同学们的思考，使同学掌握海伦公式的本质，体会公式的字母可变性与结构不变性，并感受到数学以不变应万变的魅力。
四、海伦公式的应用
海伦公式除了可以解决已知三角形三边长求面积的问题外，还有什么应用呢？
例题：三边长a，b，c的三角形，满足c>a>b.2a=b+c，且它的周长是12，面积是6，试判断这个三角形的形状.
先让学生们独立做题，最后由老师板书演示解得该三角形为直角三角形。
设计意图：1.让学生经历运用海伦公式解决数学问题的过程；2.培养学生利用海伦公式解决三角形三边与面积之间关系问题的意识。
五、小结并归纳三角形面积公式
通过板书总结本堂课的内容
六、课后探究
习题：
1、求内切圆半径等于1的三角形面积的最小值；
2、老师提供资料鼓励学有余力的同学继续探究用其他方式证明海伦公式
设计意图：
1、使学生更好学会运用海伦公式解决边与面积问题；
2、鼓励学有余力学生探究证明海伦公式的其他方法。
【板书设计】（略）
【创新之处】
1、本节对于程度较好的学生，海伦公式及其应用在今后的学习中是十分重要，设计本节内容有利于学生日后的进步。
2、本节内容在众多教学设计中鲜有涉及，本文则详细介绍和证明海伦公式，严谨证明海伦公式作为授课思路。
3、本文学习后，本文着重带领学生理解公式的字母可变性和结构不变性，加深学生对海伦公式本质的理解，更是引领学生掌握海伦公式的本质，体会数学中以不变应万变的魅力。
4、海伦公式的应用方面，通过练习，让学生发现海伦公式更广阔的应用，既可以解决已知三角形三边长求面积，也可以解决涉及到三角形三边与面积之间关系的问题。
5、课开始时的回顾旧知与结束时的总结，强化学生对三角形面积公式的知识构建，有利于学生理解掌握该类知识，也可以使学生自潜移默化之中培养对知识框架构建的意识。
推荐第7篇：海伦公式与四边形面积公式
海伦公式与四边形面积公式
2007年08月01日 星期三 00:43 我们知道，已知三角形的三条边长度a，b，c（2p＝a+b+c），就可以由海伦公式得到三角形的面积：
所以：已知圆内接三角形的三边长，其面积公式为海伦公式。事实上，对于圆内接四边形，已知其四边形的四边长（不妨设其为a，b，c，d，2p＝a+b+c+d），也可以求其面积，而且公式的形式与海伦公式相类似：
证明：
设圆内接四边形ABCD中，AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，设∠BAD=θ，则∠BCD=180°-θ，设其对角线BD＝x，由余弦定理有：
联立两式解得：
推荐第8篇：高中数学必修五《海伦公式探究》
海伦公式探究
背景：海伦公式在数学学习中使用非常广泛，它方便了日常数学学习中三角形的面积计算，使我们只需知道任意三角形的三边长度，就可以用公式求得三角形的面积大小。但是你知道海伦公式的证明方法吗？本次探究，着手海伦公式的证明方法、推广，使同学们能更深刻地记住海伦公式、容易证明，并且合理使用。
过程：海伦公式 证明 三斜求积术 推广 运用 余弦定理
海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王 希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米得所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。
如右图，假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由图下公式求得。
证明Ⅰ：
与海伦在他的著作\"Metrica\"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变
a2b2c2形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为：cosC
2abS1absinC① 21ab1cos2C② 21(a2b2c2)2③ ab12224ab141414144a2b2(a2b2c2)④
(2aba2b2c2)(2aba2b2c2)⑤ [(ab)2c2][c2(ab)2]⑥
(abc)(abc)(abc)(abb)⑦
abb 2abcabcabc,pb,pc, 则pa222设p上式(abc)(abc)(abc)(abc)
16p(pa)(pb)(pc)
所以， S△ABC
p(pa)(pb)(pc)
证明Ⅱ：我国著名的数学家九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”。
秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。
所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，Q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜。
定理:若三角形的三条边分别是:大斜、中斜、小斜，则三角形面积为：
原文见卷五第二题: 以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余，半之．同乘于上，以小斜幂并大斜幂，减上．余，四约之为实，开平方，得积．
证明：如 图，a=u+v，b2=h2+u2，c2=h2+v2 所以，u2-v2=b2-c2
(u+v)(u-v)=(b+c)(b-c) a(u-v)=(b+c)(b-c) (u-v)=(b+c)(b-c)/a 因(u+v)=a，所以22
2 又 h=b-u，三角形面积=a．h/2
此即：
， 其中c>b>a.
将根号下的多项式分解因式，便成为可见，三斜求积术与古希腊海伦公式是等价的 所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。
关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：
设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p =
1(a+b+c),则 211S△ABC =aha=ab×sinC = r p 22abc 4R = 2R2sinAsinBsinC =
=p(pa)(pb)(pc)
p(pa)(pb)(pc)就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记其中，S△ABC =载。
海伦公式在解题中有十分重要的应用。
一、海伦公式的变形
S=p(pa)(pb)(pc)
(abc)(abc)(acb)(bca)
① [(ab)2c2][c2(ab)2] ② (a2b2c22ab)[(a2b2c22ab)] ③ 4a2b2(a2b2c2)
2 ④ 2a2b22a2c22b2c2a4b4c4 ⑤ 141 =41 =41 =41 =4 =
证一：根据勾股定理证明。分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC =导出海伦公式。
1aha入手，运用勾股定理推2
证二：根据斯氏定理证明。
根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：
｛已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积｝
这里用海伦公式的推广
S圆内接四边形(pa)(pb)(pc)(pd)（其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边）
代入解得s83
海伦公式在解题中有十分重要的应用。
二、海伦公式的推广
由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p==(pa)(pb)(pc)(pd)
现根据猜想进行证明。
证明：如图，延长DA，CB交于点E。
设EA = e EB = f ∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○ ∴∠1 =∠3 ∴△EAB～△ECD
abcd,则S
2四边形
SEABfbb2e∴== = aefcdS四边形ABCDd2b2解得： e =b(abcd)b(adbc) ① f = ②
d2b2d2b2d2b2由于S四边形ABCD =S△EAB
b2b(d2b2)将①，②跟b =代入公式变形④，得：22db
所以，海伦公式的推广得证。
三、海伦公式的推广的应用
海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运用海伦公式的推广往往事半功倍。
例题：如图，四边形ABCD内接于圆O中，SABCD =求：四边形可能为等腰梯形。 解：设BC = x 由海伦公式的推广，得：
33,AD = 1,AB = 1, CD = 2.4133(112x)(11x2)(2x11)(2x11)= 44 (4－x)(2＋x)2 =27 x4－12x2－16x＋27 = 0 x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1) = 0 (x－1)(x3＋x2－11x－27) = 0 x = 1或x3＋x2－11x－27 = 0 当x = 1时，AD = BC = 1 ∴ 四边形可能为等腰梯形。
推荐第9篇：三角公式证明
公式表达式
乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a
根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理
判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根
b2-4ac>0 注：方程有一个实根
b2-4ac
三角函数公式
两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径
余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角
正切定理:
[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}
圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标
圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0
抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c\'*h
正棱锥侧面积 S=1/2c*h\' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c\')h\'
圆台侧面积 S=1/2(c+c\')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2
圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l
弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r
锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h
斜棱柱体积 V=S\'L 注：其中,S\'是直截面面积， L是侧棱长柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h
-----------------------三角函数积化和差 和差化积公式
记不住就自己推，用两角和差的正余弦：
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:
相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2
相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2
sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:
相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2
相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2
这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了
不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下
正加正 正在前
正减正 余在前
余加余 都是余
余减余 没有余还负
正余正加 余正正减
余余余加 正正余减还负
.
3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)
(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC
(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1
(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC
(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1
......
已知sinα=m sin(α+2β), |m|
解:sinα=m sin(α+2β)
sin(a+β-β)=msin(a+β+β)
sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβsin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1)
tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ
推荐第10篇：公式及证明
初中数学几何定理
1。同角（或等角）的余角相等。 2。对顶角相等。 3。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。 4。在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线是平行线。
5。同位角相等，两直线平行。 6。等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。 7。直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
8。在角平分线上的点到这个角的两边距离相等。及其逆定理。
9。夹在两条平行线间的平行线段相等。夹在两条平行线间的垂线段相等。
10。一组对边平行且相等、或两组对边分别相等、或对角线互相平分的四边形是平行四边形。
11。有三个角是直角的四边形、对角线相等的平行四边形是矩形。
12。菱形性质：四条边相等、对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
13。正方形的四个角都是直角，四条边相等。两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
14。在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。 15。垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对弧。平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 16。直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。
17。相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。
18．圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角。
19。切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
20。切线的性质定理①经过圆心垂直于切线的直线必经过切点。 ②圆的切线垂直于经过切点的半径。 ③经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。
21。切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。连结圆外一点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角。
22。弦切角定理 弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
23。相交弦定理； 切割线定理； 割线定理；
初中数学几何一般证题途径：证明两线段相等
1.两全等三角形中对应边相等 2.同一三角形中等角对等边
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等
9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等
10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等
11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等
12.两圆的内（外）公切线的长相等 13.等于同一线段的两条线段相等
证明两个角相等
1.两全等三角形的对应角相等 2.同一三角形中等边对等角
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等 6.同圆（或等圆）中，等弦（或同弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
8.相似三角形的对应角相等 9.圆的内接四边形的外角等于内对角
10.等于同一角的两个角相等
证明两直线平行
1.垂直于同一直线的各直线平行 2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行
3.平行四边形的对边平行 4.三角形的中位线平行于第三边
5.梯形的中位线平行于两底 6.平行于同一直线的两直线平行 7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平等行于第三边
证明两条直线互相垂直
1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角
4.邻补角的平分线互相垂直 5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条
6.两条直线相交成直角则两直线垂直
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上
8.利用勾股定理的逆定理 9.利用菱形的对角线互相垂直
10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦 11.利用半圆上的圆周角是直角
证明线段的和差倍分
1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等
2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段
3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等
4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段
5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）
证明角的和差倍分
1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同 2.利用角平分线的定义
3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
证明线段不等
1.同一三角形中，大角对大边 2.垂线段最短
3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大
5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小 6.全量大于它的任何一部分
证明两角的不等
1.同一三角形中，大边对大角 2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角
3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大
4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大 5.全量大于它的任何一部分
证明比例式或等积式
1.利用相似三角形对应线段成比例 2.利用内外角平分线定理
3.平行线截线段成比例 4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理
5.与圆有关的比例定理：相交弦定理、切割线定理及其推论
6.利用比利式或等积式化得
证明四点共圆
1.对角互补的四边形的顶点共圆 2.外角等于内对角的四边形内接于圆
3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆（顶角在底边的同侧）
4.同斜边的直角三角形的顶点共圆 5.到顶点距离相等的各点共圆
二、空间与图形
A：图形的认识：
1：点，线，面
点，线，面：①图形是由点，线，面构成的。②面与面相交得线，线与线相交得点。③点动成线，线动成面，面动成体。
展开与折叠：①在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方体。②N棱柱就是底面图形有N条边的棱柱。
一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。
3视图：主视图，左视图，俯视图。
多边形：他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。
弧，扇形：①由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形。②圆可以分割成若干个扇形。
2：角
线：①线段有两个端点。②将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线只有一个端点。③将线段的两端无限延长就形成了直线。直线没有端点。④经过两点有且只有一条直线。比较长短：①两点之间的所有连线中，线段最短。②两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。
角的度量与表示：①角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。
角的比较：①角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。②一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。始边继续旋转，当他又和始边重合时，所成的角叫做周角。③从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
平行：①同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。③如果两条直线都与第3条直线平行，那么这两条直线互相平行。垂直：①如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。②互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
3：相交线与平行线
角：①如果两个角的和是直角,那么称和两个角互为余角；如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。②同角或等角的余角/补角相等。③对顶角相等。④同位角相等/内错角相等/同旁内角互补，两直线平行，反之亦然。
4：三角形
三角形：①由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。②三角形任意两边之和大于第三边。三角形任意两边之差小于第三边。③三角形三个内角的和等于180度。④三角形分锐角三角形/直角三角形/钝角三角形。⑤直角三角形的两个锐角互余。⑥三角形中一个内角的角平分线与他的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。⑦三角形中，连接一个顶点与他对边中点的线段叫做这个三角形的中线。⑧三角形的三条角平分线交于一点，三条中线交于一点。⑨从三角形的一个顶点向他的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。⑩三角形的三条高所在的直线交于一点。
图形的全等：全等图形的形状和大小都相同。两个能够重合的图形叫全等图形。全等三角形：①全等三角形的对应边/角相等。②条件：SSS/AAS/ASA/SAS/HL。勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，反之亦然。
5：四边形
平行四边形的性质：①两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。②平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫他的对角线。③平行四边形的对边/对角相等。④平行四边形的对角线互相平分。
平行四边形的判定条件：两条对角线互相平分的四边形/一组对边平行且相等的四边形/两组对边分别相等的四边形/定义。
菱形：①一组邻边相等的平行四边形是菱形。②领心的四条边相等，两条对角线互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角。③判定条件：定义/对角线互相垂直的平行四边形/四条边都相等的四边形。
矩形与正方形：①有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。②矩形的对角线相等，四个角都是直角。③对角线相等的平行四边形是矩形。④正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质。⑤一组邻边相等的矩形是正方形。
梯形：①一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形。②两条腰相等的梯形叫等腰梯形。③一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。④等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线星等，反之亦然。
多边形：①N边形的内角和等于（N-2）180度。②多边心内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，他们的和叫做这个多边形的内角和（都等于360度）
平面图形的密铺：三角形，四边形和正六边形可以密铺。
中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
B：图形与变换：
1：图形的轴对称
轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
轴对称图形：①角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。③等腰三角形的“三线合一”。
轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段/对应角相等。
2:图形的平移和旋转
平移：①在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。
旋转：①在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。②经过旋转，图形商店每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。3：图形的相似
比：①A/B=C/D，那么AD=BC，反之亦然。②A/B=C/D，那么A土B/B=C土D/D。③A/B=C/D=。。。=M/N， 那么A+C+。。。+M/B+D+。。。N=A/B。
黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC与BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比（根号5-1/2）。相似：①各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。②相似多边形对应
边的比叫做相似比。
相似三角形：①三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。②条件：AA/SSS/SAS。
相似多边形的性质：①相似三角形对应高，对应角平分线，对应中线的比都等于相似比。②相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
图形的放大与缩小：①如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
D：证明
定义与命题：①对名称与术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出他们的定义。②对事情进行判断的句子叫做命题（分真命题与假命题）。③每个命题是由条件和结论两部分组成。④要说明一个命题是假命题，通常举出一个离子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子叫做反例。
公理：①公认的真命题叫做公理。②其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，经过证明的真命题称为定理。③同位角相等，两直线平行，反之亦然；SAS/ASA/SSS，反之亦然；同旁内角互补，两直线；平行，反之亦然；内错角相等，两直线平行，反之亦然；三角形三个内角的和等于180度；三角形的一个外交等于和他不相邻的两个内角的和；三角心的一个外角大于任何一个和他不相邻的内角。④由一个公理或定理直接推出的定理，叫做这个公理或定理的推论。
第11篇：导数公式证明
导数的定义：f\'(x)=lim Δy/Δx Δx→0（下面就不再标明Δx→0了） 用定义求导数公式 （1）f(x)=x^n
证法一：（n为自然数） f\'(x)=lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx =lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx =lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)] =x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1)=nx^(n-1)
证法二：（n为任意实数）
f(x)=x^n lnf(x)=nlnx (lnf(x))\'=(nlnx)\' f\'(x)/f(x)=n/x f\'(x)=n/x*f(x) f\'(x)=n/x*x^n f\'(x)=nx^(n-1)
（2）f(x)=sinx f\'(x)=lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx=lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx=lim cosxsinΔx/Δx=cosx
（3）f(x)=cosx f\'(x)=lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx=lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx =lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx=lim -sinxsinΔx/Δx=-sinx
（4）f(x)=a^x f\'(x)=lim (a^(x+Δx)-a^x)/Δx=lim a^x*(a^Δx-1)/Δx （设a^Δx-1=m，则Δx=loga^(m+1)）
=lim a^x*m/loga^(m+1)=lim a^x*m/[ln(m+1)/lna]=lim a^x*lna*m/ln(m+1) =lim a^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)]=lim a^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)] =lim a^x*lna/lne=a^x*lna
若a=e，原函数f(x)=e^x 则f\'(x)=e^x*lne=e^x
（5）f(x)=loga^x f\'(x)=lim (loga^(x+Δx)-loga^x)/Δx
=lim loga^[(x+Δx)/x]/Δx=lim loga^(1+Δx/x)/Δx=lim ln(1+Δx/x)/(lna*Δx) =lim x*ln(1+Δx/x)/(x*lna*Δx)=lim (x/Δx)*ln(1+Δx/x)/(x*lna) =lim ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/(x*lna)=lim lne/(x*lna)=1/(x*lna)
若a=e，原函数f(x)=loge^x=lnx则f\'(x)=1/(x*lne)=1/x （6）f(x)=tanx f\'(x)=lim (tan(x+Δx)-tanx)/Δx=lim (sin(x+Δx)/cos(x+Δx)-sinx/cosx)/Δx =lim (sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)/(Δxcosxcos(x+Δx)) =lim (sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔx+sinxsinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx)) =lim sinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2
（7）f(x)=cotx f\'(x)=lim (cot(x+Δx)-cotx)/Δx=lim (cos(x+Δx)/sin(x+Δx)-cosx/sinx)/Δx =lim (cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx)) =lim (cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx-cosxsinxcosΔx-cosxsinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx)) =lim -sinΔx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2
（8）f(x)=secx f\'(x)=lim (sec(x+Δx)-secx)/Δx=lim (1/cos(x+Δx)-1/cosx)/Δx =lim (cosx-cos(x+Δx)/(ΔxcosxcosΔx) =lim (cosx-cosxcosΔx+sinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx)) =lim sinxsinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=sinx/(cosx)^2=tanx*secx
（9）f(x)=cscx f\'(x)=lim (csc(x+Δx)-cscx)/Δx=lim (1/sin(x+Δx)-1/sinx)/Δx =lim (sinx-sin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx)) =lim (sinx-sinxcosΔx-sinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx)) =lim -sinΔxcosx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-cosx/(sinx)^2=-cotx*cscx
（10）f(x)=x^x lnf(x)=xlnx (lnf(x))\'=(xlnx)\' f\'(x)/f(x)=lnx+1 f\'(x)=(lnx+1)*f(x) f\'(x)=(lnx+1)*x^x （12）h(x)=f(x)g(x) h\'(x)=lim (f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx =lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x)-g(x+Δx))*f(x)]/Δx =lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+Δx)-f(x)*g(x+Δx)]/Δx =lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)/Δx+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/Δx=f\'(x)g(x)+f(x)g\'(x) （13）h(x)=f(x)/g(x) h\'(x)=lim (f(x+Δx)/g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx =lim (f(x+Δx)g(x)-f(x)g(x+Δx))/(Δxg(x)g(x+Δx)) =lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x)+g(x))*f(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx)) =lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx)) =lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/(Δxg(x)g(x+Δx)) =f\'(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g\'(x)/(g(x)*g(x))=[f\'(x)g(x)-f(x)g\'(x)]/(g(x)*g(x))x （14）h(x)=f(g(x)) h\'(x)=lim [f(g(x+Δx))-f(g(x))]/Δx =lim [f(g(x+Δx)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/Δx （另g(x)=u，g(x+Δx)-g(x)=Δu） =lim (f(u+Δu)-f(u))/Δx=lim (f(u+Δu)-f(u))*Δu/(Δx*Δu) =lim f\'(u)*Δu/Δx=lim f\'(u)*(g(x+Δx)-g(x))/Δx=f\'(u)*g\'(x)=f\'(g(x))g\'(x) 总结一下
（x^n）\'=nx^(n-1) （sinx）\'=cosx （cosx）\'=-sinx （a^x）\'=a^xlna （e^x）\'=e^x （loga^x）\'=1/(xlna) （lnx）\'=1/x (tanx)\'=(secx)^2=1+(tanx)^2 (cotx)\'=-(cscx)^2=-1-(cotx)^2 (secx)\'=tanx*secx (cscx)\'=-cotx*cscx (x^x)\'=(lnx+1)*x^x [f(x)g(x)]\'=f\'(x)g(x)+f(x)g\'(x) [f(x)/g(x)]\'=[f\'(x)g(x)-f(x)g\'(x)]/(g(x)*g(x)) [f(g(x))]\'=f\'(g(x))g\'(x)
第12篇：《海伦
《海伦·凯勒》教学设计 教案背景： 新课标指出：“语文课程丰富的人文内涵对学生精神领域影响是深广的，要重视语文的熏陶感染作用。”语文教学要重视情感、态度、价值观的正确导向，要让学生在主动积极的思维和强烈的情感活动中，加深对语言文字理解、赏析，使他们有所感悟、思考，并受到情感熏陶，获得精神洗涤，享受审美情趣。引导学生以读解文，以情带读，通过仔细品味关键词句，把学生带入课文描述的意境，感受海伦·凯勒的形象，体会她丰富的内心世界。让学生在生生对话、师生对话以及与文本对话的过程中张扬情感、喷涌真情，从而获得个人体验和独特感受，把语文学习转化为积极的情感。 教材简析：
课文讲述了海伦一岁半时遭遇一场重病后，从此双目失明、双耳失聪。在沙利文老师的指导帮助下，如饥似渴地摸读盲文，在萨勒教师的指导下，学会了说话。考上大学后，她把自己的全部精力都投入到残疾人身上的故事。赞扬了海伦不屈不挠的学习精神，传递了终身努力便成天才的价值追求。文章较长，但语言凝炼，明白易懂，便于理解概括。 教学方法
任何文章都有一个中心意思，都有一条清楚的“经线”，或者都有一个整个文章环拱的圆心。我们的教学过程也应由此来展开。找准了此点，就能辐射全篇文章的教学，就能使我们文章教学有了突破口，也使我们在课堂教学中，展开对话或寻找、拟定讨论的话题，有了依托和凭借。这篇文章的最后一句“
海伦凯勒这种不屈不挠的奋斗精神，永远留在世人心中。”正是文章的中心所在，因而，在进行设计时，我仅仅抓住“不屈不挠”，作为学习课文的唯一一个问题，抓住“不分昼夜”、“拼命”、“如饥似渴”、“摸出了血”“夜以继日”、“努力”、“反复”、“高声”、“几个小时”、“坚持练习，练习，练习„„”等等词语一一体会，引导学生通过读书感悟，小组合作质疑逐层深入，使学生对“不屈不挠”的理解更加丰满。力求避免一些琐碎的无效提问，学生学起来也觉得思路清晰，教学重点才能得以落实。 教学目标
知识与能力
1．利用工具书自学生字、新词。
2．反复认真地读自己感受最深的内容，理解课文的主要内容。
过程与方法
1．能够运用自己掌握的读书方法，对课文精彩的部分深入理解。
2．在学习过程中注意与同学交往自己的认识。
3．读书过程中学会在自己体会深的地方加批注记。
情感态度价值观
1．有感情地朗读课文。
2．感受海伦在困难的环境中战胜困难创造奇迹的勇气。
3．结合自己的生活实际，想一想自己从中能够学习到什么。
[重点难点]
重点：反复认真地读自己感受最深的内容，理解课文的主要内容
难点：感受海伦在困难的环境中战胜困难创造奇迹的勇气。
教学过程：
一、导入课题
1、有这样一位伟大的女性，她在一岁半时就成了又聋又盲的人，她有耳听不见，有眼看不见，但是——她是哈佛大学的优秀毕业生，总统自由勋章获得者，一生完成14部作品的作家、教育家，20世纪美国十大英雄偶像之一。她就是——海伦·凯勒
2、请你伸出右手食指，和老师一起工工整整地写下这个名字，这个曾经感动世界的名字——海伦·凯勒。
3、让我们一起轻轻地满怀尊敬地念这个名字——海伦·凯勒（齐读课题）。
这样一位身有残疾的弱女子，是如何创造出辉煌的成就？这节课，就让我们再次走近她——海伦·凯勒。
二、整体感知，走近人物
1、打开课本，自由朗读课文，思考：你读出了一个怎样的海伦？（学生自主读书，整体感悟人物）
2、由同学们读书的神态看出海伦·凯勒深深地吸引住了大家，现在请你用一个词来形容一下海伦·凯勒，你会一下子想到什么词？
读出了一个“不幸、可怜”的海伦，一个坚强的、不屈不挠的海伦，还读出了快乐、幸福的，热爱生活、富有爱心的海伦，„„（学生交流）
3、文中是怎样评价海伦凯勒的？（用文中的一个词）
（板书：不屈不挠）这是课文结尾对海伦精神的概括，谁来读出这句话。
4、我们一起读读这个词，你是怎样理解这个词的？
5、下面，请同学们默读课文，边读边想：你从课文的什么地方读出了不屈不挠的海伦？（教师手指板书）在书上圈圈画画，简单写写自己的感受。
三、细读课文，感动内心
（一）1．现在同学们的书本上留下了一道道充满你智慧的标记。谁来说，你找到的第一处句子是什么？
2、她不分昼夜，像一块干燥的海绵吮吸着知识的甘霖。她拼命摸读盲文，不停地书写单词和句子。她是这样地如饥似渴，以至小小的手指头都摸出了血。 （1）我们知道，正常人学会阅读、书写、算术，也许并不是什么难事。但海伦却要“不分昼夜”、“拼命摸读”、“不停书写”甚至“摸出了血”才能做到。从这儿你又想到了什么？请齐读这段话。这段文字仅仅读一遍是不够的。大家再读读，你发现有哪些词语值得我们注意，用笔将它圈出来同桌讨论讨论，可以在旁边写上一些自己的体会。
（2）交流：抓关键字体会海伦的坚强、不屈不挠。
A．“不分昼夜” “像一块干燥的海绵”
点拨（此时的海伦渴求知识，求知的欲望越来越强烈。每天的开始，海伦就是“一块干燥的海绵”，吮吸着，吮吸着，直至“这块海绵”装得满满的，饱饱的。体会海伦的坚强）
B．“拼命摸读” 点拨（我们知道盲文是向外凸出来的，由点数和点位的不同来区分，只能靠着手指慢慢地、仔细地摸读，这样的学习远远比我们正常人来得困难。）
“不停地书写” 点拨（我们能想象海伦当时学习情景吗？边想象边读体会海伦的不屈不挠。） C．“如饥似渴”
“摸出了血” 点拨（当时海伦年仅7岁，为了学习，她小小的手指头竟摸出了血，她会喊一声疼吗？她会哭着去找妈妈吗？她无怨无悔，为的就是学习，学会阅读。）
3、齐读这句话。同学们你们知道盲人是怎样读、写盲文的吗？
盲文是透过点字板、点字机、点字打印机等在纸张上制作出不同组合的凸点而组成，一般每一个方块的点字是由六点组成。盲人需要用心、仔细的触摸这些凸点来辨别是什么字，从而认读；盲人的书写更加困难。需要用食指的指节用力叩击盲文笔，在厚厚的纸上扎下一个个突起的盲文点。长时间书写，手腕、手指都会酸痛，甚至变形。
4、了解了这个知识，再读这段话，（课件“她不分昼夜„„摸出了血”）想说什么？
学生交流（困难这么多，她还能坚持，不屈服，太坚强了。她多么渴望能学到知识。„„）
5、指导学生朗读 想象着海伦摸读盲文时的艰辛，带着你深深的感动之情读好这些词，这段话。
（二）还从哪些语句中读出她的不屈不挠精神的？
1、（第6段）海伦10岁的时候，越来越强烈地想开口说话。父母为她请来盲哑学校的萨勒老师。萨勒发音时，要海伦把手放在她的脸上，用感觉来判断萨勒舌头和嘴唇颤动的情况，以此体会怎样发音。这种完全靠触角学习说话的方法，其艰难程度可想而知。海伦后来在回忆自己的这段学习生活时说：“为使我的伙伴――即使是最亲密的伙伴――能听懂我说的话，我夜以继日地努力，反复高声朗读某些词语或句子，有时甚至要读几个小时，直到自己觉得读对了为止。我每天坚持着练习，练习，练习„„”
（1）首先请同学们想想：海伦既聋又盲，那她是怎样学习说话的？
（学生指出：海伦把手放在她的脸上，用感觉来判断萨勒舌头和嘴唇颤动的情况，以此体会怎样发音。） （2）请学生闭上眼睛，触摸同位的脸，体会一下海伦学习的情形，亲身体验她学习的难度。老师小结：这种靠触觉练习说话的方式，其艰难程度可想而知，所以海伦这样说（师生齐读：“为使我的伙伴――即使是最亲密的伙伴――能听懂我说的话，我夜以继日地努力，反复高声朗读某些词语或句子，有时甚至要读几个小时，直到自己觉得读对了为止。我每天坚持着练习，练习，练习„„”
（3）再联系下文看看（7自然段）后来“她说话的能力竟然和一般人没什么两样了”当她大声喊道：“爸爸，妈妈，我回来了”刹那间，爸爸和妈妈紧紧抱住了海伦，留下了兴奋的泪水。
这是兴奋的泪水，也是心酸的泪水，因为他们仿佛看到海伦曾经 ，曾经 ，曾经 。（学生思考自由说）
（4）指导朗读
让我们体会着海伦说话的艰辛，想象着她付出的常人难以想象的努力，一起来读这段话。
四、深入体悟，升华认识
1、正是靠着这种不屈不挠的奋斗精神，海伦学会了“算术”、学会了写字、学会了说话。这也是这篇课文主要告诉我们的。不过，这篇课文还告诉我们海伦凯勒的什么方面？请大家再读读课文，特别注意
3、
5、8几节，你能有什么发现？
2、你又对海伦有什么认识？（对生命的喜悦、想象世界的美好、把毕生的精力奉献给残疾人等）通过这些，我们发现，海伦的内心充满了——（板书：爱）正因内心有爱，她才感到生命有了新的开始，她才会将世界想象的那样美好，她才会将毕生的精力倾注在残疾人身上。也是爱，才给了海伦不屈不挠、战胜命运的力量。
3、正是心中充满了“爱”，海伦才会写出那样多感动世界的文字。慢慢地，知识打开了海伦的眼界，她从无边的黑暗和死一般的沉寂中走出来了，你看，她有时——————，有时——————，有时——————，有时 ——————，，她就是这样用动人的笔调描绘着她心中看到的世界。此时，你仿佛看到了一个怎样的海伦？（乐观，开朗，热爱生活）
指导读：幸福的感觉要慢 慢 体验，通过你的声音还有你的表情表达出来吧。自由读。
四、结合实际，升华认识
最后，老师借用海伦凯勒在《假如给我三天光明》一书中的一句话送给大家：
“不要埋怨别人对你设下困难，只要自己努力一把，克服那些困难，即使失败了我觉得也不会太伤心，但我坚信那只是偶然，而必然则是你肯定会成功！”——《假如给我三天光明》
五、拓展作业，课外延伸
1、结合海伦凯勒、邰丽华等优秀残疾人的事迹，把自己的感想写下来。
2、好书推荐：《假如给我三天光明》、《海伦凯勒自传》。
《海伦
凯勒》教后反思
《海伦 凯勒》这篇文章生动地记叙了海伦一岁半的时候，遭受了双目失明，双耳失聪的极大不幸以后，在沙利文、萨勒老师的鼓励和指导下，以惊人的毅力顽强刻苦地学习的故事，表现了她对生活的无比热爱以及不屈不挠的奋斗精神。 以情感人是本文最大的特点。作者的叙写满怀深情，能引导读者“披文入情”，缘情悟神。选材有详有略，重点突出，是本文的又一特色。课文详写了海伦摸盲文、拼写单词，完全靠触觉学习说话的艰难历程，略写了海伦一岁半时遭受的不幸和大学毕业后将她全部的爱倾注在残疾人身上的事迹，突出了重点，更好地表现了海伦对生活的热爱和不屈不挠的奋斗精神。
一、强化情感体验。文中含义深刻的句子特别多，必须力透文字张力，引导学生领悟文字内涵，读懂悟透文本，把学生置身于浓浓的情感氛围之中，营造烈烈的语文味道。“从此，小海伦与有声有色的世界隔绝了。她面对着的是无边无际的黑暗和死一般的沉寂。她不能喊一声‘妈妈’，也不能倾诉心中的希望和要求。”让学生说说读了这段话，此刻你心中产生了怎样的情感？为什么？通过两个问题，让学生整体感悟，引导学生与文本充分对话，想象并走近海伦的内心世界，获得真真切切的情感体验。从而让学生步入一个学习语文的状态中。
二、适度展开想象。充分利用文字空间，拓展文字的张力。让学生紧密结合文本，展开丰富的想象，走近海伦的内心世界。“海伦猛然醒悟，原来‘水’就是这种清凉而奇妙的东西啊！她心中充满了前所未有的喜悦，感到生命有了新的开始。”引导思考海伦此刻心中会想些什么？文中这样的空间还有好多。
三、反复朗读感悟。文中写海伦学盲文“她不分昼夜，像一块干燥的海绵吮吸着知识的甘霖。她拼命摸读盲文，不停地书写单词和句子。她是这样的如饥似渴，以至小手指都摸出了血。”写海伦学说话“为使我的伙伴——即使是最亲密的伙伴——能听懂我的话，我夜以继日地努力，反复高声朗读某些词语获句子，有时甚至要读几个小时，直到自己觉得读对了为止。我每天坚持练习，练习，练习„„”这两个重点段落先采用整体感悟，给了你什么感受？为什么？然后把你的感受通过朗读表现出来。反复读，读中悟，悟中读，能读好，就说明读懂了。
四、展开多维对话。语文教学要关注人文精神，本课是绝好的例文。引导学生开展多维对话，让人文教育“雁去无痕”。学完课文，你最大的收获是什么？你最想对海伦说什么？想起了什么名言？
五、课内延伸课外。引导学生从课内走向课外，走出文本，阅读与之相关的背景材料，把积极的学习状态，渴求知识的心境带到课外，拓展学生的视眼，明亮学生的心灵。教完这篇文章，我向学生推荐了《假如给我三天光明》、《海伦凯勒自传》，开展“走近海伦”的读书活动。
第13篇：《海伦
《海伦·凯勒》第二课时教学设计
教学内容：苏教版五年级下册第九课《海伦·凯勒》 教材简析
《海伦·凯勒》主要写了海伦·凯勒在一岁半时因生了一场病导致了双目失明、两耳失聪，在沙利文和萨勒老师的鼓励和指导下，她以惊人的毅力，顽强刻苦地学习，取得了辉煌的成就。表现了她对生活的无比热爱和不屈不挠的奋斗精神。
学情分析：
五年级的学生一般都养成了良好的学习习惯，都能够正确、流利、有感情地朗读课文；课堂上也能认真地思考，并且能积极主动的进行小组合作探究学习。
教学目标：
1．认知目标：正确流利、有感情地朗读课文。
2．技能目标：理解课文内容，能通过对具体语言文字的感悟和朗读，体会海伦·凯勒不屈不挠的学习精神。
3、情感目标：通过学习课文，体会海伦不屈不挠的学习精神和生活态度，并在学习和生活中学会做一个勇敢、坚强，坚持不懈的人。
教学重难点：
通过语言文字，感受、体会海伦·凯勒不屈不挠的学习精神和积极向上的生活态度。
教学过程：
一、导入课题，拨动心弦
1、板题，读题
2、通过上节课的学习，我们认识了一个在一岁半时因为一场重病而双目失明，双耳失聪，她有耳听不见，有眼看不见，但是——她是世界著名大学哈佛大学的优秀毕业生，总统自由勋章获得者，一生完成14部作品的作家、教育家，20世纪美国十大英雄偶像之一，她就是——海伦海勒。
这样一位生活在盲聋哑世界的弱女子，是如何创造出辉煌的成就？这节课，就让我们再次走近她——海伦·凯勒。
二、整体感知，走近人物
1、打开课本，自由朗读课文，填空：（ ）的海伦凯勒
2、指名回答
3、课文中用了哪个词评价海伦凯勒的？ （板书：不屈不挠）不屈不挠是什么意思？
1 请找出课文含有这个词语的句子，谁来读读这句话。
过渡：请你们默读课文，用横线画出表现海伦凯勒不屈不挠的句子。
三、细读课文，感动内心
学生自由朗读课文，用横线画出海伦凯勒不屈不挠的句子。 小组交流讨论，师相机指导。
（一）课件出示：“她不分昼夜，像一块干燥的海绵吮吸着知识的甘霖。她拼命摸读盲文，不停地书写单词和句子。她是这样地如饥似渴，以至小小的手指头都摸出了血。”
1、齐读这句话。同学们你们知道盲人是怎样摸读盲文的吗？出示盲文给学生摸，让学生体会摸读盲文的困难。
2、哪些词语体现海伦凯勒的不屈不挠奋斗精神？
学生交流，不分昼夜 吮吸 拼命 不停地 如饥似渴 摸出血）
3、这句话采用了——修辞手法？把________比作_________让你体会到海伦凯勒_________
4、指导学生朗读
5、想象情景：
清早，太阳公公还没有露出笑脸，人们还在温暖的大床上呼呼大睡时,小海伦已经在（ ）；
中午，烈日当空，知了在树梢不停地“知了知了”地叫着，人们都午睡了，小海伦却还在（ ）；
（二）还有哪些语句体现出她的不屈不挠精神的？
1、课件出示：海伦10岁的时候，越来越强烈地想开口说话。父母为她请来盲哑学校的萨勒老师。萨勒发音时，要海伦把手放在她的脸上，用感觉来判断萨勒舌头和嘴唇颤动的情况，以此体会怎样发音。这种完全靠触角学习说话的方法，其艰难程度可想而知。海伦后来在回忆自己的这段学习生活时说：“为使我的伙伴――即使是 最亲密的伙伴――能听懂我说的话，我夜以继日地努力，反复高声朗读某些词语或句子，有时甚至要读几个小时，直到自己觉得读对了为止。我每天坚持着练习，练习，练习„„”
2、海伦凯勒有眼看不到，有耳听不见，她是用什么方法来学说话的？用横线画出相关句子。
2 深夜，周围一片寂静，人们都进入甜美的梦乡了，小海伦仍在（ ）
3、我们不妨也用这种方法来体会怎样发音，好吗？
游戏：我说你猜：个人把耳朵捂住，另一个动嘴说话，但是不能发出声音，让捂住耳朵的人猜猜说了什么？游戏难度加深，闭上眼睛，用手来摸对方的脸，判断对方舌头和嘴唇颤动的情况来猜对方说什么。
4、游戏体会到海伦学说话是多么的艰难，正如她所说的不是我们可以想象的出的。海伦凯勒也总结了她学说话，一起来读。哪些词语体现海伦不屈不挠的精神（夜以继日 反复 甚至 每天坚持）
5、指导朗读
6、想象训练 课件出示：
场景一：夜很深了，周围一片寂静，人们都进入了甜美的梦乡，小海伦声音沙哑，喉咙疼痛难忍，一阵阵倦意袭来，海伦不停的打着哈欠，但是海伦用冷水洗了洗脸，接着小声朗读单词。
场景二: 夏天的一个中午,骄阳似火_____________________海伦凯勒依然在高声朗读.场景三: 有一天,海伦生病了,高烧高达到39度,________________但是凯伦凯勒依然在高声朗读.场景四:冬天的一个深夜,北风呼啸，大雪纷纷扬扬，________________依然在高声朗读。
7、功夫不负有心人有志者事竟成。终于，小海伦能开口说话了。夏天放假，她回到家里，大声喊道：“——爸爸，妈妈，我回来了。这时爸爸妈妈都流下了兴奋的泪水，这也是（激动的，高兴的， 开心的）泪水。
四、深入体悟
1、正是靠着这种不屈不挠的奋斗精神，海伦学会了学会了——阅读，学会了——算术、学会了——写字、学会了——说话。这也是这篇课文主要告诉我们的。除此以外这篇课文还让你感受到海伦凯勒的什么精神？请大家再快速朗读课文第
3、
5、8自然段，你有什么发现？你能用课文中的一个字来概括吗？ （对生命的热爱、对生活的热爱、把毕生的精力奉献给残疾人等。）
2、学到这里，同学们一定被海伦凯勒的这种不屈不挠的精神深深地震撼和鼓舞着。如果此时海伦凯勒正站在你的面前，你想对她说什么呢？请以“海伦凯勒，我想对你说„„”为中心，说说你的心里话。
3、读了这篇课文，感受了海伦的语言、行为，你又想到古今中外哪些付出艰辛努力而成功的残疾人的事迹吗？（课件展示阿炳、贝多芬、奥斯特洛夫斯基 ）
课件展示;
4、老师的话
我们不能改变天气，但是可以改变心情； 我们不能改变容貌，但是可以展现笑容； 我们不能决定他人，但是可以把握自己； 我们不能预知明天，但是可以利用今天； 我们不能样样顺利，但是可以事事尽心。
五、拓展作业，课外延伸
1、好书推荐：《假如给我三天光明》
2、搜集并阅读海伦凯勒、张海迪等优秀残疾人的事迹，并写一篇读后感 板书设计
海伦凯勒
∕＼
不屈不挠 爱
第14篇：狭义相对论公式及证明
狭义相对论公式及证明
单位符号单位符号
坐标：m(x, y, z) 力： NF(f)
时间：st(T)质量:kgm(M)
位移：mr动量:kg*m/s p(P)
速度：m/sv(u)能量: JE
加速度： m/s^2 a冲量：N*sI
长度：ml(L)动能：JEk
路程：ms(S)势能：JEp
角速度： rad/s ω力矩：N*mM
角加速度:rad/s^2α功率：WP
一：
牛顿力学（预备知识）
(一)：质点运动学基本公式：(1)v=dr/dt, r=r0+∫rdt
(2)a=dv/dt, v=v0+∫adt
(注：两式中左式为微分形式，右式为积分形式)
当v不变时，(1)表示匀速直线运动。
当a不变时，(2)表示匀变速直线运动。
只要知道质点的运动方程r=r(t)，它的一切运动规律就可知了。
(二)：质点动力学：
(1)牛一：不受力的物体做匀速直线运动。
(2)牛二：物体加速度与合外力成正比与质量成反比。
F=ma=mdv/dt=dp/dt
(3)牛三：作用力与反作与力等大反向作用在同一直线上。
(4)万有引力：两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。
F=GMm/r2,G=6.67259*10-11m3/(kg*s2)
动量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外力的冲量等于动量的变化)
动量守恒：合外力为零时，系统动量保持不变。
动能定理：W=∫Fds=Ek2-Ek1(合外力的功等于动能的变化)
机械能守恒：只有重力做功时，Ek1+Ep1=Ek2+Ep2
(注：牛顿力学的核心是牛二：F=ma,它是运动学与动力学的桥梁，我们的目的是知道物体的运动规律，即求解运动方程r=r(t),若知受力情况，根据牛二可得a,再根据运动学基本公式求之。同样，若知运动方程r=r(t),可根据运动学基本公式求a，再由牛二可知物体的受力情况。)
二：
狭义相对论力学：(注：γ=1/sqr(1-u2/c2),β=u/c, u为惯性系速度。)
(一)基本原理：(1)相对性原理：所有惯性系都是等价的。
(2)光速不变原理：真空中的光速是与惯性系无关的常数。
(此处先给出公式再给出证明)
(二)洛仑兹坐标变换：
X=γ(x-ut)
Y=y
Z=z
T=γ(t-ux/c2)
(三)速度变换：
V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c2)
V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c2))
V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c2))
(四)尺缩效应：△L=△l/γ或dL=dl/γ
(五)钟慢效应：△t=γ△τ或dt=dτ/γ
(六)光的多普勒效应：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)
(光源与探测器在一条直线上运动。)
(七)动量表达式：P=Mv=γmv, 即M=γm.
(八)相对论力学基本方程：F=dP/dt
(九)质能方程：E=Mc2
(十)能量动量关系：E2=E02+P2c2
(注：在此用两种方法证明，一种在三维空间内进行，一种在四维时空中证明，实际上他们是等价的。)
三：
三维证明：
(一)由实验总结出的公理，无法证明。
(二)洛仑兹变换：
设(x, y, z, t)所在坐标系(A系)静止，(X,Y, Z,T)所在坐标系(B系)速度为u,且沿x轴正向。在A系原点处，x=0,B系中A原点的坐标为X=-uT,即X+uT=0。可令x=k(X+uT),(1).又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k是与u有关的常数(广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k不再是常数。)同理，B系中的原点处有X=K(x-ut),由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=K.故有X=k(x-ut),(2).对于y, z, Y, Z皆与速度无关，可得Y=y,(3).Z=z(4).将(2)代入(1)可得：x=k2(x-ut)+kuT,即T=kt+((1-k2)/(ku))x,(5).(1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理，要确定k需用光速不变原理。当两系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有x=ct, X=cT.代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u), cT=kt(c-u).两式相乘消去t和T得：k=1/sqr(1-u2/c2)=γ.将γ反代入(2)(5)式得坐标变换：
X=γ(x-ut)
Y=y
Z=z
T=γ(t-ux/c2)
(三)速度变换：
V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c2))
=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c2)
=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c2)
同理可得V(y),V(z)的表达式。
(四)尺缩效应：
B系中有一与x轴平行长l的细杆，则由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t),又△t=0(要同时测量两端的坐标)，则△X=γ△x,即：△l=γ△L,△L=△l/γ
(五)钟慢效应：
由坐标变换的逆变换可知，t=γ(T+Xu/c2),故△t=γ(△T+△Xu/c2),又△X=0,(要在同地测量)，故
△t=γ△T.
(注：与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时，是不随坐标变换而变的客观量。)
(六)光的多普勒效应：(注：声音的多普勒效应是：ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).)
B系原点处一光源发出光信号，A系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。B系中光源频率为ν(b),波数为N，B系的钟测得的时间是△t(b),由钟慢效应可知，A△系中的钟测得的时间为△t(a)=γ△t(b),(1).探测器开始接收时刻为t1+x/c,最终时刻为t2+(x+v△t(a))/c,则△t(N)=(1+β)△t(a),(2).相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同，即ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N),(3).由以上三式可得：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b).
(七)动量表达式:(注：dt=γdτ,此时，γ=1/sqr(1-v2/c2)因为对于动力学质点可选自身为参考系，β=v/c)
牛二在伽利略变换下，保持形势不变，即无论在那个惯性系内，牛二都成立，但在洛伦兹变换下，原本简洁的形式变得乱七八糟，因此有必要对牛顿定律进行修正，要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。
牛顿力学中，v=dr/dt, r在坐标变换下形式不变，（旧坐标系中为（x, y, z）新坐标系中为(X,Y,Z)）只要将分母替换为一个不变量（当然非固有时dτ莫属）就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv为相对论速度。牛顿动量为p=mv, 将v替换为V，可修正动量，即p=mV=γmv。定义M=γm(相对论质量)则p=Mv.这就是相对论力学的基本量：相对论动量。（注：我们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算）
(八)相对论力学基本方程：
由相对论动量表达式可知：F=dp/dt,这是力的定义式，虽与牛二的形式完全一样，但内涵不一样。（相对论中质量是变量）
(九)质能方程：
Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv
=Mv2-∫mv/sqr(1-v2/c2)dv=Mv2+mc2*sqr(1-v2/c2)-mc2
=Mv2+Mc2(1-v2/c2)-mc2
=Mc2-mc2
即E=Mc2=Ek+mc2
(十)能量动量关系：
E=Mc2,p=Mv, γ=1/sqr(1-v2/c2),E0=mc2,可得：E2=E02+p2c
2四：
四维证明：
(一)公理，无法证明。
(二)坐标变换：由光速不变原理：dl=cdt,即dx2+dy2+dz2+(icdt)2=0在任意惯性系内都成立。定义dS为四维间隔，dS2=dx2+dy2+dz2+(icdt)2,(1).则对光信号dS恒等于0，而对于任意两时空点的dS一般不为0。dS2>0称类空间隔，dS2
由数学的旋转变换公式有：（保持y, z轴不动，旋转x和ict轴）
X=xcosφ+(ict)sinφ
icT=-xsinφ+(ict)cosφ
Y=y
Z=z
当X=0时，x=ut,则0=utcosφ+ictsinφ
得：tanφ=iu/c,则cosφ=γ, sinφ=iuγ/c反代入上式得：
X=γ(x-ut)
Y=y
Z=z
T=γ(t-ux/c2)
(三)(四)(五)(六)(八)(十)略。
(七)动量表达式及四维矢量：(注：γ=1/sqr(1-v2/c2),下式中dt=γdτ)
令r=(x, y, z, ict)则将v=dr/dt中的dt替换为dτ，V=dr/dτ称四维速度。
则V=(γv, icγ)γv为三维分量，v为三维速度，icγ为第四维分量。（以下同理）
四维动量：P=mV=(γmv, icγm)=(Mv, icM)
四维力：f=dP/dτ=γdP/dt=(γF, γicdM/dt)(F为三维力)
四维加速度：ω=/dτ=(γ4a,γ4iva/c)
则f=mdV/dτ=mω
(九)质能方程：
fV=mωV=m(γ5va+i2γ5va)=0
故四维力与四维速度永远“垂直”，（类似于洛伦兹磁场力）
由fV=0得：γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0(F, v为三维矢量，且Fv=dEk/dt(功率表达式)) 故dEk/dt=c2dM/dt即∫dEk=c^2∫dM,即:Ek=Mc2-mc2
故E=Mc2=Ek+mc2
关于第六条：
通过速度变换和质能方程（E=Mc2）可以导出两个坐标系间的能量变换公式（证明很简单，但很繁琐，就不写了）：E\'=γE(1-u*v/c2)
(注：u、v都是矢量，u为参考系速度，v为光源速度，*表示点乘，也可以写做： E\'=γE(1-uv（x）/c2))
上式对任意粒子都成立，对于光子：E=hν代入得：
ν\'=γν（1-ucosθ/c） (普遍公式)
对于θ=0可得：ν\'=νsqr((1-β)/（1+β）) （特例）
利用速度变换和动量关系（p=Mv）一样可导出两坐标系之间的动量变换公式：
p(x)\'=γp(x)(1-u/v(x))
p(y)\'=p(y)
p(z)\'=p(z)
动量变换与能量变换不仅仅适用于光子，对所有的粒子都是适用的。
第15篇：高中数学立体几何证明公式
线线平行→线面平行 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
线面平行→线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。
线面平行→面面平行 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
面面平行→线线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
线线垂直→线面垂直 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
线面垂直→线线平行 如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
线面垂直→面面垂直 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
线面垂直→线线垂直 线面垂直定义：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。
面面垂直→线面垂直 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
三垂线定理 如果平面内的一条直线垂直于平面的血现在平面内的射影，则这条直线垂直于斜线。
第16篇：数列求和公式证明
1）1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6从左边推到右边
数学归纳法可以证
也可以如下做 比较有技巧性
n^2=n(n+1)-n
1^2+2^2+3^2+......+n^
2=1*2-1+2*3-2+....+n(n+1)-n
=1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)
由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/
3所以1*2+2*3+...+n(n+1)
=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
[前后消项]
=[n(n+1)(n+2)]/3
所以1^2+2^2+3^2+......+n^2
=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2
=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]
=n(n+1)[(2n+1)/6]
=n(n+1)(2n+1)/6
2）1×2+2×3+3×4+...+n×（n+1）=？
设n为奇数,
1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=
=(1*2+2*3)+(3*4+4*5)+...+n(n+1)
=2(2^2+4^2+6^2+...(n-1)^2)+n(n+1)
=8(1^2+2^2+3^2+...+[(n-1)/2]^2)+n(n+1)
=8*[(n-1)/2][(n+1)/2]n/6+n(n+1)
=n(n+1)(n+2)/3
设n为偶数,
请你自己证明一下！
所以，
1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
设an=n×（n+1）=n^2+n
Sn=1×2+2×3+3×4+...+n×（n+1）
=(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+(1+2+3+……+n) =n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2
=n(n+1)(n+2)/3
数列求和的几种方法
1.公式法：
等差数列求和公式:
Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2
等比数列求和公式：
Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)
2.错位相减法
适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn
例如：an=a1+(n-1)dbn=a1·q^(n-1)Cn=anbn
Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4....+anbn
qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)
Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)
Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn)
=a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)Tn=上述式子/(1-q)
3.倒序相加法
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an)
Sn =a1+ a2+ a3+......+anSn =an+ a(n-1)+a(n-3)......+a1上下相加 得到2Sn 即 Sn= （a1+an)n/
24.分组法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例如：an=2^n+n-1
5.裂项法
适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。常用公式：
（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5） n·n!=(n+1)!-n!
[例] 求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.
解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂项）
则Sn =1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）＝ 1-1/(n+1)＝ n/(n+1)
小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。注意： 余下的项具有如下的特点1余下的项前后的位置前后是对称的。2余下的项前后的正负性是相反的。
6.数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：
（1）证明当n取第一个值时命题成立；
（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
例：求证：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3) =
[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5证明： 当n=1时，有：1×2×3×4 + 2×3×4×5 = 2×3×4×5×(1/5 +1) = 2×3×4×5×6/5假设命题在n=k时成立，于是：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) =
[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5则当n=k+1时有：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=
[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5即n=k+1时原等式仍然成立，归纳得证
7.通项化归
先将通项公式进行化简，再进行求和。如：求数列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n项和。此时先将an求出，再利用分组等方法求和。
8.并项求和：
例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n（并项）
求出奇数项和偶数项的和，再相减。
第17篇：三角函数公式及证明
三角函数公式及证明
（本文由hahacjh@qq.com 编辑整理 2013.5.3）
基本定义
1.任意角的三角函数值：
在此单位圆中，弧AB的长度等于；
B点的横坐标xcos，纵坐标ysin ；
（由 三角形OBC面积
sinatana （02））
2.正切：
tansincos
基本定理
1.勾股定理： sin2cos21 1.正弦定理：asinA2=2bsinB2=
csinC= 2R （R为三角形外接圆半径）
A2.余弦定理：a=b+c-2bccos3.诱导公试:
cosAbca2bc222
2k
sincostancot
奇变偶不变，符号看相线
4.正余弦和差公式: ①sin(②cos(
)sincoscossin)coscossinsin
推导结论
1.基本结论
(sincos)221sin21cos2
tan1
2.正切和差公式：
tan()sin()sincoscossin
cos()coscossinsintantan1tantan
3.二倍角公式（包含万能公式）：
2sincos2tansin22sincos222sincos1tan2222
1tan21tan2cos2sin2cos2cossin2cos112sinsin2cos2tan2sin2cos22tan1tan2
sin221cos221cos22tan1tan22
cos
4.半角公式：（符号的选择由
2所在的象限确定） sin21cos21cos21cos1cos sin221cos21cos2 1cos 1cos2sin22 cos2 cos222cos22tan2sincoincos2coscossinsin21cossin222sin1cos2
22
1sin(cos2sin2)2cos2sin2
5.积化和差公式：
sincos121sin()sin()cossin12sin()sin()coscos2cos()cos() sinsin12cos()cos
6.和差化积公式：
①sin③cos sin2sin2cos22 ②sin ④cossin2cos22sin22 cos2cos2coscos2sinsin7.三角形面积公式
S⊿=aha=absinC=bcsinA=acsin=2abc4R2221111B
sinAsinBsinC=2R2 =asinBsinC2sinA2=bsinAsinC2sinB2=
csinAsinB2sinC2
=pr =p(pa)(pb)(pc) (海伦公式，证明见下文) (其中p 12(abc), r为三角形内切圆半径) 定理结论的证明
1.勾股定理的证明：
本证明选自《几何原本》(欧几里得)第I卷 命题47.
2.正弦定理的证明：
做三角形外接圆进行证明；需利用结论同弧所对的圆周角相等，及直径所对圆周角为直角；
同弧所对圆周角相等的证明：
本证明选自《几何原本》(欧几里得)第III卷 命题20.直径所对圆周角为直角的证明：
本证明选自《几何原本》(欧几里得)第III卷 命题31.3.余弦定理的证明：
本证明选自《几何原本》(欧几里得)第II卷 命题12,13.
4.诱导公式的证明：
同理可证
sin(cos(3232)sin()cos(2)sin(2)cos)sin
2)cos(2本证明选自人教版高中数学教材.5.正余弦和差公式的证明:
sin()sin(())可得sin()的结论
本证明选自人教版高中数学教材.5.海伦公式的证明:
本证明选自 http://wenku.baidu.com/
第18篇：阿基米德对海伦公式的纯几何首证
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阿基米德对海伦公式的纯几何首证
作者：丁位卿
来源：《中学数学杂志(初中版)》2013年第04期
阿基米德（公元前287年—前212年），古希腊数学、物理学家.他对人类的科学做出了巨大的贡献，被后世数学家尊称为“数学之神”，位居世界科学巨人之首（另两位为近代的高斯和牛顿）.据黄家礼的《几何明珠》（文[3]）和现行高中数学教材（必修5）介绍：海伦公式最先由阿基米德发现并首证，遗憾的是其证法已失传，令后世数学家、史学家们困惑不已.笔者刻苦钻研，认真研读了他所能参考的唯一书籍欧几里得的《几何原本》（文[1]）中的有关三角形内切圆和相似三角形等内容并参考海伦对海伦公式的纯几何证法（文[2]）.复原了阿基米德对海伦公式的纯几何首证（借助现代数学符号），供读者参考.复原古人证明已不乏先例：著名数学家吴文俊教授曾根据我国古代几何证明的传统特点.复原了南宋数学家秦九韶“三斜求积”公式（与海伦公式等价）.
海伦公式：若已知任一△ABC的三边长为a，b，c.则其面积S=p（p-a）（p-b）（p-c），其中2p=a+b+c.
证明 如右图，△ABC的内切圆圆O与三边的切点分别为D、E、F，连OD、OE、OF、OA、OB，并设OD=OE=OF=r，延长DO与圆O交于M，再过M作圆O的切线，分别交CE、CF于P、Q两点，连接OP、OQ.
由三角形内切圆性质和作法可得，PE=PM，MQ=QF，并设AD=AE=x，BD=BF=y，CE=CF=z，
第19篇：发展党员公示及公式证明
渤海大学文理学院外语系
党总支党员发展
公示
根据本人申请、组织培养、经党支部委员会讨论通过，拟吸收同志为中共预备党员。
特此公示
公示对象基本情况与考察情况
外语系党总支
年月日
公 示 结 果
党总支于年月日至年月日对
＿同志接收为中国共产党预备党员进行了公示,公示结果如下（请在相应栏前的方框内打“√”）：
、公示期内未有群众提出异议或不良反映。
、公示期内接到群众人次提出异议或不良反映，经
查实，不影响发展。（材料另附）
、公示期内接到群众人次提出异议或不良反映，经
查实，暂缓发展。（材料另附）
中共渤海大学文理学院
外语系总支委员会
年月日
第20篇：圆锥体体积公式的证明
圆锥体体积公式的证明
证明需要几个步骤来解决：
1)圆柱体的微分单元是三棱柱, 而圆锥体的微分单元是三棱锥。
所以, 只要证明三棱锥的体积，是等底等高的三棱柱的体积的1/3，即可知题目所求正确。
2）如图，一个三棱柱可以切分成三个三棱锥：
(上图中,第二个“等底等高”的“高”是横着的，而“底”是竖着的。 )
现在需要证明，这三个三棱锥，体积都是相等的，也就是各自的体积都是图中三棱柱的体积的1/3.
证明需要的命题是：底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。
3）如图，底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。这个命题的证明，需要基本的一个原理：祖暅原理。
注释：祖暅原理
祖暅原理也就是“等积原理”。它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之(429-500)的儿子祖暅(gèng)首先提出来的。
祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
在西方，直到17世纪，才由意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri.B,1589-1647)发现。于1635年出版的《连续不可分几何》中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为“卡瓦列里原理”。其实，他的发现要比我国的祖暅晚1100多年。
祖暅原理的思想
我们都知道“点动成线，线动成面，面动成体”这句话，直线由点构成，点的多少表示直线的长短；面由线构成，也就是由点构成，点的多少表示面积的大小；几何体由面构成，就是由线构成，最终也就是由点构成，点的多少也表示了体积的大小，要想让两个几何体的体积相等，也就是让构成这两个几何体的点的数量相同，祖暅原理就运用到了它。
两个几何体夹在两平行平面中间，可以理解为这两个几何体平行面间的的高度相等。两平行面之间的距离一定，若视距离为一条线段，那么这个距离上就有无数个点，过一个点，可以画出一个平行于两平行面的截面，若两几何体在被过每一点的平行截面截出的截面面积两两相等，则说明两几何体在同一高度下的每两个截面上的点的数量相同。有无数个截面，同一高度每两个几何体的截面上的点的数量相同，则说明，这两个几何体所拥有的点数量相同，那么也就是说，它们的体积相同。所以我们可以用这种思想来理解祖暅原理。
这个原理说：如果两个高度相等的立体，在任何同样高度下的截面面积都相等，那么，这两个立体的体积就相等。
所以，下图可证明：若两三棱锥的底面（三角形）全等，高度相等，那么它们在任何高度上的截面（三角形）也必然全等。于是可以根据祖暅原理断言：
等底等高的三棱锥，体积都相等：
三棱柱的体积，与立方体的体积一样，是底面积乘以高，（三棱柱可来自于半个立方体）：
知道有关三角形的相似、比例、全等的一些定理，就可深入完成题目的证明。
=====
下面这个图, 说明了一个直接的、有趣的推论：
注意上面这个图，在推算球体的体积的时候，还可以用到。
下面再给几个有趣的推论，直到求出球体的体积和表面积公式:
1) 金字塔锥的体积也是: (1/3)x底面积x高.
这是由于金字塔锥是两个三棱锥构成的:
2）下面的图说明，球体的微分单元是金字塔锥体。
由此可知，球体的体积 = （1/3）x 球的表面积 x 球半径.
上面的公式说明，球体的体积和表面积，只要知道其中一个信息，那么就可知道另一个信息。实际上，根据球体半径推算球体的体积，可以更先一步。
3）球体的体积。
先看半球的体积：
这还要用到祖暅原理。上图中，左边的内部被挖空一个圆锥体的圆柱体，我们前面见过，右边是一个半球，高度（球半径）与左边的挖空圆柱体高度相同，都是R.
根据图，在任何一个高度h上的水平截面，左边的被截环（绿色）面积是：πR图里，被截的圆（绿色）面积是:πr2 = π(R2- h2).
可见，两形体在任何高度上的截面面积都是相等的。于是，根据祖暅原理，上面两形体的体积相同。
左边形体的体积=圆柱体的体积-圆锥体的体积=(2/3)πR3.
- πh2.而右边的
所以，右边的半球的体积也是=(2/3)πR3.
可知整个球体的体积公式是：
V=(4/3)πR3.
再根据球的体积与表面积的关系公式，可得球体的表面积公式为：
S=4πR2.
(我们用直观方法得出了球的体积公式。学了微积分的人容易知道用下图的微积分算法求出球的体积公式）
